(6.12)基本不等式测试题 -
基本不等式练习题(带答案)
基本不等式1. 若a ∈R ，下列不等式恒成立的是 （ ）A ．21a a +>B ．2111a <+ C ．296a a +> D ．2lg(1)lg |2|a a +>2. 若0a b <<且1a b +=，则下列四个数中最大的是 （ ）Ａ．12Ｂ．22a b + Ｃ．2ab Ｄ．a3. 设x >0,则133y x x=--的最大值为 （ ）Ａ．3 Ｂ．3- Ｃ．3- Ｄ．－14. 设,,5,33x y x y x y ∈+=+R 且则的最小值是( )A. 10B.C.D. 5. 若x , y 是正数，且141x y+=，则xy 有 （ ） Ａ．最大值16 Ｂ．最小值116 Ｃ．最小值16 Ｄ．最大值1166. 若a , b , c ∈R ，且ab +bc +ca =1, 则下列不等式成立的是 （ ）A ．2222a b c ++≥B ．2()3a b c ++≥C ．111abc++≥ D ．a b c ++≤7. 若x >0, y >0,且x +y ≤4,则下列不等式中恒成立的是 （ ）A ．114x y ≤+B ．111x y +≥C 2≥D ．11xy ≥8. a ,b 是正数，则2,2a baba b++三个数的大小顺序是 （ ）Ａ．22a b ab a b ++ 22a b aba b+≤≤+Ｃ．22ab a b a b ++ Ｄ．22ab a ba b +≤+ 9. 某产品的产量第一年的增长率为p ，第二年的增长率为q ，设这两年平均增长率为x ，则有（ ） Ａ．2p q x += Ｂ．2p q x +< Ｃ．2p q x +≤ Ｄ．2p qx +≥ 10. 下列函数中，最小值为4的是 （ ）Ａ．4y x x =+Ｂ．4sin sin y x x=+ (0)x π<< Ｃ．e 4e x x y -=+ Ｄ．3log 4log 3x y x =+11. 函数y =的最大值为 .12. 建造一个容积为18m 3, 深为2m 的长方形无盖水池，如果池底和池壁每m 2 的造价为200元和150元，那么池的最低造价为 元.13. 若直角三角形斜边长是1，则其内切圆半径的最大值是 .14. 若x , y 为非零实数，代数式22228()15x y x yy x y x+-++的值恒为正，对吗？答 .三、解答题, 本大题共4小题，每小题12分，共48分，解答应写出必要的文字说明、证明过程和演算步骤.15. 已知：2222,(,0)x y a m n b a b +=+=>, 求mx +ny 的最大值.16. 设a , b , c (0,),∈+∞且a +b +c =1，求证：111(1)(1)(1)8.a b c ---≥17. 已知正数a , b 满足a +b =1（1）求ab 的取值范围;（2）求1ab ab+的最小值.18. 是否存在常数c ,使得不等式2222x y x yc x y x y x y x y+≤≤+++++对任意正数x , y 恒成立？试证明你的结论.《基本不等式》综合检测一、选择题二．填空题11.12 12.3600 13. 14.对 三、解答题15 16. 略 17. (1)10,4⎛⎤⎥⎝⎦(2)174 18．存在，23c =。
基本不等式专题训练试卷
基本不等式专题训练试卷一、选择题（每题5分，共30分）1. 若a,b∈ R，且ab > 0，则下列不等式中，恒成立的是（）A. a + b≥slant2√(ab)B. (1)/(a)+(1)/(b)>(2)/(√(ab))C. (b)/(a)+(a)/(b)≥slant2D. a^2+b^2>2ab解析：- 选项A：当a <0，b <0时，a + b≥slant2√(ab)不成立，因为a + b<0，2√(ab)>0。
- 选项B：当a <0，b <0时，(1)/(a)+(1)/(b)<0，(2)/(√(ab))>0，所以(1)/(a)+(1)/(b)>(2)/(√(ab))不成立。
- 选项C：因为ab>0，则(b)/(a)>0，(a)/(b)>0，根据基本不等式(b)/(a)+(a)/(b)≥slant2√(frac{b){a}×(a)/(b)} = 2，当且仅当a = b时取等号，该式恒成立。
- 选项D：当a=b时，a^2+b^2=2ab，所以a^2+b^2>2ab不恒成立。
所以答案是C。
2. 已知x>0，y>0，且x + y=1，则(1)/(x)+(1)/(y)的最小值为（）A. 2B. 2√(2)C. 4D. 2 + 2√(2)解析：因为x + y = 1，x>0，y>0，则(1)/(x)+(1)/(y)=(x + y)/(x)+(x +y)/(y)=2+(y)/(x)+(x)/(y)。
根据基本不等式(y)/(x)+(x)/(y)≥slant2√(frac{y){x}×(x)/(y)}=2，当且仅当x=y=(1)/(2)时取等号。
所以(1)/(x)+(1)/(y)=2+(y)/(x)+(x)/(y)≥slant2 + 2=4，答案是C。
3. 设a>0，b>0，若√(3)是3^a与3^b的等比中项，则(1)/(a)+(1)/(b)的最小值为（）A. 8B. 4C. 1D. (1)/(4)解析：因为√(3)是3^a与3^b的等比中项，则(√(3))^2=3^a×3^b=3^a + b，所以a + b = 1。
基本不等式练习题
基本不等式练习题1. 判断下列不等式的真假，并给出证明：a) 对于任意正实数x，有x+1 > xb) 对于任意非零实数x和y，有x^2 > xyc) 对于任意正实数x和y，有x^3 + y^3 > xy解答：a) 不等式x+1 > x对于任意正实数x都成立。
首先，考虑不等式左侧的值x+1，它可以通过将x+1按照加法的定义进行展开，得到x+1 =x + (1 + 0) = (x + 1) + 0 > x + 0 = x。
因此，不等式左侧的x+1的值大于x。
b) 不等式x^2 > xy对于任意非零实数x和y都成立。
首先，考虑不等式的左侧x^2，它可以通过将x^2按照乘法的定义进行展开，得到x^2 = x * x。
由于x是非零实数，所以x*x的值大于0。
另一方面，考虑不等式的右侧xy，由于x和y是非零实数，所以xy的值不可能为0。
因此，不等式左侧x^2的值大于右侧xy。
c) 不等式x^3 + y^3 > xy对于任意正实数x和y都成立。
首先，考虑不等式的左侧x^3 + y^3，它可以通过将x^3 + y^3按照加法的定义进行展开，得到x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 - xy + y^2)。
由于x和y都是正实数，所以x+y的值大于0。
另一方面，考虑不等式的右侧xy，由于x和y是正实数，所以xy的值大于0。
因此，不等式左侧x^3 + y^3的值大于右侧xy。
2. 解决下列不等式，并给出解集：a) |2x - 3| > 4b) (x + 2)(x - 3) < 0解答：a) 首先，将不等式|2x - 3| > 4拆分成两个不等式2x - 3 > 4和2x - 3 < -4。
解第一个不等式得到2x > 7，即x > 3.5。
解第二个不等式得到2x < -1，即x < -0.5。
因此，根据不等式的定义域和解集的定义域，解集为x < -0.5 或 x > 3.5。
基本不等式练习题(带答案)
《基本不等式》同步测试一、选择题，本大题共10小题，每小题4分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若a ∈R ，下列不等式恒成立的是 （ ）A ．21a a +>B ．2111a <+ C ．296a a +> D ．2lg(1)lg |2|a a +>2. 若0a b <<且1a b +=，则下列四个数中最大的是 （ ）Ａ．12Ｂ．22a b + Ｃ．2ab Ｄ．a3. 设x >0,则133y x x=--的最大值为 （ ） Ａ．3 Ｂ．332- Ｃ．3-23 Ｄ．－14. 设,,5,33x y x y x y ∈+=+R 且则的最小值是( )A. 10B. 63C. 46D. 183 5. 若x , y 是正数，且141x y+=，则xy 有 （ ） Ａ．最大值16 Ｂ．最小值116 Ｃ．最小值16 Ｄ．最大值1166. 若a , b , c ∈R ，且ab +bc +ca =1, 则下列不等式成立的是 （ ）A ．2222a b c ++≥B ．2()3a b c ++≥C ．11123abc++≥ D ．3a b c ++≤7. 若x >0, y >0,且x +y ≤4,则下列不等式中恒成立的是 （ ）A ．114x y ≤+B ．111x y +≥ C ．2xy ≥ D ．11xy ≥8. a ,b 是正数，则2,,2a babab a b++三个数的大小顺序是 （ ） Ａ．22a b ab ab a b +≤≤+ Ｂ．22a b abab a b+≤≤+ Ｃ．22ab a b ab a b +≤≤+ Ｄ．22ab a bab a b +≤≤+ 9. 某产品的产量第一年的增长率为p ，第二年的增长率为q ，设这两年平均增长率为x ，则有（ ） Ａ．2p q x += Ｂ．2p q x +< Ｃ．2p q x +≤ Ｄ．2p qx +≥ 10. 下列函数中，最小值为4的是 （ ）Ａ．4y x x =+Ｂ．4sin sin y x x=+ (0)x π<< Ｃ．e 4e x x y -=+ Ｄ．3log 4log 3x y x =+二、填空题, 本大题共4小题，每小题3分，满分12分，把正确的答案写在题中横线上. 11. 函数21y x x =-的最大值为 .12. 建造一个容积为18m 3, 深为2m 的长方形无盖水池，如果池底和池壁每m 2 的造价为200元和150元，那么池的最低造价为 元.13. 若直角三角形斜边长是1，则其内切圆半径的最大值是 .14. 若x , y 为非零实数，代数式22228()15x y x yy x y x+-++的值恒为正，对吗？答 .三、解答题, 本大题共4小题，每小题12分，共48分，解答应写出必要的文字说明、证明过程和演算步骤. 15. 已知：2222,(,0)x y a m n b a b +=+=>, 求mx +ny 的最大值.16. 设a , b , c (0,),∈+∞且a +b +c =1，求证：111(1)(1)(1)8.a b c ---≥17. 已知正数a , b 满足a +b =1（1）求ab 的取值范围;（2）求1ab ab+的最小值. 18. 是否存在常数c ,使得不等式2222x y x yc x y x y x y x y+≤≤+++++对任意正数x , y 恒成立？试证明你的结论.《基本不等式》综合检测一、选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案ABCDCABCCC二．填空题 11.12 12.3600 13. 212- 14.对 三、解答题15．ab 16. 略 17. (1)10,4⎛⎤⎥⎝⎦(2)174 18．存在，23c =。
基本不等式练习题(含答案)
基本不等式11 .函数y=x+ -(x>0)的值域为().XA. 2] U [2,+x)B. (0,+x)C. [2 ,+x) D . (2,+x)a +b i2. 下列不等式：①a2+ 1>2a；②- -<2；③/ +三 > 1,其中正确的个数是p ab x 十3().A. 0 B . 1 C. 2 D . 33. 若a>0, b>0,且a + 2b — 2 = 0,则ab的最大值为().1B. 1C. 2D. 414. (2011重庆)若函数f(x) = x+ (x>2)在x= a处取最小值，则a=( ).X —2A. 1+ 2B. 1+ 3C. 3D. 4t2—4t+ 15. 已知t>0,则函数y= t 的最小值为利用基本不等式求最值1 1【例1】?(1)已知x>0, y>0,且2x+y= 1,则x + y的最小值为X y2x2(2)已知0v x v 5,贝U y= 2x—5x2的最大值为________ .⑶若x, y€ (0,+x)且2x+ 8y—xy= 0,贝U x+ y的最小值为_________ .利用基本不等式证明不等式【例2] ?已知a>0, b>0, c>0,求证：bC+ 学+ ab>a+ b+ c.a b c3 1（2010四川）设a>b>0,贝U a2+ + 的最小值是（）.ab a a—bC. 3⑵当x>0时，贝U f(x)= x2+ 1的最大值为1【训练1】(1)已知x> 1,则f(x) = x+一的最小值为_____________x—I【训练2】已知a>0, b>0, c>0,且a+ b+ c= 1.1 1 1 求证：一+匚+ 9.a b c利用基本不等式解决恒成立问题x【例3】?（2010 山东）若对任意x>0, x2+3x+［三a恒成立，则a的取值范围是 3 1【训练3】（2011宿州模拟）已知x>0, y>0, xy= x+ 2y,若xy>m—2恒成立, 则实数m的最大值是________ .考向三利用基本不等式解实际问题【例3】？某单位建造一间地面面积为12 m2的背面靠墙的矩形小房，由于地理位置的限制，房子侧面的长度x不得超过5 m.房屋正面的造价为400元/m2,房屋侧面的造价为150元/m2,屋顶和地面的造价费用合计为 5 800元，如果墙高为3m,且不计房屋背面的费用•当侧面的长度为多少时，总造价最低？双基自测1.答案 C1 12•解析 ①②不正确，③正确，/ +孑亍二(x 2+ 1) + 齐1 — 1>2—1二1.答案 B13. 解析 v a >0, b >0, a + 2b = 2,二 a + 2b = 2>2.2ab ，即 ab <㊁.答案 A4. 解析 当 x >2 时，x — 2>0, f(x)= (x — 2) + x-—2 + 2>2 寸 x — 2 X ^—^+ 21二4,当且仅当x — 2二严(x >2),即x = 3时取等号，即当f(x)取得最小值时，xx ——2 =3,即a = 3.答案 C t 2—4t + 1 15.解析 v t >0,二 y = t = t +1 — 4>2 — 4= — 2,当且仅当t = 1 时取等 号.答案 —2【例 1】解析(1) v x >0, y >0,且 2x +y = 1,••」+J4 + 4= 3 + y +生3+ 2頁.当且仅当匕空时，取等号.x y x y x y x y2x 2 2 12x十w 2= 1,当且仅当x = J 即x = 1时取等号.答 x +x案(1)3+ 2 2 (2)1 1【训练 1].解析(1) V x > 1,二 f(x)= (x — 1) + — + 1>2+ 1 = 3 当且仅当 xx — 12 1=2 时取等号.(2)y = 2x — 5X 2= x(2 - 5x) = 55x(2 — 5X),5x + 2 一 5x 1—5x >0,.°. 5x(2 — 5x) < 2= 1 ,• y <5 当且仅当 5x = 2— 5x ,2 511 2 8即 x =5时，y max = 5.(3)由 2x + 8y — xy = 0,得 2x + 8y =xy ,「.~ + ~ = 1, 8 2 8y 2x 4y x /4y x• x + y = (x + y) + = 10+ +—= 10 + 2 +_ > 10+ 2X 2X = 18,x y x y x y . x y ， 当且仅当 4y = x，即 x = 2y 时取等号，又 2x + 8y — xy = 0,「. x = 12, y = 6, xy•••当 x = 12, y = 6 时，x + y 取最小值 18.答案 (1)3 (2# (3)18【例 2】证明■/a >0, b >0, c >0, • bc + 甲》2 bcca= 2c ； bc + ab >2a b \ a b a c：加2b ； -+瞥2 - Ob - 2a.以上三式相加得：2齐?+学>2(abc ca ab , + b + c)，即 + , + 》a + b + c. ’ a b c111a + b + c 【训练2] 证明 ■/ a >0, b >0, c >0,且 a + b + c = 1,二一+乙+一= +a b c a a+七+a+± 二 3+b +c +b +?+a +」3+ ?+a +a +a + e +b b c a a b b c c a b a c b c⑵ v x >0,「. f(x) = x 2+ 2一••• 5x v 2,21> 3+ 2+ 2+ 2= 9,当且仅当a = b = c =3时，取等号. X X 解析 若对任意x > 0x 2+ 3x + [ w a 恒成立，只需求得 尸x 2 + 3x +〔的最大值即 1 ■ x x 1 5当且仅当 可，因为 x > 0,所以 y =x 2+ 3x + 1 = —口W x +—+3 2 x1 1 等号，所以a 的取值范围是5，+^答案 5，+^ 【训练3】解析 由x >0,y >0,xy = x + 2y >2 - 2xy,得 xy > 8,于是由 恒成立，得m — 2<8, m < 10,故m 的最大值为10.答案 10 一 12 【例3.解 由题意可得，造价y = 3(2x X 150+ — X400)+ 5 800= 900 x x = 1时取 m — 2< xy x +16 + 5 x 16 800(0< x < 5),贝U y = 900 x +丁 + 5 800>900X 2入x =号，即x =4时取等号.故当侧面的长度为4米时，总造价最低.正解 Ta >0,b >0, 且 a + b = 1, 1,2 b 2a b 2a a + b (a +b )=1+ 2 + a + 3 + 2 aF = 3 + 22・a +b =1, b = 2a a = b ，当且仅当 【示例】. 1 2 •••_+==a b当且仅当 x X16+ 5 800= 13 000(元),a = 2—1, 1 2即b =2—2时，a +b 的最小值为3+2 2.1 1 1 1 【试一试】 尝试解答］a2 +1 + ~ = a 2 — ab + ab +1 + ~ = a(a — b)+ aba a —b ab a a — b —+ ab+W >2 气 /a a — b •+ 2、/ab^= 2+ 2= 4.当且仅当 a(a — a a — b ab . a a — b ；ab ' 1 1b)=—且ab = ab ，即a = 2b 时，等号成立.答案 D a a — b ab。
基本不等式50练(答案)
基本不等式（答案）【习题1】已知实数0,>y x 且2=xy ，则8482233+++y x y x 的最小值是 ．【答案】1【习题2】若实数0>y ,x 且1=xy ，则y x 2+的最小值是 ，yx y x 2422++的最小值是 ．【答案】 22，2【习题3】已知,x y 满足方程210x y --=，当x >353712x y x y m x y +-+-=+--的最小值为_______. 【答案】8【习题4】已知y x ,为实数，且1)2)((=-+y x y x ，则222y x +的最小值为_______.【答案】3322+【习题5】已知a b ∈R ，，45222=+-b ab a ，则a b +的取值范围为 .【答案】]22,22[-【习题6】已知a b ∈R ，，45222=+-b ab a ，则ab 的最小值为 .【答案】12【习题7】若实数y x ,满足02422=+++y y x x ，则y x +2的范围是 ． 【答案】]0,2[-【习题8】ABC ∆的三边,,a b c 成等差，且22221a b c ，则b 的取值范围是 ．【答案】]7,6(【习题9】已知,a b <二次不等式20ax bx c ++≥对任意实数x 恒成立，则24a b cM b a++=-的最小值为___________ 【答案】8【习题10】实数,x y 满足224545x xy y -+=，设22S x y =+，则maxmin11S S += ．【答案】85【习题11】非零向量,a b 夹角为60，且1a b -=，则a b +的取值范围为 ． 【答案】]3,1(【习题12】已知0,0<>b a ，且9)12)(14(-=+-b a ，若06)2(2≥---abx x b a 总成立，则正实数x的取值范围是_______. 【答案】),1[+∞【习题13】正实数y x ,满足111=+yx ，则2210x y xy +-的最小值为 . 【答案】36-【习题14】已知实数y x ,满足,32,0,0=+>>y x y x 则xyyx +3的最小值为 ，xy y x ++224 的最小值为 ． 【答案】3627+；845【习题15】已知直线21ax by +=（其中0ab ≠）与圆221x y +=相交于A 、B 两点，O 为坐标原点，且0120AOB ∠=，则2212a b +的最小值为 . 【答案】2【习题16】设R b a ∈,，满足43=+-ab b a ，则33-+b a 的最小值是______． 【答案】332-【习题17】已知正实数a ，b 满足：1a b +=，则222a ba b a b +++的最大值是 . 【答案】3332+ 【习题18】已知正数y x ,满足1≤xy ，则yx M 21111+++=的最小值为________. 【答案】222-【习题19】已知0>a ，0>b ，且12122=+++ba a ，则b a +的最小值是_______，此时=a _______. 【答案】212+；2【习题20】已知0,0a b >>，且1a b +=，则1122a b ⎛⎫⎛⎫++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的最小值是 ；221ab a +的最大值是 . 【答案】16；413- 【习题21】已知实数x ，y 满足3xy x y -+=，且1x >，则(8)y x +的最小值是 （ ） A ．33 B ．26 C ．25 D ．21 【答案】C【习题22】若实数,x y 满足2x y xy -+≥，则x y +的最小值是 . 【答案】2【习题23】已知实数a ，b 满足：1,2a b R ≥∈，且||1a b +≤，则12b a +的取值范围是 ． 【答案】]23,12[-【习题24】实数y x ,满足22222=+-y xy x ，则222y x +的最小值是________.【答案】224-【习题25】已知实数R b a ∈,，若322=+-b ab a ，则1)1(222+++b a ab 的值域为 ．【答案】]716,0[【习题26】设b a ,为正实数，则ba bb a a +++2的最小值为 . 【答案】222-【习题27】若正数,x y 满足35x y xy +=，则34x y +的最小值是 ． 【答案】5【习题28】若存在正实数y ，使得yx x y xy 451+=-，则实数x 的最大值为_________. 【答案】51 【习题29】若0x >，0y >，则xyy x x ++2的最小值为___________．【答案】212-【习题30】已知正数y x ,满足yx yx xy 3+-=，则y 的最大值为__________，当且仅当___________.【答案】31；1=x 【习题31】已知,1,0=+>>b a b a 则bb a 214+-的最小值等于 . 【答案】9【习题32】已知)0,0(24122<<-+=y x xy y x ，则y x 2+的取值范围为__________.【答案】)1,2[--【习题33】已知实数y x ,满足322=++y xy x ，则xy 的最小值为________，22y xy x +-的最小值为_______. 【答案】3-，1【习题34】已知实数b a ,满足122=+-b ab a ，则)(|2|b a b a +-的取值范围是________.【答案】]3,3[-【习题35】已知0>a ，0>b ，且满足ab a b a +=+23，则b a +2的最小值为________.【答案】223+【习题36】已知非负实数y x ,满足92422222=+++y x y xy x ，则xy y x ++)(22的最大值为 .【答案】241+【习题37】若164622=++xy y x ，R y x ∈,，则22y x -的最大值为_______.【答案】51【习题38】设正实数y x ,，则21||y xy x ++-的最小值为（ ） A. 47B. 2233C. 2D.32【答案】A【习题39】已知b a ,均为正数，且1=+b a ，1>c ，则12)121(2-+⋅-+c c ab a 的最小值为_________. 【答案】23【习题40】设实数0,0>>y x 且满足k y x =+，则使不等式2)22()1)(1(kk y y x x +≥++恒成立的k 的最大值为______. 【答案】522+【习题41】若1≥≥≥z y x ，且4=xyz ，则222222)(log )(log )(log z y x ++的取值范围是______.【答案】]4,34[【习题42】已知正实数y x ,满足4232=++y x xy ，则y x xy 45++的最小值为________. 【答案】55【习题43】已知实数y x ,满足yxyx9933+=+，则yx yx 332727++的取值范围是_________. 【答案】9[1,]8【习题44】已知实数b a ,满足1=ab ，且32≥>b a ，则22ba ba +-的最大值为___________. 【答案】3097【习题45】若正数b a ,满足111a b +=，则1911a b +--的最小值为( ) A ．1 B ．6 C ．9 D ．16【答案】B【习题46】若正实数,x y 满足244x y xy ++=，且不等式2(2)22340x y a a xy +++-≥恒成立，则实数a 的取值范围是 ． 【答案】(]5,3,2⎡⎫-∞-+∞⎪⎢⎣⎭【习题47】已知y x ,为正实数，若12=+y x ，则xyxy x ++22的最小值为 ．【答案】222+【习题48】若正数y x ,满足12422=+++y x y x ，则xy 的最大值为_________.【答案】432- 【习题49】若实数a 和b 满足132923242++=⨯+⋅-⨯babbaa， 则ba 32+的取值范围为__________________． 【答案】]2,1(【习题50】设+∈R b a ,,4222=-+b a b a ，则ba 11+的最小值是 【答案】24。
基本不等式训练习题
基本不等式训练习题一、选择题1. 若a > b，则下列不等式中正确的是（）A. a b > 0B. a + b > 0C. a² > b²D. 1/a < 1/b2. 已知x > y，则下列不等式中一定成立的是（）A. x y > 0B. x² > y²C. 1/x < 1/yD. x + 1 > y + 13. 若a < b < 0，则下列不等式中正确的是（）A. a² < b²B. a b > 0C. ab > 0D. 1/a > 1/b二、填空题1. 若a > b，则a b __________ 0。
2. 已知x < y，且x, y均为正数，则1/x __________ 1/y。
3. 若a < b < 0，则a² __________ b²。
三、解答题1. 已知x > y，证明：x + 1 > y + 1。
2. 已知a > b，且a, b均为正数，证明：a² > b²。
3. 若a < b < 0，证明：ab > 0。
4. 已知x, y为实数，且x + y > 0，证明：x² + y² > 0。
5. 已知a, b为正数，且a > b，证明：1/a < 1/b。
四、综合题1. 已知x, y为实数，且x > y，求证：x² y² > 0。
2. 若a, b, c为实数，且a > b > c，证明：a c > b c。
3. 已知a, b为正数，且a > b，求证：a² + b² > 2ab。
4. 若x, y为实数，且x + y > 0，证明：x² + 2xy + y² > 0。
高考数学《基本不等式》真题练习含答案
高考数学《基本不等式》真题练习含答案一、选择题1．函数y ＝2x ＋22x 的最小值为( )A ．1B ．2C ．22D ．4 答案：C解析：因为2x >0，所以y ＝2x ＋22x ≥22x ·22x ＝22 ，当且仅当2x ＝22x ，即x ＝12时取“＝”．故选C.2．若a >0，b >0且2a ＋b ＝4，则1ab的最小值为( )A ．2B ．12C ．4D ．14答案：B解析：∵a >0，b >0，∴4＝2a ＋b ≥22ab (当且仅当2a ＝b ，即：a ＝1，b ＝2时等号成立)，∴0<ab ≤2，1ab ≥12 ，∴1ab 的最小值为12.3．下列结论正确的是( )A ．当x >0且x ≠1时，lg x ＋1lg x≥2B ．当x ∈⎝⎛⎦⎤0，π2 时，sin x ＋4sin x的最小值为4 C ．当x >0时，x ＋1x ≥2D ．当0<x ≤2时，x －1x无最大值答案：C解析：当x ∈(0，1)时，lg x <0，故A 不成立，对于B 中sin x ＋4sin x≥4，当且仅当sinx ＝2时等号成立，等号成立的条件不具备，故B 不正确；D 中y ＝x －1x在(0，2]上单调递增，故当x ＝2时，y 有最大值，故D 不正确；又x ＋1x ≥2x ·1x＝2(当且仅当x ＝1x即x ＝1时等号成立).故C 正确． 4．下列不等式恒成立的是( )A ．a 2＋b 2≤2abB ．a 2＋b 2≥－2abC ．a ＋b ≥2|ab |D ．a ＋b ≥－2|ab | 答案：B解析：对于A ，C ，D ，当a ＝0，b ＝－1时，a 2＋b 2＞2ab ，a ＋b ＜2ab ，a ＋b ＜－2|ab | ，故A ，C ，D 错误；对于B ，因为a 2＋b 2＝|a |2＋|b |2≥2|a |·|b |＝2|ab |≥－2ab ，所以B 正确．故选B.5．若x >0，y >0，x ＋2y ＝1，则xy2x ＋y的最大值为( )A ．14B ．15C ．19D ．112答案：C解析：x ＋2y ＝1⇒y ＝1－x 2 ，则xy2x ＋y ＝x －x 23x ＋1 .∵x >0，y >0，x ＋2y ＝1，∴0<x <1.设3x ＋1＝t (1<t <4)，则x ＝t －13，原式＝－t 2＋5t －49t ＝59 －⎝⎛⎭⎫t 9＋49t ≤59 －2481 ＝19 ，当且仅当t 9 ＝49t ，即t ＝2，x ＝13 ，y ＝13 时，取等号，则xy 2x ＋y 的最大值为19 ，故选C.6．已知a >0，b >0，c >0，且a 2＋b 2＋c 2＝4，则ab ＋bc ＋ac 的最大值为( )A ．8B ．4C ．2D ．1 答案：B解析：∵a 2＋b 2≥2ab ，a 2＋c 2≥2ac ，b 2＋c 2≥2bc ，∴2(a 2＋b 2＋c 2)≥2(ab ＋bc ＋ca )，∴ab ＋bc ＋ca ≤a 2＋b 2＋c 2＝4.7．若直线x a ＋yb＝1(a >0，b >0)过点(1，1)，则a ＋b 的最小值等于( )A ．2B ．3C ．4D ．5 答案：C解析：因为直线x a ＋y b ＝1(a >0，b >0)过点(1，1)，所以1a ＋1b＝1.所以a ＋b ＝(a ＋b )·⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＝2＋a b ＋b a ≥2＋2a b ·b a ＝4，当且仅当a b ＝b a 即a ＝b ＝2时取“＝”，故选C.8．若向量a ＝(x －1，2)，b ＝(4，y )，a 与b 相互垂直，则9x ＋3y 的最小值为( ) A ．12 B ．2 C ．3 D ．6 答案：D解析：∵a ⊥b ，∴a ·b ＝(x －1，2)·(4，y )＝4(x －1)＋2y ＝0，即2x ＋y ＝2， ∴9x ＋3y ＝32x ＋3y ≥232x ＋y ＝232 ＝6，当且仅当2x ＝y ＝1时取等号，∴9x ＋3y 的最小值为6.9．用一段长8 cm 的铁丝围成一个矩形模型，则这个模型面积的最大值为( ) A ．9 cm 2 B ．16 cm 2 C ．4 cm 2 D ．5 cm 2 答案：C解析：设矩形模型的长和宽分别为x cm ，y cm ，则x ＞0，y ＞0，由题意可得2(x ＋y )＝8，所以x ＋y ＝4，所以矩形模型的面积S ＝xy ≤（x ＋y ）24 ＝424 ＝4(cm 2)，当且仅当x ＝y ＝2时取等号，所以当矩形模型的长和宽都为2 cm 时，面积最大，为4 cm 2.故选C.二、填空题10．已知a ，b ∈R ，且a －3b ＋6＝0，则2a ＋18b 的最小值为________.答案：14解析：∵a －3b ＋6＝0，∴ a －3b ＝－6，∴ 2a ＋18b ＝2a ＋2－3b ≥22a ·2－3b ＝22a －3b＝22－6 ＝14 .当且仅当2a ＝2－3b ，即a ＝－3，b ＝1时，2a ＋18b 取得最小值为14.11．已知函数f (x )＝4x ＋ax(x >0，a >0)在x ＝3时取得最小值，则a ＝________．答案：36解析：∵x >0，a >0，∴4x ＋a x ≥24x ·ax＝4 a ，当且仅当4x ＝a x ，即：x ＝a 2 时等号成立，由a2 ＝3，a ＝36.12．[2024·山东聊城一中高三测试]已知a >0，b >0，3a ＋b ＝2ab ，则a ＋b 的最小值为________．答案：2＋3解析：由3a ＋b ＝2ab ， 得32b ＋12a＝1， ∴a ＋b ＝(a ＋b )⎝⎛⎭⎫32b ＋12a ＝2＋b 2a ＋3a2b ≥2＋2b 2a ·3a 2b ＝2＋3 (当且仅当b 2a ＝3a2b即b ＝3 a 时等号成立).[能力提升]13．[2024·合肥一中高三测试]若a ，b 都是正数，则⎝⎛⎭⎫1＋b a ⎝⎛⎭⎫1＋4ab 的最小值为( ) A ．7 B ．8C ．9D ．10 答案：C解析：⎝⎛⎭⎫1＋b a ⎝⎛⎭⎫1＋4a b ＝5＋b a ＋4ab≥5＋2b a ·4a b ＝9(当且仅当b a ＝4ab即b ＝2a 时等号成立).14.(多选)已知a ＞0，b ＞0，且a ＋b ＝1，则( )A ．a 2＋b 2≥12B ．2a －b ＞12C ．log 2a ＋log 2b ≥－2D ． a ＋ b ≤2 答案：ABD解析：对于选项A ，∵a 2＋b 2≥2ab ，∴2(a 2＋b 2)≥a 2＋b 2＋2ab ＝(a ＋b )2＝1，∴a 2＋b 2≥12，正确；对于选项B ，易知0＜a ＜1，0＜b ＜1，∴－1＜a －b ＜1，∴2a －b ＞2－1＝12，正确；对于选项C ，令a ＝14 ，b ＝34 ，则log 214 ＋log 234 ＝－2＋log 234 ＜－2，错误；对于选项D ，∵2 ＝2（a ＋b ） ，∴[2（a ＋b ） ]2－( a ＋ b )2＝a ＋b －2ab ＝( a － b )2≥0，∴ a ＋ b ≤2 ，正确．故选ABD.15．(多选)已知a ，b ，c 为正实数，则( )A ．若a ＞b ，则ab ＜a ＋c b ＋cB ．若a ＋b ＝1，则b 2a ＋a 2b 的最小值为1C ．若a ＞b ＞c ，则1a －b ＋1b －c ≥4a －cD ．若a ＋b ＋c ＝3，则a 2＋b 2＋c 2的最小值为3 答案：BCD解析：因为a >b ，所以a b －a ＋c b ＋c ＝c （a －b ）b （b ＋c ） ＞0，所以ab ＞a ＋c b ＋c ，选项A 不正确；因为a ＋b ＝1，所以b 2a ＋a 2b ＝⎝⎛⎭⎫b 2a ＋a ＋⎝⎛⎭⎫a 2b ＋b －(a ＋b )≥2b ＋2a －(a ＋b )＝a ＋b ＝1，当且仅当a ＝b ＝12 时取等号，所以b 2a ＋a 2b的最小值为1，故选项B 正确；因为a ＞b ＞c ，所以a －b ＞0，b －c ＞0，a －c ＞0，所以(a －c )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －b ＋1b －c ＝[]（a －b ）＋（b －c ）⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －b ＋1b －c ＝2＋b －c a －b ＋a －b b －c≥2＋2b －c a －b ·a －bb －c＝4，当且仅当b －c ＝a －b 时取等号，所以1a －b ＋1b －c ≥4a －c，故选项C 正确；因为a 2＋b 2＋c 2＝13 [(a 2＋b 2＋c 2)＋(a 2＋b 2)＋(b 2＋c 2)＋(c 2＋a 2)]≥13(a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ca )＝13 [(a ＋b )2＋2(a ＋b )c ＋c 2]＝13 (a ＋b ＋c )2＝3，当且仅当a ＝b ＝c ＝1时等号成立，所以a 2＋b 2＋c 2的最小值为3，故选项D 正确．16．某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是________．答案：30解析：一年的总运费为6×600x ＝3 600x(万元).一年的总存储费用为4x 万元． 总运费与总存储费用的和为⎝⎛⎭⎫3 600x ＋4x 万元．因为3 600x ＋4x ≥2 3 600x ·4x ＝240，当且仅当3 600x ＝4x ，即x ＝30时取得等号，所以当x ＝30时，一年的总运费与总存储费用之和最小．。
基本不等式练习题带答案
06
基本不等式的扩展 知识
基本不等式的推广形式
单击此处添加标题
平方和与平方差形式：a²+b² ≥ 2ab 和 a²-b² ≥ 2ab
• 题目：已知 x > 0，y > 0，且 xy = 4，则下列结论正确的是 ( ) A. x + y ≥ 4 B. x + y ≤ 4 C. x + y ≥ 8 D. x + y ≤ 8 答案： A
• A. x + y ≥ 4 B. x + y ≤ 4 • C. x + y ≥ 8 D. x + y ≤ 8 • 答案：A
基本不等式的应用：在数学、物 理、工程等领域有广泛的应用， 用于解决最优化问题、估计值域 和解决一些数学竞赛问题等。
添加标题
添加标题
添加标题
添加标题
基本不等式的形式：常见的形式 有AM-GM不等式、CauchySchwarz不等式和Holder不等式 等。
基本不等式的证明方法：可以通 过代数、几何和概率统计等方法 证明基本不等式。
• 题目：若 a > b > c，且 a + b + c = 1，则下列结论正确的是 ( ) A. ac + bc ≥ ab B. ac + bc ≤ ab C. ac + bc > ab D. ac + bc < ab 答案：B
• A. ac + bc ≥ ab B. ac + bc ≤ ab • C. ac + bc > ab D. ac + bc < ab
基本不等式练习题(带答案)
基本不等式
，下列不等式恒成立的是
1. 若
（）
A
且，则下列四个数中最大的是
2. 若
（）
Ｃ．2abＤ．a
3.设x>0,（）
Ａ．3 1
( )
4.
5.若x, y xy有（）
Ａ．最大值1616
6.若a,b,c∈R，且ab+bc+ca=1,则下列不等式成立的是（）
A
C
则下列不等式中恒成立的是（）
7.若x>0,y>0,且x+
A
8.a,b（）
9.某产品的产量第一年的增长率为p，第二年的增长率为q，设
这两年平均增长率为x，则有（）
10.下列函数中，最小值为4的是（）
11..
12.建造一个容积为18m3, 深为2m的长方形无盖水池，如果池
底和池壁每m2的造价为200元和150元，那么池的最低造价为元.
13.若直角三角形斜边长是1，则其内切圆半径的最大值是.
14.若x,y
吗？答.
三、解答题, 本大题共4小题，每小题12分，共48分，解答
应写出需要的文字说明、证明过程和演算步调.
求mx+ny的最大值.
15.
a+b+c=1
16.设a, b,
17.已知正数a, b满足a+b=1（1）求ab的取值范围;（2）求
.
18.是否存在常数c,
任意正数x,y恒成立？试证明你的结论.
《基本不等式》综合检测
一、选择题
二．填空题
.3600 .对三、解答题
15略17。
基本不等式练习题(带答案)
基本不等式练习题(带答案)基本不等式》同步测试一、选择题，本大题共10小题，每小题4分，满分40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若 $a\in R$，下列不等式恒成立的是（）A。
$a^2+1>a$B。
$\frac{1}{2}<a<1$C。
$a^2+9>6a$D。
$\log_{a+1}。
\log_{|2a|}$2.若 $|a|<|b|$ 且 $a+b=1$，则下列四个数中最大的是（）A。
$1$B。
$2$C。
$a^2+b^2$D。
$a$3.设 $x>0$，则 $y=3-\frac{3}{x}$ 的最大值为（）A。
$3$B。
$\frac{3}{2}$C。
$\frac{3}{4}$D。
$-1$4.设$x,y\in R$，且$x+y=5$，则$3x+3y$ 的最小值是（）A。
$10$B。
$6\sqrt{3}$C。
$4\sqrt{10}$D。
$18$5.若 $x,y$ 是正数，且 $\frac{1}{4x^2}+\frac{1}{9y^2}=1$，则 $xy$ 有（）A。
最小值 $\frac{1}{36}$B。
最大值 $\frac{1}{36}$C。
最小值 $\frac{16}{9}$D。
最大值 $\frac{16}{9}$6.若 $a,b,c\in R$，且 $ab+bc+ca=1$，则下列不等式成立的是（）A。
$a^2+b^2+c^2\ge 2$XXX 3$C。
$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge 2$D。
$a+b+c\le 3$7.若 $x>0,y>0$，且 $x+y\le 4$，则下列不等式中恒成立的是（）A。
$\frac{x}{x+1}+\frac{y}{y+1}\le 1$B。
$\frac{x}{x+1}+\frac{y}{y+1}\ge 1$C。
$xy\ge 2$D。
$xy\le 1$8.若 $a,b$ 是正数，则$\frac{a+b}{2},\sqrt{ab},\frac{2ab}{a+b}$ 三个数的大小顺序是（）A。
基本不等式基础测试题
6．若a＞b＞0，则下列不等式成立的是（）
A．
B．
C．
D．
7．设x>0，则y＝3－3x－ 的最大值是（）
A．3B．3－2
C．3－2 D．－1
8．已知 ，若 ，则 的最小值为（）
A．3B．2C． D．1
9．已知 ，则 的最小值为（）
A．3B．2
C．4D．1
10．若正实数 ，满足 ，则 的最小值为（）
A．2B． C．5D．
11．下列不等式恒成立的是（）
A． B．
C． D．
12．若正数 ， 满足 ，则 的最小值为 （）
A． B． C． D．2
二、填空题
13．已知x>1，则 的最小值是____.
14．已知 ，当 ___________时， 的最小值为4.
15．若 , ,则 的最小值为__________.
（II）由（I）知，当 时， 的最小值是9，
要使不等式 恒成立，只需
即
解得 或
实数 的取值范围是
（2）由 知 .
当 或 时， ；
当 时， ，由基本不等式可得 .
当且仅当 ，即当 时等号成立.
综上， 的最大值为 .
【点睛】
本题考查利用基本不等式求最值，在应用基本不等式时，要注意“一正二定三相等”三个条件的成立，考查计算能力，属于基础题.
21．（1） ；（2）
【分析】
利用“一正”，“二定”，“三相等”，关键构造出定值，即可求解.
【详解】
因为
又 ， ，所以 ，
所以 ;
当且仅当 时，即 时取等号.
故答案为： .
【点睛】
本题主要考查了基本不等式在求最值中的应用，属于基础题.
基本不等式练习题及答案
基本不等式练习题及答案1.函数y＝x＋x/(x>0)的值域是什么？正确答案：B．(0，＋∞)解析：当x>0时，x/x=1，所以函数可以简化为y=2x。
因为x>0，所以函数的值域为(0，＋∞)。
2.下列不等式中正确的个数是多少？正确答案：C．1解析：只有第一组不等式a^2+1>2a成立，其他两个不等式都不成立。
3.若a＞0，b＞0，且a＋2b－2＝0，则ab的最大值为多少？正确答案：B．1解析：将a＋2b－2＝0变形得到2b=2－a，所以b=1－a/2.因为a>0，所以1－a/2<1，所以b<1.所以ab的最大值为a(1－a/2)=a－a^2/2，当a=1时取得最大值为1/2.4.若函数f(x)＝x＋1/(x－2)在x＝a处取最小值，则a等于多少？正确答案：C．3解析：f(x)可以写成x+1/(x－2)=x－2+3+1/(x－2)，所以f(x)的最小值在x=3时取得，此时f(3)=3+1=4.5.已知t＞0，则函数y＝(t^2－4t＋1)/t的最小值为多少？正确答案：1解析：将分子t^2－4t＋1写成(t－2)^2－3，所以y=(t－2)^2/t－3/t。
因为t>0，所以y的最小值为3/t－(t－2)^2/t，当t=2时取得最小值1.某单位要建造一间背面靠墙的矩形小房，地面面积为12平方米，房子侧面的长度x不得超过5米。
房屋正面的造价为400元/平方米，房屋侧面的造价为150元/平方米，屋顶和地面的造价费用合计为5800元，墙高为3米，不计房屋背面的费用。
求侧面的长度为多少时，总造价最低。
去年，XXX年产量为10万件，每件产品的销售价格为100元，固定成本为80元。
今年起，工厂投入100万元科技成本，每年递增100万元科技成本，预计产量每年递增1万件。
每件水晶产品的固定成本g(n)与科技成本的投入次数n的关系是g(n)=80.若水晶产品的销售价格不变，求第n次投入后的年利润f(n)。
基本不等式练习题参考答案
基本不等式练习题一、选择题1．在下列各函数中，最小值等于2的函数是( ) A ．y ＝x ＋1x B ．y ＝cos x ＋1cos x ⎝⎛⎭⎫0<x <π2 C ．y ＝x 2＋3x 2＋2D ．y ＝e x ＋4ex －2[答案] D[解析] x <0时，y ＝x ＋1x ≤－2，故A 错；∵0<x <π2，∴0<cos x <1，∴y ＝cos x ＋1cos x ≥2中等号不成立，故B 错；∵x 2＋2≥2，∴y ＝x 2＋2＋1x 2＋2≥2中等号也取不到，故C 错，∴选D.2．已知x >0，y >0，且2x ＋1y ＝1，若x ＋2y >m 2＋2m 恒成立，则实数m 的取值范围是( )A ．m ≥4或m ≤－2B ．m ≥2或m ≤－4C ．－2<m <4D ．－4<m <2 [答案] D[解析] ∵x >0，y >0，且2x ＋1y ＝1，∴x ＋2y ＝(x ＋2y )(2x ＋1y )＝4＋4y x ＋xy≥4＋24y x ·x y ＝8，当且仅当4y x ＝xy，即x ＝2y 时取等号，又2x ＋1y ＝1，∴x ＝4，y ＝2，∴(x ＋2y )min ＝8，要使x ＋2y >m 2＋2m 恒成立，只需(x＋2y )min >m 2＋2m ，即8>m 2＋2m ，解得－4<m <2.3．(2010·广西柳州市模考)设a ，b ∈R ，则“a ＋b ＝1”是“4ab ≤1”的( ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不是充分条件也不是必要条件 [答案] A[解析] a ，b 中有一个不是正数时，若a ＋b ＝1，显然有4ab ≤1成立，a ，b 都是正数时，由1＝a ＋b ≥2ab 得4ab ≤1成立，故a ＋b ＝1⇒4ab ≤1，但当4ab ≤1成立时，未必有a ＋b ＝1，如a ＝－5，b ＝1满足4ab ≤1，但－5＋1≠1，故选A.4．若a >0，b >0，a ，b 的等差中项是12，且α＝a ＋1a ，β＝b ＋1b ，则α＋β的最小值为( )A ．2B ．3C ．4D ．5 [答案] D[解析] ∵12为a 、b 的等差中项，∴a ＋b ＝12×2＝1.a ＋1a ＋b ＋1b ⇒1＋1a ＋1b ＝1＋a ＋b ab ＝1＋1ab ， ∵ab ≤a ＋b 2，∴ab ≤(a ＋b )24＝14.∴原式≥1＋4.∴α＋β的最小值为5.故选D.5.若直线2ax －by ＋2＝0(a >0，b >0)被圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0截得的弦长为4，则1a ＋1b的最小值是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4[答案] D[解析] 圆(x ＋1)2＋(y －2)2＝4，∵弦长为4，故为直径，即直线过圆心(－1,2)，∴a ＋b ＝1.∴1a ＋1b ＝⎝⎛⎭⎫1a ＋1b (a ＋b )＝2＋b a ＋a b ≥4.当且仅当a ＝b ＝12时取等号． 6．已知c 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的半焦距，则b ＋c a 的取值范围是( )A ．(1，＋∞)B ．(2，＋∞)C ．(1，2)D ．(1，2][答案] D[解析] 由题设条件知，a <b ＋c ，∴b ＋ca>1，∵a 2＝b 2＋c 2，∴(b ＋c )2a 2＝b 2＋c 2＋2bc a 2≤2(b 2＋c 2)a 2＝2，∴b ＋ca≤ 2.故选D.二、填空题7.已知t >0，则函数y ＝t 2－4t ＋1t 的最小值为________．[答案] －2[解析] y ＝t 2－4t ＋1t ＝t ＋1t －4因为t >0，y ＝t ＋1t －4≥2t ·1t－4＝－2. 等号在t ＝1t，即t ＝1时成立．8．已知正数a ，b ，c 满足：a ＋2b ＋c ＝1则1a ＋1b ＋1c 的最小值为________．[答案] 6＋4 2 [解析]1a ＋1b ＋1c ＝a ＋2b ＋c a ＋a ＋2b ＋c b ＋a ＋2b ＋c c＝⎝⎛⎭⎫2b a ＋a b ＋⎝⎛⎭⎫c a ＋a c ＋⎝⎛⎭⎫c b ＋2b c ＋4≥22＋2＋22＋4＝6＋42，等号在2b a ＝a b ，c a ＝a c ，c b ＝2bc 同时成立时成立．即a ＝c ＝2b ＝1－22时等号成立． 9.设圆x 2＋y 2＝1的一条切线与x 轴、y 轴分别交于点A ，B ，则AB 的最小值为______． [答案] 2[解析] 由条件知切线在两轴上的截距存在，且不为零，故设切线方程为x a ＋yb ＝1，则ab a 2＋b2＝1，∴a 2b 2＝a 2＋b 2≥2ab ，切线与两轴交于点A (a,0)和(0，b )，不妨设a >0，b >0，∴ab ≥2，则AB ＝|AB |＝a 2＋b 2≥2ab ≥2.三、解答题10．（1）已知a ＞0，b ＞0，且4a ＋b ＝1，求ab 的最大值； （2）若正数x ，y 满足x ＋3y ＝5xy ，求3x ＋4y 的最小值； （3）已知x ＜54，求f （x ）＝4x －2＋145x -的最大值。
基本不等式专练(含答案)
基本不等式专练一、单选题（本大题共9小题，共45.0分）1. 若x ，y ∈R +，且3x +1y =5，则3x +4y 的最小值是( )A. 5B. 245C. 2√35D. 1952. 已知直线kx −y +2k −1=0恒过定点A ，点A 也在直线mx +ny +2=0上，其中m ，n 均为正数，则1m +2n 的最小值为( )A. 2B. 4C. 8D. 63. 若x >1，则4x +1+1x−1的最小值等于( )A. 6B. 9C. 4D. 14. 已知正实数a ，b 满足a +b =1，则2a 2+1a+2b 2+4b的最小值为( )A. 10B. 11C. 13D. 215. 当x >4时，不等式x +4x−4≥m 恒成立，则m 的取值阀内是( )A. m ≤8B. m <8C. m ≥8D. m >86. 正实数x,y 满足1x +1y =2，则x +2y 的( )A. 最小值为32+√2 B. 最大值为32+√2 C. 最小值为3+2√2D. 最大值为3+2√27. 如图所示，已知点G 是△ABC 的重心，过点G 作直线分别与AB ，AC 两边交于M ，N 两点(点N 与点C 不重合)，设AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =x AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =y AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则1x +1y−1的最小值为( )A. 2B. 1+√2C. 32 D. 2+2√28. 实数a,b 满足a >0,b >0，a +b =4，则a 2a+1+b 2b+1的最小值是( )A. 4B. 6C. 32D. 839.两圆x2+y2+2ax+a2−4=0和x2+y2−4by−1+4b2=0恰有三条公切线，若a∈R，B∈R，且ab≠0，则1a2+1b2的最小值为()A. 49B. 109C. 1D. 3二、多选题（本大题共7小题，共35.0分）10.若正实数a，b满足a+b=1，则下列选项中正确的是()A. ab有最大值14B. √a+√b有最大值√2C. 3a−b>13D. 2a+1b有最小值9211.下列命题正确的有()A. 若a>b>c，ac>0，则bc(a−c)>0;B. 若x>0，y>0，x+y=2，则2x+2y的最大值为4C. 若x>0，y>0，x+y=xy，则x+2y+xy的最小值为5+2√6;D. 若实数a≥2，则log a+1(a+2)<a+2a+112.若a>0，b>0，且a+b=4，则下列不等式恒成立的是()A. 1a +1b≥1 B. √ab≤2 C. 1a2+b2≤18D. 0<1ab≤1413.已知a>0，b>0，下面四个结论正确的是()A. 2aba+b ≤a+b2；B.2222baba+≤+C. 若a>b，则c2a ≤c2b；D. 若1a+1+1b+1=1，则a+2b的最小值为22；14.下列各式中，最小值为4的是()A. y=x2+8xB. y=sinx+4sinx(0<x<π)C. y=e x+4e−xD. y=√x2+1+√x2+115.已知a>0，b>0，且a2+b2=1，则()A. a+b⩽√2B. 12<2a−b<2C. log2√a+log2√b⩾−12D. a2−b2>−116.下列命题为真命题的是A. 若a>b，则2a−b>12>1B. 若a>b>0，则lgalgbC. 若a>0，b>0，则√ab≥2aba+bD. 若a>b，则ac2>bc2三、单空题（本大题共2小题，共10.0分）+2(x>0)的最小值为______．17.函数y=x+4x18.已知正实数x，y满足2x+y=1，则xy的最大值为______．四、解答题（本大题共1小题，共12.0分）(x>3)．19.已知函数f(x)=x+9x−3(1)求函数f(x)的最小值．(2)若不等式f(x)≥t2−t+7恒成立，求实数t的取值范围．答案和解析1.C解：分别过A ，B 向准线作垂线，垂足分别为A′，B′，由抛物线定义可知AA′=AF ，BB′=BF ， 不妨设A 在P ，F 之间，∵PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =λ1AF ⃗⃗⃗⃗⃗ ，PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =λ2BF ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴λ1>0，λ2<0，且PA =λ1AA′，PB =−λ2BB′， ∴λ1=PA AA′=1sin∠APA′，λ2=−PB BB′=−1sin∠BPB′， ∴λ1+λ2=0．2.A解：由AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，A 为抛物线E 的准线上一点得： x A =−p2，x B =0， ∴x C =p 4； ∴y C =±√22p ； 又F(p2,0)， ∴k AF =k CF =±√22p−0p 4−p 2=±2√2；∴直线AF 的斜率为±2√2．3.D解：依题意可知点M 到点F 的距离等于点M 到直线x =−4的距离， 因此点M 的轨迹是抛物线，且p =8，顶点在原点，焦点在x 轴的正半轴上， 则点M 的轨迹方程为y 2=16x ． 故选D ．4.A解：∵x ，y ∈R +，且3x +1y =5，∴3x +4y =15(3x +4y)(3x +1y )=15(9+4+3x y+12y x)=135+35(x y +4yx)≥135+35⋅2√xy ⋅4y x=5，当且仅当xy =4yx，3x +1y =5即x =1,y =12时等号成立，5.B解：已知直线kx−y+2k−1=0整理得：y+1=k(x+2)，直线恒过定点A，即A(−2,−1)．点A也在直线mx+ny+2=0上，所以：2m+n=2.整理得：m+n2=1．由于m，n均为正数，则1m +2n=(m+n2)(1m+2n)=1+n2m+2mn+1≥2+2√n2m⋅2mn=4．6.B解：由x>1，得x−1>0，∵4x+1+1x−1=4(x−1)+1x−1+5≥2√4+5=9，当且仅当4(x−1)=1x−1，即x=32时，等号成立．7.B解：正实数a，b满足a+b=1，则2a2+1a +2b2+4b=2a+2b+1a+4b，=2+(1a +4b)(a+b)，=7+ba +4ab≥7+4=11，当且仅当ba =4ab且a+b=1即b=23，a=13时取等号，8.A解：∵x>4，∴x−4>0，∴x+4x−4=x−4+4x−4+4≥2√(x−4)⋅4x−4+4=8当且仅当x−4=4x−4，即x=6时取等号，∵当x>4时，不等式x+4x−4≥m恒成立，∴只需m≤(x+4x−4)min=8．∴m的取值范围为：(−∞,8]．9.A解：∵正实数x、y满足1x +1y=2，，当且仅当xy y x2 ，即x =√2y 时，等号成立， 所以x +2y 的最小值为32+√2，10.A解：∵G 为△ABC 的重心，∴AG ⃗⃗⃗⃗⃗ =23×12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=13(x AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +y AN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )，且x ≥1,y >1， 又∵G 在线段MN 上，∴13x +13y =1，∴x +y =3， ∴x +(y −1)=2，∴1x +1y −1=12[x +(y −1)](1x +1y −1) =12(1+1+x y −1+y −1x) ≥12(2+2)=2，当且仅当{x =y −1x +(y −1)=2，即x =1,y =2时等号成立．11.D解：令a +1=m ，b +1=n ，则m >1,n >1，m +n =6． a 2a+1+b 2b+1=(m−1)2m+(n−1)2n=m +n +1m +1n −4=2+6mn ⩾2+6(m+n 2)2=83，当且仅当m =n =3时取等号．12.C解：由题意可得，两圆相外切，两圆的标准方程分别为(x +a)2+y 2=4，x 2+(y −2b)2=1，圆心分别为(−a,0)，(0,2b)，半径分别为2和1，故有√a 2+4b 2=3，∴a 2+4b 2=9， ∴a 2+4b 29=1，∴1a 2+1b 2=a 2+4b 29a 2+a 2+4b 29b 2=19+49+4b 29a 2+a 29b 2≥59+2√481=1，当且仅当4b 29a =a 29b，并且a 2+4b 2=9时，等号成立， 13.ABC解：对于选项A ：∵ab ⩽(a+b 2)2=14(当且仅当a =b =12时取“= “)，故选项A 正确；对于选项B：∵(√a+√b)2=a+b+2√ab⩽a+b+a+b=2，∴√a+√b≤√2(当且仅当a=b=12时取“=“)，故选项B正确；对于选项C：∵正实数a，b满足a+b=1，∴a−b=2a−1>−1，∴3a−b>3−1=13，故选项C正确；对于选项D：∵a+b=1，∴2a+1b=(2a+1b)(a+b)=3+2ba+ab⩾3+2√2(当且仅当{a+b=12ba=ab时取“=“)，故选项D错误．14.【答案】ACD解：由a>b>c，ac>0，可得a，b，c同号且a−c>0，所以bc(a−c)>0;故A正确；若x>0，y>0，x+y=2，则2x+2y⩾2√2x·2y=2√2x+y=4，当且仅当x=y=1时等号成立，所以2x+2y的最小值为4，故B错误；若x>0，y>0，x+y=xy，则1x +1y=1，所以x+2y+xy=2x+3y=(2x+3y)(1x +1y)=5+3yx+2xy⩾5+2√3yx·2xy=5+2√6，当且仅当3y2=2x2时等号成立，故C正确；令f(x)=lnxx ，则f′(x)=1−lnxx2<0在x∈(e,+∞)上恒成立，所以函数f(x)=lnxx在(e,+∞)上单调递减，因为a≥2，a+1≥3，所以log a+1(a+2)<a+2a+1⇔ln(a+2)ln(a+1)<a+2a+1⇔ln(a+2)a+2<ln(a+1)a+1;故选项D正确．15.ABC解：由题意得4=a+b⩾2√ab(当且仅当a=b时，等号成立)则√ab⩽2，故B正确，则1ab ⩾14，故D错误；因为1a +1b=a+bab=4ab⩾1，故A正确；因为a2+b2=(a+b)2−2ab⩾8，则1a2+b2≤18，故C正确．故选ABC ．16.ACD解：对于A.∵a 2+b 2⩾2ab,∴(a +b )2⩾4ab,a >0,b >0,∴2aba+b ⩽a+b 2，A 成立；对于B.当a =b =1时1>1不成立，B 错误； 对于C ．a >b >0⇒0<1a<1b,c 2⩾0,∴c 2a⩽c 2b，C 成立；对于D.∵a +2b +3=(a +1)+2(b +1)=[(a +1)+2(b +1)](1a+1+1b+1) =1+2+a+1b+1+2(b+1)a+1⩾3+2√2，当且仅当a+1b+1=2(b+1)a+1时,即a =√2,b =√22时等号成立，故a +2b 的最小值为2√2.故选ACD ．17.CD解： 对于A ，当x <0时，y <0，则y =x2+8x 无最小值，A 不符合题意; 对于B ，由0<x <π，得0<sinx ≤1， 又，当即sinx =2时，取等号，而sin x 的最大值为1，所以等号取不到，所以的最小值不是4，即B 不符合题意;对于C ，y =e x +4e −x ≥2√e x ×4e −x =4，当且仅当e x =4e −x 即x =ln2时，取等号， 所以y =e x +4e −x 最小值为4，C 符合题意; 对于D ，y =√x 2+1+√x 2+1≥2√√x 2+1×4√x 2+1=4，当且仅当√x 2+1=√x 2+1，即x =±√3时，取等号， 所以y =√x 2+1+√x 2+1 的最小值为4，所以符合题意．18.ABD解：对于A ，，则a +b ⩽ √2，当且仅当a =b 时取“=”号，A 正确； B .(a −b)2=a 2+b 2−2ab <a 2+b 2=1， 故−1<a −b <1，由2−1<2a−b <21，即12<a −b <2，B 正确；对于C ，取a =14，b =√154，则log 2√b <0，故log 2√a +log 2√b =−1+log 2√b <−1，C 错误；对于D ，b 2<1，则−b 2>−1，故a 2−b 2>−1，D 正确．19.AC解：对A ，若a >b ，则a −b >0，由指数函数性质知2a−b >20=1>12，A 正确； 对B ，若a >b >0，取a =2，b =12，则lg alg b =−1，不满足lgalgb >1，故B 错误； 对C ，若a >0，b >0，则a +b ⩾2√ab ，则2aba+b ⩽2√ab =√ab ，当且仅当a =b 时，等号成立，C 正确；对D ，当c =0时，结论不成立，故D 错误．20.6解：∵x >0，∴函数y =x +4x+2≥2√x ⋅4x+2=2×2+2=6当且仅当x =4x ，x >0，即x =2时，上式取等号．21.18解：根据题意，正实数x ，y 满足2x +y =1， 则xy =12(2x)y ≤12(2x+y 2)2=12×14=18，当且仅当2x =y =12，时等号成立， 即xy 的最大值为18；22.解：(1)因为x >3，所以x −3>0，所以f(x)=x +9x−3=(x −3)+9x−3+3， ≥2√(x −3)⋅9x−3+3=9，当且仅当x −3=9x−3，即(x −3)2=9时，上式取得等号， 又因为x >3，所以x =6，所以当x =6时，函数f(x)的最小值是9； (2)由(1)知f(x)的最小值是9，∴不等式f(x)≥t 2−t +7恒成立等价于9≥t 2−t +7， 即t 2−t −2≤0，解得：−1≤t ≤2，即实数t的取值范围是[−1,2]．。
基本不等式专题训练
基本不等式专题训练一、选择题1.已知a,b∈R，且a+b=1，则ab的最大值为（）A. 41B. −41C. 1D. 不存在2.对于任意正实数x,y，下列不等式恒成立的是（）A. x2+y2≥2xyB. x2+y2≤2xyC. x+y≥2xyD. x+y≤2xy3.已知a,b,c>0，且a+b+c=1，则a+b+c的最大值为（）A. 1B. 3C. 3D. 33二、填空题4.已知x>0，则函数y=4x+x1的最小值为____。
5.已知a,b>0，且a+b=5，则a1+b4的最小值为____。
三、解答题6.已知x,y∈R，且x+y=4，求3x+9y的最小值。
7.已知a,b,c>0，且a+b+c=1，证明：a+b+c≤2。
8.已知x>0，y>0，且xy=4，求x+yx2+y2的最小值。
参考答案一、选择题1.A解析由a+b=1，根据基本不等式(a−b)2≥0，展开得a2−2ab+b2≥0，即a2+b2≥2ab。
又因为(a+b)2=a2+2ab+b2=1，所以2ab≤1−(a2+b2)+2ab=1，即ab≤41。
当且仅当a=b=21时，等号成立。
2.A解析对于任意正实数x,y，根据平方和公式，有x2+y2≥2xy（当且仅当x=y时取等号）。
而选项C和D分别对应的是算术平均数与几何平均数的关系，但仅当x,y均为正数时，算术平均数才大于等于几何平均数，且等号成立的条件是x=y。
选项B显然不成立。
3.B解析由柯西不等式（Cauchy-Schwarz Inequality）得(a+b+c)2≤(12+12+12)(a+b+c)=3，即a+b+c≤3。
当且仅当a=b=c=31时，等号成立。
二、填空题4.41解析由算术平均数与几何平均数的关系得y=4x+x1≥24x⋅x1=4（当且仅当4x=x1，即x=21时取等号）。
5.59解析由“乘1法”与基本不等式得a1+b4=51(a+b)(a1+b4)=51(5+ab+b4a )≥51(5+2ab⋅b4a)=59（当且仅当ab=b4a，即a=35,b=310时取等号）。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
1.设，则下列不等式中正确的是()
A． B．
C． D．
2.设a、b是实数，且a＋b＝3，则2a＋2b的最小值是()
A． 6 B． 4 C． 2 D． 8
3.已知x>1，y>1且lg x＋lg y＝4，则lg x lg y的最大值是()
A． 4 B． 2 C． 1 D．
4.已知点P(x，y)在经过A(3,0)，B(1,1)两点的直线上，则2x＋4y的最小值为() A． 2 B． 4 C． 16 D．不存在
5.函数y＝log2(x>1)的最小值为()
A．－3 B． 3 C． 4 D．－4
6.若函数在x＝a处取最小值，则a＝()
A． B． C． 3 D． 4
7.已知a>0，b>0，a＋b＝2，则y＝＋的最小值是()
A． B． 4 C． D． 5
8.设a>0，b>0，若是3a与3b的等比中项，则＋的最小值为()
A． 8 B． 4 C． 1 D．
9.设，则的最小值为________．
10.若a<1，则a＋有最____(填“大”或“小”)值，为__________．
11.若不等式x2－ax＋1≥0对一切x∈(0,1]恒成立，则a的取值范围是________．
12.函数的图象恒过定点A，若点A在一次函数
的图象上，其中,则的最小值为________．
13.(1)若x>0，求函数y＝x＋的最小值，并求此时x的值；
(2)设0<x<，求函数y＝4x(3－2x)的最大值；
(3)已知x>2，求x＋的最小值；
(4)已知x>0，y>0，且＋＝1，求x＋y的最小值．
14.已知函数．
(1) 当时，求函数f(x)的最小值；
(2) 若对任意，恒成立，试求实数的取值范围．
答案解析
1.【答案】B
【解析】∵，由基本不等式求最值得，
∴，，故选B.
2.【答案】B
【解析】∵a＋b＝3，
∴2a＋2b≥2＝2＝2＝4.
3.【答案】A
【解析】∵x>1，y>1，∴lg x>0，lg y>0，
lg x lg y≤2＝4，当且仅当lg x＝lg y＝2，
即x＝y＝100时取等号．
4.【答案】B
【解析】∵点P(x，y)在直线AB上，∴x＋2y＝3.
∴2x＋4y≥2＝2＝4.
当且仅当2x＝4y，即x＝，y＝时，等号成立．
5.【答案】B
【解析】∵x＋＋5＝(x－1)＋＋6≥2＋6＝8.
∴log2≥3，
∴y min＝3.
当且仅当x－1＝，即x＝2时，等号成立．
6.【答案】C
【解析】∵，
∴，
当且仅当，即时取等号．
7.【答案】C
【解析】∵a＋b＝2，∴＝1.
∴＋＝(＋)()＝＋(＋)≥＋2＝(当且仅当＝，即b＝2a＝时，“＝”成立)，故y＝＋的最小值为.
8.【答案】B
【解析】由题意知3a·3b＝3，即3a＋b＝3，所以a＋b＝1.
9.【答案】
【解析】∵
∴，当且仅当时等号成立，故所求最小值为.
10.【答案】大－1
【解析】∵a<1，∴a－1<0，
∴－＝(1－a)＋≥2(a＝0时取等号)，
∴a－1＋≤－2，
∴a＋≤－1.
11.【答案】a≤2
【解析】x2－ax＋1≥0，x∈(0,1]恒成立
⇔ax≤x2＋1，x∈(0,1]恒成立．
⇔a≤x＋，x∈(0,1]恒成立
∵x∈(0,1]，x＋≥2，∴a≤2.
12.【答案】8
【解析】由题意知点，则，
∴.
13.【答案】（1）函数y＝x＋(x>0)在x＝2时取得最小值4.
（2）函数y＝4x(3－2x)(0<x<)的最大值为.
（3）x＋的最小值为6.
（4）x+y的小最小值为16
【解析】解(1)当x>0时，x＋≥2＝4，
当且仅当x＝，即x2＝4，x＝2时取等号．
∴函数y＝x＋(x>0)在x＝2时取得最小值4.
(2)∵0<x<，∴3－2x>0，
∴y＝4x(3－2x)＝2[2x(3－2x)]
≤22＝.
当且仅当2x＝3－2x，即x＝时，等号成立．
∵∈.
∴函数y＝4x(3－2x)(0<x<)的最大值为.
(3)∵x>2，∴x－2>0，
∴x＋＝x－2＋＋2
≥2＋2＝6，
当且仅当x－2＝，即x＝4时，等号成立．
所以x＋的最小值为6.
(4)方法一∵x>0，y>0，＋＝1，
∴x＋y＝(x＋y)＝＋＋10
≥6＋10＝16，
当且仅当＝，又＋＝1，
即x＝4，y＝12时，上式取等号．
故当x＝4，y＝12时，(x＋y)min＝16.
方法二由＋＝1，得(x－1)(y－9)＝9(定值)．
可知x>1，y>9，
∴x＋y＝(x－1)＋(y－9)＋10
≥2＋10＝16，
当且仅当x－1＝y－9＝3，即x＝4，y＝12时上式取等号，
故当x＝4，y＝12时，(x＋y)min＝16.
14.【答案】
【解析】(1) ∵，∴, 当时取等号．即当时，.
(2)，恒成立，即,恒成立．
等价于在上恒成立，
令，，
∴，即.
∴的取值范围是。