合肥市初中数学命题与证明的知识点总复习附解析

合肥市初中数学命题与证明的知识点总复习附解析

一、选择题

1．下列命题的逆命题正确的是（ ）

A ．如果两个角是直角，那么它们相等

B ．全等三角形的面积相等

C ．同位角相等，两直线平行

D ．若a b =，则22a b =

【答案】C

【解析】

【分析】

交换原命题的题设与结论得到四个命题的逆命题，然后分别根据直角的定义、全等三角形的判定、平行线的性质和平方根的定义判定四个逆命题的真假．

【详解】

解：A 、逆命题为：如果两个角相等，那么它们都是直角，此逆命题为假命题； B 、逆命题为：面积相等的两三角形全等，此逆命题为假命题；

C 、逆命题为：两直线平行，同位角相等，此逆命题为真命题；

D 、逆命题为，若a 2＝b 2，则a ＝b ，此逆命题为假命题．

故选：C ．

【点睛】

本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．也考查了逆命题．

2．下列命题中逆命题是假命题的是（ ）

A ．如果两个三角形的三条边都对应相等，那么这两个三角形全等

B ．如果a 2=9，那么a=3

C ．对顶角相等

D ．线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等

【答案】C

【解析】

【分析】

首先写出各命题的逆命题（将每个命题的题设与结论调换），然后再证明各命题的正误．因为相等的角不只是对顶角，所以此答案是假命题，继而得到正确答案．

【详解】

解：A 、逆命题为：如果两个三角形全等，那么这两个三角形的三条边都对应相等．是真命题；

B 、逆命题为：如果a=3，那么a 2=9．是真命题；

C 、逆命题为：相等的角是对顶角．是假命题；

D 、逆命题为：到线段两个端点的距离相等的点在这条线段垂直平分线上．是真命题．

【点睛】

此题考查了命题与逆命题的关系．解题的关键是找到各命题的逆命题，再证明正误即可．

3．下列命题中正确的是（ ）．

A ．所有等腰三角形都相似

B ．两边成比例的两个等腰三角形相似

C ．有一个角相等的两个等腰三角形相似

D ．有一个角是100°的两个等腰三角形相似

【答案】D

【解析】

【分析】

根据相似三角形进行判断即可．

【详解】

解：A 、所有等腰三角形不一定都相似，原命题是假命题；

B 、两边成比例的两个等腰三角形不一定相似，原命题是假命题；

C 、有一个角相等的两个等腰三角形不一定相似，原命题是假命题；

D 、有一个角是100°的两个等腰三角形相似，是真命题；

故选：D ．

【点睛】

本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题；经过推理论证的真命题称为定理．

4．已知：ABC ∆中，AB AC =，求证：90O B ∠<，下面写出可运用反证法证明这个命题的四个步骤：

①∴180O A B C ∠+∠+∠>，这与三角形内角和为180O 矛盾,②因此假设不成立．∴90O B ∠<,③假设在ABC ∆中，90O B ∠≥,④由AB AC =，得90O B C ∠=∠≥，即180O B C ∠+∠≥．这四个步骤正确的顺序应是（ ）

A ．③④②①

B ．③④①②

C ．①②③④

D ．④③①②

【答案】B

【解析】

【分析】

根据反证法的证明步骤“假设、合情推理、导出矛盾、结论”进行分析判断即可.

【详解】

题目中“已知：△ABC 中，AB=AC ，求证：∠B ＜90°”，用反证法证明这个命题过程中的四个推理步骤：

应该为：(1)假设∠B ≥90°，

(2)那么，由AB=AC ，得∠B=∠C ≥90°，即∠B+∠C ≥180°，

(3)所以∠A+∠B+∠C ＞180°，这与三角形内角和定理相矛盾，

(4)因此假设不成立．∴∠B ＜90°，

原题正确顺序为：③④①②，

【点睛】

本题考查反证法的证明步骤，弄清反证法的证明环节是解题的关键.

5．现给出下列四个命题：

①等边三角形既是轴对称图形，又是中心对称图形；②相似三角形的面积比等于它们的相似比；

③菱形的面积等于两条对角线的积；④三角形的三个内角中至少有一内角不小于60°．其中不正确的命题的个数是（）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【答案】C

【解析】①根据等边三角形的性质知，等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，错误；

②由相似三角形的性质知相似三角形的面积比等于它们的相似比的平方，错误；

③根据菱形的面积公式，错误；

④根据三角形内角和定理可知，三角形的三个内角中至少有一内角不小于60°，正确．

综合以上分析，不正确的命题包括①②③．

故选C．

6．下列命题的逆命题不成立的是（）

A．两直线平行，同旁内角互补B．如果两个实数相等，那么它们的平方相等C．平行四边形的对角线互相平分D．全等三角形的对应边相等

【答案】B

【解析】

【分析】

把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题．分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案．

【详解】

选项A，两直线平行，同旁内角互补的逆命题是同旁内角互补，两直线平行，正确，成立；

选项B，如果两个实数相等，那么它们的平方相等的逆命题是平方相等的两个数相等，错误，不成立，如（﹣3）2＝32，但﹣3≠3；

选项C，平行四边形的对角线互相平分的逆命题是对角线互相平分的四边形是平行四边形，正确，成立；

选项D，全等三角形的对应边相等的逆命题是对应边相等的三角形全等，正确，成立；

故选B．

【点睛】

本题考查了互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命