2012年高考数学试题分类考点2 命题及其关系、充分条件与必要条件
高考数学专题知识突破：考点2 命题及其关系、充分条件与必要条件
考点二命题及其关系、充分条件与必要条件知识梳理1．命题的概念可以判断真假、用文字或符号表述的语句，叫作命题．其中判断为真的语句叫真命题，判断为假的语句叫假命题．2．四种命题及相互关系(1) 四种命题命题表述形式原命题若p，则q逆命题若q，则p否命题若非p，则非q逆否命题若非q，则非p(2) 四种命题间的逆否关系3．四种命题的真假关系(1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；(2)两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系．4．充分条件与必要条件(1)如果p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；(2)如果p⇒q，q⇒p，则p是q的充要条件．(3) 如果p q，q p，那么称p是q的充分不必要条件．(4) 如果q p，p q，那么称p是q的必要不充分条件．(5) 如果p q，且q p，那么称p是q的既不充分也不必要条件．典例剖析题型一四种命题及其相互关系例1命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是()A．“若一个数是负数，则它的平方不是正数”B．“若一个数的平方是正数，则它是负数”C．“若一个数不是负数，则它的平方不是正数”D．“若一个数的平方不是正数，则它不是负数”答案 B解析将原命题的条件与结论互换即得逆命题，故原命题的逆命题为“若一个数的平方是正数，则它是负数”．变式训练命题“若x，y都是偶数，则x＋y也是偶数”的逆否命题是()A．若x＋y是偶数，则x与y不都是偶数B．若x＋y是偶数，则x与y都不是偶数C．若x＋y不是偶数，则x与y不都是偶数D．若x＋y不是偶数，则x与y都不是偶数答案 C解析由于“x，y都是偶数”的否定表达是“x，y不都是偶数”，“x＋y是偶数”的否定表达是“x ＋y不是偶数”，故原命题的逆否命题为“若x＋y不是偶数，则x，y不都是偶数”，故选C.解题要点 1.写一个命题的其他三种命题时，需注意：①对于不是“若p，则q”形式的命题，需先改写；②若命题有大前提，写其他三种命题时需保留大前提．2.一些常见词语的否定例2有下列几个命题：①“若a＞b，则a2＞b2”的否命题；②“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题；③“若x2＜4，则－2＜x＜2”的逆否命题．其中真命题的序号是________．答案②③解析①原命题的否命题为“若a≤b，则a2≤b2”，错误．②原命题的逆命题为：“若x，y互为相反数，则x＋y＝0”，正确．③原命题的逆否命题为“若x≥2或x≤－2，则x2≥4”，正确．变式训练下列有关命题的说法正确的是________．(填序号)①命题“若x2＝1，则x＝1”的否命题为“若x2＝1，则x≠1”；②若一个命题是真命题，则其逆命题也是真命题；③命题“存在x∈R，使得x2＋x＋1<0”的否定是“对任意x∈R，均有x2＋x＋1<0”；④命题“若x＝y，则sin x＝sin y”的逆否命题为真命题．答案 ④解析 命题“若x 2＝1，则x ＝1”的否命题为“若x 2≠1，则x ≠1”，所以①不正确；原命题与逆命题不等价，所以②不正确；命题“存在x ∈R ，使得x 2＋x ＋1<0”的否定是“对任意x ∈R ，均有x 2＋x ＋1≥0”，所以③不正确；命题“若x ＝y ，则sin x ＝sin y ”是真命题，所以逆否命题为真命题，④正确．解题要点 1.判断一个命题为真命题，要给出推理证明；判断一个命题是假命题，只需举出反例．2.根据“原命题与逆否命题是等价的，逆命题与否命题也是等价的”这一性质，当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其等价命题的真假．题型二 充分条件与必要条件例3 已知p ：“a ，b ，c 成等比数列”，q ：“b ＝ac ”，那么p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 D解析 若a ，b ，c 成等比数列，则有b 2＝ac ，所以b ＝±ac ，所以充分性不成立．当a ＝b ＝c ＝0时，b ＝ac 成立，但此时a ，b ，c 不成等比数列，所以必要性不成立，所以p 是q 的既不充分也不必要条件．变式训练 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，则“a ≤b ”是“sin A ≤sin B ”的( )A ．充分必要条件B ．充分非必要条件C ．必要非充分条件D ．非充分非必要条件答案 A解析 由正弦定理，知a ≤b ⇔2R sin A ≤2R sin B (R 为△ABC 外接圆的半径)⇔sin A ≤sinB ． 例4 设函数f (x )＝log 2x ，则“a ＞b ”是“f (a )＞f (b )”的________(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分又不必要”)条件．答案 必要不充分解析 因为f (x )＝log 2x 在区间(0，＋∞)上是增函数，所以当a >b >0时，f (a )>f (b )；反之，当f (a )>f (b )时，a >b .故“a ＞b ”是“f (a )＞f (b )”的必要不充分条件．变式训练 设x ∈R ，则“x >1”是“220x x +->”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 A解析 由不等式220x x +->得(2)(1)0x x +->，即2x <-或1x >，所以由1x >可以得到不等式220x x +->成立，故充分性成立；但由220x x +->不一定得到1x >，所以必要性不成立，即“x >1”是“220x x +->”的充分而不必要条件．解题要点 1．充要条件问题应首先弄清问题中条件是什么，结论是什么，再进一步判断条件与结论的关系，解题过程分为三步：①确定条件是什么，结论是什么；②尝试从条件推结论，从结论推条件；③确定条件和结论是什么关系．2．充要条件的三种判断方法(1) 定义法：根据p q ，q p 进行判断； (2) 集合法：根据p 、q 成立的对象的集合之间的包含关系进行判断；(3) 等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把判断的命题转化为其逆否命题进行判断．当堂练习1. 设p ：1<x <2，q ：2x >1，则p 是q 成立的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件2．设,a b ∈R , 则 “2()0a b a -<”是“a b <”的 ( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．已知m ，n 是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列命题正确的是( )A ．若α，β垂直于同一平面，则α与β平行B ．若m ，n 平行于同一平面，则m 与n 平行C ．若α，β不平行，则在α内不存在与β平行的直线D ．若m ，n 不平行，则m 与n 不可能垂直于同一平面4．已知i 是虚数单位，a ，b ∈R ，得“a ＝b ＝1”是“(a ＋b i)2＝2i ”的 条件．5.U 为全集,A ,B 是集合,则“存在集合C 使得A ⊆C ，B ⊆∁U C ”是“A ∩B ＝∅” 条件．课后作业一、 选择题1．下列语句中命题的个数是( )①2<1；②x <1；③若x <2，则x <1；④函数f (x )＝x 2是R 上的偶函数.A.0B.1C.2D.32．“x ＝1”是“x 2－2x ＋1＝0”的( )A ．充要条件B ．充分而不必要条件C ．必要而不充分条件D ．既不充分也不必要条件3．“1<x <2”是“x <2”成立的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．设p ：x <3，q ：－1<x <3，则p 是q 成立的( )A ．充分必要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件5．下列结论错误的是( )A ．命题“若x 2－3x －4＝0，则x ＝4”的逆否命题为“若x ≠4，则x 2－3x －4≠0”B ．“x ＝4”是“x 2－3x －4＝0”的充分条件C ．命题“若m >0，则方程x 2＋x －m ＝0有实根”的逆命题为真命题D ．命题“若m 2＋n 2＝0，则m ＝0且n ＝0”的否命题是“若m 2＋n 2≠0，则m ≠0或n ≠0”6．若m ∈R, 命题“若m >0，则方程x 2＋x －m ＝0有实根”的逆否命题是( )A ．若方程x 2＋x －m ＝0有实根，则m ＞0B ．若方程x 2＋x －m ＝0有实根，则m ≤0C ．若方程x 2＋x －m ＝0没有实根，则m ＞0D ．若方程x 2＋x －m ＝0没有实根，则m ≤07．已知命题p ：若x ＝－1，则向量a ＝(1，x )与b ＝(x ＋2，x )共线，则在命题p 的原命题、逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为( )A ．0B ．2C ．3D ．48．设α，β是两个不同的平面，m 是直线且m ⊂α.“m ∥β”是“α∥β”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件二、填空题9．x ≠3或y ≠5是x ＋y ≠8的____________条件．(选填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”)10．“若a ≤b ，则ac 2≤bc 2”，则命题的原命题、逆命题、否命题和逆否命题中真命题的个数是________．11．(1)“x >y >0”是“1x <1y”的________条件． (2) 设a ，b ∈R ，则“a ＞b ”是“a |a |＞b |b |”的________条件．12．下列命题：①“若k ＞0，则方程x 2＋2x ＋k ＝0有实根”的否命题；②“若1a ＞1b，则a ＜b ”的逆命题；③“梯形不是平行四边形”的逆否命题，其中是假命题的是________.13．“m <14”是“一元二次方程x 2＋x ＋m ＝0有实数解”的____________条件．当堂练习答案1. 答案 A解析 当1<x <2时，2<2x <4，∴p ⇒q ；但由2x >1，得x >0，∴q p ，故选A.2答案 A解析 由(a －b )a 2<0⇒a ≠0且a <b ，∴充分性成立；由a <b ⇒a －b <0，当0＝a <b 时 (a －b )·a 2<0，必要性不成立；故选A.3．答案 D解析 对于A ，α，β垂直于同一平面，α，β关系不确定，A 错；对于B ，m ，n 平行于同一平面，m ，n 关系不确定，可平行、相交、异面，故B 错；对于C ，α，β不平行，但α内能找出平行于β的直线，如α中平行于α，β交线的直线平行于β，故C 错；对于D ，若假设m ，n 垂直于同一平面，则m ∥n ，其逆否命题即为D 选项，故D 正确．4．答案 充分不必要条件解析 当a ＝b ＝1时，(a ＋b i)2＝(1＋i)2＝2i ；当(a ＋b i)2＝2i 时，得⎩⎪⎨⎪⎧a 2－b 2＝0，ab ＝1， 解得a ＝b ＝1或a ＝b ＝－1，所以“a ＝b ＝1”是“(a ＋b i)2＝2i ”的充分不必要条件．5.答案 充要条件解析 若存在集合C 使得A ⊆C ，B ⊆∁U C ，则可以推出A ∩B ＝∅；若A ∩B ＝∅，由Venn 图(如图)可知，存在A ＝C ，同时满足A ⊆C ，B ⊆∁U C .故“存在集合C 使得A ⊆C ，B ⊆∁U C ”是“A ∩B ＝∅”的充要条件．课后作业答案二、 选择题1．答案 D2．答案 A解析 解x 2－2x ＋1＝0得x ＝1，所以“x ＝1”是“x 2－2x ＋1＝0”的充要条件．3．答案 A4．答案 C解析 ∵x <3－1<x <3，但－1<x <3⇒x <3，∴p 是q 的必要不充分条件，故选C.5．答案 C解析 C 项命题的逆命题为“若方程x 2＋x －m ＝0有实根，则m >0”．若方程有实根，则Δ＝1＋4m ≥0，即m ≥－14，不能推出m >0.所以不是真命题，故选C. 6．答案 D解析 原命题为“若p ，则q ”，则其逆否命题为“若q ，则p ”．∴所求命题为“若方程x 2＋x －m ＝0没有实根，则m ≤0”．7．答案 B解析 向量a ，b 共线⇔x －x (x ＋2)＝0⇔x ＝0或x ＝－1，∴命题p 为真，其逆命题为假，故在命题p 的原命题、逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为2.8．答案 B解析 m ⊂α，m ∥βα∥β，但m ⊂α，α∥β⇒m ∥β，∴m ∥β是α∥β的必要而不充分条件． 二、填空题9．答案 必要不充分解析 设p ：x ＝3且y ＝5，q ：x ＋y ＝8，显然p 是q 的充分不必要条件，∴p 是q 的必要不充分条件，即x ≠3或y ≠5是x ＋y ≠8的必要不充分条件．10．答案 2解析 其中原命题和逆否命题为真命题，逆命题和否命题为假命题．11．答案 (1)充分不必要 (2)充要解析 (1)1x <1y⇒xy ·(y －x )<0， 即x >y >0或y <x <0或x <0<y .所以x >y >0 ⇒1x <1y ，但反过来1x <1y， 所以是充分不必要条件．(2) 构造函数f (x )＝x |x |，则f (x )在定义域R 上为奇函数．因为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ≥0，－x 2，x ＜0，所以函数f (x )在R 上单调递增，所以a ＞b ⇔f (a )＞f (b )⇔a |a |＞b |b |. 所以是充要条件．12．答案 ①②解析 对于①其否命题为“若k ≤0，则方程x 2＋2x ＋k ＝0无实根”，为假命题；②的逆命题为“若a ＜b ，则1a ＞1b”，为假命题；③中原命题为真命题，故其逆否命题也为真命题. 13．答案 充分不必要解析 x 2＋x ＋m ＝0有实数解等价于Δ＝1－4m ≥0，即m ≤14，因为m <14⇒m ≤14，反之不成立． 故“m <14”是“一元二次方程x 2＋x ＋m ＝0有实数解”的充分不必要条件．。
高考文科数学热点题型02 命题及其关系、充分条件与必要条件
1．若f (x )是定义在R 上的函数，则“f (0)＝0”是“函数f (x )为奇函数”的( ) A ．必要不充分条件 B ．充要条件 C ．充分不必要条件 D ．既不充分也不必要条件解析：f (x )在R 上为奇函数⇒f (0)＝0；f (0)＝0/⇒ f (x )在R 上为奇函数，如f (x )＝x 2，故选A.答案：A2．下面四个条件中，使a >b 成立的充分而不必要的条件是( ) A ．a >b ＋1 B ．a >b －1 C ．a 2>b 2D ．a 3>b 3解析：由a >b ＋1，得a >b ＋1>b ，即a >b ，而由a >b 不能得出a >b ＋1，因此，使a >b 成立的充分不必要条件是a >b ＋1，选A.答案：A3．“(m －1)(a －1)>0”是“log a m >0”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案：B4．若集合A ＝{x |x 2－5x ＋4<0}，B ＝{x ||x －a |<1}，则“a ∈(2,3)”是“B ⊆A ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件解析：由题意知A ＝{x |1<x <4}，B ＝{x |－1＋a <x <1＋a }，若B ⊆A ，则－1＋a≥1，1＋a≤4，解得2≤a ≤3，所以必要性不成立．反之，若2<a <3，则必有B ⊆A 成立，所以充分性成立，故选A.答案：A5．设函数f (x )＝log 2x ，则“a >b ”是“f (a )>f (b )”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：因为f (x )＝log 2x 在区间(0，＋∞)上是增函数，所以当a >b >0时，f (a )>f (b )；反之，当f (a )>f (b )时，a >b .故选B.答案：B6．已知p ：x ≥k ，q ：x ＋13<1，若p 是q 的充分不必要条件，则k 的取值范围是( ) A ．[2，＋∞) B ．(2，＋∞) C ．[1，＋∞)D ．(－∞，－1]解析：∵q ：x ＋13<1，∴x ＋13－1<0，∴x ＋12－x<0. ∴(x －2)·(x ＋1)>0，∴x <－1或x >2.因为p 是q 的充分不必要条件，所以k >2，故选B. 答案：B7．已知a ，b 为非零向量，则“函数f (x )＝(ax ＋b )2为偶函数”是“a ⊥b ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案：C8．“若a ，b ∈R ＋，a 2＋b 2<1”是“ab ＋1>a ＋b ”的( ) A ．充要条件 B ．必要不充分条件C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：a ，b ∈R ＋，若a 2＋b 2<1，则a 2＋2ab ＋b 2<1＋2ab <1＋2ab ＋(ab )2，即(a ＋b )2<(1＋ab )2，所以a ＋b <1＋ab 成立；当a ＝b ＝2时，有1＋ab >a ＋b 成立，但a 2＋b 2<1不成立，所以“a 2＋b 2<1”是“ab ＋1>a ＋b ”的充分不必要条件，故选C.答案：C9．在△ABC 中，设p ：sinB a ＝sinC b ＝sinA c；q ：△ABC 是正三角形，那么p 是q 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案：C10．以下四个命题中，真命题的个数是( )①“若a＋b≥2，则a，b中至少有一个不小于1”的逆命题．②存在正实数a，b，使得lg(a＋b)＝lg a＋lg b.③“所有奇数都是素数”的否定是“至少有一个奇数不是素数”．④在△ABC中，∠A<∠B是sin A<sin B的充分不必要条件．A．0 B．1C．2 D．3解析：对于①，原命题的逆命题为：若a，b中至少有一个不小于1，则a＋b≥2，而a＝2，b＝－2满足a，b中至少有一个不小于1，但此时a＋b＝0，故①是假命题；对于②，根据对数的运算性质，知当a＝b＝2时，lg(a＋b)＝lg a＋lg b，故②是真命题；对于③，易知“所有奇数都是素数”的否定就是“至少有一个奇数不是素数”，③是真命题；对于④，根据题意，结合边角的转换，以及正弦定理，可知∠A<∠B⇔a<b(a，b为角A，B所对的边)⇔2R sin A<2R sin B(R 为△ABC外接圆的半径)⇔sin A<sin B，故∠A<∠B是sin A<sin B的充要条件，故④是假命题．选C.答案：C11．命题“若a>－3，则a>－6”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，假命题的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 答案：B解析：原命题为真命题，从而其逆否命题也为真命题；逆命题“若a>－6，则a>－3”为假命题，故否命题也为假命题，故选B.12．命题“若x 2＋y 2＝0，则x ＝y ＝0”的否命题是( ) A ．若x 2＋y 2＝0，则x ，y 中至少有一个不为0 B ．若x 2＋y 2≠0，则x ，y 中至少有一个不为0 C ．若x 2＋y 2≠0，则x ，y 都不为0 D ．若x 2＋y 2＝0，则x ，y 都不为0 答案：B解析：否命题既否定条件又否定结论．13．若命题p 的否命题是命题q 的逆否命题，则命题p 是命题q 的( ) A ．逆命题 B ．否命题C ．逆否命题D ．p 与q 是同一命题 答案：A解析：设p ：若A ，则B ，则p 的否命题为若綈A ，则綈B ，从而命题q 为若B ，则A ，则命题p 是命题q 的逆命题，故选A.14．下列命题中为真命题的是( )A ．命题“若x>y ，则x>|y|”的逆命题B ．命题“若x 2≤1，则x ≤1”的否命题 C ．命题“若x ＝1，则x 2－x ＝0”的否命题 D ．命题“若a>b ，则a 1<b 1”的逆否命题答案：A15．A ，B ，C 三个学生参加了一次考试，A ，B 的得分均为70分，C 的得分为65分．已知命题p ：若及格分低于70分，则A ，B ，C 都没有及格．在下列四个命题中，为p 的逆否命题的是( )A ．若及格分不低于70分，则A ，B ，C 都及格 B ．若A ，B ，C 都及格，则及格分不低于70分C ．若A ，B ，C 至少有一人及格，则及格分不低于70分D ．若A ，B ，C 至少有一人及格，则及格分高于70分 答案：C解析：根据原命题与它的逆否命题之间的关系，命题p ：“若及格分低于70分，则A ，B ，C 都没有及格”的逆否命题是“若A ，B ，C 至少有一人及格，则及格分不低于70分”．故选C.16． “x 1>1”是“e x －1<1”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 答案：A解析：∵x 1>1，∴x ∈(0，1)．∵e x －1<1，∴x<1. ∴“x 1>1”是“e x －1<1”的充分不必要条件．17．在△ABC 中，“sinB ＝1”是“△ABC 为直角三角形”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 答案：A18．若“x>1”是“不等式2x>a －x 成立”的必要而不充分条件，则实数a 的取值范围是( ) A ．a>3 B ．a<3 C ．a>4 D ．a<4答案：A解析：若2x>a －x ，即2x＋x>a.设f(x)＝2x＋x ，则函数f(x)为增函数．由题意知“2x＋x>a 成立，即f(x)>a 成立”能得到“x>1”，反之不成立．因为当x>1时，f(x)>3，∴a>3.19．祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．它是中国古代一个涉及几何体体积的问题，意思是两个同高的几何体，如在等高处截面的面积恒相等，则体积相等．设A ，B 为两个同高的几何体，p ：A ，B 的体积不相等，q ：A ，B 在等高处的截面积不恒相等，根据祖暅原理可知，p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案：A解析：p ⇒q ，而q p ，∴选A.20．若不等式31<x<21的必要不充分条件是|x －m|<1，则实数m 的取值范围是( ) A ．[－34，21] B ．[－21，34] C ．(－∞，21) D ．(34，＋∞) 答案：B解析：由|x －m|<1，解得m －1<x<m ＋1.因为不等式31<x<21的必要不充分条件是|x －m|<1，所以≤m ＋1，1且等号不能同时取得，解得－21≤m ≤34，故选B.21．已知函数f(x)＝x 2－2x ＋3，g(x)＝kx －1，则“|k|≤1”是“f(x)≥g(x)在R 上恒成立”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案：A22．已知集合A ＝{x|a －2<x<a ＋2}，B ＝{x|x ≤－2或x ≥4}，则A ∩B ＝∅的充要条件是________．答案：0≤a ≤2解析：A ∩B ＝∅⇔a －2≥－2a ＋2≤4，⇔0≤a ≤2.23．如果对于任意实数x ，〈x 〉表示不小于x 的最小整数，例如〈1.1〉＝2，〈－1.1〉＝－1，那么“|x －y |<1”是“〈x 〉＝〈y 〉”的________条件．解析：可举例子，比如x ＝－0.5，y ＝－1.4，可得〈x 〉＝0，〈y 〉＝－1；比如x ＝1.1，y ＝1.5，〈x 〉＝〈y 〉＝2，|x －y |<1成立．因此“|x －y |<1”是“〈x 〉＝〈y 〉”的必要不充分条件．答案：必要不充分24．集合A ＝<0x －1，B ＝{x ||x －b |<a }．若“a ＝1”是“A ∩B ≠∅”的充分条件，则实数b 的取值范围是________．答案：(－2,2)25．已知A 为xOy 平面内的一个区域． 命题甲：点(a ，b )∈{(x ，y )|3x ＋y －6≤0x≥0，}； 命题乙：点(a ，b )∈A .如果甲是乙的充分条件，那么区域A 的面积的最小值是________．解析：设3x ＋y －6≤0x≥0，所对应的区域如右图所示的阴影部分PMN 为集合B .由题意，甲是乙的充分条件，则B ⊆A ，所以区域A 面积的最小值为S △PMN ＝21×4×1＝2.答案：226．已知命题p ：实数m 满足m 2＋12a 2<7am (a >0)，命题q ：实数m 满足方程m －1x2＋2－m y2＝1表示的焦点在y 轴上的椭圆，且p 是q 的充分不必要条件，则a 的取值范围是________．解析：由a >0，m 2－7am ＋12a 2<0，得3a <m <4a ， 即命题p ：3a <m <4a ，a >0.由m －1x2＋2－m y2＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，可得2－m >m －1>0， 解得1<m <23，即命题q ：1<m <23. 因为p 是q 的充分不必要条件，所以 23或，3解得31≤a ≤83，所以实数a 的取值范围是[31，83]． 答案：[31，83]。
高考数学复习考点知识与题型专题讲解2---命题及其关系、充分条件与必要条件
高考数学复习考点知识与题型专题讲解命题及其关系、充分条件与必要条件考试要求1.理解命题的概念.2.了解“若p，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系.3.理解必要条件、充分条件与充要条件的含义．知识梳理1．命题用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题，其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题．2．四种命题及其相互关系(1)四种命题间的相互关系(2)四种命题的真假关系①两个命题互为逆否命题，它们具有相同的真假性．②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．3．充分条件、必要条件与充要条件的概念若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件p是q的充分不必要条件p⇒q且q⇏pp是q的必要不充分条件p⇏q且q⇒pp是q的充要条件p⇔qp是q的既不充分也不必要条件p⇏q且q⇏p常用结论充分、必要条件与对应集合之间的关系设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}．①若p是q的充分条件，则A⊆B；②若p是q的充分不必要条件，则A B；③若p是q的必要不充分条件，则B A；④若p是q的充要条件，则A＝B.思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)“x2－2x－3>0”是命题．(×)(2)“x>1”是“x>0”的充分不必要条件．(√)(3)若原命题为真，则这个命题的否命题、逆命题、逆否命题中至少有一个为真．(√)(4)p是q的充分不必要条件等价于q是p的必要不充分条件．(√)教材改编题1．“a>b”是“ac2>bc2”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案B解析当a>b时，若c2＝0，则ac2＝bc2，所以a>b⇏ac2>bc2，当ac2>bc2时，c2≠0，则a>b，所以ac2>bc2⇒a>b，即“a>b”是“ac2>bc2”的必要不充分条件．2．命题“同位角相等，两直线平行”的逆否命题是____________________________．答案两直线不平行，同位角不相等3．方程x2－ax＋a－1＝0有一正一负根的充要条件是________．答案a∈(－∞，1)解析依题意得a－1<0，∴a<1.题型一命题及其关系例1(1)(2022·玉林质检)下列四个命题为真命题的个数是()①命题“若x>1，则x2>1”的否命题；②命题“梯形不是平行四边形”的逆否命题；③命题“全等三角形面积相等”的否命题；④命题“若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线”的逆命题．A ．1B ．2C ．3D ．4答案B解析 ①命题“若x >1，则x 2>1”的否命题为“若x ≤1，则x 2≤1”，不正确，例如取x ＝－2.②命题“梯形不是平行四边形”是真命题，因此其逆否命题也是真命题．③命题“全等三角形面积相等”的否命题“不是全等三角形的面积不相等”是假命题． ④命题“若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线”的逆命题“若两条直线是异面直线，则这两条直线没有公共点”是真命题．综上可得真命题的个数为2.(2)能说明“若f (x )>f (0)对任意的x ∈(0,2]都成立，则f (x )在[0,2]上是增函数”为假命题的一个函数是________________．答案f (x )＝sin x ，x ∈[0,2](答案不唯一)解析设f (x )＝sin x ，则f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上是增函数，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，2上是减函数．由正弦函数图象的对称性知，当x ∈(0,2]时，f (x )>f (0)＝sin0＝0，故f (x )＝sin x 满足条件f (x )>f (0)对任意的x ∈(0,2]都成立，但f (x )在[0,2]上不一直都是增函数．教师备选(2022·合肥模拟)设x ，y ∈R ，命题“若x 2＋y 2>2，则x 2>1或y 2>1”的否命题是()A ．若x 2＋y 2≤2，则x 2≤1或y 2≤1B．若x2＋y2>2，则x2≤1或y2≤1C．若x2＋y2≤2，则x2≤1且y2≤1D．若x2＋y2>2，则x2≤1且y2≤1答案C解析根据否命题的定义可得命题“若x2＋y2>2，则x2>1或y2>1”的否命题是“若x2＋y2≤2，则x2≤1且y2≤1”．思维升华判断命题真假的策略(1)判断一个命题为真命题，需要推理证明；判断一个命题是假命题，只需举出反例即可．(2)根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”这一性质，当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其等价命题的真假．跟踪训练1(1)(2022·安顺模拟)命题“若x，y都是奇数，则x＋y是偶数”的逆否命题是() A．若x，y都是偶数，则x＋y是奇数B．若x，y都不是奇数，则x＋y不是偶数C．若x＋y不是偶数，则x，y都不是奇数D．若x＋y不是偶数，则x，y不都是奇数答案D解析命题“若x，y都是奇数，则x＋y是偶数”的逆否命题是“若x＋y不是偶数，则x，y不都是奇数”．(2)命题p：若m≤a－2，则m<－1.若p的逆否命题为真命题，则a的取值范围是________．答案(－∞，1)解析依题意，命题p 的逆否命题为真命题，则命题p 为真命题，即“若m ≤a －2，则m <－1”为真命题，则a －2<－1，解得a <1.题型二 充分、必要条件的判定例2(1)已知p ：⎝ ⎛⎭⎪⎫12x <1，q ：log 2x <0，则p 是q 的() A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案B解析由⎝ ⎛⎭⎪⎫12x <1知x >0，所以p 对应的x 的范围为(0，＋∞)， 由log 2x <0知0<x <1，所以q 对应的x 的范围为(0,1)，显然(0,1)(0，＋∞)，所以p 是q 的必要不充分条件．(2)(2021·全国甲卷)等比数列{a n }的公比为q ，前n 项和为S n .设甲：q >0，乙：{S n }是递增数列，则()A ．甲是乙的充分条件但不是必要条件B ．甲是乙的必要条件但不是充分条件C ．甲是乙的充要条件D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件答案B解析当a1<0，q>1时，a n＝a1q n－1<0，此时数列{S n}单调递减，所以甲不是乙的充分条件．当数列{S n}单调递增时，有S n＋1－S n＝a n＋1＝a1q n>0，若a1>0，则q n>0(n∈N*)，即q>0；若a1<0，则q n<0(n∈N*)，不存在．所以甲是乙的必要条件．教师备选在△ABC中，“AB2＋BC2＝AC2”是“△ABC为直角三角形”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案A解析在△ABC中，若AB2＋BC2＝AC2，则∠B＝90°，即△ABC为直角三角形，若△ABC为直角三角形，推不出∠B＝90°，所以AB2＋BC2＝AC2不一定成立，综上，“AB2＋BC2＝AC2”是“△ABC为直角三角形”的充分不必要条件．思维升华充分条件、必要条件的两种判定方法(1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断，适用于定义、定理判断性问题．(2)集合法：根据p，q对应的集合之间的包含关系进行判断，多适用于条件中涉及参数范围的推断问题．跟踪训练2(1)“a>2，b>2”是“a＋b>4，ab>4”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案A解析若a>2，b>2，则a＋b>4，ab>4.当a＝1，b＝5时，满足a＋b>4，ab>4，但不满足a>2，b>2，所以a＋b>4，ab>4⇏a>2，b>2，故“a>2，b>2”是“a＋b>4，ab>4”的充分不必要条件．(2)(2022·成都模拟)若a，b为非零向量，则“a⊥b”是“(a＋b)2＝a2＋b2”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案C解析因为a⊥b，所以a ·b ＝0，则(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝a 2＋b 2，所以“a ⊥b ”是“(a ＋b )2＝a 2＋b 2”的充分条件；反之，由(a ＋b )2＝a 2＋b 2得a ·b ＝0，所以非零向量a ，b 垂直，“a ⊥b ”是“(a ＋b )2＝a 2＋b 2”的必要条件．故“a ⊥b ”是“(a ＋b )2＝a 2＋b 2”的充要条件．题型三 充分、必要条件的应用例3已知集合A ＝{x |x 2－8x －20≤0}，非空集合B ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m }．若x ∈A 是x ∈B 的必要条件，求m 的取值范围．解由x 2－8x －20≤0，得－2≤x ≤10，∴A ＝{x |－2≤x ≤10}．由x ∈A 是x ∈B 的必要条件，知B ⊆A .则⎩⎪⎨⎪⎧ 1－m ≤1＋m ，1－m ≥－2，∴0≤m ≤3.1＋m ≤10，∴当0≤m ≤3时，x ∈A 是x ∈B 的必要条件，即所求m 的取值范围是[0,3]．延伸探究本例中，若把“x ∈A 是x ∈B 的必要条件”改为“x ∈A 是x ∈B 的充分不必要条件”，求m 的取值范围．解∵x ∈A 是x ∈B 的充分不必要条件，∴A B ，则⎩⎪⎨⎪⎧ 1－m ≤－2，1＋m >10或⎩⎪⎨⎪⎧1－m <－2，1＋m ≥10，解得m ≥9，故m 的取值范围是[9，＋∞)． 教师备选(2022·泰安检测)已知p ：x ≥a ，q ：|x ＋2a |<3，且p 是q 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是()A ．(－∞，－1]B ．(－∞，－1)C ．[1，＋∞)D ．(1，＋∞)答案A解析因为q ：|x ＋2a |<3，所以q ：－2a －3<x <－2a ＋3，记A ＝{x |－2a －3<x <－2a ＋3}，p ：x ≥a ，记为B ＝{x |x ≥a }．因为p 是q 的必要不充分条件，所以A B ，所以a ≤－2a －3，解得a ≤－1.思维升华 求参数问题的解题策略(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解．(2)要注意区间端点值的检验．跟踪训练3(1)使2x ≥1成立的一个充分不必要条件是()A ．1<x <3B ．0<x <2C ．x <2D ．0<x ≤2答案B解析由2x ≥1得0<x ≤2，依题意由选项组成的集合是(0,2]的真子集，故选B.(2)若不等式(x －a )2<1成立的充分不必要条件是1<x <2，则实数a 的取值范围是________． 答案[1,2]解析由(x －a )2<1得a －1<x <a ＋1，因为1<x <2是不等式(x －a )2<1成立的充分不必要条件，所以满足⎩⎪⎨⎪⎧a －1≤1，a ＋1≥2且等号不能同时取到，解得1≤a≤2.课时精练1．(2022·韩城模拟)设p：2<x<3，q：|x－2|<1，那么p是q的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案A解析解不等式|x－2|<1得－1<x－2<1，解得1<x<3，因为{x|2<x<3}{x|1<x<3}，因此p是q的充分不必要条件．2．(2022·马鞍山模拟)“若x，y∈R，x2＋y2＝0，则x，y全为0”的逆否命题是() A．若x，y∈R，x，y全不为0，则x2＋y2≠0B．若x，y∈R，x，y不全为0，则x2＋y2＝0C．若x，y∈R，x，y不全为0，则x2＋y2≠0D．若x，y∈R，x，y全为0，则x2＋y2≠0答案C解析根据命题“若p，则q”的逆否命题为“若綈q，则綈p”，可以写出“若x，y∈R，x2＋y2＝0，则x，y全为0”的逆否命题是“若x，y∈R，x，y 不全为0，则x2＋y2≠0”．3．(2021·浙江)已知非零向量a，b，c，则“a·c＝b·c”是“a＝b”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件答案B解析由a·c＝b·c，得到(a－b)·c＝0，所以(a－b)⊥c或a＝b，所以“a·c＝b·c”是“a＝b”的必要不充分条件．4．已知a，b，c，d是实数，则“ad＝bc”是“a，b，c，d成等比数列”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案B解析当a＝b＝c＝d＝0时，ad＝bc，但a，b，c，d不成等比数列，当a，b，c，d成等比数列时，ad＝bc，则“ad＝bc”是“a，b，c，d成等比数列”的必要不充分条件．5．(2022·太原模拟)下列四个命题：①“在△ABC中，若AB>AC，则∠C>∠B”的逆命题；②“若ab＝0，则a＝0”的逆否命题；③“若ac＝cb，则a＝b”的逆命题；④“若a＝b，则a2＝b2”的否命题．其中是真命题的为()A．①④B．②③C．①③D．②④答案C解析①“在△ABC中，若AB>AC，则∠C>∠B”的逆命题是“在△ABC中，若∠C>∠B，则AB>AC”，是真命题；②“若ab＝0，则a＝0”是假命题，所以其逆否命题也是假命题；③“若ac＝cb，则a＝b”的逆命题是“若a＝b，则ac＝cb”，是真命题；④“若a＝b，则a2＝b2”的否命题是“若a≠b，则a2≠b2”，是假命题．6．(2022·青岛模拟)“∀x>0，a≤x＋4x＋2”的充要条件是()A．a>2B．a≥2 C．a<2D．a≤2 答案D解析因为x>0，所以x＋4x＋2＝x＋2＋4x＋2－2≥2(x＋2)×4x＋2－2＝2，当且仅当x ＋2＝4x ＋2，即x ＝0时等号成立，因为x >0，所以x ＋4x ＋2>2， 所以“∀x >0，a ≤x ＋4x ＋2”的充要条件是a ≤2. 7．已知命题“若m －1<x <m ＋1，则1<x <2”的逆命题是真命题，则m 的取值范围是()A ．(1,2)B ．[1,2)C ．(1,2]D ．[1,2]答案D解析命题的逆命题“若1<x <2，则m －1<x <m ＋1”成立，则⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋1≥2，m －1≤1，得⎩⎪⎨⎪⎧m ≥1，m ≤2，得1≤m ≤2， 即实数m 的取值范围是[1,2]．8．(2022·厦门模拟)已知命题p ：x <2m ＋1，q ：x 2－5x ＋6<0，且p 是q 的必要不充分条件，则实数m 的取值范围为()A ．m >12B ．m ≥12C ．m >1D ．m ≥1答案D解析∵命题p ：x <2m ＋1，q ：x 2－5x ＋6<0，即2<x <3，p 是q 的必要不充分条件，∴(2,3)(－∞，2m ＋1)，∴2m ＋1≥3，解得m ≥1.实数m 的取值范围为m ≥1.9．(2022·延边模拟)若“方程ax 2－3x ＋2＝0有两个不相等的实数根”是真命题，则a 的取值范围是________．答案a <98且a ≠0 解析由题意知⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝(－3)2－8a >0，a ≠0， 解得a <98且a ≠0. 10．(2022·衡阳模拟)使得“2x >4x ”成立的一个充分条件是________．答案x <－1(答案不唯一)解析由于4x ＝22x ，故2x >22x 等价于x >2x ，解得x <0，使得“2x >4x ”成立的一个充分条件只需为集合{x |x <0}的子集即可．11．直线y ＝kx ＋1与圆x 2＋y 2＝a 2(a >0)有公共点的充要条件是________．答案a ∈[1，＋∞)解析直线y ＝kx ＋1过定点(0,1)，依题意知点(0,1)在圆x2＋y2＝a2内部(包含边界)，∴a2≥1.又a>0，∴a≥1.12．给出下列四个命题：①命题“在△ABC中，sin B>sin C是B>C的充要条件”；②“若数列{a n}是等比数列，则a22＝a1a3”的否命题；③已知a，b是非零向量，“若a·b>0，则a与b的夹角为锐角”的逆命题；④命题“直线l与平面α垂直的充要条件是l与平面α内的两条直线垂直．”其中真命题是________．(填序号)答案①③解析对于①，在△ABC中，由正弦定理得sin B>sin C⇔b>c⇔B>C，①是真命题；②“若数列{a n}是等比数列，则a22＝a1a3”的否命题是“若数列{a n}不是等比数列，则a22≠a1a3”，取a n＝0，可知②是假命题；③已知a，b是非零向量，“若a·b>0，则a与b的夹角为锐角”的逆命题“若a与b的夹角为锐角，则a·b>0”为真命题；④直线l与平面α内的两条直线垂直是直线l与平面α垂直的必要不充分条件，④是假命题．13．设集合A ＝{x |－2－a <x <a ，a >0}，命题p ：1∈A ，命题q ：2∈A .若p 和q 中有且只有一个为真命题，则实数a 的取值范围是()A ．0<a <1或a ≥2B ．0<a <1或a >2C ．1<a ≤2D ．1≤a ≤2答案C解析若p 和q 中有且只有一个为真命题，则有p 真q 假或p 假q 真，当p 真q 假时，则⎩⎪⎨⎪⎧ －2－a <1<a ≤2，a >0，解得1<a ≤2；当p 假q 真时，则⎩⎪⎨⎪⎧1≤－2－a <2<a ，a >0，无解， 综上，1<a ≤2.14．若“x 2－4x ＋3<0”是“x 2－mx ＋4<0”的充分条件，则实数m 的取值范围为________． 答案m ≥5解析依题意有x 2－4x ＋3<0⇒1<x <3，x 2－mx ＋4<0⇒mx >x 2＋4，∵1<x <3，∴m >x ＋4x ，设f (x )＝x ＋4x (1<x <3)，则函数f (x )在(1,2)上单调递减，在(2,3)上单调递增，∴f (1)＝5，f (2)＝4，f (3)＝133，因此函数f (x )＝x ＋4x (1<x <3)的值域为[4,5)，∵“x 2－4x ＋3<0”是“x 2－mx ＋4<0”的充分条件，∴m ≥5.15．若“x >1”是“不等式2x >a －x 成立”的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是()A ．a >3B ．a <3C ．a >4D ．a <4答案A解析若2x >a －x ，即2x ＋x >a .设f (x )＝2x ＋x ，则函数f (x )为增函数．由题意知“2x ＋x >a 成立，即f (x )>a 成立”能得到“x >1”，反之不成立．∵当x >1时，f (x )>3，∴a >3.16．已知r >0，x ，y ∈R ，p ：|x |＋|y |2≤1，q ：x 2＋y 2≤r 2，若p 是q 的必要不充分条件，则实数r 的取值范围是________．答案⎝⎛⎦⎥⎤0，255 解析画出|x |＋|y |2≤1表示的平面区域(图略)，由图可得p 对应的平面区域是一个菱形及其内部，当x >0，y >0时，可得菱形的一边所在的直线的方程为x ＋y 2＝1，即2x ＋y －2＝0.由p 是q 的必要不充分条件，可得圆x 2＋y 2＝r 2的圆心(0,0)到直线2x ＋y －2＝0的距离d＝222＋1＝255≥r ，又r >0，所以实数r 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤0，255.。
命题及其关系、充分条件与必要条件
题型二
充分必要条件的判定
师生共研
典例 (1)“0≤m≤1”是“函数f(x)＝cos x＋m－1有零点”的 A.充分不必要条件 √ C.充要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
解析
答案
(2)已知条件p：x>1或x<－3，条件q：5x－6>x2，则綈p是綈q的 A.充分不必要条件 √ C.充要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
所以逆命题为假，则否命题也为假.故选B.
解析 答案
4.设m∈R，命题“若m＞0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题是
若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m≤0 ___________________________________.
答案
思维升华
(1)写一个命题的其他三种命题时，需注意： ①对于不是“若p，则q”形式的命题，需先改写； ②若命题有大前提，写其他三种命题时需保留大前提. (2) 判断一个命题为真命题，要给出推理证明；判断一个命题是假命题， 只需举出反例即可. (3) 根据“ 原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假” 这 一性质，当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其等价命题的 真假.
知识梳理 1.命题 用语言、符号或式子表达的，可以 判断真假 的陈述句叫做命题，其中 判断为真 的语句叫做真命题， 判断为假 的语句叫做假命题. 2.四种命题及其相互关系 (1)四种命题间的相互关系 若q，则p
若綈p，则綈q
若綈q，则綈p
(2)四种命题的真假关系 ①两个命题互为逆否命题，它们具有相同 的真假性； ②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性 没有关系 . 3.充分条件、必要条件与充要条件的概念 若p⇒q，则p是q的 充分 条件，q是p的 必要条件 p是q的 充分不必要 条件 p⇒q且q⇏p
高考数学总复习 基础知识名师讲义 第一章 第二节命题及其关系、充分条件与必要条件 理(1)
第二节命题及其关系、充分条件与必要条件1.理解命题的概念.2.了解“若p，则q”形式命题的逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系.3.理解充分条件、必要条件与充要条件的意义.4.会用反证法证明命题知识梳理一、命题用语言、符号或式子表达的可以判断真假的陈述句，叫命题．判断为真的命题是真命题，判断为假的命题是假命题．二、四种命题的形式原命题：若p，则q(p为命题的条件，q为命题的结论)．逆命题：若q，则p，即交换原命题的条件和结论．否命题：若綈p，则綈q，即同时否定原命题的条件和结论．逆否命题：若綈q，则綈p，即交换原命题的条件、结论之后，同时否定它们．三、四种命题的关系四、四种命题的真假的关系若两个命题互为逆否命题，则它们有________的真假性．若两个命题为互逆命题或互否命题，则它们的真假性___．在四种形式的命题中真命题的个数只能为0或2或4.五、用推出符号“⇒”概括充分条件、必要条件、充要条件若p⇒q，q p，则p是q的充分不必要条件．若p q，q⇒p，则p是q的______________________条件．若p⇒q，q⇒p，则p是q的_______________________条件．若p q，q p，则p是q的______________________条件．六、用反证法证明命题的一般步骤1．假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立．2．从这个假设出发，经过正确的逻辑推理，得出矛盾．3．由矛盾判定假设不成立，从而肯定命题的结论成立．出现矛盾的几种常见形式有：(1)与定义、定理、公理矛盾；(2)与已知条件矛盾；(3)与假设矛盾；(4)自相矛盾．基础自测1．(2013·北京西城区模拟)命题“若a＞b，则a＋1＞b”的逆否命题是( )A．若a＋1≤b，则a＞bB．若a＋1＜b，则a＞bC．若a＋1≤b，则a≤bD．若a＋1＜b，则a＜b解析：逆否命题为“若a＋1≤b，则a≤b”．答案：C2．(2013·深圳模拟)已知b，c是平面α内的两条直线，则“直线a⊥α”是“直线a⊥b，直线a⊥c”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：依题意，由a⊥α，b⊂α，c⊂α，得a⊥b，a⊥c；反过来，由a⊥b，a⊥c不能得出a⊥α，因为直线b，c可能是平面α内的两条平行直线．综上所述，“直线a⊥α”是“直线a⊥b，直线a⊥c”的充分不必要条件，选A.答案：A3．(2013·黄冈模拟)已知命题p：x2－3<0；命题q：log2x2>1，则命题p是命题q的( ) A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：由x2－3<0得－3<x<3，log2x2>1得x>2或x<－ 2.∴p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件．答案：D1．(2013·福建卷)已知集合A＝{1，a}，B＝{1,2,3}，则“a＝3”是“A⊆B”的( ) A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：a＝3⇒A⊆B，A⊆B⇒a＝2或a＝3.因此“a＝3”是“A⊆B”的充分不必要条件．答案：A2．(2013·北京卷)“φ＝π”是“曲线y＝sin(2x＋φ)过坐标原点”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：当φ＝π时，y＝sin(2x＋φ)＝－sin 2x过原点．当曲线过原点时，φ＝kπ，k∈Z，不一定有φ＝π. ∴“φ＝π”是“曲线y＝sin(2x＋φ)过原点”的充分不必要条件．答案：A1．(2012·江门调研)已知命题p：“s in α＝sin β且cos α＝cos β”，命题q：“α＝β”，则命题p是命题q的( )A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：若“α＝β”，则有“sin α＝sin β且cos α＝cos β”，反之若“sin α＝sin β且cos α＝cos β”，则有“α＝2kπ＋β(k∈Z)”，∴p是q的必要不充分条件．故选A.答案：A2．(2013·汕尾二模)设向量a＝(1，x)，b＝(x,4)，则“x＝2”是“a∥b”的( ) A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：∵向量a＝(1，x)，b＝(x,4)，若x＝2，则2a＝b，∴a∥b.若a∥b，则1x＝x4，x＝±2.∴“x＝2”是“a∥b”的充分不必要条件．故选A.答案：A。
第二节 命题及其关系、充分条件与必要条件(有答案)
第二节 命题及其关系、充分条件与必要条件【考纲下载】1．理解命题的概念．2．了解“若p，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系．3．理解必要条件、充分条件与充要条件的含义．1．命题的概念用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题．2．四种命题及其关系(1)四种命题间的相互关系(2)四种命题的真假关系①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；②两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系．3．充分条件与必要条件(1)若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件．(2)若p⇔q，则p与q互为充要条件．(3)若p⇒/ q，且q⇒/ p，则p是q的既不充分也不必要条件．1．一个命题的否命题与这个命题的否定是同一个命题吗？提示：不是，一个命题的否命题是既否定该命题的条件，又否定该命题的结论，而这个命题的否定仅是否定它的结论．2．“p是q的充分不必要条件”与“p的一个充分不必要条件是q”两者的说法相同吗？提示：两者说法不相同．“p的一个充分不必要条件是q”等价于“q是p的充分不必要条件”，显然这与“p是q的充分不必要条件”是截然不同的．1．(2013·福建高考)已知集合A＝{1，a}，B＝{1,2,3}，则“a＝3”是“A⊆B”的( ) A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A 当a＝3时，A＝{1,3}，A⊆B；反之，当A⊆B时，a＝2或3，所以“a＝3”是“A⊆B”的充分而不必要条件．2．命题“若x2＞y2，则x＞y”的逆否命题是( )A．“若x＜y，则x2＜y2”B．“若x＞y，则x2＞y2”C．“若x≤y，则x2≤y2”D．“若x≥y，则x2≥y2”解析：选C 根据原命题和逆否命题的条件和结论的关系得命题“若x2＞y2，则x＞y”的逆否命题是“若x≤y，则x2≤y2”．3．(教材习题改编)命题“如果b2－4ac＞0，则方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个不相等的实根”的否命题、逆命题和逆否命题中，真命题的个数为( )A．0 B．1 C．2 D．3解析：选D 原命题为真，则它的逆否命题为真，逆命题为“若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个不相等的实根，则b2－4ac＞0”，为真命题，则它的否命题也为真．4．命题“若f(x)是奇函数，则f(－x)是奇函数”的否命题是 ( )A．若f(x)是偶函数，则f(－x)是偶函数B．若f(x)不是奇函数，则f(－x)不是奇函数C．若f(－x)是奇函数，则f(x)是奇函数D．若f(－x)不是奇函数，则f(x)不是奇函数解析：选B 原命题的否命题是既否定题设又否定结论，故“若f(x)是奇函数，则f(－x)是奇函数”的否命题是B选项．5．下面四个条件中，使a＞b成立的充分而不必要的条件是 ( )A．a＞b＋1 B．a＞b－1 C．a2＞b2D．a3＞b3解析：选A 由a＞b＋1，且b＋1＞b，得a＞b；反之不成立.考点一四种命题的关系 [例1] (1)命题“若x＞1，则x＞0”的否命题是( )A．若x＞1，则x≤0B．若x≤1，则x＞0C．若x≤1，则x≤0D．若x＜1，则x＜0(2)命题“若x，y都是偶数，则x＋y也是偶数”的逆否命题是( )A．若x＋y是偶数，则x与y不都是偶数B．若x＋y是偶数，则x与y都不是偶数C．若x＋y不是偶数，则x与y不都是偶数D．若x＋y不是偶数，则x与y都不是偶数[自主解答] (1)因为“x＞1”的否定为“x≤1”，“x＞0”的否定为“x≤0”，所以命题“若x＞1，则x＞0”的否命题为：“若x≤1，则x≤0”．(2)由于“x，y都是偶数”的否定表达是“x，y不都是偶数”，“x＋y是偶数”的否定表达是“x＋y不是偶数”，故原命题的逆否命题为“若x＋y不是偶数，则x与y不都是偶数”．[答案] (1)C (2)C【互动探究】试写出本例(2)中命题的逆命题和否命题，并判断其真假性．解：逆命题：若x＋y是偶数，则x，y都是偶数．是假命题．否命题：若x，y不都是偶数，则x＋y不是偶数．是假命题． 【方法规律】判断四种命题间关系的方法(1)由原命题写出其他三种命题，关键要分清原命题的条件和结论，将条件与结论互换即得逆命题，将条件与结论同时否定即得否命题，将条件与结论互换的同时进行否定即得逆否命题．(2)原命题和逆否命题、逆命题和否命题有相同的真假性，解题时注意灵活应用．1．命题p：“若a≥b，则a＋b＞2 012且a＞－b”的逆否命题是 ( )A．若a＋b≤2 012且a≤－b，则a＜bB．若a＋b≤2 012且a≤－b，则a＞bC．若a＋b≤2 012或a≤－b，则a＜bD．若a＋b≤2 012或a≤－b，则a≤b解析：选C “且”的否定是“或”，根据逆否命题的定义知，逆否命题为“若a＋b≤2 012或a≤－b，则a＜b”．2．下列命题中为真命题的是( )A．命题“若x＞y，则x＞|y|”的逆命题B ．命题“若x ＞1，则x 2＞1”的否命题C ．命题“若x ＝1，则x 2＋x －2＝0”的否命题D ．命题“若x 2＞0，则x ＞1”的逆否命题解析：选A A 中逆命题为“若x ＞|y |，则x ＞y ”是真命题；B 中否命题为“若x ≤1，则x 2≤1”是假命题；C 中否命题为“若x ≠1，则x 2＋x －2≠0”是假命题；D 中原命题是假命题，从而其逆否命题也为假命题．考点二命题的真假判断 [例2] (1)下列命题是真命题的是( )A ．若＝，则x ＝y1x 1y B ．若x 2＝1，则x ＝1C ．若x ＝y ，则＝x yD ．若x ＜y ，则x 2＜y 2(2)(2014·济南模拟)在空间中，给出下列四个命题：①过一点有且只有一个平面与已知直线垂直；②若平面外两点到平面的距离相等，则过这两点的直线必平行于该平面；③两条相交直线在同一平面内的射影必为相交直线；④两个相互垂直的平面，一个平面内的任意一直线必垂直于另一平面内的无数条直线．其中正确的是( )A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④[自主解答] (1)取x ＝－1排除B ；取x ＝y ＝－1排除C ；取x ＝－2，y ＝－1排除D ，故选A.(2)对于①，由线面垂直的判定可知①正确；对于②，若点在平面的两侧，则过这两点的直线可能与该平面相交，故②错误；对于③，两条相交直线在同一平面内的射影可以为一条直线，故③错误；对于④，两个相互垂直的平面，一个平面内的任意一条直线必垂直于另一个平面内的无数条与交线垂直的直线，故④正确．综上可知，选D.[答案] (1)A (2)D【方法规律】命题的真假判断方法(1)给出一个命题，要判断它是真命题，需经过严格的推理证明；而要说明它是假命题，只需举一反例即可．(2)由于原命题与其逆否命题为等价命题，有时可以利用这种等价性间接地证明命题的真假．给出下列命题：①函数y ＝sin(x ＋k π)(k ∈R )不可能是偶函数；②已知数列{a n }的前n 项和S n ＝a n －1(a ∈R ，a ≠0)，则数列{a n }一定是等比数列；③若函数f (x )的定义域是R ，且满足f (x )＋f (x ＋2)＝3，则f (x )是以4为周期的周期函数；④过两条异面直线外一点能作且只能作出一条直线和这两条异面直线同时相交．其中所有正确的命题有________(填正确命题的序号)．解析：①当k ＝时，y ＝sin(x ＋k π)就是偶函数，故①错；②当a ＝1时，S n ＝0，则a n 的12各项都为零，不是等比数列，故②错；③由f (x )＋f (x ＋2)＝3，则f (x ＋2)＋f (x ＋4)＝3，相减得f (x )－f (x ＋4)＝0，即f (x )＝f (x ＋4)，所以f (x )是以4为周期的周期函数，③正确；④过两条异面直线外一点，有时没有一条直线能与两条异面直线都相交，故④错．综上所述，正确的命题只有③.答案：③高频考点考点三充 要 条 件 1．充分条件、必要条件是每年高考的必考内容，多以选择题的形式出现，难度不大，属于容易题．2．高考对充要条件的考查主要有以下三个命题角度：(1)判断指定条件与结论之间的关系；(2)探求某结论成立的充要条件、充分不必要条件或必要不充分条件；(3)与命题的真假性相交汇命题．[例3] (1)(2013·北京高考)“φ＝π”是“曲线y ＝sin(2x ＋φ)过坐标原点”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件(2)(2012·四川高考)设a 、b 都是非零向量，下列四个条件中，使＝成立的充分条件a |a|b|b|是( )A ．a ＝－bB ．a ∥bC ．a ＝2bD ．a ∥b 且|a|＝|b|(3)给出下列命题：①“数列{a n }为等比数列”是“数列{a n a n ＋1}为等比数列”的充分不必要条件；②“a ＝2”是“函数f (x )＝|x －a |在区间[2，＋∞)上为增函数”的充要条件；③“m ＝3”是“直线(m ＋3)x ＋my －2＝0与直线mx －6y ＋5＝0互相垂直”的充要条件；④设a ，b ，c 分别是△ABC 三个内角A ，B ，C 所对的边，若a ＝1，b ＝，则3“A ＝30°”是“B ＝60°”的必要不充分条件．其中真命题的序号是________．[自主解答] (1)当φ＝π时，y ＝sin(2x ＋π)＝－sin 2x ，则曲线y ＝－sin 2x 过坐标原点，所以“φ＝π”⇒“曲线y ＝sin(2x ＋φ)过坐标原点”；当φ＝2π时，y ＝sin(2x ＋2π)＝sin 2x ，则曲线y ＝sin 2x 过坐标原点，所以“φ＝π”⇐/“曲线y ＝sin(2x ＋φ)过坐标原点”，所以“φ＝π”是“曲线y ＝sin(2x ＋φ)过坐标原点”的充分而不必要条件．(2)，分别是与a ，b 同方向的单位向量，由＝，得a 与b 的方向相同．而a ∥b 时，a |a |b |b |a |a |b |b |a 与b 的方向还可能相反．故选C.(3)对于①，当数列{a n }为等比数列时，易知数列{a n a n ＋1}是等比数列，但当数列{a n a n ＋1}为等比数列时，数列{a n }未必是等比数列，如数列1,3,2,6,4,12,8显然不是等比数列，而相应的数列3,6,12,24,48,96是等比数列，因此①正确；对于②，当a ≤2时，函数f (x )＝|x －a |在区间[2，＋∞)上是增函数，因此②不正确；对于③，当m ＝3时，相应的两条直线互相垂直，反之，这两条直线垂直时，不一定有m ＝3，也可能m ＝0.因此③不正确；对于④，由题意得＝ba ＝，若B ＝60°，则sin A ＝，注意到b ＞a ，故A ＝30°，反之，当A ＝30°时，有sin B ＝sin Bsin A 312，由于b ＞a ，所以B ＝60°或B ＝120°，因此④正确．综上所述，真命题的序号是①④.32[答案] (1)A (2)C (3)①④充要条件问题的常见类型及解题策略(1)判断指定条件与结论之间的关系．解决此类问题应分三步：①确定条件是什么，结论是什么；②尝试从条件推结论，从结论推条件；③确定条件和结论是什么关系．(2)探究某结论成立的充要、充分、必要条件．解答此类题目，可先从结论出发，求出使结论成立的必要条件，然后再验证得到的必要条件是否满足充分性．(3)充要条件与命题真假性的交汇问题．依据命题所述的充分必要性，判断是否成立即可．1．(2014·西安模拟)如果对于任意实数x ，[x ]表示不超过x 的最大整数，那么“[x ]＝[y ]”是“|x －y |＜1成立”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 若[x ]＝[y ]，则|x －y |＜1；反之，若|x －y |＜1，如取x ＝1.1，y ＝0.9，则[x ]≠[y ]，即“[x ]＝[y ]”是“|x －y |＜1成立”的充分不必要条件．2．已知p ：<1，q ：x 2＋(a －1)x －a >0，若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的1x －1取值范围是( )A ．(－2，－1]B ．[－2，－1]C ．[－3,1]D ．[－2，＋∞)解析：选A 不等式<1等价于－1<0，即>0，解得x >2或x <1，所以p 为1x －11x －1x －2x －1(－∞，1)∪(2，＋∞)．不等式x 2＋(a －1)x －a >0可以化为(x －1)(x ＋a )>0，当－a ≤1时，解得x >1或x <－a ，即q 为(－∞，－a )∪(1，＋∞)，此时a ＝－1；当－a >1时，不等式(x －1)(x ＋a )>0的解集是(－∞，1)∪(－a ，＋∞)，此时－a <2，即－2<a <－1.综上可知a 的取值范围为(－2，－1]．3．设n ∈N *，一元二次方程x 2－4x ＋n ＝0有整数根的充要条件是n ＝________.解析：一元二次方程x 2－4x ＋n ＝0的根为x ＝＝2±，因为x 是整数，4±16－4n24－n 即2±为整数，所以为整数，且n ≤4，又因为n ∈N *，取n ＝1,2,3,4，验证可知4－n 4－n n ＝3,4符合题意，所以n ＝3,4时可以推出一元二次方程x 2－4x ＋n ＝0有整数根．答案：3或4——————————[课堂归纳——通法领悟]——————————— 1个区别——“A 是B 的充分不必要条件”与“A 的充分不 必要条件是B ”的区别 “A 是B 的充分不必要条件”中，A 是条件，B 是结论；“A 的充分不必要条件是B ”中，B 是条件，A 是结论．在进行充分、必要条件的判断中，要注意这两种说法的区别． 2条规律——四种命题间关系的两条规律 (1)逆命题与否命题互为逆否命题；互为逆否命题的两个命题同真假．(2)当判断一个命题的真假比较困难时，可转化为判断它的逆否命题的真假．同时要关注“特例法”的应用． 3种方法——判断充分条件和必要条件的方法 (1)定义法；(2)集合法；(3)等价转化法．方法博览(一)三法破解充要条件问题1．定义法定义法就是将充要条件的判断转化为两个命题——“若p ，则q ”与“若q ，则p ”的判断，根据两个命题是否正确，来确定p 与q 之间的充要关系．[典例1] 设0＜x ＜，则“x sin 2x ＜1”是“x sin x ＜1”的( )π2A ．充要条件 B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件[解题指导] 由0＜x ＜可知0＜sin x ＜1，分别判断命题“若x sin 2x ＜1，则x sin x ＜1”π2与“若x sin x ＜1，则x sin 2x <1”的真假即可．[解析] 因为0<x <，所以0<sin x <1，不等式x sin x <1两边同乘sin x ，可得x sin 2x <sin x ，π2所以有x sin 2x <sin x <1.即x sin x <1⇒x sin 2x <1；不等式x sin 2x <1两边同除以sin x ，可得x sin x <，而由0<sin x <1，知>1，故x sin 1sin x 1sin x x <1不一定成立，即x sin 2x <1⇒/ x sin x <1.综上，可知“x sin 2x <1”是“x sin x <1”的必要不充分条件．[答案] C[点评] 判断p 、q 之间的关系，只需判断两个命题A ：“若p ，则q ”和B ：“若q ，则p ”的真假．(1)若p ⇒q ，则p 是q 的充分条件；(2)若q ⇒p ，则p 是q 的必要条件；(3)若p ⇒q 且q ⇒p ，则p 是q 的充要条件；(4)若p ⇒q 且q ⇒/ p ，则p 是q 的充分不必要条件；(5)若p ⇒/ q 且q ⇒p ，则p 是q 的必要不充分条件；(6)若p ⇒/ q 且q ⇒/ p ，则p 是q 的既不充分也不必要条件．2．集合法集合法就是利用满足两个条件的参数取值所构成的集合之间的关系来判断充要关系的方法．主要解决两个相似的条件难以进行区分或判断的问题．[典例2] 若A ：log 2a <1，B ：x 的二次方程x 2＋(a ＋1)x ＋a －2＝0的一个根大于零，另一根小于零，则A 是B 的( )A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件[解题指导] 分别求出使A 、B 成立的参数a 的取值所构成的集合M 和N ，然后通过集合M 与N 之间的关系来判断．[解析] 由log 2a <1，解得0<a <2，所以满足条件A 的参数a 的取值集合为M ＝{a |0<a <2}；而方程x 2＋(a ＋1)x ＋a －2＝0的一根大于零，另一根小于零的充要条件是f (0)<0，即a －2<0，解得a <2，即满足条件B 的参数a 的取值集合为N ＝{a |a <2}，显然M N ，所以A 是B 的充分不必要条件．[答案] B[点评] 利用集合间的关系判断充要条件的方法记法条件p 、q 对应的集合分别为A 、B 关系A ⊆B B ⊆A A B⊂B A ⊂A ＝B A B 且⊄B A ⊄结论p 是q 的充分条件p 是q 的必要条件p 是q 的充分不必要条件p 是q 的必要不充分条件p 是q 的充要条件p 是q 的既不充分也不必要条件3.等价转化法等价转化法就是在判断含有逻辑联结词“否”的有关条件之间的充要关系时，根据原命题与其逆否命题的等价性转化为形式较为简单的两个条件之间的关系进行判断．[典例3] 已知条件p ：≤－1，条件q ：x 2－x <a 2－a ，且q 的一个充分不必要条4x －1⌝件是p ，则a 的取值范围是________．⌝[解题指导] “q 的一个充分不必要条件是p ”等价于“p 是q 的一个必要不充分⌝⌝条件”．[解析] 由≤－1，得－3≤x <1.由x 2－x <a 2－a ，得(x －a )[x ＋(a －1)]<0，4x －1当a >1－a ，即a >时，不等式的解为1－a <x <a ；当a ＝1－a ，即a ＝时，不等式的解为∅；1212当a <1－a ，即a <时，不等式的解为a <x <1－a .12由q 的一个充分不必要条件是p ，可知p 是q 的充分不必要条件，即p 为q 的一个⌝⌝⌝⌝必要不充分条件，即条件q 对应的x 取值集合是条件p 对应的x 取值集合的真子集．当a >时，由{x |1－a <x <a } {x |－3≤x <1}，得Error!解得<a ≤1；1212当a ＝时，因为空集是任意一个非空集合的真子集，所以满足条件；12当a <时，由{x |a <x <1－a } {x |－3≤x <1}，得Error!解得0≤a <.1212综上，a 的取值范围是[0,1]．[答案] [0,1][点评] 条件和结论带有否定性词语的命题，常转化为其逆否命题来判断真假.p 、q 之间的关系和之间的关系p ⌝q ⌝p 是q 的充分不必要条件是的必要不充分条件p ⌝q ⌝p 是q 的必要不充分条件是的充分不必要条件p ⌝q ⌝p 是q 的充要条件是的充要条件p ⌝q ⌝p 是q 的既不充分也不必要条件是的既不充分也不必要条件p ⌝q ⌝[全盘巩固]1．“若b 2－4ac ＜0，则ax 2＋bx ＋c ＝0没有实根”，其否命题是 ( )A ．若b 2－4ac ＞0，则ax 2＋bx ＋c ＝0没有实根B ．若b 2－4ac ＞0，则ax 2＋bx ＋c ＝0有实根C ．若b 2－4ac ≥0，则ax 2＋bx ＋c ＝0有实根D ．若b 2－4ac ≥0，则ax 2＋bx ＋c ＝0没有实根解析：选C 由原命题与否命题的关系可知，“若b 2－4ac ＜0，则ax 2＋bx ＋c ＝0没有实根”的否命题是“若b 2－4ac ≥0，则ax 2＋bx ＋c ＝0有实根”．2．f (x )，g (x )是定义在R 上的函数，h (x )＝f (x )＋g (x )，则“f (x )，g (x )均为偶函数”是“h (x )为偶函数”的( )A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B 因为f (x )，g (x )均为偶函数，可推出h (x )为偶函数，反之，则不成立．3．(2014·黄冈模拟)与命题“若a ，b ，c 成等比数列，则b 2＝ac ”等价的命题是( )A ．若a ，b ，c 成等比数列，则b 2≠acB ．若a ，b ，c 不成等比数列，则b 2≠acC ．若b 2＝ac ，则a ，b ，c 成等比数列D ．若b 2≠ac ，则a ，b ，c 不成等比数列解析：选D 因为原命题与其逆否命题是等价的，所以与命题“若a ，b ，c 成等比数列，则b 2＝ac ”等价的命题是“若b 2≠ac ，则a ，b ，c 不成等比数列”．4．设a ＞0且a ≠1，则“函数f (x )＝a x 在R 上是减函数”是“函数g (x )＝(2－a )x 3在R 上是增函数”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A “函数f (x )＝a x 在R 上是减函数”的充要条件是p ：0＜a ＜1.因为g ′(x )＝3(2－a )x 2，而x 2≥0，所以“函数g (x )＝(2－a )x 3在R 上是增函数”的充要条件是2－a ＞0，即a ＜2.又因为a ＞0且a ≠1，所以“函数g (x )＝(2－a )x 3在R 上是增函数”的充要条件是q ：0＜a ＜2且a ≠1.显然p ⇒q ，但q ⇒/ p ，所以p 是q 的充分不必要条件，即“函数f (x )＝a x 在R 上是减函数”是“函数g (x )＝(2－a )x 3在R 上是增函数”的充分不必要条件．5．(2014·南昌模拟)下列选项中正确的是( )A ．若x ＞0且x ≠1，则ln x ＋≥21ln x B ．在数列{a n }中，“|a n ＋1|＞a n ”是“数列{a n }为递增数列”的必要不充分条件C ．命题“所有素数都是奇数”的否定为“所有素数都是偶数”D ．若命题p 为真命题，则其否命题为假命题解析：选B 当0＜x ＜1时，ln x ＜0，此时ln x ＋≤－2，A 错；当|a n ＋1|＞a n 时，{a n }不1ln x 一定是递增数列，但若{a n }是递增数列，则必有a n ＜a n ＋1≤|a n ＋1|，B 对；全称命题的否定为特称命题，C 错；若命题p 为真命题，其否命题可能为真命题，也可能为假命题，D 错．6．已知p ：≤1，q ：(x －a )(x －a －1)≤0.若p 是q 的充分不必要条件，则实数2x －1a 的取值范围是( )A. B. C ．(－∞，0)∪ D ．(－∞，0)∪[0，12](0，12)[12，＋∞)(12，＋∞)解析：选A 令A ＝{x |≤1}，得A ＝Error!，令B ＝{x |(x －a )(x －a －1)≤0}，得2x －1B ＝{x |a ≤x ≤a ＋1}，若p 是q 的充分不必要条件，则A B ，需Error!⇒0≤a ≤.127．在命题p 的四种形式(原命题、逆命题、否命题、逆否命题)中，真命题的个数记为f (p )，已知命题p ：“若两条直线l 1：a 1x ＋b 1y ＋c 1＝0，l 2：a 2x ＋b 2y ＋c 2＝0平行，则a 1b 2－a 2b 1＝0”．那么f (p )＝________.解析：原命题p 显然是真命题，故其逆否命题也是真命题，而其逆命题是：若a 1b 2－a 2b 1＝0，则两条直线l 1：a 1x ＋b 1y ＋c 1＝0与l 2：a 2x ＋b 2y ＋c 2＝0平行，这是假命题，因为当a 1b 2－a 2b 1＝0时，还有可能l 1与l 2重合，逆命题是假命题，从而否命题也为假命题，故f (p )＝2.答案：28．下列四个命题：①“若x ＋y ＝0，则x ，y 互为相反数”的逆命题；②“若x 2＋x －6≥0，则x ＞2”的否命题；③在△ABC 中，“A ＞30°”是“sin A ＞”的充分不必要条件；12④“函数f (x )＝tan(x ＋φ)为奇函数”的充要条件是“φ＝k π(k ∈Z )”．其中真命题的序号是________(把真命题的序号都填上)．解析：①原命题的逆命题为：“若x ，y 互为相反数，则x ＋y ＝0”，①是真命题；“若x 2＋x －6≥0，则x ＞2”的否命题是“若x 2＋x －6＜0，则x ≤2”，②也是真命题；在△ABC 中，“A ＞30°”是“sin A ＞”的必要不充分条件，③是假命题；“函数f (x )＝tan(x ＋φ)为奇函数”12的充要条件是“φ＝(k ∈Z )”，④是假命题．k π2答案：①②9．已知α：x ≥a ，β：|x －1|＜1.若α是β的必要不充分条件，则实数a 的取值范围为________．解析：α：x ≥a ，可看作集合A ＝{x |x ≥a }，由|x －1|＜1，得0＜x ＜2，∴β可看作集合B ＝{x |0＜x ＜2}．又∵α是β的必要不充分条件，∴B A ，∴a ≤0.答案：(－∞，0]10．已知函数f (x )是(－∞，＋∞)上的增函数，a ，b ∈R ，对命题“若a ＋b ≥0，则f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b )”．(1)写出否命题，判断其真假，并证明你的结论；(2)写出逆否命题，判断其真假，并证明你的结论．解：(1)否命题：已知函数f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数，a ，b ∈R ，若a ＋b ＜0，则f (a )＋f (b )＜f (－a )＋f (－b )．该命题是真命题，证明如下：∵a ＋b ＜0，∴a ＜－b ，b ＜－a .又∵f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数．∴f (a )＜f (－b )，f (b )＜f (－a )，∴f (a )＋f (b )＜f (－a )＋f (－b )，∴否命题为真命题．(2)逆否命题：已知函数f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数，a ，b ∈R ，若f (a )＋f (b )＜f (－a )＋f (－b )，则a ＋b ＜0.真命题，可证明原命题为真来证明它．∵a ＋b ≥0，∴a ≥－b ，b ≥－a ，∵f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数，∴f (a )≥f (－b )，f (b )≥f (－a )，∴f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b )，故原命题为真命题，所以逆否命题为真命题．11．已知集合A ＝Error!，B ＝{x |x ＋m 2≥1}．若“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分条件，求实数m 的取值范围．解：y ＝x 2－x ＋1＝2＋，∵x ∈，∴≤y ≤2，∴A ＝Error!.32(x －34)716[34，2]716由x ＋m 2≥1，得x ≥1－m 2，∴B ＝{x |x ≥1－m 2}．∵“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分条件，∴A ⊆B ，∴1－m 2≤，解得m ≥或m ≤－，7163434故实数m 的取值范围是∪.(－∞，－34][34，＋∞)12．已知两个关于x 的一元二次方程mx 2－4x ＋4＝0和x 2－4mx ＋4m 2－4m －5＝0，求两方程的根都是整数的充要条件．解：∵mx 2－4x ＋4＝0是一元二次方程，∴m ≠0.又另一方程为x 2－4mx ＋4m 2－4m －5＝0，且两方程都要有实根，∴Error!解得m ∈.[－54，1]∵两方程的根都是整数，故其根的和与积也为整数，∴Error!∴m 为4的约数．又∵m ∈，∴m ＝－1或1.[－54，1]当m ＝－1时，第一个方程x 2＋4x －4＝0的根为非整数；而当m ＝1时，两方程的根均为整数，∴两方程的根均为整数的充要条件是m ＝1.[冲击名校]1．对于函数y ＝f (x )，x ∈R ，“y ＝|f (x )|的图象关于y 轴对称”是“y ＝f (x )是奇函数”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B y ＝|f (x )|的图象关于y 轴对称，但是y ＝f (x )不一定为奇函数，如取函数f (x )＝x 2，则函数y ＝|x 2|的图象关于y 轴对称，但函数f (x )＝x 2是偶函数不是奇函数，即“y ＝|f (x )|的图象关于y 轴对称”⇒/ “y ＝f (x )是奇函数”；若y ＝f (x )是奇函数，图象关于原点对称，所以y ＝|f (x )|的图象关于y 轴对称，即“y ＝f (x )是奇函数”⇒“y ＝|f (x )|的图象关于y 轴对称”，故应选B.2．已知下列各组命题，其中p 是q 的充分必要条件的是( )A ．p ：m ≤－2或m ≥6；q ：y ＝x 2＋mx ＋m ＋3有两个不同的零点B ．p ：＝1；q ：y ＝f (x )是偶函数f (－x )f (x )C ．p ：cos α＝cos β；q ：tan α＝tan βD ．p ：A ∩B ＝A ；q ：A ⊆U ，B ⊆U ，∁U B ⊆∁U A解析：选D 对于A ，由y ＝x 2＋mx ＋m ＋3有两个不同的零点，可得Δ＝m 2－4(m ＋3)＞0，从而可得m ＜－2或m ＞6.所以p 是q 的必要不充分条件；对于B ，由＝1⇒f (－x )＝f (x )⇒y ＝f (x )是偶函数，但由y ＝f (x )是偶函数不能推出f (－x )f (x )＝1，例如函数f (x )＝0，所以p 是q 的充分不必要条件；f (－x )f (x )对于C ，当cos α＝cos β＝0时，不存在tan α＝tan β，反之也不成立，所以p 是q 的既不充分也不必要条件；对于D ，由A ∩B ＝A ，知A ⊆B ，所以∁U B ⊆∁U A ；反之，由∁U B ⊆∁U A ，知A ⊆B ，即A ∩B ＝A .所以p ⇔q .综上所述，p 是q 的充分必要条件的是D.[高频滚动]1．已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |x 2－3x －4＞0}，B ＝{x |2x ＞8}，那么集合(∁U A )∩B ＝( )A ．{x |3＜x ＜4}B ．{x |x ＞4}C ．{x |3＜x ≤4}D ．{x |3≤x ≤4}解析：选C A ＝{x |x 2－3x －4＞0}＝{x |x ＜－1或x ＞4}，所以∁U A ＝{x |－1≤x ≤4}，又B ＝{x |2x ＞8}＝{x |x ＞3}，所以(∁U A )∩B ＝{x |3＜x ≤4}．2．对于任意的两个正数m ，n ，定义运算⊙：当m ，n 都为偶数或都为奇数时，m ⊙n ＝；当m ，n 为一奇一偶时，m ⊙n ＝.设集合A ＝{(a ，b )|a ⊙b ＝6，a ，b ∈N *}，m ＋n2mn 则集合A 中的元素个数为________．解析：(1)当a ，b 都为偶数或都为奇数时，＝6⇒a ＋b ＝12，即a ＋b22＋10＝4＋8＝6＋6＝1＋11＝3＋9＝5＋7＝12，故符合题意的点(a，b)有2×5＋1＝11个．ab(2)当a，b为一奇一偶时，＝6⇒ab＝36，即1×36＝3×12＝4×9＝36，故符合题意的点(a，b)有2×3＝6个．综上可知，集合A中的元素共有17个．答案：17。
高考数学第一轮复习 12 命题及其关系、充分条件与必要条件题组训练 理(含14年优选题,解析)新人教A版(1)
第2讲 命题及其关系、充分条件与必要条件基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1．(2012·重庆卷)命题“若p ，则q ”的逆命题是( )．A ．若q ，则pB ．若綈p ，则綈qC ．若綈q ，则綈pD ．若p ，则綈q 解析 根据原命题与逆命题的关系可得：“若p ，则q ”的逆命题是“若q ，则p ”，故选A.答案 A2．已知a ，b ，c ∈R ，命题“若a ＋b ＋c ＝3，则a 2＋b 2＋c 2≥3”的否命题是( )．A ．若a ＋b ＋c ≠3，则a 2＋b 2＋c 2＜3B ．若a ＋b ＋c ＝3，则a 2＋b 2＋c 2＜3C ．若a ＋b ＋c ≠3，则a 2＋b 2＋c 2≥3D ．若a 2＋b 2＋c 2≥3，则a ＋b ＋c ＝3解析 同时否定原命题的条件和结论，所得命题就是它的否命题． 答案 A3．(2014·浙江部分重点中学3月调研)设a ∈R ，则“a ＝2”是“直线y ＝－ax ＋2与y ＝a 4x －1垂直”的( )．A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 解析 若直线y ＝－ax ＋2与y ＝a 4x －1垂直，则有－a ×a 4＝－1，即a 2＝4，所以a ＝±2.所以“a ＝2”是“直线y ＝－ax ＋2与y ＝a 4x －1垂直”的充分不必要条件，选A. 答案 A4．命题“若x ，y 都是偶数，则x ＋y 也是偶数”的逆否命题是( )．A ．若x ＋y 是偶数，则x 与y 不都是偶数B ．若x ＋y 是偶数，则x 与y 都不是偶数C ．若x ＋y 不是偶数，则x 与y 不都是偶数D ．若x ＋y 不是偶数，则x 与y 都不是偶数 解析 由于“x ，y 都是偶数”的否定表达是“x ，y 不都是偶数”，“x ＋y 是偶数”的否定表达是“x ＋y 不是偶数”，故原命题的逆否命题为“若x ＋y 不是偶数，则x ，y 不都是偶数”，故选C.答案 C5．(2014·台州三校联考)不等式x －1x ＞0成立的一个充分不必要条件是 ( )． A ．－1＜x ＜0或x ＞1 B ．x ＜－1或0＜x ＜1C ．x ＞－1D ．x ＞1 解析 画出直线y ＝x 与双曲线y ＝1x的图象(图略)，两图象的交点为(1,1)，(－1，－1)，依图知x －1x ＞0时，－1＜x ＜0或x ＞1，显然x ＞1⇒x －1x ＞0；但x －1x ＞0 x ＞1.答案 D二、填空题6．(2013·盐城调研)“m <14”是“一元二次方程x 2＋x ＋m ＝0有实数解”的________条件．解析 x 2＋x ＋m ＝0有实数解等价于Δ＝1－4m ≥0，即m ≤14. 答案 充分不必要7．(2014·扬州模拟)下列四个说法：①一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题一定为真；②命题“设a ，b ∈R ，若a ＋b ≠6，则a ≠3或b ≠3”是一个假命题；③“x >2”是“1x <12”的充分不必要条件； ④一个命题的否命题为真，则它的逆命题一定为真．其中说法不正确的序号是________． 解析 ①逆命题与逆否命题之间不存在必然的真假关系，故①错误；②此命题的逆否命题为“设a ，b ∈R ，若a ＝3且b ＝3，则a ＋b ＝6”，此命题为真命题，所以原命题也是真命题，②错误；③1x <12，则1x －12＝2－x 2x <0，解得x <0或x >2，所以“x >2”是“1x <12”的充分不必要条件，故③正确；④否命题和逆命题是互为逆否命题，真假性相同，故④正确．答案 ①②8．已知a ，b ，c 都是实数，则在命题“若a ＞b ，则ac 2＞bc 2”与它的逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题的个数是________．解析 当c 2＝0时，原命题不正确，故其逆否命题也不正确；逆命题为“若ac 2＞bc 2，则a ＞b ”，逆命题正确，则否命题也正确．答案 2三、解答题9．判断命题“若a ≥0，则x 2＋x －a ＝0有实根”的逆否命题的真假．解 原命题：若a ≥0，则x 2＋x －a ＝0有实根．逆否命题：若x 2＋x －a ＝0无实根，则a ＜0. 判断如下：∵x 2＋x －a ＝0无实根，∴Δ＝1＋4a ＜0，∴a ＜－14＜0. ∴“若x 2＋x －a ＝0无实根，则a ＜0”为真命题．10．已知p ：x 2－8x －20≤0，q ：x 2－2x ＋1－a 2≤0(a >0)．若p 是q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．解 p ：x 2－8x －20≤0⇔－2≤x ≤10， q ：x 2－2x ＋1－a 2≤0⇔1－a ≤x ≤1＋a .∵p ⇒q ，qp ， ∴{x |－2≤x ≤10}{x |1－a ≤x ≤1＋a }．故有⎩⎪⎨⎪⎧ 1－a ≤－2，1＋a ≥10，a >0，且两个等号不同时成立，解得a ≥9.因此，所求实数a 的取值范围是[9，＋∞)．能力提升题组(建议用时：25分钟)一、选择题1．命题“若f (x )是奇函数，则f (－x )是奇函数”的否命题是( )．A ．若f (x )是偶函数，则f (－x )是偶函数B ．若f (x )不是奇函数，则f (－x )不是奇函数C ．若f (－x )是奇函数，则f (x )是奇函数D ．若f (－x )不是奇函数，则f (x )不是奇函数解析 否命题既否定题设又否定结论，故选B. 答案 B2．(2014·深圳二次调研)已知x ∈R ，则x ≥1是|x ＋1|＋|x －1|＝2|x |的( )．A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 解析 若x ≥1，则|x ＋1|＋|x －1|＝x ＋1＋x －1＝2x ，2|x |＝2x ，故充分性成立；必要性的判断不易切入，可以考虑采用特值法，取x ＝－1，则|x ＋1|＋|x －1|＝2,2|x |＝2，但是－1不满足x ≥1，故必要性不成立，故选A.答案 A二、填空题3．设n ∈N *，一元二次方程x 2－4x ＋n ＝0有整数根的充要条件是n ＝________. 解析 已知方程有根，由判别式Δ＝16－4n ≥0，解得n ≤4，又n ∈N *，逐个分析，当n ＝1,2时，方程没有整数根；而当n ＝3时，方程有整数根1,3；当n ＝4时，方程有整数根2.答案 3或4三、解答题4．设命题p ：|4x －3|≤1；命题q ：x 2－(2a ＋1)x ＋a (a ＋1)≤0，若綈p 是綈q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围．解 ∵綈p 是綈q 的必要不充分条件，∴綈q ⇒綈p ，且綈p綈q 等价于p ⇒q ，且qp . 记p ：A ＝{x ||4x －3|≤1}＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ 12≤x ≤1，q ：B ＝{x |x 2－(2a ＋1)x ＋a (a ＋1)≤0|＝{x |a ≤x ≤a ＋1}，则A B .从而⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋1≥1，a ≤12，且两个等号不同时成立，解得0≤a ≤12.故所求实数a 的取值范围是⎣⎡⎦⎤0，12.。
高考数学 专题02 命题及其关系、充分条件与必要条件热点题型和提分秘籍 理
专题02 命题及其关系、充分条件与必要条件1．理解命题的概念2．了解“若p ，则q ”形式的命题的逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系 3．理解充分条件、必要条件与充要条件的含义热点题型一 四种命题及其真假判断例1、【2017山东，理3】已知命题p:()x x ∀+＞0,ln 1＞0；命题q ：若a ＞b ，则a b 22＞，下列命题为真命题的是（A ） ∧p q （B ）⌝∧p q （C ） ⌝∧p q （D ）⌝⌝∧p q 【答案】B【提分秘籍】在判断四个命题之间的关系时，首先要分清命题的条件与结论，再比较每个命题的条件与结论之间的关系。
要注意四种命题关系的相对性，一旦一个命题定为原命题，也就相应的有了它的“逆命题”“否命题”“逆否命题”；判定命题为真命题时要进行推理，判定命题为假命题时只需举出反例即可。
对涉及数学概念的命题的判定要从概念本身入手。
【举一反三】已知：命题“若函数f (x )＝e x－mx 在(0，＋∞)上是增函数，则m ≤1”，则下列结论正确的是( ) A ．否命题是“若函数f (x )＝e x －mx 在(0，＋∞)上是减函数，则m ＞1”，是真命题 B ．逆命题是“若m ≤1，则函数f (x )＝e x－mx 在(0，＋∞)上是增函数”，是假命题 C ．逆否命题是“若m ＞1，则函数f (x )＝e x －mx 在(0，＋∞)上是减函数”，是真命题 D ．逆否命题是“若m ＞1，则函数f (x )＝e x －mx 在(0，＋∞)上不是增函数”，是真命题解析：由f (x )＝e x－mx 在(0，＋∞)上是增函数，则f ′(x )＝e x－m ≥0恒成立，∴m ≤1。
∴命题“若函数f (x )＝e x －mx 在(0，＋∞)上是增函数，则m ≤1”是真命题，所以其逆否命题“若m ＞1，则函数f (x )＝e x－mx在(0，＋∞)上不是增函数”是真命题。
答案：D热点题型二充分条件、必要条件的判断例2、【2017天津，理4】设θ∈R，则“ππ||1212θ-<”是“1sin2θ<”的（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件【答案】A【解析】πππ||012126θθ-<⇔<<1sin2θ⇒<，但10,sin2θθ=<，不满足ππ||1212θ-<，所以是充分不必要条件，选A.【提分秘籍】充要条件的三种判断方法(1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断。
2012年高考数学试题分类考点2 命题及其关系、充分条件与必要条件
考点2 命题及其关系、充分条件与必要条件1.（2012·湖南高考文科·Ｔ3）与（2012·湖南高考理科·Ｔ2）相同 命题“若α=4π，则tan α=1”的逆否命题是( )(A)若α≠4π，则tan α≠1 (B)若α=4π，则tan α≠1(C)若tan α≠1，则α≠4π (D)若tan α≠1，则α=4π【解题指南】由逆否命题的概念知，否定原命题的条件“4”做结论，否定原命题的结论“tan α≠1”做条件. 【解析】选C. 原命题的逆否命题是“若t a n 1,则4”，故选C.2.（2012·北京高考理科·Ｔ3）设a ，b ∈R ，“a=O ”是“复数a+bi 是纯虚数”的（ ）(A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件(C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件【解题指南】利用纯虚数的定义及充分必要条件即可求解.【解析】选B.当a=0时，若b=0，则a+bi 为实数；当a+bi 为纯虚数时，a=0,b 0≠.所以“a=O ”是“复数a+bi 是纯虚数”的必要而不充分条件.3.（2012·浙江高考理科·Ｔ3）设a ∈R ，则“a ＝1”是“直线l 1：ax+2y-1=0与直线l 2 ：x+(a+1)y+4=0平行”的（ ）(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件(C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件【解题指南】利用两直线平行的充要条件求出a 的值.【解析】选A. “直线l 1：ax+2y-1=0与直线l 2 ：x+(a+1)y+4=0平行”的充要条件是：由21114a a -=≠+，解得2a =-或1.故“a ＝1”是“直线l 1：ax+2y-1=0与直线l 2 ：x+(a+1)y+4=0平行”的充分不必要条件.4.（2012·天津高考理科·Ｔ2）设R ϕ∈，则“ 0ϕ=”是“()cos()()f x x x R ϕ=+∈为偶函数”的（ ）(A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件(C)充分必要条件 (D)即不充分也不必要条件【解题指南】明确()cos ()f x x x R =∈的性质是解题的关键.【解析】选A.当0ϕ=时，()cos()cos f x x x ϕ=+=是偶函数，而()cos()()f x x x R ϕ=+∈是偶函数不能得出0ϕ=，故A 正确.5.（2012·山东高考理科·Ｔ3）设0a >且1a ≠，则“函数()x f x a =在R 上是减函数”是“函数3()(2)g x a x =-在R 上是增函数”的（ ）（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件（C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件【解题指南】本题主要考查充分、必要条件，以及指数函数与幂函数的单调性.【解析】选 A.因为函数()x f x a =在R 上是减函数，所以10<<a .由函数3()(2)gx ax =-在R 上是增函数可得：，02>-a 即2<a .所以若10<<a ，则2<a ，而若2<a 推不出10<<a .所以“函数()x f x a =在R 上是减函数”是“函数3()(2)gx ax =-在R 上是增函数”的充分不必要条件.6.（2012·浙江高考文科·Ｔ4）设a ∈R ，则“a ＝1”是“直线l 1：ax+2y-1=0与直线l 2：x+2y+4=0平行”的（ ）(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件(C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件【解题指南】由两直线平行的充要条件可求出a.【解析】选C. “a＝1”是“直线l1：ax+2y-1=0与直线l2：x+2y+4=0平行”的充要条件.由21124a-=≠，解得a=1.。
2012高考数学文北师大版一轮复习课后练习2命题及其关系、充分条件与必要条件
2012届高考（文科）数学一轮复习课时作业2命题及其关系、充分条件与必要条件一、选择题1．与命题“若a ∈M ，则b ∉M ”等价的命题是( ) A ．若a ∉M ，则b ∉M B ．若b ∉M ，则a ∈M C ．若a ∉M ，则b ∈MD ．若b ∈M ，则a ∉M解析：因为原命题只与逆否命题是等价命题，所以只需写出原命题的逆否命题即可．故选D.答案：D2．（2011年陕西高考文1）设a ，b 是向量，命题“若a b =-，则||||a b =”的逆命题是 （ ）A ．若a b ≠-，则||||a b ≠B ．若a b =-，则||||a b ≠C ．若||||a b ≠，则a b ≠-D ．若||||a b =，则a b =-解析： 原命题的条件是a b =-，作为逆命题的结论；原命题的结论是||||a b =，作为逆命题的条件，即得逆命题“若||||a b =，则a b =-”，故选D ．若a >－3，则a >－6是真命题，则它的逆否命题也是真命题，它的否命题是：若a ≤－3，则a ≤－6，是假命题，它的逆命题是：若a >－6，则a >－3，是假命题．答案：D3．(2011年湖北八校联考)“a ＝－1”是“直线a 2x －y ＋6＝0与直线4x －(a －3)y ＋9＝0互相垂直”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案：B4．已知p ：x 2－x <0，那么命题p 的一个必要不充分条件是( ) A ．0<x <1 B ．－1<x <1 C.12<x <23D.12<x <2解析：由x 2－x <0得0<x <1.答案：B5．(2010年海口模拟)已知集合A ＝{x ∈R |12<2x <8}，B ＝{x ∈R |－1<x <m ＋1}，若x ∈B 成立的一个充分不必要的条件是x ∈A ，则实数m 的取值范围是( )A ．m ≥2B ．m ≤2C ．m >2D ．－2<m <2解析：A ＝{x ∈R |12<2x <8}＝{x |－1<x <3}∵x ∈B 成立的一个充分不必要条件是x ∈A ∴A B∴m ＋1>3，即m >2. 答案：C6． “函数y ＝(a －1)x ＋b 在区间(－∞，＋∞)上是减函数”是“函数y ＝a x －1(a >0且a ≠1)在区间(－∞，＋∞)上是减函数”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件解析：函数y ＝(a －1)x ＋b 在区间(－∞，＋∞)上是减函数的充要条件是a <1，函数y ＝a x－1(a >0且a ≠1)在区间(－∞，＋∞)上是减函数的充要条件是0<a <1，从而易知选B.答案：B 二、填空题7．若“x ∈[2,5]或x ∈{x |x <1或x >4}”是假命题，则x 的取值范围是________． 解析：x ∉[2,5]且x ∉{x |x <1或x >4}是真命题．由⎩⎨⎧x <2或x >5，1≤x ≤4得1≤x <2. 答案：[1,2)8．(2011年蚌埠市包集中学)设有两个命题： ①不等式2004x ＋4>m >2x －x 2对一切实数x 恒成立；②函数f (x )＝－(7－2m )x 是R 上的减函数．使这两个命题都是真命题的充要条件，用m 可表示为________．解析：由命题①得4≥m >1＝(2x －x 2)min ，由命题②得7－2m >1，即3>m ，从而可得． 答案：1<m <3 9．给出下列命题：①原命题为真，它的否命题为假； ②原命题为真，它的逆命题不一定为真； ③一个命题的逆命题为真，它的否命题一定为真； ④一个命题的逆否命题为真，它的否命题一定为真；⑤“若m >1，则mx 2－2(m ＋1)x ＋m ＋3>0的解集为R ”的逆命题． 其中真命题是________．(把你认为正确命题的序号都填在横线上)解析：原命题为真，而它的逆命题、否命题不一定为真，互为逆否命题同真同假，故①④错误，②③正确．又因为不等式mx 2－2(m ＋1)x ＋m ＋3>0的解集为R ，由⎩⎨⎧ m >0Δ＝4(m ＋1)2－4m (m ＋3)<0⇒⎩⎨⎧m >0m >1⇒m >1. 故⑤正确． 答案：②③⑤ 三、解答题10．(2010年山东济宁模拟)已知命题p ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2≥0，x －10≤0，命题q ：1－m ≤x ≤1＋m ，m >0，若¬p 是¬q 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围．解：p ：x ∈[－2,10]，q ：x ∈[1－m,1＋m ]，m >0，∴[－2,10][1－m,1＋m ]． ∴⎩⎪⎨⎪⎧m >0，1－m ≤－2，1＋m ≥10.∴m ≥9.11．求证：关于x 的方程ax 3＋bx 2＋cx ＋d ＝0有一根为1的充要条件是a ＋b ＝－(c ＋d )． 证明：充分性： ∵a ＋b ＝－(c ＋d )，∴a ＋b ＋c ＋d ＝0，∴a ×13＋b ×12＋c ×1＋d ＝0成立，故x ＝1是方程ax 3＋bx 2＋cx ＋d ＝0的一个根．必要性：关于x 的方程ax 3＋bx 2＋cx ＋d ＝0有一个根为1， ∴a ＋b ＋c ＋d ＝0， ∴a ＋b ＝－(c ＋d )成立．12．(2010年潍坊模拟)已知全集U ＝R ，非空集合A ＝{x |x －2x －(3a ＋1)<0}，B ＝{x |x －a 2－2x －a <0}．(1)当a ＝12时，求(∁U B )∩A ；(2)命题p ：x ∈A ，命题q ：x ∈B ，若q 是p 的必要条件，求实数a 的取值范围． 解：(1)当a ＝12时，A ＝{x |2<x <52}，B ＝{x |12<x <94}，∁U B ＝{x |x ≤12或x ≥94}，(∁U B )∩A ＝{x |94≤x <52}．(2)若q 是p 的必要条件，即p ⇒q ，可知A ⊆B ， 由a 2＋2>a ，得B ＝{x |a <x <a 2＋2}，当3a ＋1>2，即a >13时，A ＝{x |2<x <3a ＋1}，⎩⎨⎧a ≤2a 2＋2≥3a ＋1，解得13<a ≤3－52； 当3a ＋1＝2，即a ＝13时，A ＝Ø，符合题意；当3a ＋1<2，即a <13时，A ＝{x |3a ＋1<x <2}．⎩⎪⎨⎪⎧a ≤3a ＋1a 2＋2≥2，解得－12≤a <13； 综上，a ∈[－12，3－52]．。
高考数学总复习 12 命题及其关系、充分条件与必要条件
()
A．若1x＝1y，则 x＝y
B．若 ＝1，则 x＝1
C．若 x＝y，则 x＝ y D．若 x<y，则 x2<y2
解析：由1x＝1y得 x＝y，A 正确，B、C、D 错误．
答案：A
3．(2011 年福建)若 a∈R，则“a＝2”是“(a－1)(a－2)
＝0”的
()
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
(2)由于“充分条件与必要条件”是四种命题的关系的深 化，它们之间存在着密切的联系，故在判断命题的条件的充要 性时，可考虑“正难则反”的原则，即在正面判断较难时，可 转化为应用该命题的逆否命题进行判断．
1．(2012 年湖南)命题“若 α＝π4，则 tan α＝1”的逆否命
题是
()
A．若 α≠π4，则 tan α≠1 B．若 α＝π4，则 tan α≠1
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：a＝2 时，(a－1)(a－2)＝0.
由(a－1)(a－2)＝0，则 a＝1 或 a＝2.
答案：A
4．设 a，b∈R.“a＝0”是“复数 a＋bi 是纯虚数”的
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
()
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：∵a＝0 且 b≠0 时，a＋bi 是纯虚数，
∴“a＝0” “复数 a＋bi 是纯虚数”，充分性不成
立．反之，“复数 a＋bi 是纯虚数”⇒“a＝0”，必要性成立．故
选 B.
答案：B
5．若 p 是綈 q 的充分不必要条件，则 q 是綈 p 的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：p⇒綈 q⇔q⇒綈 p，故选 A. 答案：A
高考数学试题汇编命题及其关系、充分条件与必要条件
第二节 命题及其关系、充分条件与必要条件高考试题考点一 命题及其关系1.(2012年湖南卷,理2)命题“若α=π4,则tan α=1”的逆否命题是( ) (A)若α≠π4,则tan α≠1 (B)若α=π4,则tan α≠1 (C)若tan α≠1,则α≠π4 (D)若tan α≠1,则α=π4解析:因为“若p,则q ”的逆否命题为“若⌝q,则⌝p ”,所以“若α=π4,则tan α=1”的逆否命题是“若tan α≠1,则α≠π4”. 答案:C 2.(2011年陕西卷,理1)设a,b 是向量,命题“若a=-b,则|a|=|b|”的逆命题是( )(A)若a ≠-b,则|a|≠|b| (B)若a=-b,则|a|≠|b|(C)若|a|≠|b|,则a ≠-b (D)若|a|=|b|,则a=-b解析:将命题的条件与结论互换位置即得其逆命题.答案:D3.(2013年山东卷,理6)在平面直角坐标系xOy 中,M 为不等式组220,210,380x y x y x y --≥⎧⎪+-≥⎨⎪+-≤⎩所表示的区域上一动点,则直线OM 斜率的最小值为( )(A)2 (B)1 (C)-13 (D)-12解析:如图所示,△ABC 及内部即阴影部分为不等式组所表示平面区域,\由210,380x y x y +-=⎧⎨+-=⎩ 得B(3,-1),当M 与B 重合时直线OM 斜率最小.则k OM =-13.故选C. 答案:C考点二 充分条件与必要条件1.(2013年福建卷,理2)已知集合A={1,a},B={1,2,3},则“a=3”是“A ⊆B ”的( )(A)充分而不必要条件(B)必要而不充分条件 (C)充分必要条件(D)既不充分也不必要条件 解析:若a=3,则A={1,3},所以A ⊆B;若A ⊆B,则a=2或a=3.故选A. 答案:A2.(2012年陕西卷,理3)设a,b ∈R,i 是虚数单位,则“ab=0”是“复数a+i b 为纯虚数”的( ) (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件(C)充分必要条件(D)既不充分也不必要条件 解析:若a+i b =a-bi 为纯虚数,则a=0且b ≠0,故ab=0,必要性成立;但b=0时,a-bi 为实数,充分性不成立.故选B.答案:B3.(2013年浙江卷,理4)已知函数f(x)=Acos(ωx+ϕ)(A>0,ω>0, ϕ∈R),则“f(x)是奇函数”是“ϕ=π2”的( )(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件(C)充分必要条件(D)既不充分也不必要条件 解析:若f(x)是奇函数,则f(0)=0, 所以cos φ=0,所以ϕ=π2+k π(k ∈Z), 故ϕ=π2不成立; 若ϕ=π2, 则f(x)=Acos(ωx+π2)=-Asin(ωx),f(x)是奇函数. 所以f(x)是奇函数是φ=π2的必要不充分条件.故选B. 答案:B4.(2012年天津卷,理2)设φ∈R,则“ϕ=0”是“f(x)=cos(x+ϕ)(x ∈R)为偶函数”的( )(A)充分而不必要条件(B)必要而不充分条件 (C)充分必要条件(D)既不充分也不必要条件 解析:若ϕ=0,则f(x)=cos(x+ϕ)=cos x 为偶函数,∴充分性成立;反之,若f(x)=cos(x+ϕ)为偶函数,则ϕ=k π(k ∈Z),∴必要性不成立.故选A.答案:A5.(2011年天津卷,理2)设x,y ∈R,则“x ≥2且y ≥2”是“x 2+y 2≥4”的( ) (A)充分而不必要条件(B)必要而不充分条件 (C)充分必要条件(D)既不充分也不必要条件 解析:由x ≥2且y ≥2可得x 2+y 2≥4,但反之不成立.故选A.答案:A6.(2013年安徽卷,理4)“a≤0”是“函数f(x)=|(ax-1)x|在区间(0,+∞)内单调递增”的( )(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充分必要条件(D)既不充分也不必要条件解析:当a≤0,x∈(0,+∞)时,f(x)=-(ax-1)·x=-ax2+x,易知f(x)是增函数,即“a≤0⇒f(x)=|(ax-1)x|在区间(0,+∞)内单调递增”.反之,因f(x)=|(ax-1)x|在区间(0,+∞)上是增函数,若a=0,则f(x)=x符合要求,若a≠0,则函数y=ax2-x与x轴有两个交点,因y在(0,+∞)上是增函数,需使1a<0,即a<0,从而“f(x)=|(ax-1)x|在区间(0,+∞)上是增函数⇒a≤0”,故选C.答案:C7.(2012年四川卷,理7)设a、b都是非零向量.下列四个条件中,使aa=bb成立的充分条件是( )(A)a=-b (B)a∥b(C)a=2b (D)a∥b且|a|=|b|解析: aa,bb分别是与a,b同方向的单位向量,由aa=bb得a与b的方向相同.而a∥b时,a与b的方向还可能相反.故选C.答案:C8.(2011年陕西卷,理12)设n∈N+,一元二次方程x2-4x+n=0有整数根的充要条件是n= .解析:∵x2-4x+n=0有整数根,∴=2∴4-n为某个整数的平方且4-n≥0,∴n=3或n=4.当n=3时,x2-4x+3=0,得x=1或x=3;当n=4时,x2-4x+4=0,得x=2.∴n=3或n=4.答案:3或4模拟试题考点一命题与四种命题1.(2013天津一中高三上学期月考)有关下列命题的说法正确的是( )(A)命题“若x2=1,则x=1”的否命题为:“若x2=1则x≠1”(B)“x=-1”是“x2-5x-6=0”的必要不充分条件(C)命题“∃x∈R,使得x2+x+1<0”的否定是:“∀x∈R,均有x2+x+1<0”(D)命题“若x=y,则sin x=sin y”的逆否命题为真命题解析:“若x2=1,则x=1”的否命题为“若x2≠1,则x≠1”,即选项A错误.若x2-5x-6=0,则x=6或x=-1,所以“x=-1”是“x2-5x-6=0”的充分不必要条件,所以选项B错误.命题“∃x∈R,使得x2+x+1<0”的否定是“∀x∈R,均有x2+x+1≥0”,所以选项C错误.命题“若x=y,则sin x=sin y”为真命题,所以其逆否命题也是真命题,所以选D.答案:D2.(2012河北石家庄模拟)已知命题p:若x=-1,则向量a=(1,x)与b=(x+2,x)共线,则在命题p的原命题、逆命题、否命题、逆否命题中,真命题的个数为( )(A)0 (B)2 (C)3 (D)4解析:若a∥b,则x=x(x+2),解得x=0或x=-1,因此原命题p为真命题,逆命题为假命题,所以否命题为假命题,逆否命题为真命题.故选B.答案:B考点二充分必要条件1.(2013重庆一中高三上学期第四次月考)“m=-1”是“直线mx+(2m-1)y+2=0和直线3x+my+3=0垂直”的( )(A)必要而不充分条件(B)充分而不必要条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件解析:若两直线垂直,∴3m+m(2m-1)=0,即2m2+2m=0,∴m=0或m=-1,∴m=-1是两直线垂直的充分不必要条件.答案:B2.(2013广东中山市高三上学期期末)“2a>2b”是“log2a>log2b”的( )(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件解析:∵log2a>log2b,∴a>b>0.∵2a>2b,∴a>b.∴2a>2b是log2a>log2b的必要不充分条件.答案:B3.(2013安徽“江南十校”高三联考)已知e1,e2是两个单位向量,其夹角为θ,若向量m=2e1+3e2,则|m|=1的充要条件是( )(A)θ=π(B)θ=π2(C)θ=π3(D)θ=2π3解析:m=2e1+3e2,∴|m|2=4+9+12e1·e2=13+12cos θ.若|m|=1,∴13+12cos θ=1,∴cos θ=-1,又∵θ∈[0,π],∴θ=π.故选A.答案:A4.(2012南昌一模)若“x2-2x-8>0”是“x<m”的必要不充分条件,则m的最大值为. 解析:x2-2x-8>0,∴x>4或x<-2.由题意知{x|x<m}{x|x>4或x<-2},∴m≤-2,即m的最大值为-2.答案:-2综合检测1.(2013重庆育才中学高三12月月考)已知集合A=21xxx⎧⎫+≤⎨⎬-⎩⎭,B={x|-2≤x≤1},则“x∈A”是“x∈B”的( )(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件解析:∵21xx+-≤0,∴-2≤x<1,∴A={x|-2≤x<1},∴A B.∴x∈A是x∈B的充分不必要条件.故选A.答案:A2.(2013上海青浦区高三一模)对于原命题“周期函数不是单调函数”.下列叙述正确的是( )(A)逆命题为“单调函数不是周期函数”(B)否命题为“周期函数是单调函数”(C)逆否命题为“单调函数是周期函数”(D)以上三者均不对解析:周期函数不是单调函数,可以改写为“若一个函数是周期函数,则这个函数不是单调函数”;逆命题为:“不单调的函数是周期函数”;否命题为:“不具有周期性的函数是单调函数”;逆否命题为:“单调函数不是周期函数”.故选D.答案:D3.(2013江苏无锡市高三期末)已知p:|x-a|<4;q:(x-2)(3-x)>0,若p是q的充分不必要条件,则a的取值范围为.解析:∵⌝p是⌝q的充分不必要条件,∴q是p的充分不必要条件.对于p,|x-a|<4,∴a-4<x<a+4,对于q,2<x<3,∴(2,3) (a-4,a+4),∴4243aa-≤⎧⎨+≥⎩(等号不能同时取到),∴-1≤a≤6.答案:[-1,6]。
命题及其关系充分条件与必要条件
命题及其关系、充分条件与必要条件导学目标： 1.能写出一个命题的逆命题、否命题、逆否命题，会分析四种命题的相互关系.2.理解必要条件、充分条件与充要条件的含义．自主梳理 1．命题用语言、符号或式子表达的，可以______________叫做命题，其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做_______． 2．四种命题及其关系 (1)四种命题一般地，用p 和q 分别表示原命题的条件和结论，用⌝p 是⌝q 分别表示p 和q 的否定，于是四种命题的形式就是原命题：若p 则q (p ⇒q )； 逆命题：若q 则p (q ⇒p )；否命题：_______________________；逆否命题：__________________． (2)四种命题间的关系(3)四种命题的真假性①两个命题互为逆否命题，它们有_______的真假性． ②两个命题为逆命题或否命题，它们的真假性没有关系． 3．充分条件与必要条件若p ⇒q ，则p 叫做q 的______条件；若q ⇒p ，则p 叫做q 的______条件；如果p ⇔q ，则p 叫做q 的_______条件． 自我检测1．设集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x x －1<0，B ＝{x |0<x <3}，那么“m ∈A ”是“m ∈B ”的________条件．2．下列选项中，p 是q 的必要不充分条件的是________．(填序号) ①p ：a ＋c >b ＋d ，q ：a >b 且c >d ；②p ：a >1，b >1，q ：f (x )＝a x －b (a >0，且a ≠1)的图象不过第二象限； ③p ：x ＝1.q ：x 2＝x ；④p ：a >1，q ：f (x )＝log a x (a >0，且a ≠1)在(0，＋∞)上为增函数．3. 已知:44;:(2)(3)0p a x a q x x -<<+-->，若⌝p 是⌝q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围为 ．4．与命题“若a ∈M ，则b ∉ M ”等价的命题是____________________． 5．给出下列命题：①原命题为真，它的否命题为假；②原命题为真，它的逆命题不一定为真；③一个命题的逆命题为真，它的否命题一定为真； ④一个命题的逆否命题为真，它的否命题一定为真；⑤“若m >1，则mx 2－2(m ＋1)x ＋m ＋3>0的解集为R ”的逆命题． 其中真命题是________．(把你认为正确命题的序号都填在横线上)探究点一 四种命题及其相互关系例1 写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断其真假． (1)实数的平方是非负数；(2)等底等高的两个三角形是全等三角形；(3)弦的垂直平分线经过圆心，并平分弦所对的弧．解题导引 给出一个命题，判断其逆命题、否命题、逆否命题等的真假时，如果直接判断命题本身的真假比较困难，则可以通过判断它的等价命题的真假来确定．变式迁移1 有下列四个命题：①“若x ＋y ＝0，则x ，y 互为相反数”的逆命题； ②“全等三角形的面积相等”的否命题；③“若q ≤1，则x 2＋2x ＋q ＝0有实根”的逆否命题； ④“不等边三角形的三个内角相等”的逆命题． 其中真命题的序号为________．探究点二 充要条件的判断例2 给出下列命题，试分别指出p 是q 的什么条件． (1)p ：x －2＝0；q ：(x －2)(x －3)＝0.(2)p ：两个三角形相似；q ：两个三角形全等． (3)p ：m <－2；q ：方程x 2－x －m ＝0无实根．(4)p ：一个四边形是矩形；q ：四边形的对角线相等．变式迁移2 （1）下列各小题中，p 是q 的充要条件的是________．(填序号) ①p ：m <－2或m >6；q ：y ＝x 2＋mx ＋m ＋3有两个不同的零点；②p ：f (－x )f (x )＝1；q ：y ＝f (x )是偶函数；③p ：cos α＝cos β；q ：tan α＝tan β； ④p ：A ∩B ＝A ；q ：∁U B ⊆∁U A .(2) 已知0208:2≤--x x p ；)0(012:22>≤-+-m m x x q ，若p ⌝是q ⌝的必 要非充分条件，则实数m 的取值范围是_____________.探究点三充要条件的证明例3设a，b，c为△ABC的三边，求证：方程x2＋2ax＋b2＝0与x2＋2cx－b2＝0有公共根的充要条件是∠A＝90°.转化与化归思想例(14分)已知两个关于x的一元二次方程mx2－4x＋4＝0和x2－4mx＋4m2－4m－5＝0，且m∈Z.求两方程的根都是整数的充要条件．【突破思维障碍】本题涉及到参数问题，先用转化思想将生疏复杂的问题化归为简单、熟悉的问题解决，两方程有实根易想Δ≥0.求出m的范围，要使两方程根都为整数可转化为它们的两根之和与两根之积都是整数．【易错点剖析】易忽略一元二次方程这个条件隐含着m≠0，不易把方程的根都是整数转化为两根之和与两根之积都是整数．1．研究命题及其关系时，要分清命题的题设和结论，把命题写成“如果……，那么……”的形式，当一个命题有大前提时，必须保留大前提，只有互为逆否的命题才有相同的真假性．2．在解决充分条件、必要条件等问题时，要给出p与q是否可以相互推出的两次判断，同时还要弄清是p对q而言，还是q对p而言．还要分清否命题与命题的否定的区别．3.本节体现了转化与划归的数学思想。
2012高考数学总复习第1单元第2节命题及其关系、充分条件与必要条件文新人教B版
第二节 命题及其关系、充足条件与必需条件潍坊联考 ) 命题“若 ab =0，则 a =0 或 b =0”的逆否命题 ()A. 若 a =0 或 b =0，则 ab =0B. 若 ab ，则 a 或 bC. 若 a 且 b ，则 abD. 若 a 或 b ，则 ab广东 ) “ x >0”是“ 3 x2 >0”建立的 () A. 充足非必需条件 B. 必需非充足条件 C. 非充足非必需条件 D. 充要条件 3. 有以下四个命题：①“若 xy =1，则 x 、 y 互为倒数”的抗命题；②“相像三角形的周长相等”的否命题；③“若 b ≤－ 1，则方程 x 2－ 2bx +b 2+b =0 有实根”的逆否命题；④“若 A ∪ B =B ，则 A ? B ”的逆否命题． 此中真命题是 ( )A. ①②B. ②③C. ①③D. ③④4. 一元二次方程 ax 2+2x +1=0 有一个正根和一个负根的充足不用要条件是() A. <0 B. >0 C. <－1 D. >1aaaa5. 以下各小题中， p 是 q 的充要条件的是 ()①p ： m <－ 2 或 m >6， q ： y =x 2+mx +m +3 有两个不一样零点；②p ：fx=1， q ： y =f ( x ) 是偶函数；f x③p ： cos =cos ， q ： tan =tan ；④ p ： A ∩ B =A ； q ： ?U B ? ?U A .A. ①②B. ②③C. ③④D. ①④浙江改编 ) 命题“设 0<x <，若 x sin 2x <1，则 x sin x <1”与它的抗命题，否命2题，逆否命题中，真命题的个数为 ()A. 3B. 2C. 1f ( x )= x 2 D. 0四川改编) 函数 +mx +1 的图象对于直线x =1 对称的充要条件是________．8. 命题“若 x ， y 是奇数，则 x +y 是偶数”的逆否命题是 ________________________ ，它是 ________命题 ( 填“真”或“假” ) ．9. 设 A 、B 、C 三个命题，若 A 是 B 的充要条件， C 是 B 的充足不用要条件， 则 C 是 A 的 ________条件．10. 已知 ={|| - a|<4} ， ={ | 2-4x +3<0} ，且 x ∈ P 是 x∈ 的必需条件，则实数a 的取P xx Q x xQ值范围是 ________.11. 写出命题“若△ ABC 不是等腰三角形，则它的任何两个内角不相等”的抗命题、否命题、逆否命题，再判断这四个命题的真假．黄 冈 中 学 月 考 ) 已 知 p ： x ∈ A ={ x | x 2-2 x - 3≤0， x ∈ R} ， q ： x ∈2 2B ={ x | x -2 mx +m - 9≤0， x ∈ R ，m ∈ R} ．(1) 若 A ∩ B =[1,3] ，务实数 m 的值；(2) 若p 是綈 q 的充足条件，务实数 的取值范围．m专心 爱心 专心 -1-考点操练答案8.若x＋y不是偶数，则x， y 不都是奇数真分析：原命题是真命题，因此其逆否命题也是真命题．9.充足不用要分析：画出关系图，由图可知，C是 A 的充足不用要条件．10. [ － 1,5]分析：∵ |x－|<4 ，∴a－4< <＋4，∵x2－ 4 ＋ 3<0，∴ 1<<3，a x a x x∵x∈ P 是 x∈ Q的必需条件，∴ Q?P，＋4≥3，a∴－ 1≤a≤5.∴a－4≤1，11.抗命题：若△ ABC的任何两个内角不相等，则它不是等腰三角形．( 真命题 )否命题：若△ ABC是等腰三角形，则它存在两个内角相等．( 真命题 )逆否命题：若△ ABC存在两个内角相等，则它是等腰三角形．(真命题)原命题为真命题．12. (1) ＝{x| －1≤≤3，x∈R}，＝{| －3≤ ≤＋3，∈R，∈R}，A xB x mx mxm∵A∩ B＝[1,3]，∴ m－3＝1，即 m＝4.(2)∵ p 是?q 的充足条件，∴ A? ?R B，∴m－3＞3或 m＋3＜－1，即 m＞6或 m＜－4.专心爱心专心-2-。
2012届高考数学一轮复习定时检测 1.2命题及其关系、充分条件与必要条件(带详细解析) 理 新人教A版
§1.2 命题及其关系、充分条件与必要条件一、填空题(本大题共9小题，每小题6分，共54分)1．(2008·湖北理，2)若非空集合A 、B 、C 满足A ∪B ＝C ，且B 不是A 的子集，则下列说法 中正确的是________(填序号)．①“x ∈C ”是“x ∈A ”的充分条件但不是必要条件②“x ∈C ”是“x ∈A ”的必要条件但不是充分条件③“x ∈C ”是“x ∈A ”的充要条件④“x ∈C ”既不是“x ∈A ”的充分条件也不是“x ∈A ”的必要条件解析 由题意知，A 、B 、C 的关系用图来表示．若x ∈C ，不一定有x ∈A ，而x ∈A ，则必有x ∈C ，因此“x ∈C ”是“x ∈A ”的必要条件但不是充分条件．答案 ②2．(2009·重庆改编)命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是 ________________．解析 原命题的逆命题是：若一个数的平方是正数，则它是负数．答案 若一个数的平方是正数，则它是负数3．(2009·苏州调研)命题“若a >b ，则ac 2>bc 2 (a ，b ∈R )”与它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为________个．解析 若a >b ，c 2＝0，则ac 2＝bc 2.∴原命题为假．若ac 2>bc 2，则c 2≠0且c 2>0，则a >b .∴逆命题为真．又∵逆命题与否命题等价，∴否命题也为真．又∵逆否命题与原命题等价，∴逆否命题为假．答案 24．(2009·天津改编)设x ∈R ，则“x ＝1”是“x 3＝x ”的____________条件．解析 当x ＝1时，x 3＝x 成立．若x 3＝x ，x (x 2－1)＝0，得x ＝－1,0,1；不一定得到x ＝1.答案 充分不必要5．(2010·徐州模拟)已知命题p ：关于x 的方程x 2－ax ＋4＝0有实根；命题q ：关于x 的函数y ＝2x 2＋ax ＋4在[3，＋∞)上是增函数．若p 或q 是真命题，p 且q 是假命题，则实数a 的取值范围是__________________．解析 命题p 等价于Δ＝a 2－16≥0，∴a ≤－4或a ≥4；命题q 等价于－a 4≤3，∴a ≥－12. p 或q 是真命题，p 且q 是假命题，则命题p 和q 一真一假．∴实数a 的取值范围为(－4,4)∪(－∞，－12)．答案 (－4,4)∪(－∞，－12)6．(2009·安徽改编)“a ＋c >b ＋d ”是“a >b 且c >d ”的____________条件． 解析 由于a >b ，且c >d ⇒a ＋c >b ＋d ，而a ＋c >b ＋dD ⇒/a >b 且c >d ，所以“a ＋c >b ＋d ”是“a >b 且c >d ”的必要不充分条件．答案 必要不充分7．(2010·青岛模拟)“a <0”是方程“ax 2＋2x ＋1＝0至少有一个负数根”的____________条件．解析 当a <0时，Δ＝4－4a >0，由韦达定理知x 1·x 2＝1a<0，故此一元二次方程有一个正根和一个负根，符合题意；当ax 2＋2x ＋1＝0至少有一个负数根时，a 可以为0，因为当a＝0时，该方程仅有一根为－12，所以a 不一定小于0.由上述推理可知，“a <0”是方程“ax 2 ＋2x ＋1＝0至少有一个负数根”的充分不必要条件．答案 充分不必要8．(2009·广东汕头二模)已知命题p ：方程a 2x 2＋ax －2＝0在[－1,1]上有解；命题q ：只有一个实数x 满足不等式x 2＋2ax ＋2a ≤0.若命题“p 或q ”是假命题，则a 的取值范围是______________________.解析 由a 2x 2＋ax －2＝0，得(ax ＋2)(ax －1)＝0，显然a ≠0，∴x ＝－2a 或x ＝1a. ∵x ∈[－1,1]，故|－2a |≤1或|1a|≤1， ∴|a |≥1.只有一个实数x 满足不等式x 2＋2ax ＋2a ≤0，即抛物线y ＝x 2＋2ax ＋2a 与x 轴只有一个交点，∴Δ＝4a 2－8a ＝0，∴a ＝0或a ＝2.∴命题“p 或q ”为真命题时，|a |≥1或a ＝0.∵命题“p 或q ”为假命题，∴a 的取值范围为{a |－1<a <0或0<a <1}．答案 －1<a <0或0<a <19．(2010·山东聊城模拟)设f (x )＝x 3＋log 3(x ＋x 2＋1)，则对任意实数a 、b ，“a ＋b ≥0”是“f (a )＋f (b )≥0”的__________条件．解析 显然f (x )＝x 3＋log 3(x ＋x 2＋1)为奇函数，且单调递增．于是若a ＋b ≥0，则a ≥－b ，有f (a )≥f (－b )，即f (a )≥－f (b )，从而有f (a )＋f (b )≥0.反之，若f (a )＋f (b )≥0，则f (a )≥－f (b )＝f (－b )，则a ≥－b ，即a ＋b ≥0.故为充要条件．答案 充要二、解答题(本大题共3小题，共46分)10．(14分)(2010·镇江模拟)分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断真假．(1)当c <0时，若ac >bc ，则a <b ；(2)若ab ＝0，则a ＝0或b ＝0.解 (1)逆命题 当c <0时，若a <b ，则ac >bc 真命题否命题 当c <0时，若ac ≤bc ，则a ≥b 真命题逆否命题 当c <0时，若a ≥b ，则ac ≤bc 真命题．(2)逆命题 若a ＝0或b ＝0，则ab ＝0真命题否命题 若ab ≠0，则a ≠0且b ≠0真命题逆否命题 若a ≠0且b ≠0，则ab ≠0真命题．11．(16分)(2009·江苏省华罗庚中学第一次教学质量检测)已知a >0，a ≠1，设p ：函数y ＝log a (x＋1)在(0，＋∞)上单调递减；q ：曲线y ＝x 2＋(2a －3)x ＋1与x 轴交于不同的两点．如果p且q 为假命题，p 或q 为真命题，求a 的取值范围．解 若p 为真，则0<a <1.若q 为真，则Δ>0即(2a －3)2－4>0解得a <12或a >52. ∵p 且q 为假，p 或q 为真，∴p 与q 中有且只有一个为真命题．(a >0且a ≠1)(1)⎩⎪⎨⎪⎧p 真q 假⇒⎩⎪⎨⎪⎧ 0<a <112≤a <1或1<a ≤52⇒12≤a <1 (2)⎩⎪⎨⎪⎧ p 假q 真⇒⎩⎪⎨⎪⎧ a >10<a <12或a >52⇒a >52综上所述，a 的取值范围为[12，1)∪(52，＋∞)． 12．(16分)(2009·江苏省徐州六县一区联考)已知m ∈R ，设p ：不等式|m 2－5m －3|≥3；q ：函数f (x )＝x 3＋mx 2＋(m ＋43)x ＋6在(－∞，＋∞)上有极值．求使p 且q 为真命题的m 的取值范围．解 由已知不等式得m 2－5m －3≤－3①或m 2－5m －3≥3②不等式①的解为0≤m ≤5；不等式②的解为m ≤－1或m ≥6.所以，当m ≤－1或0≤m ≤5或m ≥6时，p 为真命题．对函数f (x )＝x 3＋mx 2＋(m ＋43)x ＋6求导得， f ′(x )＝3x 2＋2mx ＋m ＋43， 令f ′(x )＝0，即3x 2＋2mx ＋m ＋43＝0， 当且仅当Δ>0时，函数f (x )在(－∞，＋∞)上有极值．由Δ＝4m 2－12m －16>0得m <－1或m >4，所以，当m <－1或m >4时，q 为真命题．综上所述，使p 且q 为真命题时，实数m 的取值范围为(－∞，－1)∪(4,5]∪[6，＋∞)．。
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考点2 命题及其关系、充分条件与必要条件
1.（2012·湖南高考文科·Ｔ3）与（2012·湖南高考理科·Ｔ2）相同 命题“若α=4π
，则tan α=1”的逆否命题是( )
(A)若α≠4π，则tan α≠1 (B)若α=4π
，则tan α≠1
(C)若tan α≠1，则α≠4π (D)若tan α≠1，则α=4π
【解题指南】由逆否命题的概念知，否定原命题的条件“a ¹4p
”做结论，否定原命题的结论“tan α≠1”做条件.
【解析】选C. 原命题的逆否命题是“若t a n 1,a ¹则4p
a ¹”，故选C.
2.（2012·北京高考理科·Ｔ3）设a ，b ∈R ，“a=O ”是“复数a+bi 是纯虚数”的（ ）
(A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件
(C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件
【解题指南】利用纯虚数的定义及充分必要条件即可求解.
【解析】选B.当a=0时，若b=0，则a+bi 为实数；当a+bi 为纯虚数时，a=0,b 0≠.
所以“a=O ”是“复数a+bi 是纯虚数”的必要而不充分条件.
3.（2012·浙江高考理科·Ｔ3）设a ∈R ，则“a ＝1”是“直线l 1：ax+2y-1=0
与直线l 2 ：x+(a+1)y+4=0平行”的（ ）
(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件
(C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件
【解题指南】利用两直线平行的充要条件求出a 的值.
【解析】选A. “直线l 1：ax+2y-1=0与直线l 2 ：x+(a+1)y+4=0平行”的充要条件是：由21114a a -=≠+，解得2a =-
或1.故“a ＝1”是“直线l 1：ax+2y-1=0与直线l 2 ：x+(a+1)y+4=0平行”的充分不必要条件.
4.（2012·天津高考理科·Ｔ2）设R ϕ∈，则“ 0ϕ=”是“()cos()()f x x x R ϕ=+∈为偶函数”的（ ）
(A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件
(C)充分必要条件 (D)即不充分也不必要条件
【解题指南】明确()cos ()f x x x R =∈的性质是解题的关键.
【解析】选A.当0ϕ=时，()cos()cos f x x x ϕ=+=是偶函数，而
()cos()()f x x x R ϕ=+∈是偶函数不能得出0ϕ=，故A 正确.
5.（2012·山东高考理科·Ｔ3）设0a >且1a ≠，则“函数()x f x a =在R 上是减函数”是“函数3()(2)g x a x =-在R 上是增函数”的（ ）
（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件
（C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件
【解题指南】本题主要考查充分、必要条件，以及指数函数与幂函数的单调性.
【解析】选 A.因为函数()x f x a =在R 上是减函数，所以10<<a .由函数
3()(2)gx ax =-在R 上是增函数可得：，02>-a 即2<a .所以若10<<a ，则2<a ，
而若2<a 推不出10<<a .所以“函数()x f x a =在R 上是减函数”是“函数
3()(2)gx ax =-在R 上是增函数”的充分不必要条件.
6.（2012·浙江高考文科·Ｔ4）设a ∈R ，则“a ＝1”是“直线l 1：ax+2y-1=0
与直线l 2：x+2y+4=0平行”的（ ）
(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件
(C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件
【解题指南】由两直线平行的充要条件可求出a .
【解析】选C. “a ＝1”是“直线l 1：ax+2y-1=0与直线l 2 ：x+2y+4=0平行”
的充要条件.由
21124a -=≠，解得a =1. 关闭Word 文档返回原板块。