函数定义域、值域经典习题及答案
(高频考点)函数的定义域和值域(经典、可编辑)
第二节函数的定义域和值域[知识能否忆起]1．常见基本初等函数的定义域 (1)分式函数中分母不等于零． (2)偶次根式函数被开方式大于或等于0. (3)一次函数、二次函数的定义域均为R. (4)y ＝a x ，y ＝sin x ，y ＝cos x ，定义域均为R. (5)y ＝tan x 的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫xx ≠k π＋π2，k ∈Z .(6)函数f (x )＝x 0的定义域为{x |x ≠0}．(7)实际问题中的函数定义域，除了使函数的解析式有意义外，还要考虑实际问题对函数自变量的制约．2．基本初等函数的值域 (1)y ＝kx ＋b (k ≠0)的值域是R.(2)y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的值域是：当a >0时，值域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫yy ≥4ac －b24a ；当a <0时，值域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫yy ≤4ac －b 24a . (3)y ＝kx (k ≠0)的值域是{y |y ≠0}．(4)y ＝a x (a >0且a ≠1)的值域是{y |y >0}． (5)y ＝log a x (a >0且a ≠1)的值域是R. (6)y ＝sin x ，y ＝cos x 的值域是[－1,1]． (7)y ＝tan x 的值域是R.[小题能否全取]1．(教材习题改编)若f (x )＝x 2－2x ，x ∈[－2,4]，则f (x )的值域为( ) A ．[－1,8] B ．[－1,16] C ．[－2,8]D ．[－2,4]答案：A2．函数y ＝1x 2＋2的值域为( )A ．R B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫yy ≥12C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫yy ≤12D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫y 0<y ≤12解析：选D ∵x 2＋2≥2，∴0<1x 2＋2≤12.∴0<y ≤12.3．(2012·山东高考)函数f (x )＝1ln (x ＋1)＋4－x 2的定义域为( ) A ．[－2,0)∪(0,2] B ．(－1,0)∪(0,2] C ．[－2,2]D ．(－1,2]解析：选B x 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，x ＋1≠1，4－x 2≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧x >－1，x ≠0，－2≤x ≤2.解得－1<x <0或0<x ≤2. 4．(教材习题改编)函数f (x )＝x －4|x |－5的定义域为________． 解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x －4≥0，|x |－5≠0，得x ≥4且x ≠5.答案：{x |x ≥4，且x ≠5}5．(教材习题改编)若x 有意义，则函数y ＝x 2＋3x －5的值域是________． 解析：∵x 有意义，∴x ≥0. 又y ＝x 2＋3x －5＝⎝⎛⎭⎫x ＋322－94－5， ∴当x ＝0时，y min ＝－5. 答案：[－5，＋∞)函数的最值与值域的关系函数的最值与函数的值域是关联的，求出了函数的值域也就能确定函数的最值情况，但只确定了函数的最大(小)值，未必能求出函数的值域．[注意] 求函数的值域，不但要重视对应关系的作用，而且还要特别注意函数定义域．典题导入[例1] (1)(2012·大连模拟)求函数f (x )＝lg (x 2－2x )9－x 2的定义域；(2)已知函数f (2x )的定义域是[－1,1]，求f (x )的定义域．[自主解答] (1)要使该函数有意义，需要⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－2x >0，9－x 2>0，则有⎩⎪⎨⎪⎧x <0或x >2，－3<x <3， 解得－3<x <0或2<x <3，所以所求函数的定义域为(－3,0)∪(2,3)． (2)∵f (2x )的定义域为[－1,1]， 即－1≤x ≤1，∴12≤2x ≤2，故f (x )的定义域为⎣⎡⎦⎤12，2.若本例(2)条件变为：函数f (x )的定义域是[－1,1]，求f (log 2x )的定义域． 解：∵函数f (x )的定义域是[－1,1]， ∴－1≤x ≤1，∴－1≤log 2x ≤1，∴12≤x ≤2.故f (log 2x )的定义域为⎣⎡⎦⎤12，2.由题悟法简单函数定义域的类型及求法(1)已知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式(组)求解． (2)对实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解． (3)对抽象函数：①若已知函数f (x )的定义域为[a ，b ]，则函数f (g (x ))的定义域由不等式a ≤g (x )≤b 求出； ②若已知函数f (g (x ))的定义域为[a ，b ]，则f (x )的定义域为g (x )在x ∈[a ，b ]时的值域．以题试法1．(1)函数y ＝2x －x 2ln (2x －1)的定义域是________．(2)(2013·沈阳质检)若函数y ＝f (x )的定义域为[－3,5]，则函数g (x )＝f (x ＋1)＋f (x －2)的定义域是( )A ．[－2,3]B ．[－1,3]C ．[－1,4]D ．[－3,5] 解析：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧2x －x 2≥0，ln (2x －1)≠0，2x －1>0，得⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤2，x ≠1，x >12.所以函数的定义域为⎝⎛⎭⎫12，1∪(1,2]．(2)由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧－3≤x ＋1≤5，－3≤x －2≤5，解不等式组可得－1≤x ≤4. 所以函数g (x )的定义域为[－1,4]． 答案：(1)⎝⎛⎭⎫12，1∪(1,2] (2)C典题导入[例2] 求下列函数的值域． (1)y ＝x 2＋2x (x ∈[0,3])； (2)y ＝1－x 21＋x 2；(3)y ＝x ＋4x (x <0)；(4)f (x )＝x －1－2x . [自主解答] (1)(配方法) y ＝x 2＋2x ＝(x ＋1)2－1，∵y ＝(x ＋1)2－1在[0,3]上为增函数， ∴0≤y ≤15，即函数y ＝x 2＋2x (x ∈[0,3])的值域为[0,15]． (2)y ＝1－x 21＋x 2＝21＋x 2－1，∵1＋x 2≥1， ∴0<21＋x 2≤2. ∴－1<21＋x 2－1≤1.即y ∈(－1,1]．∴函数的值域为(－1,1]．(3)∵x <0，∴x ＋4x＝－⎝⎛⎭⎫－x －4x ≤－4，当且仅当x ＝－2时等号成立． ∴y ∈(－∞，－4]．∴函数的值域为(－∞，－4]．(4)法一：(换元法)令1－2x ＝t ，则t ≥0且x ＝1－t 22，于是y ＝1－t 22－t ＝－12(t ＋1)2＋1，由于t ≥0，所以y ≤12，故函数的值域是⎝⎛⎦⎤－∞，12. 法二：(单调性法)f (x )的定义域为⎝⎛⎦⎤－∞，12容易判断f (x )为增函数，所以f (x )≤f ⎝⎛⎭⎫12＝12， 即函数的值域是⎝⎛⎦⎤－∞，12.由题悟法求函数值域常用的方法(1)配方法，多适用于二次型或可转化为二次型的函数(例(1))． (2)换元法(例(4))． (3)基本不等式法(例(3))． (4)单调性法(例(4))． (5)分离常数法(例(2))．[注意] 求值域时一定要注意定义域的使用，同时求值域的方法多种多样，要适当选择．以题试法2．(1)函数y ＝x －3x ＋1的值域为________．(2)(2012·海口模拟)在实数的原有运算中，我们定义新运算“⊕”如下：当a ≥b 时，a ⊕b ＝a ；当a <b 时，a ⊕b ＝b 2.设函数f (x )＝(1⊕x )x －(2⊕x )，x ∈[－2,2]，则函数f (x )的值域为________．解析：(1)y ＝x －3x ＋1＝x ＋1－4x ＋1＝1－4x ＋1，因为4x ＋1≠0，所以1－4x ＋1≠1，即函数的值域是{y |y ∈R ，y ≠1}．(2)由题意知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －2，x ∈[－2，1]，x 3－2，x ∈(1，2]，当x ∈[－2,1]时，f (x )∈[－4，－1]； 当x ∈(1,2]时，f (x )∈(－1,6]， 即当x ∈[－2,2]时，f (x )∈[－4,6]．答案：(1){y |y ∈R ，y ≠1} (2)[－4,6]典题导入[例3] (2012·合肥模拟)若函数f (x )＝ 2x 2＋2ax －a －1的定义域为R ，则a 的取值范围为________．[自主解答] 函数f (x )的定义域为R ，所以2x 2＋2ax －a －1≥0对x ∈R 恒成立，即2x 2＋2ax －a ≥1，x 2＋2ax －a ≥0恒成立，因此有Δ＝(2a )2＋4a ≤0，解得－1≤a ≤0. [答案] [－1,0]由题悟法求解定义域为R 或值域为R 的函数问题时，都是依据题意，对问题进行转化，转化为不等式恒成立问题进行解决，而解决不等式恒成立问题，一是利用判别式法，二是利用分离参数法，有时还可利用数形结合法．以题试法3．(2012·烟台模拟)已知函数f (x )＝4|x |＋2－1的定义域是[a ，b ](a ，b ∈Z)，值域是[0,1]，则满足条件的整数数对(a ，b )共有________个．解析：由0≤4|x |＋2－1≤1，即1≤4|x |＋2≤2，得0≤|x |≤2，满足整数数对的有(－2,0)，(－2,1)，(－2,2)，(0,2)，(－1,2)共5个．答案：5函数的值域由函数的定义域和对应关系完全 确定，但因函数千变万化，形式各异，值域的求 法也各式各样，因此求函数的值域就存在一定的 困难，解题时，若方法适当，能起到事半功倍的 作用．求函数值域的常用方法有配方法、换元法、 分离常数法、基本不等式法、单调性法(以上例2 都已讲解)、判别式法、数形结合法等．1．数形结合法利用函数所表示的几何意义，借助于图象的直观性来求函数的值域，是一种常见的方法，如何将给定函数转化为我们熟悉的模型是解答此类问题的关键．[典例1] 对a ，b ∈R ，记max|a ，b |＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≥b ，b ，a <b .函数f (x )＝max||x ＋1|，|x －2||(x ∈R)的值域是________．[解析] f (x )＝⎩⎨⎧|x ＋1|，x ≥12，|x －2|，x <12，由图象知函数的值域为⎣⎡⎭⎫32，＋∞. [答案] ⎣⎡⎭⎫32，＋∞ [题后悟道] 利用函数所表示的几何意义求值域(最值)，通常转化为以下两种类型： (1)直线的斜率：yx 可看作点(x ，y )与(0,0)连线的斜率；y －b x －a 可看作点(x ，y )与点(a ，b )连线的斜率．(2)两点间的距离： (x －x 1)2＋(y －y 1)2可看作点(x ，y )与点(x 1，y 1)之间的距离．针对训练1．函数y ＝(x ＋3)2＋16＋(x －5)2＋4的值域为________． 解析：函数y ＝f (x )的几何意义为：平面内一点P (x,0)到两点A (－3,4)和B (5,2)距离之和．由平面几何知识，找出B 关于x 轴的对称点B ′(5，－2)．连接AB ′交x 轴于一点P 即为所求的点，最小值y ＝|AB ′|＝82＋62＝10.即函数的值域为[10，＋∞)． 答案：[10，＋∞) 2．判别式法对于形如y ＝a 1x 2＋b 1x ＋c 1a 2x 2＋b 2x ＋c 2(a 1，a 2不同时为零)的函数求值域，通常把其转化成关于x 的一元二次方程，由判别式Δ≥0，求得y 的取值范围，即为原函数的值域．[典例2] 函数y ＝x 2－xx 2－x ＋1的值域为________．[解析] 法一：(配方法) ∵y ＝1－1x 2－x ＋1，又x 2－x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x －122＋34≥34， ∴0<1x 2－x ＋1≤43，∴－13≤y <1.∴函数的值域为⎣⎡⎭⎫－13，1. 法二：(判别式法) 由y ＝x 2－xx 2－x ＋1，x ∈R ，得(y －1)x 2＋(1－y )x ＋y ＝0. ∵y ＝1时，x ∈∅，∴y ≠1.又∵x ∈R ，∴Δ＝(1－y )2－4y (y －1)≥0， ∴－13≤y <1.∴函数的值域为⎣⎡⎭⎫－13，1. [答案] ⎣⎡⎭⎫－13，1 [题后悟道] 本题解法二利用了判别式法，利用判别式法首先把函数转化为一个系数含有y 的二次方程a (y )x 2＋b (y )x ＋c (y )＝0，则在a (y )≠0时，若x ∈R ，则Δ≥0，从而确定函数的最值；再检验a (y )＝0时对应的x 的值是否在函数定义域内，以决定a (y )＝0时y 的值的取舍．针对训练2．已知函数y ＝mx 2＋43x ＋nx 2＋1的最大值为7，最小值为－1，则m ＋n 的值为( )A ．－1B ．4C ．6D ．7解析：选C 函数式可变形为(y －m )x 2－43x ＋(y －n )＝0，x ∈R ，由已知得y －m ≠0，所以Δ＝(－43)2－4(y －m )·(y －n )≥0，即y 2－(m ＋n )y ＋(mn －12)≤0，①由题意，知不等式①的解集为[－1,7]，则－1、7是方程y 2－(m ＋n )y ＋(mn －12)＝0的两根，代入得⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋(m ＋n )＋mn －12＝0，49－7(m ＋n )＋mn －12＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝5，n ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，n ＝5.所以m ＋n ＝6.求解函数的值域要根据函数解析式的特点选择恰当的方法，准确记忆常见函数的值域，熟练掌握各种类型函数值域的求法，除前面介绍的几种方法外，还有单调性法、导数法(以后还要讲解)．1．函数y ＝13x －2＋lg(2x －1)的定义域是( ) A.⎣⎡⎭⎫23，＋∞ B.⎝⎛⎭⎫12，＋∞ C.⎝⎛⎭⎫23，＋∞D.⎝⎛⎭⎫12，23解析：选C 由⎩⎪⎨⎪⎧3x －2>0，2x －1>0得x >23.2．(2012·汕头一测)已知集合A 是函数f (x )＝1－x 2＋x 2－1x 的定义域，集合B 是其值域，则A ∪B 的子集的个数为( )A ．4B ．6C ．8D ．16解析：选C 要使函数f (x )的解析式有意义，则需⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2≥0，x 2－1≥0，x ≠0，解得x ＝1或x ＝－1，所以函数的定义域A ＝{－1,1}．而f (1)＝f (－1)＝0，故函数的值域B ＝{0}，所以A ∪B ＝{1，－1,0}，其子集的个数为23＝8.3．下列图形中可以表示以M ＝{x |0≤x ≤1}为定义域，以N ＝{y |0≤y ≤1}为值域的函数的图象是( )解析：选C 由题意知，自变量的取值范围是[0,1]，函数值的取值范围也是[0,1]，故可排除A 、B ；再结合函数的定义，可知对于集合M 中的任意x ，N 中都有唯一的元素与之对应，故排除D.4．(2013·长沙模拟)下列函数中，值域是(0，＋∞)的是( ) A ．y ＝x 2－2x ＋1 B ．y ＝x ＋2x ＋1(x ∈(0，＋∞))C ．y ＝1x 2＋2x ＋1(x ∈N)D ．y ＝1|x ＋1|解析：选D 选项A 中y 可等于零；选项B 中y 显然大于1；选项C 中x ∈N ，值域不是(0，＋∞)；选项D 中|x ＋1|>0，故y >0.5．已知等腰△ABC 周长为10，则底边长y 关于腰长x 的函数关系为y ＝10－2x ，则函数的定义域为( )A ．RB ．{x |x >0}C ．{x |0<x <5}D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |52<x <5 解析：选C 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧x >0，10－2x >0，即0<x <5.6．函数y ＝2x －1的定义域是(－∞，1)∪[2,5)，则其值域是( )A ．(－∞，0)∪⎝⎛⎦⎤12，2 B ．(－∞，2] C.⎝⎛⎭⎫－∞，12∪[2，＋∞)D ．(0，＋∞)解析：选A ∵x ∈(－∞，1)∪[2,5)， 故x －1∈(－∞，0)∪[1,4)， ∴2x －1∈(－∞，0)∪⎝⎛⎦⎤12，2. 7．(2013·安阳4月模拟)函数y ＝x ＋1＋(x －1)0lg (2－x )的定义域是________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≥0，x －1≠0，2－x >0，2－x ≠1得⎩⎪⎨⎪⎧x ≥－1，x ≠1，x <2，则⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x <2，x ≠1，所以定义域是{x |－1≤x <1，或1<x <2}． 答案：{x |－1≤x <1，或1<x <2}8．函数y ＝x －x (x ≥0)的最大值为________． 解析：y ＝x －x ＝－(x )2＋x ＝－⎝⎛⎭⎫x －122＋14， 即y max ＝14.答案：149．(2012·太原模考)已知函数f (x )的定义域为[0,1]，值域为[1,2]，则函数f (x ＋2)的定义域为____________，值域为__________．解析：由已知可得x ＋2∈[0,1]，故x ∈[－2，－1]，所以函数f (x ＋2)的定义域为[－2，－1]．函数f (x )的图象向左平移2个单位得到函数f (x ＋2)的图象，所以值域不发生变化，所以函数f (x ＋2)的值域仍为[1,2]．答案：[－2，－1] [1,2]10．求下列函数的值域．(1)y ＝1－x 2x ＋5；(2)y ＝2x －1－13－4x . 解：(1)y ＝1－x 2x ＋5＝－12(2x ＋5)＋722x ＋5＝－12＋722x ＋5， 因为722x ＋5≠0，所以y ≠－12， 所以函数y ＝1－x 2x ＋5的值域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫y |y ≠－12. (2)法一：(换元法)设13－4x ＝t ，则t ≥0，x ＝13－t 24， 于是y ＝g (t )＝2·13－t 24－1－t ＝－12t 2－t ＋112＝－12(t ＋1)2＋6， 显然函数g (t )在[0，＋∞)上是单调递减函数，所以g (t )≤g (0)＝112， 因此函数的值域是⎝⎛⎦⎤－∞，112. 法二：(单调性法)函数定义域是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≤134， 当自变量x 增大时，2x －1增大，13－4x 减小，所以2x －1－13－4x 增大，因此函数f (x )＝2x －1－13－4x 在其定义域上是单调递增函数，所以当x ＝134时，函数取得最大值f ⎝⎛⎭⎫134＝112， 故函数的值域是⎝⎛⎦⎤－∞，112. 11．若函数f (x )＝12x 2－x ＋a 的定义域和值域均为[1，b ](b >1)，求a 、b 的值． 解：∵f (x )＝12(x －1)2＋a －12，∴其对称轴为x ＝1.即[1，b ]为f (x )的单调递增区间．∴f (x )min ＝f (1)＝a －12＝1① f (x )max ＝f (b )＝12b 2－b ＋a ＝b ② 由①②解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝32，b ＝3.12．(2013·宝鸡模拟)已知函数g (x )＝x ＋1, h (x )＝1x ＋3，x ∈(－3，a ]，其中a 为常数且a >0，令函数f (x )＝g (x )·h (x )．(1)求函数f (x )的表达式，并求其定义域；(2)当a ＝14时，求函数f (x )的值域． 解：(1)f (x )＝x ＋1x ＋3，x ∈[0，a ](a >0)． (2)函数f (x )的定义域为⎣⎡⎦⎤0，14， 令x ＋1＝t ，则x ＝(t －1)2，t ∈⎣⎡⎦⎤1，32， f (x )＝F (t )＝t t 2－2t ＋4＝1t ＋4t－2， 当t ＝4t 时，t ＝±2∉⎣⎡⎦⎤1，32，又t ∈⎣⎡⎦⎤1，32时，t ＋4t单调递减，F (t )单调递增，F (t )∈⎣⎡⎦⎤13，613. 即函数f (x )的值域为⎣⎡⎦⎤13，613.1．函数y ＝2－－x 2＋4x 的值域是( )A ．[－2,2]B ．[1,2]C ．[0,2]D ．[－2，2]解析：选C －x 2＋4x ＝－(x －2)2＋4≤4，0≤－x 2＋4x ≤2，－2≤－－x 2＋4x ≤0，0≤2－－x 2＋4x ≤2，所以0≤y ≤2.2．定义区间[x 1，x 2](x 1<x 2)的长度为x 2－x 1，已知函数f (x )＝|log 12x |的定义域为[a ，b ]，值域为[0,2]，则区间[a ，b ]的长度的最大值与最小值的差为________．解析：由函数f (x )＝|log 12x |的图象和值域为[0,2]知，当a ＝14时，b ∈[1,4]；当b ＝4时，a ∈⎣⎡⎦⎤14，1，所以区间[a ，b ]的长度的最大值为4－14＝154，最小值为1－14＝34. 所以区间长度的最大值与最小值的差为154－34＝3. 答案：33．运货卡车以每小时x 千米的速度匀速行驶130千米(50≤x ≤100)(单位：千米/小时)．假设汽油的价格是每升2元，而汽车每小时耗油⎝⎛⎭⎫2＋x 2360升，司机的工资是每小时14元． (1)求这次行车总费用y 关于x 的表达式；(2)当x 为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值．解：(1)行车所用时间为t ＝130x(h)， y ＝130x ×2×⎝⎛⎭⎫2＋x 2360＋14×130x，x ∈[50,100]． 所以，这次行车总费用y 关于x 的表达式是y ＝2 340x ＋1318x ，x ∈[50,100]． (2)y ＝2 340x ＋1318x ≥2610，当且仅当2 340x ＝1318x ， 即x ＝1810时，上述不等式中等号成立．当x ＝1810时，这次行车的总费用最低，最低费用为2610元．1．已知函数f (x )＝2x ＋4－x ，则函数f (x )的值域为( )A ．[2,4]B ．[0,2 5 ]C ．[4,2 5 ]D ．[2,2 5 ] 解析：选D ∵x ∈[0,4]，∴可令x ＝4cos 2θ，θ∈⎣⎡⎦⎤0，π2， 则y ＝2·2cos θ＋2sin θ＝25sin(θ＋φ)，tan φ＝2.又0≤θ≤π2，φ≤θ＋φ≤π2＋φ， 故cos φ≤sin(θ＋φ)≤1，而cos φ＝15， ∴2≤y ≤2 5.2．若函数f (x )＝ (a 2－1)x 2＋(a －1)x ＋2a ＋1的定义域为R ，求实数a 的取值范围． 解：由函数的定义域为R ，可知对x ∈R ，f (x )恒有意义，即对x ∈R ，(a 2－1)x 2＋(a －1)x＋2a＋1≥0恒成立．①当a2－1＝0，即a＝1(a＝－1舍去)时，有1≥0，对x∈R恒成立，故a＝1符合题意；②当a2－1≠0，即a≠±1时，则有⎩⎪⎨⎪⎧a2－1>0，Δ＝(a－1)2－4(a2－1)×2a＋1≤0，解得1<a≤9.综上，可得实数a的取值范围是[1,9]．。
函数定义域、值域、解析式习题及答案
函数定义域、值域、解析式习题及答案一、求函数的定义域1、求下列函数的定义域：⑴ $y=\frac{x^2-2x-15}{x+3}-\frac{3}{x-1}$先求分母的取值范围，$x+3\neq 0$，$x\neq -3$；$x-1\neq 0$，$x\neq 1$。
然后考虑分子的取值范围，$x^2-2x-15$的值域为$(-\infty,-16]\cup [3,\infty)$，$2x-1$的值域为$(-\infty,\infty)$，$4-x^2$的值域为$[-4,\infty)$。
因此，$y$的定义域为$(-\infty,-3)\cup (-3,1)\cup (1,3)\cup (3,\infty)$。
⑵ $y=1-\frac{1}{x-1}+\frac{2x-1}{x^2-4}$先求分母的取值范围，$x^2-4\neq 0$，$x\neq \pm 2$；$x-1\neq 0$，$x\neq 1$。
然后考虑分子的取值范围，$2x-1$的值域为$(-\infty,\infty)$。
因此，$y$的定义域为$(-\infty,-2)\cup (-2,1)\cup (1,2)\cup (2,\infty)$。
⑶ $y=x+1-\frac{1}{1+\frac{1}{x-1}+\frac{2x-1}{4-x^2}}$先求分母的取值范围，$x-1\neq 0$，$x\neq 1$；$4-x^2\neq 0$，$x\neq \pm 2$。
然后考虑分母的值域，$1+\frac{1}{x-1}+\frac{2x-1}{4-x^2}>0$，即$\frac{2x-1}{x^2-4}>-\frac{1}{x-1}$。
因此，$y$的定义域为$(-\infty,-2)\cup (-2,1)\cup (1,2)\cup (2,\infty)$。
4）$f(x)=\frac{x-3}{x^2-2}$的定义域为$(-\infty,-\sqrt{2})\cup (-\sqrt{2},3)\cup (3,\sqrt{2})\cup (\sqrt{2},\infty)$。
必修一 数学 定义域,值域,解析式 求法,例题,习题(含答案)
函数的定义域（1）函数的定义域就是使得这个函数关系式有意义的实数的全体构成的集合（2）求函数定义域的注意事项☉分式分母不为零； ☉偶次根式的被开方数大于等于零；☉零次幂的底数不为零； ☉实际问题对自变量的限制若函数由几个式子构成，求其定义域时要满足每个式子都要有意义（取“交集”）。
（3）抽象复合函数定义域的求法☉已知y=f （x ）的定义域是A ，求y=f （g （x ））的定义域，可通过解关于g （x ）∈A 的不等式，求出x 的范围☉已知y=f （g （x ））的定义域是A ，求y=f （x ）的定义域，可由x ∈A ，求g （x ）的取值范围（即y=g （x ）的值域）。
例1．函数()1f x x =- 的定义域为 ( ) A. (－∞，4) B. [4，＋∞) C. (－∞，4] D. (－∞，1)∪(1,4] 【答案】D 【解析】要使解析式有意义需满足：40{10x x -≥-≠，即x 4≤且1x ≠所以函数()f x =的定义域为(－∞，1)∪(1,4] 故选：D例2．函数y =( )A. {|11}x x x ≥≤-或B. {|11}x x -≤≤C. {1}D. {-1,1}【答案】D 【解析】函数y 可知: 2210{ 10x x -≥-≥,解得： 1x =±.函数y =的定义域为{-1,1}.故选D.例3．已知函数()21y f x =-的定义域为()2,2-，函数()f x 定义域为__________.【答案】[]1,3-【解析】由函数()21y f x =-的的定义域为(−2,2)，得： 2113x -≤-≤，故函数f (x )的定义域是[]1,3-.例4．若函数()y f x =的定义域为[]0,2,则函数()()21f xg x x =-的定义域是（ ）A. [)0,1B. []0,1C. [)(]0,11,4⋃ D. ()0,1 【答案】A函数()y f x =的定义域是[]0,2， 022{10x x ≤≤∴-≠，解不等式组：01x ≤<，故选A.例5．已知函数()1y f x =+的定义域是[]2,3-，则()2y f x =的定义域是（ ） A. []1,4- B. []0,16 C. []2,2- D. []1,4【答案】C 【解析】解：由条件知： ()1f x +的定义域是[]2,3-，则1x 14-≤+≤，所以214x -≤≤，得[]x 2,2∈-例6．已知函数y f x =+()1定义域是[]-23，，则y f x =-()21的定义域是（ ）A ．[]052， B. []-14， C. []-55， D. []-37，【答案】A 【解析】523,114,1214,02x x x x -≤≤-≤+≤-≤-≤≤≤例7．函数y =的定义域为___________．【答案】[]3,4-【解析】要使函数有意义，则2120x x +-≥，即2120x x --≤，即34x -≤≤，故函数的定义域为[]3,4-，故答案为[]3,4-.函数值域定义：对于函数y=f （x ），x ∈A 的值相对应的y 值叫函数值，函数值得集合{f （x ）|x ∈A }叫做函数的值域。
函数定义域、值域经典习题及答案
函数定义域和值域练习题1一、 求函数的定义域 1.求下列函数的定义域： ⑴221533x x y x --=+- ⑵211()1x y x -=-+ ⑶021(21)4111y x x x =+-+-+-二、求函数的值域 2.求下列函数的值域：⑴223y x x =+- ()x R ∈ ⑵223y x x =+- [1,2]x ∈ ⑶311x y x -=+ ⑷311x y x -=+ (5)x ≥ ⑸ 262x y x -=+ ⑹ 225941x x y x +=-＋ ⑺31y x x =-++ ⑻2y x x =- ⑼ 245y x x =-++ ⑽ 2445y x x =--++ ⑾12y x x =-- 三、求函数的解析式3.已知函数2(1)4f x x x -=-，求函数()f x ，(21)f x +的解析式。
4.已知()f x 是二次函数，且2(1)(1)24f x f x x x ++-=-，求()f x 的解析式。
5.已知函数()f x 满足2()()34f x f x x +-=+，则()f x = 。
四、综合题6.判断下列各组中的两个函数是同一函数的为 （ ） ⑴3)5)(3(1+-+=x x x y ， 52-=x y ； ⑵111-+=x x y ， )1)(1(2-+=x x y ；⑶x x f =)(， 2)(x x g = ；⑷x x f =)(， 33()g x x =；⑸21)52()(-=x x f ， 52)(2-=x x f 。
A 、⑴、⑵ B 、 ⑵、⑶ C 、 ⑷ D 、 ⑶、⑸ 7.函数22()44f x x x =---的定义域是（ ） A 、[2,2]- B 、(2,2)- C 、(,2)(2,)-∞-+∞ D 、{2,2}-函数的定义域值域练习题21.已知)(,11)11(22x f x x x x f 则+-=+-的解析式可取为（ ） A ．21x x+ B ．212x x+-C ．212x x+ D ．21x x+-2.函数12log (32)y x =-的定义域是（ ）A ．[1,)+∞B ．23(,)+∞C ．23[,1]D ．23(,1]3.函数)1(log 221-=x y 的定义域为（ ）A 、[)(]2,11,2 -- B 、)2,1()1,2( -- C 、[)(]2,11,2 -- D 、)2,1()1,2( -- 4．（2006年广东卷）函数)13lg(13)(2++-=x xx x f 的定义域是( )A.),31(+∞- B. )1,31(- C. )31,31(- D. )31,(--∞ 5.函数2log 2y x =-的定义域是( ) A.(3,+∞) B.[3, +∞) C.(4, +∞) D.[4, +∞) 6.函数21lg )(x x f -=的定义域为( ) （A ）［0，1］ （B ）（-1，1） （C ）［-1，1］（D ）（-∞，-1）∪（1，+∞）7.函数1()lg4xf x x -=-的定义域为（ ） Ａ．(14)，Ｂ．[14)，Ｃ．(1)(4)-∞+∞，， Ｄ．(1](4)-∞+∞，， 8.函数()()lg 43x f x x -=-的定义域为9.函数()221x y x R x =∈+的值域是10.函数(1)y x x x =-+的定义域为（ ）A ．{}|0x x ≥ B ．{}|1x x ≥ C ．{}{}|10x x ≥D ．{}|01x x ≤≤11.函数221()ln(3234)f x x x x x x=-++--+的定义域为（ ） A. (,4][2,)-∞-+∞ B. (4,0)(0.1)-C. [-4,0)(0,1] D. [4,0)(0,1)-12.函数221()log (1)x f x x --=-的定义域为 ．13.函数234x x y x--+=的定义域为（ ）A ．[4,1]-B ．[4,0)-C ．(0,1]D ．[4,0)(0,1]-14.函数2ln(1)34x y x x +=--+的定义域为（ ）A ．(4,1)--B ．(4,1)-C ．(1,1)-D ．(1,1]-函数的定义域值域练习题31.函数y=2122--+-+x x xx的定义域是（ ） （A ）{x -21-≤≤x } （B ）{x -21≤≤x } （C ）{x x>2} （D ）{R x ∈x 1≠} 2．函数6542-+--=x x x y 的定义域是（A ）{x|x>4} (B)}32|{<<x x (C){x | x<2 或 x>3} (D) }32|{≠≠∈x x R x 且 3.函数y=122+-x x 的值域是（ ）（A ）[0，+∞) （B ）（0，+∞） （C ）（-∞，+∞） （D ）[1，+∞ ] 4．下列函数中，值域是（0，+∞）的是（ ） (A)132+-=x x y (B) y=2x+1(x>0) (C) y=x 2+x+1 (D)21x y =5．函数y=13+-+x x 的值域是（ ） (A)(0,2) (B)[-2,0] (C)[-2,2] (D)(-2,2) 6.函数y=1122-+-x x 的定义域是___________7.函数y=xx x --224的定义域为8.函数y= -2x 2-8x-9, x ∈[0,3]的值域是_______.9.函数2x x y -=的值域是 ；函数)11(2≤≤--=x x x y 的值域是 ；函数21x x y -=的值域是 。
高三数学函数的定义域与值域试题答案及解析
高三数学函数的定义域与值域试题答案及解析1.已知集合，则= .【答案】【解析】因为，所以，即=.【考点】函数的定义域，集合的运算.2.函数的定义域为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由已知，解得，故选C.【考点】函数的定义域，对数函数的性质.3.以表示值域为R的函数组成的集合，表示具有如下性质的函数组成的集合：对于函数，存在一个正数，使得函数的值域包含于区间.例如，当，时，，.现有如下命题：①设函数的定义域为，则“”的充要条件是“，，”；②函数的充要条件是有最大值和最小值；③若函数，的定义域相同，且，，则；④若函数（，）有最大值，则.其中的真命题有 .（写出所有真命题的序号）【答案】①③④【解析】对①，若对任意的，都，使得，则的值域必为R；反之，的值域为R，则对任意的，都，使得.故正确.对②，比如函数属于B，但是它既无最大值也无最小值.故错误.对③，因为，而有界，故，所以.故正确.对④，.当或时，均无最大值.所以若有最大值，则，此时，.故正确【考点】1、新定义；2、函数的定义域值域.4.已知函数，.若存在使得，则实数的取值范围是．【答案】【解析】方程变形为，记函数的值域为，函数的值域为，设的取值范围为，则，作出函数和的图象，可见在上是增函数，在上是减函数，且，而函数的值域是，因此，因此.【考点】函数的图象，方程的解与函数的值域问题.5.设a∈，则使函数y=x a的定义域是R，且为奇函数的所有a的值是（）A．1，3B．﹣1，1C．﹣1，3D．﹣1，1，3【答案】A【解析】当a=﹣1时，y=x﹣1的定义域是x|x≠0，且为奇函数；当a=1时，函数y=x的定义域是R且为奇函数；当a=时，函数y=的定义域是x|x≥0且为非奇非偶函数．当a=3时，函数y=x的定义域是R且为奇函数．故选A．6.函数的定义域为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由二次根式的定义可得,所以函数的定义域为,故选A.【考点】定义域一次不等式7.设函数若是的三条边长，则下列结论正确的是_____ _.(写出所有正确结论的序号)①②，使不能构成一个三角形的三条边长；③若【答案】①②③【解析】由题意得.令，则是单调递减函数.对①，..②，令，因为是单调递减函数，所以在上一定存在零点,即,此时不能构成三角形的三边.③，为钝角三角形，则由余弦定理易知,即,又，且连续，所以使.故①②③都正确.【考点】1、函数的单调性；2、三角形.8.函数的定义域是．【答案】【解析】由题意，．【考点】函数的定义域．9.设函数若,则实数( )A．4B．-2C．4或D．4或-2【答案】C【解析】因为，所以得到或所以解得或.所以或.当可时解得.当时可解得.【考点】1.复合函数的运算.2. 分类讨论的思想.10.函数的定义域是( )A．B．C．D．【答案】A【解析】根据题意可得,所以该函数定义域为,故选A.【考点】定义域二次不等式11.如图，两个工厂A、B相距2km，点O为AB的中点，要在以O为圆心，2km为半径的圆弧MN上的某一点P处建一幢办公楼，其中MA⊥AB，NB⊥AB.据测算此办公楼受工厂A的“噪音影响度”与距离AP的平方成反比，比例系数为1；办公楼受工厂B的“噪音影响度”与距离BP的平方也成反比，比例系数为4，办公楼与A、B两厂的“总噪音影响度”y是A、B两厂“噪音影响度”的和，设AP为xkm.(1)求“总噪音影响度”y关于x的函数关系式，并求出该函数的定义域；(2)当AP为多少时，“总噪音影响度”最小？【答案】（1）y＝(≤x≤)（2）AP＝km【解析】(1)(解法1)如图，连结OP，设∠AOP＝α，则≤α≤.在△AOP中，由余弦定理得x2＝12＋22－2×1×2cosα＝5－4cosα，在△BOP中，由余弦定理得BP2＝12＋22－2×1×2cos(π－α)＝5＋4cosα，∴BP2＝10－x2，∴y＝.∵≤α≤，∴≤x≤，∴y＝(≤x≤)．(解法2)建立如图所示的直角坐标系，则A(－1，0)，B(1，0)，设P(m，n)，则PA2＝(m＋1)2＋n2，PB2＝(m－1)2＋n2.∵m2＋n2＝4，PA＝x，∴PB2＝10－x2(后面解法过程同解法1)．(2)(解法1)y＝＝[x2＋(10－x2)]＝(5＋)≥(5＋2)＝，当且仅当，即x＝∈[，]时取等号．故当AP＝km时，“总噪音影响度”最小．(解法2)由y＝，得y′＝－.∵≤x≤，∴令y′＝0，得x＝，且当x∈时，y′<0；当x∈(，]时，y′>0.∴x＝时，y＝取极小值，也即最小值．故当AP＝km时，“总噪音影响度”最小12.已知函数f(x)＝x3(a>0且a≠1)．(1)求函数f(x)的定义域；(2)讨论函数f(x)的奇偶性；(3)求a的取值范围，使f(x)>0在定义域上恒成立．【答案】（1）{x|x∈R，且x≠0}（2）偶函数（3）a>1.【解析】(1)由于a x－1≠0，则a x≠1，所以x≠0，所以函数f(x)的定义域为{x|x∈R，且x≠0}．(2)对于定义域内任意的x，有f(－x)＝(－x)3＝－x3＝－x3＝x3＝f(x)所以f(x)是偶函数．(3)①当a>1时，对x>0，所以a x>1，即a x－1>0，所以＋>0.又x>0时，x3>0，所以x3>0，即当x>0时，f(x)>0.由(2)知，f(x)是偶函数，即f(－x)＝f(x)，则当x<0时，－x>0，有f(－x)＝f(x)>0成立．综上可知，当a>1时，f(x)>0在定义域上恒成立．②当0<a<1时，f(x)＝，当x>0时，0<a x<1，此时f(x)<0，不满足题意；当x<0时，－x>0，有f(－x)＝f(x)<0，也不满足题意．综上可知，所求a的取值范围是a>113.函数f(x)＝x2＋2x－3，x∈[0，2]的值域为________．【答案】[－3，5]【解析】由f(x)＝(x＋1)2－4，知f(x)在[0，2]上单调递增，所以f(x)的值域是[－3，5]．14.已知函数f(x)=-的定义域为R,则f(x)的值域是.【答案】【解析】∵2x>0,∈(0,1),∴-<-<,故函数值域为.15.函数f(x)=+lg的定义域是()A．(2,4)B．(3,4)C．(2,3)∪(3,4]D．[2,3)∪(3,4)【答案】D【解析】要使函数有意义,必须所以函数的定义域为[2,3)∪(3,4).16.函数的定义域为．【答案】【解析】要使函数有意义，则，解得.【考点】函数的定义域.17.函数f(x)＝的定义域为________．【答案】(－1,0)∪(0,2]【解析】根据使函数有意义的条件求解．由得－1＜x≤2，且x≠0.18.函数f(x)＝＋的定义域为()．A．(－3,0]B．(－3,1]C．(－∞，－3)∪(－3,0]D．(－∞，－3)∪(－3,1]【答案】A【解析】由题意，解得－3＜x≤0.19.函数f(x)＝e x sin x在区间上的值域为 ()．【答案】A【解析】f′(x)＝e x(sin x＋cos x)．∵x∈，f′(x)＞0.∴f(x)在上是单调增函数，∴f(x)＝minf(0)＝0，f(x)＝f＝.max20.设函数，若和是函数的两个零点，和是的两个极值点，则等于( )A．B．C．D．【答案】C【解析】,若和是函数的两个零点,即和是方程的两根，得到,,,由已知得和是的两根，所以,故选C.【考点】1.函数的零点；2.函数的极值点.21.函数的定义域为______________.【答案】【解析】为使有意义，须解得，所以函数的定义域为【考点】函数的定义域，对数函数的性质，简单不等式的解法.22.函数的定义域为( )A．;B．;C．;D．;【答案】C【解析】函数的定义域包含三个要求，由不等式组解得.所以选C.本题要注意的解法将不等式化为.由于函数是递增的，所以结合另两个的式子可得结论.【考点】1.偶次方根的定义域.2.分母的定义域.3.对数的定义域.23.函数的定义域是( )A．(-¥,+¥)B．[-1,+¥）C．[0,+¥]D．(-1,+¥)【答案】B【解析】依题意可得.故选B.本小题是考查函数的定义域问题；函数的偶次方根的被开方数要大于或等于零这种情况.函数的定义域是函数三要素之一，也是研究函数的首要组成部分，大致情况有四种.在接触函数的题型时就得考虑函数的定义域.【考点】函数的定义域.24.函数的单调递减区间是( )A．B．C．D．【答案】C【解析】由题意可知函数的定义域为..又有函数在上递增，所以函数在区间上是递减的.故选C.本小题主要是考查复合函数的单调性同增异减.另外要关注定义域的范围.这也是本题的关键.【考点】1.函数的定义域.2.复合函数的单调性.25.已知函数．（1）求函数的定义域；（2）若函数在上单调递增，求的取值范围．【答案】(1)若即时，；若即时，；若即时，.（2）.【解析】(1)对数函数要有意义，必须真数大于0，即，这是一个含有参数的不等式，故对m分情况进行讨论；（2）根据复合函数单调性的判断法则，因为是增函数，要使得若函数在上单调递增，则函数在上单调递增且恒正，据些找到m满足的不等式，解不等式即得m的范围.试题解析：(1)由得：若即时，若即时，若即时，（2）若函数在上单调递增，则函数在上单调递增且恒正。
高一数学函数的定义域与值域试题答案及解析
高一数学函数的定义域与值域试题答案及解析1.函数的值域是（）A．[0,12]B．[-，12]C．[-，12]D．[，12]【答案】B．【解析】因为函数，所以，当时，；当时，；所以函数的值域为．故应选B．【考点】二次函数的性质．2.函数的定义域为___________.【答案】.【解析】要使有意义，则，即，即函数的定义域为.【考点】函数的定义域.3.函数的定义域是_______．【答案】.【解析】由可知，函数的定义域为.【考点】函数的定义域.4.已知,函数.（1）当时，画出函数的大致图像；（2）当时，根据图像写出函数的单调减区间，并用定义证明你的结论；（3）试讨论关于x的方程解的个数.【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）详见解析.【解析】（1）当a=2时，，作出图象；（2）由（1）写出函数y=f（x）的单调递增区间，再根据单调性定义证明即可；（3）由题意知方程的解得个数等价于函数的图像与直线的交点个数.即函数的图象与直线的交点个数.试题解析：（1）如图所示3分（2）单调递减区间： 4分证明：设任意的5分因为，所以于是，即6分所以函数在上是单调递减函数 7分(3) 由题意知方程的解得个数等价于函数的图像与直线的交点个数.即函数的图象与直线的交点个数又，注意到，当且仅当时，上式等号成立，借助图像知 8分所以，当时，函数的图像与直线有1个交点； 9分当，时，函数的图像与直线有2个交点； 10分当，时，函数的图像与直线有3个交点；12分.【考点】1.绝对值的函数；2.函数的值域;3.函数的零点.5.设表示不超过的最大整数，如，若函数，则函数的值域为 .【答案】【解析】因为，所以所以当时，，，，故当时，，，，故当时，，，，故综上可知的值域为.【考点】1.新定义；2.函数的解析式；3.函数的值域.6.已知函数（1）求函数的定义域和值域；（2）若函数有最小值为，求的值。
【答案】(1)定义域为,当时,值域为,当时,值域为;(2)【解析】(1)根据对数函数的定义域为,则由函数,可得,解之得,从而可得所求函数的定义域为;根据对数函数当时为单调递增函数,当时为单调递减函数,又由复合函数的“同增异减”性质(注:两个复合函数的单调性相同时复合函数为单调递增,不同时复合函数为单调递减),可将函数对其底数分为与两情况进行分类讨论,从而求出函数的值域;(2)由(1)知当时函数有最小值,从而有,可解得.试题解析：(1)由已知得,解之得,故所求函数的定义域为.原函数可化为,设,又,所以.当时,有;当时, .故当时,函数的值域为,当时,值域为.(2)由题意及(1)知:当时,函数有最小值,即,可解得.【考点】对数函数的定义域、值域、单调性、最值7.若函数（）在上的最大值为23，求a的值.【答案】或【解析】利用整体思想令，则，其图像开口向上且对称轴为，所以二次函数在上单调递减，在上是增函数.下面分两种情况讨论：当时，在R上单调递减，当时是的增区间，所以时y取最大值。
高三数学函数的定义域与值域试题答案及解析
高三数学函数的定义域与值域试题答案及解析1.函数的定义域是（用区间表示）;【答案】【解析】由得，所以定义域为.【考点】函数的定义域.2.函数的图像为【答案】D【解析】因为=，其图像为D．【考点】对数恒等式，分类整合思想，常见函数图像，分段函数3.设函数f(x)＝ (x＋|x|)，则函数f[f(x)]的值域为________．【答案】[0，＋∞)【解析】先去绝对值，当x≥0时，f(x)＝x，故f[f(x)]＝f(x)＝x，当x<0时，f(x)＝0，故f[f(x)]＝f(0)＝0，即f[f(x)]＝易知其值域为[0，＋∞)．4. [2013·山东青岛调研]已知函数y＝f(x2－1)的定义域为[－，]，则函数y＝f(x)的定义域是________．【答案】[－1,2]【解析】∵y＝f(x2－1)的定义域为[－，]，∴x∈[－，]，x2－1∈[－1,2]，∴y＝f(x)的定义域为[－1,2]．5.设a，b为实数，关于x的方程的4个实数根构成以d为公差的等差数列，若，则的取值范围是 .【答案】【解析】设4个实数根依次为，由等差数列性质，不妨设为的两个实数根，则为方程的两个根，由韦达定理，即，又，,故，∴，即的取值范围是．【考点】等差数列的性质、函数值域.6.江西高考函数y＝ln(1－x)的定义域为()A．(0,1)B．[0,1)C．(0,1]D．[0,1]【答案】B【解析】由得，函数定义域为[0,1)．7.设函数g(x)＝x2－2(x∈R)，f(x)＝则f(x)的值域是（）A．∪(1，＋∞)B．[0，＋∞)C．D．∪(2，＋∞)【答案】D【解析】令x<g(x)，即x2－x－2>0，解得x<－1或x>2.令x≥g(x)，即x2－x－2≤0，解得－1≤x≤2.故函数f(x)＝当x＜－1或x＞2时，函数f(x)＞f(－1)＝2；当－1≤x≤2时，函数≤f(x)≤f(－1)，即≤f(x)≤0.故函数f(x)的值域是∪(2，＋∞)．选D.8.函数的定义域为( )A．B．C．D．【答案】C【解析】要使函数有意义，则有，即，所以，即函数定义域为，选C.9.已知，对，使成立，则a的取值范围是( )A．[-1，+)B．[-1，1]C．(0，1]D．(-，l]【答案】B【解析】解：由题意知函数的值域是函数的值域的子集；因为当时，当时,所以函数的值域是所以，解得：故选B.【考点】1、分段函数；2、函数的值域；3、等价转化的思想.10.函数的定义域为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由二次根式的定义可得,所以函数的定义域为,故选A.【考点】定义域一次不等式11.函数（）的最大值等于 .【答案】4【解析】因为对称轴为，所以函数在[-1,1]上单调递增，因此当时，函数取最大值4.【考点】二次函数最值12.函数的定义域为________.【答案】【解析】依题意可得.即.【考点】1.函数的定义.2.对数函数的知识.13.已知函数f(x)＝lg(k∈R，且k>0)．(1)求函数f(x)的定义域；(2)若函数f(x)在[10，＋∞)上单调递增，求k的取值范围．【答案】（1）当0<k<1时，函数定义域为；当k≥1时，函数定义域为.（2）【解析】(1)由>0，k>0，得>0，当0<k<1时，得x<1或x>；当k＝1时，得x∈R且x≠1；当k>1时，得x<或x>1.综上，当0<k<1时，函数定义域为；当k≥1时，函数定义域为.(2)由函数f(x)在[10，＋∞)上单调递增，知>0，∴k>.又f(x)＝lg＝lg，由题意，对任意的x1、x2，当10≤x1<x2，有f(x1)<f(x2)，即lg<lg，得<(k－1)(－)<0.∵x1<x2，∴>，∴k－1<0，即k<1.综上可知，k的取值范围是.14.若函数y＝f(x)的定义域是[0，2]，求函数g(x)＝的定义域．【答案】[0，1)【解析】由得0≤x<1，即定义域是[0，1)．15.函数f(x)=的定义域为()A．(0,+∞)B．(1,+∞) C．(0,1)D．(0,1)∪(1,+∞)【答案】D【解析】由得∴0<x<1或x>1,故选D.16.已知函数y=f(x+1)的定义域是[-2,3],则y=f(2x-1)的定义域是() A．[0,]B．[-1,4]C．[-5,5]D．[-3,7]【答案】A【解析】【思路点拨】先求y=f(x)的定义域,再求y=f(2x-1)的定义域. 解:由-2≤x≤3,得-1≤x+1≤4,由-1≤2x-1≤4,得0≤x≤,故函数y=f(2x-1)的定义域为[0,].17.已知函数f(x)＝.(1)求函数f(x)的定义域；(2)设α是第四象限的角，且tan α＝－，求f(α)的值．【答案】（1）（2）【解析】(1)函数f(x)要有意义需满足cos x≠0，解得x≠＋kπ(k∈Z)，即f(x)的定义域为(2)f(x)＝＝＝＝2(cos x－sin x)，由tan α＝－，得sin α＝－cos α，又∵sin2α＋cos2α＝1，∴cos2α＝.∵α是第四象限的角，∴cos α＝，sin α＝－，∴f(α)＝2(cos α－sin α)＝18.函数f(x)＝的定义域是()A．[－3，3]B．[－，]C．(1，]D．[－，1)∪(1，]【答案】D【解析】由题意知所以－≤x≤且x≠119.函数的定义域是_____________．【答案】【解析】函数的定义域是使函数式有意义的自变量的集合，求定义域时要注意基本初等函数的定义域．【考点】函数的定义域．20.已知是定义在上的奇函数，则的值域为 .【答案】【解析】由奇函数性质知其定义域关于原点对称，值域也关于原点对称．首先求出参数，可利用特殊值法，奇函数，得．时，，，则，因此值域为．【考点】奇函数的性质与函数的值域．21.设函数，且，表示不超过实数的最大整数，则函数的值域是__________.【答案】.【解析】由题意，，，当时，；当时，；当时，.【考点】函数解析式.22.已知函数的定义域为，值域为.下列关于函数的说法：①当时，；②将的图像补上点，得到的图像必定是一条连续的曲线；③是上的单调函数；④的图象与坐标轴只有一个交点.其中正确命题的个数为（）A．1B．2C．3D．4【答案】B【解析】设函数的图象如图根据图形知，①②③错误，④正确. 选B【考点】函数的定义域、值域，函数的图象性质.23.已知方程在上有解，则实数的取值范围为．【答案】【解析】由，参变分离得，记，且，所以，即，故实数的取值范围为.【考点】二次函数的值域.24.函数的值域为 .【答案】【解析】当时，，当且仅当时，等号成立；当时，，当且仅当时等号成立，综上知，函数的值域为.【考点】基本不等式，函数的值域.25.设函数，则下列结论错误的是（）A．D（x）的值域为{0,1}B．D（x）是偶函数C．D（x）不是周期函数D．D（x）不是单调函数【答案】C【解析】因为，，所以，函数的值域为{0,1}；因为，是有理数或无理数时，依然为有理数或无理数，所以，函数值不变，即D（x）是偶函数；因为，＝=，所以，为其一个周期，故C错，选C.【考点】函数的性质26.下列函数中，值域为的函数是( )A．B．C．D．【答案】C【解析】确定函数的值域，应首先关注函数的定义域.根据指数函数的性质可知的值域为，故选C.【考点】函数的定义域、值域，常见函数的性质.27.函数的定义域是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】自变量满足，解得且，故函数的定义域是，故选C.【考点】函数的定义域28.函数f(x)＝－x4＋2x2＋3的最大值为．【答案】4【解析】令，则，则当时，取最大值4.【考点】换元法求值域.29.设，函数有意义, 实数取值范围 .【答案】【解析】由题意得，对都成立，当时，显然成立，或当即时不等式也成立，所以实数取值范围.【考点】对数函数的定义域、一元二次不等式.30.函数的定义域为 .【答案】【解析】由，得且.所以定义域为.【考点】定义域的求法、解不等式31.函数的定义域为( )A．(0，+∞)B．(1，+∞)C．(0，1)D．(0，1)(1，+)【答案】B【解析】根据题意，由于对数真数大于零，偶次根号下为非负数，则可知，故可知答案为(1，+∞)，选B.【考点】函数定义域点评：主要是考查了函数定义域的求解，属于基础题。
函数的定义域和值域练习题-解析
函数的定义域和值域1．函数y＝的定义域是()A．{x|x<0}B．{x|x>0}C．{x|x<0且x≠－1}D．{x|x≠0，且x≠－1，x∈R}解析：依题意有，解得x<0且x≠－1，故定义域是{x|x<0，且x≠－1}．答案：C解析：当a＝0时，f(x)＝ax2＋x＋1＝x＋1，其定义域和值域均为R，所以只有C有可能，而A、B、D均不符合要求，故选C.答案：C6．设f(x)＝g(x)是二次函数，若f[g(x)]的值域是[0，＋∞)，则g(x)的值域是()A．(－∞，－1]∪[1，＋∞)B．(－∞，－1]∪[0，＋∞)C．[0，＋∞)D．[1，＋∞)解析：由f(x)≥0可得x≥0或x≤－1，且x≤－1时，f(x)≥1；x≥0时，f(x)≥0.又g(x)为二次函数，其值域为(－∞，a]或[b，＋∞)型．而f[g(x)]的值域是[0，＋∞)，知g(x)≥0，故选C.答案：C7．(2012·东北师大附中月考)已知函数y＝f(2sin x)的定义域为(k∈Z)，则函数y＝f(x)的定义域为________．∵函数y＝－为减函数，∴函数的值域为[－1,1]．(2)要使函数有意义，则－x2＋2x>0，∴0<x<2.∴函数的定义域为(0,2)．又∵当x∈(0,2)时，－x2＋2x∈(0,1]，∴log2(－x2＋2x)∈(－∞，0]．即函数的值域为(－∞，0]．(3)函数定义域为{0,1,2,3,4,5}，函数值域为{2,3,4,5,6,7}．11．已知函数f(x)＝－(a>0，x>0)，(1)判断函数f(x)在(0，＋∞)上的单调性；(2)若f(x)在上的值域是，求a的值．∴f(x)的值域为∪.(2)①若a＝0，g(x)＝－2，对于任意的x1∈[－2,2]，f(x1)∈∪，不一定存在x0∈[－2,2]使得g(x0)＝f(x1)成立．②若a>0，g(x)＝ax－2在[－2,2]上是增函数，g(x)∈[－2a－2,2a－2]，任给x1∈[－2,2]，f(x1)∈∪，若存在x0∈[－2,2]，使得g(x0)＝f(x1)成立，则∪?[－2a－2,2a－2]，∴a≥；③若a<0，g(x)＝ax－2在[－2,2]上是减函数，g(x)∈[2a－2，－2a－2]，∴a≤－.。
高三数学函数的定义域与值域试题答案及解析
高三数学函数的定义域与值域试题答案及解析1.函数的定义域为___________．【答案】.【解析】由已知有,故答案为：(0,1)(1,+).【考点】函数的定义域.2.函数的定义域是（用区间表示）;【答案】【解析】由得，所以定义域为.【考点】函数的定义域.3.函数的定义域为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由1－x≥0且x＞0可得0＜x≤1，选D【考点】函数的定义域4.某同学为研究函数f(x)＝＋(0≤x≤1)的性质，构造了如图所示的两个边长为1的正方形ABCD和BEFC，点P是边BC上的一个动点，设CP＝x，则AP＋PF＝f(x)．请你参考这些信息，推知函数f(x)的极值点是________；函数f(x)的值域是________．【答案】x＝ [，＋1]【解析】显然当点P为线段BC的中点时，A，P，F三点共线，此时AP＝PF，且函数f(x)取得最小值，函数f(x)的图像的对称轴为x＝；当x∈[0，]时，函数f(x)单调递减，且值域为[，＋1]；当x∈[，1]时，函数f(x)单调递增，且值域为[，＋1]，∴函数f(x)的值域为[，＋1]．5.已知函数f(x)对任意实数x，y恒有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，且当x>0时，f(x)<0，又f(1)＝－2.(1)判断f(x)的奇偶性；(2)求证：f(x)是R上的减函数；(3)求f(x)在区间[－3,3]上的值域；(4)若∀x∈R，不等式f(ax2)－2f(x)<f(x)＋4恒成立，求a的取值范围．【答案】（1）奇函数（2）见解析（3）[－6,6]（4）(，＋∞)【解析】解：(1)取x＝y＝0，则f(0＋0)＝2f(0)，∴f(0)＝0.取y＝－x，则f(x－x)＝f(x)＋f(－x)，∴f(－x)＝－f(x)对任意x∈R恒成立，∴f(x)为奇函数．(2)证明：任取x1，x2∈(－∞，＋∞)，且x1<x2，则x2－x1>0，f(x2)＋f(－x1)＝f(x2－x1)<0，∴f(x2)<－f(－x1)，又f(x)为奇函数，∴f(x1)>f(x2)．∴f(x)是R上的减函数．(3)由(2)知f(x)在R上为减函数，∴对任意x∈[－3,3]，恒有f(3)≤f(x)≤f(－3)，∵f(3)＝f(2)＋f(1)＝f(1)＋f(1)＋f(1)＝－2×3＝－6，∴f(－3)＝－f(3)＝6，f(x)在[－3,3]上的值域为[－6,6]．(4)f(x)为奇函数，整理原式得f(ax2)＋f(－2x)<f(x)＋f(－2)，则f(ax2－2x)<f(x－2)，∵f(x)在(－∞，＋∞)上是减函数，∴ax2－2x>x－2，当a＝0时，－2x>x－2在R上不是恒成立，与题意矛盾；当a>0时，ax2－2x－x＋2>0，要使不等式恒成立，则Δ＝9－8a<0，即a>；当a<0时，ax2－3x＋2>0在R上不是恒成立，不合题意．综上所述，a的取值范围为(，＋∞)．6.已知函数的值域为[0，＋∞)，若关于x的不等式f(x)<c的解集为(m，m＋6)，则实数c的值为()A．7B．8C．9D．10【答案】C【解析】由题意知f(x)＝x2＋ax＋b＝∵f(x)的值域为[0，＋∞)，∴，即，∴f(x)＝又∵f(x)<c. ∴，即∴解得，∴c＝9，选C.7.函数的定义域是．【答案】【解析】由题意，．【考点】函数的定义域．8.已知的定义域为，则函数的定义域为 ( )A．B．C．D．【答案】B【解析】因为，的定义域为，所以，由，得，，所以，函数的定义域为，选B.【考点】函数的定义域9.函数f(x)＝x2＋2x－3，x∈[0，2]的值域为________．【答案】[－3，5]【解析】由f(x)＝(x＋1)2－4，知f(x)在[0，2]上单调递增，所以f(x)的值域是[－3，5]．10.函数的定义域为．【答案】【解析】要使函数有意义，则，解得.【考点】函数的定义域.11.函数f(x)＝的定义域为______．【答案】(0，]【解析】由题意所以x∈(0，]12.若函数的定义域为，则实数的取值范围为 .【答案】【解析】据题意，不等式恒成立，所以.又，所以.【考点】不等式选讲.13.下列函数在定义域内为奇函数，且有最小值的是A．B．C．D．【答案】D【解析】，且【考点】函数的奇偶性和值域.14.函数的定义域是．【答案】【解析】函数的定义域就是使函数式有意义的自变量的取值集合，如分母，偶次根式的被开方数，零次幂的底数等等，此外还有基本初等函数本身定义域的要求，如本题中有，解得．【考点】函数的定义域.15.函数的定义域是_________________________【答案】（-1，1）【解析】由题意可得，，解得，故函数的定义域是．【考点】函数的定义域．16.设函数（1）当时，求函数的定义域；（2）若函数的定义域为R，试求的取值范围．【解析】（1）不等式的解集就是函数的定义域，在同一直角坐标系中，分别作出①和②的图像，①的图象落在②的图象上方的部分所对应的的范围就是不等式的解集；（2）等价于在实数范围内恒成立，只需函数的最小值大于等于.试题解析：（1）由题设知：，在同一坐标系中作出函数和的图象，知定义域为.（2）由题设知，当时，恒有，即，又由（1），∴【考点】1、绝对值不等式的解法；2、函数的定义域.17.函数的定义域是，则其值域为（）A．B．C．D．【答案】A．【解析】由于函数在和上都是减函数，当时，；当时，，所以函数的值域为，故选A．【考点】1．函数的值域求法；2．还是的单调性．18.已知函数是奇函数，并且函数的图像经过点（1，3），（1）求实数的值；（2）求函数的值域.【答案】（1）；（2）函数的值域为【解析】（1）由奇函数的定义可知，结合解析式可求，又由函数的图像经过点（1，3），代入解析式可求得得；（2）由（1）知，从而可由分类讨论的思想，分和两种情况对函数的值域进行讨论，利用基本不等式可得函数的值域为.本题注意分类讨论的思想方法的应用，易错点是基本不等式运用时的条件容易忽略.试题解析：（1）函数是奇函数，则（3分）又函数的图像经过点（1，3），∴a=2 （6分）（2）由（1）知（7分）当时，当且仅当即时取等号（10分）当时，当且仅当即时取等号（11分）综上可知函数的值域为（12分）【考点】1.函数解析式的求法；2.函数的值域的求法；3.基本不等式的应用19.函数的值域是______________．【答案】【解析】当时，，所以；当时，.所以函数的值域是.【考点】1.函数的值域及其求法；2.对数函数的值域；3.分段函数的图像与性质20.函数的定义域是，值域是，则符合条件的数组的组数为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】，故函数在上单调递减，在上单调递增，故函数在处取得最小值，即，若，则，矛盾！故，当时，则函数在上单调递减，于是有，事实上，，而，矛盾！当时，由于函数在上单调递增，故有，即方程在至少有两个解，解方程，即，解得，故，，故选B.【考点】1.分段函数；2.函数的值域21.函数的定义域为（）A．B．C．D．【答案】 B【解析】由，得，所以选B.【考点】函数的定义域.22.函数的定义域为（）A．B．C．D．【答案】 B【解析】由，得，所以选B.【考点】函数的定义域.23.下列函数中，值域是的函数是( )A．B．C．D．【答案】C【解析】 A项，因为，所以函数值域为；B，D项值域为，C项，因为，根据指数函数性质可知其值域为，选C.【考点】函数的值域.24.函数的定义域是 ___________.【答案】【解析】依题意得解得函数的定义域为.【考点】函数的定义域.25.函数的定义域为 .【答案】【解析】由，得且.所以定义域为.【考点】定义域的求法、解不等式26.函数的定义域为_______________.【答案】【解析】由题意得，解得，所以所求函数的定义域为.【考点】1.函数的定义域；2.一元二次不等式的解法.27.函数的定义域为( )A．(0，+∞)B．(1，+∞)C．(0，1)D．(0，1)(1，+)【答案】B【解析】根据题意，由于对数真数大于零，偶次根号下为非负数，则可知，故可知答案为(1，+∞)，选B.【考点】函数定义域点评：主要是考查了函数定义域的求解，属于基础题。
高一数学函数的定义域与值域试题答案及解析
高一数学函数的定义域与值域试题答案及解析1.函数的定义域为___________.【答案】.【解析】要使有意义，则，即，即函数的定义域为.【考点】函数的定义域.2.已知定义在上的函数是偶函数，且时，。
（1）当时，求解析式；（2）当，求取值的集合；（3）当，函数的值域为,求满足的条件【答案】（1）（2）当，取值的集合为，当，取值的集合为;（3）【解析】(1)设, 利用偶函数，得到函数解析式；(2)分三种情况进行讨论，结合（1）的解析式，判定函数在定义域内的单调性，函数是偶函数，关于y轴对称的性质，判定端点值的大小，从而求出取值集合；(3)由值域确定,,,所以分或进行求解试题解析：解：（1）函数是偶函数，当时，当时（4）（2）当，，为减函数取值的集合为当，，在区间为减函数，在区间为增函数且，取值的集合为当，，在区间为减函数，在区间为增函数且，取值的集合为综上：当，取值的集合为当，取值的集合为当，取值的集合为（6）（3）当，函数的值域为,由的单调性和对称性知，的最小值为，，当时，当时,（4）【考点】1 求分段函数的解析式；2 已知函数的定义域求值域；3 已知值域求定义域3.函数的定义域为 .【答案】【解析】有已知，得因为为增函数所以.【考点】1.函数定义域.2.对数不等式.4.函数的定义域为（）A．B．C．D．【答案】D．【解析】由函数的解析式可得，Lgx-1≠0, x＞0，即 0＜x＜10或10＜x，故函数定义域为 ,故选D．【考点】函数定义域.5.若函数的定义域为R，则实数可的取值范围是___________.【答案】【解析】由函数的定义域为R在R恒成立，当时，显然成立；当时，得；综上，.【考点】1.函数的定义域；2.二次函数的性质.6.已知定义在上的函数为单调函数，且，则 .【答案】【解析】设，令，则由题意得：，即；再令，则由题意得：，即，，∵函数为上的单调函数，解得：，即.【考点】函数值域，不等式恒成立，等比数列前n项和.7.函数定义域为，则满足不等式的实数m的集合____________【答案】【解析】因为函数定义域为又因为.所以.所以即为.即.所以.故填.本小题的关键点是字母比较多易混淆.【考点】1.函数的定义域.2.不等式的解法.3.待定的数学思想.8.设表示不超过的最大整数，如，若函数，则函数的值域为 .【答案】【解析】因为，所以所以当时，，，，故当时，，，，故当时，，，，故综上可知的值域为.【考点】1.新定义；2.函数的解析式；3.函数的值域.9.函数的值域为 .【答案】【解析】函数,对称轴为,开口向上，则由图像可知函数,即值域为.【考点】二次函数的定义域、对称轴、值域.10.函数的值域是 .【答案】【解析】，令，则，且，当时是增函数，而，所以，即.所以所求函数的值域为.【考点】二次函数的值域.11.如果函数y=b与函数的图象恰好有三个交点，则b= ．【答案】【解析】当x≥1时，函数图象的一个端点为，顶点坐标为，当x＜1时，函数顶点坐标为，∴当或时，两图象恰有三个交点．【考点】二次函数的性质点评：本题考查了分段的两个二次函数的性质，根据绝对值里式子的符号分类，得到两个二次函数是解题的关键．12.若函数的定义域是[0，4]，则函数的定义域是（）A．[ 0， 2]B．(0，2)C．(0，2]D．[0，)【答案】C【解析】根据题意，因为函数的定义域是[0，4]，可知x [0，4]，那么对于g(x)有意义时满足2x [0，4],x ,那么可知得到为(0，2]，故选C.【考点】函数的定义域点评：解决的关键是根据函数定义域的理解来得到函数的定义域，属于基础题。
高中数学必修一 专题三 函数的定义域和值域(含详解)
专题三函数的定义域和值域一．选择题（共12小题）1．函数的定义域是（）A．（﹣1，+∞）B．（﹣1，1）∪（1，+∞） C．[﹣1，+∞）D．[﹣1，1）∪（1，+∞）2．已知函数f（x）=的定义域为（1，2），则函数f（x2）的定义域是（）A．（1，2） B．（1，4） C．R D．（﹣，﹣1）∪（1，）3．已知函数f（x）=的定义域是R，则实数a的取值范围是（）A．a＞B．﹣12＜a≤0 C．﹣12＜a＜0 D．a≤4．集合A={x|0≤x≤4}，B={y|0≤y≤2}，下列不能表示从A到B的函数的是（）A．B．f：x→y=2﹣x C．D．5．下列图形中，不能表示以x为自变量的函数图象的是（）A．B．C．D．6．下列函数与函数y=x相等的是（）A．B．C．D．7．如图所示，可表示函数图象的是（）A．①B．②③④C．①③④D．②8．下列四组函数，表示同一函数的是（）A．，g（x）=xB．C．D．f（x）=|x+1|，g（x）=9．已知函数f（x）=，x∈{1，2，3}．则函数f（x）的值域是（）A．B．（﹣∞，0]C．[1，+∞）D．R10．若函数y=的值域为[0，+∞），则a的取值范围是（）A．（3，+∞）B．[3，+∞）C．（﹣∞，0]∪[3，+∞）D．（﹣∞，0）∪[3，+∞）11．二次函数f（x）=x2﹣4x+1（x∈[3，5]）的值域为（）A．[﹣2，6]B．[﹣3，+∞）C．[﹣3，6]D．[﹣3，﹣2]12．若函数的定义域、值域都是[2，2b]，则（）A．b=2 B．b∈[1，2]C．b∈（1，2）D．b=1或b=2二．填空题（共4小题）13．函数f（x）=的定义域为，值域为．14．函数的定义域是．15．函数y=的定义域为R，则k的取值范围．16．函数的值域为．三．解答题（共6小题）17．求下列函数的定义域：（1）；（2）．18．已知函数f（x）=（1）求f（1）+f（2）+f（3）+f（）+f（）的值；（2）求f（x）的值域．19．已知函数y=的定义域为R，求实数m的取值范围．20．当x＞0时，求函数的值域．21．已知函数，（1）求函数的定义域；（2）求的值．22．求函数f（x）=x2+|x﹣2|，x∈[0，4]的值域．专题三（2）函数的概念参考答案与试题解析一．选择题（共12小题）1．函数的定义域是（）A．（﹣1，+∞）B．（﹣1，1）∪（1，+∞） C．[﹣1，+∞）D．[﹣1，1）∪（1，+∞）【分析】由根式内部的代数式大于等于0，且分式的分母不为0联立不等式组求解．【解答】解：由，解得x≥﹣1且x≠1．∴函数的定义域是[﹣1，1）∪（1，+∞）．故选：D．【点评】本题考查函数的定义域及其求法，是基础的计算题．2．已知函数f（x）=的定义域为（1，2），则函数f（x2）的定义域是（）A．（1，2） B．（1，4） C．R D．（﹣，﹣1）∪（1，）【分析】由已知函数的定义域可得1＜x2＜2，求解不等式组得答案．【解答】解：∵数f（x）=的定义域为（1，2），∴由1＜x2＜2，得﹣＜x＜﹣1或1＜x＜．即函数f（x2）的定义域是（﹣，﹣1）∪（1，）．故选：D．【点评】本题考查函数的定义域及其求法，关键是掌握该类问题的求解方法，是基础题．3．已知函数f（x）=的定义域是R，则实数a的取值范围是（）A．a＞B．﹣12＜a≤0 C．﹣12＜a＜0 D．a≤【分析】由函数f（x）=的定义域是R，表示函数的分母恒不为零，即方程ax2+ax﹣3=0无解，根据一元二次方程根的个数与判断式△的关系，我们易得数a的取值范围．【解答】解：由a=0或可得﹣12＜a≤0，故选：B．【点评】求函数的定义域时要注意：（1）当函数是由解析式给出时，其定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合．（2）当函数是由实际问题给出时，其定义域的确定不仅要考虑解析式有意义，还要有实际意义（如长度、面积必须大于零、人数必须为自然数等）．（3）若一函数解析式是由几个函数经四则运算得到的，则函数定义域应是同时使这几个函数有意义的不等式组的解集．若函数定义域为空集，则函数不存在．（4）对于（4）题要注意：①对在同一对应法则f 下的量“x”“x+a”“x﹣a”所要满足的范围是一样的；②函数g（x）中的自变量是x，所以求g（x）的定义域应求g（x）中的x的范围．4．集合A={x|0≤x≤4}，B={y|0≤y≤2}，下列不能表示从A到B的函数的是（）A．B．f：x→y=2﹣x C．D．【分析】根据函数的定义分别进行判断即可．【解答】解：C的对应法则是f：x→y=x，可得f（4）=∉B，不满足映射的定义，故C的对应法则不能构成映射．故C的对应f中不能构成A到B的映射．故选：C．【点评】本题给出集合A、B，要求我们找出从A到B的映射的个数，着重考查了映射的定义及其判断的知识，属于基础题．5．下列图形中，不能表示以x为自变量的函数图象的是（）A．B．C．D．【分析】利用函数定义，根据x取值的任意性，以及y的唯一性分别进行判断．【解答】解：B中，当x＞0时，y有两个值和x对应，不满足函数y的唯一性，A，C，D满足函数的定义，故选：B．【点评】本题主要考查函数的定义的应用，根据函数的定义和性质是解决本题的关键．6．下列函数与函数y=x相等的是（）A．B．C．D．【分析】已知函数的定义域是R，分别判断四个函数的定义域和对应关系是否和已知函数一致即可．【解答】解：A．函数的定义域为{x|x≥0}，两个函数的定义域不同．B．函数的定义域为R，y=|x|，对应关系不一致．C．函数的定义域为R，两个函数的定义域和对应关系相同，是同一函数．D．函数的定义域为{x|x≠0}，两个函数的定义域不同．故选：C．【点评】本题主要考查判断两个函数是否为同一函数，判断的标准是判断函数的定义域和对应关系是否一致，否则不是同一函数．7．如图所示，可表示函数图象的是（）A．①B．②③④C．①③④D．②【分析】利用函数的定义分别对四个图象进行判断．【解答】解：由函数的定义可知，对定义域内的任何一个变化x，在有唯一的一个变量y与x对应．则由定义可知①③④，满足函数定义．但②不满足，因为②图象中，当x＞0时，一个x对应着两个y，所以不满足函数取值的唯一性．所以不能表示为函数图象的是②．故选：C．【点评】本题主要考查了函数的定义以及函数的应用．要求了解，对于一对一，多对一是函数关系，一对多不是函数关系．8．下列四组函数，表示同一函数的是（）A．，g（x）=xB．C．D．f（x）=|x+1|，g（x）=【分析】根据两个函数的定义域相同，对应关系也相同，判断它们是同一函数．【解答】解：对于A，f（x）==|x|，与g（x）=x的对应关系不同，∴不是同一函数；对于B，f（x）=（x≥2或x≤﹣2），与g（x）==（x≥2）的定义域不同，∴不是同一函数；对于C，f（x）=x（x∈R），与g（x）==x（x≠0）的定义域不同，∴不是同一对于D，f（x）=|x+1|=，与g（x）=的定义域相同，对应关系也相同，是同一函数．故选：D．【点评】本题考查了判断两个函数是否为同一函数的应用问题，是基础题目．9．已知函数f（x）=，x∈{1，2，3}．则函数f（x）的值域是（）A．B．（﹣∞，0]C．[1，+∞）D．R【分析】直接由已知函数解析式求得函数值得答案．【解答】解：f（x）=，x∈{1，2，3}，当x=1时，f（1）=1；当x=2时，f（2）=；当x=3时，f（3）=．∴函数f（x）的值域是．故选：A．【点评】本题考查函数值域的求法，是基础的计算题．10．若函数y=的值域为[0，+∞），则a的取值范围是（）A．（3，+∞）B．[3，+∞）C．（﹣∞，0]∪[3，+∞）D．（﹣∞，0）∪[3，+∞）【分析】由题意：函数y是一个复合函数，值域为[0，+∞），则函数f（x）=ax2+2ax+3的值域要包括0．即最小值要小于等于0．【解答】解：由题意：函数y=是一个复合函数，要使值域为[0，+∞），则函数f（x）=ax2+2ax+3的值域要包括0，即最小值要小于等于0．则有：⇒解得：a≥3所以a的取值范围是[3，+∞）．故选：B．【点评】本题考查了复合函数的值域的求法，通过值域来求参数的问题．属于基11．二次函数f（x）=x2﹣4x+1（x∈[3，5]）的值域为（）A．[﹣2，6]B．[﹣3，+∞）C．[﹣3，6]D．[﹣3，﹣2]【分析】利用二次函数的单调性即可求解值域．【解答】解：函数f（x）=x2﹣4x+1，其对称轴x=2，开口向上，∵x∈[3，5]，∴函数f（x）在[3，5]单调递增，当x=3时，f（x）取得最小值为﹣2．当x=5时，f（x）取得最小值为6∴二次函数f（x）=x2﹣4x+1（x∈[3，5]）的值域为[﹣2，6]．故选：A．【点评】本题考查二次函数的单调性求解最值问题，属于函数函数性质应用题，较容易．12．若函数的定义域、值域都是[2，2b]，则（）A．b=2 B．b∈[1，2]C．b∈（1，2）D．b=1或b=2【分析】根据二次函数的性质建立关系解得b的值．【解答】解：函数其对称轴x=2，∴函数f（x）在定义域[2，2b]是递增函数，且2b＞2，即b＞1．那么：f（2b）=2b即2b=﹣4b+4解得：b=2故选：A．【点评】本题考查了定义域、值域的关系，利用二次函数的性质，属于基础题．二．填空题（共4小题）13．函数f（x）=的定义域为[﹣3，1] ，值域为[0，2] ．【分析】根据函数的定义域和值域的定义进行求解即可．【解答】解：要使函数有意义，则3﹣2x﹣x2≥0，即x2+2x﹣3≤0，解得﹣3≤x≤1，故函数的定义域为[﹣3，1]，设t=3﹣2x﹣x2，则t=3﹣2x﹣x2=﹣（x+1）2+4，则0≤t≤4，即0≤≤2，即函数的值域为[0，2]，故答案为：[﹣3，1]，[0，2]【点评】本题主要考查函数定义域和值域的求解，利用换元法结合一元二次函数的性质是解决本题的关键．14．函数的定义域是[﹣3，1] ．【分析】根据使函数的解析式有意义的原则，结合偶次根式的被开方数必须不小于0，我们可以构造关于自变量x的不等式组，解不等式组，可得答案．【解答】解：要使函数的解析式有意义自变量x须满足解得﹣3≤x≤1即函数的定义域是[﹣3，1]故答案为：[﹣3，1]【点评】本题考查的知识点是函数的定义域及其求法，其中列出满足条件的不等式组，是解答本题的关键．15．函数y=的定义域为R，则k的取值范围[0，2] ．【分析】把函数y=的定义域为R转化为kx2﹣4kx+6≥0对任意x∈R恒成立．然后对k分类求解得答案．【解答】解：要使函数y=的定义域为R，则kx2﹣4kx+6≥0对任意x∈R恒成立．当k=0时，不等式化为6≥0恒成立；当k≠0时，则，解得0＜k≤2．综上，k的取值范围是[0，2]．故答案为：[0，2]．【点评】本题考查函数的定义域及其求法，考查数学转化思想方法，是中档题．16．函数的值域为．【分析】令（t≥0），得x=﹣t2+1，把原函数转化为关于t的一元二次函数求解．【解答】解：令（t≥0），得x=﹣t2+1，∴原函数化为y=．∴数的值域为：．故答案为：．【点评】本题考查函数值域的求法，训练了利用换元法求函数的值域，是中档题．三．解答题（共6小题）17．求下列函数的定义域：（1）；（2）．【分析】（1）由二次根式的意义可知：（2）由二次根式和分式的意义可知：，分别解不等式组可得答案．【解答】解：（1）由二次根式的意义可知：，∴定义域为[﹣8，3]．（2）由二次根式和分式的意义可知：∴定义域为{﹣1}．故答案为：（1）定义域为[﹣8，3]，（2）定义域为{﹣1}．【点评】本题为函数定义域的求解，使式子有意义，化为不等式组是解决问题的关键，属基础题．18．已知函数f（x）=（1）求f（1）+f（2）+f（3）+f（）+f（）的值；（2）求f（x）的值域．【分析】（1）直接根据函数解析式求函数值即可．（2）根据x2的范围可得1+x2的范围，再求其倒数的范围，即为所求．【解答】解：（1）原式=++=．（2）∵1+x2≥1，∴≤1，即f（x）的值域为（0，1]．【点评】本题考查了函数的值与函数的值域的求法，可怜虫推理能力与计算能力，属于中档题．19．已知函数y=的定义域为R，求实数m的取值范围．【分析】根据题意，一元二次不等式x2+6mx+m+8≥0恒成立；△≤0，求解集即可．【解答】解：函数y=的定义域为R，∴x2+6mx+m+8≥0恒成立；∴△=36m2﹣4（m+8）≤0，整理得9m2﹣m﹣8≤0，解得﹣≤m≤1，∴实数m的取值范围是﹣≤m≤1．【点评】本题考查了一元二次不等式恒成立的应用问题，是基础题．20．当x＞0时，求函数的值域．【分析】利用分离常数法，结合基本不等式即可求解值域；【解答】解：∵x＞0，x+1＞0∴函数===2（当且仅当x=时取等号）故得原式函数的值域为[，+∞）．【点评】本题考查了函数值域的求法．高中函数值域求法有：1、观察法，2、配方法，3、反函数法，4、判别式法；5、换元法，6、数形结合法，7、不等式法，8、分离常数法，9、单调性法，10、利用导数求函数的值域，11、最值法，12、构造法，13、比例法．要根据题意选择．21．已知函数，（1）求函数的定义域；（2）求的值．【分析】（1）根据分式及偶次根式成立的条件可得，，解不等式可求函数的定义域（2）直接把x=﹣3，x=代入到函数解析式中可求【解答】解：（1）由题意可得，解不等式可得，{x|x≥﹣3且x≠﹣2}故函数的定义域，{x|x≥﹣3且x≠﹣2}（2）f（﹣3）=﹣1，f（）=【点评】本题主要考查了函数的定义域的求解，函数值的求解，属于基础试题22．求函数f（x）=x2+|x﹣2|，x∈[0，4]的值域．【分析】去掉绝对值，得到两段函数，并对每段函数配方即可求出该段的函数f （x）的范围，对两段上求得的f（x）求并集即可求得f（x）的值域．【解答】解：f（x）=；∴当x∈[0，2]时，当x∈（2，4]时，f（x）∈（4，18]综上，即函数f（x）的值域为．【点评】考查求函绝对值函数的值域的求法，以及配方法求二次函数的值域．。
高中函数定义域、值域经典习题及答案
高中函数定义域、值域经典习题及答案1、求函数的定义域：⑴ $y=\frac{x^2-2x-15}{x+3}-\frac{3}{x-1}$首先要注意分母不能为0，所以$x\neq-3$和$x\neq1$。
又因为分式中有$x-1$的项，所以还要满足$x\neq1$。
所以函数的定义域为$x\in(-\infty,-3)\cup(-3,1)\cup(1,+\infty)$。
⑵ $y=1-\frac{1}{x+1}$分母不能为0，所以$x\neq-1$。
所以函数的定义域为$x\in(-\infty,-1)\cup(-1,+\infty)$。
⑶ $y=\frac{1}{1+\frac{1}{x-1}}+\frac{2x-1}{2-x^2}$分母不能为0，所以$x\neq1$。
分式中有$x-1$的项，所以还要满足$x\neq1$。
分母不能为0，所以$x\neq\pm\sqrt{2}$。
所以函数的定义域为$x\in(-\infty,-\sqrt{2})\cup(-\sqrt{2},1)\cup(1,\sqrt{2})\cup(\sqrt{2},+\infty)$。
2、设函数$f(x)$的定义域为$[0,1]$，则函数$f(x+2)$的定义域为$[2,3]$；函数$f(2x)$的定义域为$[0,\frac{1}{2}]$。
3、若函数$f(x+1)$的定义域为$[-2,3]$，则函数$f(2x-1)$的定义域为$[-\frac{5}{2},2]$；函数$f(-2)$的定义域为$[-3,-1]$。
4、知函数$f(x)$的定义域为$[-1,1]$，且函数$F(x)=f(x+m)-f(x-m)$的定义域存在，求实数$m$的取值范围。
由于$F(x)$的定义域存在，所以$f(x+m)$和$f(x-m)$的定义域都存在，即$x+m\in[-1,1]$，$x-m\in[-1,1]$。
解得$-1-m\leq x\leq1-m$，$m-1\leq x\leq m+1$。
函数定义域、值域经典习题及答案
函数定义域、值域经典习题及答案1、求函数的定义域⑴ $y=\frac{x^2-2x-15}{x+3-3}$，化简得 $y=\frac{x-5}{x-3}$，所以定义域为 $(-\infty,-3)\cup(3,5)\cup(5,\infty)$。
⑵$y=1-\frac{1}{x-1}$，要使分母不为0，所以$x\neq1$，即定义域为 $(-\infty,1)\cup(1,\infty)$。
⑶ $y=\frac{1}{1+x-1}+\frac{2x-1+4-x^2}{2}$，化简得$y=\frac{5-2x-x^2}{2(1+x-1)}=\frac{-x^2-2x+5}{2x}$，要使分母不为0，所以 $x\neq0$，即定义域为 $(-\infty,0)\cup(0,\infty)$。
2、设函数 $f(x)$ 的定义域为 $[-1,1]$，则 $f(x^2)$ 的定义域为 $[0,1]$，$f(x-2)$ 的定义域为 $[-3,-1]$。
若函数 $f(x+1)$ 的定义域为 $[-2,3]$，则 $f(2x-1)$ 的定义域为 $[-\frac{1}{2},2]$，$f(-2)$ 的定义域为 $[-3,-1]$。
3、根据复合函数的定义，要使 $f(x+1)$ 有定义，$x+1$ 必须在定义域 $[-2,3]$ 中，即 $-2\leq x+1\leq 3$，解得$-4\leq x\leq 2$。
同理，要使 $f(2x-1)$ 有定义，$2x-1$ 必须在$[-2,3]$ 中，即 $-\frac{1}{2}\leq 2x-1\leq 3$，解得 $-\frac{1}{2}\leq x\leq 2$。
要使 $f(-2)$ 有定义，$-2$ 必须在 $[-2,3]$ 中，即 $-2\leq -2\leq 3$，显然成立。
根据 $f(x)$ 的定义域为 $[-1,1]$，$f(x+m)$ 和 $f(x-m)$ 的定义域也必须在 $[-1,1]$ 中，即 $-1\leq x+m\leq 1$，$-1\leq x-m\leq 1$，解得 $-m-1\leq x\leq m-1$。
高三数学函数的定义域与值域试题答案及解析
高三数学函数的定义域与值域试题答案及解析1.某同学为研究函数f(x)＝＋(0≤x≤1)的性质，构造了如图所示的两个边长为1的正方形ABCD和BEFC，点P是边BC上的一个动点，设CP＝x，则AP＋PF＝f(x)．请你参考这些信息，推知函数f(x)的极值点是________；函数f(x)的值域是________．【答案】x＝ [，＋1]【解析】显然当点P为线段BC的中点时，A，P，F三点共线，此时AP＝PF，且函数f(x)取得最小值，函数f(x)的图像的对称轴为x＝；当x∈[0，]时，函数f(x)单调递减，且值域为[，＋1]；当x∈[，1]时，函数f(x)单调递增，且值域为[，＋1]，∴函数f(x)的值域为[，＋1]．2.已知函数f(x)＝x2－1，g(x)＝(1)求f[g(2)]和g[f(2)]的值；(2)求f[g(x)]和g[f(x)]的表达式．【答案】（1）0 2（2）f[g(x)]＝g[f(x)]＝【解析】解：(1)由已知，g(2)＝1，f(2)＝3，∴f[g(2)]＝f(1)＝0，g[f(2)]＝g(3)＝2.(2)当x>0时，g(x)＝x－1，故f[g(x)]＝(x－1)2－1＝x2－2x；当x<0时，g(x)＝2－x，故f[g(x)]＝(2－x)2－1＝x2－4x＋3；∴f[g(x)]＝当x>1或x<－1时，f(x)>0，故g[f(x)]＝f(x)－1＝x2－2；当－1<x<1时，f(x)<0，故g[f(x)]＝2－f(x)＝3－x2.∴g[f(x)]＝3. [2013·山东青岛调研]已知函数y＝f(x2－1)的定义域为[－，]，则函数y＝f(x)的定义域是________．【答案】[－1,2]【解析】∵y＝f(x2－1)的定义域为[－，]，∴x∈[－，]，x2－1∈[－1,2]，∴y＝f(x)的定义域为[－1,2]．4.函数的定义域为（）A．[﹣2，0）∪（0，2]B．（﹣1，0）∪（0，2]C．[﹣2，2]D．（﹣1，2]【答案】B【解析】要使函数有意义，必须：，所以x∈（﹣1，0）∪（0，2]．所以函数的定义域为：（﹣1，0）∪（0，2]．故选B．5.函数的单调增区间为（）A．B．（3，+∞）C．D．（﹣∞，2）【答案】D【解析】由题意知，x2﹣5x+6＞0∴函数定义域为（﹣∞，2）∪（3，+∞），排除A、C，根据复合函数的单调性知的单调增区间为（﹣∞，2），故选D6.函数f（x）=x2﹣4x﹣6的定义域为[0，m]，值域为[﹣10，﹣6]，则m的取值范围是（）A．[0，4]B．[2，4]C．[2，6]D．[4，6]【答案】B【解析】函数f（x）=x2﹣4x﹣6的图象是开口朝上，且以直线x=2为对称轴的抛物线故f（0）=f（4）=﹣6，f（2）=﹣10∵函数f（x）=x2﹣4x﹣6的定义域为[0，m]，值域为[﹣10，﹣6]，故2≤m≤4即m的取值范围是[2，4]故选B7.函数的值域是____________．【答案】【解析】函数在区间是增函数，因此当时，．【考点】函数的值域．8.函数的定义域为 .【答案】【解析】由，得.【考点】函数的定义域.9.若函数的定义域是[0，4]，则函数的定义域是（）A．[ 0，2]B．(0，2)C．[0，2)D．(0，2]【答案】D【解析】根据题意，得，即，故选D．【考点】函数的定义域．10.设函数若是的三条边长，则下列结论正确的是_____ _.(写出所有正确结论的序号)①②，使不能构成一个三角形的三条边长；③若【答案】①②③【解析】由题意得.令，则是单调递减函数.对①，..②，令，因为是单调递减函数，所以在上一定存在零点,即,此时不能构成三角形的三边.③，为钝角三角形，则由余弦定理易知,即,又，且连续，所以使.故①②③都正确.【考点】1、函数的单调性；2、三角形.11.函数的定义域是．【答案】【解析】由题意，．【考点】函数的定义域．12.函数的定义域是．【答案】【解析】由题意，．【考点】函数的定义域．13.设函数若,则实数( )A．4B．-2C．4或D．4或-2【答案】C【解析】因为，所以得到或所以解得或.所以或.当可时解得.当时可解得.【考点】1.复合函数的运算.2. 分类讨论的思想.14.已知的定义域为，则函数的定义域为 ( )A．B．C．D．【解析】因为，的定义域为，所以，由，得，，所以，函数的定义域为，选B.【考点】函数的定义域15.已知函数f(x)的定义域为(－1，0)，则函数f(2x＋1)的定义域为________．【答案】【解析】由－1<2x＋1<0，得－1<x<－，所以函数f(2x＋1)的定义域为16.已知函数f(x)＝(－|x|＋3)的定义域是[a，b](a、b∈Z)，值域是[－1，0]，则满足条件的整数对(a，b)有________对．【答案】5【解析】由f(x)＝(－|x|＋3)的值域是[－1，0]，易知t(x)＝|x|的值域是[0，2]，∵定义域是[a，b](a、b∈Z)，∴符合条件的(a，b)有(－2，0)，(－2，1)，(－2，2)，(0，2)，(－1，2)共5个．17.设函数g(x)=x2-2(x∈R),f(x)=则f(x)的值域是()A．∪(1,+∞)B．[0,+∞)C．D．∪(2,+∞)【答案】D【解析】由题意f(x)===所以当x∈(-∞,-1)∪(2,+∞)时,f(x)的值域为(2,+∞);当x∈[-1,2]时,f(x)的值域为,故选D.18.函数的定义域为（）A．B．C．D．【解析】由题意可得，解得，故函数的定义域为，故选C.【考点】函数的定义域19.函数f(x)＝的定义域为________．【答案】(0，10]【解析】由题意得所以0<x≤10.20.函数f(x)的定义域是R，f(0)＝2，对任意x∈R，f(x)＋f′(x)>1，则不等式e x·f(x)>e x＋1的解集为______．【答案】(0，＋∞)【解析】构造函数g(x)＝e x·f(x)－e x，因为g′(x)＝e x·f(x)＋e x·f′(x)－e x＝e x[f(x)＋f′(x)]－e x>e x－e x＝0，所以g(x)＝e x·f(x)－e x为R上的增函数．又因为g(0)＝e0·f(0)－e0＝1，所以原不等式转化为g(x)>g(0)，解得x>0.21.函数y＝的定义域是 ( )．A．[－，－1)∪(1，]B．(－，－1)∪(1，)C．[－2，－1)∪(1,2]D．(－2，－1)∪(1,2)【答案】A【解析】∵⇔⇔⇔⇔－≤x＜－1或1＜x≤.∴y＝的定义域为[－，－1)∪(1，]．22.函数的定义域为．【答案】【解析】由对数的真数为正知，两边取自然对数得，因为，所以，或由指数函数的图象可知，所以函数的定义域为.【考点】指数函数和对数函数的性质.23.函数（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由题意得，即，所以函数的定义域为，所以正确答案为C.【考点】对数函数的定义域24.已知的定义域为 .【答案】【解析】∵，∴，∴，∴，∴的定义域为.【考点】1.函数的定义域；2.对数不等式的解法.25.函数的定义域是_____________．【答案】【解析】函数的定义域是使函数式有意义的自变量的集合，求定义域时要注意基本初等函数的定义域．【考点】函数的定义域．26.函数的定义域为．【答案】【解析】函数的定义域一般是使函数式有意义的自变量的取值范围．本题中，因此，即．【考点】函数的定义域．27.设函数的定义域为,值域为,若的最小值为,则实数a的值为________ ；【答案】或【解析】函数的图像如图.由于值域为[0,1]所以定义域有三种情况.第一种..第二种.第三种.由第一种可得.由的最小值为.可得.由第二种情况可得.再由的最小值为.解得.第三种情况f(x)的最大值要只能是f(m),f(n)中一个.所以解出来的值只能是或.【考点】1.对数函数.2.分段函数的知识.3.定义域与值域的对应关系.28.已知不等式对于，恒成立，则实数的取值范围是____________.【答案】【解析】分离变量(其中），上式在，恒成立，说明不能小于右边的最大值,，故【考点】二次函数的值域，分离变量法，恒成立.29.已知函数，则（）A．函数的定义域为，值域为B．函数的定义域为，值域为C．函数的定义域为，值域为D．函数的定义域为，值域为【答案】C【解析】显然为奇函数且.时，均为增函数，故也为增函数.当无限趋近于0时，无限趋近于，故也无限趋近于；当无限趋近于时，无限趋近于0，故也无限趋近于.所以值域为.选C.【考点】函数的定义域与值域.30.已知函数，则（）A．函数的定义域为，值域为B．函数的定义域为，值域为C．函数的定义域为，值域为D．函数的定义域为，值域为【答案】C【解析】显然为奇函数且.时，均为增函数，故也为增函数.当无限趋近于0时，无限趋近于，故也无限趋近于；当无限趋近于时，无限趋近于0，故也无限趋近于.所以值域为.选C.【考点】函数的定义域与值域.31.设函数，则下列结论错误的是（）A．D（x）的值域为{0,1}B．D（x）是偶函数C．D（x）不是周期函数D．D（x）不是单调函数【答案】C【解析】因为，，所以，函数的值域为{0,1}；因为，是有理数或无理数时，依然为有理数或无理数，所以，函数值不变，即D（x）是偶函数；因为，＝=，所以，为其一个周期，故C错，选C.【考点】函数的性质32.定义区间，，，的长度均为. 用表示不超过的最大整数，记，其中.设，，若用表示不等式解集区间的长度，则当时，有（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由，于是，显然，于是，又，所以，即.【考点】新定义.33.函数的定义域为（）A．B．C．D．【答案】C．【解析】由得．【考点】函数的定义域．34.已知函数的值域为，则的取值范围是．【答案】【解析】函数，令，解得显然当时；当时，所以.【考点】二次函数的值域.35.定义在上的函数是增函数，且，则满足的的取值范围是 .【答案】【解析】.【考点】利用函数单调性解不等式.36.函数的定义域是( )A．（0,2）B．[0,2]C．[0,2)D．(0,2]【答案】D【解析】,故选D．【考点】函数的定义域,解不等式．37.已知函数，(a>0)，若，，使得f(x1)= g(x2)，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由函数，当时，，，即函数的值域为，当时，函数，，若满足题意则，解得．【考点】基本函数的值域．38.函数的定义域是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】为使函数有意义，须，解得，且，即函数的定义域为，选C.【考点】函数的定义域39.对于任意实数，表示不超过的最大整数，如.定义在上的函数，若，则中所有元素的和为（）A．65B．63C．58D．55【答案】C【解析】当时：，当时：，同理可得：时：；时：；时：；时：；时：；时：；时：，所以中所有元素的和为.【考点】1.取整函数；2.函数的值域.40.设函数的图像在处取得极值4.(1)求函数的单调区间；(2)对于函数，若存在两个不等正数，当时，函数的值域是，则把区间叫函数的“正保值区间”.问函数是否存在“正保值区间”，若存在，求出所有的“正保值区间”；若不存在，请说明理由.【答案】（1）递增区间是和，递减区间是；（2）不存在.【解析】（1）求导，利用极值点的坐标列出方程组，解出，确定函数解析式，再求导，求单调区间；（2）先假设存在“正保值区间”，通过已知条件验证是否符合题意，排除不符合题意得情况.试题解析：（1）， 1分依题意则有：，即解得 v 3分∴.令，由解得或，v 5分所以函数的递增区间是和，递减区间是 6分（2）设函数的“正保值区间”是，因为，故极值点不在区间上；①若极值点在区间，此时，在此区间上的最大值是4，不可能等于；故在区间上没有极值点； 8分②若在上单调递增，即或，则，即，解得或不符合要求； 10分③若在上单调减，即1<s<t<3，则，两式相减并除得：，①两式相除可得，即，整理并除以得：，②由①、②可得，即是方程的两根，即存在，不合要求. 12分综上可得不存在满足条件的s、t，即函数不存在“正保值区间”。
高三数学函数的定义域与值域试题答案及解析
高三数学函数的定义域与值域试题答案及解析1.函数的定义域是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由得且，选.【考点】函数的定义域.2.函数的图像为【答案】D【解析】因为=，其图像为D．【考点】对数恒等式，分类整合思想，常见函数图像，分段函数3. f(x)＝，f(x)的定义域是________．【答案】[，＋∞)【解析】由已知得，∴∴x≥，∴f(x)的定义域为[，＋∞)．4. [2013·山东青岛调研]已知函数y＝f(x2－1)的定义域为[－，]，则函数y＝f(x)的定义域是________．【答案】[－1,2]【解析】∵y＝f(x2－1)的定义域为[－，]，∴x∈[－，]，x2－1∈[－1,2]，∴y＝f(x)的定义域为[－1,2]．5.函数的定义域是．【答案】【解析】根据偶次根式下被开方数非负得：，因此函数的定义域是.【考点】函数定义域6.（2011•山东）某企业拟建造如图所示的容器（不计厚度，长度单位：米），其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的体积为立方米，且l≥2r．假设该容器的建造费用仅与其表面积有关．已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为c（c＞3）千元．设该容器的建造费用为y千元．（1）写出y关于r的函数表达式，并求该函数的定义域；（2）求该容器的建造费用最小时的r．【答案】（1）y=2π•，（0，2]（2）【解析】（1）由体积V=，解得l=，∴y=2πrl×3+4πr2×c=6πr×+4cπr2=2π•，又l≥2r，即≥2r，解得0＜r≤2∴其定义域为（0，2]．（2）由（1）得，y′=8π（c﹣2）r﹣，=，0＜r≤2由于c＞3，所以c﹣2＞0当r3﹣=0时，则r=令=m，（m＞0）所以y′=①当0＜m＜2即c＞时，当r=m时，y′=0当r∈（0，m）时，y′＜0当r∈（m，2）时，y′＞0所以r=m是函数y的极小值点，也是最小值点．②当m≥2即3＜c≤时，当r∈（0，2）时，y′＜0，函数单调递减．所以r=2是函数y的最小值点．综上所述，当3＜c≤时，建造费用最小时r=2；当c＞时，建造费用最小时r=7. (2014·荆州模拟)函数y=ln(2-x-x2)+的定义域是()A．(-1,2)B．(-∞,-2)∪(1,+∞)C．(-2,1)D．[-2,1)【答案】C【解析】使函数有意义,则有解得-2<x<1,即定义域为(-2,1).8.函数的定义域为__________。
高一数学函数的定义域与值域试题答案及解析
高一数学函数的定义域与值域试题答案及解析1.已知函数的定义域为，的定义域为，则A．B．C．D．【答案】D【解析】函数的定义域M=,的定义域为N=；则【考点】函数的定义域2.函数的值域是（）A．[0,12]B．[-，12]C．[-，12]D．[，12]【答案】B．【解析】因为函数，所以，当时，；当时，；所以函数的值域为．故应选B．【考点】二次函数的性质．3.已知函数的定义域为，则函数的定义域为（）A．（-,-1）B．（-1,-）C．（-5,-3）D．（-2,-）【答案】B．【解析】因为函数的定义域为，即，所以，所以函数的定义域为，所以，即，所以函数的定义域为．故选B．【考点】函数的定义域及其求法．4.已知函数在时取得最大值4．(1)求的最小正周期；(2)求的解析式；(3)若,求的值域.【答案】(1);(2);(3).【解析】（1）直接利用正弦函数的周期公式，求f（x）的最小正周期；（2）利用函数的最值求出A，通过函数经过的特殊点，求出φ，然后求f（x）的解析式；（3）通过，求出相位的范围，利用正弦函数的值域直接求f（x）的值域．.试题解析：解：（1）,（3）时，的值域为【考点】1.由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；2.三角函数的周期性及其求法．5.函数的定义域是 ( )A．B．C．D．【答案】D【解析】要使函数式有意义，则.【考点】本题考查函数的定义域即使函数式有意义的自变量的取值范围.6. (1)求不等式的解集：．(2)求函数的定义域：．【答案】(1)；(2)．【解析】（1）首先将首项系数化为正数，然后分解因式，进而可求得不等式的解集；（2）首先根据根式要有意义建立不等式，然后通过解分式不等式可求得结果．试题解析：（1）∵，∴，∴，∴或，∴原不等式的解集为．(2)要使函数有意义，须，解得或，∴函数的定义域是．【考点】1．一元二次不等式的解法；2．函数定义域．7.函数的定义域是．【答案】【解析】要是此函数有意义，所以有，所以定义域为【考点】（1）函数定义域的求法，（2）偶次根号下被开方数大于等于0，对数中真数大于08.计算：（2）已知函数，求它的定义域和值域。
高三数学函数的定义域与值域试题答案及解析
高三数学函数的定义域与值域试题答案及解析1.函数的定义域为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由1－x≥0且x＞0可得0＜x≤1，选D【考点】函数的定义域2.函数f(x)＝e x(sinx＋cosx)在区间[0，]上的值域为()【答案】A【解析】f′(x)＝e x(sinx＋cosx)＋e x·(cosx－sinx)＝e x cosx，当0≤x≤时，f′(x)≥0，且只有在x＝时，f′(x)＝0，∴f(x)是[0，]上的增函数，3.已知函数g(x)＝＋1，h(x)＝，x∈(－3，a]，其中a为常数且a>0，令函数f(x)＝g(x)·h(x)．(1)求函数f(x)的表达式，并求其定义域；(2)当a＝时，求函数f(x)的值域．【答案】（1）x∈[0，a]，(a>0)（2）[，]【解析】解：(1)f(x)＝，x∈[0，a]，(a>0)．(2)函数f(x)的定义域为[0，]，令＋1＝t，则x＝(t－1)2，t∈[1，]，f(x)＝F(t)＝＝，∵t＝时，t＝±2∉[1，]，又t∈[1，]时，t＋单调递减，F(t)单调递增，F(t)∈[，]．即函数f(x)的值域为[，]．4. f(x)＝，f(x)的定义域是________．【答案】[，＋∞)【解析】由已知得，∴∴x≥，∴f(x)的定义域为[，＋∞)．5.已知函数f(x)＝ (a是常数且a>0)．对于下列命题：①函数f(x)的最小值是－1；②函数f(x)在R上是单调函数；③若f(x)>0在[，＋∞)上恒成立，则a的取值范围是a>1；④对任意x1<0，x2<0且x1≠x2，恒有f()<.其中正确命题的所有序号是________．【答案】①③④【解析】作出函数f(x)的图象如图所示，显然f(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，所以函数f(x)的最小值为f(0)＝－1，故命题①正确；显然，函数f(x)在R上不是单调函数，②错误；因为f(x)在(0，＋∞)上单调递增，故函数f(x)在[，＋∞)上的最小值为f()＝2a×－1＝a－1，所以若f(x)>0在[，＋∞)上恒成立，则a－1>0，即a>1，故③正确；由图象可知，在(－∞，0)上，对任意x1<0，x2<0且x1≠x2，恒有f()<成立，故④正确．6.若函数f(x)＝x2－2x，g(x)＝ax＋2(a>0)，∀x1∈[－1,2]，∃x∈[－1,2]，使g(x1)＝f(x)，则a的取值范围是()A．(0，]B．[，3]C．[3，＋∞)D．(0,3]【答案】A【解析】由于函数g(x)在定义域[－1,2]内是任意取值的，且必存在x0∈[－1,2]使得g(x1)＝f(x)，因此问题等价于函数g(x)的值域是函数f(x)值域的子集．函数f(x)的值域是[－1,3]，函数g(x)的值域是[2－a,2＋2a]，则有2－a≥－1且2＋2a≤3，即a≤，又a>0，故a的取值范围是(0，]．7.已知函数f(x)＝－ (a>0，x>0)，若f(x)在上的值域为，则a＝__________.【答案】【解析】由反比例函数的性质知函数f(x)＝－ (a>0，x>0)在上单调递增，所以，即解得a＝.8. [2013·湖北荆门期末]函数f(x)＝ln(＋)的定义域为()A．(－∞，－4]∪(2，＋∞)B．(－4,0)∪(0,1)C．[－4,0)∪(0,1]D．[－4,0)∪(0,1)【答案】D【解析】要使函数f(x)有意义，必须且只需解得－4≤x＜0或0＜x＜1.故选D.9. [2013·山东青岛调研]已知函数y＝f(x2－1)的定义域为[－，]，则函数y＝f(x)的定义域是________．【答案】[－1,2]【解析】∵y＝f(x2－1)的定义域为[－，]，∴x∈[－，]，x2－1∈[－1,2]，∴y＝f(x)的定义域为[－1,2]．10.函数的定义域是________．【答案】【解析】得.【考点】函数的定义域.11.函数的定义域为，其图像上任一点都位于椭圆：上，下列判断①函数一定是偶函数；②函数可能既不是偶函数，也不是奇函数；③函数可能是奇函数；④函数如果是偶函数，则值域是；⑤函数值域是，则一定是奇函数.其中正确的命题个数有（）个A．1B．2C．3D．4【答案】C【解析】如图是椭圆的图象，去掉点后，椭圆上每一点都有可能是函数的图象上点，如图象是弧和弧，则不是偶函数；的图象可能取弧，另外在弧上取一段，在弧上取一段，这样既不是奇函数，也不是偶函数；当然也可能是奇函数，也有可能是偶函数；当为偶函数时，值域不一定是，也不一定是；由图象的对称性，及当值域是时，函数一定是奇函数，因此②③⑤正确，选C．【考点】函数的奇偶性的定义．12.函数的定义域为__________。
高一数学函数的定义域与值域试题答案及解析
高一数学函数的定义域与值域试题答案及解析1.的定义域为【答案】【解析】要使函数有意义，则需，解得。
【考点】函数定义域的求法，2.函数的定义域为 .【答案】【解析】本题主要考查函数定义域.由，得：，即：；由，得：，所以.【考点】函数定义域，集合的运算.3.函数的定义域是．【答案】【解析】由定义域的求法知，函数的定义域为，解得.【考点】函数定义域的求法.4.若函数的定义域为R，则实数可的取值范围是___________.【答案】【解析】由函数的定义域为R在R恒成立，当时，显然成立；当时，得；综上，.【考点】1.函数的定义域；2.二次函数的性质.5.已知函数,则的值域为 .【答案】(-2,1).【解析】当x<1时,0<3x<3,故-2<f(x)=1-3x<1,故f(x)的值域为(-2,1).【考点】函数的值域.6.已知函数，那么的定义域是A．B．C．D．【答案】B【解析】由已知得,所以函数,则有,故函数的定义域为.所以正确答案为B.【考点】1.函数解析式;2.函数的定义域.7.若函数的定义域是，则函数的定义域是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】利用复合函数的定义域求法,的值域是的定义域,因为函数的定义域是,所以得所以函数的定义域是故选C【考点】函数的定义域及其求法．8.函数的定义域是【答案】【解析】函数有意义，则，所以函数的定义域为.【考点】函数的定义域，对数真数大于0，偶次根式大于等于0.9.函数的定义域为．【答案】【解析】函数的定义域是使函数式有意义的自变量的取值集合，本题中即.【考点】函数的定义域.10.函数的值域是__________.【答案】【解析】利用函数单调性求值域设则由在上是增函数,所以值域为【考点】复合函数的值域．11.若，则的定义域为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】要使函数有意义，则满足解得.【考点】函数的定义域.12.已知函数，且．（1）求的值，并确定函数的定义域；（2）用定义研究函数在范围内的单调性；（3）当时，求出函数的取值范围．【答案】（1），定义域：；（2）上是减函数，上是增函数；（3）．【解析】（1）直接代入列出关于的方程即可；（2）要正确理解单调性的定义，明确用定义研究（或证明）函数的单调性的格式过程，设，然后比较和的大小，通常是作差（也可），确定差的正负；（3）由（2）中的单调性，可容易求出函数的取值范围．试题解析：（1），定义域：； 3分（2）令，则，6分故当时，；当时，，∴函数在上单调减，在上单调增； 8分（3）由（2）及函数为奇函数知，函数在为增函数，在为减函数，故当时，， 10分，∴当时，的取值范围是． 12【考点】（1）函数值的意义；（2）函数的单调性的定义；（3）函数的值域．13.函数的定义域是．【答案】【解析】要使函数有意义需满足，解得；所以函数的定义域为【考点】1.函数的定义域；2.指数不等式.14.函数的定义域 .【答案】【解析】由，当时，，得，故定义域为.【考点】函数定义域.15.函数的定义域是_ ____．【答案】【解析】要使函数有意义，需满足，定义域为点评：函数定义域是使函数有意义的自变量的范围或题目中指定的自变量的取值范围16.定义在R上的函数的值域是，又对满足前面要求的任意实数都有不等式恒成立，则实数的最大值为A． 2013B． 1C．D．【答案】A【解析】函数的值域是，，设，是增函数，最小值为恒成立，最大值2013【考点】函数求最值及不等式性质点评：本题主要应用的知识点有：二次函数求最值，均值不等式求最值，利用函数单调性求最值，综合性较强，有一定难度17.函数的值域是__________.【答案】【解析】因为在（0，+）是减函数，所以=－2，故函数的值域是。
函数定义域值域经典习题及答案练习题
函数定义域值域经典习题及答案练习题1.求函数的定义域1) 求下列函数的定义域：a) $y=\frac{x^2-2x-15}{x+3-3}$b) $y=1-\frac{1}{x-1}$c) $y=\frac{1}{1+(x-1)}+\frac{(2x-1)+4-x^2}{2}$2) 设函数$f(x)$的定义域为$[0.1]$，则函数$f(x^2)$的定义域为$[0.1]$；函数$f(x-2)$的定义域为$[-2.1]$；函数$f(x+1)$的定义域为$[-2.3]$，则函数$f(2x-1)$的定义域为$[0.5]$；函数$f(-2)$的定义域为$[0.1]$。
3) 已知函数$f(x)=\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}$，则函数$f\left(\frac{1}{x}\right)$的定义域为$x\neq0$。
2.求函数的值域5) 求下列函数的值域：a) $y=x^2+2x-3$，$x\in\mathbb{R}$b) $y=x^2+2x-3$，$x\in[1.2]$c) $y=\frac{3x-1}{x+1}$d) $y=\begin{cases}0.& x<5\\ \frac{1}{x+1}。
& x\geq 5\end{cases}$e) $y=\frac{5x^2+9x+4}{x^2-1}$f) $y=x-3+x+1$g) $y=x^2-x$h) $y=-x^2+4x+5$i) $y=4-\frac{x^2+4x+5}{x^2-1}$6) 已知函数$f(x)=\frac{2x^2+ax+b}{x^2+1}$的值域为$[1.3]$，求$a$和$b$的值。
3.求函数的解析式1) 已知函数$f(x-1)=x^2-4x$，求函数$f(x)$和$f(2x+1)$的解析式。
2) 已知$f(x)$是二次函数，且$f(x+1)+f(x-1)=2x^2-4x$，求$f(x)$的解析式。
高三数学函数的定义域与值域试题答案及解析
高三数学函数的定义域与值域试题答案及解析1.函数的定义域为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由题意得：解得或，所以选C.【考点】函数定义域2.（5分）（2011•广东）函数f（x）=+lg（1+x）的定义域是（）A．（﹣∞，﹣1）B．（1，+∞）C．（﹣1，1）∪（1，+∞）D．（﹣∞，+∞）【答案】C【解析】根据题意，结合分式与对数函数的定义域，可得，解可得答案．解：根据题意，使f（x）=+lg（1+x）有意义，应满足，解可得（﹣1，1）∪（1，+∞）；故选C．点评：本题考查函数的定义域，首先牢记常见的基本函数的定义域，如果涉及多个基本函数，取它们的交集即可．3.定义函数(为定义域)图像上的点到坐标原点的距离为函数的的模.若模存在最大值，则称之为函数的长距；若模存在最小值，则称之为函数的短距.(1)分别判断函数与是否存在长距与短距，若存在，请求出;(2)求证：指数函数的短距小于1;(3)对于任意是否存在实数，使得函数的短距不小于2，若存在，请求出的取值范围；不存在，则说明理由？【答案】（1）短距为，长距不存在，短距为，长距为5；（2）证明见解析；（3）.【解析】本题属于新定义概念，问题的实质是求函数图象上的点到原点的距离的最大值和最小值（如有的话）,正面讨论时我们把距离表示为的函数.（1）对，（当且仅当时等号成立），因此存在短距为，不存在长距，对，，，即有最大值也有最小值，因此短距和长距都有；（2）对函数，，由于，因此短距不大于1，令，则有，故当时，存在使得，当时，存在使得，即证；（3）记，按题意条件，则有不等式对恒成立，这类不等式恒成立求参数取值范围问题，我们可采取分离参数法，转化为求函数的最值，按分别讨论，由此可求得的范围.（1）设（当且仅当取得等号）+2分短距为，长距不存在。
+4分（2）设 +6分+8分短距为，长距为5。
+9分（3）设函数的短距不小于2即对于始终成立：+10分当时：对于始终成立 +12分当时：取即可知显然不成立 +13分当时：对于始终成立 +15分综上 +16分【考点】新定义概念，函数的最大值与最小值，不等式恒成立问题.4.下列函数中，与函数的值域相同的函数为（）A．.B．.C．.D．.【答案】B【解析】函数的值域为R，而，只有，所以选B.【考点】函数值域5.某幼儿园准备建一个转盘，转盘的外围是一个周长为k米的圆．在这个圆上安装座位，且每个座位和圆心处的支点都有一根直的钢管相连经预算，转盘上的每个座位与支点相连的钢管的费用为3k元/根，且当两相邻的座位之间的圆弧长为x米时，相邻两座位之间的钢管和其中一个座位的总费用为k元．假设座位等距分布，且至少有两个座位，所有座位都视为点，且不考虑其他因素，记转盘的总造价为y元．(1)试写出y关于x的函数关系式，并写出定义域；(2)当k＝50米时，试确定座位的个数，使得总造价最低？【答案】（1）y＝＋，定义域（2）32个【解析】(1)设转盘上总共有n个座位，则x＝即n＝，y＝＋，定义域.(2)y＝f(x)＝k2，y′＝k2，令y′＝0得x＝.当x∈时，f′(x)＜0，即f(x)在x∈上单调递减，当x∈时，f′(x)＞0，即f(x)在x∈上单调递增，y的最小值在x＝时取到，此时座位个数为＝32个．6.设函数g(x)＝x2－2(x∈R)，f(x)＝则f(x)的值域是（）A．∪(1，＋∞)B．[0，＋∞)C．D．∪(2，＋∞)【答案】D【解析】令x<g(x)，即x2－x－2>0，解得x<－1或x>2.令x≥g(x)，即x2－x－2≤0，解得－1≤x≤2.故函数f(x)＝当x＜－1或x＞2时，函数f(x)＞f(－1)＝2；当－1≤x≤2时，函数≤f(x)≤f(－1)，即≤f(x)≤0.故函数f(x)的值域是∪(2，＋∞)．选D.7.已知函数是奇函数，则函数的定义域为【答案】【解析】本题定义域不确定，不要用奇函数的必要条件来求参数，而就根据奇函数的定义有，即，化简得恒成立，所以，则.由，解得.【考点】奇函数的定义与函数的定义域.8.已知函数f(x)＝x3(a>0且a≠1)．(1)求函数f(x)的定义域；(2)讨论函数f(x)的奇偶性；(3)求a的取值范围，使f(x)>0在定义域上恒成立．【答案】（1）{x|x∈R，且x≠0}（2）偶函数（3）a>1.【解析】(1)由于a x－1≠0，则a x≠1，所以x≠0，所以函数f(x)的定义域为{x|x∈R，且x≠0}．(2)对于定义域内任意的x，有f(－x)＝(－x)3＝－x3＝－x3＝x3＝f(x)所以f(x)是偶函数．(3)①当a>1时，对x>0，所以a x>1，即a x－1>0，所以＋>0.又x>0时，x3>0，所以x3>0，即当x>0时，f(x)>0.由(2)知，f(x)是偶函数，即f(－x)＝f(x)，则当x<0时，－x>0，有f(－x)＝f(x)>0成立．综上可知，当a>1时，f(x)>0在定义域上恒成立．②当0<a<1时，f(x)＝，当x>0时，0<a x<1，此时f(x)<0，不满足题意；当x<0时，－x>0，有f(－x)＝f(x)<0，也不满足题意．综上可知，所求a的取值范围是a>19.若函数y＝f(x)的定义域是[0，2]，求函数g(x)＝的定义域．【答案】[0，1)【解析】由得0≤x<1，即定义域是[0，1)．10.设函数g(x)＝x2－2(x∈R)，f(x)＝则f(x)的值域是________．【答案】∪(2，＋∞)【解析】由题意f(x)＝＝下面分段求值域，再取并集．11.设函数的定义域为,值域为,则=（）A．B．C．D．【答案】D【解析】的定义域是，值域是,所以.【考点】函数的定义域与值域.12.函数f(x)＝＋的定义域为()．A．(－3,0]B．(－3,1]C．(－∞，－3)∪(－3,0]D．(－∞，－3)∪(－3,1]【答案】A【解析】由题意，解得－3＜x≤0.13.函数f(x)＝e x sin x在区间上的值域为 ()．【答案】A＝【解析】f′(x)＝e x(sin x＋cos x)．∵x∈，f′(x)＞0.∴f(x)在上是单调增函数，∴f(x)minf(0)＝0，f(x)＝f＝.max14.函数y＝的定义域是 ( )．A．[－，－1)∪(1，]B．(－，－1)∪(1，)C．[－2，－1)∪(1,2]D．(－2，－1)∪(1,2)【答案】A【解析】∵⇔⇔⇔⇔－≤x＜－1或1＜x≤.∴y＝的定义域为[－，－1)∪(1，]．15.下列函数在定义域内为奇函数，且有最小值的是A．B．C．D．【答案】D【解析】，且【考点】函数的奇偶性和值域.16.函数的定义域为．【答案】【解析】由对数的真数为正知，两边取自然对数得，因为，所以，或由指数函数的图象可知，所以函数的定义域为.【考点】指数函数和对数函数的性质.17.函数（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由题意得，即，所以函数的定义域为，所以正确答案为C.【考点】对数函数的定义域18.函数的定义域是_____________．【答案】【解析】函数的定义域是使函数式有意义的自变量的集合，求定义域时要注意基本初等函数的定义域．【考点】函数的定义域．19.函数的单调递减区间是( )A．B．C．D．【答案】C【解析】由题意可知函数的定义域为..又有函数在上递增，所以函数在区间上是递减的.故选C.本小题主要是考查复合函数的单调性同增异减.另外要关注定义域的范围.这也是本题的关键.【考点】1.函数的定义域.2.复合函数的单调性.20.函数的定义域是（）A．B．C．D．【答案】D．【解析】由，得原函数的定义域为.【考点】函数的定义域.21.已知函数，定义域为，则函数的定义域为_______.【答案】【解析】由题意，解得，故的定义域为.【考点】1.抽象函数的定义域.22.函数的定义域为 .【答案】（0，]【解析】由且得：.【考点】函数定义域的求法23.某同学为研究函数(0≤x≤1)的性质，构造了两个边长为1的正方形ABCD和BEFC，点P是边BC上的一个动点，设CP＝x，则AP＋PF＝f(x)．请你参考这些信息，推知函数f(x)的极值点是________；函数f(x)的值域是 __ __．【答案】；【解析】由图易知当点P从C点移动到B点的过程中时，AP＋PF＝f(x)先减小后增大，根据两点间直线最短的原理，当AP与PF在一条直线上时，即点P位于BC中点时，f(x)最小.所以易知时，；时，.所以是函数f(x)的极值点.且为极小值点.易知；又，所以.所以函数f(x)的值域是.【考点】函数的极值、函数的值域24.下列函数中，既是奇函数又在定义域上单调递增的是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】函数在定义域上是增函数，不是奇函数；函数在定义域上是减函数；函数，在定义域上既是奇函数又是增函数；函数在定义域上不具有单调性. 故选C.【考点】函数的定义域，函数，，，的奇偶性、单调性.25.函数y＝的定义域是( )A．B．C．D．【答案】D．【解析】由得，故选D．【考点】函数的定义域．26.函数的定义域为（）A．B．C．D．【答案】 B【解析】由，得，所以选B.【考点】函数的定义域.27.已知函数，则________.【答案】【解析】，．【考点】分段函数求值，考查学生的基本运算能力．28.已知函数，且．（1）求实数的值；（2）解不等式．【答案】(1) ;(2)【解析】(1)首先判断出的范围，带入相应的函数解析式即可求出值；（2）根据（1）问中的值先分段求出的范围后再求并集即可.试题解析：（1）∵，∴，由得，解得 .(2) 由得：当时解得；当时解得，故的解集为 .【考点】1.分段函数；2.解不等式组.29.已知函数的值域为，则的取值范围是．【答案】【解析】函数，令，解得显然当时；当时，所以.【考点】二次函数的值域.30.符号表示不超过的最大整数,例如,,定义函数,给出下列四个命题：(1)函数的定义域为,值域为;(2)方程有无数个解;(3)函数是周期函数;(4)函数是增函数.其中正确命题的个数有（）A．1B．2C．3D．4【答案】B【解析】函数的定义域是,值域是,所以①错；②，③正确；当时，；当时，，所以不是增函数，所以④错.【考点】1.考查信息题的分析问题解决问题的能力；2.函数的定义域、值域、单调性、周期性.31.对于任意实数，表示不超过的最大整数，如.定义在上的函数，若，则中所有元素的和为（）A．65B．63C．58D．55【答案】C【解析】当时：，当时：，同理可得：时：；时：；时：；时：；时：；时：；时：，所以中所有元素的和为.【考点】1.取整函数；2.函数的值域.32.设函数的图像在处取得极值4.(1)求函数的单调区间；(2)对于函数，若存在两个不等正数，当时，函数的值域是，则把区间叫函数的“正保值区间”.问函数是否存在“正保值区间”，若存在，求出所有的“正保值区间”；若不存在，请说明理由.【答案】（1）递增区间是和，递减区间是；（2）不存在.【解析】（1）求导，利用极值点的坐标列出方程组，解出，确定函数解析式，再求导，求单调区间；（2）先假设存在“正保值区间”，通过已知条件验证是否符合题意，排除不符合题意得情况.试题解析：（1）， 1分依题意则有：，即解得 v 3分∴.令，由解得或，v 5分所以函数的递增区间是和，递减区间是 6分（2）设函数的“正保值区间”是，因为，故极值点不在区间上；①若极值点在区间，此时，在此区间上的最大值是4，不可能等于；故在区间上没有极值点； 8分②若在上单调递增，即或，则，即，解得或不符合要求； 10分③若在上单调减，即1<s<t<3，则，两式相减并除得：，①两式相除可得，即，整理并除以得：，②由①、②可得，即是方程的两根，即存在，不合要求. 12分综上可得不存在满足条件的s、t，即函数不存在“正保值区间”。
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复合函数定义域和值域练习题
一、 求函数的定义域 1、求下列函数的定义域：
⑴33
y x =
+-
（2
）01(21)111
y x x =
+-+
-
2、设函数f x ()的定义域为[]01，，则函数f x ()2的定义域为_ _ _；函数f x ()-2的定义域为________；
3、若函数(1)f x +的定义域为[]-23，，则函数(21)f x -的定义域是 ；函数1
(2)f x
+的定义域为 。
4、
已知函数f x ()的定义域为 [1,1]-，且函数()()()F x f x m f x m =+--的定义域存
在，求实数m 的取值范围。
二、求函数的值域 5、求下列函数的值域： ⑴223y x x =+- ()x R ∈ ⑵223y x x =+- [1,2]x ∈
⑶31
1x y x -=
+ ⑷311
x y x -=+ (5)x ≥
⑸
y =
三、求函数的解析式 1、 已知函数2(1)4f x x x -=-，求函数()f x ，(21)f x +的解析式。
2、
已知()f x 是二次函数，且2(1)(1)24f x f x x x ++-=-，求()f x 的解析式。
3、已知函数()f x 满足2()()34f x f x x +-=+，则()f x = 。
4、设()f x 是R 上的奇函数，且当[0,)x ∈+∞时， ()(1f x x =+，则当(,0)x ∈-∞时
()f x =____ _
()f x 在R 上的解析式为
5、设()f x 与()g x 的定义域是{|,1}x x R x ∈≠±且，()f x 是偶函数，()g x 是奇函数，且
1
()()1
f x
g x x +=
-，求()f x 与()g x 的解析表达式 四、求函数的单调区间 6、求下列函数的单调区间： ⑴ 223y x x =++
⑵y = ⑶ 261y x x =--
7、函数()f x 在[0,)+∞上是单调递减函数，则2(1)f x -的单调递增区间是
8、函数236
x
y x -=
+的递减区间是 ；函数y =的递减
区间是 五、综合题
9、判断下列各组中的两个函数是同一函数的为 （ ） ⑴3
)
5)(3(1+-+=
x x x y ， 52-=x y ； ⑵111-+=x x y ， )1)(1(2-+=x x y ；
⑶
x x f =)(， 2)(x x g = ； ⑷x x f =)(， ()g x ； ⑸
2
1)52()(-=x x f ，
52)(2-=x x f 。
A 、⑴、⑵
B 、 ⑵、⑶
C 、 ⑷
D 、 ⑶、⑸ 10、若函数()f x = 3
44
2++-mx mx x 的定义域为R ,则实数m 的取值范围是 （ ）
A 、(－∞,+∞)
B 、(0,43]
C 、(43,+∞)
D 、[0, 4
3
)
11、若函数()f x =的定义域为R ，则实数m 的取值范围是（ ） (A)04m << (B) 04m ≤≤ (C) 4m ≥ (D) 04m <≤
13
、函数()f x = ）
A 、[2,2]-
B 、(2,2)-
C 、(,2)(2,)-∞-+∞
D 、{2,2}- 14、函数1()(0)f x x x x
=+≠是（ ）
A 、奇函数，且在(0，1)上是增函数
B 、奇函数，且在(0，1)上是减函数
C 、偶函数，且在(0，1)上是增函数
D 、偶函数，且在(0，1)上是减函数
15、函数22(1)()(12)2(2)x x f x x x x x +≤-⎧⎪
=-<<⎨⎪≥⎩
，若()3f x =，则x =
17、已知函数2
1
mx n
y x +=+的最大值为4，最小值为 —1 ，则m = ，n = 18、把函数1
1
y x =
+的图象沿x 轴向左平移一个单位后，得到图象C ，则C 关于原点对称的图象的解析式为
19、求函数12)(2--=ax x x f 在区间[ 0 , 2 ]上的最值
20、若函数2()22,[,1]f x x x x t t =-+∈+当时的最小值为()g t ，求函数()g t 当∈t [-3,-2]时的最值。
复合函数定义域和值域练习题
答 案
一、 函数定义域：
1、（1）{|536}x x x x ≥≤-≠-或或 （2）{|0}x x ≥ （3）1{|220,,1}2
x x x x x -≤≤≠≠≠且 2、[1,1]-； [4,9] 3、5
[0,];2
11(,][,)3
2
-∞-+∞ 4、
11m -≤≤
二、 函数值域：
5、（1）{|4}y y ≥- （2）[0,5]y ∈ （3）{|3}y y ≠ （4）7
[,3)3
y ∈ （5）[3,2)y ∈- （6）1{|5}2
y y y ≠≠且 （7）{|4}y y ≥ （8）y R ∈ （9）[0,3]y ∈ （10）[1,4]y ∈ （11）1{|}2
y y ≤ 6、2,2a b =±= 三、 函数解析式：
1、2()23f x x x =-- ； 2(21)44f x x +=-
2、2()21f x x x =--
3、4()3
3
f x x =+
4、()(1
f x x =
- ；(10)()(10)
x x f x x x ⎧+≥⎪=⎨<⎪⎩ 5、21()1f x x =- 2
()1x g x x =- 四、 单调区间：
6、（1）增区间：[1,)-+∞ 减区间：(,1]-∞- （2）增区间：[1,1]- 减区间：[1,3] （3）增区间：[3,0],[3,)-+∞ 减区间：[0,3],(,3]-∞-
7、[0,1]
8、(,2),(2,)-∞--+∞ (2,2]-
五、 综合题： C D B B D B
14、(,1]a a -+ 16、4m =± 3n = 17、1
2
y x =
- 18、解：对称轴为x a = （1）0a ≤时，min ()(0)1f x f ==- ， max ()(2)34f x f a ==-
（2）01a <≤时，2min ()()1f x f a a ==-- ，max ()(2)34f x f a ==- （3）12a <≤时，2min ()()1f x f a a ==-- ，max ()(0)1f x f ==- （4）2a >时 ，min ()(2)34f x f a ==- ，max ()(0)1f x f ==-
19、解：221(0)()1(01)22(1)t t g t t t t t ⎧+≤⎪
=<<⎨⎪-+≥⎩
(,0]t ∈-∞时，2()1g t t =+为减函数 ∴
在[3,2]--上，2()1g t t =+也为减函数
∴
min ()(2)5g t g =-=， max ()(3)10g t g =-=。