07第七讲 数学与证明
新高考数学大一轮复习专题一函数与导数第7讲导数与不等式的证明
第7讲 导数的综合应用[考情分析] 1.导数逐渐成为解决问题必不可少的工具,利用导数研究函数的单调性与极值(最值)是高考的常见题型,而导数与函数、不等式、方程、数列等的交汇命题是高考的热点和难点.2.多以解答题压轴形式出现,难度较大．母题突破1 导数与不等式的证明母题 (2017·全国Ⅲ)已知函数f (x )＝ln x ＋ax 2＋(2a ＋1)x . (1)讨论f (x )的单调性； (2)当a <0时,证明f (x )≤－34a－2. 2思路分析 ❶f x ≤－34a －2↓ ❷f xmax≤－34a－2↓ ❸f xmax＋34a＋2≤0 ↓ ❹构造函数证明(1)解 f (x )的定义域为(0,＋∞),f ′(x )＝1x＋2ax ＋2a ＋1＝x ＋12ax ＋1x.若a ≥0,则当x ∈(0,＋∞)时,f ′(x )>0, 故f (x )在(0,＋∞)上单调递增． 若a <0,则当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，－12a 时,f ′(x )>0； 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－12a ，＋∞时,f ′(x )<0.故f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－12a 上单调递增,在⎝ ⎛⎭⎪⎫－12a ，＋∞上单调递减．(2)证明 由(1)知,当a <0时,f (x )在x ＝－12a 处取得最大值,最大值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12a ＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12a－1－14a,所以f (x )≤－34a －2等价于ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12a －1－14a ≤－34a －2, 即ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12a ＋12a＋1≤0.设g (x )＝ln x －x ＋1,则g ′(x )＝1x－1.当x ∈(0,1)时,g ′(x )>0； 当x ∈(1,＋∞)时,g ′(x )<0.所以g (x )在(0,1)上单调递增,在(1,＋∞)上单调递减． 故当x ＝1时,g (x )取得最大值,最大值为g (1)＝0. 所以当x >0时,g (x )≤0.从而当a <0时,ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12a ＋12a＋1≤0,即f (x )≤－34a－2.[子题1] 设函数f (x )＝ln x －x ＋1.证明：当x ∈(1,＋∞)时,1<x －1ln x<x . 证明 f ′(x )＝1x －1＝1－xx,x >0,当x >1时,f ′(x )<0,f (x )单调递减, 当0<x <1时,f ′(x )>0,f (x )单调递增, ∴f (x )＝ln x －x ＋1≤f (1)＝0,∴ln x ≤x －1, ∴当x >1时,ln x <x －1,① 且ln 1x <1x－1,②由①得,1<x －1ln x ,由②得,－ln x <1－xx, ∴ln x >x －1x ,∴x >x －1ln x, 综上所述,当x >1时,1<x －1ln x<x . [子题2] 已知函数f (x )＝e x－x 2.求证：当x >0时,e x＋2－e x －1x≥ln x ＋1.证明 设g (x )＝f (x )－(e －2)x －1＝e x －x 2－(e －2)x －1(x >0), 则g ′(x )＝e x－2x －(e －2), 设m (x )＝e x－2x －(e －2)(x >0),则m ′(x )＝e x－2,易得g ′(x )在(0,ln2)上单调递减,在(ln2,＋∞)上单调递增, 又g ′(0)＝3－e>0,g ′(1)＝0, 由0<ln2<1,则g ′(ln2)<0,所以存在x 0∈(0,ln2),使得g ′(x 0)＝0, 所以当x ∈(0,x 0)∪(1,＋∞)时,g ′(x )>0； 当x ∈(x 0,1)时,g ′(x )<0.故g (x )在(0,x 0)上单调递增,在(x 0,1)上单调递减,在(1,＋∞)上单调递增, 又g (0)＝g (1)＝0,所以g (x )＝e x－x 2－(e －2)x －1≥0, 故当x >0时,e x＋2－e x －1x≥x .又由母题可得ln x ≤x －1,即x ≥ln x ＋1, 故e x＋2－e x －1x≥ln x ＋1.规律方法 利用导数证明不等式f (x )>g (x )的基本方法(1)若f (x )与g (x )的最值易求出,可直接转化为证明f (x )min >g (x )max .(2)若f (x )与g (x )的最值不易求出,可构造函数h (x )＝f (x )－g (x ),然后根据函数h (x )的单调性或最值,证明h (x )>0.(3)通过题目中已有的或常用的不等式进行证明． (4)利用赋值法证明与正整数有关的不等式. 跟踪演练1．(2018·全国Ⅰ)已知函数f (x )＝a e x－ln x －1. (1)设x ＝2是f (x )的极值点,求a ,并求f (x )的单调区间； (2)证明：当a ≥1e时,f (x )≥0.(1)解 f (x )的定义域为(0,＋∞),f ′(x )＝a e x－1x.由题设知,f ′(2)＝0,所以a ＝12e2.从而f (x )＝12e 2e x －ln x －1,f ′(x )＝12e 2e x －1x .当0<x <2时,f ′(x )<0；当x >2时,f ′(x )>0.所以f (x )的单调递增区间为(2,＋∞),单调递减区间为(0,2)． (2)证明 当a ≥1e 时,f (x )≥exe－ln x －1.方法一 设g (x )＝exe －ln x －1(x ∈(0,＋∞)),则g ′(x )＝e xe －1x.当0<x <1时,g ′(x )<0；当x >1时,g ′(x )>0. 所以x ＝1是g (x )的最小值点． 故当x >0时,g (x )≥g (1)＝0. 因此,当a ≥1e 时,f (x )≥0.方法二 易证e x ≥x ＋1,① ln x ≤x －1,②∴f (x )≥e xe －ln x －1＝e x －1－ln x －1≥x －ln x －1≥0,即证f (x )≥0.2．(2020·株州模拟)已知f (x )＝ln x ＋2e x.(1)若函数g (x )＝xf (x ),讨论g (x )的单调性与极值； (2)证明：f (x )>1ex .(1)解 由题意,得g (x )＝x ·f (x )＝x ln x ＋2e (x >0),则g ′(x )＝ln x ＋1.当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 时,g ′(x )<0,所以g (x )单调递减；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞时,g ′(x )>0,所以g (x )单调递增,所以g (x )的单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e ,单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞,g (x )的极小值为g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e＝1e,无极大值．(2)证明 要证ln x ＋2e x >1e x (x >0)成立,只需证x ln x ＋2e >xex (x >0)成立,令h (x )＝x e x ,则h ′(x )＝1－xex ,当x ∈(0,1)时,h ′(x )>0,h (x )单调递增,当x ∈(1,＋∞)时,h ′(x )<0,h (x )单调递减, 所以h (x )的极大值为h (1),即h (x )≤h (1)＝1e,由(1)知,x ∈(0,＋∞)时,g (x )≥g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝1e,且g (x )的最小值点与h (x )的最大值点不同,所以x ln x ＋2e >x e x ,即ln x ＋2e x >1e x ,所以f (x )>1e x .专题强化练1．(2020·沈阳模拟)已知函数f (x )＝x 2－(a －2)x －a ln x ,a >0. (1)求函数y ＝f (x )的单调区间；(2)当a ＝1时,证明：对任意的x >0,f (x )＋e x >x 2＋x ＋2.(1)解 f (x )＝x 2－(a －2)x －a ln x ,a >0,定义域为(0,＋∞),f ′(x )＝2x －(a －2)－ax＝2x －ax ＋1x,令f ′(x )>0,得x >a2；令f ′(x )<0,得0<x <a2.∴函数y ＝f (x )的单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a 2,单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫a2，＋∞.(2)证明 方法一 ∵a ＝1,∴f (x )＝x 2＋x －ln x (x >0), 即证e x－ln x －2>0恒成立, 令g (x )＝e x－ln x －2,x ∈(0,＋∞), 即证g (x )min >0恒成立,g ′(x )＝e x －1x ,g ′(x )为增函数,g ′⎝ ⎛⎭⎪⎫12<0,g ′(1)>0,∴∃x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1,使g ′(x 0)＝0成立,即0e x－1x 0＝0,则当0<x <x 0时,g ′(x )<0,当x >x 0时,g ′(x )>0,∴y ＝g (x )在(0,x 0)上单调递减,在(x 0,＋∞)上单调递增, ∴g (x )min ＝g (x 0)＝0e x－ln x 0－2, 又∵0e x －1x 0＝0,即0e x＝1x 0,∴g (x 0)＝0e x －ln x 0－2＝0e x＋ln 1x 0－2＝1x 0＋x 0－2,又∵x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1,∴x 0＋1x 0>2, ∴g (x 0)>0,即对任意的x >0,f (x )＋e x>x 2＋x ＋2. 方法二 令φ(x )＝e x－x －1,∴φ′(x )＝e x－1,∴φ(x )在(－∞,0)上单调递减,在(0,＋∞)上单调递增, ∴φ(x )min ＝φ(0)＝0, ∴e x≥x ＋1,①令h (x )＝ln x －x ＋1(x >0), ∴h ′(x )＝1x －1＝1－xx,∴h (x )在(0,1)上单调递增,在(1,＋∞)上单调递减, ∴h (x )max ＝h (1)＝0,∴ln x ≤x －1,∴x ＋1≥ln x ＋2,② 要证f (x )＋e x >x 2＋x ＋2, 即证e x>ln x ＋2,由①②知e x≥x ＋1≥ln x ＋2,且两等号不能同时成立, ∴e x>ln x ＋2,即证原不等式成立．2．(2020·全国Ⅱ)已知函数f (x )＝sin 2x sin2x . (1)讨论f (x )在区间(0,π)的单调性； (2)证明：|f (x )|≤338；(3)设n ∈N *,证明：sin 2x sin 22x sin 24x …sin 22n x ≤3n4n .(1)解 f ′(x )＝2sin x cos x sin2x ＋2sin 2x cos2x ＝2sin x sin3x .当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π3∪⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，π时,f ′(x )>0； 当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫π3，2π3时,f ′(x )<0.所以f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π3,⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，π上单调递增,在区间⎝⎛⎭⎪⎫π3，2π3上单调递减．(2)证明 因为f (0)＝f (π)＝0,由(1)知,f (x )在区间[0,π]上的最大值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝338,最小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＝－338. 而f (x )是周期为π的周期函数,故|f (x )|≤338.(3)证明 由于()322222sin sin 2sin 4sin 2…nx x x x＝|sin 3x sin 32x …sin 32nx | ＝|sin x ||sin 2x sin 32x …sin 32n －1x sin2n x ||sin 22n x |＝|sin x ||f (x )f (2x )…f (2n －1x )||sin 22n x |≤|f (x )f (2x )…f (2n －1x )|,所以sin 2x sin 22x sin 24x …sin 22nx ≤238n⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭＝3n4n .。
九年级数学 圆 第七讲 证明圆的切线三种必会的方法
例 3．如图所示，菱形 ABCD 的顶点 A、B 在 x 轴
上，点 A 在点 B 的左侧，点 D 在 y 轴的正半轴上，
∠BAD=60°，点 A 的坐标为(－2，0)．
（1）求 C 点的坐标；
（2）求直线 AC 的函数关系式；
（3）动点 P 从点 A 出发，以每秒 1 个单位长度的
题，注意分类讨论要讨论完全．
例 3．如图所示，菱形 ABCD 的顶点 A、B 在 x 轴
上，点 A 在点 B 的左侧，点 D 在 y 轴的正半轴上，
∠BAD=60°，点 A 的坐标为(－2，0)．
（1）求 C 点的坐标；
（2）求直线 AC 的函数关系式；
（3）动点 P 从点 A 出发，以每秒 1 个单位长度的
证明圆的切线三种必会的方法
课标引路
知识梳理
直线和圆的位置关系
相离 相切 相交
代数法： 判断直线和圆的交点 个数
几何法：d与r的关系；
根据切线的判定定理 进行判断
辅助线
待证切点在圆上 图中无待证的切点
“连半径，证垂直” “作垂直，证半径”
C D
A
B
O
【分析】因直线CD与⊙O有公共点D，故应采 用“连半径，证垂直”的方法．
速度，按照 A→D→C→B→A 的顺序在菱形的边上
匀速运动一周，设运动时间为 t 秒．求 t 为何值时，
以点 P 为圆心、以
y
1 为半径的圆与对
DC角线 ACFra bibliotek相切？P
AO
B
x
【答案】 （1） C(4, 2 3 ) ；
（2） y 3 x 2 3 ；
初中数学与证明知识点整理
初中数学与证明知识点整理数学是一门既抽象又实用的学科，而数学证明更是数学学科中的重要内容之一。
在初中阶段，学生通常开始接触一些基础的数学概念和证明方法。
本文将对初中数学与证明的相关知识点进行整理，以帮助学生更好地掌握数学证明的要点和方法。
首先，让我们来了解一下数学证明的基本概念。
数学证明是通过逻辑推理和严密的论证来验证数学结论是否正确的过程。
证明分为直接证明、间接证明和归纳法证明等多种方法，不同的证明方法适用于不同类型的问题。
一、几何证明在初中数学中，常见的几何证明包括几何图形的性质和定理的证明。
比如，展示一个三角形的三边是否相等、一个四边形是否是平行四边形等。
几何证明通常需要运用到几何图形的性质和几何知识，合理运用等式、直角定理、全等三角形的性质、平行线的性质等几何定理来推导出结论。
二、代数证明代数证明是以代数运算和方程式的变换为基础的证明方法。
在初中数学中，常见的代数证明包括整数的性质证明、多项式的性质证明以及等式和不等式的证明等。
代数证明通常需要运用到代数运算、因式分解、数列的性质、质因数分解等知识点来进行推导。
三、数学归纳法数学归纳法是一种证明数学结论的常用方法。
它适用于一些有规律的问题，通过先证明一个基本命题，再利用归纳假设推导出当前情况成立时下一情况也成立的方法。
在初中数学中，学生通常用数学归纳法证明递推关系式、等差数列与等比数列的性质等。
这种方法要求对问题结构进行深刻的把握，从而有效地推导出正确的结论。
四、图像法证明图像法证明是一种凭借绘制准确图像来证明数学结论的方法。
在初中数学中，常见的图像法证明包括几何图形的性质、函数图像的性质以及方程解的个数等。
通过绘制图像，可以通过直观地观察图像的特点来推导出结论。
五、实例法证明实例法证明是通过列举实例来证明数学结论是否成立的方法。
在初中数学中，通常适用于证明某个性质在一定范围内是成立的。
这种方法通过对特定情况进行分析，在符合条件的情况下通过某种操作或推导找到出结论的方法。
第七讲函数的奇偶性课件-高三数学一轮复习
一、奇偶性证明
一、奇偶性证明
一、奇偶性证明
① 定义域：是否关于原点对称，不 对称非奇非偶函数 ② 对称再看f(-x)和f(x)的关系
一、奇偶性证明
2x 2x f (x)
x
二、利用奇偶性求参
三、利用奇偶性求值
例题：设f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)=2x+2x+b(b为常数），
五、函数奇偶性的应用
例题：已知定义域为R的函数
f
(x)
2x 2 x 1
b a
是奇函数
（1）求a，b的值
（2）若f(x)为减函数，求不等式f(5-2x)+f(3x-1)＜0
函数性质解不等式： ①定义域 ②移项去负号（利用奇偶性） ③去“f”(利用单调性）
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高中数学第七讲
函数的奇偶性
讲师：XXX
思维导图
函数的奇偶性
1 奇偶性证明：找f(-x)与f(x)之间的关系
2 利用奇偶性求参
奇函数单调性看图 偶函数单调性
3 利用奇偶性求值
4 利用奇偶性求函数解析式：利用未知数正负+奇偶性求解
一、奇偶性证明
思考引入：现实生活的轴对称和中心对称
小结
如果一个图形沿某条直线对折，对折的两部分是完全重合的，那么就称这样的图形为轴对称 图形．这条直线叫做这个图形的对称轴． 在同一平面内，一个图形绕某一个点旋转180°，如果旋转前、后的图形相互重合，那么这 个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心.
f(x)的解析式为
四、利用奇偶性求解析式
五、函数奇偶性的应用
若f(x) 为奇函数，且在区间[a,b](0＜a＜b)是增(减)函数，则f(x)在区间[-b,-a]
初中几何第07讲 几何不等式(1)
第七讲几何不等式（1）几何问题中出现的不等式称为几何不等式．解数学竞赛中出现的几何不等式，需要熟悉几何中有关的基本不等式和常用的定理，还要掌握代数方法和三角方法．1．有关证明线段不等的公理和定理(1) 在联结两点的所有线中，线段最短．(2) 在同一个三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．(3) 定点P到定直线的最短距离，是从P向定直线所作的垂线段的长．(4) 在两个三角形中，如果有两组对应边分别相等，那么夹角大的所对的第三边也大．(5) 托勒密不等式：在四边形ABCD中，有AB·CD+AD·BC≥AC·BD.当且仅当ABCD是圆内接四边形时等号成立．(6) 欧拉定理,欧拉不等式若△ABC的外接圆半径为R，内切圆半径为r，两圆心间的距离为d，则d=)2(rR-，当且仅当△ABC为正三角形时，d=0. R≥2rR(7) 埃德斯——莫德尔不等式设P为△ABC内任意一点，Ra, R b, Rc分别表示P到顶点A、B、C的距离，d a, d b, d c分别表示P到三边BC，CA，AB的距离，则R a+ R b+ R c≥2(d a+ d b+ d c)(8) 费尔马点在△ABC中，使PA+PB+PC为最小的平面上的点成为费尔马点，当∠BAC≥120°时，A点即为费尔马点，当△ABC内任一内角均小于120°时，则与三边张角均为120°时的P点即为费尔马点.2．有关证明角不等的定理(1)三角形的任何一个外角大于和它不相邻的任意一个内角．(2)在同一个三角形中，大边对大角，小边对小角，反之亦然．3．圆中有关不等量的知识(1)在同圆或等圆中，圆心角（锐角）大则所对的弧大、弦大、弦心距小．(2)过圆内一定点的弦中，以此点为中点的弦最小．(3)若A，B，C为圆上的点，P为圆外的点，Q为圆内的点，且P，C，Q都在直线AB的同侧，则∠AQB >∠ACB >∠APB,4. 有关面积的几何不等式(1) 外森比克不等式：设△ABC的边长和面积分别为a, b, c和S，则a2+b2+c2S3≥，当且仅当△ABC为正三角形时等号成立.4(2) 等周定理：周长一定的三角形中，以正三角形的面积最大；周长一定的矩形中，以正方形的面积最大.5．几何不等式的证明有时还要用到代数知识（如平均不等式等）和三角知识．例1. (1995 IMO)凸六边形ABCDEF，满足AB= BC= CD，DE=EF=FA，∠BCD=∠EFA=60º．设G和H是这六边形内部的两点，使得∠AGB=∠DHE= 120º．试证：AG+ GB+ GH+ DH+ HE≥CF.例2. 已知正方形ABCD内部一点E,并且E到三个顶点A,B,C的距离之和的。
七年级超素班第七讲 综合除法 余式定理
七年级超素班第七讲综合除法余式定理7 综合除法综合除法与余式定理代数式3 1.掌握一元多项式的除法2.理解并掌握余氏定理并会应用★★☆综合除法与余数定理是中学数学中十分重要的内容，它们是研究多项式除法的有力工具。
综合除法和余数定理在整个中学数学中有着极为广泛的应用。
本节我们将作一些初步介绍。
一般地，多项式f（x）除以一次多项式（x-a）•的商式系数和余数有如下规律：商式的最高次项系数就是f（x）（按降幂排列后）的第一项系数，把这个数乘以b后再加上f（x）的第二项系数就得商的次商为次项系数，如此类推最后得余数，这种方法叫做综合除法．余数定理：多项式f（x）除以（x-a）所得的余数等于f（a）．如果f（x）能被（x-a）•整除，也就是（x-a）是f（x）的因式．反之，如果（x-a）是f（x）的因式，那么f（x）•能被（x-a）整除．因此，由余数定理，容易得出：因式定理：如果f（a）=0，那么（x-a）是f（x）的因式，反之，如果（x-a）是f（x）•的因式，那么f（a）=0．例1.求多项式f(x)=7-5x 3x 2+除以（x+2）所得的商式和余数。
练习：用综合除法求3474142x x x -++除以2-x 所得的商和余式。
例2.用综合除法计算()）（12x 8x -7x -6x 234+÷+练习：求)23()1623103(23-÷+-+x x x x 的商式Q 和余式R 。
例3.（1）求x-1除f （x ）=56x -4x -7x 245+所得的余数 （2）求2x-2除f （x ）=56x -4x -7x 245+所得的余数例4.多项式f （x ）除以x-1，x-2，所得的余数分别为3和5，求f （x ）除以（x-1）（x-2）所得的余式。
例5. 一个关于x 的二次多项式，它被除余2，它被除时余28，它还可被整除，求。
例6.a ，b 是不相等的常数，若关于x 的整式f （x ）被x-a 和x-b 整除，求证：f （x ）也被（x-a ）（x-b ）整除。
7第七讲泰勒公式其应用
.
例５：试确定 的值，使得
，
其中 是当 时比 高阶的无穷小.
【分析】题设方程右边为关于 的多项式，要联想到 的泰勒级数展开式，比较 的同次项系数，可得 的值.
【解】将 的泰勒级数展开式 代入题设等式得
整理得
比较两边同次幂系数得
，解得 .
4.利用Taylor公式求证明题
例6设 存在，证明
．
【证明】 ,
（1）
称为泰勒公式的余项.
3、 函数的Maclaurin公式
二、应用
1.把函数 展开成n阶Maclaurin公式
例１：把函数 展开成含 项的具Peano型余项的Maclaurin公式 .
【解】 ,
.
例２：把函数 展开成含 项的具Peano型余项的Maclaurin公式 .
【解】 ,
.
2.求 的n阶导数
教学过程与内容
教学
后记
第七讲 泰勒公式其应用
一、一阶泰勒公式
１.带有Lagrange型余项的Taylor公式
定理1（泰勒）若函数f在(a,b)上存在直到n阶的连续导函数,在(a,b)内存在n＋1阶导函数,则对任意给定的 ,至少存在一点 使得：
在 之间。
2.带有皮亚诺余项的泰勒公式
定理2若函数f在(a,b)上存在直到n阶的连续导函数,则对任意给定的
3．利用Taylor公式求证明题
教
学
提
纲
第七讲 泰勒公式其应用
一、一阶泰勒公式
1.带有皮亚诺余项的泰勒公式
2.带有Lagrange型余项的Taylor公式
3．函数的Maclaurin公式
二、应用
(1) 把函数 展开成n阶Maclaurior公式求极限
第七讲、菱形的性质和判定
第七讲：菱形的性质和判定1.菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。
几何语言表示为: 口ABCD且AB=AD(任一组邻边相等)口ABCD是菱形2.菱形的性质：（1）四边都相等；（2）两组对角相等；（3）对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；（4）菱形是轴对称图形，它有两条对称轴，分别为它的两条对角线所在的直线。
例1：在如图菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于O，E、F分别是AB、BC的中点．求证：OE=OF．例2：如图，在菱形ABCD中，E是AB的中点，且DE⊥AB，AB=10（1）求∠ABC的度数；（2）求对角线AC的长；（3）求菱形ABCD的面积．3.菱形的判定方法（1）用定义判定：一组邻边相等的平行四边形是菱形；（2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形；（3）四条边都相等的四边形是菱形。
例3：如图所示，在△ABC中，∠ACB=90°，AD平分∠BAC交BC于D，CG⊥AB于 G，交AD 于F，DE⊥AB于E，求证：四边形CDEF是菱形。
例4：已知：如图，过平行四边形ABCD的对角线交点O作互相垂直的两条直线EG、FH与平行四边形ABCD各边分别相交于点E、F、G、H．求证：四边形EFGH是菱形例5：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=60°，DE垂直平分BC，垂足为D，交AB于点E．又点F在DE的延长线上，且AF=CE．求证：四边形ACEF是菱形．例6：如图所示，在矩形ABCD中，AB=4cm，BC=8cm、点P从点D出发向点A运动，同时点Q从点B出发向点C运动，点P、Q的速度都是1cm/s．（1）在运动过程中，四边形AQCP可能是菱形吗？如果可能，那么经过多少秒后，四边形AQCP是菱形？（2）分别求出菱形AQCP的周长、面积．例7（真题2014-2015期中）：如图,在菱形ABCD中,AB=4cm,∠ADC=120∘,点E. F同时由A. C两点出发,分别沿AB、CB方向向点B匀速移动(到点B为止)，点E的速度为1cm/s，点F的速度为2cm/s，经过t秒△DEF为等边三角形，求t的值例8（真题2014-2015期中）准备一张矩形纸片，按如图操作：将△ABE沿BE翻折，使点A落在对角线BD上的M点，将△CDF沿DF翻折，使点C落在对角线BD上的N点。
数学分析 第七讲 反常积分【精选文档】
第七讲非黎曼积分（反常积分）一、知识结构我们知道黎曼积分要求积分区间有限，并且积分区间是闭区间（闭区域）. 下面研究积分区间无限，或积分区间不是闭区间的积分,我们称这样的积分为反常积分,所谓反常是指相对于黎曼积分的反常.对正常积分,我们主要研究它的计算问题,而对反常积分,主要研究它的收敛问题.1、一元函数的反常积分(1）一元函数反常积分的概念和定义我们知道黎曼积分要求积分区间是有限闭区间或有限闭区域，如果将积分区间换成无限区间或非闭区间（是被积函数的瑕点）或,由此产生的积分我们称为反常积分，反常积分是相对于黎曼积分所提出的，“反常”指将黎曼积分中的有限闭区间换成无限区间或非闭区间（是被积函数的瑕点，即函数在点处无界)。
定义1函数在无限区间连续，则定义，如果极限存在，我们称反常积分收敛。
定义2函数在非闭区间连续,而在点右邻域内无界（是被积函数的瑕点）即函数在点无界，则定义，如果极限存在，我们称反常积分收敛.函数在点右邻域内无界的意思是：。
注意：函数在点没有定义，但函数在点右极限可以存在,这时不是被积函数的瑕点.例如，函数在点处没有定义,但,所以不是积分的瑕点。
不是反常积分。
将积分看作推广的黎曼积分. 因为, 如果被积函数在闭区间上仅有有限个第一类间断点，则积分为推广的黎曼积分，它也是收敛的。
定义3函数在开区间内连续，都是函数的瑕点,则定义,如果极限和均存在,我们称反常积分收敛。
定义4 函数在无限区间连续,是函数的瑕点，则定义，如果极限和均存在，我们称反常积分收敛.②积分区域无限且被积函数有瑕点(了解）.2、一元函数反常积分的性质与收敛判别请同学们切记如下例子中的结论。
例讨论积分和的敛散性.解显然和均发散。
在区间上, 当时，函数，即前者的图像在后者的图像下方，这时收敛(请同学给出证明)。
当时, 函数, 即前者的图像在后者的图像上方,这时发散（请同学给出证明）。
在区间上, 当时, 函数, 即前者的图像在后者的图像上方,这时发散(请同学给出证明）。
【南方新课堂】高考数学总复习 第五章 数列、推理与证明 第7讲 直接证明与间接证明名师课件 理
1．了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合法；了 解分析法和综合法的思考过程、特点．
2．了解间接证明的一种基本方法——反证法；了解反证法 的思考过程、特点．
1．直接证明 (1)综合法． ①定义：利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等， 经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这 种证明方法叫做综合法．
证明：当 a，b>0 时，a＋2 b≥ ab>0，当且仅当 a＝b 时取 等号．
两边取对数，得 lga＋2 b≥lg ab. 又 lg ab＝lg2ab＝lga＋2 lgb， ∴当 a，b>0 时，lga＋2 b≥lga＋2 lgb.
考点 2 分析法
例 2：已知 a＞0，求证： a2＋a12－ 2≥a＋1a－2.
∴a2＋b2＋c2≥13.
(2)∵ 3a＋2＝ 3a＋2×1≤3a＋22＋1＝3a＋ 2 3， 同理， 3b＋2≤3b＋ 2 3， 3c＋2≤3c＋2 3， ∴ 3a＋2＋ 3b＋2＋ 3c＋2≤3a＋b2＋c＋9＝6. ∴原不等式成立．
【互动探究】
1．证明：若 a，b>0，则 lga＋2 b≥lga＋2 lgb.
方法一：由①式，得
(n＋1)(Sn＋1－Sn)＝nSn＋1－(n－1)Sn＋2， 即Sn＋1＝2Sn＋2. ∴Sn＋1＋2＝2(Sn＋2)． ∵S1＋2＝a1＋2＝4≠0， ∴数列{Sn＋2}是以4为首项，2为公比的等比数列． ∴Sn＋2＝4×2n－1，即Sn＝4×2n－1－2＝2n＋1－2. 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2n＋1－2)－(2n－2)＝2n， 又a1＝2也满足上式， ∴an＝2n.
A．反证法 B．分析法 C．综合法 D．前面三种方法都不合适
7.定理与证明PPT课件(北师大版)
，
ห้องสมุดไป่ตู้
•
以及反应大小关系的有关性质都可以作为证明的根据
.
•
例如，如果a=b，b=c, 那么a=c,这一性质也可以作
为
•
证明的根据，称为“等量代换”.又如，如果a>b，
知1－讲
例1 下列命题不是公理的是( C ) A．两点确定一条直线 B．两点之间线段最短 C．两条平行线被第三条直线所截，内错角相等 D．三边分别相等的两个三角形全等
例3 如图，在直线AC上取一点O，作射线
OB，OE和OF，使OE和OF分别平分
∠AOB和∠BOC，求证：OE⊥OF.
证明：因为OE和OF分别平分∠AOB和∠BOC，
所以∠EOB＝ 1 AOB，BOF＝1 BOC.
2
2
又因为∠AOB＋∠BOC＝180°，
所以∠EOB＋∠BOF＝ 1 (AOB＋BOC )＝
知3－讲
知识点 3 命题的证明
•证明一个命题的一般步骤： • ①分清命题的条件和结论，如果与图形有 关， • 第一根据题意，画出图形，并在图形上 标 • 出有关字母与符号； • ②根据条件、结论，结合图形，写出已知 、
几何的推理方法主要有两种： 一种是综合法，即由“因”到“果”，由已知条件 逐步推导出结论； 一种是分析法，即执“果”索“因”，根据要推出 的结论，分析必须找到什么样的条件，一步一步反 推到条件．
一 • 本书，书名叫做《本来》（Elements）. 为了说明每一结论
的 • 正确性，他在编写这本书时进行了大胆创造：挑选了一部分
数 • 学名词和一部分公认的真命题作为证实其他命题的出发点和
依
知1－讲
2.本套教科书选用九条基本事实作为证明的出发点和根据，我们 已经认识了其中的八条，它们是：
北师版八年级数学上册课件 第7章 为什么要证明
随堂即练
3.顺次连接等腰梯形四边中点,所得到的四边形是（ D）
A.平行四边形 B.矩形 C.正方形
D.菱形
4.某超级市场失窃,大量的商品在夜间被罪犯用汽车运走,三个嫌 疑犯被警察局传讯,警察局已经掌握了以下事实： ①罪犯不在A,B,C三人之外；②C作案时总得有A作从犯； ③B不会开车.在此案中肯定的作案对象是（ D ） A．嫌疑犯A B．嫌疑犯B C．嫌疑犯C D．嫌疑犯A和C
随堂即练
5.有红、黄、蓝三个箱子,一个苹果放入其中某个箱子内,并 且： （1）红箱子盖上写着：“苹果在这个箱子里”； （2）黄箱子盖上写着：“苹果不在这个箱子里”； （3）蓝箱子盖上写着：“苹果不在红箱子里”； 已知(1),(2),(3)中只有一句是真的,苹果在哪个箱子里？
解：我们发现（1）与（3）互相矛盾,可两件矛盾的 事不能都是真的,必有一假；题设真话只有一句.这样（2） 必是假话,从而苹果在黄箱子里.
你觉得观察得到的结论正确吗？
新课讲解
1 数学的结论必须经过严格的论证
判断一个数学结论是否正确,仅观察、猜想、 实验还不够； 必须经过一步一步、 有根有据的推理.
请举例说明,你用到过的推理.
【思考】
a
新课讲解 a bc
b
线段a与线段b哪个 比较长？
d
谁与线段d在 一条直线上？
【验证】
a
b
a=b
新课讲解 a bc d
∠COD的度数；
解：(2)∠AOB＝∠AOC－∠BOC＝90°－54°＝ 36°,∠COD＝∠BOD－∠BOC＝90°－54°＝36°.
新课讲解
【例5】如图,从点O出发作出四条射线OA、OB、OC、 OD,已知OA⊥OC,OB⊥OD. (3)由(1)、(2)你发现了什么？ 解：(3)由(1)、(2)可发现：
《中学数学证明教学》课件
数学证明的应用场景
数学推理与解题
运用数学证明的方法和思维模式解决各种数学 问题。
数学建模与实践
将数学建模应用于实践，优化设计、改进工艺 和提高产率。
课程总结及展望
通过本课件，学生可以全面了解数学证明的概念和基本步骤，掌握数学证明的方法，提高数学证 明的能力。
行的猜想。
3
观察现象
通过观察、归纳、发现规律等方式， 从实践中搜集素材。
严谨推理与证明
运用严谨的推理和证明方法，验证 猜想的正确性。
常见的数学证明方法
直接证明法
由已知条件直接推导出 所要证明的命题。
反证法
通过假设所要证明的命 题不成立，推导出自相 矛盾的结论。
数学归纳法
证明对于所有自然数都 成立的一类命题。
数学证明的概念
什么是数学证明
指通过一系列逻辑推理和论证，使人们对一个 数学命题产生了比较强的信服力的过程。
数学证明的特点
严密、逻辑性、先验性、普遍性、规范性等。
数学证明的重要性
对提高数学思维和创新能力有积极促进作用， 具有重要的理论和应用价值。
数学证明的基本步骤
1
形成猜想
2
在观察现象的基础上，形成一个可
《中学数学证明教学》 PPT课件
本课件旨在帮助学生了解数学证明的概念和基本步骤，运用数学证明解决问 题，以及了解数学证明在实践中的应用。
课程介绍
课程目标
培养学生数学思维能力，提高学生数学证明的能力。
教学内容概述
本课件包括数学证明的概念、基本步骤、证明方法、应用场景等。
教学方法概述
通过案例、实践演习、小组讨论等多种形式掌握数学证明。
中学数学证明教学
矛盾律
矛盾律是用否定的形式来表达同一律的思想内容的,它是同一律的引申, 同一律说A是A,矛盾律要求思维首尾一贯,不能自相矛盾,实际上也是思 维确定性的一种表现。因此,矛盾律是从否定方面肯定同一律的。 违背矛盾律要求的逻辑错误在于,在同一个思维过程中,把A与非A同时肯 定了下来,因而造成了自相矛盾的困境。如众所周知的一个例子:那个卖 矛、盾的楚人所说的“任何东西都不能穿过我的坚实的盾”、“我的锐利的 矛能穿过任何东西”,是互相矛盾的两个判断。这位楚人不能自圆其说,是 自己打自己的嘴巴,违背了矛盾律的要求。 矛盾律中所谓的矛盾是指思维过程中的思维混乱,即同时断定A与非A都真。 对这种逻辑矛盾,矛盾律要加以排除的。但矛盾律并不把辩证矛盾排除 在一切思维之外,更不否认世界固有的矛盾。
推理有内容方面的问题,也有形式方面的问题,前者就是前提和结论的真假性,后
推理的种类
PART 1
1.归纳推理
根据归纳推理的前提和结论所作判断的范围是否相同，可把归纳推理分为完全归纳法和不完全归纳法。 ⑴完全归纳法 如果归纳推理的前提中一个或几个判断范围的总和与结论中判断的范 围完全相同，则这种归纳推理称为完全归纳法。 ⑵不完全归纳法 如果归纳推理的前提判断范围的总和小于结论判断的范围，则这种归推理叫做不完全归纳法。
完全归纳法的推理形式： 具有性质F； 具有性质F； 具有性质F； 具有性质F； ······ 和 ······ 具有性质F； 具有性质F； A类事物具有性质F A类事物具有性质F. 不完全归纳法的推理形式： 具有性质F 具有性质F ······ 具有性质F A类事物具有性质F
充足理由律
G. W. Leibniz, 1646-1716
在同一个思维过程中，思维对象必须保持同一；
七至九年级数学证明知识点
七至九年级数学证明知识点一、引言数学证明是数学学习中的重要组成部分，通过证明可以培养学生的逻辑推理能力和数学思维。
本文将详细介绍七至九年级数学证明知识点，帮助学生更好地掌握这一部分内容。
二、七年级数学证明知识点1. 线段、角的性质与判定（1）线段的中点：若M是线段AB的中点，则AM=MB。
（2）线段的比较：若AB>AC，则AB-AC>0。
（3）角的平分线：若OC是∠AOB的平分线，则∠AOC=∠BOC。
（4）对顶角：两线相交时对顶角相等。
（5）平行线的性质：同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。
2. 三角形的性质与判定（1）三角形的内角和：三角形的内角和为180°。
（2）等腰三角形的性质：等腰三角形的两底角相等，等边对等角。
（3）直角三角形的性质：勾股定理及其逆定理的应用。
（4）全等三角形的判定：SSS、SAS、ASA、AAS及HL五种判定方法。
三、八年级数学证明知识点1. 四边形的性质与判定（1）平行四边形的性质：对边相等，对角相等，对角线互相平分。
（2）矩形的性质：四个角都是直角，对角线相等且互相平分。
（3）菱形的性质：四边相等，对角线互相垂直且平分每组对角。
（4）正方形的性质：具有矩形和菱形的所有性质。
2. 相似与全等形的判定（1）相似三角形的判定：AA、SAS、SSS三种判定方法。
（2）相似多边形的判定：对应角相等，对应边成比例。
（3）全等形的判定：对应边相等，对应角相等。
四、九年级数学证明知识点1. 圆的性质与判定（1）圆的定义及基本性质：圆心、半径、弦、弧、圆心角等概念及性质。
（2）点与圆的位置关系：点在圆内、圆上、圆外的判定方法。
（3）直线与圆的位置关系：相交、相切、相离的判定方法。
（4）圆与圆的位置关系：外离、外切、相交、内切、内含的判定方法。
2. 三角函数与解直角三角形的应用（1）锐角三角函数的定义及性质：正弦、余弦、正切等概念及性质。
（2）解直角三角形的应用：仰角、俯角、坡度等实际问题中三角函数的应用。
七级数学定理与证明人教版知识精讲
七年级数学定理与证明人教版【同步教育信息】一.本周教学设计内容：定理与证明教学设计目的：1.使学生能够运用所学的公义、定理证明几何题2.逐渐培育学生剖析问题及解决问题的能力教学设计要点：掌握命题证明的步骤和书写格式教学设计难点：命题证明的思路及文字表述教学设计过程：1.公义与定理公义和定理都是真命题。
命题的正确性是人们在长久的实践中总结出来的，并作为判断其余命题真假的依照，这样的真命题称为公义。
命题的正确性是用推理证明的，这样的命题叫做定理。
因而可知，公义是在长久的实践过程被认可的，而定理则要经过推理证明。
2.证明及步骤推理的过程叫做证明，它的一般格式是：从题设（已知）出发，经过“”“”构成的推理，直到最后得出结论，每步推理都以定义或公义、定理作依照。
证明的一般步骤为：（1）审题。
分清命题的题设与结论。
（2）绘图。
依照题意画出图形。
绘图时要做到图形正确且拥有一般性，切忌将图形特别化。
（3 ）写出“已知”、“求证”。
依照图形，将题设与结论“翻译”成“已知”、“求证”。
（4）探究证题思路。
依据已知条件，用学过的定义、公义、定理进行剖析、探究：怎样证得结论，一步不可以证出，可否多步进行。
（5）写出证明过程。
证明的每一步都要做到表达清楚，有理有据。
3.举反例证明假命题证明一个命题是假命题时，只需举一个反例说明命题不建立就能够了，应注意的是，举反例越简单、越显然越好，防备举出的反例自己是错误的。
如“若，则”，当时，，故它是假命题。
［解题方法指导］例 1. 填空：已知： BE//CF ，，求证 AB//CD证明：填写原因：已知；两直线平行，内错角相等；已知；等量加等量，其和相等；内错角相等，两直线平行。
说明：填写原因要熟习课本上的基本知识，内容包含各样定义、公义、定理和性质。
例 2. 已知如下图，互补，，求证。
剖析：要证所截而成的内错角，由已知可证，进而获得结论。
证明：，（内旁内角互补，两直线平行）（两直线平行，内错角相等）（等量减等量，其差相等）（内错角相等，两直线平行）（两直线平行，内错角相等）说明：“角相等（或互补）”推出“直线平行”再推出“角相等（或互补）”，这是平行线的判断与性质的频频运用，是证明角相等的常有思路，请读者注意领会。
07第七讲 三段论 形式逻辑
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2）狮子是猫科动物， 猫科动物是哺乳动物， 所以狮子是哺乳动物， 哺乳动物是脊椎动物， 所以狮子是脊椎动物。 A sorites is a chain of categorical syllogisms in which the immediate conclusions have been left out. 前进式（大项不变） 后退式（小项不变） ******
第一格：典型格、完善格。第二格:称为区别格。 第三格：反驳全称命题。 第四格:没有实际作用。 割发代首 真假母亲 你头上有角 你是狗 ******
四、复合三段论和省略三段论(Sorites and Enthymemes) 1、复合三段论
例： 1）四边形是多边形， 平行四边形是四边形， 所以平行四边形是多边形， 菱形是平行四边形， 所以菱形是多边形， 正方形是菱形， 所以正方形是多边形。
1）基本的法律都是由全国人民代表大会讨论通过的， 刑法是基本的法律， 所以，刑法是由全国人民代表大会讨论通过的。 2）故意杀人罪都是非法故意剥夺他人生命的行为， 某甲的行为不是非法故意剥夺他人生命的行为， 所以，某甲的行为不是故意杀人罪。 3）过失犯罪是没有犯罪动机的， 过失犯罪是犯罪， 所以，有些犯罪是没有犯罪动机的。 4）国务院制定的（法律文件）是行政法规， 行政法规是法律（广义）， 所以，有些法律是国务院制定的。
MAP MES SOP
MEP MAS SEP
PEM MIS SOP
PAM MAS SEP
三、三段论的有效式与各格规则。
1、 各格有效式： 第一格：AAA, AAI, AII, EAE, EAO, EIO； 第二格：AEE, AEO, AOO, EAE, EAO, EIO； 第三格：AAI, AII, EAO, EIO, IAI, OAO； 第四格：AAI, AEE, IAI, EAO, EIO, AEO。 2、 各格规则： 3、 各格的地位：
北师大版八年级数学上册第七章 定理与证明
故事导入
举一个反例就可以 说明一个命题是假 命题,那么如何证实 一个命题是真命题 呢?
请同学们阅读课本168－169页，并完成下面题目．
1．下列说法错误的是( C )
A．定理是真命题
B．公理一定不是假命题
C．公理与定理没有区别
D．定义、定理、公理、公式等都是进行推理论证的依据
2．下列命题中，是定理的是( B )
3．公理与定理的异同： 相同点：①都是真命题；②都可以作为证明其他命题的依据． 不同点：公理的真实性是通过长期实践被证实的，不需要推理 证明，而定理需要经过证明．
【题型一】定理与公理
例1：“两点确定一条直线”属于( C ) A．定义 B．定理 C．基本事实 D．以上答案都不对
变式：有下列描述：①过点A作直线AF∥BC；②三角形的任意 两边之和大于第三边；③两直线平行，同旁内角互补；④垂直 于同一直线的两条直线互相垂直．其中是定理的有(C ) A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【题型二】证明
例2：如题图，AD与BC交于点O，①AD＝BC；②∠A＝∠C； ③AB＝CD. (1)请以①②③中的两个作为条件，另一个作为结论，写出所有的 真命题：_由__①__③__，_得__②__；__由__②_③__，__得__①______(格式：由××，得 ×；上述×用①②③表示)； (2)从你写出的真命题中选一个加以证明．
①能被3整除的数一定能被6整除；②对顶角相等；③同角
的补角相等；④三角形的任意两边之和大于第三边．
A．①②③ B．②③④ C．③④ D．①③④
如图，点A、D、B、E在同一条直线上，且AD＝ BE，∠A＝ ∠E，则△CAB≌△FED.判断这个命题是真命题还是假命题．如 果是真命题，请给出证明；如果是假命题，请添加一个适当的 条件使它成为真命题，并加以证明． 解：是假命题．添加条件：∠FDE＝∠CBA(不唯一)． 证明：因为AD＝BE， 所以AD＋DB＝BE＋DB，即AB＝DE，在△CAB和△FED中， 因为∠A＝∠E，AB＝ED，∠CBA＝∠FDE， 所以△CAB≌△FED