高中数学竞赛解题方法篇不等式

高中数学竞赛中不等式的解法

摘要：本文给出了竞赛数学中常用的排序不等式，平均值不等式，柯西不等式和切比雪夫不等式的证明过程，并挑选了一些与这几类不等式相关的一些竞赛题进行了分析和讲解。 希望对广大喜爱竞赛数学的师生有所帮助。

不等式在数学中占有重要的地位，由于其证明的困难性和方法的多样性，而成为竞赛数学中的热门题型.在解决竞赛数学中的不等式问题的过程中，常常要用到几个着名的代数不等式：排序不等式、平均值不等式、柯西不等式、切比雪夫不等式.本文就将探讨这几个不等式的证明和它们的一些应用. 1．排序不等式 定理1

设1

212...,...n n a a a b b b ≤≤≤≤≤≤，则有

1211...n n n a b a b a b -+++ (倒序积和)

1212...n r r n r a b a b a b ≤+++（乱序积和）

1122 ...n n a b a b a b ≤+++（顺序积和）

其中1,2,...,n r r r 是实数组1,2,...,n b b b 一个排列，等式当且仅当12...n a a a ===或12...n b b b ===时成

立.

（说明： 本不等式称排序不等式，俗称倒序积和乱序积和

顺序积和.）

证明：考察右边不等式，并记1212...n r r n r S a b a b a b =+++。

不等式 1212...n r r n r S

a b a b a b ≤+++的意义：当121,2,...,n r r r n ===时，S 达到最大值

1122 ...n n a b a b a b +++.因此，首先证明n a 必须和n b 搭配，才能使S 达到最大值.也即，设n r n <且n b 和某个()k a k n <搭配时有

.n n k n n r k r n n a b a b a b a b +≤+ （1-1）

事实上，

不等式（1-1）告诉我们当n

r n <时，调换n b 和n r b 的位置（其余n-2项不变），会使和S 增加.同理，调整

好n a 和n b 后，再调整1n a -和1n b -会使和增加.经过n 次调整后，和S 达到最大值1122 ...n n a b a b a b +++，这就

证明了1

212...n r r n r a b a b a b +++1122 ...n n a b a b a b ≤+++.

再证不等式左端,

由1211...,...n n n a a a b b b -≤≤≤-≤-≤≤-及已证明的不等式右端，

得

即 1211...n

n n a b a b a b -+++1212...n r r n r a b a b a b ≤+++ .

例1 （美国第3届中学生数学竞赛题）设a,b,c 是正数，求证：3

()

a b c a b c

a b c abc ++≥.

思路分析：考虑两边取常用对数，再利用排序不等式证明. 证明：不妨设a b c ≥≥，则有lg lg lg a b c ≥≥ 根据排序不等式有：

以上两式相加，两边再分别加上 lg lg lg a a b b c c ++

有 3(lg lg lg )()(lg lg lg )a a b b c c a b c c a b ++≥++++ 即 lg lg 3

a b c

a b c

a

b c abc ++≥

故 3

()

a b c a b c

a

b c abc ++≥ .

例2 设a,b,c R +

∈，求证：222222333

222a b b c c a a b c a b c c a b bc ca ab

+++++≤

++≤++. 思路分析：中间式子每项都是两个式子之和，将它们拆开，再用排序不等式证明. 证明：不妨设a b c ≥≥，则 2

22a b c ≥≥且111

c b a

≥≥

根据排序不等式，有 两式相加除以2，得 再考虑3

33a

b c ≥≥，并且

111

bc ca ab

≥≥

利用排序不等式， 两式相加并除以2，即得 综上所述，原不等式得证. 例3 设1

2120...,0...n n a a a b b b ≤≤≤≤≤≤≤≤，而1,2,...,n i i i 与1,2,...,n j j j 是1,2,...,n 的两个排列.

求证：

11

11

r s

n

n

n n

i j r s

r s r s a b a b r s r s ====≥++∑∑∑∑. （1-2）

思路分析：已知条件中有两组有序实数，而式（1-2）具有“积和”形式，考虑使用排序不等式.

证明：令 1

s n

j r

s b d r s

==+∑

（r=1,2,...,n ）

显然 12...n d d d ≥≥≥ 因为 1

2...n b b b ≤≤≤ ， 且

111...(1)1

r n r n r ≤≤≤++-+ 由排序不等式

1

n

s

r s b d r s =≤+∑ 又因为 1

2...n a a a ≤≤≤

所以 11r

n

n

r r i r r r a d a d ==≤∑∑且111

n

n

n

s

r r r r s r b a a d r s ===≤+∑∑∑（注意到r a ≥0） 故

11

1

1

1

r s

s

r

n

n

n n

n

i j j ir

i r

r s r s r a b b a a d

r s r s =======++∑∑∑∑∑

故 原式得证. 2.均值不等式

定理2 设12,,...,n a a a 是n 个正数，则()()()()H n G n A n Q n ≤≤≤称为均值不等式.

其中，

121()

111

...n

H n a a a =

+++，

()G n =，

12...()n

a a a A n n

+++=

，

分别称为12,,...,n a a a 的调和平均数，几何平均数，算术平均数，均方根平均数. 证明： 先证 ()()G n A n ≤.

记

c =

，令 i i

a b c

=

，

则 原不等式12...n b b b n ⇔+++≥

其中 12121

...( (1)

n n

b b b a a a

c =

=