数字逻辑设计第四章

例：写出下面函数的对偶函数 F1 = A + B · (C + D) F2 = ( A’·(B+C’) + (C+D)’ )’
Leabharlann Baidu15
5、对偶性
证明公式：A+BC = (A+B)(A+C) A(B+C) AB+AC
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对偶和反演
对偶：FD(X1 , X2 , … , Xn , + , · , ’ )
吸收律
X + X·Y = X
组合律
X·(X+Y) = X
X·Y + X·Y’ = X
(X+Y)·(X+Y’) = X
添加律（一致性定理）
X·Y + X’·Z + Y·Z = X·Y + X’·Z
(X+Y)·(X’+Z)·(Y+Z) = (X+Y)·(X’+Z)
7
对上述的公式、定理要熟记，做到举一反三
= F(X1 , X2 , … , Xn , · , + , ’ )
反演： [ F(X1 , X2 , … , Xn , + , · ) ]’
= F(X1’ , X2’, … , Xn’ , · , + )
[ F(X1 , X2 , … , Xn) ]’ = FD(X1’ , X2’, … , Xn’ )
0 原变量
1 反变量
真值表 逻辑表达式
A 0 真 0 0 值 0 1 表 1 1 1
24
B 0 0 1 1 0 0 1 1
C 0 1 0 1 0 1 0 1
F 1 1 0 1 0 1 1 1
求和项
A+B’+C
0 原变量
1 反变量
A’+B+C “和之积”表达式
“或-与”式
F = (A+B’+C) · (A’+B+C)
8
证明： X·Y + X’·Z + Y·Z = X·Y + X’·Z
X·Y + X’·Z + (X+X’)·Y·Z Y·Z = 1·Y·Z = (X+X’)·Y·Z
= X·Y + X’·Z + X·Y·Z +X’·Y·Z
= X·Y·(1+Z) + X’·Z·(1+Y) = X·Y + X’·Z
9
4、n变量定理
10
证明： A·D + A’·C + C·D + A·B’·C·D = A·D + A’·C
= A · ( 1·D + 1’·C + C·D + 1·B’·C·D ) + A’ · ( 0·D + 0’·C + C·D + 0·B’·C·D ) = A · ( D + C·D + B’·C·D ) + A’ · ( C + C·D ) = A·D·( 1 + C + B’·C ) + A’·C·( 1 + D ) = A·D + A’·C
5
几点注意
不存在变量的指数 允许提取公因子 没有定义除法
A· A· A A3
AB+AC = A(B+C)
错！
if AB=BC A=C ??
没有定义减法
A=1, B=0, C=0 AB=BC=0, AC
错！
if A+B=A+C B=C ??
A=1, B=0, C=1
6
一些特殊的关系
A + A’ = 1 (X+Y) + (X+Y)’ = 1
代入定理： 在含有变量 X 的逻辑等式中，如果将式中 所有出现 X 的地方都用另一个函数 F 来代替， 则等式仍然成立。
X·Y + X·Y’ = X
(A’+B)·(A·(B’+C)) + (A’+B)·(A·(B’+C))’ = (A’+B)
正逻辑约定和负逻辑约定互为对偶关系
17
正逻辑约定和负逻辑约定互为对偶关系
A B
G1 F
正逻辑：
F = A·B
正逻辑约定 A B 0 0 1 1 0 1 0 1 F 0 0 0 1
负逻辑：
F = A+B
负逻辑约定 A B 1 1 0 0 1 0 1 0 F 1 1 1 0
电气功能表 A B L L H H
A·B·C’ A·B·C
1 0 1
1 1 0 1 1 1
5
6 7
M6
M7
最大项与最小项之间的关系
①、 Mi = mi’ ； mi = Mi’ ； ②、某逻辑函数 F，若用 P项最小项之和表示，
则其反函数 F’ 可用 P 项最大项之积表示，
两者标号完全一致。 ③、一个n变量函数，既可用最小项之和表示，
6、逻辑函数的标准表示法
乘积项
A’·B’·C’ A’·B’·C
最小项
—— n变量最小项是具有n 个因子的标准乘积项
n变量函数具有2
n
A’·B·C’
A’·B·C A·B’·C’ A·B’·C A·B·C’ A·B·C
25
个最小项
全体最小项之和为1 任意两个最小项的乘积为0
6、逻辑函数的标准表示法
变量和 其自身 的关系
4
3、二变量或三变量开关代数定理
与普通代数相似的关系
交换律
A ·B = B ·A
结合律
A+B=B+A
A· (B· C) = (A· B)· C
分配律
A+(B+C) = (A+B)+C
A· (B+C) = A· B+A· C
A+B· C = (A+B)· (A+C)
“与-或”式
逻辑表达式 真值表
Y = (B’+C) · (A’+B+C’)
“和之积”表达式
A
0 0 0 0 1 1 1 1
21
B
0 0 1 1 0 0 1 1
C B’+C A’+B+C’ Y
0 1 0 1 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 0 1 0 1 1 0 1 1 0 0 1
任一时刻的输出不仅取决与当时的输入， 还取决于过去的输入序列
2
4.1 开关代数(两值代数系统)
1、 公 理


若X 1, 则X = 0
0’ = 1 0·0 = 0 1·1 = 1 0·1 = 1·0 = 0 = 0 + 1 · 1’ = 0
若X 0, 则X = 1
1’ = 0 1+1 = 1 0+0 = 0 1+0 = 0+1 = 1
' 1 ' 2 ' n
(A · B)’ = A’ + B’ (A + B)’ = A’ · B’
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反演规则：
与或，0
1，变量取反
遵循原来的运算优先次序
不属于单个变量上的反号应保留不变
合理地运用反演定理能够将一些问题简化
F1 = A · (B + C) + C · D F2 = (A · B)’ + C · D · E’
18
F L L L H
L H L H
逻辑函数及其表示方法
举重裁判电路
主裁判A,副裁判B,C 1表通过,0表不通过 指示灯Y:1表成功,0表不成功 Y = F (A,B,C ) = A·(B+C)
真值表
A 0 0 0 0 1 1 1 1 B 0 0 1 1 0 0 1 1 C 0 1 0 1 0 1 0 1 Y 0 0 0 0 0 1 1 1
F = 0 + 1 · ( 0 + 1 · 0’ )’
3
2、单变量开关代数定理
自等律：X
+0=X
X ·1 = X X ·0 = 0
0-1 律：X + 1 = 1 X’ )’ = X +X=X + X’ = 1
变量和 常量的 关系
还原律：(
同一律：X 互补律：X
X ·X = X X ·X’ = 0
A B C 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0
编号 0 1 2 3 4
最大项 A+B+C M0
m1
m2 m3 m4 m5 m6 m7
27
A+B+C’
A+B’+C A+B’+C’ A’+B+C A’+B+C’ A’+B’+C A’+B’+C’
M1
M2 M3 M4 M5
A·B’·C
F A, B ,C ( 2,4,7)
A, B ,C (0,1,3,5,6)
30
6、逻辑函数的标准表示法
真值表
乘积项、求和项
“积之和”表达式
标准和 —— 最小项之和 标准积 —— 最大项之积
“和之积”表达式
n
变量最小项
n
变量最大项
31
用标准和的形式表示函数：F(A,B,C) = A·B +A’·C
“或-与”式
真值表 逻辑表达式
A 0 真 0 0 值 0 1 表 1 1 1
22
B 0 0 1 1 0 0 1 1
C 0 1 0 1 0 1 0 1
F 0 0 0 1 0 1 1 0
F = A’·B·C + A·B’·C + A·B·C’
A’·B·C A·B’·C A·B·C’
“积之和”表达式 “与-或”式
(A’·B·C)’ = A+B’+C’ 标号互补
(A·B’·C)’ = A’+B+C’
(A·B·C’)’ = A’+B’+C
课堂练习：分别写出下面逻辑函数的 最小项之和 最大项之积 的表示。 A 0 0 0 0 1 1 1 1 B 0 0 1 1 0 0 1 1 C 0 1 0 1 0 1 0 1 F 0 0 1 0 1 0 0 1
求和项 A+B+C
A+B+C’ A+B’+C A+B’+C’ A’+B+C
最大项
—— n变量最大项是具有n 个因子的标准求和项
n变量函数具有2
n
个最大项
A’+B+C’
A’+B’+C A’+B’+C’
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全体最大项之积为0 任意两个最大项的和为1
最小项 m0 A’·B’·C’ A’·B’·C A’·B·C’ A’·B·C A·B’·C’
利用基本公式 A + A’ = 1 缺什么补什么
数字逻辑设计及应用
第4章 组合逻辑设计原理
逻辑代数基础 组合电路分析 组合电路综合

1
基本概念
逻辑电路分为两大类：
组合逻辑电路（combinational logic circuit）
任何时刻的输出仅取决与当时的输入
电路特点：无反馈回路、无记忆元件
时序逻辑电路（sequential logic circuit）
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5、对偶性
对偶规则
与或；0
FD(X1 , X2 , … , Xn , + , · , ’ )
1
= F(X1 , X2 , … , Xn , · , + , ’ )
变换时不能破坏原来的运算顺序（优先级）
对偶原理
若两逻辑式相等，则它们的对偶式也相等
X + X ·Y = X X ·( X + Y ) = X
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4、n变量定理
摩根定理 —— 反演定理
' ' ' ( X 1 X 2 X n )' X 1 X2 X n ' ' ' ( X1 ＋X 2 ＋ ＋X n )' X 1 X2 X n
[ F ( X 1 , X 2 ,, X n ,,)]' F ( X , X ,, X ,,＋ )

广义同一律
X+X+…+X=X X ·X · … · X = X

香农展开定理 F( X 1 , X 2 ,, X n )
X 1 F (1, X 2 ,, X n ) X 1' F (0, X 2 ,, X n )
F( X 1 , X 2 ,, X n ) [ X 1 F (0, X 2 ,, X n )] [ X 1' F (1, X 2 ,, X n )]
乘积项： 0 反变量
1 原变量
真值表 逻辑表达式
A 0 真 0 0 值 0 1 表 1 1 1
23
B 0 0 1 1 0 0 1 1
C 0 1 0 1 0 1 0 1
F 0 0 0 1 0 0 0 0
G 1 1 1 0 1 1 1 1
F = A’·B·C
G = (A+B’+C’)
(A’·B·C)’ = A+B’+C’
例1：写出下面函数的反函数
例2：证明 (A·B + A’·C)’ = A·B’ + A’·C’
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合理地运用反演定理能够将一些问题简化
证明：AB + AC = AB + AC
(A+B)(A+C) AA +AC + AB + BC AC + AB + BC AC + AB AB + AC + BC = AB + AC
逻 辑 函 数
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A
B C
≥1
&
Y
逻辑图
逻辑表达式 真值表
Y = A + B’·C + A’·B·C’
“积之和”表达式
Y
0 1 1 0 1 1 1 1
A
0 0 0 0 1 1 1 1
20
B
0 0 1 1 0 0 1 1
C
0 1 0 1 0 1 0 1
B’·C A’·B·C’
0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0
也可用最大项之积表示。两者下标互补。
28
A 0 0 0 0 1 1 1 1
29
B 0 0 1 1 0 0 1 1
C 0 1 0 1 0 1 0 1
F 0 0 0 1 0 1 1 0
G 1 1 1 0 1 0 0 1
G A, B ,C ( 3,5,6) F ' F A, B ,C ( 3,5,6) F A, B ,C (0,1,2,4,7)