《工程力学》教学课件第十一章弯曲内力

二、梁的计算简图 梁的支承条件与载荷情况一般都比较复杂，为了便于分析 计算，应进行必要的简化，抽象出计算简图。 1. 杆件的简化 通常取梁的轴线来代替梁。轴线是杆件横截面形心的连线。 折杆或曲杆可用中心线代替。 2. 载荷的分类 作用于梁上的载荷（包括支座反力）有三种类型： 集中载荷、均布载荷和集中力偶。
a Q1 x1 qx1 x1 (0, ) 2 a 3a Q x qx F 9qa qx x ( , ) 2 2 2 C 2 2 8 2 2
（3）绘制Q图和M图 。 （4）最大剪力和最大弯矩值。
Qmax 5qa 8 M max 9qa 2 128
剪力图、弯矩图
剪力、弯矩方程法
Q Q( x ) M M ( x)
剪力方程 弯矩方程
剪力图 弯矩图
例11-2 已知如图悬臂梁受均布荷载q的作用，梁的长度为 l。求作此梁的剪力图和弯矩图。 A q B
x
L L
解（1）求支座反力。
Y 0
M A 0
FA ql 0
ql 2 MA 0 2

4.载荷集度q、剪力Q和弯矩M三者之间有以下的微分关系， 即 dM dQ d 2M
dx
q
dx
Q
dx
2
q
由这些关系，可以得到剪力图和弯矩图的一些规律。利用这 些规律，可校核所作内力图的正误，更简捷的作出内力图。
谢谢大家！
弯曲变形——杆受垂直于轴线的外力或外力偶矩的作用时,
其轴线变成了曲线，这种变形称为弯曲变形。
梁——以弯曲变形为主的杆件通常称为梁。
常见梁的截面形状
平面弯曲——当所有的外力都作用在梁的纵向对称面内时，梁 变形后轴线所在的平面与外力所在的平面相重合，这种弯曲称 为平面弯曲。 F1 q F2
M
纵向对称面
F=3KN
q=2KN/m
M0 6KN.m
C
1 m
A
4 m
D
1 m
B
解 （1）根据平衡条件求支座反力。
由
M 0 FB 3.8KN M B 0 FA 7.2KN Y 0 校核其无误。
A
（2）由微分关系判断各段的Q-图、M-图的形状。
CA
载荷
q0
AD
qC 0
DB
q0
微段左上右下，剪力为正；微段上凹下凸，弯矩为正。

2.本章主要介绍了三种作剪力图和弯矩图的方法：
（1）根据剪力方程和弯矩方程作图； （2）用叠加法作图； （3）用载荷集度、剪力和弯矩三者之间的微分关系作图。 其中，用剪力方程和弯矩方程作图是最基本的方法，要重 点掌握。
本章小结

3.作剪力图和弯矩图的基本方法，可分为以下几个步骤： （1）根据平衡条件求支座反力； （2）在集中力（包括支座反力）、集中力偶作用处，或均 布荷载规律发生变化处分段； （3）列出各段梁的剪力方程和弯矩方程； （4）根据剪力和弯矩方程画出剪力图和弯矩图； （5）确定最大剪力和最大弯矩及其所在的截面。
列剪力方程与弯矩方程和绘制剪力与弯矩方程时应注意：

（1）任一截面上的剪力和弯矩始终假定为正向。这样由平 衡方程所得结果的正负号就与正负号规定相一致。 （2）截面位置参数可以都从坐标原点算起，也可以从另外 的点算起，仅需写清方程的适用范围即可。 （3）方程的适用范围，在集中力（包括支座反力）作用处， 剪力方程应为开区间，因在此处剪力图有突变；在集中力偶 作用处，弯矩方程应为开区间，因在此处弯矩方程有突变。 （4）若所得方程为x的二次或二次以上方程，则在作图时除 计算该段的端值外，应注意曲线的凸、凹向极值。
（3）绘制Q图和M图。 显然在三段内中剪力皆为常值，在剪力图中是三条水平线 段，如图所示； 弯矩方程都是一次函数，在弯矩图中为 三条直线段，如图所示。 （4）最大剪力和最大弯矩值。
Qmax
5 P 3
M max
5 Pa 3
当梁上有几项载荷同时作用时，由每一项载荷所引起的梁 的支座反力、剪力和弯矩都不受其他载荷的影响。这样， 就可以先分别计算出梁在各项载荷作用下某一截面上的剪 力和弯矩，再求出它们的代数和，即得到梁在这几项载荷 共同作用下该截面上的剪力和弯矩。此即叠加法。 例11-4 如图所示外伸简支梁，已知梁受均布荷载q作用， CB=a,AC=a/2。作剪力图和弯矩图，确定Qmax和Mmax。


二、剪力图和弯矩图 1.剪力方程和弯矩方程 内力与横截面位置坐标x间的函数关系式为
Q Q ( x) M M ( x)
剪力方程；
弯矩方程。
2. 剪力图和弯矩图
剪力图
弯矩图
Q Q( x) 的图线表示； M M ( x) 的图线表示。
一般情况下，梁横截面上的剪力和弯矩随截面位置不 同而变化
C x
x
Fs <0x来自xFs >0
斜直线 M M M M 图 x 特 征 增函数 降函数 凹状
x x
增函数 降函数 抛物线
M x
Q2 Q1 –Q2 =P
x
折角
M x M
突变
M1 M2
x
凸状
M1 M2 m
例11-5 如图所示外伸简支梁，同时受集中力F，弯矩M0， 均布载荷q作用，试作出梁的剪力图、弯矩图。
倾斜直线
Q 图
M 图 倾斜直线
(3)从左向右绘制剪力图和弯矩图。
Q
4.2KN
M
3.8KN.m
(+) (-)
-3KN 3.8KN.m
x
1.41KN .m
E
(-)
(-)
-3KN.m
(+)
(+)
x
本章小结

1.梁弯曲时横截面上有两种内力：剪力和弯矩。
确定横截面上剪力和弯矩的基本方法是截面法。在掌握这 一方法的基础上，也可以直接利用外力确定剪力和弯矩。
，
解 （1）求支座约束反力。
3 Y 0 FC FB q a 0 2 3 M B 0 FC a q 3 a a 2 0 2 2
得 FC qa
9 8
FB
3 qa 8
(2)列剪力方程和弯矩方程。
M
4 3
q
1
A
2 B
D C
x 1
RA
3 4
RB
B
2
a
a
a
解 （1）计算支座反力。 由 MB 0 得
1 FA 2a M qa2 0 2 M 1 FA qa 2a 4
由
Y 0 得
M A 0 校核
FA FB qa 0 M 5qa FB 2a 4
剪力Q 内力的正负规定: （1）剪力Q。 Q(+) Q(+) 绕研究对象顺时针转为正剪力；反之为负。 Q(–)
——构件受弯时，横截面上过截面形心且平行于截面的内力。
左上右下为正
Q(–)
（2）弯矩M。使微段梁产生上弯趋势的为正弯矩；反之为负弯 矩。 M(+) M(+) M(–) 上弯为正 M(–)
例11-1 如图所示简支外伸梁，受集中力偶M和均布荷载q的 作用。求梁的1-1、2-2、3-3、4-4截面上的剪力和弯矩。
教学重点

截面法求剪力和弯矩； 剪力方程和弯矩方程；
剪力图和弯矩图；
载荷集度、剪力和弯矩之间的关系。
教学难点

剪力和弯矩的方向判定； 剪力方程和弯矩方程的列法； 三种作剪力图和弯矩图的方法； 载荷集度、剪力和弯矩之间的关系。
第一节
平面弯曲的概念及梁的计算简图
一、平面弯曲的概念 工程实例
FA ql
ql 2 MA 2
(2)写出内力方程。
Q FA qx
Q FA
M
qx2 M M A FA x 2
(0 x l )
（ +）
l
x (3)根据方程画内力图。
2
x
Q max ql
ql2 M max 2
ql 2 2 RA
ql 2 8 RA
例11-3 已知图示简支梁，受力P、2P的作用,AC=CD=DB=a。 作剪力图和弯矩图，确定Qmax和Mmax。
q
M
F
3.支座的分类
m
简支梁
悬臂梁
外伸梁
第二节
一、剪力和弯矩
梁的内力计算
a A l FXA A FYA F B FB F B
已知如图所示，F、a、l。
求距A端x处截面上内力。 （1）求外力
X 0 , FX A 0
Fa mA 0 , FB l F (l a ) Y 0 , FYA l
第十一章 弯曲内力
第一节 平面弯曲的概念及梁的计算简图 第二节 梁的内力计算
第三节 载荷集度、剪力和弯矩间的关系
教学目的和要求

梁的弯曲变形是工程实际中非常重要的一种构件变 形形式，本章主要介绍梁在弯曲变形时的内力计算， 包括剪力和弯矩的计算。学习时要重点掌握采用截 面法确定剪力和弯矩的计算，能够做出正确的剪力 图和弯矩图，熟悉作剪力图和弯矩图的具体方法。 同时要掌握载荷集度、剪力和弯矩之间的微分关系。



第三节
载荷集度、剪力和弯矩间的关系
一、载荷集度、剪力和弯矩间的微分关系 y q(x) x x dx q(x) Q(x)+d Q(x) M ( x) A dx 对dx 段进行平衡分析，有
Q( x) q( x)dx Q( x) dQ( x) 0
Y 0即为
q( x)dx dQ( x)