2011年广东高考全真模拟试卷文科数学(五)
2011年广州市普通高中毕业班综合测试文科数2011
试卷类型：A2011年广州市高三年级调研测试数学（文科）本试卷共4 页，共21 题，满分150 分。
考试用时120 分钟。
2011.01 注意事项：1. 答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上， 并用2B 铅笔在答题卡上的相应位置填涂考生号。
用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上。
2. 选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3. 非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
4. 作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号（或题组号）对应的信息点，再作答。
漏涂、错涂、多涂的，答案无效。
参考公式：锥体的体积公式13V S h =，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的．1. 函数()g x =A ．{3x x ≥-}B ．{3x x >-}C ．{3x x ≤-}D ．{3x x <-} 2．已知i 为虚数单位, 则复数z =i (1+i )在复平面内对应的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 3．设向量(2,0)=a ,(1,1)=b ,则下列结论中正确的是A ．||||=a b B ． 12=a b C ．//a b D ．()-⊥a b b4．已知直线l 经过坐标原点，且与圆22430x y x +-+=相切，切点在第四象限，则直线l图2侧视图俯视图正视图的 方程为A．y = B．y =C．3y x =-D．3y x =5.甲、乙、丙、丁四人参加奥运会射击项目选拔赛，四人的平均成绩和方差如下表所示：从这四个人中选择一人参加奥运会射击项目比赛，最佳人选是 A ．甲 B ． 乙 C ． 丙 D ．丁6.如果执行图1的程序框图，若输入6,4n m ==，那么输出的p 等于A ．720B ．360C ．240D ．1207.“2>x ”是“0232>+-x x ”成立的 图1 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 8.定义3x y x y ⊗=-, 则()h h h ⊗⊗等于 A ．h - B ．0 C ．h D ．3h9. 一空间几何体的三视图如图2所示, 该几何体的体积为123π+，则正视图中x 的值为A ．5B ．4C ．3D ．2 10.若把函数()=y f x 的图象沿x 轴向左平移4π个单位,沿y 轴向下平移1个单位,然后再把图象上每个点的 横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标保持不变),得到函数s in =y x 的图象,则()=y f x 的解析式为图3NA ．s in 214⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭y x π B ．s in 212⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭y x π C ．1s in 124⎛⎫=+- ⎪⎝⎭y x π D ．1s in 122⎛⎫=+- ⎪⎝⎭y x π二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分. （一）必做题（11～13题）11．已知等比数列{}n a 的公比是2，33a =，则5a 的值是 .12．△A B C 的三个内角A 、B 、C 所对边的长分别为a 、b 、c ，已知2,3a b ==，则s in s in ()A A C =+ .13.设函数()()[)22,,1,,1,.xx f x x x -⎧∈-∞⎪=⎨∈+∞⎪⎩ 若()4f x >，则x 的取值范围是 .（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题）14．（几何证明选讲选做题）如图3，四边形A B C D 内接于⊙O ， B C 是直径，M N 与⊙O 相切, 切点为A ，M A B ∠35︒=,则D ∠= .15．（坐标系与参数方程选讲选做题）已知直线l 的参数方程为：2,14x t y t=⎧⎨=+⎩（t 为参数），圆C 的极坐标方程为in ρθ=，则直线l 与圆C 的位置关系为 . 三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）已知向量a (sin ,2)θ=,b (c o s ,1)θ=, 且a //b ，其中(0,)2πθ∈．（1）求θsin 和θcos 的值； （2）若3sin (), 052πθωω-=<<，求c o s ω的值．17.（本小题满分12分）某公司有一批专业技术人员，对他们进行年龄状况和接受教育程度(学历)的调查，其结果(人数A B CPD 分布)如下表：（1）用分层抽样的方法在35～50岁年龄段的专业技术人员中抽取一个容量为5的样本,将该样本看成一个总体, 从中任取2人, 求至少有1人的学历为研究生的概率；（2）在这个公司的专业技术人员中按年龄状况用分层抽样的方法抽取N 个人，其中35岁以下48人，50岁以上10人，再从这N 个人中随机抽取出1人，此人的年龄为50岁以上的概率为539，求x 、y 的值.18.（本小题满分14分）如图4，在四棱锥P A B C D -中，平面P A D ⊥平面A B C D，A B D C ∥，P A D △是等边三角形，已知24B D A D ==，2A B D C ==（1）求证：B D ⊥平面P A D ；（2）求三棱锥A P C D -的体积．19.（本小题满分14分） 图4 已知椭圆(222:13x yE a a+=>的离心率12e =. 直线x t =（0t >）与曲线E 交于不同的两点,M N ,以线段M N 为直径作圆C ,圆心为C ． （1）求椭圆E 的方程；（2）若圆C 与y 轴相交于不同的两点,A B ，求A B C ∆的面积的最大值. 20．（本小题满分14分）已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，且满足1(n n S a n =-∈N *).各项为正数的数列}{n b 中，对于一切n ∈N *,有11nk n ==∑且1231,2,3b b b ===.（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）设数列{}n n a b 的前n 项和为n T ,求证:2n T <.21.（本小题满分14分） 已知函数()(a f x x a x=+∈R ), ()ln g x x =.（1）求函数()()()F x f x g x =+的单调区间；（2）若关于x 的方程()()22gx fx e x=-(e 为自然对数的底数)只有一个实数根, 求a 的值.2011年广州市高三调研测试数学（文科）试题参考答案及评分标准说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数．2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分． 一、选择题：本大题主要考查基本知识和基本运算．共10小题，每小题5分，满分50分.二、填空题：本大题主要考查基本知识和基本运算．本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．其中14～15题是选做题，考生只能选做一题．11．12 12．2313.()(),22,-∞-+∞ 14．125︒15．相交三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16．（本小题满分12分）(本小题主要考查平面向量, 同角三角函数的基本关系、两角和与差的三角公式等知识, 考查化归与转化的数学思想方法和运算求解能力) （1）解：∵a (sin ,2)θ=,b (c o s ,1)θ=, 且a //b ， ∴s in c o s 21θθ=，即θθcos 2sin =. …… 2分∵ 1cos sin 22=+θθ, 0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,解得s in c o s 55θθ==,∴55cos ,552sin ==θθ. …… 6分 （2）解:∵02πω<<，20πθ<<，∴22ππθω-<-<.∵3s in (), 5θω-=∴ 4c o s ()5θω-==. …… 8分∴co s co s[()]co s co s()sin sin ()ωθθωθθωθθω=--=-+- …… 10分5=. …… 12分17．（本小题满分12分） (本小题主要考查分层抽样、概率等知识, 考查或然与必然的数学思想方法，以及数据处理能力、运算求解能力和应用意识)(1) 解: 用分层抽样的方法在35～50岁中抽取一个容量为5的样本, 设抽取学历为本科的人数为m ， ∴30505m =, 解得3m =. …… 2分∴ 抽取了学历为研究生2人，学历为本科3人，分别记作S 1、S 2 ；B 1、B 2、B 3 .从中任取2人的所有基本事件共10个: (S 1, B 1),(S 1, B 2),(S 1, B 3),(S 2, B 1),(S 2, B 2), (S 2, B 3), (S 1, S 2), (B 1, B 2), (B 2, B 3), (B 1, B 3).OPDC BA其中至少有1人的学历为研究生的基本事件有7个: (S 1, B 1),(S 1, B 2),(S 1, B 3),(S 2, B 1), (S 2, B 2), (S 2, B 3), (S 1, S 2). …… 4分 ∴ 从中任取2人，至少有1人的教育程度为研究生的概率为710. …… 6分(2)解: 依题意得：10539N =，解得78N =. …… 8分∴ 35～50岁中被抽取的人数为78481020--=. ∴482010805020xy==++. …… 10分解得40, 5x y ==.∴40, 5x y ==. …… 12分 18.（本小题满分14分）(本小题主要考查空间线面关系、锥体的体积等知识, 考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力) （1）证明：在A B D △中，由于2A D =，4B D =，A B =∴222A DB D A B +=. …… 2分 ∴ A D B D ⊥．又平面P A D ⊥平面A B C D ，平面P A D 平面A B C D A D =，B D ⊂平面A B C D ， ∴B D ⊥平面P A D . …… 4分 （2）解：过P 作P O A D ⊥交AD 于O .又平面P A D ⊥平面A B C D ， ∴P O ⊥平面A B C D ． …… 6分∵P A D △是边长为2的等边三角形，∴P O =.由（1）知，A D B D ⊥，在R t A B D △中， 斜边A B边上的高为5A D B Dh A B ⨯==. …… 8分∵A B D C ∥，∴112225A C D S C D h =⨯=⨯=△. …… 10分∴112333A P C D P A C D A C D V V S P O --==⨯=⨯⨯=△. …… 14分19．（本小题满分14分）(本小题主要考查椭圆、圆、直线与圆的位置关系等知识, 考查数形结合、化归与转化、函数与方程的数学思想方法，以及推理论证能力、运算求解能力和创新意识) （1）解：∵椭圆(222:13x yE a a+=>的离心率12e =,∴12a=. …… 2分解得2a =.∴ 椭圆E 的方程为22143xy+=． …… 4分（2）解法1：依题意，圆心为(,0)(02)C t t <<．由22,1,43x t x y=⎧⎪⎨+=⎪⎩得221234t y -=. ∴ 圆C的半径为2r =． …… 6分∵ 圆C 与y 轴相交于不同的两点,A B ，且圆心C 到y 轴的距离d t =，∴02t <<，即07t <<．∴弦长||A B == ……8分∴A B C ∆的面积12S =⋅ …… 9分)=)221272t +-≤7=…… 12分=7t =.∴ A B C ∆7． …… 14分解法2：依题意，圆心为(,0)(02)C t t <<．由22,1,43x t x y=⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得221234t y -=. ∴ 圆C的半径为2r =． …… 6分∴ 圆C 的方程为222123()4tx t y --+=．∵ 圆C 与y 轴相交于不同的两点,A B ，且圆心C 到y 轴的距离d t =，∴02t <<，即07t <<．在圆C 的方程222123()4tx t y --+=中，令0x =，得2y =±，∴弦长||A B =…… 8分∴A B C ∆的面积12S =⋅ …… 9分)=)2212712t +-≤7=……12分=7t =时，等号成立.∴ A B C ∆的面积的最大值为7． (14)分20．（本小题满分14分）(本小题主要考查数列、不等式等知识, 考查化归与转化、分类与整合的数学思想方法，以及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力和创新意识) （1）解：∵1n n S a =-，当1n =时,1111a S a ==-, 解得112a =. (1)分当2n ≥时,1n n n a S S -=-()()111n n a a -=---, 得12n n a a -=, 即112n n a a -=. ……3分∴数列}{n a 是首项为12, 公比为12的等比数列.∴1111222n n na -⎛⎫=⨯=⎪⎝⎭. ……4分∵ 对于一切n ∈N *,有11nk n ==∑， ①当2n ≥时, 有1111n k n -=-=∑， ②① - ②=-化简得: 11(1)0n n n b n b b +--+=, ③用1n +替换③式中的n ，得：211(1)0n n n b n b b ++-++=, ④ ……6分③－④ 整理得：211n n n n b b b b +++-=-， ∴当2n ≥时, 数列{}n b 为等差数列. ∵32211b b b b -=-=,∴ 数列{}n b 为等差数列. …… 8分∵ 121,2b b == ∴数列{}n b 的公差1d =.∴()11n b n n =+-=. ……10分(2)证明:∵数列{}n n a b 的前n 项和为n T ,∴231232222n nn T =++++, ⑤ ∴2211122222n n n T +=+++ , ⑥⑤－⑥得：21111122222n nn n T +=+++- (12)分1111221212nn n +⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦=--1212n n ++=-.∴2222n nn T +=-<. ……14分21．（本小题满分14分）(本小题主要考查函数、导数等知识, 考查函数与方程、分类与整合的数学思想方法，以及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力和应用意识) (1)解: 函数()()()ln a F x f x g x x x x=+=++的定义域为()0,+∞.∴()'211a F x xx=-+22x x ax+-=.① 当140a ∆=+≤, 即14a ≤-时, 得20x x a +-≥,则()'0F x ≥.∴函数()F x 在()0,+∞上单调递增. ……2分② 当140a ∆=+>, 即14a >-时, 令()'0,F x = 得20x x a +-=,解得12110,22x x ---+=<=.(ⅰ) 若104a -<≤,则2102x -+=≤.∵()0,x ∈+∞, ∴()'0F x >,∴函数()F x 在()0,+∞上单调递增. …… 4分(ⅱ)若0a >,则0,2x ⎛∈ ⎝⎭时, ()'0F x <;12x ⎛⎫-+∈+∞⎪⎪⎝⎭时, ()'0Fx >,∴函数()F x 在区间10,2⎛-+ ⎪⎝⎭上单调递减, 在区间1,2⎛⎫-++∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增. …… 6分 综上所述, 当0a ≤时, 函数()F x 的单调递增区间为()0,+∞;当0a >时, 函数()F x 的单调递减区间为10,2⎛⎫-+⎪⎪⎝⎭, 单调递增区间为2⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭. …… 8分 (2) 解: 由()()22gx fx e x=-, 得2ln 2x a x e xx=+-, 化为2ln 2x xe x a x=-+.令()ln x h x x=, 则()'21ln x h x x-=.令()'0h x =, 得x e =.当0x e <<时, ()'0h x >; 当x e >时, ()'0h x <.∴函数()h x 在区间()0,e 上单调递增, 在区间(),e +∞上单调递减. ∴当x e =时, 函数()h x 取得最大值, 其值为()1h e e=. (10)分而函数()()2222m x x ex a x e a e =-+=-+-,当x e =时, 函数()m x 取得最小值, 其值为()2m e a e =-. ……12分∴ 当21a e e-=, 即21a e e=+时, 方程()()22gx fx e x=-只有一个根. ……14分。
2011届文科数学高考模拟考试试题
绝密★启用前 试卷类型：B2011年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）模拟考试数学（文科）本试卷共4页，21小题，满分150分。
考试用时120分钟。
注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。
用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。
将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。
2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
4．作答选做题时。
请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答。
漏涂、错涂、多涂的，答案无效。
5．考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
参考公式：锥体的体积公式V=sh 31，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．复数534i ＋的共轭复数是 A ．3455i ＋ B ．3455i － C ．3＋4i D ．3－4i2．已知集合{}0,P m =，{}2250,Q x x x x Z =-<∈，若P Q φ≠ ，则m 等于A ．1B ．2C ．1或52D ．1或2 3．已知等差数列{}n a 前17项和1751S =，则5791113a a a a a -+-+=A ．3B ．6C ．17D ．51 4．已知向量(2,3),(,6)p q x =-=，且//,||p q p q +则的值为 （ ）A ．5B ．13C ．5D ．135．已知双曲线2221x y a b2-=的一条渐近线方程为43y x =，则双曲线的离心率为AD 1C 1B 1A 1DC B A ．72B ．213C ．54D ．536．有四个关于三角函数的命题： 2211:,sincos ;222A A P A R ∃∈+= 2:,,sin()sin sin ;P AB R A B A B ∃∈-=-x xx P sin 22cos 1],,0[:3=-∈∀π 4:sin cos .2P x y x y π=⇒+=其中假．命题是( )A ．P 1，P 4B ．P 2，P 4C ．P 1，P 3D ．P 2，P 3 7．如下图，该程序框图输出的结果是( )A ．8B ．15C ．31D ．638．已知(,)P x y 为函数sin cos y x x x =+上的任意一点，()f x 为该函数在点P 处切线的斜率，则()f x 的部分图象是( )9．如图所示，已知长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 为边长为2的正方形，BD 1 与底面ABCD 所成的角为450，则长方体的体积为（ ） A ．26 B ．25C ．28D ．2710.已知函数)(x f 在]3,1(-上的解析式为⎩⎨⎧∈---∈-=]3,1(|,2|1]1,1(,1)(2x x x x x f ，则函数x x f y 3log )(-=在]3,1(-上的零点的个数为 （ ）A.4B.3C.2D.1二、填空题：本大题共5个小题，考生作答4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上。
2011年广东高考数学试题(文科)
初一语文模拟试卷（11.20）一、语言的积累与运用：（5分）1、给下面加点字注音，或根据拼音写汉字。
（2.5分）①骸．（）骨②潜．（）行③静谧．（）④篡．（）夺⑤一霎．（）时⑥xī（）sū（）作响⑦喧xiāo（）⑧shǒu（）猎⑨kù（）爱⑩dǎo（）告2、完词填空（2.5分）①海枯石（）②千（）百态③（）首挺立④更胜一（）⑤销声（）迹二、古诗文默写：（10分）3、海日生残夜，。
4、开轩面场圃，。
5、，听取蛙声一片。
6、《泊秦怀》一诗中哪两句渲染了一幅迷茫、冷落的水上夜景图，。
7、张若虚在《春江花月夜》一诗云：“此时相望不相闻，但愿月华流照君”。
《闻王昌龄左迁龙标遥有此寄》中亦有与此句意境相类似的诗句是：，。
8、崔颢《黄鹤楼》中有诗句“日暮乡关何处是，烟波江上使人愁”，马志远《天净沙秋思》中与此意境相似的名句是：，。
9、《论语十则》中鲜明的指导我们学习中要紧密的把学与思结合起来的句子是：，。
三、阅读。
（42分）（一）课内古文阅读。
（10分）《陈太丘与友期》陈太丘与友期行，期日中，过中不至，太丘舍去，去后乃至。
元方时年七岁，门外戏。
客问元方：“尊君在不？”答曰：“待君久不至，已去。
”友人便怒：“非人哉！与人期行，相委而去。
”元方曰：“君与家君期日中。
日中不至，则是无信；对子骂父，则是无礼。
”友人惭，下车引之，元方入门不顾。
10、解释下列加点字在文中的含义。
（2分）①期．日中（）②舍．去（）③相委．而去（）④友人惭．（）11、友人“下车引之”的原因是什么？（用文中的话回答）（2分）。
12、当自己的父亲遭到朋友的指责时，元方有理有据地对友人进行了批驳，从中可以看出元方是个什么样的孩子？（2分）13、友人来迟，却对子骂父，遭到了一个孩子的有力批驳。
看来有理真的未必在年高，那么面对这样的突发事件，你会怎么做呢？你从元方的做法中能得到什么启发呢？（4分）（二）课外古文阅读（6分）天地浑沌如鸡子盘古生其中万八千岁天地开辟阳清为天，阴浊为地。
广东省广州市2011届高三调研考试数学(文)试题(扫描版)
（2）解:∵，，∴.∵∴. …… 8分∴…… 10分. …… 12分17．（本小题满分12分）(本小题主要考查分层抽样、概率等知识, 考查或然与必然的数学思想方法，以及数据处理能力、运算求解能力和应用意识)18.（本小题满分14分）(本小题主要考查空间线面关系、锥体的体积等知识, 考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力)（1）证明：在中，由于，，，∴. …… 2分∴．又平面平面，平面平面，平面，∴平面. …… 4分（2）解：过作交于.又平面平面，∴平面．…… 6分∵是边长为2的等边三角形，∴.由（1）知，，在中，斜边边上的高为. …… 8分∵，∴.…… 10分∴. …… 14分（2）解法1：依题意，圆心为．由得.∴圆的半径为．…… 6分∵圆与轴相交于不同的两点，且圆心到轴的距离，∴，即．∴弦长．……8分∴的面积…… 9分. …… 12分当且仅当，即时，等号成立.∴的面积的最大值为．…… 14分在圆的方程中，令，得，∴弦长．…… 8分∴的面积…… 9分. ……12分当且仅当，即时，等号成立.∴的面积的最大值为．…… 14分①②得：化简得: , ③用替换③式中的，得：, ④……6分③－④整理得：，∴当时, 数列为等差数列.∵,∴数列为等差数列. …… 8分∵∴数列的公差.∴. …… 10分21．（本小题满分14分）(本小题主要考查函数、导数等知识, 考查函数与方程、分类与整合的数学思想方法，以及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力和应用意识)(1)解: 函数的定义域为.∴.①当, 即时, 得,则.∴函数在上单调递增. ……2分②当, 即时, 令得,解得.(2) 解: 由, 得, 化为.令, 则.令, 得.当时,; 当时,.∴函数在区间上单调递增, 在区间上单调递减.∴当时, 函数取得最大值, 其值为. …… 10分而函数,当时, 函数取得最小值, 其值为. …… 12分∴当, 即时, 方程只有一个根. …… 14分。
2011年广东高考数学模拟试卷(文)
2011年广东高考数学模拟试卷（文科）本试卷满分150分，考试时间120分钟一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.只有一项符合题目要求. 1．集合{1,2},{2,4},{1,2,3,4}A B U ===，则()U A B = ðA ．{2}B ．{3}C ．{1,2,3}D ．{1,4}2．复数1ii+的实部是 A ．i -B ．1-C ．1D ．i3．抛物线2y x =的焦点坐标为A ．1(,0)4B ．1(,0)2C ．1(0,)2D ．1(0,)44．某地共有10万户家庭，其中城市住户与农村住户之比为4:6，为了落实家电下乡政策，现根据分层抽样的方法，调查了该地区1000户家庭冰箱拥有情况，调查结果如右表，那么可以估计该地区农村住户中无冰箱总户数约为A ．1.6万户B ．1.76万户C ．0.24万户D ．4.4万户5．1x >是1||x x>的 A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．下列函数中，周期为1的奇函数是A ．212sin y x π=-B ．sin cos y x x ππ=C ．tan2y x π= D ．sin(2)3y x ππ=+ 7．设m 、n 是两条直线，α、β是两个不同平面，下列命题中正确的是A ．若,,m n m n αβ⊥⊂⊥，则αβ⊥B ．若,αβ⊥,//m n αβ⊥，则m n ⊥C ．若,,m αβαβ⊥= m n ⊥，则n β⊥D ．若//,αβ,//m n αβ⊥8．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若25815a a a ++=, 则9S =A ．18B ．36C ．45D ．60 9．已知如右程序框图，则输出的i 是A ．9B ．11C ．13D ．1510．为加强食品安全管理，某市质监局拟招聘专业技术人员x 名，行政 管理人员y 名，若x 、y 满足4y xy x ≤⎧⎨≤-+⎩，33z x y =+的最大值为A ．4B ．12C ．18D ．24OCBA二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分. （一）必做题（11～13题）11．在等比数列{}n a 中，公比2q =，前3项和为21，则345a a a ++= .12．设,a b 都是单位向量，且a 与b 的夹角为60︒，则||a b +=.13．比较大小：lg9lg11⋅ 1（填“>”，“<”或“=”）（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题；如果二题都做，则按第14题评分） 14．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，点(2,)3M π到直线:sin()42l πρθ+=的距离为 . 15．（几何证明选讲选做题）如图，已知,45OA OB OC ACB ==∠=︒， 则OBA ∠的大小为 .三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.16．（本小题满分12分）已知函数21()cos cos 1,2f x x x x x R =+∈． （1）求函数()f x 的最小正周期； （2）求函数()f x 在[,]124ππ上的最大值和最小值，并求函数取得最大值和最小值时的自变量x 的值．17．（本小题满分12分） 口袋中装有质地大小完全相同的5个球，编号分别为1，2，3，4，5，甲、乙两人玩一种游戏： 甲先摸一个球，记下编号，放回后乙再摸一个球，记下编号.如果两个编号的和为偶数就算甲胜，否则算乙胜.（1）求甲胜且编号的和为6的事件发生的概率； （2）这种游戏规则公平吗？说明理由.18．（本小题满分14分）如图，矩形ABCD 中，AD ⊥平面,2,ABE AE EB BC ===F 为CE 上的点，且BF ⊥平面ACE ，.BD ACG =（1）求证：AE ⊥平面BCE ； （2）求证：//AE 平面BFD ； （3）求三棱锥E ADC -的体积.19．（本小题满分14分）BA已知椭圆C 的两个焦点为12(1,0),(1,0)F F -，点A 在椭圆C 上. （1）求椭圆C 的方程；（2）已知点(2,0)B ，设点P 是椭圆C 上任一点，求1PF PB ⋅的取值范围.20．（本小题满分14分）已知数列{}n a 是等差数列， 256,18a a ==；数列{}n b 的前n 项和是n T ，且112n n T b +=． (1) 求数列{}n a 的通项公式； (2) 求证：数列{}n b 是等比数列；(3) 记n n n c a b =⋅，求{}n c 的前n 项和n S ．21．（本小题满分14分） 已知函数3()3.f x x x =-（1）求曲线()y f x =在点2x =处的切线方程；（2）若过点(1,)(2)A m m ≠-可作曲线()y f x =的三条切线，求实数m 的取值范围.参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，满分20分.其中14～15题是选做题，考生只能选做一题，两题全答，只计算前一题得分.11．8412．13．<1415．45︒三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.16．解： 21()cos cos 122f x x x x =++15cos 22444x x =++ 15sin(2)264x π=++…………………………………………………………4分 （1）()f x 的最小正周期22T ππ==…………………………………………6分 （2）[,]124x ππ∈ 22[,]633x πππ∴+∈ ∴当262x ππ+=，即6x π=时，max 157()244f x =+=当263x ππ+=或2263x ππ+=时，即12x π=或4x π=时，min 15()24f x =+=……………………………………………………12分17．解：（1）设“甲胜且两个编号的和为6”为事件A .甲编号x ，乙编号y ，(,)x y 表示一个基本事件，则两人摸球结果包括（1，1），（1，2），……，（1，5），（2，1），（2，2），……，（5，4）， （5，5）共25个基本事件；……………………………………………………………………1分A 包含的基本事件有（1，5），（2，4），（3，3），（4，2），（5，1）共5个 …………3分所以51()255P A == …………………………………………………………………………4分 答：编号之和为6且甲胜的概率为15。
2011年广东高考文科数学真题及答案
2011年广东高考文科数学真题及答案一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．（5分）设复数z满足iz=1，其中i为虚数单位，则z=（）A．﹣i B．i C．﹣1 D．1【解答】解：设Z=x+yi∵iz=1，∴i（x+yi）=﹣y+xi=1故x=0，y=﹣1∴Z=﹣i故选A2．（5分）已知集合A={（x，y）|x，y为实数，且x2+y2=1}，B=|（x，y）|x，y为实数，且x+y=1}，则A∩B的元素个数为（）A．4 B．3 C．2 D．1【解答】解：联立两集合中的函数关系式得：，由②得：x=1﹣y，代入②得：y2﹣y=0即y（y﹣1）=0，解得y=0或y=1，把y=0代入②解得x=1，把y=1代入②解得x=0，所以方程组的解为或，有两解，则A∩B的元素个数为2个．故选C3．（5分）已知向量=（1，2），=（1，0），=（3，4）．若λ为实数，（+λ）∥，则λ=（）A．B．C．1 D．2【解答】解：∵向量=（1，2），=（1，0），=（3，4）．∴=（1+λ，2）∵（+λ）∥，∴4（1+λ）﹣6=0，∴故选B．4．（5分）函数f（x）=+lg（1+x）的定义域是（）A．（﹣∞，﹣1） B．（1，+∞）C．（﹣1，1）∪（1，+∞）D．（﹣∞，+∞）【解答】解：根据题意，使f（x）=+lg（1+x）有意义，应满足，解可得（﹣1，1）∪（1，+∞）；故选：C．5．（5分）不等式2x2﹣x﹣1＞0的解集是（）A．（﹣，1）B．（1，+∞）C．（﹣∞，1）∪（2，+∞）D．（﹣∞，﹣）∪（1，+∞）【解答】解：原不等式同解于（2x+1）（x﹣1）＞0∴x＞1或x＜故选：D6．（5分）已知平面直角坐标系xOy上的区域D由不等式组给定．若M（x，y）为D上的动点，点A的坐标为，则z=•的最大值为（）A．3 B．4 C．3 D．4【解答】解：首先做出可行域，如图所示：z=•=，即y=﹣x+z做出l0：y=﹣x，将此直线平行移动，当直线y=﹣x+z经过点B时，直线在y轴上截距最大时，z有最大值．因为B（，2），所以z的最大值为4故选：B7．（5分）正五棱柱中，不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线，那么一个正五棱柱对角线的条数共有（）A．20 B．15 C．12 D．10【解答】解：由题意正五棱柱对角线一定为上底面的一个顶点和下底面的一个顶点的连线，因为不同在任何侧面内，故从一个顶点出发的对角线有2条．正五棱柱对角线的条数共有2×5=10条．故选D8．（5分）设圆C与圆x2+（y﹣3）2=1外切，与直线y=0相切，则C的圆心轨迹为（）A．抛物线B．双曲线C．椭圆 D．圆【解答】解：设C的坐标为（x，y），圆C的半径为r，圆x2+（y﹣3）2=1的圆心为A，∵圆C与圆x2+（y﹣3）2=1外切，与直线y=0相切∴|CA|=r+1，C到直线y=0的距离d=r ∴|CA|=d+1，即动点C定点A的距离等于到定直线y=﹣1的距离由抛物线的定义知：C的轨迹为抛物线．故选A9．（5分）如图，某几何体的正视图（主视图），侧视图（左视图）和俯视图分别是等边三角形，等腰三角形和菱形，则该几何体体积为（）A．B．4 C．D．2【解答】解：由已知中该几何中的三视图中有两个三角形一个菱形可得这个几何体是一个四棱锥由图可知，底面两条对角线的长分别为2，2，底面边长为2故底面棱形的面积为=2侧棱为2，则棱锥的高h==3故V==2故选C10．（5分）设f（x），g（x），h（x）是R上的任意实值函数，如下定义两个函数（f°g）（x）和（（f•g）（x）对任意x∈R，（f°g）（x）=f（g（x））；（f•g）（x）=f（x）g（x），则下列等式恒成立的是（）A．（（f°g）•h）（x）=（（f•h）°（g•h））（x）B．（（f•g）°h）（x）=（（f°h）•（g°h））（x）C．（（f°g）°h）（x）=（（f°h）°（g°h））（x）D．（（f•g）•h）（x）=（（f•h）•（g•h））（x）【解答】解：A、∵（f°g）（x）=f（g（x）），（f•g）（x）=f（x）g（x），∴（（f°g）•h）（x）=（f°g）（x）h（x）=f（g（x））h（x）；而（（f•h）°（g•h））（x）=（f•h）（（g•h）（x））=f（g（x）h（x））h（g（x）h（x））；∴（（f°g）•h）（x）≠（（f•h）°（g•h））（x）B、∵（（f•g）°h）（x）=（f•g）（h（x））=f（h（x））g（h（x））（（f°h）•（g°h））（x）=（f°h）•（x）（g°h）（x）=f（h（x））g（h（x））∴（（f•g）°h）（x）=（（f°h）•（g°h））（x）C、（（f°g）°h）（x）=（（f°g）（h（x））=f（g（h（x））），（（f°h）°（g°h））（x）=f（h（g（h（x））））∴（（f°g）°h）（x）≠（（f°h）°（g°h））（x）；D、（（f•g）•h）（x）=f（x）g（x）h（x），（（f•h）•（g•h））（x）=f（x）h（x）g（x）h（x），∴（（f•g）•h）（x）≠（（f•h）•（g•h））（x）．故选B．二、填空题（共5小题，考生作答4小题每小题5分，满分20分）11．（5分）已知{a n}是递增等比数列，a2=2，a4﹣a3=4，则此数列的公比q= 2 ．【考点】等比数列的通项公式．【专题】等差数列与等比数列．【分析】由已知{a n}是递增等比数列，a2=2，我们可以判断此数列的公比q＞1，又由a2=2，a4﹣a3=4，我们可以构造出一个关于公比q的方程，解方程即可求出公比q的值．【解答】解：∵{a n}是递增等比数列，且a2=2，则公比q＞1又∵a4﹣a3=a2（q2﹣q）=2（q2﹣q）=4即q2﹣q﹣2=0解得q=2，或q=﹣1（舍去）故此数列的公比q=2故答案为：2【点评】本题考查的知识点是等比数列的通项公式，其中利用等比数列的通项公式及a2=2，a4﹣a3=4，构造出一个关于公比q的方程，是解答本题的关键．12．（5分）设函数f（x）=x3cosx+1，若f（a）=11，则f（﹣a）= ﹣9 ．【考点】函数奇偶性的性质．【专题】函数的性质及应用．【分析】由于函数f（x）=x3cosx+1，是一个非奇非偶函数，故无法直接应用函数奇偶性的性质进行解答，故可构造函数g（x）=f（x）﹣1=x3cosx，然后利用g（x）为奇函数，进行解答．【解答】解：令g（x）=f（x）﹣1=x3cosx则g（x）为奇函数，又∵f（a）=11，∴g（a）=f（a）﹣1=11﹣1=10∴g（﹣a）=﹣10=f（﹣a）﹣1∴f（﹣a）=﹣9故答案为：﹣9【点评】本题考查的知识点是函数奇偶性的性质，其中构造出奇函数g（x）=f（x）﹣1=x3cosx，是解答本题的关键．13．（5分）工人月工资y（元）与劳动生产率x（千元）变化的回归方程为=50+80x，下列判断正确的是②①劳动生产率为1千元时，工资为130元；②劳动生产率提高1千元，则工资提高80元；③劳动生产率提高1千元，则工资提高130元；④当月工资为210元时，劳动生产率为2千元．【考点】线性回归方程．【专题】概率与统计．【分析】回归方程═50+80x变量x增加一个单位时，变量产生相应变化，从而对选项一一进行分析得到结果．【解答】解：：∵对x的回归直线方程=50+80x，∴=（x+1）+50，∴﹣=80（x+1）+50﹣80x﹣50=80．所以劳动生产率提高1千元，则工资提高80元，②正确，③不正确．①④不满足回归方程的意义．故答案为：②．【点评】主要考查知识点：统计．本题主要考查线性回归方程的应用，考查线性回归方程自变量变化一个单位，对应的预报值是一个平均变化，这是容易出错的知识点．14．（5分）已知两曲线参数方程分别为（0≤θ＜π）和（t∈R），它们的交点坐标为（1，）．【考点】参数方程化成普通方程；直线的参数方程；椭圆的参数方程．【专题】坐标系和参数方程．【分析】利用同角三角函数的基本关系及代入的方法，把参数方程化为普通方程，再利用消去参数t化曲线的参数方程为普通方程，最后解方程组求得两曲线的交点坐标即可．【解答】解：曲线参数方程（0≤θ＜π）的直角坐标方程为：；曲线（t∈R）的普通方程为：；解方程组：得：∴它们的交点坐标为（1，）．故答案为：（1，）．【点评】本题考查同角三角函数的基本关系，参把数方程化为普通方程的方法，以及求两曲线的交点坐标的方法，考查运算求解能力．属于基础题．15．如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB=4，CD=2．E，F分别为AD，BC上点，且EF=3，EF∥AB，则梯形ABFE与梯形EFCD的面积比为7：5 ．【考点】相似三角形的性质．【专题】解三角形．【分析】根据EF的长度和与上下底平行知是梯形的中位线，设出中位线分成的两个梯形的高，根据梯形的面积公式写出两个梯形的面积，都是用含有高的代数式来表示的，求比值得到结果．【解答】解：∵E，F分别为AD，BC上点，且EF=3，EF∥AB，∴EF是梯形的中位线，设两个梯形的高是h，∴梯形ABFE的面积是，梯形EFCD的面积∴梯形ABFE与梯形EFCD的面积比为=，故答案为：7：5【点评】本题考查梯形的中位线，考查梯形的面积公式是一个基础题，解题的时候容易出的一个错误是把两个梯形看成相似梯形，根据相似多边形的面积之比等于相似比的平方．三、解答题（共6小题，满分80分）16．（12分）已知函数f（x）=2sin（x﹣），x∈R．（1）求f（0）的值；（2）设α，β∈，f（3）=，f（3β+）=．求sin（α+β）的值．【考点】两角和与差的正弦函数．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】（1）把x=0代入函数解析式求解．（2）根据题意可分别求得sinα和sinβ的值，进而利用同角三角函数基本关系求得cosα和cosβ的值，最后利用正弦的两角和公式求得答案．【解答】解：（1）∵f（x）=2sin（x﹣），x∈R，∴f（0）=2sin（﹣）=﹣1（2）∵f（3）=2sinα=，f（3β+）=2sinβ=．∴sinα=，sinβ=∵α，β∈，∴cosα==，cosβ==∴sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ=【点评】本题主要考查了两角和与差的正弦函数．考查了对三角函数基础公式的熟练记忆．17．（13分）在某次测验中，有6位同学的平均成绩为75分．用x n表示编号为n（n=1，2，…，6）的同学所得成绩，且前5位同学的成绩如下：编号n 1 2 3 4 5成绩x n70 76 72 70 72（1）求第6位同学的成绩x6，及这6位同学成绩的标准差s；（2）从前5位同学中，随机地选2位同学，求恰有1位同学成绩在区间（68，75）中的概率．【考点】极差、方差与标准差；古典概型及其概率计算公式．【专题】概率与统计．【分析】（1）根据平均数公式写出这组数据的平均数表示式，在表示式中有一个未知量，根据解方程的思想得到结果，求出这组数据的方差，再进一步做出标准差．（2）本题是一个古典概型，试验发生包含的事件是从5位同学中选2个，共有C52种结果，满足条件的事件是恰有一位成绩在区间（68，75）中，共有C41种结果，根据概率公式得到结果．【解答】解：（1）根据平均数的个数可得75=，∴x6=90，这六位同学的方差是（25+1+9+25+9+225）=49，∴这六位同学的标准差是7（2）由题意知本题是一个古典概型，试验发生包含的事件是从5位同学中选2个，共有C52=10种结果，满足条件的事件是恰有一位成绩在区间（68，75）中，共有C41=4种结果，根据古典概型概率个数得到P==0.4．【点评】本题考查一组数据的平均数公式的应用，考查求一组数据的方差和标准差，考查古典概型的概率公式的应用，是一个综合题目．18．（13分）如图所示的几何体是将高为2，底面半径为1的直圆柱沿过轴的平面切开后，将其中一半沿切面向右水平平移后得到的，A，A′，B，B′分别为的中点，O1，O1′，O2，O2′分别为CD，C′D′，DE，D′E′的中点．（1）证明：O1′，A′，O2，B四点共面；（2）设G为A A′中点，延长A′O1′到H′，使得O1′H′=A′O1′．证明：BO2′⊥平面H′B′G．【考点】直线与平面垂直的判定；棱柱的结构特征；平面的基本性质及推论．【专题】空间位置关系与距离；立体几何．【分析】（1）要证O1′，A′，O2，B四点共面，即可证四边形BO2A′O1′为平面图形，根据A′O1′与B′O2′在未平移时属于同一条直径知道A′O1′∥B′O2′即BO2∥A′O1′再根据BO2=A′O1′=1即可得到四边形BO2A′O1′是平行四边形，则证．（2）建立空间直角坐标系，要证BO2′⊥平面H′B′G只需证，，根据坐标运算算出•，的值均为0即可【解答】证明：（1）∵B′，B分别是中点∴BO2∥B′O2′∵A′O1′与B′O2′在未平移时属于同一条直径∴A′O1′∥B′O2′∴BO2∥A′O1′∵BO2=A′O1′=1∴四边形BO2A′O1′是平行四边形即O1′，A′，O2，B四点共面（2）以D为原点，以向量DE所在的直线为X轴，以向量DD′所在的直线为Z轴，建立如图空间直角坐标系，则B（1，1，0），O2′（0，1，2），H′（1，﹣1，2），A（﹣1，﹣1，0），G（﹣1，﹣1，1），B′（1，1，2）则=（﹣1，0，2），=（﹣2，﹣2，﹣1），=（0，﹣2，0）∵•=0，=0∴BO2′⊥B′G，BO2′⊥B′H′即，∵B′H′∩B′G=B′，B′H′、B′G⊂面H′GB′∴BO2′⊥平面H′B′G【点评】本题考查了直线与平面垂直的判定，棱柱的结构特征，平面的基本性质及推论以及空间向量的基本知识，属于中档题．19．（14分）设a＞0，讨论函数f（x）=lnx+a（1﹣a）x2﹣2（1﹣a）x的单调性．【考点】利用导数研究函数的单调性．【专题】导数的综合应用．【分析】求出函数的定义域，求出导函数，设g（x）=2a（1﹣a）x2﹣2（1﹣a）x+1，x∈（0，+∞），讨论a=1，a＞1与0＜a＜1三种情形，然后利用函数的单调性与导函数符号的关系求出单调性．【解答】解：定义域{x|x＞0}f′（x）==设g（x）=2a（1﹣a）x2﹣2（1﹣a）x+1，x∈（0，+∞）①若a=1，则g（x）=1＞0∴在（0，+∞）上有f'（x）＞0，即f（x）在（0，+∞）上是增函数．②若a＞1则2a（1﹣a）＜0，g（x）的图象开口向下，此时△=[﹣2（1﹣a）]2﹣4×2a（1﹣a）×1=4（1﹣a）（1﹣3a）＞0方程2a（1﹣a）x2﹣2（1﹣a）x+1=0有两个不等的实根不等的实根为x1=，x2=且x1＜0＜x2∴在（0，）上g（x）＞0，即f'（x）＞0，f（x）是增函数；在（，+∞）上g（x）＜0，即f'（x）＜0，f（x）是减函数；③若0＜a＜1则2a（1﹣a）＞0，g（x）的图象开口向上，此时△=[﹣2（1﹣a）]2﹣4×2a（1﹣a）×1=4（1﹣a）（1﹣3a）可知当≤a＜1时，△≤0，故在（0，+∞）上，g（x）≥0，即f'（x）≥0，f（x）是增函数；当0＜a＜时，△＞0，方程2a（1﹣a）x2﹣2（1﹣a）x+1=0有两个不等的实根不等的实根满足＞＞0故在（0，）和（，+∞）上g（x）＞0，即f'（x）＞0，f（x）是增函数；在（，）上g（x）＜0，即f'（x）＜0，f（x）是减函数．【点评】本题考查利用导函数讨论函数的单调性：导函数为正函数递增；导函数为负，函数递减，同时考查了分类讨论的数学思想方法，属于难题．20．（14分）设b＞0，数列{a n}满足a1=b，a n=（n≥2）（1）求数列{a n}的通项公式；（2）证明：对于一切正整数n，2a n≤b n+1+1．【考点】数列递推式；数列与不等式的综合．【专题】等差数列与等比数列．【分析】（1）由题设形式可以看出，题设中给出了关于数列a n的面的一个方程，即一个递推关系，所以应该对此递推关系进行变形整理以发现其中所蕴含的规律，观察发现若对方程两边取倒数则可以得到一个类似等差数列的形式，对其中参数进行讨论，分类求其通项即可．（2）由于本题中条件较少，解题思路不宜用综合法直接分析出，故求解本题可以采取分析法的思路，由结论探究其成立的条件，再证明此条件成立，即可达到证明不等式的目的．【解答】解：（1）∵（n≥2），∴（n≥2），当b=1时，（n≥2），∴数列{}是以为首项，以1为公差的等差数列，∴=1+（n﹣1）×1=n，即a n=1，当b＞0，且b≠1时，（n≥2），即数列{}是以=为首项，公比为的等比数列，∴=×=，即a n=，∴数列{a n}的通项公式是（2）证明：当b=1时，不等式显然成立当b＞0，且b≠1时，a n=，要证对于一切正整数n，2a n≤b n+1+1，只需证2×≤b n+1+1，即证∵==（b n+1+1）×（b n﹣1+b n﹣2+…+b+1）=（b2n+b2n﹣1+…+b n+2+b n+1）+（b n﹣1+b n﹣2+…+b+1）=b n[（b n+b n﹣1+…+b2+b）+（++…+）]≥b n（2+2+…+2）=2nb n所以不等式成立，综上所述，对于一切正整数n，有2a n≤b n+1+1，【点评】本题考点是数列的递推式，考查根据数列的递推公式求数列的通项，研究数列的性质的能力，本题中递推关系的形式适合用取倒数法将所给的递推关系转化为有规律的形式，两边取倒数，条件许可的情况下，使用此技巧可以使得解题思路呈现出来．数列中有请多成熟的规律，做题时要注意积累这些小技巧，在合适的情况下利用相关的技巧，可以简化做题．在（2）的证明中，采取了分析法的来探究解题的思路，通过本题希望能进一步熟悉分析法证明问题的技巧．21．（14分）在平面直角坐标系xOy中，直线l：x=﹣2交x轴于点A，设P是l上一点，M 是线段OP的垂直平分线上一点，且满足∠MPO=∠AOP．（1）当点P在l上运动时，求点M的轨迹E的方程；（2）已知T（1，﹣1），设H是E上动点，求|HO|+|HT|的最小值，并给出此时点H的坐标；（3）过点T（1，﹣1）且不平行与y轴的直线l1与轨迹E有且只有两个不同的交点，求直线l1的斜率k的取值范围．【考点】轨迹方程；直线与圆锥曲线的综合问题．【专题】综合题；压轴题；转化思想．【分析】（1）由于直线l：x=﹣2交x轴于点A，所以A（﹣2，0），由于P是l上一点，M 是线段OP的垂直平分线上一点，且满足∠MPO=∠AOP，可以设点P，由于满足∠MPO=∠AOP，所以分析出MN∥AO，利用相关点法可以求出动点M的轨迹方程；（2）由题意及点M的轨迹E的方程为y2=4（x+1），且已知T（1，﹣1），又H是E 上动点，点O及点T都为定点，利用图形即可求出；（3）由题意设出过定点的直线方程l1并与点M的轨迹E的方程联立，利用有两个交点等价与联立之后的一元二次方程的判别式大于0，即可得到所求．【解答】解：（1）如图所示，连接OM，则|PM|=|OM|，∵∠MPO=∠AOP，∴动点M满足MP⊥l或M在x的负半轴上，设M（x，y）①当MP⊥l时，|MP|=|x+2|，|om|=，|x+2|=，化简得y2=4x+4 （x≥﹣1）②当M在x的负半轴上时，y=0（x≤﹣1），综上所述，点M的轨迹E的方程为y2=4x+4（x≥﹣1）或y=0（x＜﹣1）．（2）由题意画出图形如下：∵由（1）知道动点M 的轨迹方程为：y2=4（x+1）．是以（﹣1，0）为顶点，以O（0，0）为焦点，以x=﹣2为准线的抛物线，由H引直线HB垂直准线x=﹣2与B点，则利用抛物线的定义可以得到：|HB|=|HO|，∴要求|HO|+|HT|的最小值等价于求折线|HB|+|HT|的最小值，由图可知当由点T直接向准线引垂线是与抛物线相交的H使得HB|+|HT|的最小值，故|HO|+|HT|的最小值时的H．（3）如图，设抛物线顶点A（﹣1，0），则直线AT的斜率，∵点T（1，﹣1）在抛物线内部，∴过点T且不平行于x，y轴的直线l1必与抛物线有两个交点，则直线l1与轨迹E的交点个数分以下四种情况讨论：①当K时，直线l1与轨迹E有且只有两个不同的交点，②当时，直线l1与轨迹E有且只有一个不同的交点，③当K=0时，直线l1与轨迹E有且只有一个交点，④当K＞0时，直线l1与轨迹E有且只有两个不同的交点．综上所述，直线l1的斜率K的取值范围是（﹣]∪（0，+∞）．【点评】此题重点考查了利用相关点法求动点的轨迹方程，还考查了利用抛物线的定义求出HO|+|HT|的最小值时等价转化的思想，还考查了直线与曲线有两个交点的等价转化思想．。
2011年广东省高考数学试卷(文科)答案与解析
2011年广东省高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．（5分）（2011•广东）设复数z满足iz=1，其中i为虚数单位，则z=（）A．﹣i B．i C．﹣1 D．1【考点】复数代数形式的乘除运算．【专题】数系的扩充和复数．【分析】我们可以利用待定系数法求出Z，我们设Z=x+yi，结合已知中iz=1，结合复数相等的充要条件，我们易构造出一个关于x，y的方程组，解方程组即可求出满足条件的复数Z的值．【解答】解：设Z=x+yi∵iz=1，∴i（x+yi）=﹣y+xi=1故x=0，y=﹣1∴Z=﹣i故选A【点评】本题考查的知识点是复数代数形式的乘除运算，其中利用复数相等的充要条件，构造出一个关于x，y的方程组，是解答本题的关键．2．（5分）（2011•广东）已知集合A={（x，y）|x，y为实数，且x2+y2=1}，B=|（x，y）|x，y为实数，且x+y=1}，则A∩B的元素个数为（）A．4 B．3 C．2 D．1【考点】交集及其运算．【专题】集合．【分析】观察两集合发现，两集合表示两点集，要求两集合交集元素的个数即为求两函数图象交点的个数，所以联立两函数解析式，求出方程组的解，有几个解就有几个交点即为两集合交集的元素个数．【解答】解：联立两集合中的函数关系式得：，由②得：x=1﹣y，代入②得：y2﹣y=0即y（y﹣1）=0，解得y=0或y=1，把y=0代入②解得x=1，把y=1代入②解得x=0，所以方程组的解为或，有两解，则A∩B的元素个数为2个．故选C【点评】此题考查学生理解交集的运算，考查了求两函数交点的方法，是一道基础题．本题的关键是认识到两集合表示的是点坐标所构成的集合即点集．3．（5分）（2011•广东）已知向量=（1，2），=（1，0），=（3，4）．若λ为实数，（+λ）∥，则λ=（）A．B．C．1 D．2【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示．【专题】平面向量及应用．【分析】根据所给的两个向量的坐标，写出要用的+λ向量的坐标，根据两个向量平行，写出两个向量平行的坐标表示形式，得到关于λ的方程，解方程即可．【解答】解：∵向量=（1，2），=（1，0），=（3，4）．∴=（1+λ，2）∵（+λ）∥，∴4（1+λ）﹣6=0，∴故选B．【点评】本题考查两个向量平行的坐标表示，考查两个向量坐标形式的加减数乘运算，考查方程思想的应用，是一个基础题．4．（5分）（2011•广东）函数f（x）=+lg（1+x）的定义域是（）A．（﹣∞，﹣1）B．（1，+∞）C．（﹣1，1）∪（1，+∞）D．（﹣∞，+∞）【考点】函数的定义域及其求法．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据题意，结合分式与对数函数的定义域，可得，解可得答案．【解答】解：根据题意，使f（x）=+lg（1+x）有意义，应满足，解可得（﹣1，1）∪（1，+∞）；故选：C．【点评】本题考查函数的定义域，首先牢记常见的基本函数的定义域，如果涉及多个基本函数，取它们的交集即可．5．（5分）（2011•广东）不等式2x2﹣x﹣1＞0的解集是（）A．（﹣，1）B．（1，+∞）C．（﹣∞，1）∪（2，+∞）D．（﹣∞，﹣）∪（1，+∞）【考点】一元二次不等式的解法．【专题】不等式的解法及应用．【分析】将不等式的左边分解因式得到相应的方程的根；利用二次方程解集的形式写出解集．【解答】解：原不等式同解于（2x+1）（x﹣1）＞0∴x＞1或x＜故选：D【点评】本题考查二次不等式的解法：判断相应的方程是否有根；若有根求出两个根；据二次不等式解集的形式写出解集．6．（5分）（2011•广东）已知平面直角坐标系xOy上的区域D由不等式组给定．若M（x，y）为D上的动点，点A的坐标为，则z=•的最大值为（）A．3 B．4 C．3D．4【考点】二元一次不等式（组）与平面区域；数量积的坐标表达式．【专题】不等式的解法及应用．【分析】首先做出可行域，将z=•的坐标代入变为z=，即y=﹣x+z，此方程表示斜率是﹣的直线，当直线与可行域有公共点且在y轴上截距最大时，z有最大值．【解答】解：首先做出可行域，如图所示：z=•=，即y=﹣x+z做出l0：y=﹣x，将此直线平行移动，当直线y=﹣x+z经过点B时，直线在y轴上截距最大时，z有最大值．因为B（，2），所以z的最大值为4故选：B【点评】本题考查线性规划、向量的坐标表示，考查数形结合思想解题．7．（5分）（2011•广东）正五棱柱中，不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线，那么一个正五棱柱对角线的条数共有（）A．20 B．15 C．12 D．10【考点】棱柱的结构特征．【专题】立体几何．【分析】抓住上底面的一个顶点，看从此顶点出发的对角线有多少条即可解决．【解答】解：由题意正五棱柱对角线一定为上底面的一个顶点和下底面的一个顶点的连线，因为不同在任何侧面内，故从一个顶点出发的对角线有2条．正五棱柱对角线的条数共有2×5=10条．故选D【点评】本题考查计数原理在立体几何中的应用，考查空间想象能力．8．（5分）（2011•广东）设圆C与圆x2+（y﹣3）2=1外切，与直线y=0相切，则C的圆心轨迹为（）A．抛物线B．双曲线C．椭圆 D．圆【考点】圆的切线方程；圆与圆的位置关系及其判定；抛物线的定义．【专题】直线与圆．【分析】由动圆与定圆相外切可得两圆圆心距与半径的关系，然后利用圆与直线相切可得圆心到直线的距离与半径的关系，借助等量关系可得动点满足的条件，即可的动点的轨迹．【解答】解：设C的坐标为（x，y），圆C的半径为r，圆x2+（y﹣3）2=1的圆心为A，∵圆C与圆x2+（y﹣3）2=1外切，与直线y=0相切∴|CA|=r+1，C到直线y=0的距离d=r ∴|CA|=d+1，即动点C定点A的距离等于到定直线y=﹣1的距离由抛物线的定义知：C的轨迹为抛物线．故选A【点评】本题考查了圆的切线，两圆的位置关系及抛物线的定义，动点的轨迹的求法，是个基础题．9．（5分）（2011•广东）如图，某几何体的正视图（主视图），侧视图（左视图）和俯视图分别是等边三角形，等腰三角形和菱形，则该几何体体积为（）A．B．4 C． D．2【考点】由三视图求面积、体积．【专题】立体几何．【分析】根据已知中的三视图及相关视图边的长度，我们易判断出该几何体的形状及底面积和高的值，代入棱锥体积公式即可求出答案．【解答】解：由已知中该几何中的三视图中有两个三角形一个菱形可得这个几何体是一个四棱锥由图可知，底面两条对角线的长分别为2，2，底面边长为2故底面棱形的面积为=2侧棱为2，则棱锥的高h==3故V==2故选C【点评】本题考查的知识点是由三视图求面积、体积其中根据已知求出满足条件的几何体的形状及底面面积和棱锥的高是解答本题的关键．10．（5分）（2011•广东）设f（x），g（x），h（x）是R上的任意实值函数，如下定义两个函数（f°g）（x）和（（f•g）（x）对任意x∈R，（f°g）（x）=f（g（x））；（f•g）（x）=f（x）g （x），则下列等式恒成立的是（）A．（（f°g）•h）（x）=（（f•h）°（g•h））（x）B．（（f•g）°h）（x）=（（f°h）•（g°h））（x）C．（（f°g）°h）（x）=（（f°h）°（g°h））（x）D．（（f•g）•h）（x）=（（f•h）•（g•h））（x）【考点】抽象函数及其应用．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据定义两个函数（f°g）（x）和（（f•g）（x）对任意x∈R，（f°g）（x）=f（g（x））；（f•g）（x）=f（x）g（x），然后逐个验证即可找到答案．【解答】解：A、∵（f°g）（x）=f（g（x）），（f•g）（x）=f（x）g（x），∴（（f°g）•h）（x）=（f°g）（x）h（x）=f（g（x））h（x）；而（（f•h）°（g•h））（x）=（f•h）（（g•h）（x））=f（g（x）h（x））h（g（x）h（x））；∴（（f°g）•h）（x）≠（（f•h）°（g•h））（x）B、∵（（f•g）°h）（x）=（f•g）（h（x））=f（h（x））g（h（x））（（f°h）•（g°h））（x）=（f°h）•（x）（g°h）（x）=f（h（x））g（h（x））∴（（f•g）°h）（x）=（（f°h）•（g°h））（x）C、（（f°g）°h）（x）=（（f°g）（h（x））=f（g（h（x））），（（f°h）°（g°h））（x）=f（h（g（h（x））））∴（（f°g）°h）（x）≠（（f°h）°（g°h））（x）；D、（（f•g）•h）（x）=f（x）g（x）h（x），（（f•h）•（g•h））（x）=f（x）h（x）g（x）h（x），∴（（f•g）•h）（x）≠（（f•h）•（g•h））（x）．故选B．【点评】此题是个基础题．考查学生分析解决问题的能力，和知识方法的迁移能力．二、填空题（共5小题，考生作答4小题每小题5分，满分20分）11．（5分）（2011•广东）已知{a n}是递增等比数列，a2=2，a4﹣a3=4，则此数列的公比q= 2．【考点】等比数列的通项公式．【专题】等差数列与等比数列．【分析】由已知{a n}是递增等比数列，a2=2，我们可以判断此数列的公比q＞1，又由a2=2，a4﹣a3=4，我们可以构造出一个关于公比q的方程，解方程即可求出公比q的值．【解答】解：∵{a n}是递增等比数列，且a2=2，则公比q＞1又∵a4﹣a3=a2（q2﹣q）=2（q2﹣q）=4即q2﹣q﹣2=0解得q=2，或q=﹣1（舍去）故此数列的公比q=2故答案为：2【点评】本题考查的知识点是等比数列的通项公式，其中利用等比数列的通项公式及a2=2，a4﹣a3=4，构造出一个关于公比q的方程，是解答本题的关键．12．（5分）（2011•广东）设函数f（x）=x3cosx+1，若f（a）=11，则f（﹣a）=﹣9．【考点】函数奇偶性的性质．【专题】函数的性质及应用．【分析】由于函数f（x）=x3cosx+1，是一个非奇非偶函数，故无法直接应用函数奇偶性的性质进行解答，故可构造函数g（x）=f（x）﹣1=x3cosx，然后利用g（x）为奇函数，进行解答．【解答】解：令g（x）=f（x）﹣1=x3cosx则g（x）为奇函数，又∵f（a）=11，∴g（a）=f（a）﹣1=11﹣1=10∴g（﹣a）=﹣10=f（﹣a）﹣1∴f（﹣a）=﹣9故答案为：﹣9【点评】本题考查的知识点是函数奇偶性的性质，其中构造出奇函数g（x）=f（x）﹣1=x3cosx，是解答本题的关键．13．（5分）（2011•广东）工人月工资y（元）与劳动生产率x（千元）变化的回归方程为=50+80x，下列判断正确的是②①劳动生产率为1千元时，工资为130元；②劳动生产率提高1千元，则工资提高80元；③劳动生产率提高1千元，则工资提高130元；④当月工资为210元时，劳动生产率为2千元．【考点】线性回归方程．【专题】概率与统计．【分析】回归方程═50+80x变量x增加一个单位时，变量产生相应变化，从而对选项一一进行分析得到结果．【解答】解：：∵对x的回归直线方程=50+80x，∴=（x+1）+50，∴﹣=80（x+1）+50﹣80x﹣50=80．所以劳动生产率提高1千元，则工资提高80元，②正确，③不正确．①④不满足回归方程的意义．故答案为：②．【点评】主要考查知识点：统计．本题主要考查线性回归方程的应用，考查线性回归方程自变量变化一个单位，对应的预报值是一个平均变化，这是容易出错的知识点．14．（5分）（2011•广东）已知两曲线参数方程分别为（0≤θ＜π）和（t∈R），它们的交点坐标为（1，）．【考点】参数方程化成普通方程；直线的参数方程；椭圆的参数方程．【专题】坐标系和参数方程．【分析】利用同角三角函数的基本关系及代入的方法，把参数方程化为普通方程，再利用消去参数t化曲线的参数方程为普通方程，最后解方程组求得两曲线的交点坐标即可．【解答】解：曲线参数方程（0≤θ＜π）的直角坐标方程为：；曲线（t∈R）的普通方程为：；解方程组：得：∴它们的交点坐标为（1，）．故答案为：（1，）．【点评】本题考查同角三角函数的基本关系，参把数方程化为普通方程的方法，以及求两曲线的交点坐标的方法，考查运算求解能力．属于基础题．15．（2011•广东）如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB=4，CD=2．E，F分别为AD，BC上点，且EF=3，EF∥AB，则梯形ABFE与梯形EFCD的面积比为7：5．【考点】相似三角形的性质．【专题】解三角形．【分析】根据EF的长度和与上下底平行知是梯形的中位线，设出中位线分成的两个梯形的高，根据梯形的面积公式写出两个梯形的面积，都是用含有高的代数式来表示的，求比值得到结果．【解答】解：∵E，F分别为AD，BC上点，且EF=3，EF∥AB，∴EF是梯形的中位线，设两个梯形的高是h，∴梯形ABFE的面积是，梯形EFCD的面积∴梯形ABFE与梯形EFCD的面积比为=，故答案为：7：5【点评】本题考查梯形的中位线，考查梯形的面积公式是一个基础题，解题的时候容易出的一个错误是把两个梯形看成相似梯形，根据相似多边形的面积之比等于相似比的平方．三、解答题（共6小题，满分80分）16．（12分）（2011•广东）已知函数f（x）=2sin（x﹣），x∈R．（1）求f（0）的值；（2）设α，β∈，f（3）=，f（3β+）=．求sin（α+β）的值．【考点】两角和与差的正弦函数．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】（1）把x=0代入函数解析式求解．（2）根据题意可分别求得sinα和sinβ的值，进而利用同角三角函数基本关系求得cosα和cosβ的值，最后利用正弦的两角和公式求得答案．【解答】解：（1）∵f（x）=2sin（x﹣），x∈R，∴f（0）=2sin（﹣）=﹣1（2）∵f（3）=2sinα=，f（3β+）=2sinβ=．∴sinα=，sinβ=∵α，β∈，∴cosα==，cosβ==∴sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ=【点评】本题主要考查了两角和与差的正弦函数．考查了对三角函数基础公式的熟练记忆．17．（13分）（2011•广东）在某次测验中，有6位同学的平均成绩为75分．用x n表示编号为n（n=1，2，…，6）的同学所得成绩，且前5位同学的成绩如下：编号n 1 2 3 4 5成绩x n70 76 72 70 72（1）求第6位同学的成绩x6，及这6位同学成绩的标准差s；（2）从前5位同学中，随机地选2位同学，求恰有1位同学成绩在区间（68，75）中的概率．【考点】极差、方差与标准差；古典概型及其概率计算公式．【专题】概率与统计．【分析】（1）根据平均数公式写出这组数据的平均数表示式，在表示式中有一个未知量，根据解方程的思想得到结果，求出这组数据的方差，再进一步做出标准差．（2）本题是一个古典概型，试验发生包含的事件是从5位同学中选2个，共有C52种结果，满足条件的事件是恰有一位成绩在区间（68，75）中，共有C41种结果，根据概率公式得到结果．【解答】解：（1）根据平均数的个数可得75=，∴x6=90，这六位同学的方差是（25+1+9+25+9+225）=49，∴这六位同学的标准差是7（2）由题意知本题是一个古典概型，试验发生包含的事件是从5位同学中选2个，共有C52=10种结果，满足条件的事件是恰有一位成绩在区间（68，75）中，共有C41=4种结果，根据古典概型概率个数得到P==0.4．【点评】本题考查一组数据的平均数公式的应用，考查求一组数据的方差和标准差，考查古典概型的概率公式的应用，是一个综合题目．18．（13分）（2011•广东）如图所示的几何体是将高为2，底面半径为1的直圆柱沿过轴的平面切开后，将其中一半沿切面向右水平平移后得到的，A，A′，B，B′分别为的中点，O1，O1′，O2，O2′分别为CD，C′D′，DE，D′E′的中点．（1）证明：O1′，A′，O2，B四点共面；（2）设G为A A′中点，延长A′O1′到H′，使得O1′H′=A′O1′．证明：BO2′⊥平面H′B′G．【考点】直线与平面垂直的判定；棱柱的结构特征；平面的基本性质及推论．【专题】空间位置关系与距离；立体几何．【分析】（1）要证O1′，A′，O2，B四点共面，即可证四边形BO2A′O1′为平面图形，根据A′O1′与B′O2′在未平移时属于同一条直径知道A′O1′∥B′O2′即BO2∥A′O1′再根据BO2=A′O1′=1即可得到四边形BO2A′O1′是平行四边形，则证．（2）建立空间直角坐标系，要证BO2′⊥平面H′B′G只需证，，根据坐标运算算出•，的值均为0即可【解答】证明：（1）∵B′，B分别是中点∴BO2∥B′O2′∵A′O1′与B′O2′在未平移时属于同一条直径∴A′O1′∥B′O2′∴BO2∥A′O1′∵BO2=A′O1′=1∴四边形BO2A′O1′是平行四边形即O1′，A′，O2，B四点共面（2）以D为原点，以向量DE所在的直线为X轴，以向量DD′所在的直线为Z轴，建立如图空间直角坐标系，则B（1，1，0），O2′（0，1，2），H′（1，﹣1，2），A（﹣1，﹣1，0），G（﹣1，﹣1，1），B′（1，1，2）则=（﹣1，0，2），=（﹣2，﹣2，﹣1），=（0，﹣2，0）∵•=0，=0∴BO2′⊥B′G，BO2′⊥B′H′即，∵B′H′∩B′G=B′，B′H′、B′G⊂面H′GB′∴BO2′⊥平面H′B′G【点评】本题考查了直线与平面垂直的判定，棱柱的结构特征，平面的基本性质及推论以及空间向量的基本知识，属于中档题．19．（14分）（2011•广东）设a＞0，讨论函数f（x）=lnx+a（1﹣a）x2﹣2（1﹣a）x的单调性．【考点】利用导数研究函数的单调性．【专题】导数的综合应用．【分析】求出函数的定义域，求出导函数，设g（x）=2a（1﹣a）x2﹣2（1﹣a）x+1，x∈（0，+∞），讨论a=1，a＞1与0＜a＜1三种情形，然后利用函数的单调性与导函数符号的关系求出单调性．【解答】解：定义域{x|x＞0}f′（x）==设g（x）=2a（1﹣a）x2﹣2（1﹣a）x+1，x∈（0，+∞）①若a=1，则g（x）=1＞0∴在（0，+∞）上有f'（x）＞0，即f（x）在（0，+∞）上是增函数．②若a＞1则2a（1﹣a）＜0，g（x）的图象开口向下，此时△=[﹣2（1﹣a）]2﹣4×2a（1﹣a）×1=4（1﹣a）（1﹣3a）＞0方程2a（1﹣a）x2﹣2（1﹣a）x+1=0有两个不等的实根不等的实根为x1=，x2=且x1＜0＜x2∴在（0，）上g（x）＞0，即f'（x）＞0，f（x）是增函数；在（，+∞）上g（x）＜0，即f'（x）＜0，f（x）是减函数；③若0＜a＜1则2a（1﹣a）＞0，g（x）的图象开口向上，此时△=[﹣2（1﹣a）]2﹣4×2a（1﹣a）×1=4（1﹣a）（1﹣3a）可知当≤a＜1时，△≤0，故在（0，+∞）上，g（x）≥0，即f'（x）≥0，f（x）是增函数；当0＜a＜时，△＞0，方程2a（1﹣a）x2﹣2（1﹣a）x+1=0有两个不等的实根不等的实根满足＞＞0故在（0，）和（，+∞）上g（x）＞0，即f'（x）＞0，f（x）是增函数；在（，）上g（x）＜0，即f'（x）＜0，f（x）是减函数．【点评】本题考查利用导函数讨论函数的单调性：导函数为正函数递增；导函数为负，函数递减，同时考查了分类讨论的数学思想方法，属于难题．20．（14分）（2011•广东）设b＞0，数列{a n}满足a1=b，a n=（n≥2）（1）求数列{a n}的通项公式；（2）证明：对于一切正整数n，2a n≤b n+1+1．【考点】数列递推式；数列与不等式的综合．【专题】等差数列与等比数列．【分析】（1）由题设形式可以看出，题设中给出了关于数列a n的面的一个方程，即一个递推关系，所以应该对此递推关系进行变形整理以发现其中所蕴含的规律，观察发现若对方程两边取倒数则可以得到一个类似等差数列的形式，对其中参数进行讨论，分类求其通项即可．（2）由于本题中条件较少，解题思路不宜用综合法直接分析出，故求解本题可以采取分析法的思路，由结论探究其成立的条件，再证明此条件成立，即可达到证明不等式的目的．【解答】解：（1）∵（n≥2），∴（n≥2），当b=1时，（n≥2），∴数列{}是以为首项，以1为公差的等差数列，∴=1+（n﹣1）×1=n，即a n=1，当b＞0，且b≠1时，（n≥2），即数列{}是以=为首项，公比为的等比数列，∴=×=，即a n=，∴数列{a n}的通项公式是（2）证明：当b=1时，不等式显然成立当b＞0，且b≠1时，a n=，要证对于一切正整数n，2a n≤b n+1+1，只需证2×≤b n+1+1，即证∵==（b n+1+1）×（b n﹣1+b n﹣2+…+b+1）=（b2n+b2n﹣1+…+b n+2+b n+1）+（b n﹣1+b n﹣2+…+b+1）=b n[（b n+b n﹣1+…+b2+b）+（++…+）]≥b n（2+2+…+2）=2nb n所以不等式成立，综上所述，对于一切正整数n，有2a n≤b n+1+1，【点评】本题考点是数列的递推式，考查根据数列的递推公式求数列的通项，研究数列的性质的能力，本题中递推关系的形式适合用取倒数法将所给的递推关系转化为有规律的形式，两边取倒数，条件许可的情况下，使用此技巧可以使得解题思路呈现出来．数列中有请多成熟的规律，做题时要注意积累这些小技巧，在合适的情况下利用相关的技巧，可以简化做题．在（2）的证明中，采取了分析法的来探究解题的思路，通过本题希望能进一步熟悉分析法证明问题的技巧．21．（14分）（2011•广东）在平面直角坐标系xOy中，直线l：x=﹣2交x轴于点A，设P 是l上一点，M是线段OP的垂直平分线上一点，且满足∠MPO=∠AOP．（1）当点P在l上运动时，求点M的轨迹E的方程；（2）已知T（1，﹣1），设H是E上动点，求|HO|+|HT|的最小值，并给出此时点H的坐标；（3）过点T（1，﹣1）且不平行与y轴的直线l1与轨迹E有且只有两个不同的交点，求直线l1的斜率k的取值范围．【考点】轨迹方程；直线与圆锥曲线的综合问题．【专题】综合题；压轴题；转化思想．【分析】（1）由于直线l：x=﹣2交x轴于点A，所以A（﹣2，0），由于P是l上一点，M 是线段OP的垂直平分线上一点，且满足∠MPO=∠AOP，可以设点P，由于满足∠MPO=∠AOP，所以分析出MN∥AO，利用相关点法可以求出动点M的轨迹方程；（2）由题意及点M的轨迹E的方程为y2=4（x+1），且已知T（1，﹣1），又H是E 上动点，点O及点T都为定点，利用图形即可求出；（3）由题意设出过定点的直线方程l1并与点M的轨迹E的方程联立，利用有两个交点等价与联立之后的一元二次方程的判别式大于0，即可得到所求．【解答】解：（1）如图所示，连接OM，则|PM|=|OM|，∵∠MPO=∠AOP，∴动点M满足MP⊥l或M在x的负半轴上，设M（x，y）①当MP⊥l时，|MP|=|x+2|，|om|=，|x+2|=，化简得y2=4x+4 （x≥﹣1）②当M在x的负半轴上时，y=0（x≤﹣1），综上所述，点M的轨迹E的方程为y2=4x+4（x≥﹣1）或y=0（x＜﹣1）．（2）由题意画出图形如下：∵由（1）知道动点M 的轨迹方程为：y2=4（x+1）．是以（﹣1，0）为顶点，以O（0，0）为焦点，以x=﹣2为准线的抛物线，由H引直线HB垂直准线x=﹣2与B点，则利用抛物线的定义可以得到：|HB|=|HO|，∴要求|HO|+|HT|的最小值等价于求折线|HB|+|HT|的最小值，由图可知当由点T直接向准线引垂线是与抛物线相交的H使得HB|+|HT|的最小值，故|HO|+|HT|的最小值时的H．（3）如图，设抛物线顶点A（﹣1，0），则直线AT的斜率，∵点T（1，﹣1）在抛物线内部，∴过点T且不平行于x，y轴的直线l1必与抛物线有两个交点，则直线l1与轨迹E的交点个数分以下四种情况讨论：①当K时，直线l1与轨迹E有且只有两个不同的交点，②当时，直线l1与轨迹E有且只有一个不同的交点，③当K=0时，直线l1与轨迹E有且只有一个交点，④当K＞0时，直线l1与轨迹E有且只有两个不同的交点．综上所述，直线l1的斜率K的取值范围是（﹣]∪（0，+∞）．【点评】此题重点考查了利用相关点法求动点的轨迹方程，还考查了利用抛物线的定义求出HO|+|HT|的最小值时等价转化的思想，还考查了直线与曲线有两个交点的等价转化思想．。
2011届广东高考文科数学仿真模拟押题卷5
2011届高考数学仿真押题卷——广东卷（文5）第一部分 选择题(50分)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1．已知复数i z 21--=，则z1在复平面上表示的点位于（ ） A 、第一象限B 、第二象限C 、第三象限D 、第四象限2．已知集合}3{<=x x M ，}06{2>--=x x x N ，则N M 为（ ）A 、RB 、}{32|<<-x xC 、}{3x 23|>-<<-或x xD 、}{23|-<<-x x3．函数2()ln(1)f x x x=+-的零点所在的大致区间是（ ） A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,)eD ．(3,4)4．若向量)4,3(=，)1,1(-=，且5d AC ⋅=，那么d BC ⋅= ( )A ．0B ．4-C ．4D ．4或4-5. 函数()sin()f x A x ωϕ=+（其中π0,||2A ϕ><）的图象如图所示，为了得到()f x 的图象，则只要将()sin 2g x x =的图象（ ）A. 向右平移π12个单位长度 B. 向右平移π6个单位长度C. 向左平移π12个单位长度 D. 向左平移π6个单位长度6．已知变量的最小值是，则满足条件y x y x y x y x +⎪⎩⎪⎨⎧≤-≤≥2021,（ ）A ． 6 B. 4 C. 3 D. 27．给出四个命题：①平行于同一平面的两个不重合的平面平行； ②平行于同一直线的两个不重合的平面平行； ③垂直于同一平面的两个不重合的平面平行； ④垂直于同一直线的两个不重合的平面平行； 其中真命题的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．48. 已知平面上不重合的四点P ，A ，B ，C 满足0,PA PB PC AB AC mAP ++=+=且，那么实数m 的值为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．59.过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右顶点A 作斜率为1-的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为,B C ．若12AB BC=，则双曲线的离心率是 ( ) AB C D 10．定义域为R 的函数⎩⎨⎧=≠-=212|2|lg )(x x x x f ，若关于x 的方程0)()(2=++c x bf x f 恰有3个不同的实数解321,,x x x ，则)(321x x x f ++等于（ ）A ．0B ．lC ．3lg2D ．2lg2第二部分 非选择题(共 100 分)二、填空题： 本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20（一）必做题（11~13题）11.已知平面向量(1,),(23,),,a x b x x x R ==+-∈ 若,ab ⊥则实数x 的值是 ；12．利用如图算法在平面直角坐标系上打印一系列点，则打印的点能落在不等式组3050x y y -+≤⎧⎨-≤⎩所表示的区域内的点有 个.13. 已知总体的各个体的值由小到大依次为2，3，3，7，a ，b ，12，13.7，18.3，20，且总体的中位数为10.5．若要使该总体的方差最小，则a 、b 的取值分别是a = ,b =_______ ；（二）选做题，14、15两题任选一个，做对记5分，两题都做以第一题记分 14．若直线sin()4πρθ+=31x ky +=垂直，则常数k = ． 15．如图，AB 是⊙O 的直径，延长AB 到点P ，使2AB BP =，过点P 作⊙O 的切线，切点为C ，连接AC ， 则CAP ∠=__ _．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16．（本小题满分12分）已知函数1)cos (sin sin 2)(-+=x x x x f . （1）求函数)(x f 的最小正周期和最大值； （2）在给定的坐标系内，用五点作图法画出函数)(x f 在一个周期内的图象. 17．（本题满分12分）为预防11H N 病毒暴发，某生物技术公司研制出一种新流感疫苗，为测试该疫苗的有效性(若疫苗有效的概率小于90%，则认为测试没有通过)，公司选定2000个流感样本分成三组，测试结果如下表：已知在全体样本中随机抽取1个，抽到B 组疫苗有效的概率是0.33. （1）求x 的值；（2）现用分层抽样的方法在全体样本中抽取360个测试结果，问应在C 组抽取多少个？ （3）已知y ≥465,z ≥25,求不能通过测试的概率.18. （本题满分14分）如图（1），ABC ∆是等腰直角三角形，4AC BC ==，E 、F 分别为AC 、AB 的中点，将AEF ∆沿EF 折起，使A '在平面BCEF 上的射影O 恰为EC 的中点，得到图（2）． （1）求证：EF A C '⊥； （2）求三棱锥BC A F '-的体积．19.（本题满分14分）x设,A B 分别为椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右顶点，,C D 分别为椭圆上、下顶点，椭圆长半轴的长等于焦距，且四边形ACBD 的面积为（1）求椭圆的方程；（2）设Q 为椭圆上异于A 、B 的点，求证：A B 直线Q 与直线Q 的斜率之积为定值；（3）设P 为直线2222. ()a x a b c c ==+上不同于点（2a c，0）的任意一点， 若直线AP ，BP 分别与椭圆相交于异于,A B 的点M N 、，证明：点B 在以MN 为直径的圆内20.（本小题满分14分）已知b a ,为两个正数，且a b >，设,,211ab b ba a =+=当2≥n ，*n ∈N 时，1111,2----=+=n n n n n n b a b b a a ． （Ⅰ）求证：数列{}n a 是递减数列，数列{}n b 是递增数列； （Ⅱ）求证：)(2111n n n n b a b a -<-++； （Ⅲ）{}{}S T S <T 2().n n n n n n a b n a b ++设数列，前项的和分别为、，求证：21．（本题满分14分）在区间D 上，如果函数()f x 为增函数，而函数1()f x x为减函数，则称函数()f x 为“弱增”函数．已知函数()1f x =． （1）判断函数()f x 在区间(0,1]上是否为“弱增”函数； （2）设[)1212,0,,x x x x ∈+∞≠，证明21211()()2f x f x x x -<-； （3）当[]0,1x ∈时，不等式11ax bx -≤≤-恒成立，求实数,a b 的取值范围． 求证：∑=++<<+ni in yn 121)1ln(1)1ln( (n *N ∈)参考答案一、选择题：本大题共8小题，每小题5分共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1．已知复数i z 21--=，则z1在复平面上表示的点位于（ B ） A 、第一象限B 、第二象限C 、第三象限D 、第四象限2．已知集合}3{<=x x M ，}06{2>--=x x x N ，则N M 为（ D ）A 、RB 、}{32|<<-x xC 、}{3x 23|>-<<-或x xD 、}{23|-<<-x x3．函数2()ln(1)f x x x=+-的零点所在的大致区间是（ B ） A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,)eD ．(3,4)4．若向量)4,3(=，)1,1(-=，且5d AC ⋅=，那么d BC ⋅= ( C )A ．0B ．4-C ．4D ．4或4-5. 函数()sin()f x A x ωϕ=+（其中π0,||2A ϕ><）的图象如图所示，为了得到()f x 的图象，则只要将()sin 2g x x =的图象（ C ）A. 向右平移π12个单位长度 B. 向右平移π6个单位长度C. 向左平移π12个单位长度 D. 向左平移π6个单位长度6．已知变量的最小值是，则满足条件y x y x y x y x +⎪⎩⎪⎨⎧≤-≤≥2021,（ C ）A ． 6 B. 4 C. 3 D. 27．给出四个命题：①平行于同一平面的两个不重合的平面平行； ②平行于同一直线的两个不重合的平面平行； ③垂直于同一平面的两个不重合的平面平行； ④垂直于同一直线的两个不重合的平面平行； 其中真命题的个数是（ B ）A ．1B ．2C ．3D ．48. 已知平面上不重合的四点P ，A ，B ，C 满足0,PA PB PC AB AC mAP ++=+=且，那么实数m 的值为（ B ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．59.过双曲线22221(0,0)x ya ba b-=>>的右顶点A作斜率为1-的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为,B C．若12ABBC=，则双曲线的离心率是( C ) AB C D10．定义域为R的函数⎩⎨⎧=≠-=212|2|lg)(xxxxf，若关于x的方程0)()(2=++cxbfxf恰有3个不同的实数解321,,xxx，则)(321xxxf++等于（ D ）A．0 B．l C ．3lg2 D．2lg2二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20把答案填在答题卡中对应题号的横线上.（一）必做题（11~13题）11.已知平面向量(1,),(23,),,a xb x x x R==+-∈若,a b⊥则实数x的值是1x=-或x=3；12．利用如图算法在平面直角坐标系上打印一系列点，则打印的点能落在不等式组3050x yy-+≤⎧⎨-≤⎩所表示的区域内的点有 3 个.13. 已知总体的各个体的值由小到大依次为2，3，3，7，a，b，12，13.7，18.3，20，且总体的中位数为10.5．若要使该总体的方差最小，则a、b的取值分别是a=,b=_______ 10.5,10.5a b==；（二）选做题，14、15两题任选一个，做对记5分，两题都做以第一题记分14．若直线sin()42πρθ+=与直线31x ky+=垂直，则常数k=3-．15．如图，AB是⊙O的直径，延长AB到点P，使2AB BP=，过点P作⊙O的切线，切点为C，连接AC，则CAP∠=__︒30_．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16．（本小题满分12分）已知函数1)cos (sin sin 2)(-+=x x x x f . （1）求函数)(x f 的最小正周期和最大值； （2）在给定的坐标系内，用五点作图法画出函数)(x f 在一个周期内的图象.解：（1）1cos sin 2sin 21)cos (sin sin 2)(2-+=-+=x x x x x x x fx x 2cos 2sin -= ……………………………………………………………2分)42sin(2π-=x ， ……………………………………………………………4分∴)(x f 的最小正周期为π=T ，)(x f 的最大值为2．… ………………6分 （2）列表：函数)(x f 在一个周期内的图象如图：17．（本题满分12分）为预防11H N 病毒暴发，某生物技术公司研制出一种新流感疫苗，为测试该疫苗的有效性(若疫苗有效的概率小于90%，则认为测试没有通过)，公司选定2000个流感样本分成三组，测试结果如下表：已知在全体样本中随机抽取1个，抽到B 组疫苗有效的概率是0.33. （1）求x 的值；（2）现用分层抽样的方法在全体样本中抽取360个测试结果，问应在C 组抽取多少个？x（3）已知y ≥465,z ≥25,求不能通过测试的概率. 解：（1）在全体样本中随机抽取1个，抽到B 组疫苗有效的概率约为其频率 …… (1分)即0.332000x= ∴ 660x = ………………(4分)（2）C 组样本个数为y ＋z ＝2000－（673＋77＋660＋90）＝500， …………………(5分) 现用分层抽样的方法在全体样本中抽取360个测试结果，问应在C 组抽取个数为360500902000⨯=个 ………(8分) （3）设测试不能通过事件为A ，C 组疫苗有效与无效的可能的情况记为（y ，z ）……(9分)由（2）知 500y z += ，且 ,y z N ∈,基本事件空间包含的基本事件有： （465，35）、（466，34）、（467，33）、……（475，25）共11个 ……………… (10分) 若测试不能通过，则77+90+z>200，即z>33 事件A 包含的基本事件有：（（465，35）、（466，34）共2个∴ 2()11P A =…………………(11分) 故不能通过测试的概率为211…………(12分)18. （本题满分14分） 3.如图（1），ABC ∆是等腰直角三角形，4AC BC ==，E 、F 分别为AC 、AB 的中点，将AEF ∆沿EF 折起，使A '在平面BCEF 上的射影O 恰为EC 的中点，得到图（2）． （1）求证：EF A C '⊥； （2）求三棱锥BC A F '-的体积．（Ⅰ）证法一：在ABC ∆中，EF是等腰直角ABC ∆的中位线， EF AC ∴⊥ 在四棱锥BCEF A -'中，E A EF '⊥，EC EF ⊥， ……………2分EF ∴⊥平面A EC '， ……5分 又⊂'C A 平面A EC ', EF A C '∴⊥ …………7分 证法二：同证法一EF EC ⊥ …………2分A O EF '∴⊥ EF ∴⊥平面A EC '， ………5分 又⊂'C A 平面A EC ', EF A C '∴⊥ ……………………8分 （Ⅱ）在直角梯形EFBC 中，4,2==BC EC ,421=⋅=∴∆EC BC S FBC ……10分 又A O '垂直平分EC ，322=-'='∴EO E A O A ……12分∴三棱锥BC A F '-的体积为：334343131=⋅⋅='⋅==∆-''-O A S V V FBC FBC A BC A F ………14分19.（本题满分14分）设,A B 分别为椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右顶点，,C D 分别为椭圆上、下顶点，椭圆长半轴的长等于焦距，且四边形ACBD的面积为（1）求椭圆的方程；（2）设Q 为椭圆上异于A 、B 的点，求证：A B 直线Q 与直线Q 的斜率之积为定值；（3）设P 为直线2222. ()a x a b c c ==+上不同于点（2a c，0）的任意一点， 若直线AP ，BP 分别与椭圆相交于异于,A B 的点M N 、，证明：点B 在以MN 为直径的圆内解：（1）依题意得2a c =，2ab =222a b c =+，解得a ＝2，c ＝1， b ＝3故椭圆的方程为13422=+yx ………………4分（2）由（Ⅰ）得A （－2，0），B （2，0） 设Q （x,y ） 则,22QA QB y y k k x x ==+- 2232244QA QBy y y k k x x x ===-+-- 故得证…………………8分（3）解法1：由（Ⅰ）得A （－2，0），B （2，0）设M （x 0，y 0）∵M 点在椭圆上，∴20y ＝43（4－x 02） ① 又点M 异于顶点A 、B ，∴－2<x 0<2，由P 、A 、M 三点共线可以得P （4，2600+x y ）从而BM ＝（x 0－2，y 0），BP ＝（2，2600+x y ）∴BM ·BP ＝2x 0－4＋26020+x y ＝220+x （x 02－4＋3y 02） ②将①代入②，化简得BM ·BP ＝25（2－x 0） ∵2－x 0>0，∴BM ·BP >0，则∠MBP 为锐角，从而∠MBN 为钝角， 故点B 在以MN 为直径的圆内 ……………14分解法2：由（Ⅰ）得A （－2，0），B （2，0） 设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2）， 则－2<x 1<2，－2<x 2<2，又MN 的中点Q 的坐标为（221x x +，221y y +），依题意，计算点B 到圆心Q 的距离与半径的差2BQ －241MN ＝(221x x +－2）2＋（221y y +）2－41[(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2] ＝（x 1－2) (x 2－2)＋y 1y 1 ③ 又直线AP 的方程为11(2)2y y x x =++，直线BP 的方程为22(2)2y y x x =--， 而点两直线AP 与BP 的交点P 在准线x ＝4上， ∴12126222y y x x =+-，即212132)2x y y x -=+（ ④ 又点M 在椭圆上，则1342121=+y x ，即)4(432121x y -= ⑤于是将④、⑤代入③，化简后可得2BQ －241MN ＝0)2)(24521<-x x －（ 从而，点B 在以MN 为直径的圆内20.（本小题满分14分）已知b a ,为两个正数，且a b >，设,,211ab b b a a =+=当2≥n ，*n ∈N 时， 1111,2----=+=n n n n n n b a b b a a ． （Ⅰ）求证：数列{}n a 是递减数列，数列{}n b 是递增数列； （Ⅱ）求证：)(2111n n n n b a b a -<-++； （Ⅲ）{}{}S T.S <T 2().n n n n n n a b n a b ++设数列，前项的和分别为，求证：(Ⅰ)证明：易知对任意*n ∈N ，0>n a ，0>n b ．由,b a ≠可知,2ab b a >+即11b a >． 同理，11112b a b a >+，即22b a >． 可知对任意*n ∈N ，n n b a >．0221<-=-+=-+n n n n n n n a b a b a a a ， 所以数列{}n a 是递减数列．0)(1>-=-=-+n n n n n n n n b a b b b a b b ，所以数列{}n b 是递增数列． …………5分(Ⅱ)证明：)(212211n n n n n n n n n n n n b a b b b a b a b a b a -<-+<-+=-++． …………10分 （Ⅲ）解：由)(2111n n n n b a b a -<-++，可得1)21()(-⋅-<-n n n b a b a ． 111S T ()(1......()).221()(2())2()2n n n n a b a b a b --<++++<+-<-S T +2().n n a b ∴<-……………14分21．（本题满分14分）在区间D 上，如果函数()f x 为增函数，而函数1()f x x 为减函数，则称函数()f x 为“弱增”函数．已知函数()1f x =-． （1）判断函数()f x 在区间(0,1]上是否为“弱增”函数； （2）设[)1212,0,,x x x x ∈+∞≠，证明21211()()2f x f x x x -<-； （3）当[]0,1x ∈时，不等式11ax bx -≤≤-恒成立，求实数,a b 的取值范围．（1）显然()f x 在区间(0,1]为增函数，……..1分11()(1f x x x ====，……..4分 1()f x x∴为减函数. ∴ ()f x 在区间(0,1]为“弱增”函数. ……………………4分（2）21()()f x f x-=-==..8分 [)1212,0,,x x x x ∈+∞≠,2>,.……8分21()()f x f x ∴-2112x x <-. .……9分 （3）当[]0,1x ∈时，不等式11ax bx -≤≤-恒成立. 当0x =时,不等式显然成立. ……..12分当(]0,1x ∈时.等价于:1(),1(),a f x x b f x x ⎧≥⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩……..14分由(1) 1()f x x为减函数, 111()2f x x -≤<，1,12a b ∴≥≤.……14分。
2011年广东高考密卷(数学文科)
试卷类型：A2011年普通高等学校招生全国统一考试密卷数 学（文 科） 2011.5本试卷共4页，21小题， 满分150分. 考试用时120分钟.一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的. 1. 已知集合}{10A x ax =+=，且1A ∈，则实数a 的值为A ．1-B ． 0C ．1D ．2 2．已知i 为虚数单位, 若复数11z =-i ，22z =+i ，则12z z =A ．3-i B. 22-i C. 1+iD ．22+i 3. 已知向量p ()2,3=-,q (),6x =,且//p q ，则+p q 的值为 A B.C. 5D ．134. 已知椭圆()222109x y a a+=>与双曲线22143x y -=有相同的焦点, 则a 的值为 A B.C. 4D ．105. 各项都为正数的等比数列{}n a 中，161232,a a a a a ==，则公比q 的值为 A B.C. 2 D ．36. 函数()(xxf x e e e -=+为自然对数的底数)在()0,+∞上A ．有极大值 B. 有极小值 C. 是增函数 D ．是减函数7. 阅读图1的程序框图. 若输入5n =, 则输出k 的值为 A ．2 B ．3 C ．4 D ．58. 已知l 、m 是不同的两条直线，α、β是不重合的两个平面，图2(度)150140110100 则下列命题中为真命题的是A ．若,⊥⊥l ααβ，则//l βB ．若//,⊥l ααβ，则//l βC ．若,//,⊥⊂l m m αββ，则⊥l αD ．若,//,⊥⊂l m ααββ，则⊥l m图1 9. 向等腰直角三角形()ABC AC BC =其中内任意投一点M , 则AM 小于AC 的概率为A ．2 B． 12- C ． 8π D ．4π10. 某所学校计划招聘男教师x 名,女教师y 名, x 和y 须满足约束条件25,2,6.x y x y x -≥⎧⎪-≤⎨⎪<⎩则该校招聘的教师人数最多是A ．6B ．8C ．10D ．12二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分. （一）必做题（11～13题）11.为了了解某地居民每户月均用电的基本情况,抽取出该地区若干户居民的用电数据, 得到频 率分布直方图如图2所示, 若月均用电量在 区间[)110,120上共有150户, 则月均用电量在区间[)120,140上的居民共有 户.12. △ABC 的三个内角A 、B 、C 所对边的 长分别为a 、b 、c ，已知3,,3c C π==2a b =,则b 的值为 .D12乙24431152011甲13. 已知函数()f x 满足()12,f = 且对任意,x y ∈R 都有()()()f x f x y f y -=， 记121nin i aa a a ==∏ ，则()1016i f i =-∏= .（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题） 14. (几何证明选讲选做题) 如图3, CD 是圆O 的切线, 切点为C , 点A 、B 在圆O 上， 1,30BC BCD ︒=∠=， 则圆O 的面积为 .15. (坐标系与参数方程选讲选做题) 在极坐标系中，若过点()1,0且与极轴垂直的直线交曲线4cos ρθ=于A 、B 两点， 图3 则AB = .三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. （本小题满分12分）已知函数()2sin cos cos2f x x x x =+(x ∈R ). (1) 求()f x 的最小正周期和最大值； (2) 若θ为锐角，且83f πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，求tan 2θ的值. 17. （本小题满分12分）某工厂甲、乙两个车间包装同一种产品，在自动包装传送带上每隔1小时抽一包产品，称其重 量（单位：克）是否合格，分别记录抽查数据，获得重量数据的茎叶图如图4.(1) 根据样品数据，计算甲、乙两个车间产品重量的均值与方差，并说明哪个车间的产品的重量相对较稳定；(2) 若从乙车间6件样品中随机抽取两件，求所抽取的两件样品的重量之差不超过2克的概率.DC 1A 1B 1CBA18. （本小题满分14分）如图5,在三棱柱111-ABC A B C 中，侧棱1AA ⊥底面ABC ,,⊥AB BC D 为AC 的中点,12A A AB ==,3BC =. （1）求证：1//AB 平面1BC D ； (2) 求四棱锥11-B AAC D 的体积.图519．（本小题满分14分）动点P 与点(1,0)F 的距离和它到直线:l 1x =-的距离相等，记点P 的轨迹为曲线1C ．圆2C 的圆心T 是曲线1C 上的动点, 圆2C 与y 轴交于,M N 两点，且||4MN =. （1）求曲线1C 的方程；（2）设点(),0(A a a >2),若点A 到点T 的最短距离为1a -,试判断直线l 与圆2C 的位置关系, 并说明理由.20. （本小题满分14分）设各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ,已知数列是首项为1,公差为1的等差数列.(1) 求数列{}n a 的通项公式； （2）令n b =1ni i b =∑≥对任意n ∈N *都成立，求实数L 的取值范围.21. （本小题满分14分）已知函数()2f x ax bx c =++()0a ≠满足()00f =,对于任意x ∈R 都有()f x x ≥,且1122f x f x ⎛⎫⎛⎫-+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,令()()()10g x f x x λλ=-->. (1) 求函数()f x 的表达式； (2) 求函数()g x 的单调区间；(3) 研究函数()g x 在区间()0,1上的零点个数.2011年普通高等学校招生全国统一考试密卷数学（文科）试题参考答案及评分标准说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数．2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分． 一、选择题：本大题主要考查基本知识和基本运算．共10小题，每小题5分，满分50分.二、填空题：本大题主要考查基本知识和基本运算．本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．其中14～15题是选做题，考生只能选做一题．π15. 三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.16．（本小题满分12分）(本小题主要考查三角函数性质, 同角三角函数的基本关系、两倍角公式等知识, 考查化归与转化的数学思想方法和运算求解能力) (1) 解: ()2sin cos cos2f x x x x =+sin 2cos 2x x =+ …… 2分22x x ⎫=+⎪⎪⎭…… 3分24x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. …… 4分∴()f x 的最小正周期为22ππ=,…… 6分 (2) 解:∵8f πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭,22πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭…… 7分 ∴1cos 23θ=. …… 8分 ∵θ为锐角，即02πθ<<, ∴02θπ<<.∴sin 2θ==…… 10分∴sin 2tan 2cos 2θθθ==…… 12分17．（本小题满分12分）(本小题主要考查茎叶图、样本均值、样本方差、概率等知识, 考查或然与必然的数学思想方法，以及数据处理能力、运算求解能力和应用意识)(1) 解： ()11071111111131141221136x =+++++=甲, …… 1分 ()11081091101121151241136x =+++++=乙, …… 2分EODC 1A 1B 1CBA()()()()()()222222211071131111131111131131131141131221136S ⎡⎤=-+-+-+-+-+-⎣⎦甲=21, …… 3分()()()()()()222222211081131091131101131121131151131241136S ⎡⎤=-+-+-+-+-+-⎣⎦乙 883=, …… 4分∵x =甲x 乙, 22S S <甲乙, …… 5分 ∴甲车间的产品的重量相对较稳定. …… 6分 (2) 解: 从乙车间6件样品中随机抽取两件,共有15种不同的取法:()()1089108110，10，，， ()()108112108115，，，，()()108124109110，，，，()()109112109115，，，，()()109124110112，，，， ()()110115110124，，，，()()112115112124，，，,()115124，. …… 8分 设A 表示随机事件“所抽取的两件样品的重量之差不超过2克”,则A 的基本事件有4种: ()()1089108110，10，，,()109110，，()110112，. …… 10分 故所求概率为()415P A =. …… 12分 18. （本小题满分14分）(本小题主要考查空间线面关系、锥体的体积等知识, 考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力) （1）证明:连接1B C ,设1B C 与1BC 相交于点O ,连接OD , ∵ 四边形11BCC B 是平行四边形,∴点O 为1B C 的中点. ∵D 为AC 的中点， ∴OD 为△1ABC 的中位线,∴ 1//OD AB . …… 3分 ∵OD ⊂平面1BC D ,1⊄AB 平面1BC D , ∴1//AB 平面1BC D . …… 6分 (2)解法1: ∵1⊥AA 平面ABC ,1AA ⊂平面11AAC C ,EODC 1A 1B 1CBA∴ 平面ABC ⊥平面11AAC C ，且平面ABC 平面11AAC C AC =.作BE AC ⊥，垂足为E ，则BE ⊥平面11AAC C ， …… 8分 ∵12AB BB ==，3BC =， 在Rt △ABC中，AC ===AB BC BE AC ==…… 10分 ∴四棱锥11-B AAC D 的体积()1111132V AC AD AA BE =⨯+ …… 12分126=⨯3=. ∴四棱锥11-B AAC D 的体积为3. …… 14分解法2: ∵1⊥AA 平面ABC ,AB ⊂平面ABC ,∴1⊥AA AB . ∵11//BB AA , ∴1BB ⊥AB .∵1,AB BC BC BB B ⊥= ,∴AB ⊥平面11BB C C . …… 8分取BC 的中点E ,连接DE ,则1//,2DE AB DE AB =,∴DE ⊥平面11BB C C .三棱柱111-ABC A B C 的体积为1162V AB BC AA == , …… 10分则11111326D BCC V BC CC DE V -=⨯= 1=,111111*********A BBC V B C BB A B V -=⨯== . …… 12分 而V =1D BCC V -+111A BB C V -+11B AA C D V -,∴6=12+11B AAC DV -+. ∴113B AA C D V -=.∴四棱锥11-B AAC D 的体积为3. …… 14分19．（本小题满分14分）(本小题主要考查求曲线的轨迹方程、直线、圆、抛物线等知识, 考查数形结合、化归与转化、函数与方程的数学思想方法，以及推理论证能力、运算求解能力和创新意识) (1)解法1: 设动点P 的坐标为(),x y ,依题意,得1PF x =+,1x =+, …… 2分化简得:24y x =,∴曲线1C 的方程为24y x =. …… 4分 解法2:由于动点P 与点(1,0)F 的距离和它到直线:l 1x =-的距离相等，根据抛物线的定义可知, 动点P 的轨迹是以点(1,0)F 为焦点,直线l 为准线的抛物线. …… 2分 ∴曲线1C 的方程为24y x =. …… 4分 （2）解: 设点T 的坐标为00(,)x y ,圆2C 的半径为r ，∵ 点T 是抛物线21:4C y x =上的动点,∴2004y x =(00x ≥).∴AT =…… 6分==∵2a >,∴20a ->,则当02x a =-时,AT 取得最小值为, …… 8分依题意得 1a =-, 两边平方得2650a a -+=,解得5a =或1a =(不合题意,舍去). …… 10分∴023x a =-=,200412y x ==,即0y =±∴圆2C 的圆心T 的坐标为(3,±. ∵ 圆2C 与y 轴交于,M N 两点，且||4MN =,∴||4MN ==.∴r =. …… 12分∵点T 到直线l的距离014d x =+=> ∴直线l 与圆2C 相离. …… 14分 20．（本小题满分14分）(本小题主要考查数列、不等式等知识, 考查化归与转化、分类与整合的数学思想方法，以及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力和创新意识) （1）解：∵数列是首项为1,公差为1的等差数列，()11n n =+-=.∴2n S n =. …… 2分 当1n =时，111a S ==；当n ≥2时，1n n n a S S -=-()221n n =--21n =-.又11a =适合上式.∴21n a n =-. …… 4分 （2）解：n b ====12=. …… 6分 ∴1nii b=∑12n b b b=+++1111222⎛=+++ ⎝112⎛=⎝=. …… 8分 故要使不等式1ni i b =∑≥n ∈N *都成立，≥对任意n ∈N *都成立，得11L ≤=对任意n ∈N*都成立. …… 10分令n c =111n n n c c ++==>.∴1n n c c +>. ∴113n n c c c ->>>=…… 12分∴3L ≤. ∴实数L 的取值范围为,3⎛-∞ ⎝⎦. …… 14分 [另法]:1n n c c+-=1n +==>.∴1n n c c +>. ∴113n nc c c ->>>=…… 12分∴3L ≤. ∴实数L 的取值范围为,3⎛-∞ ⎝⎦. …… 14分 21．（本小题满分14分）(本小题主要考查二次函数、函数的性质、函数的零点、分段函数等知识, 考查函数与方程、分类与整合的数学思想方法，以及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力和应用意识)(1) 解：∵()00f =，∴0c =. …… 1分∵对于任意x ∈R 都有1122f x f x ⎛⎫⎛⎫-+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, ∴函数()f x 的对称轴为12x =-，即122b a -=-，得a b =. …… 2分 又()f x x ≥，即()210ax b x +-≥对于任意x ∈R 都成立， ∴0a >,且∆()210b =-≤． ∵()210b -≥， ∴1,1b a ==．∴()2f x x x =+． …… 4分(2) 解：()()1g x f x x λ=--()()22111,,111,.x x x x x x λλλλ⎧+-+≥⎪⎪=⎨⎪++-<⎪⎩…… 5分① 当1x λ≥时，函数()()211g x x x λ=+-+的对称轴为12x λ-=，若112λλ-≤，即02λ<≤，函数()g x 在1,λ⎛⎫+∞⎪⎝⎭上单调递增； …… 6分 若112λλ->，即2λ>，函数()g x 在1,2λ-⎛⎫+∞⎪⎝⎭上单调递增，在11,2λλ-⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减．…… 7分 ② 当1x λ<时，函数()()211g x x x λ=++-的对称轴为112x λλ+=-<， 则函数()g x 在11,2λλ+⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递增，在1,2λ+⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上单调递减． …… 8分 综上所述，当02λ<≤时，函数()g x 单调递增区间为1,2λ+⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭，单调递减区间为 1,2λ+⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭； …… 9分当2λ>时，函数()g x 单调递增区间为11,2λλ+⎛⎫-⎪⎝⎭和1,2λ-⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，单调递减区间为 1,2λ+⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭和11,2λλ-⎛⎫ ⎪⎝⎭． …… 10分(3)解：① 当02λ<≤时，由(2)知函数()g x 在区间()0,1上单调递增， 又()()010,1210g g λ=-<=-->，故函数()g x 在区间()0,1上只有一个零点． …… 11分 ② 当2λ>时，则1112λ<<，而()010,g =-<21110g λλλ⎛⎫=+> ⎪⎝⎭， ()121g λ=--，（ⅰ）若23λ<≤，由于1112λλ-<≤，且()211111222g λλλλ---⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()21104λ-=-+≥， 此时，函数()g x 在区间()0,1上只有一个零点； …… 12分 （ⅱ）若3λ>，由于112λ->且()121g λ=--0<，此时，函数()g x 在区间()0,1上有两个不同的零点． …… 13分 综上所述，当03λ<≤时，函数()g x 在区间()0,1上只有一个零点；当3λ>时，函数()g x 在区间()0,1上有两个不同的零点． …… 14分2011年广州市普通高中毕业班综合测试（一）数学（文科）试题参考答案及评分标准说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数．2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分． 一、选择题：本大题主要考查基本知识和基本运算．共10小题，每小题5分，满分50分.二、填空题：本大题主要考查基本知识和基本运算．本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．其中14～15题是选做题，考生只能选做一题．π 15. 三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.16．（本小题满分12分）(本小题主要考查三角函数性质, 同角三角函数的基本关系、两倍角公式等知识, 考查化归与转化的数学思想方法和运算求解能力) (1) 解: ()2sin cos cos2f x x x x =+sin 2cos 2x x =+ …… 2分2cos 222x x ⎫=+⎪⎪⎭…… 3分24x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. …… 4分∴()f x 的最小正周期为22ππ=, …… 6分(2) 解:∵83f πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭, 223πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭. …… 7分 ∴1cos 23θ=. …… 8分 ∵θ为锐角，即02πθ<<, ∴02θπ<<.∴sin 23θ==…… 10分∴sin 2tan 2cos 2θθθ==…… 12分17．（本小题满分12分）(本小题主要考查茎叶图、样本均值、样本方差、概率等知识, 考查或然与必然的数学思想方法，以及数据处理能力、运算求解能力和应用意识)(1) 解： ()11071111111131141221136x =+++++=甲, …… 1分 ()11081091101121151241136x =+++++=乙, …… 2分()()()()()()222222211071131111131111131131131141131221136S ⎡⎤=-+-+-+-+-+-⎣⎦甲=21, …… 3分()()()()()()222222211081131091131101131121131151131241136S ⎡⎤=-+-+-+-+-+-⎣⎦乙EODC 1A 1B 1CBA883=, …… 4分 ∵x =甲x 乙, 22S S <甲乙, …… 5分 ∴甲车间的产品的重量相对较稳定. …… 6分 (2) 解: 从乙车间6件样品中随机抽取两件,共有15种不同的取法:()()1089108110，10，，， ()()108112108115，，，，()()108124109110，，，，()()109112109115，，，，()()109124110112，，，， ()()110115110124，，，，()()112115112124，，，,()115124，. …… 8分 设A 表示随机事件“所抽取的两件样品的重量之差不超过2克”,则A 的基本事件有4种: ()()1089108110，10，，,()109110，，()110112，. …… 10分 故所求概率为()415P A =. …… 12分 18. （本小题满分14分）(本小题主要考查空间线面关系、锥体的体积等知识, 考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力) （1）证明:连接1B C ,设1B C 与1BC 相交于点O ,连接OD , ∵ 四边形11BCC B 是平行四边形,∴点O 为1B C 的中点. ∵D 为AC 的中点， ∴OD 为△1ABC 的中位线,∴ 1//OD AB . …… 3分 ∵OD ⊂平面1BC D ,1⊄AB 平面1BC D , ∴1//AB 平面1BC D . …… 6分 (2)解法1: ∵1⊥AA 平面ABC ,1AA ⊂平面11AAC C ,∴ 平面ABC ⊥平面11AAC C ，且平面ABC 平面11AAC C AC =.作BE AC ⊥，垂足为E ，则BE ⊥平面11AAC C ， …… 8分 ∵12AB BB ==，3BC =，EODC 1A 1B 1CBA在Rt △ABC中，AC ===AB BC BE AC ==…… 10分 ∴四棱锥11-B AAC D 的体积()1111132V AC AD AA BE =⨯+ …… 12分126=⨯3=. ∴四棱锥11-B AAC D 的体积为3. …… 14分解法2: ∵1⊥AA 平面ABC ,AB ⊂平面ABC ,∴1⊥AA AB . ∵11//BB AA , ∴1BB ⊥AB .∵1,AB BC BC BB B ⊥= ,∴AB ⊥平面11BB C C . …… 8分取BC 的中点E ,连接DE ,则1//,2DE AB DE AB =,∴DE ⊥平面11BB C C .三棱柱111-ABC A B C 的体积为1162V AB BC AA == , …… 10分则11111326D BCC V BC CC DE V -=⨯= 1=,111111*********A BBC V B C BB A B V -=⨯== . …… 12分 而V =1D BCC V -+111A BB C V -+11B AA C D V -,∴6=12+11B AAC DV -+. ∴113B AA C D V -=. ∴四棱锥11-B AAC D 的体积为3. …… 14分19．（本小题满分14分）(本小题主要考查求曲线的轨迹方程、直线、圆、抛物线等知识, 考查数形结合、化归与转化、函数与方程的数学思想方法，以及推理论证能力、运算求解能力和创新意识) (1)解法1: 设动点P 的坐标为(),x y ,依题意,得1PF x =+,1x =+, …… 2分化简得:24y x =,∴曲线1C 的方程为24y x =. …… 4分 解法2:由于动点P 与点(1,0)F 的距离和它到直线:l 1x =-的距离相等，根据抛物线的定义可知, 动点P 的轨迹是以点(1,0)F 为焦点,直线l 为准线的抛物线. …… 2分 ∴曲线1C 的方程为24y x =. …… 4分 （2）解: 设点T 的坐标为00(,)x y ,圆2C 的半径为r ，∵ 点T 是抛物线21:4C y x =上的动点,∴2004y x =(00x ≥).∴AT =…… 6分==∵2a >,∴20a ->,则当02x a =-时,AT 取得最小值为, …… 8分依题意得 1a =-, 两边平方得2650a a -+=,解得5a =或1a =(不合题意,舍去). …… 10分∴023x a =-=,200412y x ==,即0y =±∴圆2C 的圆心T 的坐标为(3,±. ∵ 圆2C 与y 轴交于,M N 两点，且||4MN =,∴ ||4MN ==.∴r =. …… 12分∵点T 到直线l 的距离014d x =+=>∴直线l 与圆2C 相离. …… 14分 20．（本小题满分14分）(本小题主要考查数列、不等式等知识, 考查化归与转化、分类与整合的数学思想方法，以及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力和创新意识) （1）解：∵数列是首项为1,公差为1的等差数列，()11n n =+-=.∴2n S n =. …… 2分 当1n =时，111a S ==；当n ≥2时，1n n n a S S -=-()221n n =--21n =-.又11a =适合上式.∴21n a n =-. …… 4分 （2）解：n b ====12=. …… 6分 ∴1nii b=∑12n b b b=+++1111222⎛=+++⎝ 112⎛=⎝=. …… 8分 故要使不等式1ni i b =∑≥n ∈N *都成立，≥对任意n ∈N *都成立，得11L ≤=对任意n ∈N *都成立. …… 10分令n c =111n n n c c ++==>.∴1n n c c +>. ∴11n n c c c ->>>=…… 12分 ∴L ≤. ∴实数L 的取值范围为⎛-∞ ⎝⎦. …… 14分[另法]:1n n c c+-=1n+==>.∴1n n c c +>. ∴11n n cc c ->>>=…… 12分∴L ≤. ∴实数L 的取值范围为⎛-∞ ⎝⎦. …… 14分 21．（本小题满分14分）(本小题主要考查二次函数、函数的性质、函数的零点、分段函数等知识, 考查函数与方程、分类与整合的数学思想方法，以及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力和应用意识)(1) 解：∵()00f =，∴0c =. …… 1分 ∵对于任意x ∈R 都有1122f x f x ⎛⎫⎛⎫-+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, ∴函数()f x 的对称轴为12x =-，即122b a -=-，得a b =. …… 2分又()f x x ≥，即()210ax b x +-≥对于任意x ∈R 都成立， ∴0a >,且∆()210b =-≤． ∵()210b -≥， ∴1,1b a ==．∴()2f x x x =+． …… 4分(2) 解：()()1g x f x x λ=--()()22111,,111,.x x x x x x λλλλ⎧+-+≥⎪⎪=⎨⎪++-<⎪⎩…… 5分① 当1x λ≥时，函数()()211g x x x λ=+-+的对称轴为12x λ-=，若112λλ-≤，即02λ<≤，函数()g x 在1,λ⎛⎫+∞⎪⎝⎭上单调递增； …… 6分 若112λλ->，即2λ>，函数()g x 在1,2λ-⎛⎫+∞⎪⎝⎭上单调递增，在11,2λλ-⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减．…… 7分 ② 当1x λ<时，函数()()211g x x x λ=++-的对称轴为112x λλ+=-<， 则函数()g x 在11,2λλ+⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递增，在1,2λ+⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上单调递减． …… 8分 综上所述，当02λ<≤时，函数()g x 单调递增区间为1,2λ+⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭，单调递减区间为 1,2λ+⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭； …… 9分当2λ>时，函数()g x 单调递增区间为11,2λλ+⎛⎫-⎪⎝⎭和1,2λ-⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，单调递减区间为 1,2λ+⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭和11,2λλ-⎛⎫ ⎪⎝⎭． …… 10分(3)解：① 当02λ<≤时，由(2)知函数()g x 在区间()0,1上单调递增， 又()()010,1210g g λ=-<=-->，21 故函数()g x 在区间()0,1上只有一个零点． …… 11分 ② 当2λ>时，则1112λ<<，而()010,g =-<21110g λλλ⎛⎫=+> ⎪⎝⎭， ()121g λ=--，（ⅰ）若23λ<≤，由于1112λλ-<≤， 且()211111222g λλλλ---⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()21104λ-=-+≥， 此时，函数()g x 在区间()0,1上只有一个零点； …… 12分 （ⅱ）若3λ>，由于112λ->且()121g λ=--0<，此时，函数()g x 在区间()0,1上有两个不同的零点． …… 13分 综上所述，当03λ<≤时，函数()g x 在区间()0,1上只有一个零点；当3λ>时，函数()g x 在区间()0,1上有两个不同的零点． …… 14分。
2011年普通高等学校招生全国统一考试—广东(文科数学)解析版
2011年普通高等学校招生全国统一考试【广东卷】（文科数学）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷第1至第2页，第Ⅱ卷第3页至第4页．全卷满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题：（每小题5分，共50分）【2011⋅广东文，1】1．设复数z 满足1iz =，其中i 为虚数单位，则z = ( )． A ．i - B ．i C ．1 D ．1- 【答案】A ． 【解析】 1()iz i i i i -===-⨯-． 【2011⋅广东文，2】2．已知集合(){,|A x y x y =、为实数，且}221xy +=，(){,|B x y x y=、为实数，且}1x y +=，则AB 的元素个数为( )．A ．4B ．3C ．2D ．1 【答案】C ． 【解析】AB 的元素个数等价于圆221x y +=与直线1x y +=的交点个数，显然有2个交点．【2011⋅广东文，3】3．已知向量(1,2),(1,0),(3,4)===a b c ．若λ为实数，()λ+a b ∥c ，则λ= ( )． A ．14 B ．12C ．1D ．2 【答案】B ．【解析】 (1,2)λλ+=+a b ，由()λ+a b ∥c ，得64(1)0λ-+=，解得λ=12． 【2011⋅广东文，4】4．函数1()lg(1)1f x x x=++-的定义域是( )． A ．(,1)-∞- B ．(1,)+∞ C ．(1,1)(1,)-+∞ D ．(,)-∞+∞【答案】C ．【解析】 10110x x x -≠⎧⇒>-⎨+>⎩且1x ≠，则()f x 的定义域是(1,1)(1,)-+∞．【2011⋅广东文，5】5．不等式2210x x -->的解集是( )． A ．1(,1)2-B ．(1,)+∞C ．(,1)(2,)-∞+∞D ．1(,)(1,)2-∞-+∞ 【答案】D ．【解析】21210(1)(21)02x x x x x -->⇒-+>⇒<-或1x >，则不等式的解集为1(,)(1,)2-∞-+∞． 【2011⋅广东文，6】6． 已知平面直角坐标系xOy 上的区域D由不等式组02x y x ⎧≤≤⎪≤⎨⎪≤⎩给定，若(),M x y 为D 上的动点，点A的坐标为)，则z OM OA =⋅的最大值为( )．A ．3B ．4 C． D． 【答案】B ．【解析】z y =+，即y z =+，画出不等式组表示的平面区域，易知当直线y z =+经过点2)时，z取得最大值，max 24z =．【2011⋅广东文，7】7．正五棱柱中，不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线，那么一个正五棱柱对角线的条数共有( )．A ．20B ．15C ．12D ．10 【答案】D ．【解析】正五棱柱中，上底面中的每一个顶点均可与下底面中的两个顶点构成对角线，所以一个正五棱柱对角线的条数共有5210⨯=条．【2011⋅广东文，8】8．设圆C 与圆22(3)1x y +-=外切，与直线0y =相切．则C 的圆心轨迹为( )．A ．抛物线B ．双曲线C ．椭圆D ．圆 【答案】A ．【解析】依题意得，C 的圆心到点(0,3)的距离与它到直线1y =-的距离相等，则C 的圆心轨迹为抛物线．【2011⋅广东文，9】9．如图，某几何体的正视图（主视图），侧视图（左视图）和俯视图分别为等边三角形、等腰三角形和菱形，则该几何体体积为( )．A ．B ．4C ．D ． 2【答案】C ．【解析】该几何体是一个底面为菱形的四棱锥，菱形的面积122S =⨯⨯=，四棱锥的高为3，则该几何体的体积11333V Sh ==⨯=．【2011⋅广东文，10】10．设||||HO HT +是R 上的任意实值函数．如下定义两个函数()()f g x 和()()f g x ；对任意x R ∈,()()()()f g x f g x =；()()()()f g x f x g x =．则下列等式恒成立的是( )． A ．()()()()()()()f g h x f h g h x =B ． ()()()()()()()f g h x f h g h x =C ． ()()()()()()()fg h x f h g h x =D ．()()()()()()()f g h x f h g h x =【答案】B ． 【解析】 对A 选项 (()fg h )()x =()f g ()()x h x (())()f g x h x =，(()f h ()g h )()x =()f h (()()g h x )=()f h ((()()g x h x )(()())(()())f g x h x h g x h x =，故排除A ；对B 选项 (()f g h )()x =()(())f g h x =(())(())f h x g h x ，(()f h ()g h )()x =()()()()f h x g h x (())(())f h x g h x =，故选B ； 对C 选项 (()fg h )()x =()(())f g h x ((()))f g h x =，(()f g ()g h )()x =()(()())()((()))f g g h x f g g h x = ． (((())))f g g h x =，故排除C ；对D 选项 (()f g h )()x =()()()()()()f g x h x f x g x h x =，(()f g ()g h )()x =()()()()()()()()f g x g h x f x g x g x h x =，故排除D ．解析二：二、填空题：本大题共5小题．考生作答4小题．每小题5分，满分20分． （一）必做题（11～13题）第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题：（每小题5分，共20分）【2011⋅广东文，11】11．已知{}n a 是递增等比数列，2432,4a a a =-=，则此数列的公比=q ．【答案】 2．【解析】 2243224422402(2)(1)0a a a q a q q q q q -=⇒-=⇒--=⇒-+=2q ⇒=或1q =-∵{}n a 是递增的等比数列，∴2q =．【2011⋅广东文，12】12．设函数3()cos 1.f x x x =+若()11f a =，则()f a -= ． 【答案】 9-．【解析】3()cos 111f a a a =+=，即3()cos 10f a a a ==，则33()()cos()1cos 11019f a a a a a -=--+=-+=-+=-．【2011⋅广东文，13】13．为了解篮球爱好者小李的投篮命中率与打篮球时间之间的关系，下表记录了小李某月1号到5号每天打时间x （单位：小时）与当于投篮命中率y 之间的关系：小李这 5天的平均投篮命中率为 ，用线性回归分析的方法，预测小李该月6号打6小时篮球的投篮命中率为 ． 【答案】 0.5；0.53．【解析】小李这5天的平均投篮命中率1(0.40.50.60.60.4)0.55y =++++= 3x =，1222221()()0.2000.1(0.2)0.01(2)(1)012()niii nii x x y y b x x ==--++++-===-+-+++-∑∑，0.47a y bx =-= ∴线性回归方程0.010.47y x =+，则当6x =时，0.53y = ∴预测小李该月6号打6小时篮球的投篮命中率为0.53． （二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）【2011⋅广东文，14】14．（坐标系与参数方程选做题）已知两曲线参数方程分别为⎩⎨⎧==θθsin cos 5y x （0≤θ ＜π) 和254x t yt⎧=⎪⎨⎪=⎩（t ∈R ），它们的交点坐标为 ． 【答案】 ． 【解析】 sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩表示椭圆2215x y +=(01)x y <≤≤≤，254x t y t⎧=⎪⎨⎪=⎩表示抛物线245y x =，22221(01)5450145x y x y x x x y x ⎧+=≤≤≤⎪⎪⇒+-=⇒=⎨⎪=⎪⎩或5x =-（舍去）， 又因为01y ≤≤，所以它们的交点坐标为． 【2011⋅广东文，15】15．（几何证明选讲选做题）如图4，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝4，CD ＝2，E 、F 分别为AD 、BC 上点，且EF ＝3，EF ∥AB ，则梯形ABFE 与梯形EFCD 的面积比为 ． 【答案】75． 【解析】如图，延长,AD BC ，AD BC P =，∵23CD EF =，∴49PCD PEF S S ∆∆=∵24CD AB =，∴416PCD PEF S S ∆∆=∴75ABEF EFCDS S =梯形梯形． 三、解答题：（本大题共6小题，共80分）【2011⋅广东文，16】16．（本小题满分12分）已知函数()12sin()36f x x π=-，x R ∈．(Ⅰ) 求()0f 的值； (Ⅱ) 设10,0,,(3),2213f ππαβα⎡⎤∈+=⎢⎥⎣⎦6(3),25f πβ+=求()sin αβ+的值． 【解析】 ． (Ⅰ) (0)2sin()16f π=-=-；(Ⅱ) 110(3)2sin[(3)]2sin 232613f πππααα+=+-==，即5sin 13α=16(32)2sin[(32)]2sin()3625f ππβπβπβ+=+-=+=，即3cos 5β=∵,0,2παβ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴12cos 13α==，4sin 5β== ∴5312463sin()sin cos cos sin 13513565αβαβαβ+=+=⨯+⨯=．【2011⋅广东文，17】17．（本小题满分13分）在某次测验中，有6位同学的平均成绩为75分．用n x 表示编号为()1,2,,6n n =的同学所得成绩，且前5(Ⅰ) 求第6位同学成绩6，及这6位同学成绩的标准差；(Ⅱ) 从前5位同学中，随机地选2位同学，求恰有1位同学成绩在区间()68,75中的概率． 【解析】 ． (Ⅰ) 611756n n x x ===∑5616675707672707290,n n x x x =∴=-=⨯-----=∑622222222111()(5135315)4966n n s x x ==-=+++++=∑，7.s ∴=(Ⅱ) 从5位同学中随机选取2位同学，共有如下10种不同的取法： {1，2}，{1，3}，{1，4}，{1，5}，{2，3}，{2，4}，{2，5}，{3，4}，{3，5}，{4，5}， 选出的2位同学中，恰有1位同学的成绩位于（68，75）的取法共有如下4种取法： {1，2}，{2，3}，{2，4}，{2，5}，故所求概率为25． 解法二： （1）61(7076727072)756x +++++=，解得690x =， 标准差7s ==． （2）前5位同学中随机选出的2位同学记为(,)a b ，,{1,2,3,4,5}a b ∈且a b ≠，则基本事件有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)共10种，这5位同学中，编号为1、3、4、5号的同学成绩在区间（68，75）中设A 表示随机事件“从前5位同学中随机选出2位同学，恰有1位同学成绩在区间（68，75）中”，则A 中的基本事件有(1,2)、(2,3)、(2,4)、(2,5)共4种，则42()105P A ==． 【2011⋅广东文，18】18．（本小题满分12分）如图所示，将高为2，底面半径为1的直圆柱沿过轴的平面切开后，将其中一半沿切面向右平移到的,,,A A B B ''分别为,,,,CD C D DE D E ''''的中点，1122,,,O O O O ''分别为,,,CD C D DE D E ''''的中点．(Ⅰ) 证明：12,,,O A O B ''四点共面；(Ⅱ) 设G 为AA '中点，延长1A O ''到H ',使得11O H A O ''''=,证明：2BO H B G '''⊥面．【解析】 ．// (Ⅰ) ,,A A CD C D '''分别为中点，11//O A O A ''∴连接BO 2直线BO 2是由直线AO 1平移得到12//AO BO ∴12//O A BO ''∴ 12,,,O A O B ''∴共面．(Ⅱ) 将AO 1延长至H 使得O 1H=O 1A ，连接1,,HO HB H H '' ∴由平移性质得12O O ''=HB21//BO HO ''∴11,,2A G H O H H A H O H H GA H π''''''''''==∠=∠=1GA H O H H ''''∴∆≅∆12H O H GH A π'''∴∠+=1O H H G ''∴⊥ 2BO H G ''∴⊥12212222222,,O O B O O O O O B O O O O '''''''''''⊥⊥⋂= 1222O O B BO O ''''∴⊥平面 122O O BO '''∴⊥ 2BO H B '''∴⊥H B H G H ''''⋂=2.BO H B G '''∴⊥平面解法二：证明：（1）连接2,BO 22,O O '依题意得1122,,,O O O O ''是圆柱底面圆的圆心 ∴,,,CD C D DE D E ''''是圆柱底面圆的直径 ∵,,A B B ''分别为C D '',DE ,D E ''的中点 ∴1290A O D B O D ''''''∠=∠= ∴1A O ''∥2BO '∵BB '//22O '，四边形22O O B B ''是平行四边形 ∴2BO ∥2BO ' ∴1A O ''∥2BO∴12,,,O A O B ''四点共面（2）延长1A O '到H ，使得11O H AO ''=，连接1,,HH HO HB '' ∵11O H A O ''''=∴1O H ''2B ''，四边形12O O B H ''''是平行四边形 ∴12O O ''∥H B ''∵1222O O O O '''⊥，122O O B O ''''⊥，2222O O B O O ''''=∴12O O ''⊥面22O O B B ''∴H B ''⊥面22O O B B ''，2BO '⊂面22O O B B '' ∴2BO H B '''⊥易知四边形AA H H ''是正方形，且边长2AA '=，∵11tan 2HH HO H O H '''∠==''，1tan 2A G A H G A H '''∠==''，∴1tan tan 1HO H A H G ''''∠⋅∠=， ∴190HO H A H G ''''∠+∠=， ∴1HO H G ''⊥易知12O O ''HB ，四边形12O O BH ''是平行四边形， ∴2BO '∥1HO '， ∴2BO H G ''⊥，H G H B H ''''=，∴2BO '⊥平面H B G ''．【2011⋅广东文，19】19．（本小题满分14分）设0a >,讨论函数2()ln (1)2(1)f x x a a x a x =+---的单调性． 【解析】 ．函数()f x 的定义域为(0,)+∞．22(1)2(1)1(),a a x a x f x x---+'=当212(1)2(1)1a a a x a x ≠---+时,方程的判别式112(1)()3a a ∆=--．①当10,0,()3a f x '<<∆>时有两个零点，12110,22x x a a =>=+且当12120,()0,()(0,)(,)x x x x f x f x x x '<<>>+∞或时在与内为增函数； 当1212,()0,()(,)x x x f x f x x x '<<<时在内为减函数；②当11,0,()0,()(0,)3a f x f x '≤<∆≤≥+∞时所以在内为增函数；③当11,()0(0),()(0,)a f x x f x x'==>>+∞时在内为增函数；④当111,0,0,2a x a >∆>=->时210,()2x f x a '=<所以在定义域内有唯一零点1x ，且当110,()0,()(0,)x x f x f x x '<<>时在内为增函数；当1x x >时，1()0,()(,)f x f x x '<+∞在内为减函数。
2011年高考广东卷文科数学答案和解析版
2011年高考广东卷文科数学解析版一、选择题 1．【命题意图】本题考查复数的运算，是容易题. 【解析】∵1iz =，∴z =1i=i -，故选A. 2．【命题意图】本题考查集合的运算、直线与圆的位置关系，是容易题. 【解析】集合A 表示由圆221x y +=上所有点组成的集合，集合B 表示直线1x y +=上所有点的集合，∵直线过园内点（12,12），∴直线与圆有两个交点，故选C . 3．【命题意图】本题考查向量平行的充要条件，是容易题. 【解析】∵(1,2),(1,0),(3,4)a b c ===，∴a b λ+ =（1λ+，2）， ∵()//a b c λ+， ∴32(1)40λ⨯-+⨯=，解得λ= 12，故选B 4 ．【命题意图】本题考查函数的定义域求法和不等式解法，是容易题.【解析】要使式子有意义，则1010x x -≠⎧⎨+>⎩，解得11x x >-≠且，故选C.5．【命题意图】本题考查一元二次不等式解法，是容易题.【解析】2210x x -->⇔(21)(1)0x x +->，解得112x x <->或，故选D. 6．【命题意图】本题考查数量积的坐标运算、简单线性规划，是容易题. 【解析】如图,区域D 为四边形OABC 及其内部区域,目标函数为z =(,)x y ⋅y +,z 即为y z =+在y 轴的截距，由图知，当直线y z =+过B 时，2max z 2=+=4，故选B.7．【命题意图】本题考查学生的空间想象能力，难度较大.【解析】下底面有5个点，每个下底面的点对应上底面的5个点中，符合条件的只有2个，故总共有10条，选D.8．【命题意图】本题考查直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系、轨迹问题，难度较大.【解析】设圆心C(,x y )，则圆C 的半径为y ， ∵设圆C 与圆 错误！未找到引用源。
外切，∴1y =+，整理得28(1)x y =-，故选A. 9．【命题意图】本题考查简单几何体的三视图和体积计算，是中档题. 【解析】由三视图知，此几何体是底面边长为2，短对角线为2的菱形，顶点在底面上的射影为菱形的中心，一条侧棱长为，∴底面积为14⨯⨯==3，故133V =⨯=，故选C.10．【命题意图】本题是新定义型题，考查学生学习、理解新知识、运用新知识的能力，属难度.【解析】由题知()()x g f 表示两个函数复合，()()x g f ∙表示两个函数相乘，故 对A ：左=()()()f g h x ∙=(())()f g x h x ，右=()()()()f h g h x ∙∙=(()())(()())f x h x g x h x =((()())(()()))f g x h x h g x h x ，显然不等，对B ：左=(())()f g h x ∙=(())(())f h x g h x ，右=(()())()f h g h x ∙=()()()()f h x g h x =(())(())f h x g h x ，显然正确， 对C ：左=(())()f g h x =((()))f g h x ，右=(()())()f h g h x =(((())))f h g h x ，显然不等，对D ：左=(())()f g h x ∙∙=()()()f x g x h x ，右=(()())()f h g h x ∙∙∙=2()()()f x g x h x ，显然不等，故选B. 二、填空题（一）必做题（11～13题）11．【命题意图】本题考查等比数列的通项公式、数列的单调性，是容易题. 【解析】∵4,2342=-=a a a ,∴2224q q -=，解得q =2或－1（舍），故q =2. 【答案】2 12．【命题意图】本题考查函数的奇偶性和函数求值,是简单题. 【解析】∵3()cos 111f a a a =+=，=-)(a f 3()cos()1a a --+=3cos 1a a -+， ∴两式相加得()112f a -+=，∴=-)(a f －9. 【答案】－9 13．【命题意图】本题考查线性回归分析方法及运算求解能力，是中档题. 【解析】平均命中率为y =0.40.50.60.60.45++++=0.5，平均训练时间x =12345++++=3，∴ˆb=51521()()()iii i i x x y y x x ==---∑∑=0.110=0.01，ˆa=ˆy bx -=0.5—0.01×3=0.47， 样本回归方程为ˆy=0.470.01x +， 当x =6时，ˆy=0.47+0.01×6=0.53. 【答案】0.5 0.53 （二）选做题 14．【命题意图】本题考查参数方程与普通方程互化、求两曲线的交点及运算求解能力，是中档题.【解析】化为普通方程分别为221(0)5x y x +=>，245y x =，联立解得1x y =⎧⎪⎨=⎪⎩交点（1. 【答案】（1）15．【命题意图】本题考查合情推理，是容易题.【解析】∵AB ∥CD ，AB ＝4，CD ＝2, EF ＝3，EF ∥AB ，∴2EF=AB+CD ，∴EF 是梯形ABCD 的中位线，设梯形ABEF EFCD S S 梯形梯形=(4+3)2(32)2hh +=75.【答案】7516【命题意图】本题考查诱导公式、同角三角函数基本关系式、两角和的余弦公式等基本知识，考查运算能力，是容易题. 【解析】(1)1)6sin(2)0(-=-=πf(2) ∵10(3)2sin 213f παα+==，∴5sin 13α=，又∵[0,]2πα∈，∴12cos 13α=，∵6(32)2sin()2cos 25f πβπββ+=+==， ∴3cos 5β=，又∵[0,]2πβ∈，∴4sin 5β=，∴16cos()cos cos sin sin 65αβαβαβ+=-=.17【命题意图】本题考查样本的均值与方差，等可能事件的概率计算，是容易题. 【解析】(1)由题意得：75=90,6727072767066=+++++x x 得S=76)7590()7572()7570()7572()7576()7570(222222=-+-+-+-+-+-(2)设5位同学为：A, B,C, D, E 其中A70分，B76分，C72分，D70分，E72分基本事件：AB, AC,AD,AE, BC,BD,BE,CD,CE, DE ,共10种。
2011年高考数学广东卷(文科)(含答案)
2011年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)数学(文科)本试卷共4页，21小题，满分150分。
考试用时120分钟。
参考公式： 锥体的体积公式V =13sh ，其中S 是锥体的底面积，h 为锥体的高． 线性回归方程y bx a =+中系数计算公式x b y a x xy y x xb ni ini i i-=---=∑∑==,)())((211样本数据12,,...n x x x 的标准差()()()[]222211x x x x x x ns n -++-+-=，其中y x ,表示样本均值，n 是正整数，则))((1221----++++-=-n n n n n n b ab b a a b a b a一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分。
在每小题给出四个选项中，只有一项符合题目要求。
1．设复数z 满足1=iz ，其中i 为虚数单位，则z =( ) A ．i - B ．i C ．1- D ．12．已知集合{}22(,)|,1A x y x y x y =+=为实数,且，{}(,)|,1B x y x y x y =+=为实数,且，则A B 的元素个数为( )A ．4B ．3C ．2D ．13．已知向量(1,2)a = ，(1,0)b = ，(3,4)c =，若λ为实数，//a b c λ+ ，则λ=( )A ．41 B ．21C ．1D ．2 4．函数)1lg(11)(x xx f ++-=的定义域是( ) A ．()1,-∞- B ．),1(+∞ C ．),1()1,1(+∞- D ．),(+∞-∞ 5．不等式0122>--x x 的解集是( ) A ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-1,21 B ．),1(+∞ C ．),2()1,(+∞-∞ D ．),1(21,+∞⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-6．已知平面直角坐标系xOy 上的区域D 由不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤yx y x 2220给定。
2011年高考广东数学(文科)模拟试题
2011年高考广东数学(文科)模拟试题本试卷共两部分，21小题,满分150分，考试用时120分钟.第一部分选择题(共40分)一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,满分40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1．集合P={-1,0,1}，Q={yy=cosx,x∈R},则P∩Q＝（）A．P B．Q C．{-1,1} D．{0,1}2．已知向量=(1,1),2+=(4,2)，则向量,的夹角的余弦值为()A．B．-C．D．-3. 等差数列{an}中，a3+a11=8，数列{bn}是等比数列，且b7=a7，则b6•b8的值为（）A． 2 B． 4 C．8 D．164. 一个算法的程序框图如下图所示，若该程序输出的结果是，则判断框中应填入的条件是(）A．i<5B．i<6C．i>5D．i>65. 设实数x和y满足约束条件x+y≤10, x-y≤2,x≥4,则z=2x+3y的最小值为()A．26 B．24C．16 D．146．设a,b是两条直线，,是两个平面，则a⊥b的一个充分条件（）A．a⊥,b//,⊥B．a⊥,b⊥,//C．a,b⊥,// D．a,b//,⊥7. 定义运算：a1 a2a3 a4=a1a4-a2a3，已知函数f（x）=sinx-11 cosx，则函数f（x）的最小正周期是( )A．B．C． 2 D．48. 已知双曲线-=1(a>0,b>0)与抛物线y2=8x有一个公共的焦点F，且两曲线的一个交点为P，若PF=5，则双曲线的离心率为( )A． 2 B． 2 C．D．第二部分非选择题(共110分)二、填空题.（本大题共6小题，每题5分，其中14、15题为选做题，考生只选其中之一作答，如两题均作答，以14题的分数为准）（一）必做题：9-13题是必做题，每道试题考生都必须作答．9. 某校高中年级开设了丰富多彩的校本课程，甲、乙两班各随机抽取了5名学生的学分，用茎叶图表示（如右图）.S1,S2分别表示甲、乙两班各自5名学生学分的标准差，则S1S2.（填“>”“<”或“＝”）10．已知f（x）=2x,(x≤1)lg(x-1),(x>1)则f（f（1））=.11. 一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积为.12. 已知函数f（x）为奇函数，且当x>0时，f（x）=log2x，则满足不等式f（x）>0的x的取值范围是.13．已知圆Ｃ的圆心与点M(1,-2)关于直线x-y+1=0对称，并且圆Ｃ与x-y+1=0相切，则圆C的方程为.（二）选做题：第14、15题是选做题，考生只选做一题，两题全答的，只计算第14题的得分．14．（坐标系与参数方程选做题）若直线sin(+)=，直线3x+ky=1垂直，则常数k= ．15.(几何证明选讲选做题)如图，过点D作圆的切线切于B点，作割线交圆于A,C且BD=3,AD=4,AB=2，则BC=．三、解答题：本大题共6小题,满分80分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.16.（本小题满分12分）已知函数f（x）=cos2x+sinxcosx．（1）求函数f（x）的最大值；（2）在△ABC中，AB=AC=3，角A满足f(+)=1，求△ABC的面积.17．（本题满分13分）某班同学利用国庆节进行社会实践，对[25,55]岁的人群随机抽取n人进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查，若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”，得到如下统计表和各年龄段人数频率分布直方图：（Ⅰ）补全频率分布直方图并求n、a、p的值；（Ⅱ）从年龄段在[40,50)的“低碳族”中采用分层抽样法抽取6人参加户外低碳体验活动，其中选取2人作为领队，求选取的2名领队中恰有1人年龄在[40,45)岁的概率.18．（本题满分13分）如图，已知直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是直角梯形，AB⊥BC，AB//CD，E，F分别是棱BC，B1C1上的动点，且EF//CC1，CD=DD1=1，AB=2，BC=3.（Ⅰ）证明：无论点怎样运动，四边形EFD1D都为矩形；（Ⅱ）当EC=1时，求几何体A-EFD1D的体积．19.（本小题满分14分）已知椭圆C:+=1(a>b>0)经过点(0,1)，其右焦点到直线x+y+=0的距离为2.（1）求椭圆C的方程；（2）若椭圆C上存在两点P，Q关于直线l:x=my+1对称，求实数m的取值范围.20.（本小题满分14分）已知数列{an}满足a1=-1,an+1-2an-3=0,数列{bn}满足bn=log2(an+3).(1) 求{bn}的通项公式;(2) 若数列{2n+1bn}的前n项的和为Sn，试比较Sn与8n2-4n的大小.21．（本小题满分14分）已知函数f（x）=x3-x2-2a2x+1(a>0),（1）求函数f（x）的极值；（2）若函数y=f（x）的图像与直线y=0恰有三个交点，求实数a的取值范围；（3）已知不等式f ′（x）<x2-x+1对任意a∈(1,+∞)都成立，求实数x的取值范围.2011年高考广东数学（文科）模拟试题参考答案一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．二、填空题（每小题5分，共20分，14、15题为选做题）9．<；10．0；11．+12；12．(-1,0)∪(1,+∞)；13．(x+3)2+(y-2)2=8；14．－3；15．.三、解答题16.（本小题满分12分）解：（1）f（x）=cos2x+sinxcosx=+sin2x…………………2分=(sin2x+cos2x)+=sin（2x+）+.…………4分∵-1≤sin（2x+）≤1，∴f（x）的最大值为+．…………6分（2）∵f（+）=1，∴sin[2(+)+]+=1. …7分即sin(A+)=，∴cosA=.…………………9分∵A为△ABC的内角，∴sinA=．…………………10分∵AB=AC=3，∴△ABC的面积S=×AB×AC×sinA=．…………………12分17.(本题满分13分)解：（Ⅰ）第二组的频率为1-(0.04+0.04+0.03+0.02+0.01)×5=0.3，所以高为=0.06．频率直方图如下：…………………2分第一组的人数为=200，频率为0.04×5=0.2，所以n==1000．由题可知，第二组的频率为0．3，所以第二组的人数为1000×0.3=300，所以p==0.65．第四组的频率为0.03×5=0.15，所以第四组的人数为1000×0.15=150，所以a=150×0.4=60．……5分（Ⅱ）因为[40,45)岁年龄段的“低碳族”与[45,50)岁年龄段的“低碳族”的比值为60:30=2:1，所以采用分层抽样法抽取6人，[40,45)岁中有4人，[45,50)岁中有2人.………………8分设[40,45)岁中的4人为a、b、c、d，[45,50)岁中的2人为m、n，则选取2人作为领队的有(a,b)、(a,c)、(a,d)、(a,m)、(a,n)、(b,c)、(b,d)、(b,m)、(b,n)、(c,d)、(c,m)、(c,n)、(d,m)、(d,n)、(m,n)，共15种；其中恰有1人年龄在[40,45)岁的有(a,m)、(a,n)、(b,m)、(b,n)、(c,m)、(c,n)、(d,m)、(d,n)，共8种.……………………10分所以选取的2名领队中恰有1人年龄在[40,45)岁的概率为P=. ……………………12分18．解：（Ⅰ）在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，DD1//CC1，∵EF//CC1，∴EF//DD………2分又∵平面ABCD//平面A1B1C1D1，平面ABCD∩平面EFD1D=ED，平面A1B1C1D1∩平面EFD1D=FD1，∴ED//FD1，∴四边形EFD1D为平行四边形，……………………………………4分∵侧棱DD1⊥底面ABCD，又DE平面ABCD内，∴DD1⊥DE，∴四边形EFD1D为矩形.…………6分（Ⅱ）证明：连结AE，∵四棱柱ABCD-A1B1C1D1为直四棱柱，∴侧棱DD1⊥底面ABCD，又AE平面ABCD内，∴DD1⊥AE.…………8分在Rt△ABE中，AB=2，BE=2，则AE=2,…………………………………9分在Rt△CDE中，EC=1，CD=1，则DE=,…………………………………10分在直角梯形中ABCD，AD==,∴AE2+DE2=AD2，即AE⊥ED.又∵ED∩DD1=D，∴AE⊥平面EFD1D. …………12分由（Ⅰ）可知，四边形EFD1D为矩形，且DE=，DD1=1，∴矩形EFD1D的面积为S=DE•DD1=，∴几何体A-EFD1D的体积为:V=S•AE=××2=．………………14分19.解：（1）∵椭圆过点（0，1），∴b=1.设右焦点为F(c,0)，则=2，∴c=.……………………………………………3分故a2=b2+c2=1+2=3，所求椭圆C的方程为+y2=1.…………………………………………5分（2）设直线PQ的方程：y=-mx+n,代入C：y=-mx+n，+y2=1(3m2+1)x2-6mnx+3n2-3=0.……7分由△=36m2n2-12(3m2+1)(n2-1)>0n2<3m2+1………………………①………9分∴=,=-m•+n=+n=.将点(,)代入l：=+12mn=3m2+1…………②由①②得(3m2+1)2<4m2(3m2+1)3m2+1<4m2,∴m2>1m∈(-∞,-1)∪(1,+∞).………………13分20. 解: (1)由an+1-2an-3=0,有an+1+3=2(an+3),∴an+3=(a1+3)2n-1=2n,…………………4分∴bn=log22n=n.…………………………6分(2)∵Sn=1×22+2×23+3×24+…+n×2n+1, ……①①×2得2Sn=1×23+2×24+3×25+…+n×2n+2,……②①-②得-Sn=22+23+24+…+2n+1-n×2n+2=-n×2n+2，∴Sn=4+(n-1)×2n+2. ……………………………9分Sn-(8n2-4n)=4+(n-1)×2n+2-8n2+4n=(n-1)×2n+2-4(2n+1)(n-1)=4(n-1)[2n-(2n+1)].当n=1时，Ｓn-(8n2-4n)=0，即Sn=8n2-4n；…10分当n=2时，Sn-(8n2-4n)=4×(22-5)=-4，即Sn<8n2-4n；………………………………………11分当n=3时，Sn-(8n2-4n)=4×2×(23-7)=8，即Sn>8n2-4n；………………………………………12分当n>3时，由指数函数的图像知总有2n>(2n+1),∴n>3时有Sn>8n2-4n. …………………………13分21．解：（1）∵ f ′（x）=x2-ax-2a2，令f ′（x）=x2-ax-2a2=0，则x=-a或x=2a．∴ f ′（x）=x2-ax-2a2>0时，x2a,∴x=-a时，f （x）取得极大值f ′（-a）=a3+1,x=2a 时，f （x）取得极小值f （2a）=-a3+1.（2）要使函数y=f （x）的图像与直线y=0恰有三个交点，则函数y=f （x）的极大值大于零，极小值小于零；由（1）的极值可得:a3+1>0，-a3+1=.（3）要使f ′（x）<x2-x+1对任意a∈(1,+∞)都成立, 即x2-ax-2a2<x2-x+1,(1-a)x<2a2+1,∵a∈(1,+∞),∴1-a<0.x>对任意a∈(1,+∞)都成立,则x大于的最大值.∵=-=-[2(a-1)++4]，由a∈(1,+∞)，a-1>0，∴2(a-1)+≥2，当且仅当a=1+时取等号，∴≤-(2+4),故x>()max=-(4+2).（作者单位：陈兴旺，深圳市光明新区高级中学；刘会金，光明新区教育科学研究管理中心）责任编校徐国坚注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。
2011年广东高考文科数学真题及答案
2011年广东高考文科数学真题及答案一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．（5分）设复数z满足iz=1，其中i为虚数单位，则z=（）A．﹣i B．i C．﹣1 D．1【解答】解：设Z=x+yi∵iz=1，∴i（x+yi）=﹣y+xi=1故x=0，y=﹣1∴Z=﹣i故选A2．（5分）已知集合A={（x，y）|x，y为实数，且x2+y2=1}，B=|（x，y）|x，y为实数，且x+y=1}，则A∩B的元素个数为（）A．4 B．3 C．2 D．1【解答】解：联立两集合中的函数关系式得：，由②得：x=1﹣y，代入②得：y2﹣y=0即y（y﹣1）=0，解得y=0或y=1，把y=0代入②解得x=1，把y=1代入②解得x=0，所以方程组的解为或，有两解，则A∩B的元素个数为2个．故选C3．（5分）已知向量=（1，2），=（1，0），=（3，4）．若λ为实数，（+λ）∥，则λ=（）A．B．C．1 D．2【解答】解：∵向量=（1，2），=（1，0），=（3，4）．∴=（1+λ，2）∵（+λ）∥，∴4（1+λ）﹣6=0，∴故选B．4．（5分）函数f（x）=+lg（1+x）的定义域是（）A．（﹣∞，﹣1） B．（1，+∞）C．（﹣1，1）∪（1，+∞）D．（﹣∞，+∞）【解答】解：根据题意，使f（x）=+lg（1+x）有意义，应满足，解可得（﹣1，1）∪（1，+∞）；故选：C．5．（5分）不等式2x2﹣x﹣1＞0的解集是（）A．（﹣，1）B．（1，+∞）C．（﹣∞，1）∪（2，+∞）D．（﹣∞，﹣）∪（1，+∞）【解答】解：原不等式同解于（2x+1）（x﹣1）＞0∴x＞1或x＜故选：D6．（5分）已知平面直角坐标系xOy上的区域D由不等式组给定．若M（x，y）为D上的动点，点A的坐标为，则z=•的最大值为（）A．3 B．4 C．3 D．4【解答】解：首先做出可行域，如图所示：z=•=，即y=﹣x+z做出l0：y=﹣x，将此直线平行移动，当直线y=﹣x+z经过点B时，直线在y轴上截距最大时，z有最大值．因为B（，2），所以z的最大值为4故选：B7．（5分）正五棱柱中，不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线，那么一个正五棱柱对角线的条数共有（）A．20 B．15 C．12 D．10【解答】解：由题意正五棱柱对角线一定为上底面的一个顶点和下底面的一个顶点的连线，因为不同在任何侧面内，故从一个顶点出发的对角线有2条．正五棱柱对角线的条数共有2×5=10条．故选D8．（5分）设圆C与圆x2+（y﹣3）2=1外切，与直线y=0相切，则C的圆心轨迹为（）A．抛物线B．双曲线C．椭圆 D．圆【解答】解：设C的坐标为（x，y），圆C的半径为r，圆x2+（y﹣3）2=1的圆心为A，∵圆C与圆x2+（y﹣3）2=1外切，与直线y=0相切∴|CA|=r+1，C到直线y=0的距离d=r ∴|CA|=d+1，即动点C定点A的距离等于到定直线y=﹣1的距离由抛物线的定义知：C的轨迹为抛物线．故选A9．（5分）如图，某几何体的正视图（主视图），侧视图（左视图）和俯视图分别是等边三角形，等腰三角形和菱形，则该几何体体积为（）A．B．4 C．D．2【解答】解：由已知中该几何中的三视图中有两个三角形一个菱形可得这个几何体是一个四棱锥由图可知，底面两条对角线的长分别为2，2，底面边长为2故底面棱形的面积为=2侧棱为2，则棱锥的高h==3故V==2故选C10．（5分）设f（x），g（x），h（x）是R上的任意实值函数，如下定义两个函数（f°g）（x）和（（f•g）（x）对任意x∈R，（f°g）（x）=f（g（x））；（f•g）（x）=f（x）g（x），则下列等式恒成立的是（）A．（（f°g）•h）（x）=（（f•h）°（g•h））（x）B．（（f•g）°h）（x）=（（f°h）•（g°h））（x）C．（（f°g）°h）（x）=（（f°h）°（g°h））（x）D．（（f•g）•h）（x）=（（f•h）•（g•h））（x）【解答】解：A、∵（f°g）（x）=f（g（x）），（f•g）（x）=f（x）g（x），∴（（f°g）•h）（x）=（f°g）（x）h（x）=f（g（x））h（x）；而（（f•h）°（g•h））（x）=（f•h）（（g•h）（x））=f（g（x）h（x））h（g（x）h（x））；∴（（f°g）•h）（x）≠（（f•h）°（g•h））（x）B、∵（（f•g）°h）（x）=（f•g）（h（x））=f（h（x））g（h（x））（（f°h）•（g°h））（x）=（f°h）•（x）（g°h）（x）=f（h（x））g（h（x））∴（（f•g）°h）（x）=（（f°h）•（g°h））（x）C、（（f°g）°h）（x）=（（f°g）（h（x））=f（g（h（x））），（（f°h）°（g°h））（x）=f（h（g（h（x））））∴（（f°g）°h）（x）≠（（f°h）°（g°h））（x）；D、（（f•g）•h）（x）=f（x）g（x）h（x），（（f•h）•（g•h））（x）=f（x）h（x）g（x）h（x），∴（（f•g）•h）（x）≠（（f•h）•（g•h））（x）．故选B．二、填空题（共5小题，考生作答4小题每小题5分，满分20分）11．（5分）已知{a n}是递增等比数列，a2=2，a4﹣a3=4，则此数列的公比q= 2 ．【考点】等比数列的通项公式．【专题】等差数列与等比数列．【分析】由已知{a n}是递增等比数列，a2=2，我们可以判断此数列的公比q＞1，又由a2=2，a4﹣a3=4，我们可以构造出一个关于公比q的方程，解方程即可求出公比q的值．【解答】解：∵{a n}是递增等比数列，且a2=2，则公比q＞1又∵a4﹣a3=a2（q2﹣q）=2（q2﹣q）=4即q2﹣q﹣2=0解得q=2，或q=﹣1（舍去）故此数列的公比q=2故答案为：2【点评】本题考查的知识点是等比数列的通项公式，其中利用等比数列的通项公式及a2=2，a4﹣a3=4，构造出一个关于公比q的方程，是解答本题的关键．12．（5分）设函数f（x）=x3cosx+1，若f（a）=11，则f（﹣a）= ﹣9 ．【考点】函数奇偶性的性质．【专题】函数的性质及应用．【分析】由于函数f（x）=x3cosx+1，是一个非奇非偶函数，故无法直接应用函数奇偶性的性质进行解答，故可构造函数g（x）=f（x）﹣1=x3cosx，然后利用g（x）为奇函数，进行解答．【解答】解：令g（x）=f（x）﹣1=x3cosx则g（x）为奇函数，又∵f（a）=11，∴g（a）=f（a）﹣1=11﹣1=10∴g（﹣a）=﹣10=f（﹣a）﹣1∴f（﹣a）=﹣9故答案为：﹣9【点评】本题考查的知识点是函数奇偶性的性质，其中构造出奇函数g（x）=f（x）﹣1=x3cosx，是解答本题的关键．13．（5分）工人月工资y（元）与劳动生产率x（千元）变化的回归方程为=50+80x，下列判断正确的是②①劳动生产率为1千元时，工资为130元；②劳动生产率提高1千元，则工资提高80元；③劳动生产率提高1千元，则工资提高130元；④当月工资为210元时，劳动生产率为2千元．【考点】线性回归方程．【专题】概率与统计．【分析】回归方程═50+80x变量x增加一个单位时，变量产生相应变化，从而对选项一一进行分析得到结果．【解答】解：：∵对x的回归直线方程=50+80x，∴=（x+1）+50，∴﹣=80（x+1）+50﹣80x﹣50=80．所以劳动生产率提高1千元，则工资提高80元，②正确，③不正确．①④不满足回归方程的意义．故答案为：②．【点评】主要考查知识点：统计．本题主要考查线性回归方程的应用，考查线性回归方程自变量变化一个单位，对应的预报值是一个平均变化，这是容易出错的知识点．14．（5分）已知两曲线参数方程分别为（0≤θ＜π）和（t∈R），它们的交点坐标为（1，）．【考点】参数方程化成普通方程；直线的参数方程；椭圆的参数方程．【专题】坐标系和参数方程．【分析】利用同角三角函数的基本关系及代入的方法，把参数方程化为普通方程，再利用消去参数t化曲线的参数方程为普通方程，最后解方程组求得两曲线的交点坐标即可．【解答】解：曲线参数方程（0≤θ＜π）的直角坐标方程为：；曲线（t∈R）的普通方程为：；解方程组：得：∴它们的交点坐标为（1，）．故答案为：（1，）．【点评】本题考查同角三角函数的基本关系，参把数方程化为普通方程的方法，以及求两曲线的交点坐标的方法，考查运算求解能力．属于基础题．15．如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB=4，CD=2．E，F分别为AD，BC上点，且EF=3，EF∥AB，则梯形ABFE与梯形EFCD的面积比为7：5 ．【考点】相似三角形的性质．【专题】解三角形．【分析】根据EF的长度和与上下底平行知是梯形的中位线，设出中位线分成的两个梯形的高，根据梯形的面积公式写出两个梯形的面积，都是用含有高的代数式来表示的，求比值得到结果．【解答】解：∵E，F分别为AD，BC上点，且EF=3，EF∥AB，∴EF是梯形的中位线，设两个梯形的高是h，∴梯形ABFE的面积是，梯形EFCD的面积∴梯形ABFE与梯形EFCD的面积比为=，故答案为：7：5【点评】本题考查梯形的中位线，考查梯形的面积公式是一个基础题，解题的时候容易出的一个错误是把两个梯形看成相似梯形，根据相似多边形的面积之比等于相似比的平方．三、解答题（共6小题，满分80分）16．（12分）已知函数f（x）=2sin（x﹣），x∈R．（1）求f（0）的值；（2）设α，β∈，f（3）=，f（3β+）=．求sin（α+β）的值．【考点】两角和与差的正弦函数．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】（1）把x=0代入函数解析式求解．（2）根据题意可分别求得sinα和sinβ的值，进而利用同角三角函数基本关系求得cosα和cosβ的值，最后利用正弦的两角和公式求得答案．【解答】解：（1）∵f（x）=2sin（x﹣），x∈R，∴f（0）=2sin（﹣）=﹣1（2）∵f（3）=2sinα=，f（3β+）=2sinβ=．∴sinα=，sinβ=∵α，β∈，∴cosα==，cosβ==∴sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ=【点评】本题主要考查了两角和与差的正弦函数．考查了对三角函数基础公式的熟练记忆．17．（13分）在某次测验中，有6位同学的平均成绩为75分．用x n表示编号为n（n=1，2，…，6）的同学所得成绩，且前5位同学的成绩如下：编号n 1 2 3 4 5成绩x n70 76 72 70 72（1）求第6位同学的成绩x6，及这6位同学成绩的标准差s；（2）从前5位同学中，随机地选2位同学，求恰有1位同学成绩在区间（68，75）中的概率．【考点】极差、方差与标准差；古典概型及其概率计算公式．【专题】概率与统计．【分析】（1）根据平均数公式写出这组数据的平均数表示式，在表示式中有一个未知量，根据解方程的思想得到结果，求出这组数据的方差，再进一步做出标准差．（2）本题是一个古典概型，试验发生包含的事件是从5位同学中选2个，共有C52种结果，满足条件的事件是恰有一位成绩在区间（68，75）中，共有C41种结果，根据概率公式得到结果．【解答】解：（1）根据平均数的个数可得75=，∴x6=90，这六位同学的方差是（25+1+9+25+9+225）=49，∴这六位同学的标准差是7（2）由题意知本题是一个古典概型，试验发生包含的事件是从5位同学中选2个，共有C52=10种结果，满足条件的事件是恰有一位成绩在区间（68，75）中，共有C41=4种结果，根据古典概型概率个数得到P==0.4．【点评】本题考查一组数据的平均数公式的应用，考查求一组数据的方差和标准差，考查古典概型的概率公式的应用，是一个综合题目．18．（13分）如图所示的几何体是将高为2，底面半径为1的直圆柱沿过轴的平面切开后，将其中一半沿切面向右水平平移后得到的，A，A′，B，B′分别为的中点，O1，O1′，O2，O2′分别为CD，C′D′，DE，D′E′的中点．（1）证明：O1′，A′，O2，B四点共面；（2）设G为A A′中点，延长A′O1′到H′，使得O1′H′=A′O1′．证明：BO2′⊥平面H′B′G．【考点】直线与平面垂直的判定；棱柱的结构特征；平面的基本性质及推论．【专题】空间位置关系与距离；立体几何．【分析】（1）要证O1′，A′，O2，B四点共面，即可证四边形BO2A′O1′为平面图形，根据A′O1′与B′O2′在未平移时属于同一条直径知道A′O1′∥B′O2′即BO2∥A′O1′再根据BO2=A′O1′=1即可得到四边形BO2A′O1′是平行四边形，则证．（2）建立空间直角坐标系，要证BO2′⊥平面H′B′G只需证，，根据坐标运算算出•，的值均为0即可【解答】证明：（1）∵B′，B分别是中点∴BO2∥B′O2′∵A′O1′与B′O2′在未平移时属于同一条直径∴A′O1′∥B′O2′∴BO2∥A′O1′∵BO2=A′O1′=1∴四边形BO2A′O1′是平行四边形即O1′，A′，O2，B四点共面（2）以D为原点，以向量DE所在的直线为X轴，以向量DD′所在的直线为Z轴，建立如图空间直角坐标系，则B（1，1，0），O2′（0，1，2），H′（1，﹣1，2），A（﹣1，﹣1，0），G（﹣1，﹣1，1），B′（1，1，2）则=（﹣1，0，2），=（﹣2，﹣2，﹣1），=（0，﹣2，0）∵•=0，=0∴BO2′⊥B′G，BO2′⊥B′H′即，∵B′H′∩B′G=B′，B′H′、B′G⊂面H′GB′∴BO2′⊥平面H′B′G【点评】本题考查了直线与平面垂直的判定，棱柱的结构特征，平面的基本性质及推论以及空间向量的基本知识，属于中档题．19．（14分）设a＞0，讨论函数f（x）=lnx+a（1﹣a）x2﹣2（1﹣a）x的单调性．【考点】利用导数研究函数的单调性．【专题】导数的综合应用．【分析】求出函数的定义域，求出导函数，设g（x）=2a（1﹣a）x2﹣2（1﹣a）x+1，x∈（0，+∞），讨论a=1，a＞1与0＜a＜1三种情形，然后利用函数的单调性与导函数符号的关系求出单调性．【解答】解：定义域{x|x＞0}f′（x）==设g（x）=2a（1﹣a）x2﹣2（1﹣a）x+1，x∈（0，+∞）①若a=1，则g（x）=1＞0∴在（0，+∞）上有f'（x）＞0，即f（x）在（0，+∞）上是增函数．②若a＞1则2a（1﹣a）＜0，g（x）的图象开口向下，此时△=[﹣2（1﹣a）]2﹣4×2a（1﹣a）×1=4（1﹣a）（1﹣3a）＞0方程2a（1﹣a）x2﹣2（1﹣a）x+1=0有两个不等的实根不等的实根为x1=，x2=且x1＜0＜x2∴在（0，）上g（x）＞0，即f'（x）＞0，f（x）是增函数；在（，+∞）上g（x）＜0，即f'（x）＜0，f（x）是减函数；③若0＜a＜1则2a（1﹣a）＞0，g（x）的图象开口向上，此时△=[﹣2（1﹣a）]2﹣4×2a（1﹣a）×1=4（1﹣a）（1﹣3a）可知当≤a＜1时，△≤0，故在（0，+∞）上，g（x）≥0，即f'（x）≥0，f（x）是增函数；当0＜a＜时，△＞0，方程2a（1﹣a）x2﹣2（1﹣a）x+1=0有两个不等的实根不等的实根满足＞＞0故在（0，）和（，+∞）上g（x）＞0，即f'（x）＞0，f（x）是增函数；在（，）上g（x）＜0，即f'（x）＜0，f（x）是减函数．【点评】本题考查利用导函数讨论函数的单调性：导函数为正函数递增；导函数为负，函数递减，同时考查了分类讨论的数学思想方法，属于难题．20．（14分）设b＞0，数列{a n}满足a1=b，a n=（n≥2）（1）求数列{a n}的通项公式；（2）证明：对于一切正整数n，2a n≤b n+1+1．【考点】数列递推式；数列与不等式的综合．【专题】等差数列与等比数列．【分析】（1）由题设形式可以看出，题设中给出了关于数列a n的面的一个方程，即一个递推关系，所以应该对此递推关系进行变形整理以发现其中所蕴含的规律，观察发现若对方程两边取倒数则可以得到一个类似等差数列的形式，对其中参数进行讨论，分类求其通项即可．（2）由于本题中条件较少，解题思路不宜用综合法直接分析出，故求解本题可以采取分析法的思路，由结论探究其成立的条件，再证明此条件成立，即可达到证明不等式的目的．【解答】解：（1）∵（n≥2），∴（n≥2），当b=1时，（n≥2），∴数列{}是以为首项，以1为公差的等差数列，∴=1+（n﹣1）×1=n，即a n=1，当b＞0，且b≠1时，（n≥2），即数列{}是以=为首项，公比为的等比数列，∴=×=，即a n=，∴数列{a n}的通项公式是（2）证明：当b=1时，不等式显然成立当b＞0，且b≠1时，a n=，要证对于一切正整数n，2a n≤b n+1+1，只需证2×≤b n+1+1，即证∵==（b n+1+1）×（b n﹣1+b n﹣2+…+b+1）=（b2n+b2n﹣1+…+b n+2+b n+1）+（b n﹣1+b n﹣2+…+b+1）=b n[（b n+b n﹣1+…+b2+b）+（++…+）]≥b n（2+2+…+2）=2nb n所以不等式成立，综上所述，对于一切正整数n，有2a n≤b n+1+1，【点评】本题考点是数列的递推式，考查根据数列的递推公式求数列的通项，研究数列的性质的能力，本题中递推关系的形式适合用取倒数法将所给的递推关系转化为有规律的形式，两边取倒数，条件许可的情况下，使用此技巧可以使得解题思路呈现出来．数列中有请多成熟的规律，做题时要注意积累这些小技巧，在合适的情况下利用相关的技巧，可以简化做题．在（2）的证明中，采取了分析法的来探究解题的思路，通过本题希望能进一步熟悉分析法证明问题的技巧．21．（14分）在平面直角坐标系xOy中，直线l：x=﹣2交x轴于点A，设P是l上一点，M 是线段OP的垂直平分线上一点，且满足∠MPO=∠AOP．（1）当点P在l上运动时，求点M的轨迹E的方程；（2）已知T（1，﹣1），设H是E上动点，求|HO|+|HT|的最小值，并给出此时点H的坐标；（3）过点T（1，﹣1）且不平行与y轴的直线l1与轨迹E有且只有两个不同的交点，求直线l1的斜率k的取值范围．【考点】轨迹方程；直线与圆锥曲线的综合问题．【专题】综合题；压轴题；转化思想．【分析】（1）由于直线l：x=﹣2交x轴于点A，所以A（﹣2，0），由于P是l上一点，M 是线段OP的垂直平分线上一点，且满足∠MPO=∠AO P，可以设点P，由于满足∠MPO=∠AOP，所以分析出MN∥AO，利用相关点法可以求出动点M的轨迹方程；（2）由题意及点M的轨迹E的方程为y2=4（x+1），且已知T（1，﹣1），又H是E 上动点，点O及点T都为定点，利用图形即可求出；（3）由题意设出过定点的直线方程l1并与点M的轨迹E的方程联立，利用有两个交点等价与联立之后的一元二次方程的判别式大于0，即可得到所求．【解答】解：（1）如图所示，连接OM，则|PM|=|OM|，∵∠MPO=∠AOP，∴动点M满足MP⊥l或M在x的负半轴上，设M（x，y）①当MP⊥l时，|MP|=|x+2|，|om|=，|x+2|=，化简得y2=4x+4 （x≥﹣1）②当M在x的负半轴上时，y=0（x≤﹣1），综上所述，点M的轨迹E的方程为y2=4x+4（x≥﹣1）或y=0（x＜﹣1）．（2）由题意画出图形如下：∵由（1）知道动点M 的轨迹方程为：y2=4（x+1）．是以（﹣1，0）为顶点，以O（0，0）为焦点，以x=﹣2为准线的抛物线，由H引直线HB垂直准线x=﹣2与B点，则利用抛物线的定义可以得到：|HB|=|HO|，∴要求|HO|+|HT|的最小值等价于求折线|HB|+|HT|的最小值，由图可知当由点T直接向准线引垂线是与抛物线相交的H使得HB|+|HT|的最小值，故|HO|+|HT|的最小值时的H．（3）如图，设抛物线顶点A（﹣1，0），则直线AT的斜率，∵点T（1，﹣1）在抛物线内部，∴过点T且不平行于x，y轴的直线l1必与抛物线有两个交点，则直线l1与轨迹E的交点个数分以下四种情况讨论：①当K时，直线l1与轨迹E有且只有两个不同的交点，②当时，直线l1与轨迹E有且只有一个不同的交点，③当K=0时，直线l1与轨迹E有且只有一个交点，④当K＞0时，直线l1与轨迹E有且只有两个不同的交点．综上所述，直线l1的斜率K的取值范围是（﹣]∪（0，+∞）．【点评】此题重点考查了利用相关点法求动点的轨迹方程，还考查了利用抛物线的定义求出HO|+|HT|的最小值时等价转化的思想，还考查了直线与曲线有两个交点的等价转化思想．21。
广东省高三数学全真高考模拟试卷(五) 文
2011年广东高考全真模拟试卷文科数学（五）本试卷共4页，21小题， 满分150分． 考试用时120分钟．参考公式：球体的体积公式343V r π=，其中r 为球半径长． 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1、如图所示，U 表示全集，则用A 、B 表示阴影部分正确的是( )A.)(B A C UB. B C A C U UC. )(B A C UD. B A2、函数()2sin()2f x x π=+在其定义域上是( )A.奇函数B. 偶函数C. 增函数D. 减函数3、等差数列{}为则中，593,19,7a a a a n ==（ ）.A 、13B 、12C 、11D 、104、原命题：“设2,,ac b a R c b a 则若、、>∈＞bc 2”以及它的逆命题，否命题、逆否命题中，真命题共有（ ）个.A. 0B. 1 C . 2 D. 45、已知正方形ABCD 边长为1，则AB BC AC ++=( )A. 0 B. 2 C .2 D. 226、一个正方体的体积是8，则这个正方体的内切球的表面积是（ ） A 、π8 B 、π6 C 、π4 D 、π7、方程0Ax By C ++=表示倾斜角为锐角的直线，则必有( ) A. 0AB > B. 0AB < C . 0BC > D. 0BC <8、若焦点在x 轴上的椭圆1222=+my x 的离心率为21，则m =（ ）. A 、23 B 、3 C 、38 D 、329、在空间直角坐标系xyz O -中，过点(4,2,3)--M 作直线OM 的垂线l ，则直线l 与平面Oxy 的交点(,,0)P x y 的坐标满足条件( )A ．42290+-=x yB ．42290-+=x yC ．42290++=x yD ．42290--=x y10、已知()f x 是定义在R 上的不恒为零的函数，且对于任意的a 、b ∈R ，满足()f ab =()()a f b b f a +，(2)2f =，(2)n n f a n=（n *∈N ），(2)2n n nf b =（n *∈N ）.考查下列结论：①(0)(1)f f =；②()f x 为偶函数；③数列{}n a 为等比数列；④{}n b 为等差数列。
2011年广东高考全真模拟试卷 文科综合(五)
垂直投影 2011年广东高考全真模拟试卷 文科综合（五) 本试卷共10页，41小题，满分300分。
考试用时150分钟。
注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。
用2B 铅笔将试卷类型(B ）填涂在答题卡相应位置上。
将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处"。
2．选择题每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动,用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
4．考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共35小题，每小题4分。
共140分.在每小题列出的四个选项中只有一项是符合题目要求的。
甲城镇位于乙城镇的正南方，现在两镇的中点地面平置一口白日工作钟(如左图）。
指日针白天指向太阳，其悬锤指向钟面时刻.据此完成1－3题。
1．一年中，正午时刻如果指日针总是指向甲城镇,两镇的中点的位置位于A ．北半球B ．南半球C ．北回归线以北地区D ．南回归线以南地区2．一年中,指日针工作最长的那一天，北京时间11点58分时,指针与钟面夹角达到最大值（为81°），由此推知两镇中点的地理位置是A ．116.5°E ，19°NB ．120.5°E ，9°26′NC ．120.5°E ，32°26′ND ．119.5°E ，32°26′N3．指日针指向图示位置时，下列现象不．可信的是 A ．地球公转速度较慢B ．北印度洋洋流呈顺时针流动C ．阿尔卑斯山雪线降到最低D ．非洲热带草原的动物向北迁徙安陆市大冶市赤壁市麻城市黄冈市武汉市鄂州市咸宁市黄石市孝感市天门市潜江市仙桃市汉川市应城市武穴市红安县省会省辖市县级市县右图为“沿90°E 各地雪线高度分布图”,据图完成下题。
2011年广州市高三年级文科数学调研测试试题含答案解析
试卷类型：A2011年广州市高三年级调研测试数学（文科）本试卷共4 页，共21 题，满分150 分。
考试用时120 分钟。
2011.01 注意事项：1. 答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上， 并用2B 铅笔在答题卡上的相应位置填涂考生号。
用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上。
2. 选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3. 非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
4. 作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号（或题组号）对应的信息点，再作答。
漏涂、错涂、多涂的，答案无效。
参考公式：锥体的体积公式13V Sh =，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的．1. 函数()g x =的定义域为A ．{3x x ≥-} B ．{3x x >-} C ．{3x x ≤-} D ．{3x x <-}2．已知i 为虚数单位, 则复数z =i (1+i )在复平面内对应的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 3．设向量(2,0)=a ,(1,1)=b ,则下列结论中正确的是A ．||||=a b B ． 12=a b C ．//a b D ．()-⊥a b b4．已知直线l 经过坐标原点，且与圆22430x y x +-+=相切，切点在第四象限，则直线l 的 方程为A ．y =B ．yC ．y x =D ．y =图2侧视图俯视图正视图5.甲、乙、丙、丁四人参加奥运会射击项目选拔赛，四人的平均成绩和方差如下表所示：从这四个人中选择一人参加奥运会射击项目比赛，最佳人选是 A ．甲 B ． 乙 C ． 丙 D ．丁6.如果执行图1的程序框图，若输入6,4n m ==，那么输出的p 等于A ．720B ．360C ．240D ．1207.“2>x ”是“0232>+-x x ”成立的 图1A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 8.定义3x y x y ⊗=-, 则()h h h ⊗⊗等于 A ．h - B ．0 C ．h D ．3h9. 一空间几何体的三视图如图2所示, 该几何体的体积为123π+，则正视图中x 的值为 A ．5 B ．4 C ．3 D ．2 10.若把函数()=y f x 的图象沿x 轴向左平移4π个单位, 沿y 轴向下平移1个单位,然后再把图象上每个点的 横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标保持不变),得到函数 sin =y x 的图象,则()=y f x 的解析式为 A ．sin 214⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭y x π B ．sin 212⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭y x πC ．1sin 124⎛⎫=+- ⎪⎝⎭y x πD ．1sin 122⎛⎫=+- ⎪⎝⎭y x π图3N二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分. （一）必做题（11～13题）11．已知等比数列{}n a 的公比是2，33a =，则5a 的值是 .12．△ABC 的三个内角A 、B 、C 所对边的长分别为a 、b 、c ，已知2,3a b ==，则sin sin()AA C =+ .13.设函数()()[)22,,1,,1,.x x f x x x -⎧∈-∞⎪=⎨∈+∞⎪⎩ 若()4f x >，则x 的取值范围是 .（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题）14．（几何证明选讲选做题）如图3，四边形ABCD 内接于⊙O ， BC 是直径，MN 与⊙O 相切, 切点为A ，MAB ∠35︒=,则D ∠= .15．（坐标系与参数方程选讲选做题）已知直线l 的参数方程为：2,14x t y t =⎧⎨=+⎩（t 为参数），圆C 的极坐标方程为ρθ=，则直线l 与圆C 的位置关系为 . 三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）已知向量a (sin ,2)θ=,b (cos ,1)θ=, 且a //b ，其中(0,)2πθ∈．（1）求θsin 和θcos 的值； （2）若3sin(), 052πθωω-=<<，求cos ω的值． 17.（本小题满分12分）某公司有一批专业技术人员，对他们进行年龄状况和接受教育程度(学历)的调查，其结果(人数 分布)如下表：（1）用分层抽样的方法在35～50岁年龄段的专业技术人员中抽取一个容量为5的样本,将该样本 看成一个总体, 从中任取2人, 求至少有1人的学历为研究生的概率；A B CPD （2）在这个公司的专业技术人员中按年龄状况用分层抽样的方法抽取N 个人，其中35岁以 下48人，50岁以上10人，再从这N 个人中随机抽取出1人，此人的年龄为50岁以上 的概率为539，求x 、y 的值.18.（本小题满分14分）如图4，在四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，AB DC ∥，PAD △是等边三角形，已知24BD AD ==，2AB DC ==（1）求证：BD ⊥平面PAD ；（2）求三棱锥A PCD -的体积．19.（本小题满分14分） 图4已知椭圆()222:133x y E a a+=>的离心率12e =. 直线x t =（0t >）与曲线E 交于 不同的两点,M N ,以线段MN 为直径作圆C ,圆心为C ． （1）求椭圆E 的方程；（2）若圆C 与y 轴相交于不同的两点,A B ，求ABC ∆的面积的最大值.20．（本小题满分14分）已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，且满足1(n n S a n =-∈N *).各项为正数的数列}{n b 中， 对于一切n ∈N *,有nk ==且1231,2,3b b b ===.（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）设数列{}n n a b 的前n 项和为n T ,求证:2n T <.21.（本小题满分14分） 已知函数()(af x x a x=+∈R ), ()ln g x x =. （1）求函数()()()F x f x g x =+的单调区间；（2）若关于x 的方程()()22g x f x e x =-(e 为自然对数的底数)只有一个实数根, 求a 的值.2011年广州市高三调研测试数学（文科）试题参考答案及评分标准说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数．2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分． 一、选择题：本大题主要考查基本知识和基本运算．共10小题，每小题5分，满分50分.二、填空题：本大题主要考查基本知识和基本运算．本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．其中14～15题是选做题，考生只能选做一题． 11．12 12．2313.()(),22,-∞-+∞ 14．125︒ 15．相交三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.16．（本小题满分12分）(本小题主要考查平面向量, 同角三角函数的基本关系、两角和与差的三角公式等知识, 考查化归与转化的数学思想方法和运算求解能力)（1）解：∵a (sin ,2)θ=,b (cos ,1)θ=, 且a //b ， ∴sin cos 21θθ=，即θθcos 2sin =. …… 2分 ∵ 1cos sin 22=+θθ, 0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,解得sin θθ==, ∴55cos ,552sin ==θθ. …… 6分 （2）解:∵02πω<<，20πθ<<，∴22ππθω-<-<.∵3sin(), 5θω-=∴4cos()5θω-==. …… 8分∴cos cos[()]cos cos()sin sin()ωθθωθθωθθω=--=-+- …… 10分=…… 12分 17．（本小题满分12分）(本小题主要考查分层抽样、概率等知识, 考查或然与必然的数学思想方法，以及数据处理能力、 运算求解能力和应用意识)(1) 解: 用分层抽样的方法在35～50岁中抽取一个容量为5的样本, 设抽取学历为本科的人数为m ， ∴30505m=, 解得3m =. …… 2分 ∴ 抽取了学历为研究生2人，学历为本科3人，分别记作S 1、S 2 ；B 1、B 2、B 3 .从中任取2人的所有基本事件共10个: (S 1, B 1),(S 1, B 2),(S 1, B 3),(S 2, B 1),(S 2, B 2), (S 2, B 3), (S 1, S 2), (B 1, B 2), (B 2, B 3), (B 1, B 3).其中至少有1人的学历为研究生的基本事件有7个: (S 1, B 1),(S 1, B 2),(S 1, B 3),(S 2, B 1), (S 2, B 2), (S 2, B 3), (S 1, S 2). …… 4分 ∴ 从中任取2人，至少有1人的教育程度为研究生的概率为710. …… 6分 (2)解: 依题意得：10539N =，解得78N =. …… 8分 ∴ 35～50岁中被抽取的人数为78481020--=. ∴482010805020x y==++. …… 10分解得40, 5x y ==.∴40, 5x y ==. …… 12分 18.（本小题满分14分）(本小题主要考查空间线面关系、锥体的体积等知识, 考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力)（1）证明：在ABD △中，由于2AD =，4BD =，AB =∴222AD BD AB +=. …… 2分 ∴ AD BD ⊥．又平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD平面ABCD AD =，BD ⊂平面ABCD ，∴BD ⊥平面PAD . …… 4分 （2）解：过P 作PO AD ⊥交AD 于O .又平面PAD ⊥平面ABCD ， ∴PO ⊥平面ABCD ． …… 6分∵PAD △是边长为2的等边三角形， ∴PO =.O PDC A由（1）知，AD BD ⊥，在Rt ABD △中， 斜边AB边上的高为AD BD h AB ⨯==. …… 8分 ∵AB DC ∥，∴11222ACD S CD h =⨯==△. …… 10分∴11233A PCD P ACD ACD V V S PO --==⨯=⨯=△. …… 14分 19．（本小题满分14分）(本小题主要考查椭圆、圆、直线与圆的位置关系等知识, 考查数形结合、化归与转化、函数与方程的数学思想方法，以及推理论证能力、运算求解能力和创新意识)（1）解：∵椭圆()222:133x y E a a+=>的离心率12e =, ∴12=. …… 2分解得2a =.∴ 椭圆E 的方程为22143x y +=． …… 4分 （2）解法1：依题意，圆心为(,0)(02)C t t <<．由22,1,43x t x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得221234t y -=. ∴ 圆C的半径为r =． …… 6分∵ 圆C 与y 轴相交于不同的两点,A B ，且圆心C 到y 轴的距离d t =，∴0t <<0t <<．∴弦长||AB == ……8分∴ABC ∆的面积12S =⋅ …… 9分)2127t =-)221272t+-≤7=…… 12分=，即7t=.∴ABC∆…… 14分解法2：依题意，圆心为(,0)(02)C t t<<．由22,1,43x tx y=⎧⎪⎨+=⎪⎩得221234ty-=.∴圆C的半径为2r=．…… 6分∴圆C的方程为222123()4tx t y--+=．∵圆C与y轴相交于不同的两点,A B，且圆心C到y轴的距离d t=，∴0t<<7t<<．在圆C的方程222123()4tx t y--+=中，令0x=，得y=∴弦长||AB=…… 8分∴ABC∆的面积12S=⋅…… 9分)2127t=-)221272t+-≤=……12分=，即7t=.∴ABC∆的面积的最大值为7．…… 14分20．（本小题满分14分）(本小题主要考查数列、不等式等知识, 考查化归与转化、分类与整合的数学思想方法，以及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力和创新意识)（1）解：∵1n nS a=-，当1n=时,1111a S a==-, 解得112a=. ……1分当2n≥时,1n n na S S-=-()()111n na a-=---,得12n na a-=, 即112nnaa-=. …… 3分∴数列}{na是首项为12, 公比为12的等比数列.∴1111222nn na-⎛⎫=⨯=⎪⎝⎭. …… 4分∵对于一切n∈N*,有1nk==①当2n≥时, 有1nk-==，②①-②=化简得:11(1)0n nn b nb b+--+=, ③用1n+替换③式中的n，得：211(1)0n nnb n b b++-++=, ④……6分③－④整理得：211n n n nb b b b+++-=-，∴当2n≥时, 数列{}nb为等差数列.∵32211b b b b-=-=,∴数列{}nb为等差数列. …… 8分∵ 121,2b b == ∴数列{}n b 的公差1d =.∴()11n b n n =+-=. …… 10分 (2)证明:∵数列{}n n a b 的前n 项和为n T ,∴231232222n n nT =++++, ⑤ ∴2211122222n n nT +=+++ , ⑥⑤－⑥得：21111122222n n n nT +=+++- …… 12分1111221212nn n +⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦=-- 1212n n ++=-.∴2222n n n T +=-<. ……14分21．（本小题满分14分）(本小题主要考查函数、导数等知识, 考查函数与方程、分类与整合的数学思想方法，以及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力和应用意识) (1)解: 函数()()()ln aF x f x g x x x x=+=++的定义域为()0,+∞. ∴()'211a F x x x =-+22x x ax +-=.① 当140a ∆=+≤, 即14a ≤-时, 得20x x a +-≥,则()'0F x ≥. ∴函数()F x 在()0,+∞上单调递增. ……2分 ② 当140a ∆=+>, 即14a >-时, 令()'0,F x= 得20x xa +-=, 解得120,x x =<=.(ⅰ) 若104a -<≤, 则20x =≤.11 ∵()0,x ∈+∞, ∴()'0F x >,∴函数()F x 在()0,+∞上单调递增. …… 4分(ⅱ)若0a >,则x ⎛∈ ⎝⎭时, ()'0F x <;x ⎫∈+∞⎪⎪⎝⎭时, ()'0F x >, ∴函数()F x在区间⎛ ⎝⎭上单调递减,在区间⎫+∞⎪⎪⎝⎭上单调递增. …… 6分 综上所述, 当0a ≤时, 函数()F x 的单调递增区间为()0,+∞;当0a >时, 函数()F x的单调递减区间为⎛ ⎝⎭,单调递增区间为⎫+∞⎪⎪⎝⎭. …… 8分(2) 解: 由()()22g x f x e x=-, 得2ln 2x a x e x x =+-, 化为2ln 2x x ex a x =-+. 令()ln x h x x =, 则()'21ln x h x x -=. 令()'0h x =, 得x e =.当0x e <<时, ()'0h x >; 当x e >时, ()'0h x <.∴函数()h x 在区间()0,e 上单调递增, 在区间(),e +∞上单调递减.∴当x e =时, 函数()h x 取得最大值, 其值为()1h e e=. …… 10分 而函数()()2222m x x ex a x e a e =-+=-+-, 当x e =时, 函数()m x 取得最小值, 其值为()2m e a e =-. …… 12分 ∴ 当21a e e -=, 即21a e e =+时, 方程()()22g x f x e x =-只有一个根. …… 14分。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2011年广东高考全真模拟试卷文科数学（五）本试卷共4页，21小题， 满分150分． 考试用时120分钟．参考公式：球体的体积公式343V r π=，其中r 为球半径长． 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1、如图所示，U 表示全集，则用A 、B 表示阴影部分正确的是( )A.)(B A C UB. B C A C U UC. )(B A C UD. B A2、函数()2sin()2f x x π=+在其定义域上是( )A.奇函数B. 偶函数C. 增函数D. 减函数3、等差数列{}为则中，593,19,7a a a a n ==（ ）.A 、13B 、12C 、11D 、10 4、原命题：“设2,,ac b a R c b a 则若、、>∈＞bc 2”以及它的逆命题，否命题、逆否命题中，真命题共有（ ）个.A. 0B. 1 C . 2 D. 45、已知正方形ABCD 边长为1，则AB BC AC ++=( ) A. 0 B. 2 C .2 D. 226、一个正方体的体积是8，则这个正方体的内切球的表面积是（ ） A 、π8 B 、π6 C 、π4 D 、π7、方程0Ax By C ++=表示倾斜角为锐角的直线，则必有( ) A. 0AB > B. 0AB < C . 0BC > D. 0BC <8、若焦点在x 轴上的椭圆1222=+my x 的离心率为21，则m =（ ）. A 、23 B 、3 C 、38 D 、329、在空间直角坐标系xyz O -中，过点(4,2,3)--M 作直线OM 的垂线l ，则直线l 与平面Oxy 的交点(,,0)P x y 的坐标满足条件( ) A ．42290+-=x y B ．42290-+=x y C ．42290++=x y D ．42290--=x y10、已知()f x 是定义在R 上的不恒为零的函数，且对于任意的a 、b ∈R ，满足()f ab =()()a f b b f a +，(2)2f =，(2)n n f a n=（n *∈N ），(2)2n n nf b =（n *∈N ）.考查下列结论：①(0)(1)f f =；②()f x 为偶函数；③数列{}n a 为等比数列；④{}n b 为等差数列。
其中正确的是 （ ）A 、①②③B 、①③④C 、③④D 、①③ 二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分。
（一）必做题（11 13题）11.有一杯2升的水，其中含有1个细菌，用一个小杯从这杯 水中取出0.3升的水，则小杯水中含有这个细菌的概率_______12. 某商场在国庆黄金周的促销活动中，对10月2日9时至14时的销售额进行统计，其频率分布直方图如图1所示．已知9时至10时的销售额为2.5万元，则11时至12时的销售额为____万元 13. 阅读图2所示的框图，若输入x 的值为3，则输出y 的值为_________（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）14.(几何证明选讲选做题) 如右图，A 、B 是两圆的交点，AC 是小圆的直径，D 和E 分别是CA 和CB 的延长线与大圆的交点，已知10,4==BE AC ，且AD BC =，则DE = ．15. (坐标系与参数方程选做题) 已知直线的极坐标方程为22)4sin(=+πθρ，则点A )47,2(π到这条直线的距离为________三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（本小题满分12分）在△ABC 中，角A 、B 、C 所对边分别为a ，b ，c ，已知11tan ,tan 23A B ==，且最长边的边长为l ．，求：（1）角C 的大小；（2）△ABC 最短边的长．17．（本小题满分12分）央视为改版后的《非常6＋1》栏目播放两套宣传片．其中宣传片甲播映时间为3分30秒，广告时间为30秒，收视观众为60万，宣传片乙播映时间为1分钟，广告时间为1分钟，收视观众为20万．广告公司规定每周至少有3.5分钟广告，而电视台每周只能为该栏目宣传片提供不多于16分钟的节目时间．电视台每周应播映两套宣传片各多少次，才能使得收视观众最多？18．（本小题满分14分）如图组合体中，三棱柱111ABC A B C -的侧面11ABB A 是圆柱 的轴截面，C 是圆柱底面圆周上不与A 、B 重合一个点. （Ⅰ）求证：无论点C 如何运动，平面1A BC ⊥平面1A AC ；（Ⅱ）当点C 是弧AB 的中点时，求四棱锥111A BCC B -与圆柱的体积比 D BEAC第14题图19．（本小题满分14分）甲、乙两人进行射击比赛，在一轮比赛中，甲、乙各射击一发子弹．根据以往资料知，甲击中8环，9环，10环的概率分别为0.6，0.3，0.1，乙击中8环，9环，10环的概率分别为0.4，0.4，0.2． 设甲、乙的射击相互独立．（Ⅰ）求在一轮比赛中甲击中的环数多于乙击中环数的概率；（Ⅱ）求在独立的三轮比赛中，至少有两轮甲击中的环数多于乙击中环数的概率．20．（本小题满分14分）抛物线22y px =的准线的方程为2-=x ，该抛物线上的每个点到准线2-=x 的距离都与到定点N 的距离相等，圆N 是以N 为圆心，同时与直线1:l y x =和2:l y x =-相切的圆．（1）求定点N 的坐标； （2）是否存在一条直线l 同时满足下列条件： ① l 分别与直线21l l 和交于A 、B 两点，且AB 中点为)1,4(E ； ② l 被圆N 截得的弦长为2． 21．（本小题满分14分） 已知函数()e xf x kx x =-∈R ，（Ⅰ）若e k =，试确定函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）若0k >，且对于任意x ∈R ，()0f x >恒成立，试确定实数k 的取值范围；（Ⅲ）设函数()()()F x f x f x =+-，求证：12(1)(2)()(e2)()nn F F F n n +*>+∈N2011年广东高考全真模拟试卷文科数学（五）答案一、选择题：本大题考查基本知识和基本运算．共10小题，每小选择题参考答案:1. 从图形可以看出阴影部分为)(B A C U ，选A2. 将函数表达式化简()2sin()2cos 2f x x x π=+=，由于余弦函数是偶函数，则该函数也是偶函数，因为余弦函数在整个定义域上单调性不唯一，则整个定义域上不是单调函数，选B3.根据公式319127,819a a d a a d =+==+=， 解方程得到132a d =⎧⎨=⎩故51411a a d =+=，选C4.因为c 可能为0，则原命题不成立，逆否命题也不成立，逆命题为 “22,,a b c R ac bc a b ∈>>、、若则” 显然是成立的，则否命题也 成立，选C5.化简： AB BC AC AC AC ++=+=2AC =D6.正方体的体积为8，故边长为2，内切球的的半径为1，则表面积244S R ππ== ,选C7.倾斜角为锐角，则直线的斜率为正数，由0Ax By C ++=，则斜率0,Ak B=->化简0AB <,选B8.由题意，则12c a c e a =====， 化简后得 1.5m = ,选A9.本题可利用排除法，点(4,2,3)--M 必符合直线，代入检验，C 选项符合题意10, 令0a b ==，得到(0)0f =；1a b ==，得到(1)0f =，故①正确，()f ab =()()af b bf a +，(2)2f =，（n *∈N），(2)2n n nf b =，11111(2)(22)2(2)2(2)1222n n n n n n n n n f f f f b b +++++⋅+====+， 说明{}n b 为等差数列，故④正确，同理③可以类似推出，观察选项，选B二、填空题：本大题查基本知识和基本运算，体现选择性．共5小题，每小题5分，满分20分．其中14~15题是选做题，考生只能选做一题．11．32012. 1013. 114．15．填空题参考答案：11.本题为几何概型，概率为体积之比，即0.30.152P == 12.观察统计表格中两段的频率之比，则人数为0.42.5100.1⨯=（万） 13．由31>，则代入244y x x =-+计算可得到1y =14.设BC AD x==，连接AE ,CAE CED ∆∆ ,则有4,,104CA CB xCE CD x x=∴=++，化简得到2x =，根据勾股定理，则DE ==15. 直线22)4sin(=+πθρ，可化为10x y +-=，点A )47,2(π可化为A ,根据点到直线的距离公式2d ==三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）在△ABC 中，角A 、B 、C 所对边分别为a ，b ，c ，已知11tan ,tan 23A B ==，且最长边的边长为l ．求：（1）角C 的大小；解：（1）tanC ＝ta n[π－（A ＋B ）] ……2分 ＝－tan （A ＋B ）11tan tan 231111tan tan 123A B A B ++=-=-=---⨯ ……4分 ∵0C π<<， ∴34C π= ……6分（2）△ABC 最短边的长．解:∵0<tanB<tanA ，∴A 、B 均为锐角, 则B<A ， 又C 为钝角，∴最短边为b ，最长边长为c ……8分由1tan 3B =，解得sin B =由sin sin b c B C=，……10分∴1sinsinc BbC⋅==……12分17．（本小题满分12分）（本题为线性规划问题，重点考察学生的审题能力和解决生活中实际问题的能力）央视为改版后的《非常6＋1》栏目播放两套宣传片．其中宣传片甲播映时间为3分30秒，广告时间为30秒，收视观众为60万，宣传片乙播映时间为1分钟，广告时间为1分钟，收视观众为20万．广告公司规定每周至少有3.5分钟广告，而电视台每周只能为该栏目宣传片提供不多于16分钟的节目时间．电视台每周应播映两套宣传片各多少次，才能使得收视观众最多？解：设电视台每周应播映片甲x次，片乙y次总收视观众为z万人．则有如下条件：目标函数……6分作出满足条件的区域:如下图由图解法可得：当x =3， y =2时，z max =220．……10分 答：电视台每周应播映甲种片集3次，乙种片集2次才能使得收视观众最多．……12分18. （本小题满分14分）如图组合体中，三棱柱111ABC A B C -的侧面11ABB A 是圆柱 的轴截面，C 是圆柱底面圆周上不与A 、B 重合一个点. （Ⅰ）求证：无论点C 如何运动，平面1A BC ⊥平面1A AC ； 证明: 因为侧面11ABB A 是圆柱的的轴截面，是圆柱底面圆周上不与A 、B 重合一个点，所以AC BC ⊥ ………2分又圆柱母线1AA ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，所以1AA ⊥BC ，又1AA AC A =，所以BC ⊥平面1A AC ， 因为BC ⊂平面1A BC ，故平面1A BC ⊥平面1A AC ；…………………………………6分（Ⅱ）当点C 是弧AB 的中点时，求四棱锥111A BCC B -与圆柱的体积比。