2004年全国初中数学竞赛试题及答案(初三)

2004年“TRULY ®信利杯”全国初中数学竞赛试题一、 选择题（共5小题，每小题6分，满分30分. 以下每道小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里. 不填、多填或错填得零分）1. 已知实数b a ≠，且满足)1(33)1(2+-=+a a ，2)1(3)1(3+-=+b b .则ba a ab b+的值为（ ）. （A ）23 （B ）23- （C ）2- （D ）13-答：选（B ）∵ b a 、是关于x 的方程()03)1(312=-+++x x的两个根，整理此方程，得0152=++x x ，∵ 0425>-=∆， ∴ 5-=+b a ，1=ab . 故b a 、均为负数. 因此()232222-=-+-=+-=--=+abab b a ab ab b a ab b a ab a b b a a a b b . 2. 若直角三角形的两条直角边长为a 、b ，斜边长为c ，斜边上的高为h ，则有（ ）.（A ）2h ab = （B ）h b a 111=+ （C ）222111hb a =+ （D ）2222h b a =+答：选（C ）∵ 0>>h a ，0>>h b ，∴ 2h ab >，222222h h h b a =+>+； 因此，结论（A ）、（D ）显然不正确. 设斜边为c ，则有c b a >+，ab ch h b a 2121)(21=>+，即有 hb a 111>+， 因此，结论（B ）也不正确. 由ab h b a 212122=+化简整理后，得222111hb a =+， 因此结论（C ）是正确的.3. 一条抛物线c bx ax y ++=2的顶点为()11,4-，且与x 轴的两个交点的横坐标为一正一负，则c b a 、、中为正数的（ ）. （A ）只有a （B ）只有b （C ）只有c （D ）只有a 和b 答：选（A ）由顶点为()11,4-，抛物线交x 轴于两点，知0>a .设抛物线与x 轴的两个交点的横坐标为1x ，2x ，即为方程02=++c bx ax的两个根.由题设021<x x ，知0<ac，所以0<c .根据对称轴4=x ，即有02>-ab，知0<b . 故知结论（A ）是正确的.4. 如图所示，在△ABC 中， FG AB DE ∥∥，且FG 到AB DE 、的距离之比为21：. 若△ABC 的面积为32，△CDE的面积为2，则△CFG 的面积S 等于（ ）.（A ）6 （B ）8 （C ）10 （D ）12 答：选（B ）由FG AB DE ∥∥知，△CDE ∽△CAB ，△CDE ∽△41322===∆∆CABCDES S CACD， 又由题设知21=FA FD ，所以 31=AD FD ， AC AC AD FD 41433131=⨯==，故DC FD =，于是41212=⎪⎭⎫ ⎝⎛=∆∆CFG CDE S S ，8=∆CFG S .因此，结论（B ）是正确的.5. 如果x 和y 是非零实数，使得3=+y x 和03=+x y x ，那么y x +等于（ ）. （A ）3 （B ）13 （C ）2131- （D ）134- 答：选（D ）将x y -=3代入03=+x y x ，得0323=+-x x x .（1）当0>x 时，0323=+-x x x ，方程032=+-x x 无实根； （2）当0<x 时，0323=--x x x ，得方程032=--x x解得2131±=x ，正根舍去，从而2131-=x . 于是2137213133-=-+=-=x y . 故134-=+y x .因此，结论（D ）是在正确的.二、 填空题（共5小题，每小题6分，满分30分） 6. 如图所示，在△ABC 中，AE AD AC AB ==,，︒=∠60BAD ，则=∠EDC （度）. 答：︒30解：设α2=∠CAD ，由AB =AC 知αα-︒=-︒-︒=∠60)260180(21B ，α+︒=︒-∠-︒=∠6060180B ADB ， 由AD =AE 知，α-︒=∠90ADE ，所以︒=∠-∠-︒=∠30180ADB ADE EDC .7. 据有关资料统计，两个城市之间每天的电话通话次数T 与这两个城市的人口数nm 、（单位：万人）以及两城市间的距离d （单位：km ）有2d kmnT =的关系(k 为常数) . 现测得C B A 、、三个城市的人口及它们之间的距离如图所示，且已知B A 、两个城市间每天的电话通话次数为t ，那么C B 、两个城市间每天的电话通话次数为 次（用t 表示）.答：2t解：据题意，有k t 21608050⨯=， ∴t k 532=.因此，C B 、两个城市间每天的电话通话次数为2645532320100802t k T BC ⨯=⨯⨯=8. 已知实数y x b a 、、、满足2=+=+y x b a ，5=+by ax ，则=+++)()(2222y x ab xy b a . 答：5-解：由2=+=+y x b a ，得4))((=+++=++bx ay by ax y x b a ， ∵ 5=+by ax ， ∴ 1-=+bx ay .因而，5))(()()(2222-=++=+++by ax bx ay y x ab xy b a .9. 如图所示，在梯形ABCD 中，BC AD ∥()AD BC >，︒=∠90D ， 12==CD BC , ︒=∠45ABE ，若10=AE ，则CE 的长为 . 答：4或6 解：延长DA 至M ，使BE BM ⊥. 过B 作AM BG ⊥，G 为垂足.易知四边形BCDG 为正方形，所以BG BC =. 又GBM CBE ∠=∠， ∴ BEC Rt ∆≌BEG Rt ∆.∴BE BM =，︒=∠=∠45ABM ABE ，∴△ABE ≌△ABM ，10==AE AM .设x CE =，则=AG x -10，=AD x x -=--2)10(12，=DE x -12.在Rt △ADE 中，222DE AD AE +=， ∴ 22)12()2(100x x -++=，（第9题图）（第6题图）（第7题图）即024102=+-x x ， 解之，得41=x ，62=x .故CE 的长为4或6.10. 实数z y x 、、满足5=++z y x ， 3=++zx yz xy ，则z 的最大值是 .答：313解：∵ z y x -=+5，35)5(3)(32+-=--=+-=z z z z y x z xy ， ∴y x 、是关于t 的一元二次方程035)5(22=+-+--z z t z t的两实根.∵ 0)35(4)5(22≥+---=∆z z z ，即0131032≤--z z ，0)1)(133(≤+-z z .∴ 313≤z ，当31==y x 时，313=z .故z 的最大值为313.三、 解答题（共4题，每小题15分，满分60分）11. 通过实验研究，专家们发现：初中学生听课的注意力指标数是随着老师讲课时间的变化而变化的，讲课开始时，学生的兴趣激增，中间有一段时间，学生的兴趣保持平稳的状态，随后开始分散. 学生注意力指标数y 随时间x （分钟）变化的函数图象如图所示（y 越大表示学生注意力越集中）. 当100≤≤x 时，图象是抛物线的一部分，当2010≤≤x 和4020≤≤x 时，图象是线段.（1）当100≤≤x 时，求注意力指标数y 与时间x 的函数关系式；（2）一道数学竞赛题需要讲解24分钟. 问老师能否经过适当安排，使学生在听这道题时，注意力的指标数都不低于36.解：（1）当100≤≤x 时，设抛物线的函数关系式为c bx ax y ++=2，由于它的图象经过点()20,0，()()48,10,39,5，所以⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=.4810100,39525,20c b a c b a c 解得，51-=a ，524=b ，20=c . 所以20524512++-=x x y ，100≤≤x . …………………（5分）（2）当4020≤≤x 时，7657+-=x y .所以，当100≤≤x 时，令y =36，得2052451362++-=x x ， 解得4=x ，20=x （舍去）；当4020≤≤x 时，令36=y ，得765736+-=x ，解得 74287200==x . ……………………（10分） 因为24742447428>=-，所以，老师可以经过适当的安排，在学生注意力指标数不低于36时，讲授完这道竞赛题. ……………………（15分）12. 已知b a 、是实数，关于y x 、的方程组⎩⎨⎧+=--=bax y bx ax x y ,23 有整数解),(y x ，求b a ,满足的关系式.解：将b ax y +=代入bx ax x y --=23，消去b a 、，得xy x y -=3， ………………………（5分）3)1(x y x =+.若01=+x ，即1-=x ，则上式左边为0，右边为1-不可能. 所以01≠+x ，于是111123+-+-=+=x x x x x y .因为y x 、都是整数，所以11±=+x ，即2-=x 或0=x ，进而8=y 或=y 0. 故⎩⎨⎧=-=82y x 或 ⎩⎨⎧==00y x ………………………（10分）当⎩⎨⎧=-=82y x 时，代入b ax y +=得，082=+-b a ；当⎩⎨⎧==00y x 时，代入b ax y +=得，0=b .综上所述，b a 、满足关系式是082=+-b a ，或者0=b ，a 是任意实数.………………………（15分）13. D 是△ABC 的边AB 上的一点，使得AD AB 3=，P 是△ABC 外接圆上一点，使得ACB ADP ∠=∠，求PDPB的值. 解：连结AP ，则ADP ACB APB ∠=∠=∠，所以，△APB ∽△ADP ， …………………………（5分） ∴ADAP AP AB =， 所以223AD AD AB AP =∙=，∴AD AP 3=， …………………………（10分）所以3==ADAP PD PB . …………………………（15分）（第13（A ）题图）14. 已知0<a ，0≤b ，0>c ，且ac b ac b 242-=-，求ac b 42-的最小值. 解：令c bx ax y ++=2，由0<a ，0≤b ，0>c ，判别式042>-=∆ac b ，所以这个二次函数的图象是一条开口向下的抛物线，且与x 轴有两个不同的交点)0,(1x A ，)0,(2x B ，因为021<=acx x ，不妨设21x x <，则210x x <<，对称轴02≤-=abx ，于是 caac b b a ac b b x =--=-+-=2424221，………………（5分）所以a acb a ac b b c a b ac 242444222--≥--=≥-， …………………（10分） 故442≥-ac b ，当1-=a ，0=b ，1=c 时，等号成立.所以，ac b 42-的最小值为4. ………………………（15分）（第14（A ）题图）。