利用排列组合计算概率问题
排列组合概率专题
排列组合概率专题排列组合专题1、若从10,3,2,1 这10个数中任意取3个数，则这三个数互不相邻的取法有种。
2、某⾼中要安排6名实习⽼师到⾼⼆年级的三个⽂科班实习，每班2⼈，则甲在1班、⼄不在1班的不同分配⽅案共有种。
3、有6个⼈站成前后两排，每排3⼈，若甲、⼄两⼈左右、前后均不相邻，则不同的站法有。
4、⽤0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的六位数中，相邻两位数字的奇偶性都不同的有个。
5、某农场有如图所⽰的六块⽥地，现有萝⼘、⽟⽶、油菜三类蔬菜可种。
为有利于农作物⽣长，要求每块⽥地种⼀类蔬菜，每类蔬菜种两块⽥地，每⾏、每列的蔬菜种各不相同，则不同的种植⽅法数为。
6、有9名翻译⼈员，其中6⼈只能做英语翻译，2⼈只能做韩语翻译，另外1⼈既可做英语翻译也可做韩语翻译，要从中选5个分别接待5个外国旅游团，其中两个旅游团需要韩语翻译，三个需要英语翻译，则不同的选派⽅法数为。
7、⽤红、黄、蓝三种颜⾊给如图所⽰的六连圆涂⾊，若每种颜⾊只能图两个圆，且相邻两个圆所涂颜⾊不能相同，则不同的涂⾊⽅案共有种。
8、某条道路⼀排共10盏路灯，为节约⽤电，晚上只打开其中的3盏灯。
若要求任何连续三盏路灯中⾄少⼀盏是亮的且⾸尾两盏灯均不打开，则这样的亮灯⽅法有。
9、6名⼤学毕业⽣到3个⽤⼈单位应聘，若每个单位⾄少录⽤其中⼀⼈，则不同的录⽤情况有种。
10、⼀个密码有9位，由4个⾃然数，3个“A ”以及1个“a ”和“b ”组成，其中A 与A 不相邻，a 和b 不相邻，数字可随意排列，且数字之积为6，这样的密码有个。
11、F E D C B A ,,,,,6个同学和1个数学⽼师站成⼀排合影留念，数学⽼师穿⽩⾊⽂化衫，B A ,和D C ,同学分别穿着⽩⾊和⿊⾊⽂化衫，E 和F 分别穿着红⾊和橙⾊⽂化衫。
若⽼师站中间，穿着相同颜⾊⽂化衫的都不相邻，则不同的站法有种。
12、设n a a a ,,21是n ,,2,1 的⼀个排列，把排在i a ⼩的数的个数称为),,2,1(n i a i =的顺序数，如在排列1,2,3,5,4,6中，5的顺序数为1；3的顺序数位0，则在1⾄8这8个数的排列中，满⾜8的顺序数为2, 7的顺序数为3, 5的顺序数为3的不同排列有种。
运用排列组合求概率解答题
排列组合求概率解答题1甲、乙、丙三台机床各自独立地加工同一种零件，已知甲机床加工的零件是一等品而乙机床加工的零件不是一等品的概率为41,乙机床加工的零件是一等品而丙机床加工的零件不是一等品的概率为121,甲、丙两台机床加工的零件都是一等品的概率为92.（Ⅰ）分别求甲、乙、丙三台机床各自加工零件是一等品的概率；（Ⅱ）从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，求至少有一个一等品的概率.（04湖南19）解：（Ⅰ）设A 、B 、C 分别为甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的事件.由题设条件有⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=⋅=-⋅=-⋅⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=⋅=⋅=⋅.92)()(,121))(1()(,41))(1()(.92)(,121)(,41)(C P A P C P B P B P A P C A P C B P B A P 即由①、③得)(891)(C P B P -=代入②得27[P(C)]2－51P(C)+22=0.解得91132)(或=C P （舍去）.将32)(=C P 分别代入③、②可得.41)(,31)(==B P A P 即甲、乙、丙三台机床各加工的零件是一等品的概率分别是.32,41,31（Ⅱ）记D 为从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，至少有一个一等品的事件，则.653143321))(1))((1))((1(1)(1)(=⋅⋅-=----=-=C P B P A P D P D P 故从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，至少有一个一等品的概率为.652．（本小题满分12分）为防止某突发事件发生，有甲、乙、丙、丁四种相互独立的预防措施可供采用，单独采用甲、乙、丙、丁预防措施后此突发事件不发生的概率（记为P ）和所需费用如下表：预防措施甲乙丙丁P 0.90.80.70.6费用（万元）90603010预防方案可单独采用一种预防措施或联合采用几种预防措施，在总费用不超过120万元的前提下，请确定一个预防方案，使得此突发事件不发生的概率最大.（04湖北21）解：方案1：单独采用一种预防措施的费用均不超过120万元.由表可知，采用甲措施，可使此突发事件不发生的概率最大，其概率为0.9.方案2：联合采用两种预防措施，费用不超过120万元，由表可知.联合甲、丙两种预防措施可使此突发事件不发生的概率最大，其概率为1—(1—0.9)(1—0.7)=0.97.方法3：联合采用三种预防措施，费用不超过120万元，故只能联合乙、丙、丁三种预防措施，此时突发事件不发生的概率为1—（1—0.8）(1—0.7)(1—0.6)=1—0.024=0.976.综合上述三种预防方案可知，在总费用不超过120万元的前提下，联合使用乙、丙、丁三种预防措施可使此突发事件不发生的概率最大.3．（本小题满分12分）①②③甲、乙两人参加一次英语口语考试，已知在备选的10道试题中，甲能答对其中的6题，乙能答对其中的8题.规定每次考试都从备选题中随机抽出3题进行测试，至少答对2题才算合格.（Ⅰ）分别求甲、乙两人考试合格的概率；（Ⅱ）求甲、乙两人至少有一人考试合格的概率.（04福建18）解：（Ⅰ）设甲、乙两人考试合格的事件分别为A 、B ，则P(A)=310361426C C C C +=1202060+=32，P(B)=310381228C C C C +=1205656+=1514.答：甲、乙两人考试合格的概率分别为.151432和（Ⅱ）解法一、因为事件A 、B 相互独立，所以甲、乙两人考试均不合格的概率为P(B A ⋅)=P(A )P(B )=（1－32)(1－1514)=451.∴甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为P=1－P(B A ⋅)=1－451=4544.答：甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为4544.解法二：因为事件A 、B 相互独立，所以甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为P=P(A ·B )+P(A ·B)+P(A ·B)=P(A)P(B )+P(A )P(B)+P(A)P(B)=32×151+31×1514+32×1514=4544.答：甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为4544.4．（本小题满分12分）设甲、已、丙三人每次射击命中目标的概率分别为0.7、0.6和0.5。
排列组合与概率原理及解题技巧
排列组合与概率原理及解题技巧一、基础知识1．加法原理：做一件事有n 类办法，在第1类办法中有m 1种不同的方法，在第2类办法中有m 2种不同的方法，……，在第n 类办法中有m n 种不同的方法，那么完成这件事一共有N=m 1+m 2+…+m n 种不同的方法。
2．乘法原理：做一件事，完成它需要分n 个步骤，第1步有m 1种不同的方法，第2步有m 2种不同的方法，……，第n 步有m n 种不同的方法，那么完成这件事共有N=m 1×m 2×…×m n 种不同的方法。
3．排列与排列数：从n 个不同元素中，任取m(m ≤n)个元素，按照一定顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列，从n 个不同元素中取出m 个(m ≤n)元素的所有排列个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数，用m n A 表示，mn A =n(n-1)…(n-m+1)=)!(!m n n -,其中m,n ∈N,m ≤n,注：一般地0n A =1，0！=1，nn A =n!。
4．N 个不同元素的圆周排列数为nA n n =(n-1)!。
5．组合与组合数：一般地，从n 个不同元素中，任取m(m ≤n)个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合，即从n 个不同元素中不计顺序地取出m 个构成原集合的一个子集。
从n 个不同元素中取出m(m ≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数，用mn C 表示：.)!(!!!)1()1(m n m n m m n n n C m n -=+--=6．组合数的基本性质：（1）m n n m n C C -=；（2）11--+=n nm n m n C C C ；（3）kn k n C C kn =--11；（4）n nk k n n nnnC C C C 2010==+++∑= ；（5）111++++-=+++k m k k m k k k k k C C C C ；（6）kn m n m k k n C C C --=。
排列与组合综合算式的排列组合计算
排列与组合综合算式的排列组合计算排列与组合是概率与组合数学中常见的计算方式，用于解决排列和组合问题。
在计算排列与组合时，我们可以利用排列组合公式或者数学原理来进行计算，下面将具体介绍排列与组合综合算式的排列组合计算方法。
一、排列与组合的概念1. 排列：从n个元素中选取m个元素并按特定顺序排列，称为排列。
排列的计算公式为：P(n,m) = n! / (n-m)!2. 组合：从n个元素中选取m个元素，并不考虑其顺序，称为组合。
组合的计算公式为：C(n,m) = n! / (m! * (n-m)!)其中，n!表示n的阶乘，即n! = n * (n-1) * (n-2) * ... * 1。
二、排列与组合综合算式的计算方法对于排列与组合综合算式的计算，可以通过一系列具体的例子来说明。
例1：从A、B、C、D、E中取出3个字母，有多少种排列方式？解：根据排列的定义和计算公式，可以得到排列的计算方法为P(5,3) = 5! / (5-3)! = 5! / 2! = 60。
因此，从A、B、C、D、E中取出3个字母的排列方式有60种。
例2：从1、2、3、4、5中取出3个数字，有多少种组合方式？解：根据组合的定义和计算公式，可以得到组合的计算方法为C(5,3) = 5! / (3! * (5-3)!) = 5! / (3! * 2!) = 10。
因此，从1、2、3、4、5中取出3个数字的组合方式有10种。
通过以上两个例子，我们可以看到排列与组合的计算方法可以很方便地解决排列与组合问题。
在实际应用中，排列与组合常常用于解决概率、统计和组合优化等问题，具有广泛的应用领域。
三、排列与组合的应用1. 概率计算：排列与组合可以用于计算事件发生的概率。
例如，从1、2、3、4、5中取出3个数字，其中至少包含一个偶数的概率是多少？通过计算组合的方式，可以得到解答。
2. 组合优化：排列与组合可以用于解决组合优化问题，例如制定车辆调度、货物装箱等问题。
排列组合概率题解题技巧
排列组合概率题解题技巧排列组合概率题解题技巧有哪些?怎么样解决这类问题?下面是小编为大家整理的关于排列组合概率题解题技巧，希望对您有所帮助。
欢迎大家阅读参考学习!排列组合概率题解题技巧1.排列、组合、概率与错位公式2.排列组合概率解题思路——分类法3.例题1：繁琐的计算导致正确率变低4.例题2：通过选项思考暴力的可能性5.例题3：极为简单，一半做错的题6.例题4：分不同情况考虑安排方案7.例题5：分不同情况考虑安排方案8.例题6：理解排列组合题的关键一、排列、组合、概率与错位公式「数量关系」板块中的「排列、组合、概率」方面的题目每年必考、国考省考都会考，而此类题的难度一般较高，因此掌握它们的解题方法是非常有必要的。
总体来说，此类题目的公式非常简单，大致只有三个半，即排列公式、组合公式、概率公式和错位排列公式。
(1)排列公式A(总个数，选出排列的个数)特点是每个个体有「排列」的独特性，谁先选、谁后选会影响结果。
例如5个人选3个排队，5个项目选3个先后完成，两种情况的运算均为：A(5，3)=5×4×3=60种方式(2)组合公式C(总个数，选出组合的个数)特点是每个个体没有「排列」的独特性，谁先选、谁后选都不影响结果。
例如5个人选3个参加比赛，5个项目选3个于今年内完成(不要求完成顺序)，则运算均为：C(5，3)=C(5，2)=5×4÷(1×2)=10种方式注意C(5，3)一般要转换为C(5，2)，其原因是：C(5，3)=5×4×3÷(1×2×3)=5×4÷2，中间要约去3，因此可能会多花两三秒钟，故要尽量节约时间。
注：排列组合公式很好记忆，由于公考中考察的「排列组合概率」题的数值不会很大，因此在实际考试中，直接在纸上用笔列草稿即可：总数×(总数-1)×(总数-2)×……一直让相乘数字的个数达到「选出的个数」，即为排列公式;再从1开始乘，乘到「选出的个数」，用排列公式得出的结果除以该数即为「组合公式」。
利用排列组合计算概率的练习题
利用排列组合计算概率的练习题在数学中，排列组合是一种十分重要的概念，特别是在概率计算中。
通过掌握排列组合的知识和技巧，我们可以解决各种与概率有关的问题。
本文将通过一些练习题来展示如何利用排列组合计算概率。
练习题1：从10个不同的球中，随机取3个，计算取出的球至少有一个是红色的概率。
假设我们用R表示红色球，用B表示蓝色球，那么我们可以列出所有可能的组合：RBB, RBR, RRB, RRR, BBB, BBR, BRB, BRR共有8种可能的组合。
其中，有3种组合至少有一个红色球，它们是：RBB, RBR和RRR。
因此，取出的球至少有一个是红色的概率为3/8。
练习题2：一副扑克牌共有52张牌，从中随机取5张，计算取到的牌全为黑桃的概率。
在一副扑克牌中，有13张黑桃牌。
我们需要计算从13张黑桃牌中选取5张的可能性，以及从52张牌中选取5张的可能性。
首先，我们计算从13张黑桃牌中选取5张的可能性，即13选5。
这个可以通过排列组合公式来计算：13! / (5! * (13-5)!) = 1287。
接下来，我们计算从52张牌中选取5张的可能性，即52选5。
也可以使用排列组合公式来计算：52! / (5! * (52-5)!) = 2598960。
所以，取到的牌全为黑桃的概率为1287 / 2598960，约为0.000495。
练习题3：一个由0和1组成的4位数，以及一个由1和2组成的3位数，它们的百位、十位、个位各位上的数字都不相同，计算两个数相加等于300的概率。
我们需要计算满足条件的组合有多少种，以及总的组合有多少种。
首先，我们计算满足条件的组合数。
对于由0和1组成的4位数，百位不能为0，但可以为1，十位、个位不能为0或1，所以满足条件的组合数为1 * 2 * 1 * 1 = 2。
对于由1和2组成的3位数，百位和十位不能为1，所以满足条件的组合数为1 * 1 * 1 = 1。
因此，两个数相加等于300且满足条件的概率为2 / (2 * 1) = 1/2。
高中数学排列组合概率统计
排列组合：1．排列及计算公式．排列及计算公式从n 个不同元素中，任取m(m≤n)个元素按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列；从n 个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数，用符号用符号 p(n,m)表示. p(n,m)=n(n-1)(n-p(n,m)=n(n-1)(n-2)……(n 2)……(n 2)……(n-m+1)= n!/(n-m)!(-m+1)= n!/(n-m)!(规定0!=1). 2．组合及计算公式．组合及计算公式从n 个不同元素中，任取m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合；从n 个不同元素中取出m(m m(m≤n)≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数.用符号用符号 c(n,m) 表示. c(n,m)=p(n,m)/m!=n!/((n-m)!*m!)；c(n,m)=c(n,n-m); 3．其他排列与组合公式．其他排列与组合公式从n 个元素中取出r 个元素的循环排列数＝p(n,r)/r=n!/r(n-r)!. n 个元素被分成k 类，每类的个数分别是n1,n2,...nk 这n 个元素的全排列数为个元素的全排列数为 n!/(n1!*n2!*...*nk!). k 类元素,每类的个数无限,从中取出m 个元素的组合数为c(m+k-1,m). 排列（Pnm(n 为下标，m 为上标)）Pnm=n×（n-1）（n-m+1）；Pnm=n ！/（n-m ）！（注：！是阶乘符号）；Pnn （两个n 分别为上标和下标）分别为上标和下标） =n ！；0！=1；Pn1（n 为下标1为上标）=n 组合（Cnm(n 为下标，m 为上标)） Cnm=Pnm/Pmm Cnm=Pnm/Pmm ；；Cnm=n Cnm=n！！/m /m！（！（！（n-m n-m n-m）！；）！；）！；Cnn Cnn Cnn（两个（两个n 分别为上标和下标）分别为上标和下标） =1 =1 =1 ；；Cn1Cn1（（n 为下标1为上标）为上标）=n =n =n；；Cnm=Cnn-m排列定义 从n 个不同的元素中，取r 个不重复的元素，按次序排列，称为从n 个中取r 个的无重排列。
排列组合与概率计算
排列组合与概率计算在概率论和统计学中，排列组合是一种重要的数学工具，用于计算事件发生的可能性。
排列组合问题可以分为排列问题和组合问题两种类型。
本文将分别介绍排列和组合的概念，并探讨如何应用排列组合来计算概率。
一、排列排列是指从一组元素中选取若干个元素按照一定的顺序进行排列的过程。
排列问题中，元素的顺序是关键因素，不同的顺序会产生不同的排列结果。
对于给定的n个元素中选取r个元素进行排列，可以使用以下的排列公式来计算不同的排列可能性：P(n,r) = n! / (n-r)!其中，n! 表示n的阶乘，即n! = n * (n-1) * (n-2) * … * 2 * 1。
举例来说，假设有5个不同的球放入5个不同的盒子中，问有多少种放法？这就是一个排列问题。
根据排列公式可得：P(5,5) = 5! / (5-5)! = 5! / 0! = 120 / 1 = 120所以，共有120种不同的放法。
二、组合组合是指从一组元素中选取若干个元素进行组合的过程。
组合问题中，元素的顺序不是关键因素，只有元素的选择与否才会影响组合结果。
对于给定的n个元素中选取r个元素进行组合，可以使用以下的组合公式来计算不同的组合可能性：C(n,r) = n! / ((n-r)! * r!)举例来说，假设有9个不同的球，选取其中3个球，问有多少种不同的组合？这就是一个组合问题。
根据组合公式可得：C(9,3) = 9! / ((9-3)! * 3!) = 9! / (6! * 3!) = 84所以，共有84种不同的组合方式。
三、排列组合在概率计算中有着广泛的应用。
在计算事件的概率时，可以利用排列组合的原理来计算出事件发生的可能性。
例如，假设有一副标准扑克牌，从中抽取5张牌，问其中恰好有2张红心和3张黑桃的概率是多少？首先，我们需要确定总的样本空间，即抽取5张牌的不同排列数量。
根据排列公式，总共有：P(52,5) = 52! / (52-5)! = 52! / 47! = 2598960其次，我们需要确定符合条件的事件，即恰好有2张红心和3张黑桃的不同排列数量。
利用排列组合求解概率问题
利用排列组合求解概率问题概率问题是数学中非常重要的一个分支，而排列组合则是解决概率问题中常用的一种数学方法。
在这篇文章中，我们将深入探讨如何利用排列组合来解决概率问题。
一、排列组合的定义在正式探讨如何利用排列组合来解决概率问题之前，我们先来了解一下什么是排列组合。
排列指的是从$n$个不同元素中，任取$m(m \le n)$个元素进行排列的不同方式总数，记作$A_{n}^{m}$。
我们可以利用以下公式来计算排列的总数：$A_{n}^{m} = \frac{n!}{(n-m)!}$组合指的是从$n$个不同元素中，任取$m(m \le n)$个元素组成的不同子集总数，记作$C_{n}^{m}$ 或$\binom{n}{m}$。
我们可以利用以下公式来计算组合的总数：$C_{n}^{m}=\frac{n!}{m!(n-m)!}$因此，排列和组合可以用来解决不同的问题，比如概率问题。
二、下面我们来看几种利用排列组合求解概率问题的方法。
1. 可重复排列问题可重复排列指的是从$n$个可重复的元素中，任取$m(m \le n)$个元素进行排列的不同方式总数，记作$n^{m}$。
例如，一个只有红、黄、蓝三种颜色的小球，从中任意取出5个小球（可以重复取），共有多少种不同的取法？由于每个位置都可以重复出现三种颜色，因此总共的取法数为$3^{5}=243$。
2. 不可重复排列问题不可重复排列指的是从$n$个不同元素中，任取$m(m \le n)$个元素进行排列，且每个元素只能使用一次的不同方式总数，记作$A_{n}^{m}$。
例如，一个有9个不同字母的单词，从中任意取出5个字母，组成一个新的5字母单词，共有多少种不同的取法？由于每个字母只能用一次，因此共有$A_{9}^{5}=15120$种不同的取法。
3. 不可重复组合问题不可重复组合指的是从$n$个不同元素中，任取$m(m \le n)$个元素组成的不同子集总数，记作$C_{n}^{m}$。
概率论常见公式应用解析
概率论常见公式应用解析概率论是数学中的一个分支，主要研究随机事件的发生概率及其规律。
在概率论的学习中，常见公式的应用十分重要。
本文将通过解析常见的概率论公式，探讨它们在实际问题中的应用。
一、排列组合公式排列组合公式是概率论中最基础的公式之一，用于解决对象的排列组合问题。
在排列组合问题中，需要考虑对象的顺序、个数和选择情况。
下面我们来讨论常见排列组合公式的应用。
1.1. 阶乘公式阶乘公式（n!）在排列组合问题中经常使用，表示连乘从1到n的所有正整数。
例如，4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24。
阶乘公式可以简化排列组合问题的计算过程。
1.2. 排列公式排列公式（A(n, m)）应用于计算从n个对象中选取m个对象，并考虑对象的顺序。
例如，从5个不同的书中选取3本，可以使用排列公式A(5, 3) = 5! / (5-3)! = 60种不同的排列方式。
1.3. 组合公式组合公式（C(n, m)）用于计算从n个对象中选择m个对象，不考虑对象的顺序。
例如，从10个人中选取3个人组队，可以使用组合公式C(10, 3) = 10! / (3! × (10-3)!) = 120种不同的组合方式。
二、事件概率公式事件概率公式是概率论中的核心公式之一，用于计算随机事件的概率。
概率表示事件发生的可能性大小，是一个介于0和1之间的实数。
下面我们来讨论常见的事件概率公式及其应用。
2.1. 总则公式总则公式（P(A∪B)）用于计算两个事件A和B至少发生一个的概率。
根据总则公式，P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B)。
其中，P(A)表示事件A发生的概率，P(B)表示事件B发生的概率，P(A∩B)表示事件A和事件B同时发生的概率。
2.2. 条件概率公式条件概率公式（P(A|B)）用于计算事件A在事件B发生的条件下发生的概率。
根据条件概率公式，P(A|B) = P(A∩B) / P(B)。
数学运算题型篇第十四排列组合与概率
天智新思维公考培训 《行政职业能力基础课程》作者：天字1号（徐克猛）二零一三年三月十七日 写于无锡第二章 数学运算基础题型十四、排列组合与概率1. 排列组合的基础知识(1)、什么是C公式C 是指组合，从N 个元素取R 个，不进行排列（即不排序）。
例如：编号1～3的盒子，我们找出2个来使用,这里就是运用组合而不是排列，因为题目只是要求找出2个盒子的组合，即23C =3(2)、什么是A 或P公式A 或P 都是指排列，只是因为不同时期教材版本不一样采取的表现形式也不一样。
对于P 或A 的含义相当于是：从N 个元素取R 个进行排列(即排序)。
例如：1～3，我们取出2个数字出来组成2位数，可以是先取23C ，后排22A ，就构成了 23C ×22A ＝23A(3)、A 和C 的关系事实上通过我们上面2个对定义的分析，我们可以看出的是，A 比C 多了一个排序步骤，即组合是排列的一部分且是第一步骤。
(4)、计算方式以及技巧要求组合：C m n =m !(m −n )!×n !条件：N<=M 排列：A m n =m !(m −n )!条件：N<=M 为了在做排列组合的过程中能够对速度有必要的要求，我需要大家能够熟练的掌握1～7的阶乘， 当然在运算的过程中，我们要学会从逆向思维角度考虑问题，例如n m C 当中n 取值过大，那么我们可以看m-‐n 的值是否也很大，如果不大，我们可以求n m m C −，因为n mC ＝n m m C −。
2. 排列组合的基本形式排列组合当中重要的解题思想核心就是根据题目的特点学会“分类”和“分步”，“分类”是指分情况讨论，一道排列组合可能有几种不同的情况；而“分步”则是指一道排列组合题目按照步骤解题，将其分解成若干个步骤。
分类：加法原则，即学会把一个复杂的排列组合问题分解成若干部分，每个部分是独立的相互之间没有关联，然后把这若干种情况求出来，再计算总和。
高一数学排列组合与概率统计问题
种截断法，对应放到4个盒子里. 因此，不同的分配方案共有84种 .
6.错位法： 编号为1至n的n个小球放入编号为1到 n的n个盒 子里,每个盒子放一个小球.要求小球与盒子的编 号都不同,这种排列称为错位排列. 特别当n=2,3,4,5时的错位数各为1,2,9,44.
A44 A77
种A 排法.
→↑ →↑ ↑ →→→↑ →→ 1 ①2 ②③3 4 5 ④6 7
其中必有四个↑和七个→组成!
所以, 四个↑和七个→一个排序就对应一条路经,
所以从A到B共有
C51 (51)(81)
C141
条不同的路径.
5.剪截法（隔板法）：
n个 相同小球放入m(m≤n)个盒子里,要求每个 盒子里至少有一个小球的放法等价于n个相同小球 串成一串从间隙里选m-1个结点剪截成m段. 例5. 某校准备参加今年高中数学联赛,把16个选手 名额分配到高三年级的1-4 个教学班,每班至少一个 名额,则不同的分配方案共有___种.
例4. 5个人站成一排，甲总站在乙的右侧的有多少 种站法？
方法1：将5个人依次站成一排，有 A55 种站法，
然后再消去甲乙之间的顺序数 A22
∴甲总站在乙的右侧的有站法总数为
A55 A22
543
A53
方法2：先让甲乙之外的三人从5个位置选出3个站好，
有 A53 种站法，留下的两个位置自然给甲乙有1种站法
第一步，把甲乙排列(捆绑)： 有A22＝2种捆法甲 乙
第二步，甲乙两个人的梱看作一个元素与其它的排队：
有A55＝120种排法
共有2 120＝240种排法
几个元素必须相邻时,先 捆绑成一个元素，再与 其它的进行排列.
数学中的排列组合
数学中的排列组合在数学中，排列组合是一种常见的数学概念，它涉及到对对象进行选择、排列和组合的方法。
排列组合在许多领域中都有重要的应用，包括概率论、统计学、组合数学等。
本文将介绍排列组合的基本概念和常见应用。
一、排列的概念和计算方法排列是从给定对象中选择一部分进行排列组成新的序列。
在排列中，对象的顺序是重要的，即不同的顺序会得到不同的结果。
例如，从1、2、3这三个数字中选择两个数字进行排列，可能得到的结果有(1,2)、(1,3)、(2,1)、(2,3)、(3,1)、(3,2)共6种。
计算排列的数量可以使用阶乘的方法。
假设有n个对象，从中选取r个进行排列，排列的数量可以表示为P(n,r)。
计算公式为：P(n,r) = n! / (n-r)!其中，n!表示n的阶乘，即n! = n*(n-1)*(n-2)*...*2*1。
使用这个公式，可以很方便地计算出排列的数量。
二、组合的概念和计算方法组合是从给定对象中选择一部分进行组合，顺序不重要。
与排列不同，组合中不考虑对象的顺序，即相同的对象组合在一起被视为同一种情况。
例如，从1、2、3这三个数字中选择两个数字进行组合，可能得到的结果有{1,2}、{1,3}、{2,3}共3种。
计算组合的数量可以使用组合数的方法。
假设有n个对象，从中选取r个进行组合，组合的数量可以表示为C(n,r)。
计算公式为：C(n,r) = n! / (r!(n-r)!)其中，n!表示n的阶乘，r!表示r的阶乘。
使用这个公式，可以很方便地计算出组合的数量。
三、排列组合的应用排列组合在概率论、统计学、组合数学等领域有广泛的应用。
下面介绍一些常见的应用场景。
1. 概率计算：在概率计算中，排列组合用于计算事件发生的可能性。
例如，从一副扑克牌中抽取5张牌，计算得到一个指定的牌型的概率，就可以使用排列组合的方法。
2. 组合优化：在组合优化问题中，排列组合用于寻找最佳的组合方式。
例如，在物流配送问题中，通过计算不同城市之间的配送路线的排列组合，可以找到最短路径或最优路径。
离散数学排列组合计数原理和公式
离散数学排列组合计数原理和公式离散数学是数学中的一个分支，主要研究离散的对象和结构。
在离散数学中，排列组合是一个重要的概念，它涉及到计数原理和公式的运用。
本文将介绍离散数学中的排列组合计数原理和公式，并探讨其应用。
一、排列与组合的定义在离散数学中，排列与组合是两种常见的计数方法。
排列是指从一组元素中选取若干个元素进行排列，组合是指从一组元素中选取若干个元素进行组合。
1. 排列：从n个元素中选取r个元素进行排列的方法数称为排列数，用P(n, r)表示。
排列数的计算公式为：P(n, r) = n! / (n - r)!其中，n!表示n的阶乘，即n! = n * (n - 1) * (n - 2) * ... * 3 * 2 * 1。
2. 组合：从n个元素中选取r个元素进行组合的方法数称为组合数，用C(n, r)表示。
组合数的计算公式为：C(n, r) = n! / (r! * (n - r)!)注意，组合数中的元素顺序不影响结果。
二、排列组合计数原理排列组合计数原理是基于乘法原理和加法原理而来。
乘法原理指的是将多个步骤的选择乘起来作为总的选择方式，加法原理指的是将多种不同的选择方式累加起来。
1. 乘法原理：若第一步有m种选择，第二步有n种选择，那么整个过程有m * n种选择方式。
2. 加法原理：若第一种选择方式有m种，第二种选择方式有n种，那么整个过程有m + n种选择方式。
根据乘法原理和加法原理，我们可以得出排列组合计数的基本原理：若某件事有若干步骤完成，第一步有n1种选择，第二步有n2种选择，第r步有nr种选择，那么总的选择方式数为n1 * n2 * ... * nr。
三、排列组合的应用排列组合在实际问题中有着广泛的应用，下面讨论一些常见的应用场景。
1. 生日问题生日问题是一个经典的排列组合问题，在一个房间里有n个人，问至少有两个人生日相同的概率是多少？假设一年有365天且每个人的生日在一年中是等概率的。
如何使用排列组合计算概率问题
如何使用排列组合计算概率问题在数学中，排列组合是一个应用广泛的分支。
许多不同的学科都会使用排列组合，例如数据科学、统计学、计算机科学、物理学、经济学、化学等。
在本文中，我们将讨论如何使用排列组合计算概率问题。
首先，让我们回顾一下排列和组合的定义。
排列是一种有序选择，即从一组不同的元素中选择一些元素，并按照特定的顺序进行排列。
有时我们需要找出所有可能的不同排列。
例如，如果有三个不同的元素A、B和C，那么它们的所有排列包括ABC、ACB、BAC、BCA、CAB和CBA。
组合是一种无序选择，即从一组不同的元素中选择一些元素。
与排列不同，组合中的顺序并不重要。
例如，如果有三个不同的元素A、B和C，那么它们的所有组合包括ABC、ACB、BAC和BCA。
现在，让我们来看两个例子来解释如何使用排列组合计算概率。
例子1：假设有十个人，其中五个是男性，另外五个是女性。
我们选择三个人，问概率至少选择一个女性是多少？我们可以使用排列组合来解决这个问题。
首先，我们计算总共的选择方式。
在这个例子中，我们需要从十个人中选择三个人，因此总共的选择方式为10选3。
这可以表示为C(10,3)，其中C表示组合并计算公式为C(n,r) = n! / (r! * (n-r)!)。
然后，我们计算选择三个男性的方式。
我们在五个男性中选择三个的方式为C(5,3)。
然后，我们计算不选女性的方式，这也是选择三个男性的方式。
最后，我们计算至少选择一个女性的方式。
我们可以选择一名女性和两名男性，或者两名女性和一名男性，或者选择三名女性。
这些情况可以表示为[C(5,1) * C(5,2)] + [C(5,2) * C(5,1)] + C(5,3)。
因此，概率至少选择一名女性为1减去不选择女性的概率。
公式为[P = 1 - C(5,3)/C(10,3)]。
通过计算，得到该概率为0.83。
例子2：假设一个六面骰子被投掷两次。
问概率两次投掷的数字之和为7的概率是多少？我们可以使用排列组合来解决这个问题。
如何利用排列组合解决概率问题
如何利用排列组合解决概率问题在解决概率问题时，排列组合是一种常用的方法。
通过排列组合的计算，可以求解事件发生的可能性以及各种可能的情况数量。
本文将介绍如何利用排列组合解决概率问题，并提供相关示例。
一、概率的定义和基本原理概率是描述事件发生可能性的数值，通常用0到1之间的实数表示。
概率越接近1，表示事件发生的可能性越大；概率越接近0，表示事件发生的可能性越小。
概率的计算受到排列和组合的影响。
二、排列问题的解决方法排列是指从一组元素中按照一定的顺序取出若干元素，形成一个有序的排列。
排列问题通常涉及到“有放回”和“无放回”两种情况。
1. 有放回排列在有放回排列中，每次取出的元素放回原来的位置后再进行下一次的取出。
有放回排列的计算公式为：P(n, m) = n^m其中，P(n, m)表示从n个元素中取出m个元素进行排列的方案数。
示例1：如果有4个不同的球（红、黄、蓝、绿），现在从中取出3个球进行排列，请问一共有多少种不同的排列方式？解：根据有放回排列的计算公式，可以得到：P(4, 3) = 4^3 = 64因此，一共有64种不同的排列方式。
2. 无放回排列在无放回排列中，每次取出的元素不放回原来的位置，所以每次取出的元素数量会递减。
无放回排列的计算公式为：P'(n, m) = n(n-1)(n-2)...(n-m+1) = n!/(n-m)!其中，P'(n, m)表示从n个元素中取出m个元素进行排列的方案数，n!表示n的阶乘。
示例2：某班有10个学生，现要从中选出3名学生组成一个小组，请问一共有多少种不同的组合方式？解：根据无放回排列的计算公式，可以得到：P'(10, 3) = 10!/(10-3)! = 10!/7! = 10*9*8 = 720因此，一共有720种不同的组合方式。
三、组合问题的解决方法组合是指从一组元素中按照一定的顺序取出若干元素，形成一个无序的组合。
组合问题只涉及到“无放回”的情况。
利用排列组合解决概率问题
利用排列组合解决概率问题排列组合在解决概率问题中的应用概率问题是概率论中的重要分支，是研究随机事件发生的可能性大小及其规律的学科。
在实际生活和工作中，我们时常需要利用概率来解决一些实际问题。
而排列组合是计算概率问题中必不可少的工具之一。
本文将从排列、组合和排列组合的应用三个方面，来详细介绍在概率问题中如何利用排列组合来解决问题。
一、排列首先我们来说排列。
排列是将若干个对象按一定的顺序排成一列的不同方法数。
比如小学班中选出3人来排队，有多少种不同的排队方法？我们可以先算出第1个人有3种选择，第2个人有两种选择，第3个人有1种选择，所以一共有3×2×1=6种不同的排队方法。
这就是一个典型的排列问题。
一般地，从n个不同元素中任取m个，按一定顺序排成一列的不同排列数，记作A(n, m)，有公式：A(n, m) = n! / (n-m)!其中，n!表示n的阶乘，即n×(n-1)×(n-2)×⋯×2×1，0!=1；(n-m)!表示n-m的阶乘。
二、组合其次我们来说组合。
组合是从若干元素中任取m个元素，不考虑元素之间的顺序排列，共有多少种不同的选择方式。
比如小学班中选出3人来合影，有多少种不同的合影方式？我们可以先算出一共有10种选择，即从10人中选出3人的不同组合数，即C(10,3)=120，所以一共有120种不同的合影方式。
一般地，从n个不同元素中任取m个元素的不同组合数，记作C(n,m)，有公式：C(n,m)=n! / (m!(n-m)!)其中，阶乘同排列中的定义。
三、排列组合的应用最后我们来说排列组合在概率问题解决中的应用。
下面我们分别从两个方面来介绍。
(1) 案例分析比如有10个整数，其中6个为1，4个为2。
从这10个整数中任选3个整数，求其中至少有2个整数为1的概率。
我们可以分别计算3个整数中有2个为1的概率，和3个整数中全部为1的概率。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
利用排列组合计算概率问题
概率是数学中一个重要的概念，用来描述某个事件发生的可能性。
在现实生活中，我们经常需要计算概率来做出决策或者预测结果。
而排列组合是概率计算中常用的方法之一，它可以帮助我们解决各种概率问题。
一、排列组合的基本概念
排列和组合是数学中的两个概念，它们都是通过对一组元素进行选择和排列来计算概率。
排列是指从给定的元素集合中选取若干个元素，按照一定的顺序排列，形成不同的组合。
组合则是从给定的元素集合中选取若干个元素，不考虑顺序，形成不同的组合。
二、排列的计算方法
排列的计算方法比较简单，可以通过以下公式来计算：
P(n, m) = n! / (n-m)!
其中，P(n, m)表示从n个元素中选取m个元素进行排列的可能性，n!表示n的阶乘，即n*(n-1)*(n-2)*...*2*1。
例如，从5个人中选取3个人进行排列，可以计算为：
P(5, 3) = 5! / (5-3)! = 5! / 2! = 5*4*3 = 60
三、组合的计算方法
组合的计算方法稍微复杂一些，可以通过以下公式来计算：
C(n, m) = n! / (m!*(n-m)!)
其中，C(n, m)表示从n个元素中选取m个元素进行组合的可能性。
例如，从5个人中选取3个人进行组合，可以计算为：
C(5, 3) = 5! / (3!*(5-3)!) = 5! / (3!*2!) = 5*4 / 2 = 10
四、概率计算的实际应用
排列组合可以应用于各种实际问题中，例如：
1. 抽奖概率计算：假设有10个人参加抽奖活动，每个人的中奖概率相同，计
算其中5个人同时中奖的概率。
解答：可以使用组合的方法计算，即从10个人中选取5个人进行组合，计算
公式为：
C(10, 5) = 10! / (5!*(10-5)!) = 10! / (5!*5!) = 252
所以，其中5个人同时中奖的概率为1/252。
2. 生育概率计算：假设一个家庭有3个孩子，计算其中至少有2个女孩的概率。
解答：可以使用排列的方法计算，即从3个孩子中选取2个或3个孩子进行排列，计算公式为：
P(3, 2) + P(3, 3) = 3! / (3-2)! + 3! / (3-3)! = 3! / 1! + 3! / 0! = 3 + 6 = 9
所以，其中至少有2个女孩的概率为9/8。
通过以上两个实际应用的例子，我们可以看到排列组合在概率计算中的重要性
和实用性。
它可以帮助我们计算各种复杂的概率问题，从而做出更明智的决策或者预测结果。
总结起来，排列组合是概率计算中的重要工具，可以帮助我们解决各种概率问题。
通过掌握排列组合的基本概念和计算方法，我们可以更好地理解和应用概率理论，提高自己的数学能力和解决问题的能力。
在实际生活中，我们可以利用排列组合来计算各种概率，从而做出更准确的判断和决策。