第十章排列组合和概率(第15课)二项式定理(4)--2004-12-14

课 题： 10．4二项式定理(四)
教学目的：
1掌握二项式定理和二项式系数的性质，
2.能灵活运用展开式、通项公式、二项式系数的性质解题
教学重点：如何灵活运用展开式、通项公式、二项式系数的性质解题教学难点：如何灵活运用展开式、通项公式、二项式系数的性质解题授课类型：新授课 课时安排：1课时
教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程：
一、复习引入：
1．二项式定理及其特例：
（1）01()()n n n r n r r n n
n n n n a b C a C a b C a b C b n N -*+=+++++∈ ， （2）1(1)1n r r n n n x C x C x x +=+++++ . 2．二项展开式的通项公式：1r n r r r n T C a b -+=
3．求常数项、有理项和系数最大的项时，要根据通项公式讨论对r 的限制；求有理项时要注意到指数及项数的整数性
4 二项式系数表（杨辉三角）
()n a b +展开式的二项式系数，当n 依次取1,2,3…时，二
项式系数表，表中每行两端都是1，除1以外的每一个数都等于它肩上两个数的和 5．二项式系数的性质：
()n a b +展开式的二项式系数是0n C ，1n C ，2n C ，…，n n
C ．r n C 可以看成以r 为自变量的函数()f r ，定义域是{0,1,2,,}n ，例当6n =时，其图象是7个孤立的点（如图）
（1）对称性．与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等（∵m n m
n n
C C -=）． 直线2
n
r =
是图象的对称轴． （2）增减性与最大值：当n 是偶数时，中间一项2n n
C 取得最大值；当n 是奇数
时，中间两项12n n
C
-，12
n n
C
+取得最大值． （3）各二项式系数和：
∵1(1)1n r r
n n n x C x C x x +=+++++ ，
令1x =，则0122n r n n n n n n
C C C C C =++++++ 二、讲解范例：
例1． 设()()()()231111n
x x x x ++++++++= 2012n n a a x a x a x ++++ ， 当012254n a a a a ++++= 时，求n 的值
解：令1x =得：
2
3
0122222n
n a a a a ++++=++++ 2(21)
25421
n -=
=-， ∴2128,7n n ==，
点评：对于101()()()n n n f x a x a a x a a -=-+-++ ，令1,x a -=即1x a =+可得各项系数的和012n a a a a ++++ 的值；令1,x a -=-即1x a =-，可得奇数项系数和与偶数项和的关系
例2．求证：1231232n n n n n n C C C nC n -++++=⋅ ．
证（法一）倒序相加：设S =12323n n n n n C C C nC ++++ ① 又∵S =1221(1)(2)2n n n n n n n n nC n C n C C C --+-+-+++ ② ∵r n r n n C C -=，∴011,,n n n n n n C C C C -== ， 由①+②得：()
0122n
n n n n S n C C C C =++++ ，
∴11222
n n S n n -=
⋅⋅=⋅，即1231232n n n n n n C C C nC n -++++=⋅ ． （法二）：左边各组合数的通项为
r
n
rC 1
1!(1)!!()!(1)!()!
r n n n n r nC r n r r n r --⋅-=⋅==---，
∴ ()
1230121
112123n n n n n n n n n n C C C nC n C C C C -----++++=++++ 12n n -=⋅．
例3．已知：2
23
(3)n x x +的展开式中，各项系数和比它的二项式系数和大992． （1）求展开式中二项式系数最大的项；（2）求展开式中系数最大的项
解：令1x =，则展开式中各项系数和为2(13)2n n +=， 又展开式中二项式系数和为2n
， ∴22
2992n
n -=，5n =．
（1）∵5n =，展开式共6项，二项式系数最大的项为第三、四两项， ∴22
3
226
335
()(3)90T C x x x ==，22232
23
33
45
()(3)270T C x x x ==， （2）设展开式中第1r +项系数最大，则2
1045233
15
5
()
(3)3r r r
r r
r r T C x x C x
+-+==，
∴1155
11
55
33792233r r r r r r r r C C r C C --++⎧≥⎪⇒≤≤⎨≥⎪⎩，∴4r =， 即展开式中第5项系数最大，2264
24
3
3
55
()(3)405T C x x x ==．
例4．已知)(122221
2211+---∈+⋅++++=N n C C C S n n n n n n n n ，
求证：当n 为偶数时，14--n S n 能被64整除
分析：由二项式定理的逆用化简n S ，再把14--n S n 变形，化为含有因数64的多项式
∵1122122221(21)n n n n n n n n n S C C C ---=++++⋅+=+ 3n
=，
∴14--n S n 341n n =--，∵n 为偶数，∴设2n k =（*
k N ∈），
∴14--n S n 2381k
k =--(81)81k
k =+--
011
1888181k k k k k k C C C k --=++++--
011
228(88
)8k k k k C C C -=+++ （*） ，
当k =1时，410n S n --=显然能被64整除， 当2k ≥时，（*）式能被64整除，
所以，当n 为偶数时，14--n S n 能被64整除
三、课堂练习：
1．
)
()4
5
1
1x -展开式中4x 的系数为 ，各项系数之和为 ．
2．多项式12233()(1)(1)(1)(1)n n n n n n f x C x C x C x C x =-+-+-++- （6n >）
的展开式中，6
x 的系数为 3．若二项式2
31(3)2n
x x
-
（n N *∈）的展开式中含有常数项，则n 的最小值为（ ）
A.4
B.5
C.6
D.8
4．某企业欲实现在今后10年内年产值翻一番的目标，那么该企业年产值的年平均增长率最低应 （ ）
A.低于5％
B.在5％～6％之间
C.在6％～8％之间
D.在8％以上
5．在(1)n x +的展开式中，奇数项之和为p ，偶数项之和为q ，则2(1)n
x -等
于（ ）
A.0
B.pq
C.22p q +
D.22
p q -
6．求和：()2341
012311111111111n n n
n n n n n a a a a a C C C C C a a a a a
+------+-++------ ． 7．求证：当n N *∈且2n ≥时，()1
32
2n n n ->+．
8．求()10
2x +的展开式中系数最大的项
答案：1. 45, 0 2. 0 ．提示：()(16n
f x x n =->
3. B
4. C
5. D
6. ()1
1n a a ---
7. (略) 8. 33115360T x +=
四、小结 ：二项式定理体现了二项式的正整数幂的展开式的指数、项数、二项式系数等方面的内在联系，涉及到二项展开式中的项和系数的综合问题，只需运用通项公式和二项式系数的性质对条件进行逐个节破，对于与组合数有关的和的问题，赋值法是常用且重要的方法，同时注意二项式定理的逆用 五、课后作业：
1．已知2(1)n a +展开式中的各项系数的和等于5
216
5
x ⎛+ ⎝的展开式的常数项，而2(1)n a + 展开式的系数的最大的项等于54，求a 的值()a R ∈
答案：a =2．设()()()()()5
9
14
13
011314132111x x a x a x a x a -+=+++++++ 求：① 0114a a a +++ ②1313a a a +++ ．
答案：①9
3
19683=； ②
()
9
53
32
+=
3．求值：0123456789
9999999999
22222C C C C C C C C C C -+-+-+-+-． 答案：8
2=
4．设296
()(1)(21)f x x x x =+-+，试求()f x 的展开式中：
（1）所有项的系数和；
（2）所有偶次项的系数和及所有奇次项的系数和
答案：（1）6
3729=；
（2）所有偶次项的系数和为631
3642-=； 所有奇次项的系数和为631
2
+= 六、板书设计（略）
七、课后记：。