2013届高三第一次月考试题

2012~2013学年度上学期2010级第一次月考试题
高中数学
时间：120分钟 总分：150分
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
1、复数
i +25
=( ) A.i -2 B.i 5152+ C.i 510- D.
i 3
5
310-
2、函数)0y x =≥的反函数为( )
A ．()24x y x R =∈ B.()2
04
x y x =≥ C.()24y x x R =∈ D. ()240y x x =≥
3、如图，I 是全集，M 、P 、S 是I 的3个子集，则阴影部分
所表示的集合是（ ）
A ．（M ∩P ）∩S
B ．（M ∩P ）∪S
C ．（M ∩P ）∩（S C I ）
D ．（M ∩P ）∪（S C I ）
4、若集合},|{},,1||{2
R x x y y B R x x x A ∈==∈≤=，则=B A （ ）
A ．}11{≤≤-x x
B ．}0{≥x x
C ．}10{≤≤x x
D ．φ 5、已知为实数，条件p ：x x <2
，条件q ：
11
≥x
，则p 是q 的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件
6、已知不等式
对任意实数恒成立．则
取值范围是（ ）
A ．)0,1(-
B ．]0,1[-
C ．),0[)1,(+∞⋃--∞
D ．]0,1(- 7、函数)82(log )(2
3--=x x x f 的单调减区间为（ ） A ．)1,(-∞ B ．)2,(--∞ C ．),4(+∞ D ．]1,(-∞
8、已知ln x π=，5log 2y =，12
z e
-
=，则
A ．x y z <<
B ．z x y <<
C ．z y x <<
D ．y z x << 9、等比数列}{n a 的前n 项 为n S ，若9,363==S S ,则=++151413a a a （ ） A ．12 B ．27 C ．48 D ．96
10、已知数列}{n a 的通项公式是492-=n a n ，则n S 达到最小值时，n 的值是（ ） A ．23 B ．24 C ．25 D ．26
11、设函数)(x f 在定义域内可导，)(x f y =图象如下图所示，则导函数)(x f y '=的图象可能为（ ）
12、函数()f x 的定义域为R ，若(1)f x +与(1)f x -都是奇函数，则( ) A.()f x 是偶函数 B.()f x 是奇函数 C.()(2)f x f x =+ D.(3)f x +是奇函数 二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分） 13、数列}{n a 的前n 项和为n n S 21-=，其通项公式
= 。

14、曲线13
++=x x y 在点（1,3）处的切线方程是 。

15、)3(log ,4,)2
1(4),1()(2f x x x f x f x
则⎪⎩⎪⎨⎧≥<+= = 。

16、有下列命题： ①函数)2(+-=x f y 与)2(-=x f y 的图象关于y 轴对称；
②若函数x e x f =)(，则R x x ∈21,对任意，都有2
)
()()2(
2121x f x f x x f +≤+； ③若函数)1,0(||log )(≠>=a a x x f a 在（0，＋∞）上单调递增，则)1()2(+>-a f f ; ④若函数)(12)2010(2R x x x x f ∈--=+，则函数)(x f 的最小值为-2. 其中真命题的序号是 。

三、计算题(本大题共6个小题，其中第17题10分，其余各题每题12分)
17、已知c b a ,,分别为ABC ∆三个内角C B A ,,的对边，0sin 3cos =--+c b C a C a ， （1）求A ； （2）若ABC a ∆=,2的面积为3，求c b ,。

18、第16届亚运会将于2010年11月在广州市举行，射击队运动员们正在积极备战. 若某运动员每次射击成绩为10环的概率为
3
1
. 求该运动员在5次射击中， （1）恰有3次射击成绩为10环的概率；
（2）记“射击成绩为10环的次数”为ξ，求ξE .（结果用分数表示）
19、如图，四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，∠DAB=60°,AB=2AD,PD ⊥底面ABCD. (Ⅰ)证明：PA ⊥BD ；
(Ⅱ)若PD=AD ，求二面角A-PB-C 的余弦值。

20、已知数列}{n a 中，022,211=---=+n a a a n n （*
N n ∈） (1)求数列}{n a 的通项公式；
(2)设n
n n n n a a a a b 23
2
1
1
111+
++
+
=
+++ ，若对任意的正整数n ，当]1,1[-∈m 时，不等式n b mt t >+-6
1
22
恒成立，求实数t 的取值范围。

21、已知点G 是圆F ：4)2(22=++y x 上任意一点，点R （2，0），线段GR 的垂直平分线交直线GF 于H.
（1）求点H 的轨迹C 的方程；
（2）点M （1，0），P 、Q 是轨迹C 上的两点，直线PQ 过圆心F （―2，0），且F 在线段PQ 之间，求△PQM 面积的最小值.
22、设函数x
b
x a x x f +
-=ln )(在x=1处取得极值． （Ⅰ）求a 与b 满足的关系式；
（Ⅱ）若1>a ，求函数)(x f 的单调区间；
（Ⅲ）若3>a ，函数3)(2
2+=x a x g ，若存在]2,2
1[,21∈m m ，使得
9|)()(|21<-m g m f 成立，求a 的取值范围．
百色祈福高级中学2012~2013学年度上学期2010级第一次月考试题
高中数学参考答案
二、填空题 13、1
2
13--n 14、4x —y —1=0 15、
24
1
16、 ②④ 三、计算题
17、（1）由正弦定理得：
……………………5分
（2）
解得：……………………………………………10分
18、解：设随机变量为射击成绩为10环的次数，则 .………2分
（1）在5次射击中，恰有3次射击成绩为10环的概率为：
………6分
（2）方法一：随机变量的分布列为：
故………12分
方法二:因为，所以. …………12分
19、解：
（Ⅰ）因为，由余弦定理得
从而BD2+AD2= AB2，故BD AD
又PD底面ABCD，可得BD PD
所以BD平面PAD.故PA BD…………………………………………5分
（Ⅱ）如图，以D为坐标原点，AD的长为单位长，射线DA为轴的正半轴建立空间直角坐标系D-，则，，，。

(7)
分
设平面PAB 的法向量为n=（x ，y ，z ），则
即
因此可取n=
设平面PBC 的法向量为m ，则
可取m=（0，-1，）…………10分
故二面角A-PB-C 的余弦值为
…………………………………………12分
20、解 （1）由题意得
，通过叠加得．
又符合此通项公式………………………………………（4分）
（2）通过裂项得3
121
1
322++=
++=
n
n n n n
b n ，n b 的最大值为
所以要使不等式恒成立，须使恒成立，．……………（6分）
当时，不成立；
当时，是一次函数，所以，解得……（12分）
21、解：（1）点H 的轨迹C 的方程为13
2
2
=-y x ………………4分 （2）设
若
若PQ 不垂直于x 轴，设直线
∵F 在P 、Q 两点之间，∴P 、Q 在双曲线的左支上，且
又双曲线的渐近线为：
消去x ，整理得
…………………………………………9分
综上可知：△PQM面积的最小值是9.…………………………………………12分
22、解：（Ⅰ），…………………2分
由得．……………………3分
（Ⅱ）函数的定义域为，……………………4分
由（Ⅰ）可得．令，则，．……………………5分
因为是的极值点，所以，即．……………………6分
所以当时，，
所以单调递增区间为，，单调递减区间为．
当时，，所以单调递增区间为，，单调递减区间为．………………8分
（Ⅲ）当时，在上为增函数，在为减函数，
所以的最大值为．……………………9分
因为函数在上是单调递增函数，所以的最小值为
．
所以在上恒成立．………………10分
要使存在，，使得成立，
只需要，即，所以．
又因为，所以的取值范围是．………………12分。