初中数学命题与证明的经典测试题及答案

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A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
分析:根据要证明一个结论不成立,可以通过举反例的方法来证明一个命题是假命题.
详解:∵当a=﹣2,b=1时,(﹣2)2>12,但是﹣2<1,∴a=﹣2,b=1是假命题的反例.
故选B.
点睛:本题考查的是命题与定理,要说明数学命题的错误,只需举出一个反例即可.这是数学中常用的一种方法.
13.下列命题:①直线外一点到这条直线的垂线段,叫做点到直线的距离;②两点之间线段最短;③相等的圆心角所对的弧相等;④平分弦的直径垂直于弦.其中,真命题的个数是()
A.1B.2C.3D.4
【答案】A
【解析】
【分析】
根据点到直线的距离,线段的性质,弧、弦、圆心角之间的关系以及垂径定理判断即可.
【详解】
【解析】
【分析】
反证法的步骤中,第一步是假设结论不成立,反面成立.
【详解】
解:用反证法证明“三角形的三个外角中至多有一个锐角”,应先假设三角形的三个外角中至少有两个锐角,
故选B.
【点睛】
考查了反证法,解此题关键要懂得反证法的意义及步骤 在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况,如果只有一种,那么否定一种就可以了,如果有多种情况,则必须一一否定.
【答案】B
【解析】分析:首先判断该命题的正误,然后判断其逆命题的正误后即可确定正确的选项.
详解:等边三角形是等腰三角形,正确,为真命题;
其逆命题为等腰三角形是等边三角形,错误,为假命题,
故选:B.
点睛:本题考查了命题与定理的知识,解题的关键是能够写出该命题的逆命题,难度不大.
7.下列选项中,可以用来说明命题“若 ,则 ”是假命题的反例是()
故选D.
【点睛】
本题考查了命题与定理:判断事物的语句叫命题;题设与结论互换的两个命题互为逆命题;正确的命题叫真命题,错误的命题叫假命题;经过推论论证得到的真命题称为定理.
3.下列命题是真命题的个数是().
①64的平方根是 ;
② ,则 ;
③三角形三条内角平分线交于一点,此点到三角形三边的距离相等;
④三角形三边的垂直平分线交于一点.
【答案】B
【解析】
试题解析:在A中,a2=9,b2=4,且3>2,满足“若a2>b2,则a>b”,故A选项中a、b的值不能说明命题为假命题;
在B中,a2=9,b2=4,且﹣3<2,此时虽然满足a2>b2,但a>b不成立,故B选项中a、b的值可以说明命题为假命题;
在C中,a2=9,b2=1,且3>﹣1,满足“若a2>b2,则a>b”,故C选项中a、b的值不能说明命题为假命题;
C.菱形的面积等于两条对角线乘积的一半,故是真命题;
D.对角线相等的菱形是正方形,故是真命题,
故选:A.
【点睛】
此题考查假命题的定义,正确理解平行四边形的性质是解题的关键.
17.对于命题“若a2>b2,则a>b”,下面四组关于a,b的值中,能说明这个命题是假命题的是( )
A.a=3,b=2B.a=﹣3,b=2C.a=3,b=﹣1D.a=﹣1,b=3
12.用三个不等式a>b,ab>0, > 中的两个不等式作为题设,余下的一个不等式作为结论组成一个命题,组成真命题的个数为( )
A.0B.1C.2D.3
【答案】A
【解析】
【分析】
由题意得出3个命题,由不等式的性质再判断真假即可.
【详解】
解:①若a>b,ab>0,则 > ;假命题:
理由:∵a>b,ab>0,
A.1个B.2个C.3个D.4个
【答案】A
【解析】
【分析】
根据立方根、平行线的判定和算术平方根判断即可.
【详解】来自百度文库
解:①若 ,则 ,而 ≥0,﹣ ≤0,则 =﹣ 不一定成立,错误;
②在同一平面内,若 , ,则 ,正确;
③若 ,则 表示原点或坐标轴,错误;
④ 的算术平方根是3,错误;
故选:A.
【点睛】
本题考查了命题与定理:判断事物的语句叫命题;正确的命题称为真命题,错误的命题称为假命题;经过推理论证的真命题称为定理.
③如果直线 ,直线 ,那么 ,正确,是真命题;
故选:B.
【点睛】
本题主要考查了命题与定理,掌握命题与定理是解题的关键.
9.下列命题中真命题是( )
A. =( )2一定成立
B.位似图形不可能全等
C.正多边形都是轴对称图形
D.圆锥的主视图一定是等边三角形
【答案】C
【解析】
【分析】根据二次根式的性质、位似图形的定义、正多边形的性质及三视图的概念逐一判断即可得.
【详解】
解:∵“最多有一个”的反面是“至少有两个”,反证即假设原命题的否命题正确,
∴应假设:在三角形中,至少有两个内角是直角.
故选:B.
【点睛】
此题主要考查了反证法,解此题关键要懂得反证法的意义及步骤.在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况,如果只有一种,那么否定一种就可以了,如果有多种情况,不需要一一否定,只需否定其一即可.
16.下列命题中,假命题是()
A.平行四边形的对角线互相垂直平分
B.矩形的对角线相等
C.菱形的面积等于两条对角线乘积的一半
D.对角线相等的菱形是正方形
【答案】A
【解析】
【分析】
不正确的命题是假命题,根据定义依次判断即可.
【详解】
A.平行四边形的对角线互相平分,故是假命题;
B.矩形的对角线相等,故是真命题;
C.相等的角是同位角D.等边三角形的三个内角都相等
【答案】D
【解析】
【分析】
分别写出四个命题的逆命题:相等的角为对顶角;对应角相等的两三角形全等;同位角相等;三个角都相等的三角形为等边三角形;然后再分别根据对顶角的定义对第一个进行判断;根据三角形全等的判定方法对第二个进行判断;根据同位角的性质对第三个进行判断;根据等边三角形的判定方法对第四个进行判断.
∴a>b>0,
∴ < ;
②若ab>0, > ,则a>b,假命题;
理由:∵ab>0,
∴a、b同号,
∵ > ,
∴a<b;
③若a>b, > ,则ab>0,假命题;
理由:∵a>b, > ,
∴a、b异号,
∴ab<0.
∴组成真命题的个数为0个;
故选:A.
【点睛】
本题考查了命题与定理、不等式的性质、命题的组成、真命题和假命题的定义;熟练掌握命题的组成和不等式的性质是解题的关键.
8.下列命题:①直角三角形的两个锐角互余;②同旁内角互补;③如果直线 ,直线 ,那么 .其中真命题的序号是()
A.①②B.①③C.②③D.①②③
【答案】B
【解析】
【分析】
利用直角三角形的性质、平行线的性质等知识分别判断后即可确定正确的选项.
【详解】
解:①直角三角形的两个锐角互余,正确,是真命题;
②两直线平行,同旁内角互补,故错误,是假命题;
A.1个B.2个C.3个D.4个
【答案】C
【解析】
【分析】
分别根据平方根、等式性质、三角形角平分线、线段垂直平分线性质进行分析即可.
【详解】
①64的平方根是 ,正确,是真命题;
② ,则不一定 ,可能 ;故错误;
③根据角平分线性质,三角形三条内角平分线交于一点,此点到三角形三边的距离相等;是真命题;
④根据三角形外心定义,三角形三边的垂直平分线交于一点,是真命题;
【详解】A、 =( )2,当a<0时不成立,假命题;
B、位似图形在位似比为1时全等,假命题;
C、正多边形都是轴对称图形,真命题;
D、圆锥的主视图不一定是等边三角形,假命题,
故选C.
【点睛】本题考查了真命题与假命题,涉及到二次根式的性质、位似图形、正多边形、视图等知识,熟练掌握相关知识是解题的关键.
10.下列命题中:①若 =﹣ ,则 =﹣ ;②在同一平面内,若a⊥b,a⊥c,则b∥c;③若ab=0,则P(a,b)表示原点;④ 的算术平方根是9.是真命题的有()
①直线外一点到这条直线的垂线段,叫做点到直线的距离;假命题;
②两点之间线段最短;真命题;
③相等的圆心角所对的弧相等;假命题;
④平分弦的直径垂直于弦;假命题;
真命题的个数是1个;
故选:A.
【点睛】
考查了命题与定理:判断一件事情的语句,叫做命题.许多命题都是由题设和结论两部分组成,题设是已知事项,结论是由已知事项推出的事项,一个命题可以写成“如果…那么…”形式.有些命题的正确性是用推理证实的,这样的真命题叫做定理.
14.下列四个命题:①两直线平行,内错角相等;②对顶角相等;③等腰三角形的两个底角相等;④菱形的对角线互相垂直,其中逆命题是真命题的是( )
A.①②③④B.①③④C.①③D.①
【答案】C
【解析】
【分析】
首先写出各个命题的逆命题,然后进行判断即可.
【详解】
①两直线平行,内错角相等;其逆命题:内错角相等,两直线平行,是真命题;
B、4的平方根是±2,正确,是真命题;
C、两个锐角的和不一定是钝角,故错误,是假命题;
D、相等的两个角不一定是对顶角,故错误,是假命题.
故选B.
【点睛】
考查了命题与定理的知识,解题的关键是了解对顶角的性质、平方根的性质、锐角和钝角的定义,难度不大.
2.下列各命题的逆命题是真命题的是
A.对顶角相等B.全等三角形的对应角相等
【详解】
A、“对顶角相等”的逆命题为“相等的角为对顶角”,此逆命题为假命题,所以A选项错误;
B、“全等三角形的对应角相等”的逆命题为“对应角相等的两三角形全等”,此逆命题为假命题,所以B选项错误;
C、“相等的角是同位角”的逆命题为“同位角相等”,此逆命题为假命题,所以C选项错误;
D、“等边三角形的三个内角都相等”的逆命题为“三个角都相等的三角形为等边三角形”,此逆命题为真命题,所以D选项正确.
交换命题B的题设和结论,得到的新命题是对顶角相等,是真命题;
交换命题C的题设和结论,得到的新命题是所有的相等的角都是直角,是假命题;
交换命题D的题设和结论,得到的新命题是若a﹣1=b﹣1,则a=b,是真命题.
故选C.
点睛:本题考查的是命题的真假判断,正确的命题叫真命题,错误的命题叫做假命题.判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理.
15.用反证法证明命题:“在三角形中,至多有一个内角是直角”,正确的假设是()
A.在三角形中,至少有一个内角是直角B.在三角形中,至少有两个内角是直角
C.在三角形中,没有一个内角是直角D.在三角形中,至多有两个内角是直角
【答案】B
【解析】
【分析】
反证法即假设结论的反面成立,“最多有一个”的反面为“至少有两个”.
初中数学命题与证明的经典测试题及答案
一、选择题
1.下列命题中真命题是()
A.若a2=b2,则a=b B.4的平方根是±2
C.两个锐角之和一定是钝角D.相等的两个角是对顶角
【答案】B
【解析】
【分析】
利用对顶角的性质、平方根的性质、锐角和钝角的定义分别判断后即可确定正确的选项.
【详解】
A、若a2=b2,则a=±b,错误,是假命题;
【详解】
A、正确.
B、错误,对应边不一定成比例.
C、错误,不一定中奖.
D、错误,对角线相等的四边形不一定是矩形.
故选:A.
【点睛】
此题考查命题与定理,熟练掌握基础知识是解题关键.
6.已知命题:等边三角形是等腰三角形.则下列说法正确的是( )
A.该命题为假命题B.该命题为真命题
C.该命题的逆命题为真命题D.该命题没有逆命题
5.下列命题是真命题的是()
A.方程 的二次项系数为3,一次项系数为-2
B.四个角都是直角的两个四边形一定相似
C.某种彩票中奖的概率是1%,买100张该种彩票一定会中奖
D.对角线相等的四边形是矩形
【答案】A
【解析】
【分析】
根据所学的公理以及定理,一元二次方程的定义,概率等知识,对各小题进行分析判断,然后再计算真命题的个数.
②对顶角相等,其逆命题:相等的角是对顶角,是假命题;
③等腰三角形的两个底角相等,其逆命题:有两个角相等的三角形是等腰三角形,是真命题;
④菱形的对角线互相垂直,其逆命题:对角线互相垂直的四边形是菱形,是假命题;
故选C.
【点睛】
本题考查了写一个命题的逆命题的方法,真假命题的判断,弄清命题的题设与结论,掌握相关的定理是解题的关键.
11.交换下列命题的题设和结论,得到的新命题是假命题的是( )
A.两直线平行,内错角相等;B.相等的角是对顶角;
C.所有的直角都是相等的;D.若a=b,则a-1=b-1.
【答案】C
【解析】
【分析】
【详解】
分析:写出原命题的逆命题,根据相关的性质、定义判断即可.
详解:交换命题A的题设和结论,得到的新命题是内错角相等,两直线平行,是真命题;
故选:C
【点睛】
考核知识点:命题的真假.理解平方根、等式性质、三角形角平分线、线段垂直平分线性质是关键.
4.用反证法证明“三角形的三个外角中至多有一个锐角”,应先假设
A.三角形的三个外角都是锐角
B.三角形的三个外角中至少有两个锐角
C.三角形的三个外角中没有锐角
D.三角形的三个外角中至少有一个锐角
【答案】B
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