2013届高考一轮复习(理数,浙江)-第26讲 平面向量的数量积
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高考数学一轮复习讲义平面向量数量积

变式训练 1
(1)若向量 a 的方向是正南方向,向量 b 的方向是正东方向,且|a|
=|b|=1,则(-3a)·(a+b)=______.
(1)如图所示,由已知,作O→A=a, O→B=b,O→A、O→B的方向分别是正南、正东方 向,且|a|=|b|=1,则O→C=-3a 的方向是正北 方向,|O→C|=|-3a|=3|a|=3,O→D=O→A+O→B= a+b 的方向是东南方向,|a+b|= 2(四边形 OADB 是正方形), 且O→C与O→D的夹角是∠COD=135°,所以(-3a)·(a+b)=3× 2 ×cos 135°=3 2×- 22=-3.
探究提高
方法一的难点是如何利用条件建立|c|的表达式,突破这一难点的 方法就是结合条件利用向量的数量积将|c|用|a+b|cos θ= 2cos θ 来表示即可.方法二的难点是如何建立 c 坐标的关系式,要突 破这一难点就要先设向量 a=(1,0),b=(0,1),c=(x,y),再由 条件建立 c 的坐标的关系式x-122+y-122=12即可.方法三的 难点是对向量几何意义的挖掘,突破这一难点,要由条件得出向 量 c 是向量 a,b,a-c,b-c 构成的圆内接四边形的对角线.
答案 (1)-3 (2) 3
向量的夹角与向量的模
例 2 已知|a|=4,|b|=3,(2a-3b)·(2a+b)=61, (1)求 a 与 b 的夹角 θ; (2)求|a+b|; (3)若A→B=a,B→C=b,求△ABC 的面积.
运用数量积的定义和|a|= a·a. 解 (1)∵(2a-3b)·(2a+b)=61, ∴4|a|2-4a·b-3|b|2=61. 又|a|=4,|b|=3,∴64-4a·b-27=61,∴a·b=-6. ∴cos θ=|aa|·|bb|=4-×63=-12.
高三一轮复习课件平面向量的数量积15页PPT

|a|2=x21+y21,|a|=√x21+y21,a⊥b <=>x1x2+y1y2=0
(2) coθs
x1x2y1y2 x12y12 x22y22
(3)设a起点(x1,y1),终点(x2,y2)则
ax1-x22y1-y22
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课前热身
1.若向量a、b的坐标满足a+b=(-2,-1),a-b=(4,-3),则
3. 如 图 , P 是 正 方 形 ABCD 的 对 角 线 BD 上 一 点 , PECF是矩形,用向量法证明:
(1)PA=EF;(2)PA⊥EF.
【解题回顾】本题中,通过建
立恰当的坐标系,赋予几何图
形有关点与向量具体的坐标,将有关几何问题转化
为相应的代数运算和向量运算,从而使问题得到解 决.应深刻领悟到其中的形数结合思想.此外,题中 坐标系建立的恰当与否很重要,它关系到运算的繁
的面积
1 SΔ2
ab2ab2
(2)若CA=(a1,a2 ),CB=(b1,b2 ),求证:△ABC
的面积
SΔ
1 2a1b2a2b1
【解题回顾】(1)是用数量积给出的三角形面积公式, (2)则是用向量坐标给出的三角形面积公式.
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误解分析
1.数量积作为向量的一种特殊运算,其运算律中
结 合 律 及 消 去 律 不 成 立 , 即 a·(b·c)≠(a·b)·c , a·b = a·c不能推出b=c,除非是零向量.
2.a⊥b的充要条件不能与a∥b的充要条件混淆, 夹角的范围是[0,π],不能记错.求模时不要忘了开 方,以上是造成不全对的主要原因.
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36、自己的鞋子,自己知道紧在哪里。——西班牙
1高考数学一轮复习浙江专用课件:5 平面向量的数量积及其应用讲解部分

(3)(a+b)·c=a·c+b·c.
4.平面向量的数量积的坐标表示 (1)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a·b=x1x2+y1y2. (2)若a=(x,y),则a·a=a2=|a|2=x2+y2,|a|= x2 y2 . (3)若A(x1,y1),B(x2,y2),则| AB|= (x2 -x1)2 (y2 -y1)2 ,这就是平面内两点间的距离 公式. (4)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a⊥b⇔x1x2+y1y2=0. 5.向量中的重要不等式 若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则-|a||b|≤a·b≤|a||b|⇔- x12 y12 · x22 y22 ≤x1x2+y1y2≤
高考数学 浙江专用
5.2 平面向量的数量积及其应用
考点清单
考点一 平面向量的数量积
考向基础 1.向量的数量积的定义 (1)向量a与b的夹角 已知两个非零向量a和b,过O点作OOAA=a, OB=b,则∠AOB=θ(0°≤θ≤180°)叫 做向量a与b的夹角. 当θ=90°时,a与b垂直,记作a⊥b;当θ=0°时,a与b同向;当θ=180°时,a与b反向. (2)a与b的数量积 已知两个非零向量a和b,它们的夹角为θ,则把|a|·|b|·cos θ叫做a和b的数量积 (或内积),记作a·b=|a|·|b|·cos θ.
(3)规定:0·a=0. (4)a·b的几何意义 a.一个向量在另一个向量方向上的投影 设θ是非零向量a与b的夹角,则|a|cos θ叫做a在b的方向上的投影,|b|cos θ叫 做b在a的方向上的投影.b在a的方向上的投影是一个实数,而不是向量.当0 °≤θ<90°时,它是正值;当90°<θ≤180°时,它是负值;当θ=90°时,它是0. b.a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘积. 2.向量的数量积的性质 设a、b都是非零向量,e是与b方向相同的单位向量,θ是a与e的夹角,则 (1)e·a=a·e=|a|·cos θ. (2)a⊥b⇔a·b=0.
4.平面向量的数量积的坐标表示 (1)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a·b=x1x2+y1y2. (2)若a=(x,y),则a·a=a2=|a|2=x2+y2,|a|= x2 y2 . (3)若A(x1,y1),B(x2,y2),则| AB|= (x2 -x1)2 (y2 -y1)2 ,这就是平面内两点间的距离 公式. (4)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a⊥b⇔x1x2+y1y2=0. 5.向量中的重要不等式 若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则-|a||b|≤a·b≤|a||b|⇔- x12 y12 · x22 y22 ≤x1x2+y1y2≤
高考数学 浙江专用
5.2 平面向量的数量积及其应用
考点清单
考点一 平面向量的数量积
考向基础 1.向量的数量积的定义 (1)向量a与b的夹角 已知两个非零向量a和b,过O点作OOAA=a, OB=b,则∠AOB=θ(0°≤θ≤180°)叫 做向量a与b的夹角. 当θ=90°时,a与b垂直,记作a⊥b;当θ=0°时,a与b同向;当θ=180°时,a与b反向. (2)a与b的数量积 已知两个非零向量a和b,它们的夹角为θ,则把|a|·|b|·cos θ叫做a和b的数量积 (或内积),记作a·b=|a|·|b|·cos θ.
(3)规定:0·a=0. (4)a·b的几何意义 a.一个向量在另一个向量方向上的投影 设θ是非零向量a与b的夹角,则|a|cos θ叫做a在b的方向上的投影,|b|cos θ叫 做b在a的方向上的投影.b在a的方向上的投影是一个实数,而不是向量.当0 °≤θ<90°时,它是正值;当90°<θ≤180°时,它是负值;当θ=90°时,它是0. b.a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘积. 2.向量的数量积的性质 设a、b都是非零向量,e是与b方向相同的单位向量,θ是a与e的夹角,则 (1)e·a=a·e=|a|·cos θ. (2)a⊥b⇔a·b=0.
高三数学一轮复习基础巩固课件:第26讲 平面向量的数量积

向
cos〈a,b〉=-13.
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第26讲 平面向量的数量积
[归纳总结] (1)利用向量夹角公式时,不一定非得
算出|a|,|b|和a·b的值,只要能得出它们的关系即可.
点 面
(2)求角时,注意向量夹角的取值范围是[0,π].若
讲 题目给出向量的坐标表示,可直接套用公式cos〈a,b〉
考
向
= x21x+1x2y+12 yx122y+2 y22求解.
考 向
a·b |b| .
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第26讲 平面向量的数量积
变式题 (1)[2013·广东惠州一调] 已知平面向量a,b
的夹角为π6 ,且a·b=3,|a|=3,则|b|等于(
)
点
面
A. 3
B.2 3
讲
考 向
C.2 3 3
D.2
(2)在△ABC中,M是BC的中点,AM=3,BC=10,
则A→B·A→C=________.
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第26讲 平面向量的数量积
双
向
固 基
2.[教材改编] 若向量 a,b,满足|a|= 2,|b|=2,(a-
础 b)⊥a,则向量 a 与 b 的夹角等于________ .
[答案] 45° [解析] 由(a-b)⊥a,有(a-b)·a=0,即 a2-a·b=2 -|a||b|cosθ =2-2 2cosθ =0, 即 cosθ = 22,所以向量 a 与 b 的夹角等于 45°.
(2)a=(4,3),2a=(8,6),又 2a+b=(3,18),所以
b=(-5,12).
cos〈a,b〉=a|a·||bb|=-52×0+1336=1665.
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第26讲 平面向量的数量积
高三数学一轮复习平面向量的数量积及应用教案

命题走向
本讲以选择题、填空题考察本章的基本概念和性质,重点考察平面向量的数量积的概念及应用。重点体会向量为代数几何的结合体,此类题难度不大,分值5~9分。
平面向量的综合问题是“新热点”题型,其形式为与直线、圆锥曲线、三角函数等联系,解决角度、垂直、共线等问题,以解答题为主。
预测2017年高考:
(1)一道选择题和填空题,重点考察平行、垂直关系的判定或夹角、长度问题;属于中档题目。
法二: · = ·( + )
= ·( + + )
=2 · + ·
=2| |·| |·cos ,
=2×| |·| |·
=2×| |2=2×32=18.
(1)C (2) 18
由题悟法
平面向量数量积问题的类型及求法
(1)已知向量a,b的模及夹角θ,利用公式a·b=|a||b|·cosθ求解;
(2)已知向量a,b的坐标,利用数量积的坐标形式求解.
以题试法
2.(1)设向量a=(x-1,1),b=(-x+1,3),则a⊥(a-b)的一个充分不必要条件是( )
A.x=0或2 B.x=2
C.x=1 D.x=±2
(2)已知向量a=(1,0),b=(0,1),c=a+λb(λ∈R),向量d如图所示,则( )
A.存在λ>0,使得向量c与向量d垂直
B.存在λ>0,使得向量c与向量d夹角为60°
2.向量的应用
(1)向量在几何中的应用;
(2)向量在物理中的应用。
二.典例分析
(1)若向量a=(1, 1),b=(2,5),c=(3,x)满足条件(8a-b)·c=30,则x=( )
A.6B.5
C.4D.3
(2) (2012·湖南高考)如图,在平行四边形ABCD中,AP⊥BD,垂足为P,且AP=3,则 · =________.
本讲以选择题、填空题考察本章的基本概念和性质,重点考察平面向量的数量积的概念及应用。重点体会向量为代数几何的结合体,此类题难度不大,分值5~9分。
平面向量的综合问题是“新热点”题型,其形式为与直线、圆锥曲线、三角函数等联系,解决角度、垂直、共线等问题,以解答题为主。
预测2017年高考:
(1)一道选择题和填空题,重点考察平行、垂直关系的判定或夹角、长度问题;属于中档题目。
法二: · = ·( + )
= ·( + + )
=2 · + ·
=2| |·| |·cos ,
=2×| |·| |·
=2×| |2=2×32=18.
(1)C (2) 18
由题悟法
平面向量数量积问题的类型及求法
(1)已知向量a,b的模及夹角θ,利用公式a·b=|a||b|·cosθ求解;
(2)已知向量a,b的坐标,利用数量积的坐标形式求解.
以题试法
2.(1)设向量a=(x-1,1),b=(-x+1,3),则a⊥(a-b)的一个充分不必要条件是( )
A.x=0或2 B.x=2
C.x=1 D.x=±2
(2)已知向量a=(1,0),b=(0,1),c=a+λb(λ∈R),向量d如图所示,则( )
A.存在λ>0,使得向量c与向量d垂直
B.存在λ>0,使得向量c与向量d夹角为60°
2.向量的应用
(1)向量在几何中的应用;
(2)向量在物理中的应用。
二.典例分析
(1)若向量a=(1, 1),b=(2,5),c=(3,x)满足条件(8a-b)·c=30,则x=( )
A.6B.5
C.4D.3
(2) (2012·湖南高考)如图,在平行四边形ABCD中,AP⊥BD,垂足为P,且AP=3,则 · =________.
《平面向量的数量积 》课件

数量积的性质
对称性
了解数量积的对称性质,即两个向量的数量积与 顺序无关。
同向向量和垂直向量的数量积
学习同向向量和垂直向量的数量积的特点和计算 方法。
分配律
掌握数量积的分配律,即对两个向量进行数量积 后再进行加法等价于对两个向量分别进行数量积 再进行加法。
零向量的数量积
了解零向量在数量积中的特殊性质。
《平面向量的数量积 》 PPT课件
这个PPT课件将帮助你了解平面向量的数量积及其重要性。你将学习到平面 向量的基础知识、数量积的定义和性质,并了解它在向量夹角计算、向量投 影和向量垂直判定中的应用。
简介
平面向量的定义和表示
了解平面向量的定义和表示方法,以及如何在平面 上进行向量表示。
向量的模长和方向角
学习如何计算向量的模长和方向角,并应用于问题 求解。
数量积的定义
1 两个向量的数量积公式
掌握两个向量的数量积的公式,以及如何进行计算。
2 两个向量数量积的几何意义
了解两个向量数量积的几何意义,以及它在平面向量中的应用。
3 两个向量数量积的计算方法
学习使用点乘法进行向量数量积的计算,掌握计算的步骤和技巧。
数量积的应用
1
向量夹角的计算
学习如何通过数量积计算两个向量的夹角,并将其应用于几何问题的解决。
2
向量投影的计算
掌握如何利用数量积计算一个向量在另一个向量上的投影,并理解投影的几何意 义。
3
向量垂直的判定
了解如何通过数量积判断两个向量是否垂直,并应用于物理和几何问题的分析。
总结
数量积的基本概念
概述平面向量的数量积的基 本概念和定义。
数量积的性质
总结数量积的各种性质,包 括对称性、分配律等。
高考数学一轮复习课件浙江专版-第26讲 平面向量的数量积

【点评】关于几何图形上点,要把握点所满足的条件,并 将条件转化为向量式,结合向量运算与模运算的转化公式 |a|2=a2 来解.
二 平面向量夹角的问题
【例 2】(1)已知|a|=4,|b|=3,(2a-3b)·(2a+b) =61,求 a 与 b 的夹角 θ;
(2)若 a=(-1,2),b=(3,x),且 a,b 的夹角 θ 为 钝角,求 x 的取值范围.
三 平面向量数量积的综合应用
【例 3】已知向量 a,b 是两个非零向量,夹角为 α, 当 a+tb(t∈R)的模取最小值,
(1)求 t 的值; (2)求证:b 与 a+tb 垂直.
【解析】(1)因为|a+tb|2=(a+tb)2 =t2b2+2ta·b+a2. 当 t=-ab·2b=-||ab||·cosα 时,|a+tb|有最小值. (2)由(1)可知,t=-ab·2b, 所以 b(a+tb)=a·b+tb2=a·b-ab·2b·b2=0. 所以 b 与 a+tb 垂直.
已知两点 M(-1,0),N(1,0),且点 P 使M→P·M→N,P→M·P→N, N→M·N→P成公差小于零的等差数列.
(1)点 P 的轨迹是什么曲线? (2)若点 P 的坐标为(x0,y0),记 θ 为P→M与P→N的夹角, 求 tanθ.
【解析】(1)设 P(x,y),由 M(-1,0),N(1,0),得 P→M=-M→P=(-1-x,-y), P→N=-N→P=(1-x,-y),M→N=-N→M=(2,0). 所以M→P·M→N=2(1+x),P→M·P→N=x2+y2-1,N→M·N→P= 2(1-x). 于是,M→P·M→N,P→M·P→N,N→M·N→P是公差小于零的等差 数列,
【点评】(1)本题中数量积运算,从形式上看,实数中的乘法分 配律依然成立,但在展开式中应注意带上点乘符号,同时要熟 练运用公式 cosθ=|aa|·|bb|;(2)当夹角为钝角时,要注意 a 与 b 不 共线.
2013届高考数学一轮复习课件(理)浙江专版-第26讲平面向量的数量积

(2)平面向量的数量积将角度和长度有机地联系在一起, 因此,涉及角度与距离有关的问题,可优先考虑用向量的数 量积进行处理.
1.本讲是平面向量这一单元的重要内容,要准确 理解两个向量的数量积的定义及几何意义,熟练掌握 向量数量积的五个重要性质及三个运算规律.向量的 数量积的运算不同于实数乘法的运算律,数量积不满 足结合律(a b) c a (b c)、消去律(a b a c b c;a b 0 a 0或b 0),但满足交换律和分配律.
(3)对(2)的结论,讨论函数 k=f(t)的单调性.
【解析】(1)证明:因为 a·b= 3×12-1× 23=0,
所以 a⊥b. (2)因为 c=a+(t2-3)b,d=-ka+tb,且 c⊥d,
所以 c·d=[a+(t2-3)b]·(-ka+tb) =-ka2+t(t2-3)b2+[t-k(t2-3)]a·b=0. 又 a2=|a|2=4,b2=|b|2=1,a·b=0, 所以 c·d=-4k+t3-3t=0, 所以 k=f(t)=t3-4 3t(t≠0).
【点评】关于几何图形上点,要把握点所满足的条件,并 将条件转化为向量式,结合向量运算与模运算的转化公式 |a|2=a2 来解.
二 平面向量夹角的问题
【例 2】(1)已知|a|=4,|b|=3,(2a-3b)·(2a+b) =61,求 a 与 b 的夹角 θ;
(2)若 a=(-1,2),b=(3,x),且 a,b 的夹角 θ 为 钝角,求 x 的取值范围.
2.公式a b a b cos;a b x1x2 y1 y2;
a 2 a2 x2 y2的关系非常密切,必须能够灵活综 合运用.
48
3.通过向量的数量积,可以计算向量的长度, 平面内两点间的距离,两个向量的夹角,判断相 应的两直线是否垂直.
1.本讲是平面向量这一单元的重要内容,要准确 理解两个向量的数量积的定义及几何意义,熟练掌握 向量数量积的五个重要性质及三个运算规律.向量的 数量积的运算不同于实数乘法的运算律,数量积不满 足结合律(a b) c a (b c)、消去律(a b a c b c;a b 0 a 0或b 0),但满足交换律和分配律.
(3)对(2)的结论,讨论函数 k=f(t)的单调性.
【解析】(1)证明:因为 a·b= 3×12-1× 23=0,
所以 a⊥b. (2)因为 c=a+(t2-3)b,d=-ka+tb,且 c⊥d,
所以 c·d=[a+(t2-3)b]·(-ka+tb) =-ka2+t(t2-3)b2+[t-k(t2-3)]a·b=0. 又 a2=|a|2=4,b2=|b|2=1,a·b=0, 所以 c·d=-4k+t3-3t=0, 所以 k=f(t)=t3-4 3t(t≠0).
【点评】关于几何图形上点,要把握点所满足的条件,并 将条件转化为向量式,结合向量运算与模运算的转化公式 |a|2=a2 来解.
二 平面向量夹角的问题
【例 2】(1)已知|a|=4,|b|=3,(2a-3b)·(2a+b) =61,求 a 与 b 的夹角 θ;
(2)若 a=(-1,2),b=(3,x),且 a,b 的夹角 θ 为 钝角,求 x 的取值范围.
2.公式a b a b cos;a b x1x2 y1 y2;
a 2 a2 x2 y2的关系非常密切,必须能够灵活综 合运用.
48
3.通过向量的数量积,可以计算向量的长度, 平面内两点间的距离,两个向量的夹角,判断相 应的两直线是否垂直.
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→ (2)当OX=(4,2),即 y=2 时, → → 有XA=(-3,5),XB=(1,-1), → → 所以|XA|= 34,|XB|= 2, → XB → XA· 4 17 所以 cos∠AXB= =- 17 . → |· | → |XA |XB
【点评】(1)中最值问题不少都转化为函数最值问题解决,因 此解题关键在于寻找变量,以构造函数.而(2)中即为数量积 定义的应用.
备选例题Βιβλιοθήκη → MN PM PN → → 已知两点 M(-1,0), N(1,0), 且点 P 使MP· ,→ · , → NP → NM· 成公差小于零的等差数列. (1)点 P 的轨迹是什么曲线? → → (2)若点 P 的坐标为(x0,y0),记 θ 为PM与PN的夹角, 求 tanθ.
【解析】(1)设 P(x,y),由 M(-1,0),N(1,0),得 → → PM=-MP=(-1-x,-y), → → → → PN=-NP=(1-x,-y),MN=-NM=(2,0). → MN → → PN → → NP → 所以MP· =2(1+x),PM· =x2+y2-1,NM· = 2(1-x). → MN → PN → NP → → → 于是,MP· ,PM· ,NM· 是公差小于零的等差 数列,
数量积的性质:
6
a ________ ________( 1 e a ⑦ ×e ⑧ |a| e是与a同方
向的单位向量); ________ ; 2 a 2 ⑨ ________ 3 a b 0 ⑩⊥b ; a ab ________________ ; 4 cos ⑪ | a | | b | ________ a | b | . 5 | a b | ⑫
a
2
x1 x2 y1 y2 若a ( x1,y1 ),b ( x2,y2 ),则a b ⑬_____________.
3.定理
a b 向量a在b上的投影为⑭ ________ . |b|
2.向量数量积的坐标运算
x1 x2 y1 y2 __ 两个向量a、b垂直的充分必要条件是⑮ __________ 0 .
→ 【解析】(1)设OX=(x,y). → → 因为点 X 在直线 OP 上,所以向量OX与OP共线. → 又OP=(2,1),所以 x-2y=0,即 x=2y. → → → → → 所以OX=(2y,y).又XA=OA-OX,OA=(1,7), → 所以XA=(1-2y,7-y).
→ → → 同样XB=OB-OX=(5-2y,1-y). → XB → 于是XA· =(1-2y)(5-2y)+(7-y)(1-y) =5y2-20y+12 =5(y-2)2-8. → XB → → 所以当 y=2 时,XA· 有最小值-8,此时OX=(4,2).
【解析】(1)由(2a-3b)(2a+b)=61, 得 4|a|2-4a· b-3|b|2=61. 因为|a|=4,|b|=3,代入上式,求得 a· b=-6, -6 1 a· b 所以 cosθ= = =-2. |a||b| 4×3 因为 0° ≤θ≤180° ,所以 θ=120° .
(2)因为 a,b 的夹角 θ 为钝角, 所以 a· b<0,且 a 与 b 不共线,
素材2
→ → → 平面内有向量OA=(1,7),OB=(5,1),OP=(2,1),点 X 为 直线 OP 上的一个动点. → XB → → (1)当XA· 取最小值时,求OX的坐标; (2)当点 X 满足(1)的条件和结论时,求 cos∠AXB 的值.
→ → 【分析】 因为点 X 在直线 OP 上,向量OX与OP共线,可以 → → XB → 得到关于OX坐标的一个关系式,再根据XA· 的最小值,求 → → → 得OX的坐标,而 cos∠AXB 是XA与XB夹角的余弦,利用数量 积的知识易解决.
2 1 x +y2-1= [21+x+21-x] 2 等价于 21-x-21+x<0
x2+y2=3 即 x>0
,
.
所以,点 P 的轨迹是以原点为圆心, 3为半径的右半 圆(不包括与 y 轴的交点).
→ PN 0 0 → (2)点 P 的坐标为(x0,y0),PM· =x2+y2-1=2, → |PN |PM|·→ |= 1+x02+y2· 1-x02+y2 0 0 = 4+2x04-2x0=2 4-x2. 0 → PN → PM· 1 所以 cosθ= = 2. → |PN 4-x0 |PM|·→ |
素材1
已知点 O 是△ABC 所在平面上的一点,CA=CB,设 a → → → =OA,b=OB,c=OC,若|a|=4,|b|=2,求 c· (a-b).
→ → → → 【解析】因为|CA|=|CB|,所以CA2=CB2, → → → → 所以(OA-OC)2=(OB-OC)2, → → OC → → → → → OC → 即OA2-2OA· +OC2=OB2+OC2-2OB· , 16-2a· c=4-2b· c,所以 c· (a-b)=6.
【解析】a· b=4×2×cos120° =-4, 所以|a+b|= a+b2 = a2+b2+2a· b = 16+4+2×-4 =2 3. (a-2b)(a+b)=a2-a· b-2b2=16+4-2×4=12.
一
平面向量数量积的运算
【例 1】已知 a=(cosα,sinα),b=(cosβ,sinβ),a 与 b 的 夹角为 60° ,求: (1)(a+2b)(2a-b); (2)|a-b|.
已知两个非零向量a和b,它们的夹角为,我们
0 规定:零向量与任一向量的数量积为③ ______ .
向量的数量积满足的运算律:
a b b a 1 ④ ____________________ ; ( a) (a ) a b) b b ( 2 ⑤ ____________________ ; a b c ac bc 3 ⑥ ____________________ .
【点评】关于几何图形上点,要把握点所满足的条件,并 将条件转化为向量式,结合向量运算与模运算的转化公式 |a|2=a2 来解.
二
平面向量夹角的问题
【例 2】(1)已知|a|=4,|b|=3,(2a-3b)· (2a+b)
=61,求 a 与 b 的夹角 θ; (2)若 a=(-1,2),b=(3,x),且 a,b 的夹角 θ 为 钝角,求 x 的取值范围.
1 3 1 2 (3)由(2)知,f(t)=4(t -3t),f ′(t)=4(3t -3), 令 f ′(t)>0 得 t>1 或 t<-1, 令 f ′(t)<0 得-1<t<1,且 t≠0. 所以函数 k=f(t)的单调递增区间为(1,+∞)和(-∞, -1),单调递减区间为(-1,0)和(0,1).
→ · =0,得-1+1y=0, → 【解析】由AB AC 2 所以 y=2.
3.在平面直角坐标系中,O 是原点,已知 A(-3,-1), → 在OC方向上的投影是 -22 . B(4,1), C(4, -3), 则向量BA → 5
→ 【解析】BA=(-3,-1)-(4,1)=(-7,-2), → OC 4×-7+-3×-2 → BA· 22 → 在OC上投影为 → BA = =- 5 . 5 → |OC|
-3+2x<0 3 即 ,解得 x<2,且 x≠-6. -x-6≠0
3 故 x 的取值范围为(-∞,-6)∪(-6,2).
【点评】(1)本题中数量积运算,从形式上看,实数中的乘法分 配律依然成立,但在展开式中应注意带上点乘符号,同时要熟 a· b 练运用公式 cosθ= ;(2)当夹角为钝角时,要注意 a 与 b 不 |a||b| 共线.
理解平面向量数量积的含义及其物理意义,了解 平面向量的数量积与向量投影的关系,掌握数量积的 坐标表达式,会进行平面向量数量积的运算,能运用 数量积表示两个向量的夹角,会用数量积判断两个平 面向量是否具有垂直关系.
4
1.向量的数量积
a b cos 把数量① ____________ 叫做a与b的数量积(或内积), a b a | b | cos 记作② _______________________ .
1 3 【解析】(1)证明:因为 a· b= 3×2-1× 2 =0, 所以 a⊥b. (2)因为 c=a+(t2-3)b,d=-ka+tb,且 c⊥d, 所以 c· d=[a+(t2-3)b]· (-ka+tb) =-ka2+t(t2-3)b2+[t-k(t2-3)]a· b=0. 又 a2=|a|2=4,b2=|b|2=1,a· b=0, 所以 c· d=-4k+t3-3t=0, t3-3t 所以 k=f(t)= 4 (t≠0).
2
所以 b 与 a+tb 垂直.
【点评】本题为向量与二次函数的综合题,解题时要注意向量 的数量积为数,充分利用二次函数的对称轴求解.
素材3
1 3 已知平面向量 a=( 3,-1),b=(2, 2 ). (1)证明:a⊥b; (2)若存在不同时为零的实数 k 和 t,使 c=a+(t2-3)b,d =-ka+tb,且 c⊥d,试求函数关系式 k=f(t); (3)对(2)的结论,讨论函数 k=f(t)的单调性.
1 π 因为 0<x0≤ 3,所以2<cosθ≤1,0≤θ<3, sinθ= 1-cos θ=
2
1 1- , 4-x2 0 1 1- 4-x2 0 = 3-x2=|y0|. 0 1 4-x2 0
sinθ 所以 tanθ=cosθ=
【点评】(1)本题是关于平面向量的一道综合创新题,它考查 了平面向量的基本概念及其运算,是一个向量与平面解析几 何、三角函数及不等式的综合题,是在知识网络的交汇点处 设计的一个优秀试题,但解决这一问题的基本知识却是向量 中最基本也是最重要的知识. (2)平面向量的数量积将角度和长度有机地联系在一起, 因此,涉及角度与距离有关的问题,可优先考虑用向量的数 量积进行处理.