大一高数复习资料[精品资料][1]
大一高数知识点总结全
大一高数知识点总结全一、导数与微分1. 函数极限和连续性1.1 函数极限的定义和性质1.2 无穷大与无穷小1.3 函数的连续性与间断点2. 导数与微分2.1 导数的定义与性质2.2 常见函数的导数2.3 高阶导数与隐函数求导二、微分中值定理与高阶导数应用1. 中值定理1.1 罗尔定理1.2 拉格朗日中值定理1.3 柯西中值定理2. 泰勒公式与函数的局部性质2.1 泰勒公式及余项2.2 函数的单调性与极值2.3 函数的凹凸性与拐点3. 高阶导数的应用3.1 曲率与曲线的切线与法线3.2 凸函数与凹函数的判定三、定积分与不定积分1. 定积分的意义与性质1.1 定积分的定义1.2 定积分的性质与运算法则1.3 可积条件与Newton-Leibniz公式2. 不定积分2.1 不定积分的定义与基本公式2.2 基本不定积分的计算方法2.3 图形与面积的应用四、微分方程1. 常微分方程基本概念1.1 微分方程的定义与基本概念1.2 一阶线性微分方程1.3 可分离变量的微分方程2. 常系数线性微分方程2.1 齐次线性微分方程2.2 非齐次线性微分方程2.3 变量变换与常系数线性微分方程3. 高阶线性微分方程3.1 n阶齐次与非齐次线性微分方程3.2 常系数线性齐次微分方程的特征方程 3.3 可降阶的线性非齐次微分方程五、多元函数微分学1. 二元函数的极限与连续性1.1 二元函数的极限定义1.2 二元函数的连续性1.3 多元函数的极限与连续性2. 偏导数与全微分2.1 偏导数的定义与计算方法2.2 高阶偏导数与混合偏导数2.3 全微分与微分近似3. 隐函数与参数方程求导3.1 隐函数与参数方程的基本概念3.2 隐函数求导与相关性质3.3 参数方程求导与相关性质以上是大一高数的知识点总结，通过学习这些内容，能够掌握基本的导数与微分、定积分与不定积分、微分方程以及多元函数微分学的知识。
希望这份总结对你的学习有所帮助。
大一高数详细知识点
大一高数详细知识点高等数学是大一学生必修的一门课程，它是对初等数学的拓展和深化，涵盖了微积分、线性代数、概率论等不同领域的知识。
下面将详细介绍大一高数课程中的主要知识点。
1. 极限与函数- 极限的定义与性质：极限的正式定义、极限存在的条件、无穷大与无穷小、极限运算法则等。
- 函数的基本性质：函数的定义域和值域、奇偶性、周期性、单调性等。
- 常见函数的极限：常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等的极限计算方法。
2. 导数与微分- 导数的定义与性质：导数的几何意义、导数存在的条件、导数的运算法则等。
- 基本函数的导数：常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等的导数计算方法。
- 高阶导数：二阶导数、高阶导数的概念及计算方法。
- 微分的定义与应用：微分的概念、微分的几何意义、微分的近似计算及应用。
3. 不定积分与定积分- 不定积分的概念与性质：不定积分的定义、基本积分法则、换元积分法等。
- 基本函数的不定积分：常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等的不定积分计算方法。
- 定积分的概念与性质：定积分的定义、定积分的几何意义、定积分的性质等。
- 定积分的计算方法：分部积分法、换元积分法、定积分的应用等。
4. 一元函数的应用- 函数的极值与最值：函数的最大值、最小值的定义、求解方法及其应用。
- 凹凸性与拐点：函数的凹凸性定义、寻找拐点的条件及其应用。
- 曲线的图形与方程：利用函数的性质绘制曲线图形、求解函数的方程。
5. 多元函数与偏导数- 多元函数的定义与性质：多元函数的定义、定义域、值域等。
- 偏导数的概念与计算方法：一阶偏导数、高阶偏导数的定义及其计算方法。
- 多元函数的极值与最值：多元函数的最大值、最小值的定义、求解方法及其应用。
6. 无穷级数与幂级数- 数列极限与无穷级数：数列极限的定义、极限存在的条件、常见无穷级数的收敛性判断方法。
- 幂级数的概念与收敛域：幂级数的定义、收敛域的判定方法及应用。
大一上学期高数知识点大全
大一上学期高数知识点大全1. 代数的基本概念1.1. 实数和复数1.2. 整式与分式1.3. 幂与根1.4. 指数与对数2. 函数与极限2.1. 函数的基本概念2.2. 一次函数与二次函数2.3. 指数函数与对数函数2.4. 极限的定义与性质3. 导数与微分3.1. 导数的定义与性质3.2. 常见函数的导数3.3. 高阶导数3.4. 微分的定义与应用4. 积分与不定积分4.1. 不定积分的定义与性质 4.2. 基本积分公式4.3. 定积分的定义与性质4.4. 牛顿-莱布尼茨公式5. 一元函数的应用5.1. 函数的增减性与最值问题 5.2. 函数与导数的几何意义 5.3. 曲线的图像与拐点5.4. 泰勒展开与近似计算6. 二元函数与多元函数6.1. 二元函数的性质与图像 6.2. 多元函数的极值与最值6.3. 偏导数与全微分6.4. 隐函数与参数方程7. 重积分与曲线积分7.1. 二重积分的定义与计算 7.2. 三重积分的定义与计算 7.3. 曲线积分的定义与计算 7.4. 曲面积分的定义与计算8. 空间解析几何8.1. 点、直线和平面的方程 8.2. 空间曲线与曲面8.3. 空间向量与坐标系8.4. 空间几何运算和投影9. 常微分方程9.1. 基本概念与一阶微分方程9.2. 可降阶的一阶微分方程9.3. 二阶线性常微分方程9.4. 高阶常微分方程的初值问题以上是大一上学期高等数学的主要知识点，通过深入学习这些内容，可以为后续学习及应用数学打下坚实的基础。
希望对你的学习有所帮助！。
高数大一必考知识点归纳
高数大一必考知识点归纳高数是大一必考的一门重要课程，全面掌握其中的知识点对于大家的学习和未来的学习生涯都至关重要。
为了帮助大家更好地备考高数，本文将对大一必考的高数知识点进行归纳总结，希望能对大家的学习有所帮助。
1. 函数与极限1.1 函数的概念与性质：函数的定义、函数的图像、函数的奇偶性、函数的周期性等。
1.2 极限的概念与性质：函数极限的定义、左极限和右极限、极限的四则运算性质等。
1.3 无穷大与无穷小：无穷小的定义、无穷小的性质、无穷大的定义、无穷大的性质等。
2. 导数与微分2.1 导数的概念与计算方法：导数的定义、导数的基本公式、常见函数的导数、高阶导数等。
2.2 微分的概念与计算方法：微分的定义、微分的运算法则、微分中值定理等。
2.3 高阶导数与泰勒展开：高阶导数的概念、泰勒展开式的定义与应用等。
3. 不定积分与定积分3.1 不定积分的概念与计算方法：不定积分的定义、基本积分法、换元积分法等。
3.2 定积分的概念与计算方法：定积分的定义、定积分的性质、定积分的计算方法等。
3.3 微积分基本定理：微积分基本定理的概念、反导数与不定积分、定积分与面积计算等。
4. 微分方程4.1 微分方程的基本概念：微分方程的定义、微分方程的阶、常微分方程与偏微分方程等。
4.2 一阶微分方程：可分离变量的微分方程、一阶线性微分方程等。
4.3 高阶线性微分方程：二阶齐次线性微分方程、二阶非齐次线性微分方程等。
5. 多元函数与偏导数5.1 多元函数的概念与性质：多元函数的定义、多元函数的图像、多元函数的极限、多元函数的连续性等。
5.2 偏导数的概念与计算方法：偏导数的定义、偏导数的几何意义、偏导数的运算法则等。
5.3 高阶偏导数与全微分：高阶偏导数的概念、全微分的定义与计算方法等。
综上所述，以上列举的知识点是大一必考的高数知识点的主要内容。
大家在备考过程中可以根据这些知识点进行系统性的学习和复习，理解每个知识点的概念、性质和计算方法，并通过大量的练习题加深对知识点的理解和掌握。
最新大一高数复习资料
大一高数复习资料高等数学第一章函数与极限第一节函数○函数基础（高中函数部分相关知识）（★★★）○邻域（去心邻域）（★）«Skip Record If...»«Skip Record If...»第二节数列的极限○数列极限的证明（★）【题型示例】已知数列«Skip Record If...»，证明«Skip Record If...»【证明示例】«Skip Record If...»语言1．由«Skip Record If...»化简得«Skip Record If...»，∴«Skip Record If...»2．即对«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，当«Skip Record If...»时，始终有不等式«Skip Record If...»成立，∴«Skip Record If...»第三节函数的极限○«Skip Record If...»时函数极限的证明（★）【题型示例】已知函数«Skip Record If...»，证明«Skip Record If...»【证明示例】«Skip Record If...»语言1．由«Skip Record If...»化简得«Skip Record If...»，∴«Skip Record If...»2．即对«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，当«Skip Record If...»时，始终有不等式«Skip Record If...»成立，∴«Skip Record If...»○«Skip Record If...»时函数极限的证明（★）【题型示例】已知函数«Skip Record If...»，证明«Skip Record If...»【证明示例】«Skip Record If...»语言1．由«Skip Record If...»化简得«Skip Record If...»，∴«Skip Record If...»2．即对«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，当«Skip Record If...»时，始终有不等式«Skip Record If...»成立，∴«Skip Record If...»第四节无穷小与无穷大○无穷小与无穷大的本质（★）函数«Skip Record If...»无穷小«Skip Record If...»«Skip Record If...»函数«Skip Record If...»无穷大«Skip Record If...»«Skip Record If...»○无穷小与无穷大的相关定理与推论（★★）（定理三）假设«Skip Record If...»为有界函数，«Skip Record If...»为无穷小，则«SkipRecord If...»（定理四）在自变量的某个变化过程中，若«Skip Record If...»为无穷大，则«Skip Record If...»为无穷小；反之，若«Skip Record If...»为无穷小，且«Skip Record If...»，则«Skip Record If...»为无穷大【题型示例】计算：«Skip Record If...»（或«Skip Record If...»）1．∵«Skip Record If...»≤«Skip Record If...»∴函数«Skip Record If...»在«Skip Record If...»的任一去心邻域«Skip Record If...»内是有界的；（∵«Skip Record If...»≤«Skip Record If...»，∴函数«Skip Record If...»在«Skip Record If...»上有界；）2．«Skip Record If...»即函数«Skip Record If...»是«Skip Record If...»时的无穷小；（«Skip Record If...»即函数«Skip Record If...»是«Skip Record If...»时的无穷小；）3．由定理可知«Skip Record If...»（«Skip Record If...»）第五节极限运算法则○极限的四则运算法则（★★）（定理一）加减法则（定理二）乘除法则关于多项式«Skip Record If...»、«Skip Record If...»商式的极限运算设：«Skip Record If...»则有«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»（特别地，当«Skip Record If...»（不定型）时，通常分子分母约去公因式即约去可去间断点便可求解出极限值，也可以用罗比达法则求解）【题型示例】求值«Skip Record If...»【求解示例】解：因为«Skip Record If...»，从而可得«Skip Record If...»，所以原式«Skip Record If...»其中«Skip Record If...»为函数«Skip Record If...»的可去间断点倘若运用罗比达法则求解（详见第三章第二节）：解：«Skip Record If...»○连续函数穿越定理（复合函数的极限求解）（★★）（定理五）若函数«Skip Record If...»是定义域上的连续函数，那么，«Skip Record If...»【题型示例】求值：«Skip Record If...»【求解示例】«Skip Record If...»第六节极限存在准则及两个重要极限○夹迫准则（P53）（★★★）第一个重要极限：«Skip Record If...»∵«Skip Record If...»，«Skip Record If...»∴«Skip Record If...»«Skip Record If...»（特别地，«Skip Record If...»）○单调有界收敛准则（P57）（★★★）第二个重要极限：«Skip Record If...»（一般地，«Skip Record If...»，其中«Skip Record If...»）【题型示例】求值：«Skip Record If...»【求解示例】«Skip Record If...»第七节无穷小量的阶（无穷小的比较）○等价无穷小（★★）1．«Skip Record If...»2．«Skip Record If...»（乘除可替，加减不行）【题型示例】求值：«Skip Record If...»【求解示例】«Skip Record If...»第八节函数的连续性○函数连续的定义（★）«Skip Record If...»○间断点的分类（P67）（★）«Skip Record If...»（特别地，可去间断点能在分式中约去相应公因式）【题型示例】设函数«Skip Record If...»，«Skip Record If...»应该怎样选择数«Skip Record If...»，使得«Skip Record If...»成为在«Skip Record If...»上的连续函数？【求解示例】1．∵«Skip Record If...»2．由连续函数定义«Skip Record If...»∴«Skip Record If...»第九节闭区间上连续函数的性质○零点定理（★）【题型示例】证明：方程«Skip Record If...»至少有一个根介于«Skip Record If...»与«Skip Record If...»之间【证明示例】1．（建立辅助函数）函数«Skip Record If...»在闭区间«Skip Record If...»上连续；2．∵«Skip Record If...»（端点异号）3．∴由零点定理，在开区间«Skip Record If...»内至少有一点«Skip Record If...»，使得«Skip Record If...»，即«Skip Record If...»（«Skip Record If...»）4．这等式说明方程«Skip Record If...»在开区间«Skip Record If...»内至少有一个根«Skip Record If...»第二章导数与微分第一节导数概念○高等数学中导数的定义及几何意义（P83）（★★）【题型示例】已知函数«Skip Record If...»，«Skip Record If...»在«Skip Record If...»处可导，求«Skip Record If...»，«Skip Record If...»【求解示例】1．∵«Skip Record If...»，«Skip Record If...»2．由函数可导定义«Skip Record If...»∴«Skip Record If...»【题型示例】求«Skip Record If...»在«Skip Record If...»处的切线与法线方程（或：过«Skip Record If...»图像上点«Skip Record If...»处的切线与法线方程）【求解示例】1．«Skip Record If...»，«Skip Record If...»2．切线方程：«Skip Record If...»法线方程：«Skip Record If...»第二节函数的和（差）、积与商的求导法则○函数和（差）、积与商的求导法则（★★★）1．线性组合（定理一）：«Skip Record If...»特别地，当«Skip Record If...»时，有«Skip Record If...»2．函数积的求导法则（定理二）：«Skip Record If...»3．函数商的求导法则（定理三）：«Skip Record If...»第三节反函数和复合函数的求导法则○反函数的求导法则（★）【题型示例】求函数«Skip Record If...»的导数【求解示例】由题可得«Skip Record If...»为直接函数，其在定于域«Skip Record If...»上单调、可导，且«Skip Record If...»；∴«Skip Record If...»○复合函数的求导法则（★★★）【题型示例】设«Skip Record If...»，求«Skip Record If...»【求解示例】«Skip Record If...»第四节高阶导数○«Skip Record If...»（或«Skip Record If...»）（★）【题型示例】求函数«Skip Record If...»的«Skip Record If...»阶导数【求解示例】«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，«Skip Record If...»……«Skip Record If...»第五节隐函数及参数方程型函数的导数○隐函数的求导（等式两边对«Skip Record If...»求导）（★★★）【题型示例】试求：方程«Skip Record If...»所给定的曲线«Skip Record If...»：«Skip Record If...»在点«Skip Record If...»的切线方程与法线方程【求解示例】由«Skip Record If...»两边对«Skip Record If...»求导即«Skip Record If...»化简得«Skip Record If...»∴«Skip Record If...»∴切线方程：«Skip Record If...»法线方程：«Skip Record If...»○参数方程型函数的求导【题型示例】设参数方程«Skip Record If...»，求«Skip Record If...»【求解示例】1.«Skip Record If...»2.«Skip Record If...»第六节变化率问题举例及相关变化率（不作要求）第七节函数的微分○基本初等函数微分公式与微分运算法则（★★★）«Skip Record If...»第三章中值定理与导数的应用第一节中值定理○引理（费马引理）（★）○罗尔定理（★★★）【题型示例】现假设函数«Skip Record If...»在«Skip Record If...»上连续，在«Skip Record If...»上可导，试证明：«Skip Record If...»，使得«Skip Record If...»成立【证明示例】1．（建立辅助函数）令«Skip Record If...»显然函数«Skip Record If...»在闭区间«Skip Record If...»上连续，在开区间«Skip Record If...»上可导；2．又∵«Skip Record If...»«Skip Record If...»即«Skip Record If...»3．∴由罗尔定理知«Skip Record If...»，使得«Skip Record If...»成立○拉格朗日中值定理（★）【题型示例】证明不等式：当«Skip Record If...»时，«Skip Record If...»【证明示例】1．（建立辅助函数）令函数«Skip Record If...»，则对«Skip Record If...»，显然函数«Skip Record If...»在闭区间«Skip Record If...»上连续，在开区间«Skip Record If...»上可导，并且«Skip Record If...»；2．由拉格朗日中值定理可得，«Skip Record If...»使得等式«Skip Record If...»成立，又∵«Skip Record If...»，∴«Skip Record If...»，化简得«Skip Record If...»，即证得：当«Skip Record If...»时，«Skip Record If...»【题型示例】证明不等式：当«Skip Record If...»时，«Skip Record If...»【证明示例】1．（建立辅助函数）令函数«Skip Record If...»，则对«Skip Record If...»，函数«Skip Record If...»在闭区间«Skip Record If...»上连续，在开区间«Skip Record If...»上可导，并且«Skip Record If...»；2．由拉格朗日中值定理可得，«Skip Record If...»使得等式«Skip Record If...»成立，化简得«Skip Record If...»，又∵«Skip Record If...»，∴«Skip Record If...»，∴«Skip Record If...»，即证得：当«Skip Record If...»时，«Skip Record If...»第二节罗比达法则○运用罗比达法则进行极限运算的基本步骤（★★）1．☆等价无穷小的替换（以简化运算）2．判断极限不定型的所属类型及是否满足运用罗比达法则的三个前提条件A．属于两大基本不定型（«Skip Record If...»）且满足条件，则进行运算：«Skip Record If...»（再进行1、2步骤，反复直到结果得出）B．☆不属于两大基本不定型（转化为基本不定型）⑴«Skip Record If...»型（转乘为除，构造分式）【题型示例】求值：«Skip Record If...»【求解示例】«Skip Record If...»（一般地，«Skip Record If...»，其中«Skip Record If...»）⑵«Skip Record If...»型（通分构造分式，观察分母）【题型示例】求值：«Skip Record If...»【求解示例】«Skip Record If...»«Skip Record If...»⑶«Skip Record If...»型（对数求极限法）【题型示例】求值：«Skip Record If...»【求解示例】«Skip Record If...»⑷«Skip Record If...»型（对数求极限法）【题型示例】求值：«Skip Record If...»【求解示例】«Skip Record If...»⑸«Skip Record If...»型（对数求极限法）【题型示例】求值：«Skip Record If...»【求解示例】«Skip Record If...»○运用罗比达法则进行极限运算的基本思路（★★）«Skip Record If...»⑴通分获得分式（通常伴有等价无穷小的替换）⑵取倒数获得分式（将乘积形式转化为分式形式）⑶取对数获得乘积式（通过对数运算将指数提前）第三节泰勒中值定理（不作要求）第四节函数的单调性和曲线的凹凸性○连续函数单调性（单调区间）（★★★）【题型示例】试确定函数«Skip Record If...»的单调区间【求解示例】1．∵函数«Skip Record If...»在其定义域«Skip Record If...»上连续，且可导∴«Skip Record If...»2．令«Skip Record If...»，解得：«Skip Record If...»3．（三行表）4．∴函数«Skip Record If...»的单调递增区间为«Skip Record If...»；单调递减区间为«Skip Record If...»【题型示例】证明：当«Skip Record If...»时，«Skip Record If...»【证明示例】1．（构建辅助函数）设«Skip Record If...»，（«Skip Record If...»）2．«Skip Record If...»，（«Skip Record If...»）∴«Skip Record If...»3．既证：当«Skip Record If...»时，«Skip Record If...»【题型示例】证明：当«Skip Record If...»时，«Skip Record If...»【证明示例】1．（构建辅助函数）设«Skip Record If...»，（«Skip Record If...»）2．«Skip Record If...»，（«Skip Record If...»）∴«Skip Record If...»3．既证：当«Skip Record If...»时，«Skip Record If...»○连续函数凹凸性（★★★）【题型示例】试讨论函数«Skip Record If...»的单调性、极值、凹凸性及拐点【证明示例】1．«Skip Record If...»2．令«Skip Record If...»解得：«Skip Record If...»3．（四行表）»»«Skip Re co rd If.. .»«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»«S kip Re co rd If.. .»«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»,«Skip Record If...»单调递增区间为«Skip Record If...»,«Skip Record If...»；⑵函数«Skip Record If...»的极小值在«Skip Record If...»时取到，为«Skip Record If...»，极大值在«Skip Record If...»时取到，为«Skip Record If...»；⑶函数«Skip Record If...»在区间«Skip Record If...»,«Skip Record If...»上凹，在区间«Skip RecordIf...»,«Skip Record If...»上凸；⑷函数«Skip Record If...»的拐点坐标为«Skip Record If...»第五节函数的极值和最大、最小值○函数的极值与最值的关系（★★★）⑴设函数«Skip Record If...»的定义域为«Skip Record If...»，如果«Skip Record If...»的某个邻域«Skip Record If...»，使得对«Skip Record If...»，都适合不等式«Skip Record If...»，我们则称函数«Skip Record If...»在点«Skip Record If...»处有极大值«Skip RecordIf...»；令«Skip Record If...»则函数«Skip Record If...»在闭区间«Skip Record If...»上的最大值«Skip Record If...»满足：«Skip Record If...»；⑵设函数«Skip Record If...»的定义域为«Skip Record If...»，如果«Skip Record If...»的某个邻域«Skip Record If...»，使得对«Skip Record If...»，都适合不等式«Skip Record If...»，我们则称函数«Skip Record If...»在点«Skip Record If...»处有极小值«Skip RecordIf...»；令«Skip Record If...»则函数«Skip Record If...»在闭区间«Skip Record If...»上的最小值«Skip Record If...»满足：«Skip Record If...»；【题型示例】求函数«Skip Record If...»在«Skip Record If...»上的最值【求解示例】1．∵函数«Skip Record If...»在其定义域«Skip Record If...»上连续，且可导∴«Skip Record If...»2．令«Skip Record If...»，解得：«Skip Record If...»3．（三行表）4．又∵∴«Skip Record If...»第六节函数图形的描绘（不作要求）第七节曲率（不作要求）第八节方程的近似解（不作要求）第四章不定积分第一节不定积分的概念与性质○原函数与不定积分的概念（★★）⑴原函数的概念：假设在定义区间«Skip Record If...»上，可导函数«Skip Record If...»的导函数为«Skip Record If...»，即当自变量«Skip Record If...»时，有«Skip Record If...»或«Skip Record If...»成立，则称«Skip Record If...»为«Skip Record If...»的一个原函数⑵原函数存在定理：（★★）如果函数«Skip Record If...»在定义区间«Skip Record If...»上连续，则在«Skip Record If...»上必存在可导函数«Skip Record If...»使得«Skip Record If...»，也就是说：连续函数一定存在原函数（可导必连续）⑶不定积分的概念（★★）在定义区间«Skip Record If...»上，函数«Skip Record If...»的带有任意常数项«Skip R ecord If...»的原函数称为«Skip Record If...»在定义区间«Skip Record If...»上的不定积分，即表示为：«Skip Record If...»（«Skip Record If...»称为积分号，«Skip Record If...»称为被积函数，«Skip Record If...»称为积分表达式，«Skip Record If...»则称为积分变量）○基本积分表（★★★）○不定积分的线性性质（分项积分公式）（★★★）«Skip Record If...»第二节换元积分法○第一类换元法（凑微分）（★★★）（«Skip Record If...»的逆向应用）«Skip Record If...»【题型示例】求«Skip Record If...»【求解示例】«Skip Record If...»【题型示例】求«Skip Record If...»【求解示例】«Skip Record If...»○第二类换元法（去根式）（★★）（«Skip Record If...»的正向应用）⑴对于一次根式（«Skip Record If...»）：«Skip Record If...»：令«Skip Record If...»，于是«Skip Record If...»，则原式可化为«Skip Record If...»⑵对于根号下平方和的形式（«Skip Record If...»）：«Skip Record If...»：令«Skip Record If...»（«Skip Record If...»），于是«Skip Record If...»，则原式可化为«Skip Record If...»；⑶对于根号下平方差的形式（«Skip Record If...»）：a．«Skip Record If...»：令«Skip Record If...»（«Skip Record If...»），于是«Skip Record If...»，则原式可化为«Skip Record If...»；b．«Skip Record If...»：令«Skip Record If...»（«Skip Record If...»），于是«Skip Record If...»，则原式可化为«Skip Record If...»；【题型示例】求«Skip Record If...»（一次根式）【求解示例】«Skip Record If...»【题型示例】求«Skip Record If...»（三角换元）【求解示例】«Skip Record If...»第三节分部积分法○分部积分法（★★）⑴设函数«Skip Record If...»，«Skip Record If...»具有连续导数，则其分部积分公式可表示为：«Skip Record If...»⑵分部积分法函数排序次序：“反、对、幂、三、指”○运用分部积分法计算不定积分的基本步骤：⑴遵照分部积分法函数排序次序对被积函数排序；⑵就近凑微分：（«Skip Record If...»）⑶使用分部积分公式：«Skip Record If...»⑷展开尾项«Skip Record If...»，判断a．若«Skip Record If...»是容易求解的不定积分，则直接计算出答案（容易表示使用基本积分表、换元法与有理函数积分可以轻易求解出结果）；b．若«Skip Record If...»依旧是相当复杂，无法通过a中方法求解的不定积分，则重复⑵、⑶，直至出现容易求解的不定积分；若重复过程中出现循环，则联立方程求解，但是最后要注意添上常数«Skip Record If...»【题型示例】求«Skip Record If...»【求解示例】«Skip Record If...»【题型示例】求«Skip Record If...»【求解示例】«Skip Record If...»«Skip Record If...»∴«Skip Record If...»第四节有理函数的不定积分○有理函数（★）设：«Skip Record If...»对于有理函数«Skip Record If...»，当«Skip Record If...»的次数小于«Skip Record If...»的次数时，有理函数«Skip Record If...»是真分式；当«Skip Record If...»的次数大于«Skip Record If...»的次数时，有理函数«Skip Record If...»是假分式○有理函数（真分式）不定积分的求解思路（★）⑴将有理函数«Skip Record If...»的分母«Skip Record If...»分拆成两个没有公因式的多项式的乘积：其中一个多项式可以表示为一次因式«Skip Record If...»；而另一个多项式可以表示为二次质因式«Skip Record If...»，（«Skip Record If...»）；即：«Skip Record If...»一般地：«Skip Record If...»，则参数«Skip Record If...»«Skip Record If...»则参数«Skip Record If...»⑵则设有理函数«Skip Record If...»的分拆和式为：«Skip Record If...»其中«Skip Record If...»«Skip Record If...»参数«Skip Record If...»由待定系数法（比较法）求出⑶得到分拆式后分项积分即可求解【题型示例】求«Skip Record If...»（构造法）【求解示例】«Skip Record If...»第五节积分表的使用（不作要求）第五章定积分极其应用第一节定积分的概念与性质○定积分的定义（★）«Skip Record If...»（«Skip Record If...»称为被积函数，«Skip Record If...»称为被积表达式，«Skip Record If...»则称为积分变量，«Skip Record If...»称为积分下限，«Skip Record If...»称为积分上限，«Skip Record If...»称为积分区间）○定积分的性质（★★★）⑴«Skip Record If...»⑵«Skip Record If...»⑶«Skip Record If...»⑷（线性性质）«Skip Record If...»⑸（积分区间的可加性）«Skip Record If...»⑹若函数«Skip Record If...»在积分区间«Skip Record If...»上满足«Skip Record If...»，则«Skip Record If...»；（推论一）若函数«Skip Record If...»、函数«Skip Record If...»在积分区间«Skip Record If...»上满足«Skip Record If...»，则«Skip Record If...»；（推论二）«Skip Record If...»○积分中值定理（不作要求）第二节微积分基本公式○牛顿-莱布尼兹公式（★★★）（定理三）若果函数«Skip Record If...»是连续函数«Skip Record If...»在区间«Skip Record If...»上的一个原函数，则«Skip Record If...»○变限积分的导数公式（★★★）（上上导―下下导）«Skip Record If...»【题型示例】求«Skip Record If...»【求解示例】«Skip Record If...»«Skip Record If...»第三节定积分的换元法及分部积分法○定积分的换元法（★★★）⑴（第一换元法）«Skip Record If...»【题型示例】求«Skip Record If...»【求解示例】«Skip Record If...»⑵（第二换元法）设函数«Skip Record If...»，函数«Skip Record If...»满足：a．«Skip Record If...»，使得«Skip Record If...»；b．在区间«Skip Record If...»或«Skip Record If...»上，«Skip Record If...»连续则：«Skip Record If...»【题型示例】求«Skip Record If...»【求解示例】«Skip Record If...»⑶（分部积分法）«Skip Record If...»○偶倍奇零（★★）设«Skip Record If...»，则有以下结论成立：⑴若«Skip Record If...»，则«Skip Record If...»⑵若«Skip Record If...»，则«Skip Record If...»第四节定积分在几何上的应用（暂时不作要求）第五节定积分在物理上的应用（暂时不作要求）第六节反常积分（不作要求）如：不定积分公式«Skip Record If...»的证明。
大一高数笔记全部知识点
大一高数笔记全部知识点第一章数列与极限1.1 数列1.1.1 数列的概念1.1.2 等差数列1.1.3 等比数列1.2 极限的概念与性质1.2.1 极限的定义1.2.2 极限存在的条件1.2.3 极限的性质1.3 极限运算法则1.3.1 无穷小量与无穷大量1.3.2 极限的四则运算第二章函数与连续2.1 函数的概念与性质2.1.1 函数的定义2.1.2 函数的性质2.2 基本初等函数2.2.1 幂函数与指数函数2.2.2 对数函数与指数对数函数2.3 函数的极限与连续性2.3.1 函数的极限2.3.2 函数的连续性第三章导数与微分3.1 导数的概念与计算方法3.1.1 导数的定义3.1.2 常用函数的导数计算3.2 微分的概念与性质3.2.1 微分的定义3.2.2 微分的性质3.3 高阶导数与导数的应用3.3.1 高阶导数的定义3.3.2 导数的应用：切线与法线第四章积分与不定积分4.1 不定积分的概念与性质4.1.1 不定积分的定义4.1.2 不定积分的性质4.2 定积分的概念与性质4.2.1 定积分的定义4.2.2 定积分的性质4.3 积分的运算法则与应用4.3.1 积分的基本运算法则4.3.2 积分的应用：面积与曲线长度第五章多元函数与偏导数5.1 多元函数的概念与性质5.1.1 多元函数的定义5.1.2 多元函数的性质5.2 偏导数的概念与计算方法5.2.1 偏导数的定义5.2.2 常用函数的偏导数计算5.3 高阶偏导数与微分的应用5.3.1 高阶偏导数的定义5.3.2 微分的应用：切平面与法线以上是大一高数课程中的全部知识点。
通过学习这些知识，我们可以建立起数学的基础框架，为以后的学习打下坚实的基础。
每个知识点都有其重要性和实用性，在理解和掌握的过程中，我们要注重理论联系实际，通过例题和应用题的练习来提高解题能力。
希望同学们能够认真学习，并在课后进行适当的巩固和扩展。
加油！。
大一高数复习知识点
大一高数复习知识点一、函数与极限1. 函数的概念函数是数学中的一个基本概念，它描述了输入与输出之间的关系。
一般来说，我们把输入称为自变量，输出称为因变量。
2. 极限的概念极限是函数中的一个重要概念，用来描述函数在某一点上的趋近性。
简单来说，一个函数的极限可以看作是函数在该点附近的稳定值。
3. 基本的极限运算法则- 常数乘以函数的极限等于函数的极限乘以该常数。
- 两个函数的和的极限等于两个函数的极限之和。
- 函数的极限与自变量无关。
二、导数与微分1. 导数的定义导数描述了函数在某一点上的变化率。
在数学上，导数可以通过极限来定义，即函数在某一点上的极限值。
2. 常见函数的导数公式- 常数函数的导数为0。
- 幂函数的导数可以通过幂函数的指数减1再乘以导数来计算。
- 指数函数和对数函数的导数可以通过指数函数或对数函数自身来计算。
3. 微分的概念微分描述了函数在某一点上的局部线性逼近。
它是导数的一种应用。
三、微分中值定理1. 罗尔定理罗尔定理指出，如果一个函数在某一闭区间上连续，在该区间的两个端点处取得相同的函数值，那么在这个区间内，存在至少一点使得函数的导数等于零。
2. 拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理是导数中值定理的一种情况，它表示在一个开区间上，函数存在至少一点处的导数等于该区间上函数的平均斜率。
四、不定积分与定积分1. 不定积分的定义不定积分是函数逆运算的一种形式，使用一个表示无穷小的符号 "dx" 来表示。
不定积分可以求出一个函数的原函数。
2. 常见函数的不定积分公式- 幂函数的不定积分可以通过幂函数的幂次加1再除以幂次来计算。
- 指数函数和对数函数的不定积分可以通过指数函数或对数函数自身来计算。
3. 定积分的定义定积分用来计算曲线与坐标轴之间的面积或曲线的弧长。
定积分可以看作是不定积分的一种应用。
五、常微分方程1. 常微分方程的定义常微分方程是含有未知函数的导数的方程，其中未知函数是变量的函数。
高数大一上期末复习要点
高数大一上期末复习要点高等数学是一门大一上学期的重要课程，它是数学的一门基础性课程，也是理工科学生必修的一门课程。
本文将总结和归纳高等数学大一上学期的复习要点，以帮助同学们对这门课程进行有效的复习。
一、函数与极限1. 函数的概念、性质和表示法2. 函数的基本类型：多项式函数、指数函数、对数函数、三角函数等3. 函数的运算：和、差、积、商、复合函数4. 函数的单调性、奇偶性、周期性以及对称性5. 极限的定义、性质和相关定理6. 数列极限与函数极限的关系二、导数与微分1. 导数的概念、定义和几何意义2. 导数的计算法则：常数求导、幂函数求导、指数函数求导、对数函数求导、三角函数求导等3. 高阶导数的概念与计算4. 函数的微分与微分近似值的应用5. 函数的单调性与极值问题6. 函数的图像与导数的关系三、积分与不定积分1. 积分的概念、性质和计算方法2. 定积分的概念、性质和计算方法3. 牛顿-莱布尼茨公式与不定积分的概念4. 不定积分的基本性质和计算方法5. 不定积分的换元法与分部积分法6. 定积分的几何应用：面积、曲线长度、平均值等四、微分方程1. 微分方程的概念和基本形式2. 一阶微分方程的可分离变量、齐次方程和线性方程解法3. 一阶线性微分方程的常数变易法和伯努利方程解法4. 二阶齐次线性微分方程的特征方程解法5. 二阶非齐次线性微分方程的特解叠加法与待定系数法6. 微分方程的应用：变种种群模型、生命问题、机械振动等五、级数与幂级数1. 数列与级数的概念和性质2. 收敛与发散的判定：比较判别法、比值判别法、根值判别法等3. 常数项级数的和与收敛域4. 幂级数的收敛半径与收敛域5. 幂级数的运算：求导、求积等6. 幂级数的应用：函数展开、函数逼近等上述要点是大一上学期高等数学课程的重点内容，同学们在复习的过程中应该重点关注，并通过课堂笔记、教材、习题集等进行系统复习和巩固。
同时，在复习过程中要注重提高自己的问题解决能力和应用能力，培养数学思维和分析能力。
(完整word版)大一高数复习资料【全】
高等数学（本科少学时类型）第一章函数与极限第一节函数O函数基础（高中函数部分相关知识）（★★★）O邻域（去心邻域）（★)第二节数列的极限O数列极限的证明（★）【题型示例】已知数列X n，证明limXX n a【证明示例】N语言1•由X n a化简得n g ，N g2.即对0，N g 。
当彳n N时，始终有不等式X n a 成立，••• lim x aX第三节函数的极限O X X0时函数极限的证明（★）【题型示例】已知函数 f x，证明lim fX X0x A【证明示例】语言1•由f x A化简得0XXg ，g2.即对0，g当0XX。
时, 始终有不等式 f x A成立，• lim f x Ax XO X时函数极限的证明（★）【题型示例】已知函数f x，证明lim f X AX【证明示例】X语言1•由 f X A 化简得x gX g2.即对0，X g当X X时，始终有不等式 f x A 成立,• lim f x AX第四节无穷小与无穷大O无穷小与无穷大的本质（★）函数f x无穷小lim f x 0函数f x无穷大lim f xO无穷小与无穷大的相关定理与推论（★★）（定理三）假设f x为有界函数，g x为无穷小，则lim f x g x 0（定理四）在自变量的某个变化过程中，若 f x 为无穷大，则f 1 X为无穷小；反之，若f X为无穷小，且f x 0，则f 1x为无穷大【题型示例】计算：lim f x g x （或x ）X X01 .••• f x < M •函数f x在x x0的任一去心邻域U x0,内是有界的；（••• f x < M，•函数f x在x D上有界；）2. lim g x0即函数g X是x X0时的无穷小；X X0(lim g x0即函数g X是X 时的无穷小；）3 .由定理可知lim f x g x 0X X0(lim f x g X0)X第五节极限运算法则O极限的四则运算法则（★★）（定理一）加减法则（定理二）乘除法则关于多项式p x、q x商式的极限运算m m 1p X 设：a°x a1x a mq x b°x n n1b nn m则有lim卫X a0n mX q X t b0n mf X0（特别地，当彳lim（不定型）时，通常分子X X0g x0分母约去公因式即约去可去间断点便可求解出极限值，也可以用罗比达法则求解）【题型示例】求值lim-x 3x 3x29【求解示例】解：1因为x 3，从而可得x 3，所以原式x 3X3 1 1 lim 2lim -limx 3x 9x 3x 3x 3x 3x 3 6x 3其中x 3为函数f X —的可去间断点x29倘若运用罗比达法则求解（详见第三章第二节）：x3 °解：lim 2limx 3 X29 L X 3x 3x2 9limx3 2xO 连续函数穿越定理（复合函数的极限求解）（★★） （定理五）若函数 f x 是定义域上的连续函数， 那么,lim x x o f lim x x X 。
高数笔记大一必备知识点
高数笔记大一必备知识点1. 函数与极限- 函数定义和性质- 极限的定义和性质- 常见函数的极限求解方法2. 微分学- 导数的定义和性质- 常见函数的导数求解方法- 高阶导数与导数的应用- 极值与最值的求解方法3. 积分学- 不定积分的定义和性质- 常见函数的积分求解方法- 定积分的定义和性质- 微积分基本定理的应用4. 函数的应用- 曲线图像的分析- 函数模型的建立与应用5. 常微分方程- 常微分方程的基本概念与分类- 一阶常微分方程的解法- 高阶常微分方程的解法6. 级数- 级数的定义和性质- 常见级数的求和方法- 级数收敛与发散的判别方法7. 二重积分- 二重积分的定义和性质- 坐标变换与极坐标法的应用8. 三重积分- 三重积分的定义和性质- 坐标变换与球坐标法的应用9. 偏导数与多元函数微分学- 偏导数的定义和性质- 多元函数的全微分与求导10. 曲线积分与曲面积分- 曲线积分的定义和性质- 曲面积分的定义和性质- 根据题目使用参数化与换元法解决具体问题以上是大一学习高等数学所必备的知识点，对于每个知识点，你需要深入理解其定义、性质和基本求解方法。
在学习过程中，可以结合教材和习题集进行实际练习，掌握每个知识点的应用技巧。
尽管高等数学是一门理论与实践相结合的学科，但通过积极参与课堂讨论、与同学组队解题、与教师进行交流等实践方式，你将能更好地理解与应用这些知识点。
最后，要善于总结和整理自己的思路，形成自己的高数笔记。
这将有助于加深对知识点的理解，并为以后的学习打下坚实基础。
祝愿你在大学的高数学习中取得好成绩！。
大一经典高数复习资料经典经典全面复习
高等数学（本科少学时类型）第一章 函数与极限第一节 函数○函数基础（高中函数部分相关知识）（★★★） ○邻域（去心邻域）（★）(){},|U a x x a δδ=-<(){},|0U a x x a δδ=<-<o第二节 数列的极限○数列极限的证明（★）【题型示例】已知数列{}n x ，证明{}lim n x x a →∞= 【证明示例】N -ε语言1．由n x a ε-<化简得()εg n >， ∴()N g ε=⎡⎤⎣⎦2．即对0>∀ε，()N g ε∃=⎡⎤⎣⎦，当N n >时，始终有不等式n x a ε-<成立， ∴{}a x n x =∞→lim第三节 函数的极限○0x x →时函数极限的证明（★） 【题型示例】已知函数()x f ，证明()A x f x x =→0lim【证明示例】δε-语言1．由()f x A ε-<化简得()00x x g ε<-<， ∴()εδg =2．即对0>∀ε，()εδg =∃，当00x x δ<-<时，始终有不等式()f x A ε-<成立， ∴()A x f x x =→0lim○∞→x 时函数极限的证明（★）【题型示例】已知函数()x f ，证明()A x f x =∞→lim【证明示例】X -ε语言1．由()f x A ε-<化简得()x g ε>， ∴()εg X =2．即对0>∀ε，()εg X =∃，当X x >时，始终有不等式()f x A ε-<成立， ∴()A x f x =∞→lim第四节 无穷小与无穷大○无穷小与无穷大的本质（★） 函数()x f 无穷小⇔()0lim =x f 函数()x f 无穷大⇔()∞=x f lim○无穷小与无穷大的相关定理与推论（★★）（定理三）假设()x f 为有界函数，()x g 为无穷小，则()()lim 0f x g x ⋅=⎡⎤⎣⎦（定理四）在自变量的某个变化过程中，若()x f 为无穷大，则()1f x -为无穷小；反之，若()x f 为无穷小，且()0f x ≠，则()x f1-为无穷大【题型示例】计算：()()0lim x x f x g x →⋅⎡⎤⎣⎦（或∞→x ） 1．∵()f x ≤M ∴函数()f x 在0x x =的任一去心邻域()δ,0x U ο内是有界的；（∵()f x ≤M ，∴函数()f x 在D x ∈上有界；） 2．()0lim 0=→x g x x 即函数()x g 是0x x →时的无穷小； （()0lim =∞→x g x 即函数()x g 是∞→x 时的无穷小；）3．由定理可知()()0lim 0x x f x g x →⋅=⎡⎤⎣⎦（()()lim 0x f x g x →∞⋅=⎡⎤⎣⎦）第五节 极限运算法则○极限的四则运算法则（★★） （定理一）加减法则 （定理二）乘除法则关于多项式()p x 、()x q 商式的极限运算设：()()⎪⎩⎪⎨⎧+⋯++=+⋯++=--nn n mm m b x b x b x q a x a x a x p 110110则有()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∞=∞→0lim 0b a x q x p x m n m n m n >=<()()()()000lim 00x x f x g x f x g x →⎧⎪⎪⎪=∞⎨⎪⎪⎪⎩()()()()()0000000,00g x g x f x g x f x ≠=≠== （特别地，当()()00lim 0x x f x g x →=（不定型）时，通常分子分母约去公因式即约去可去间断点便可求解出极限值，也可以用罗比达法则求解）【题型示例】求值233lim9x x x →--【求解示例】解：因为3→x ，从而可得3≠x ，所以原式()()23333311limlim lim 93336x x x x x x x x x →→→--====-+-+ 其中3x =为函数()239x f x x -=-的可去间断点倘若运用罗比达法则求解（详见第三章第二节）：解：()()0233323311lim lim lim 9269x L x x x x x x x '→→→'--===-'- ○连续函数穿越定理（复合函数的极限求解）（★★） （定理五）若函数()x f 是定义域上的连续函数，那么，()()00lim lim x x x x f x f x ϕϕ→→⎡⎤=⎡⎤⎣⎦⎢⎥⎣⎦ 【题型示例】求值：93lim 23--→x x x【求解示例】3x →===第六节 极限存在准则及两个重要极限○夹迫准则（P53）（★★★） 第一个重要极限：1sin lim 0=→xxx∵⎪⎭⎫⎝⎛∈∀2,0πx ，x x x tan sin <<∴1sin lim0=→x x x 0000lim11lim lim 1sin sin sin lim x x x x x x x x x x →→→→===⎛⎫⎪⎝⎭（特别地，000sin()lim1x x x x x x →-=-）○单调有界收敛准则（P57）（★★★）第二个重要极限：e x xx =⎪⎭⎫⎝⎛+∞→11lim（一般地，()()()()lim lim lim g x g x f x f x =⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，其中()0lim >x f ）【题型示例】求值：11232lim +∞→⎪⎭⎫ ⎝⎛++x x x x【求解示例】()()211121212122121122122121lim21221232122lim lim lim 121212122lim 1lim 121212lim 121x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x +++→∞→∞+→∞⋅++++⋅⋅+++→∞+→∞++→∞+++⎛⎫⎛⎫⎛⎫==+ ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥=+=+ ⎪ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎡⎤⎛⎫⎢⎥=+⎪⎢⎥+⎝⎭⎣⎦解：()()12lim 1212121212122lim 121x x x x x x x x x ee e e+→∞⎡⎤⋅+⎢⎥+⎣⎦+→∞+→∞⎡⎤⋅+⎢⎥+⎣⎦+⎛⎫⎪+⎝⎭====第七节 无穷小量的阶（无穷小的比较） ○等价无穷小（★★）1．()~sin ~tan ~arcsin ~arctan ~ln(1)~1UU U U U U U e +- 2．U U cos 1~212-（乘除可替，加减不行）【题型示例】求值：()()xx x x x x 31ln 1ln lim 20++++→ 【求解示例】()()()()()()()3131lim 31lim 31ln 1lim 31ln 1ln lim ,0,000020=++=+⋅+=++⋅+=++++=≠→→→→→x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 所以原式即解：因为第八节 函数的连续性 ○函数连续的定义（★）()()()000lim lim x x x x f x f x f x -+→→==○间断点的分类（P67）（★）⎩⎨⎧∞⋯⋯⎩⎨⎧）无穷间断点（极限为第二类间断点可去间断点（相等）跳越间断点（不等）限存在）第一类间断点（左右极（特别地，可去间断点能在分式中约去相应公因式）【题型示例】设函数()⎩⎨⎧+=x a e x f x 2 ，00≥<x x 应该怎样选择数a ，使得()x f 成为在R 上的连续函数？【求解示例】1．∵()()()2010000f e e e f a a f a --⋅++⎧===⎪⎪=+=⎨⎪=⎪⎩2．由连续函数定义()()()e f x f x f x x ===+-→→0lim lim 0∴e a =第九节 闭区间上连续函数的性质 ○零点定理（★）【题型示例】证明：方程()()f x g x C =+至少有一个根介于a 与b 之间 【证明示例】1．（建立辅助函数）函数()()()x f x g x C ϕ=--在闭区间[],a b 上连续；2．∵()()0a b ϕϕ⋅<（端点异号）3．∴由零点定理，在开区间()b a ,内至少有一点ξ，使得()0=ξϕ，即()()0fg C ξξ--=（10<<ξ） 4．这等式说明方程()()f x g x C =+在开区间()b a ,内至少有一个根ξ 第二章 导数与微分第一节 导数概念○高等数学中导数的定义及几何意义（P83）（★★）【题型示例】已知函数()⎩⎨⎧++=b ax e x f x 1 ，00>≤x x 在0=x 处可导，求a ，b【求解示例】1．∵()()0010f e f a -+'⎧==⎪⎨'=⎪⎩，()()()00001120012f e e f b f e --+⎧=+=+=⎪⎪=⎨⎪=+=⎪⎩2．由函数可导定义()()()()()0010002f f a f f f b -+-+''===⎧⎪⎨====⎪⎩ ∴1,2a b ==【题型示例】求()x f y =在a x =处的切线与法线方程 （或：过()x f y =图像上点(),a f a ⎡⎤⎣⎦处的切线与法线方程） 【求解示例】1．()x f y '='，()a f y a x '='=| 2．切线方程：()()()y f a f a x a '-=- 法线方程：()()()1y f a x a f a -=--' 第二节 函数的和（差）、积与商的求导法则○函数和（差）、积与商的求导法则（★★★） 1．线性组合（定理一）：()u v u v αβαβ'''±=+ 特别地，当1==βα时，有()u v u v '''±=± 2．函数积的求导法则（定理二）：()uv u v uv '''=+3．函数商的求导法则（定理三）：2u u v uv v v '''-⎛⎫= ⎪⎝⎭第三节 反函数和复合函数的求导法则○反函数的求导法则（★）【题型示例】求函数()x f1-的导数【求解示例】由题可得()x f 为直接函数，其在定于域D上单调、可导，且()0≠'x f ；∴()()11fx f x -'⎡⎤=⎣⎦' ○复合函数的求导法则（★★★）【题型示例】设(ln y e =，求y '【求解示例】(22arcsi y ex a e e e ''='⎛⎫' ⎪+=⎝⎛⎫⎪ =⎝⎭=解：⎛ ⎝第四节 高阶导数 ○()()()()1n n fx fx -'⎡⎤=⎣⎦（或()()11n n n n d y d y dx dx --'⎡⎤=⎢⎥⎣⎦）（★） 【题型示例】求函数()x y +=1ln 的n 阶导数 【求解示例】()1111y x x-'==++， ()()()12111y x x --'⎡⎤''=+=-⋅+⎣⎦， ()()()()()2311121y x x --'⎡⎤'''=-⋅+=-⋅-⋅+⎣⎦……()1(1)(1)(1)nn n y n x --=-⋅-⋅+！第五节 隐函数及参数方程型函数的导数 ○隐函数的求导（等式两边对x 求导）（★★★） 【题型示例】试求：方程ye x y +=所给定的曲线C ：()x y y =在点()1,1e -的切线方程与法线方程【求解示例】由ye x y +=两边对x 求导即()y y x e '''=+化简得1yy e y ''=+⋅∴ee y -=-='11111 ∴切线方程：()e x ey +--=-1111法线方程：()()e x e y +---=-111○参数方程型函数的求导【题型示例】设参数方程()()⎩⎨⎧==t y t x γϕ，求22dx yd【求解示例】1.()()t t dx dy ϕγ''= 2.()22dy d y dx dxt ϕ'⎛⎫⎪⎝⎭=' 第六节 变化率问题举例及相关变化率（不作要求）第七节 函数的微分○基本初等函数微分公式与微分运算法则（★★★） ()dx x f dy ⋅'=第三章 中值定理与导数的应用第一节 中值定理 ○引理（费马引理）（★） ○罗尔定理（★★★） 【题型示例】现假设函数()f x 在[]0,π上连续，在()0,π 上可导，试证明：()0,ξπ∃∈， 使得()()cos sin 0ff ξξξξ'+=成立【证明示例】1．（建立辅助函数）令()()sin x f x x ϕ=显然函数()x ϕ在闭区间[]0,π上连续，在开区间()0,π上可导；2．又∵()()00sin00f ϕ==()()sin 0f ϕπππ== 即()()00ϕϕπ==3．∴由罗尔定理知()0,ξπ∃∈，使得()()cos sin 0f f ξξξξ'+=成立○拉格朗日中值定理（★）【题型示例】证明不等式：当1x >时，xe e x >⋅ 【证明示例】1．（建立辅助函数）令函数()x f x e =，则对1x ∀>，显然函数()f x 在闭区间[]1,x 上连续，在开区间()1,x 上可导，并且()x f x e '=；2．由拉格朗日中值定理可得，[]1,x ξ∃∈使得等式()11x e e x e ξ-=-成立，又∵1e e ξ>，∴()111x e e x e e x e ->-=⋅-，化简得x e e x >⋅，即证得：当1x >时，xe e x >⋅ 【题型示例】证明不等式：当0x >时，()ln 1x x +< 【证明示例】1．（建立辅助函数）令函数()()ln 1f x x =+，则对0x ∀>，函数()f x 在闭区间[]0,x 上连续，在开区间()0,π上可导，并且()11f x x'=+；2．由拉格朗日中值定理可得，[]0,x ξ∃∈使得等式()()()1ln 1ln 1001x x ξ+-+=-+成立，化简得()1ln 11x x ξ+=+，又∵[]0,x ξ∈， ∴()111f ξξ'=<+，∴()ln 11x x x +<⋅=， 即证得：当1x >时，xe e x >⋅第二节 罗比达法则○运用罗比达法则进行极限运算的基本步骤（★★） 1．☆等价无穷小的替换（以简化运算）2．判断极限不定型的所属类型及是否满足运用罗比达法则的三个前提条件 A ．属于两大基本不定型（0,0∞∞）且满足条件，则进行运算：()()()()lim limx a x a f x f x g x g x →→'=' （再进行1、2步骤，反复直到结果得出）B ．☆不属于两大基本不定型（转化为基本不定型） ⑴0⋅∞型（转乘为除，构造分式） 【题型示例】求值：0lim ln x x x α→⋅【求解示例】()10000201ln ln lim ln lim lim lim 111lim 0x x L x x x x x x x x x x x x x a ααααααα∞∞-'→→→→→'⋅===⋅'⎛⎫- ⎪⎝⎭=-=解： （一般地，()0lim ln 0x x x βα→⋅=，其中,R αβ∈）⑵∞-∞型（通分构造分式，观察分母） 【题型示例】求值：011lim sin x x x →⎛⎫-⎪⎝⎭【求解示例】200011sin sin lim lim lim sin sin x x x x x x x x x x x x →→→--⎛⎫⎛⎫⎛⎫-== ⎪ ⎪ ⎪⋅⎝⎭⎝⎭⎝⎭解：()()()()000002sin 1cos 1cos sin limlim lim lim 0222L x x L x x x x x x xx x x ''→→→→''---====='' ⑶00型（对数求极限法）【题型示例】求值：0lim xx x →【求解示例】()()0000lim ln ln 000002ln ,ln ln ln 1ln ln 0lim ln lim lim111lim lim 0lim lim 11x x x x x L x yy x x x x x y x y x x x xx xx y xx x x y e e e x→∞∞'→→→→→→→===='→=='⎛⎫ ⎪⎝⎭==-=====-解：设两边取对数得：对对数取时的极限：，从而有 ⑷1∞型（对数求极限法）【题型示例】求值：()10lim cos sin xx x x →+【求解示例】()()()()()1000000lim ln ln 10ln cos sin cos sin ,ln ,ln cos sin ln 0limln limln cos sin cos sin 10lim lim 1,cos sin 10lim =lim x xx x L x x yy x x x x y x x y xx x y x y xx x x x x x x y e e e e→→→'→→→→+=+=+→='+⎡⎤--⎣⎦====++'===解：令两边取对数得对求时的极限，从而可得⑸0∞型（对数求极限法） 【题型示例】求值：tan 01lim xx x →⎛⎫⎪⎝⎭【求解示例】()()tan 00200020*******,ln tan ln ,1ln 0lim ln lim tan ln 1ln ln limlimlim 1sec 1tan tan tan sin sin lim lim li xx x x L x x x L x y y x x x y x y x x x xx x x xx x x x x →→∞∞'→→→'→→⎛⎫⎛⎫==⋅ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎡⎤⎛⎫→=⋅ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦'=-=-=-⎛⎫'⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭'==='解：令两边取对数得对求时的极限，00lim ln ln 002sin cos m 0,1lim =lim 1x x yy x x x xy e e e →→→→⋅====从而可得○运用罗比达法则进行极限运算的基本思路（★★）00001∞⎧⎪∞-∞−−→←−−⋅∞←−−⎨∞⎪∞⎩∞(1)(2)(3)⑴通分获得分式（通常伴有等价无穷小的替换）⑵取倒数获得分式（将乘积形式转化为分式形式） ⑶取对数获得乘积式（通过对数运算将指数提前）第三节 泰勒中值定理（不作要求） 第四节 函数的单调性和曲线的凹凸性 ○连续函数单调性（单调区间）（★★★） 【题型示例】试确定函数()3229123f x x x x =-+-的单调区间 【求解示例】1．∵函数()f x 在其定义域R 上连续，且可导 ∴()261812f x x x '=-+2．令()()()6120f x x x '=--=，解得：121,2x x ==4．∴函数f x 的单调递增区间为,1,2,-∞+∞； 单调递减区间为()1,2【题型示例】证明：当0x >时，1xe x >+ 【证明示例】1．（构建辅助函数）设()1x x e x ϕ=--，（0x >）2．()10xx e ϕ'=->，（0x >）∴()()00x ϕϕ>=3．既证：当0x >时，1xe x >+【题型示例】证明：当0x >时，()ln 1x x +<【证明示例】1．（构建辅助函数）设()()ln 1x x x ϕ=+-，（0x >）2．()1101x xϕ'=-<+，（0x >） ∴()()00x ϕϕ<=3．既证：当0x >时，()ln 1x x +<○连续函数凹凸性（★★★）【题型示例】试讨论函数2313y x x =+-的单调性、极值、凹凸性及拐点【证明示例】1．()()236326661y x x x x y x x '⎧=-+=--⎪⎨''=-+=--⎪⎩ 2．令()()320610y x x y x '=--=⎧⎪⎨''=--=⎪⎩解得：120,21x x x ==⎧⎨=⎩x (,0)-∞ 0 (0,1)1 (1,2)2 (2,)+∞y ' - 0 + + 0 - y '' + + - - y 1 (1,3) 54．⑴函数13y x x =+-单调递增区间为(0,1),(1,2)单调递增区间为(,0)-∞,(2,)+∞；⑵函数2313y x x =+-的极小值在0x =时取到，为()01f =，极大值在2x =时取到，为()25f =；⑶函数2313y x x =+-在区间(,0)-∞,(0,1)上凹，在区间(1,2),(2,)+∞上凸；⑷函数2313y x x =+-的拐点坐标为()1,3第五节 函数的极值和最大、最小值○函数的极值与最值的关系（★★★）⑴设函数()f x 的定义域为D ，如果M x ∃的某个邻域()M U x D ⊂，使得对()M x U x ∀∈o，都适合不等式()()M f x f x <，我们则称函数()f x 在点(),M M x f x ⎡⎤⎣⎦处有极大值()M f x ；令{}123,,,...,M M M M Mn x x x x x ∈则函数()f x 在闭区间[],a b 上的最大值M 满足：()(){}123max ,,,,...,,M M M Mn M f a x x x x f b =；⑵设函数()f x 的定义域为D ，如果m x ∃的某个邻域()m U x D ⊂，使得对()m x U x ∀∈o，都适合不等式()()m f x f x >，我们则称函数()f x 在点(),m m x f x ⎡⎤⎣⎦处有极小值()m f x ；令{}123,,,...,m m m m mn x x x x x ∈则函数()f x 在闭区间[],a b 上的最小值m 满足：()(){}123min ,,,,...,,m m m mn m f a x x x x f b =；【题型示例】求函数()33f x x x =-在[]1,3-上的最值【求解示例】1．∵函数()f x 在其定义域[]1,3-上连续，且可导 ∴()233f x x '=-+2．令()()()3110f x x x '=--+=， 解得：121,1x x =-= x1- ()1,1-1 (]1,3()f x ' 0+- ()f x极小值Z极大值]4．又∵12,12,318f f f -=-==- ∴()()()()max min 12,318f x f f x f ====- 第六节 函数图形的描绘（不作要求） 第七节 曲率（不作要求）第八节 方程的近似解（不作要求） 第四章 不定积分第一节 不定积分的概念与性质 ○原函数与不定积分的概念（★★） ⑴原函数的概念：假设在定义区间I 上，可导函数()F x 的导函数为()F x '，即当自变量x I ∈时，有()()F x f x '=或()()dF x f x dx =⋅成立，则称()F x 为()f x 的一个原函数⑵原函数存在定理：（★★）如果函数()f x 在定义区间I 上连续，则在I 上必存在可导函数()F x 使得()()F x f x '=，也就是说：连续函数一定存在原函数（可导必连续） ⑶不定积分的概念（★★）在定义区间I 上，函数()f x 的带有任意常数项C 的原函数称为()f x 在定义区间I 上的不定积分，即表示为：()()f x dx F x C =+⎰（⎰称为积分号，()f x 称为被积函数，()f x dx 称为积分表达式，x 则称为积分变量）○基本积分表（★★★）○不定积分的线性性质（分项积分公式）（★★★）()()()()1212k f x k g x dx k f x dx k g x dx +=+⎡⎤⎣⎦⎰⎰⎰ 第二节 换元积分法○第一类换元法（凑微分）（★★★） （()dx x f dy ⋅'=的逆向应用）()()()()f x x dx f x d x ϕϕϕϕ'⋅=⋅⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎰⎰【题型示例】求221dx a x +⎰【求解示例】222211111arctan 11x x dx dx d Ca x a a aa x x a a ⎛⎫===+ ⎪+⎝⎭⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰⎰解：【题型示例】求【求解示例】()()121212x x C=+=+=○第二类换元法（去根式）（★★）（()dx x f dy ⋅'=的正向应用）⑴对于一次根式（0,a b R ≠∈）：t =，于是2t b x a-=，则原式可化为t⑵对于根号下平方和的形式（0a >）：tan x a t =（22t ππ-<<），于是arctan xt a=，则原式可化为sec a t ；⑶对于根号下平方差的形式（0a >）：asin x a t =（22t ππ-<<），于是arcsin xt a=，则原式可化为cos a t ；bsec x a t =（02t π<<），于是arccos at x =，则原式可化为tan a t ；【题型示例】求（一次根式） 【求解示例】2221t x t dx tdttdt dt t C Ct =-=⋅==+=⎰⎰【题型示例】求（三角换元）【求解示例】()()2sin ()2222arcsincos 22cos 1cos 221sin 2sin cos 222x a t t xt adx a ta a tdt t dta a t t C t t t C ππ=-<<==−−−−−−→=+⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭⎰⎰第三节 分部积分法 ○分部积分法（★★）⑴设函数()u f x =，()v g x =具有连续导数，则其分部积分公式可表示为：udv uv vdu =-⎰⎰⑵分部积分法函数排序次序：“反、对、幂、三、指” ○运用分部积分法计算不定积分的基本步骤： ⑴遵照分部积分法函数排序次序对被积函数排序； ⑵就近凑微分：（v dx dv '⋅=） ⑶使用分部积分公式：udv uv vdu =-⎰⎰⑷展开尾项vdu v u dx '=⋅⎰⎰，判断a ．若v u dx '⋅⎰是容易求解的不定积分，则直接计算出答案（容易表示使用基本积分表、换元法与有理函数积分可以轻易求解出结果）； b ．若v u dx '⋅⎰依旧是相当复杂，无法通过a 中方法求解的不定积分，则重复⑵、⑶，直至出现容易求解的不定积分；若重复过程中出现循环，则联立方程求解，但是最后要注意添上常数C【题型示例】求2x e x dx ⋅⎰【求解示例】()()222222222222222x x x x x x x x x x x x x x x e x dx x e dx x de x e e d x x e x e dx x e x d e x e xe e dx x e xe e C⋅===-=-⋅=-⋅=-+=-++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰解：【题型示例】求sin x e xdx ⋅⎰【求解示例】()()()()sin cos cos cos cos cos cos sin cos sin sin cos sin sin x x x xx x x x x x x x x x e xdx e d x e x xd ee x e xdx e x e d x e x e x xd e e x e x e xdx⋅=-=-+=-+=-+=-+-=-+-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰解：()sin cos sin sin x x x x e xdx e x e x xd e ⋅=-+-⎰⎰即：∴()1sin sin cos 2xxe xdx e x x C ⋅=-+⎰第四节 有理函数的不定积分 ○有理函数（★）设：()()()()101101m m mn n nP x p x a x a x a Q x q x b x b x b --=++⋯+==++⋯+ 对于有理函数()()P x Q x ，当()P x 的次数小于()Q x 的次数时，有理函数()()P x Q x 是真分式；当()P x 的次数大于()Q x 的次数时，有理函数()()P x Q x 是假分式○有理函数（真分式）不定积分的求解思路（★）⑴将有理函数()()P x Q x 的分母()Q x 分拆成两个没有公因式的多项式的乘积：其中一个多项式可以表示为一次因式()kx a -；而另一个多项式可以表示为二次质因式()2lx px q ++，（240p q -<）；即：()()()12Q x Q x Q x =⋅一般地：n mx n m x m ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，则参数n a m =-22b c ax bx c a x x a a ⎛⎫++=++ ⎪⎝⎭则参数,b cp q a a ==⑵则设有理函数()()P x Q x 的分拆和式为：()()()()()()122k lP x P x P x Q x x a x px q =+-++其中()()()()1122...k kkP x A A A x a x a x a x a =+++----()()()()2112222222...ll llP x M x N M x N x px q x px q x px q M x N x px q ++=++++++++++++参数121212,,...,,,,...,l k lM M M A A A N N N ⎧⎧⎧⎨⎨⎨⎩⎩⎩由待定系数法（比较法）求出⑶得到分拆式后分项积分即可求解【题型示例】求21x dx x +⎰（构造法） 【求解示例】()()()221111111111ln 112x x x x dx dx x dx x x x xdx dx dx x x x Cx +-++⎛⎫==-+ ⎪+++⎝⎭=-+=-++++⎰⎰⎰⎰⎰⎰第五节 积分表的使用（不作要求）第五章 定积分极其应用第一节 定积分的概念与性质 ○定积分的定义（★）()()01lim nbiiai f x dx f x I λξ→==∆=∑⎰（()f x 称为被积函数，()f x dx 称为被积表达式，x则称为积分变量，a 称为积分下限，b 称为积分上限，[],a b 称为积分区间）○定积分的性质（★★★）⑴()()b baaf x dx f u du =⎰⎰ ⑵()0a af x dx =⎰ ⑶()()b ba akf x dx k f x dx =⎡⎤⎣⎦⎰⎰⑷（线性性质）()()()()1212b b ba a a k f x k g x dx k f x dx k g x dx +=+⎡⎤⎣⎦⎰⎰⎰ ⑸（积分区间的可加性）()()()bc baacf x dx f x dx f x dx =+⎰⎰⎰⑹若函数()f x 在积分区间[],a b 上满足()0f x >，则()0baf x dx >⎰；（推论一）若函数()f x 、函数()g x 在积分区间[],a b 上满足()()f x g x ≤，则()()b baaf x dxg x dx ≤⎰⎰；（推论二）()()b baaf x dx f x dx ≤⎰⎰○积分中值定理（不作要求） 第二节 微积分基本公式○牛顿-莱布尼兹公式（★★★）（定理三）若果函数()F x 是连续函数()f x 在区间[],a b 上的一个原函数，则()()()baf x dx F b F a =-⎰○变限积分的导数公式（★★★）（上上导―下下导）()()()()()()()x x d f t dt f x x f x x dxϕψϕϕψψ''=-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎰ 【题型示例】求21cos 2limt xx e dt x -→⎰【求解示例】()2211cos cos 2002lim lim 解：t t x x x L x d e dt e dt dx x x--'→→='⎰⎰()()()()2222221cos cos000cos 0cos cos 0cos 010sin sin limlim 22sin lim 2cos sin 2sin cos lim21lim sin cos 2sin cos 21122xxx x xL x xxx x x e ex x e xxdx e dx x x ex ex xe x x x x e e---→→-'→--→-→-⋅-⋅-⋅==⋅='⋅+⋅⋅=⎡⎤=+⋅⎣⎦=⋅=第三节 定积分的换元法及分部积分法 ○定积分的换元法（★★★） ⑴（第一换元法）()()()()b baa f x x dx f x d x ϕϕϕϕ'⋅=⋅⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎰⎰【题型示例】求20121dx x +⎰【求解示例】()[]222000111121ln 212122121ln 5ln 5ln122解：dx d x x x x =+=⎡+⎤⎣⎦++=-=⎰⎰ ⑵（第二换元法）设函数()[],f x C a b ∈，函数()x t ϕ=满足： a ．,αβ∃，使得()(),a b ϕαϕβ==；b ．在区间[],αβ或[],βα上，()(),f t t ϕϕ'⎡⎤⎣⎦连续 则：()()()ba f x dx f t t dt βαϕϕ'=⎡⎤⎣⎦⎰⎰【题型示例】求40⎰ 【求解示例】()2210,43220,1014,332332311132213111332223522933解：t t x x t x t t dx t t t dt t dt t x t =-====+−−−−−−→+⎛⎫=⋅⋅=+=+ ⎪⎝⎭=-=⎰⎰⎰⎰ ⑶（分部积分法）()()()()()()()()()()()()bba ab bb aaau x v x dx u x v x v x u x dxu x dv x u x v x v x du x ''=-=-⎡⎤⎣⎦⎰⎰⎰⎰○偶倍奇零（★★）设()[],f x C a a ∈-，则有以下结论成立： ⑴若()()f x f x -=，则()()02aaaf x dx f x dx -=⎰⎰⑵若()()f x f x -=-，则()0aaf x dx -=⎰第四节 定积分在几何上的应用（暂时不作要求） 第五节 定积分在物理上的应用（暂时不作要求） 第六节 反常积分（不作要求）如：不定积分公式21arctan 1dx x C x =++⎰的证明。
大一高数知识点归纳
大一高数知识点归纳一、极限与连续1. 极限的概念- 数列极限的定义与性质- 函数极限的定义与性质- 无穷小与无穷大的概念- 极限的四则运算法则2. 极限的计算- 极限的代入法- 极限的因式分解法- 洛必达法则- 夹逼定理3. 连续函数- 连续性的定义- 连续函数的性质- 闭区间上连续函数的性质（最大值最小值定理）二、导数与微分1. 导数的概念- 导数的定义- 导数的几何意义与物理意义- 可导与连续的关系2. 常见函数的导数- 基本初等函数的导数- 导数的运算法则- 高阶导数3. 微分- 微分的定义- 微分的运算法则- 隐函数的微分法三、中值定理与导数的应用1. 中值定理- 罗尔定理- 拉格朗日中值定理- 柯西中值定理2. 导数的应用- 函数的单调性- 函数的极值问题- 曲线的凹凸性与拐点- 函数的渐近线四、不定积分1. 不定积分的概念- 原函数与不定积分的定义 - 不定积分的基本性质2. 常见函数的积分方法- 换元积分法- 分部积分法- 有理函数的积分五、定积分1. 定积分的概念- 定积分的定义- 定积分的性质2. 定积分的计算- 微积分基本定理- 定积分的换元法与分部积分法3. 定积分的应用- 平面图形的面积- 曲线的长度- 旋转体的体积六、级数1. 级数的基本概念- 级数的定义与分类- 收敛级数与发散级数2. 级数的收敛性判别- 正项级数的比较判别法- 比值判别法与根值判别法- 交错级数的收敛性判别3. 幂级数- 幂级数的收敛半径与收敛区间 - 泰勒级数与麦克劳林级数七、空间解析几何1. 向量与直线- 向量的运算与性质- 直线的方程与性质2. 平面与曲线- 平面的方程- 空间曲线的方程3. 多元函数的微分学- 偏导数与全微分- 多元函数的链式法则八、重积分1. 二重积分- 二重积分的定义与性质 - 二重积分的计算方法2. 三重积分- 三重积分的定义与性质 - 三重积分的计算方法九、曲线积分与格林公式1. 曲线积分- 曲线积分的定义与性质 - 曲线积分的计算2. 格林公式- 格林公式的表述- 应用格林公式计算曲线积分以上是大一高数的主要知识点归纳，每个部分都包含了关键的概念、定义、性质和计算方法。
大一高数复习资料
第一章 函数与极限 第一节 函数○邻域（去心邻域）(){},|U a x x a δδ=-<(){},|0U a x x a δδ=<-<o第二节 数列的极限○数列极限的证明【题型示例】已知数列{}n x ，证明{}lim n x x a →∞= 【证明示例】N -ε语言1．由n x a ε-<化简得()εg n >，∴()N g ε=⎡⎤⎣⎦2．即对0>∀ε，()N g ε∃=⎡⎤⎣⎦，当N n >时，始终有不等式n x a ε-<成立， ∴{}a x n x =∞→lim第三节 函数的极限○0x x →时函数极限的证明【题型示例】已知函数()x f ，证明()A x f x x =→0lim【证明示例】δε-语言1．由()f x A ε-<化简得()00x x g ε<-<， ∴()εδg =2．即对0>∀ε，()εδg =∃，当00x x δ<-<时，始终有不等式()f x A ε-<成立， ∴()A x f x x =→0lim○∞→x 时函数极限的证明【题型示例】已知函数()x f ，证明()A x f x =∞→lim【证明示例】X -ε语言1．由()f x A ε-<化简得()x g ε>， ∴()εg X =2．即对0>∀ε，()εg X =∃，当X x >时，始终有不等式()f x A ε-<成立， ∴()A x f x =∞→lim极限存在准则及两个重要极限○夹逼准则第一个重要极限：1sin lim 0=→xxx∵⎪⎭⎫⎝⎛∈∀2,0πx ，x x x tan sin <<∴1sin lim0=→x x x 0000lim11lim lim 1sin sin sin lim x x x x x x x x x x →→→→===⎛⎫⎪⎝⎭（特别地，000sin()lim1x x x x x x →-=-）○单调有界收敛准则第二个重要极限：e x xx =⎪⎭⎫⎝⎛+∞→11lim（一般地，()()()()lim lim lim g x g x f x f x =⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，其中()0lim >x f ）【题型示例】求值：11232lim +∞→⎪⎭⎫ ⎝⎛++x x x x【求解示例】()()211121212122121122122121lim21221232122lim lim lim 121212122lim 1lim 121212lim 121x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x +++→∞→∞+→∞⋅++++⋅⋅+++→∞+→∞++→∞+++⎛⎫⎛⎫⎛⎫==+ ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥=+=+ ⎪ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎡⎤⎛⎫⎢⎥=+⎪⎢⎥+⎝⎭⎣⎦解：()()12lim 1212121212122lim 121x x x x x x x x x eee e+→∞⎡⎤⋅+⎢⎥+⎣⎦+→∞+→∞⎡⎤⋅+⎢⎥+⎣⎦+⎛⎫⎪+⎝⎭====第四节 无穷小量与无穷大量 ○无穷小与无穷大的本质函数()x f 无穷小⇔()0lim =x f函数()x f 无穷大⇔()∞=x f lim ○无穷小与无穷大的相关定理与推论（定理三）假设()x f 为有界函数，()x g 为无穷小，则()()lim 0f x g x ⋅=⎡⎤⎣⎦ （定理四）在自变量的某个变化过程中，若()x f 为无穷大，则()1fx -为无穷小；反之，若()x f 为无穷小，且()0f x ≠，则()x f 1-为无穷大【题型示例】计算：()()0lim x x f x g x →⋅⎡⎤⎣⎦（或∞→x ） 1．∵()f x ≤M ∴函数()f x 在0x x =的任一去心邻域()δ,0x U ο内是有界的；（∵()f x ≤M ，∴函数()f x 在D x ∈上有界；） 2．()0lim 0=→x g x x 即函数()x g 是0x x →时的无穷小；（()0lim =∞→x g x 即函数()x g 是∞→x 时的无穷小；）3．由定理可知()()0lim 0x x f x g x →⋅=⎡⎤⎣⎦（()()lim 0x f x g x →∞⋅=⎡⎤⎣⎦）无穷小量的阶○等价无穷小（P65/P77）(外加此公式)（乘除可替，加减不行）【题型示例】求值：()()xx x x x x 31ln 1ln lim 20++++→ 【求解示例】()()()()()()()3131lim 31lim 31ln 1lim 31ln 1ln lim ,0,000020=++=+⋅+=++⋅+=++++=≠→→→→→x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 所以原式即解：因为【题型示例】求值233lim 9x x x →--【求解示例】解：因为3→x ，从而可得3≠x ，所以原式()()23333311lim lim lim 93336x x x x x x x x x →→→--====-+-+ （其中3x =为函数()239x f x x -=-的可去间断点） 倘若运用罗比达法则求解（详见第三章第二节）： 解：()()0233323311limlim lim 9269x L x x x x x x x '→→→'--===-'- ○连续函数穿越定理（复合函数的极限求解）（定理五）若函数()x f 是定义域上的连续函数，那么，()()00lim lim x x x x f x f x ϕϕ→→⎡⎤=⎡⎤⎣⎦⎢⎥⎣⎦【题型示例】求值：93lim 23--→x x x【求解示例】36x →===【题型示例】求值：11232lim +∞→⎪⎭⎫ ⎝⎛++x x x x【求解示例】()()211121212122121122122121lim21221232122lim lim lim 121212122lim 1lim 121212lim 121x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x +++→∞→∞+→∞⋅++++⋅⋅+++→∞+→∞++→∞+++⎛⎫⎛⎫⎛⎫==+ ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥=+=+ ⎪ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎡⎤⎛⎫⎢⎥=+⎪⎢⎥+⎝⎭⎣⎦解：()()12lim 1212121212122lim 121x x x x x x x x x ee e e+→∞⎡⎤⋅+⎢⎥+⎣⎦+→∞+→∞⎡⎤⋅+⎢⎥+⎣⎦+⎛⎫ ⎪+⎝⎭====第五节 函数的连续性 ○函数连续的定义()()()000lim lim x x x x f x f x f x -+→→==○间断点的分类⎩⎨⎧∞⋯⋯⎩⎨⎧）无穷间断点（极限为第二类间断点可去间断点（相等）跳越间断点（不等）限存在）第一类间断点（左右极（特别地，可去间断点能在分式中约去相应公因式）【题型示例】设函数()⎩⎨⎧+=xa e x f x 2 ，00≥<x x 应该怎样选择数a ，使得()x f 成为在R 上的连续函数？【求解示例】1．∵()()()2010000f e e e f a a f a --⋅++⎧===⎪⎪=+=⎨⎪=⎪⎩2．由连续函数定义()()()e f x f x f x x ===+-→→0lim lim 0∴e a =闭区间上连续函数的性质 ○零点定理【题型示例】证明：方程()()f x g x C =+至少有一个根介于a 与b 之间 【证明示例】1．（建立辅助函数）函数()()()x f x g x C ϕ=--在闭区间[],a b 上连续；2．∵()()0a b ϕϕ⋅<（端点异号）3．∴由零点定理，在开区间()b a ,内至少有一点ξ，使得()0=ξϕ，即()()0fg C ξξ--=（10<<ξ） 4．这等式说明方程()()f x g x C =+在开区间()b a ,~xx sin tan -23x内至少有一个根ξ 第二章 导数与微分第一节 导数概念（导数公式表P111） ○高等数学中导数的定义及几何意义【题型示例】已知函数()⎩⎨⎧++=b ax e x f x1 ，00>≤x x 在0=x 处可导，求a ，b【求解示例】1．∵()()0010f e f a -+'⎧==⎪⎨'=⎪⎩，()()()00001120012f e e f b f e --+⎧=+=+=⎪⎪=⎨⎪=+=⎪⎩2．由函数可导定义()()()()()0010002f f a f f f b -+-+''===⎧⎪⎨====⎪⎩ ∴1,2a b ==【题型示例】求()x f y =在a x =处的切线与法线方程 （或：过()x f y =图像上点(),a f a ⎡⎤⎣⎦处的切线与法线方程） 【求解示例】1．()x f y '='，()a f y a x '='=| 2．切线方程：()()()y f a f a x a '-=- 法线方程：()()()1y f a x a f a -=--' 第二节 求导的基本法则 ○函数和（差）、积与商的求导法则 1．线性组合（定理一）：()u v u v αβαβ'''±=+ 特别地，当1==βα时，有()u v u v '''±=± 2．函数积的求导法则（定理二）：()uv u v uv '''=+3．函数商的求导法则（定理三）：2u u v uv v v '''-⎛⎫= ⎪⎝⎭○反函数的求导【题型示例】求函数()x f1-的导数【求解示例】由题可得()x f 为直接函数，其在定于域D上单调、可导，且()0≠'x f ；∴()()11f x f x -'⎡⎤=⎣⎦' ○复合函数的求导法则(P 习题2.2)【题型示例】设(ln y e =，求y '【求解示例】(22arcsi y ex a e e e ''='⎛⎫' ⎪+=⎝⎛⎫⎪ =⎝⎭=解：⎛⎫ ⎝高阶导数 ○()()()()1n n fx fx -'⎡⎤=⎣⎦（或()()11n n n n d y d y dx dx --'⎡⎤=⎢⎥⎣⎦） 【题型示例】求函数()x y +=1ln 的n 阶导数 【求解示例】()1111y x x-'==++， ()()()12111y x x --'⎡⎤''=+=-⋅+⎣⎦， ()()()()()2311121y x x --'⎡⎤'''=-⋅+=-⋅-⋅+⎣⎦……()1(1)(1)(1)nn n y n x --=-⋅-⋅+！第三节 隐函数及参数方程型函数的导数○隐函数的求导（等式两边对x 求导）【题型示例】试求：方程ye x y +=所给定的曲线C ：()x y y =在点()1,1e -的切线方程与法线方程【求解示例】由ye x y +=两边对x 求导即()y y x e '''=+化简得1yy e y ''=+⋅∴ee y -=-='11111 ∴切线方程：()e x ey +--=-1111 法线方程：()()e x e y +---=-111○参数方程型函数的求导【题型示例】设参数方程()()⎩⎨⎧==t y t x γϕ，求22dx yd【求解示例】1.()()t t dx dy ϕγ''= 2.()22dy d y dx dxt ϕ'⎛⎫⎪⎝⎭=' 第四节 函数的微分○基本初等函数微分公式与微分运算法则 ()dx x f dy ⋅'=第六节 微分学中值定理 ○罗尔定理（1）在闭区间[a,b]上连续 （2）在开区间（a,b ）内可导 （3）f(a)=f(b)则至少存在一点在（a,b ）使f(x)内可导 ○拉格朗日中值定理【题型示例】证明不等式：当1x >时，xe e x >⋅ 【证明示例】1．（建立辅助函数）令函数()x f x e =，则对1x ∀>，显然函数()f x 在闭区间[]1,x 上连续，在开区间()1,x 上可导，并且()x f x e '=；2．由拉格朗日中值定理可得，[]1,x ξ∃∈使得等式()11x e e x e ξ-=-成立，又∵1e e ξ>，∴()111x e e x e e x e ->-=⋅-，化简得x e e x >⋅，即证得：当1x >时，xe e x >⋅ 【题型示例】证明不等式：当0x >时，()ln 1x x +< 【证明示例】1．（建立辅助函数）令函数()()ln 1f x x =+，则对0x ∀>，函数()f x 在闭区间[]0,x 上连续，在开区间()0,π上可导，并且()11f x x'=+； 2．由拉格朗日中值定理可得，[]0,x ξ∃∈使得等式()()()1ln 1ln 1001x x ξ+-+=-+成立， 化简得()1ln 11x x ξ+=+，又∵[]0,x ξ∈， ∴()111f ξξ'=<+，∴()ln 11x x x +<⋅=， 即证得：当1x >时，xe e x >⋅ 第七节 罗比达法则○运用罗比达法则进行极限运算的基本步骤1．☆等价无穷小的替换（以简化运算）2．判断极限不定型的所属类型及是否满足运用罗比达法则的三个前提条件A ．属于两大基本不定型（0,0∞∞）且满足条件， 则进行运算：()()()()lim limx a x a f x f x g x g x →→'=' （再进行1、2步骤，反复直到结果得出）B ．☆不属于两大基本不定型（转化为基本不定型） ⑴0⋅∞型（转乘为除，构造分式） 【题型示例】求值：0lim ln x x x α→⋅【求解示例】()10000201ln ln lim ln lim lim lim 111lim 0x x L x x x x x x x x x x x x x a ααααααα∞∞-'→→→→→'⋅===⋅'⎛⎫- ⎪⎝⎭=-=解： （一般地，()0lim ln 0x x x βα→⋅=，其中,R αβ∈）⑵∞-∞型（通分构造分式，观察分母） 【题型示例】求值：011lim sin x x x →⎛⎫-⎪⎝⎭【求解示例】 200011sin sin lim lim lim sin sin x x x x x x x x x x x x →→→--⎛⎫⎛⎫⎛⎫-== ⎪ ⎪ ⎪⋅⎝⎭⎝⎭⎝⎭解：()()()()000002sin 1cos 1cos sin limlim lim lim 0222L x x L x x x x x x xx x x ''→→→→''---====='' ⑶00型（对数求极限法） 【题型示例】求值：0lim xx x →【求解示例】()()0000lim ln ln 000002ln ,ln ln ln 1ln ln 0lim ln lim lim111lim lim 0lim lim 11x x x x x L x yy x x x x x y x y x x x xx x x y xx x x y e e e x→∞∞'→→→→→→→===='→=='⎛⎫ ⎪⎝⎭==-=====-解：设两边取对数得：对对数取时的极限：，从而有 ⑷1∞型（对数求极限法）【题型示例】求值：()10lim cos sin xx x x →+【求解示例】()()()()()1000000lim ln ln 10ln cos sin cos sin ,ln ,ln cos sin ln 0limln limln cos sin cos sin 10lim lim 1,cos sin 10lim =lim x xx x L x x yy x x x x y x x y xx x y x y xx x x x x x x y e e e e→→→'→→→→+=+=+→='+⎡⎤--⎣⎦====++'===解：令两边取对数得对求时的极限，从而可得⑸0∞型（对数求极限法）【题型示例】求值：tan 01lim xx x →⎛⎫⎪⎝⎭【求解示例】()()tan 00200020*******,ln tan ln ,1ln 0lim ln lim tan ln 1ln ln lim limlim 1sec 1tan tan tan sin sin lim lim li xx x x L x x x L x y y x x x y x y x x x xx x x xx x x x x →→∞∞'→→→'→→⎛⎫⎛⎫==⋅ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎡⎤⎛⎫→=⋅ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦'=-=-=-⎛⎫'⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭'==='解：令两边取对数得对求时的极限，00lim ln ln 002sin cos m 0,1lim =lim 1x x yy x x x xy e e e →→→→⋅====从而可得○运用罗比达法则进行极限运算的基本思路00001∞⎧⎪∞-∞−−→←−−⋅∞←−−⎨∞⎪∞⎩∞(1)(2)(3)⑴通分获得分式（通常伴有等价无穷小的替换）⑵取倒数获得分式（将乘积形式转化为分式形式） ⑶ 取对数获得乘积式（通过对数运算将指数提前）第八节 函数形态研究○连续函数单调性（单调区间） 【题型示例】试确定函数()3229123f x x x x =-+-的单调区间【求解示例】1．∵函数()f x 在其定义域R 上连续，且可导 ∴()261812f x x x '=-+2．令()()()6120f x x x '=--=，解得：121,2x x == x(),1-∞1()1,22()2,+∞()f x ' + 0-+()f xZ 极大值]极小值Z4．∴函数()f x 的单调递增区间为(][),1,2,-∞+∞； 单调递减区间为()1,2【题型示例】证明：当0x >时，1xe x >+ 【证明示例】1．（构建辅助函数）设()1x x e x ϕ=--，（0x >） 2．()10x x e ϕ'=->，（0x >） ∴()()00x ϕϕ>=3．既证：当0x >时，1xe x >+【题型示例】证明：当0x >时，()ln 1x x +< 【证明示例】1．（构建辅助函数）设()()ln 1x x x ϕ=+-，（0x >）2．()1101x xϕ'=-<+，（0x >） ∴()()00x ϕϕ<=3．既证：当0x >时，()ln 1x x +< ○连续函数凹凸性【题型示例】试讨论函数2313y x x =+-的单调性、极值、凹凸性及拐点【证明示例】1．()()236326661y x x x x y x x '⎧=-+=--⎪⎨''=-+=--⎪⎩ 2．令()()320610y x x y x '=--=⎧⎪⎨''=--=⎪⎩解得：120,21x x x ==⎧⎨=⎩x (,0)-∞ 0 (0,1)1(1,2) 2 (2,)+∞y ' - 0 + + 0 - y '' + + - - y 1 (1,3) 54．⑴函数13y x x =+-单调递增区间为(0,1),(1,2)单调递增区间为(,0)-∞,(2,)+∞；⑵函数2313y x x =+-的极小值在0x =时取到，为()01f =，极大值在2x =时取到，为()25f =；⑶函数2313y x x =+-在区间(,0)-∞,(0,1)上凹，在区间(1,2),(2,)+∞上凸； 函数2313y x x =+-的拐点坐标为()1,3函数的极值和最大、最小值○函数的极值与最值的关系⑴设函数()f x 的定义域为D ，如果M x ∃的某个邻域()M U x D ⊂，使得对()M x U x ∀∈o，都适合不等式()()M f x f x <，我们则称函数()f x 在点(),M M x f x ⎡⎤⎣⎦处有极大值()M f x ；令{}123,,,...,M M M M Mn x x x x x ∈则函数()f x 在闭区间[],a b 上的最大值M 满足：()(){}123max ,,,,...,,M M M Mn M f a x x x x f b =；⑵设函数()f x 的定义域为D ，如果m x ∃的某个邻域()m U x D ⊂，使得对()m x U x ∀∈o，都适合不等式()()m f x f x >，我们则称函数()f x 在点(),m m x f x ⎡⎤⎣⎦处有极小值()m f x ；令{}123,,,...,m m m m mn x x x x x ∈则函数()f x 在闭区间[],a b 上的最小值m 满足：()(){}123min ,,,,...,,m m m mn m f a x x x x f b =；【题型示例】求函数()33f x x x =-在[]1,3-上的最值【求解示例】1．∵函数()f x 在其定义域[]1,3-上连续，且可导 ∴()233f x x '=-+2．令()()()3110f x x x '=--+=， 解得：121,1x x =-=4．又∵12,12,318f f f -=-==- ∴()()()()max min 12,318f x f f x f ====- 函数图形的描绘第三章 一元函数积分学第四节 不定积分的概念与性质（积分表P208/P213）○原函数与不定积分的概念 ⑴原函数的概念：假设在定义区间I 上，可导函数()F x 的导函数为()F x '，即当自变量x I ∈时，有()()F x f x '=或()()dF x f x dx =⋅成立，则称()F x 为()f x 的一个原函数⑵原函数存在定理：如果函数()f x 在定义区间I 上连续，则在I 上必存在可导函数()F x 使得()()F x f x '=，也就是说：连续函数一定存在原函数（可导必连续） ⑶不定积分的概念在定义区间I 上，函数()f x 的带有任意常数项C 的原函数称为()f x 在定义区间I 上的不定积分，即表示为：()()f x dx F x C =+⎰（⎰称为积分号，()f x 称为被积函数，()f x dx 称为积分表达式，x 则称为积分变量）○基本积分表（P208、P213很重要） ○不定积分的线性性质（分项积分公式）()()()()1212k f x k g x dx k f x dx k g x dx +=+⎡⎤⎣⎦⎰⎰⎰ 换元积分法○第一类换元法（凑微分）(P226) （()dx x f dy ⋅'=的逆向应用）()()()()f x x dx f x d xϕϕϕϕ'⋅=⋅⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎰⎰【题型示例】求221dx ax+⎰【求解示例】222211111arctan 11x x dx dx d C a x a a aa x x a a ⎛⎫===+ ⎪+⎝⎭⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰⎰解：【题型示例】求【求解示例】()()121212x x C=+=+=○第二类换元法（去根式P216）（()dx x f dy ⋅'=的正向应用）⑴对于一次根式（0,a b R ≠∈）：：令t =，于是2t b x a-=，则原式可化为t⑵对于根号下平方和的形式（0a >）：tan x a t =（22t ππ-<<），于是arctan xt a=，则原式可化为sec a t ；⑶对于根号下平方差的形式（0a >）：asin x a t =（22t ππ-<<），于是arcsin xt a=，则原式可化为cos a t ；bsec x a t =（02t π<<），于是arccos at x =，则原式可化为tan a t ；【题型示例】求（一次根式） 【求解示例】2221t x t dx tdttdt dt t C Ct =-=⋅==+=⎰⎰【题型示例】求（三角换元）【求解示例】()()2sin ()2222arcsincos 22cos 1cos 221sin 2sin cos 222x a t t xt adx a ta a tdt t dta a t t C t t t C ππ=-<<==−−−−−−→=+⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭⎰⎰○分部积分法（P228）⑴设函数()u f x =，()v g x =具有连续导数，则其分部积分公式可表示为：udv uv vdu =-⎰⎰⑵分部积分法函数排序次序：“反、对、幂、三、指”○运用分部积分法计算不定积分的基本步骤： ⑴遵照分部积分法函数排序次序对被积函数排序； ⑵就近凑微分：（v dx dv '⋅=） ⑶使用分部积分公式：udv uv vdu =-⎰⎰⑷展开尾项vdu v u dx '=⋅⎰⎰，判断a ．若v u dx '⋅⎰是容易求解的不定积分，则直接计算出答案（容易表示使用基本积分表、换元法与有理函数积分可以轻易求解出结果）； b ．若v u dx '⋅⎰依旧是相当复杂，无法通过a 中方法求解的不定积分，则重复⑵、⑶，直至出现容易求解的不定积分；若重复过程中出现循环，则联立方程求解，但是最后要注意添上常数C【题型示例】求2x e x dx ⋅⎰【求解示例】()()222222222222222x x x x x x x x x x x x x x x e x dx x e dx x de x e e d x x e x e dx x e x d e x e xe e dx x e xe e C⋅===-=-⋅=-⋅=-+=-++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰解：【题型示例】求sin x e xdx ⋅⎰【求解示例】()()()()sin cos cos cos cos cos cos sin cos sin sin cos sin sin x x x xx x x x x x x x x x e xdx e d x e x xd e e x e xdx e x e d x e x e x xd e e x e x e xdx⋅=-=-+=-+=-+=-+-=-+-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰解：()sin cos sin sin x x x xe xdx e x e x xd e ⋅=-+-⎰⎰即：∴()1sin sin cos 2xxe xdx e x x C ⋅=-+⎰【题型示例】求21x dx x +⎰（构造法） 【求解示例】()()()221111111111ln 112x x x x dx dx x dx x x x xdx dx dx x x x Cx +-++⎛⎫==-+ ⎪+++⎝⎭=-+=-++++⎰⎰⎰⎰⎰⎰○定积分的定义()()01lim nbiiai f x dx f x I λξ→==∆=∑⎰（()f x 称为被积函数，()f x dx 称为被积表达式，x则称为积分变量，a 称为积分下限，b 称为积分上限，[],a b 称为积分区间）○定积分的性质⑴()()b baaf x dx f u du =⎰⎰⑵()0a a f x dx =⎰ ⑶()()bbaakf x dx k f x dx =⎡⎤⎣⎦⎰⎰⑷（线性性质）()()()()1212bb ba a a k f x k g x dx k f x dx k g x dx +=+⎡⎤⎣⎦⎰⎰⎰ ⑸（积分区间的可加性）()()()bc baacf x dx f x dx f x dx =+⎰⎰⎰⑹若函数()f x 在积分区间[],a b 上满足()0f x >，则()0baf x dx >⎰；（推论一）若函数()f x 、函数()g x 在积分区间[],a b 上满足()()f x g x ≤，则()()b baaf x dxg x dx ≤⎰⎰；（推论二）()()b baaf x dx f x dx ≤⎰⎰○积分中值定理（不作要求）微积分基本公式○牛顿-莱布尼兹公式（定理三）若果函数()F x 是连续函数()f x 在区间[],a b 上的一个原函数，则()()()baf x dx F b F a =-⎰○变限积分的导数公式（上上导―下下导）()()()()()()()x x d f t dt f x x f x x dxϕψϕϕψψ''=-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎰ 【题型示例】求21cos 2limt xx e dt x -→⎰【求解示例】()2211cos cos 2002lim lim 解：t t x xx L x d e dt e dt dx x x--'→→='⎰⎰()()()()2222221cos cos 000cos 0cos cos 0cos 010sin sin limlim 22sin lim 2cos sin 2sin cos lim 21lim sin cos 2sin cos 21122xxx x xL x x x x x x e ex x e xxdx e dx x x e x e x x e x x x x e e---→→-'→--→-→-⋅-⋅-⋅==⋅='⋅+⋅⋅=⎡⎤=+⋅⎣⎦=⋅=第五节 定积分的换元法及分部积分法 ○定积分的换元法 ⑴（第一换元法）()()()()b ba a f x x dx f x d x ϕϕϕϕ'⋅=⋅⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎰⎰ 【题型示例】求20121dx x +⎰ 【求解示例】()[]222000111121ln 212122121ln 5ln 5ln122解：dx d x x x x =+=⎡+⎤⎣⎦++=-=⎰⎰ ⑵（第二换元法）设函数()[],f x C a b ∈，函数()x t ϕ=满足： a ．,αβ∃，使得()(),a b ϕαϕβ==；b ．在区间[],αβ或[],βα上，()(),f t t ϕϕ'⎡⎤⎣⎦连续 则：()()()b af x dx f t t dt βαϕϕ'=⎡⎤⎣⎦⎰⎰【题型示例】求4221x dx x ++⎰()221210,43220,1014,332332311132222113111332223522933解：t t x x x t x t t x dx dx tx t t dt t dt t x t =+>=-====++−−−−−−→++⎛⎫=⋅⋅=+=+ ⎪⎝⎭=-=⎰⎰⎰⎰ ⑶（分部积分法）()()()()()()()()()()()()bba ab bb aaau x v x dx u x v x v x u x dxu x dv x u x v x v x du x ''=-=-⎡⎤⎣⎦⎰⎰⎰⎰○偶倍奇零设()[],f x C a a ∈-，则有以下结论成立： ⑴若()()f x f x -=，则()()02aaaf x dx f x dx -=⎰⎰⑵ 若()()f x f x -=-，则()0aaf x dx -=⎰第四节 定积分的应用（P248）面积增量的近似值为[f 上(x )- f 下(x )]dx 它也就是面积元素设平面图形由上下两条曲线y =f 上(x )与y =f 下(x )及左右两条直线x =a 与x =b 所围成y =f 上 y =f下上下⎰=ba S [f上(x )- f下X-型区域1、直角坐标系情形常用等价无穷小~ 1e -x,0 →x 当~ 1-x a ~ x sin ~ x tan ~ x arcsin ~ x arctan ~ )1ln(x +~xx sin tan -23x ~xcos 1-22x ~ 1)1(-+αx xx x xx x x xα例1 求双纽线θρ2cos 22a =所围平面图形的面积.解由对称性知总面积=4倍第一象限部分面积14A A =θθπd a A 2cos 21442⎰=.2a =例2 计算由两条抛物线x y =2和2x y =所围成的图形的面积.解 两曲线的交点)1,1()0,0(面积元素dxx x dA )(2-=选X为积分变量 x ]1,0[∈x dxx x A )(21-=⎰10333223⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=x x .31=2x y =2y x =取积分变量为x ，],[b a x ∈在],[b a 上任取小区间],[dx x x +，取以dx 为底的窄曲边梯形绕x 轴旋转而成的薄片的体积的近似值为体积元素， dx x f dV2)]([π=xdxx +旋转体的体积为 dx x f V ba 2)]([⎰=π)(x f y =。
(完整版)高等数学复习资料大全1,推荐文档
x0
sin x x
x x et2 dt
3. lim 0
1
x0 1 ex2
（洛必达与微积分性质）
第二讲 导数、微分及其应用
一、理论要求
2
1.导数与微分 导数与微分的概念、几何意义、物理意义 会求导（基本公式、四则、复合、高阶、隐、反、参数方程求导） 会求平面曲线的切线与法线方程 2.微分中值定理 理解 Roll、Lagrange、Cauchy、Taylor 定理 会用定理证明相关问题 3.应用 会用导数求单调性与极最值、凹凸性、渐进线问题，能画简图 会计算曲率（半径）
x 0
6x
x0
6
216 3y''(0) 0 y''(0) 72 6
lim
x0
6
f (x) x2
lim
x0
y' 2x
lim
x0
y'' 2
72 2
36
（洛必达）
3. lim(
2x
2x
) x1
（重要极限）
x1 x 1
1
4.已知
a、b
为正常数， 求 lim( a x
bx
3
)x
x0
2
解：令 t
7.已知
f
(x)
ln(cos x)x 2 ,
a,
x
0
x
0
在
x=0
连续，求
a
解：令 a lim ln(cos x) / x2 1/ 2 （连续性的概念） x0
三、补充习题（作业）
1. lim e x 1 x 3 （洛必达） x0 1 x cos x
1 2. lim ctgx(
大学高数复习资料大全
高等数学第一章 函数与极限第一节 函数○函数基础（高中函数部分相关知识）（★★★） ○邻域（去心邻域）（★）(){},|U a x x a δδ=-<(){},|0U a x x a δδ=<-<第二节 数列的极限○数列极限的证明（★）【题型示例】已知数列{}n x ，证明{}lim n x x a →∞= 【证明示例】N -ε语言1．由n x a ε-<化简得()εg n >， ∴()N g ε=⎡⎤⎣⎦2．即对0>∀ε，()N g ε∃=⎡⎤⎣⎦，当N n >时，始终有不等式n x a ε-<成立， ∴{}a x n x =∞→lim第三节 函数的极限○0x x →时函数极限的证明（★） 【题型示例】已知函数()x f ，证明()A x f x x =→0lim【证明示例】δε-语言1．由()f x A ε-<化简得()00x x g ε<-<， ∴()εδg =2．即对0>∀ε，()εδg =∃，当00x x δ<-<时，始终有不等式()f x A ε-<成立， ∴()A x f x x =→0lim○∞→x 时函数极限的证明（★）【题型示例】已知函数()x f ，证明()A x f x =∞→lim【证明示例】X -ε语言1．由()f x A ε-<化简得()x g ε>， ∴()εg X =2．即对0>∀ε，()εg X =∃，当X x >时，始终有不等式()f x A ε-<成立， ∴()A x f x =∞→lim第四节 无穷小与无穷大○无穷小与无穷大的本质（★） 函数()x f 无穷小⇔()0lim =x f 函数()x f 无穷大⇔()∞=x f lim○无穷小与无穷大的相关定理与推论（★★）（定理三）假设()x f 为有界函数，()x g 为无穷小，则()()lim 0f x g x ⋅=⎡⎤⎣⎦（定理四）在自变量的某个变化过程中，若()x f 为无穷大，则()1f x -为无穷小；反之，若()x f 为无穷小，且()0f x ≠，则()x f1-为无穷大【题型示例】计算：()()0lim x x f x g x →⋅⎡⎤⎣⎦（或∞→x ） 1．∵()f x ≤M ∴函数()f x 在0x x =的任一去心邻域()δ,0x U内是有界的；（∵()f x ≤M ，∴函数()f x 在D x ∈上有界；） 2．()0lim 0=→x g x x 即函数()x g 是0x x →时的无穷小； （()0lim =∞→x g x 即函数()x g 是∞→x 时的无穷小；）3．由定理可知()()0lim 0x x f x g x →⋅=⎡⎤⎣⎦（()()lim 0x f x g x →∞⋅=⎡⎤⎣⎦）第五节 极限运算法则○极限的四则运算法则（★★） （定理一）加减法则 （定理二）乘除法则关于多项式()p x 、()x q 商式的极限运算设：()()⎪⎩⎪⎨⎧+⋯++=+⋯++=--nn n mm m b x b x b x q a x a x a x p 110110则有()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∞=∞→0lim 0b a x q x p x m n m n m n >=<()()()()000lim 00x x f x g x f x g x →⎧⎪⎪⎪=∞⎨⎪⎪⎪⎩()()()()()0000000,00g x g x f x g x f x ≠=≠== （特别地，当()()00lim 0x x f x g x →=（不定型）时，通常分子分母约去公因式即约去可去间断点便可求解出极限值，也可以用罗比达法则求解）【题型示例】求值233lim9x x x →--【求解示例】解：因为3→x ，从而可得3≠x ，所以原式()()23333311limlim lim 93336x x x x x x x x x →→→--====-+-+ 其中3x =为函数()239x f x x -=-的可去间断点倘若运用罗比达法则求解（详见第三章第二节）：解：()()0233323311lim lim lim 9269x L x x x x x x x '→→→'--===-'- ○连续函数穿越定理（复合函数的极限求解）（★★） （定理五）若函数()x f 是定义域上的连续函数，那么，()()00lim lim x x x x f x f x ϕϕ→→⎡⎤=⎡⎤⎣⎦⎢⎥⎣⎦ 【题型示例】求值：93lim 23--→x x x【求解示例】36x →===第六节 极限存在准则及两个重要极限○夹迫准则（P53）（★★★） 第一个重要极限：1sin lim 0=→xxx∵⎪⎭⎫⎝⎛∈∀2,0πx ，x x x tan sin <<∴1sin lim0=→x x x 0000lim11lim lim 1sin sin sin lim x x x x x x x x x x →→→→===⎛⎫⎪⎝⎭（特别地，000sin()lim1x x x x x x →-=-）○单调有界收敛准则（P57）（★★★）第二个重要极限：e x xx =⎪⎭⎫⎝⎛+∞→11lim（一般地，()()()()lim lim lim g x g x f x f x =⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，其中()0lim >x f ）【题型示例】求值：11232lim +∞→⎪⎭⎫ ⎝⎛++x x x x【求解示例】()()211121212122121122122121lim21221232122lim lim lim 121212122lim 1lim 121212lim 121x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x +++→∞→∞+→∞⋅++++⋅⋅+++→∞+→∞++→∞+++⎛⎫⎛⎫⎛⎫==+ ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥=+=+ ⎪ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎡⎤⎛⎫⎢⎥=+⎪⎢⎥+⎝⎭⎣⎦解：()()12lim 1212121212122lim 121x x x x x x x x x ee e e+→∞⎡⎤⋅+⎢⎥+⎣⎦+→∞+→∞⎡⎤⋅+⎢⎥+⎣⎦+⎛⎫⎪+⎝⎭====第七节 无穷小量的阶（无穷小的比较） ○等价无穷小（★★）1．()~sin ~tan ~arcsin ~arctan ~ln(1)~1UU U U U U U e +- 2．U U cos 1~212-（乘除可替，加减不行）【题型示例】求值：()()xx x x x x 31ln 1ln lim 20++++→ 【求解示例】()()()()()()()3131lim 31lim 31ln 1lim 31ln 1ln lim,0,000020=++=+⋅+=++⋅+=++++=≠→→→→→x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 所以原式即解：因为第八节 函数的连续性○函数连续的定义（★）()()()000lim lim x x x x f x f x f x -+→→==○间断点的分类（P67）（★）⎩⎨⎧∞⋯⋯⎩⎨⎧）无穷间断点（极限为第二类间断点可去间断点（相等）跳越间断点（不等）限存在）第一类间断点（左右极（特别地，可去间断点能在分式中约去相应公因式）【题型示例】设函数()⎩⎨⎧+=x a e x f x 2 ，00≥<x x 应该怎样选择数a ，使得()x f 成为在R 上的连续函数？【求解示例】1．∵()()()2010000f e e e f a a f a --⋅++⎧===⎪⎪=+=⎨⎪=⎪⎩2．由连续函数定义()()()e f x f x f x x ===+-→→0lim lim 0∴e a =第九节 闭区间上连续函数的性质 ○零点定理（★）【题型示例】证明：方程()()f x g x C =+至少有一个根介于a 与b 之间 【证明示例】1．（建立辅助函数）函数()()()x f x g x C ϕ=--在闭区间[],a b 上连续；2．∵()()0a b ϕϕ⋅<（端点异号）3．∴由零点定理，在开区间()b a ,内至少有一点ξ，使得()0=ξϕ，即()()0fg C ξξ--=（10<<ξ） 4．这等式说明方程()()f x g x C =+在开区间()b a ,内至少有一个根ξ 第二章 导数与微分第一节 导数概念○高等数学中导数的定义及几何意义（P83）（★★）【题型示例】已知函数()⎩⎨⎧++=b ax e x f x1 ，00>≤x x 在0=x 处可导，求a ，b【求解示例】1．∵()()0010f e f a -+'⎧==⎪⎨'=⎪⎩，()()()00001120012f e e f b f e --+⎧=+=+=⎪⎪=⎨⎪=+=⎪⎩2．由函数可导定义()()()()()0010002f f a f f f b -+-+''===⎧⎪⎨====⎪⎩ ∴1,2a b ==【题型示例】求()x f y =在a x =处的切线与法线方程 （或：过()x f y =图像上点(),a f a ⎡⎤⎣⎦处的切线与法线方程） 【求解示例】1．()x f y '='，()a f y a x '='=| 2．切线方程：()()()y f a f a x a '-=- 法线方程：()()()1y f a x a f a -=--' 第二节 函数的和（差）、积与商的求导法则○函数和（差）、积与商的求导法则（★★★） 1．线性组合（定理一）：()u v u v αβαβ'''±=+ 特别地，当1==βα时，有()u v u v '''±=± 2．函数积的求导法则（定理二）：()uv u v uv '''=+3．函数商的求导法则（定理三）：2u u v uv v v '''-⎛⎫= ⎪⎝⎭第三节 反函数和复合函数的求导法则○反函数的求导法则（★）【题型示例】求函数()x f1-的导数【求解示例】由题可得()x f 为直接函数，其在定于域D上单调、可导，且()0≠'x f ；∴()()11fx f x -'⎡⎤=⎣⎦' ○复合函数的求导法则（★★★）【题型示例】设(ln y e =，求y '【求解示例】(22arcsi y ex a e e e ''='⎛⎫' ⎪+=⎝⎛⎫⎪ =⎝⎭=解：⎛ ⎝第四节 高阶导数 ○()()()()1n n fx fx -'⎡⎤=⎣⎦（或()()11n n n n d y d y dx dx --'⎡⎤=⎢⎥⎣⎦）（★） 【题型示例】求函数()x y +=1ln 的n 阶导数 【求解示例】()1111y x x-'==++， ()()()12111y x x --'⎡⎤''=+=-⋅+⎣⎦， ()()()()()2311121y x x --'⎡⎤'''=-⋅+=-⋅-⋅+⎣⎦……()1(1)(1)(1)nn n y n x --=-⋅-⋅+！第五节 隐函数及参数方程型函数的导数 ○隐函数的求导（等式两边对x 求导）（★★★） 【题型示例】试求：方程ye x y +=所给定的曲线C ：()x y y =在点()1,1e -的切线方程与法线方程【求解示例】由ye x y +=两边对x 求导即()y y x e '''=+化简得1yy e y ''=+⋅∴ee y -=-='11111 ∴切线方程：()e x ey +--=-1111法线方程：()()e x e y +---=-111○参数方程型函数的求导【题型示例】设参数方程()()⎩⎨⎧==t y t x γϕ，求22dx yd【求解示例】1.()()t t dx dy ϕγ''= 2.()22dy d y dx dxt ϕ'⎛⎫⎪⎝⎭=' 第六节 变化率问题举例及相关变化率（不作要求）第七节 函数的微分○基本初等函数微分公式与微分运算法则（★★★） ()dx x f dy ⋅'=第三章 中值定理与导数的应用第一节 中值定理 ○引理（费马引理）（★） ○罗尔定理（★★★） 【题型示例】现假设函数()f x 在[]0,π上连续，在()0,π 上可导，试证明：()0,ξπ∃∈， 使得()()cos sin 0ff ξξξξ'+=成立【证明示例】1．（建立辅助函数）令()()sin x f x x ϕ=显然函数()x ϕ在闭区间[]0,π上连续，在开区间()0,π上可导；2．又∵()()00sin00f ϕ==()()sin 0f ϕπππ== 即()()00ϕϕπ==3．∴由罗尔定理知()0,ξπ∃∈，使得()()cos sin 0f f ξξξξ'+=成立○拉格朗日中值定理（★）【题型示例】证明不等式：当1x >时，xe e x >⋅ 【证明示例】1．（建立辅助函数）令函数()x f x e =，则对1x ∀>，显然函数()f x 在闭区间[]1,x 上连续，在开区间()1,x 上可导，并且()x f x e '=；2．由拉格朗日中值定理可得，[]1,x ξ∃∈使得等式()11x e e x e ξ-=-成立，又∵1e e ξ>，∴()111x e e x e e x e ->-=⋅-，化简得x e e x >⋅，即证得：当1x >时，xe e x >⋅ 【题型示例】证明不等式：当0x >时，()ln 1x x +< 【证明示例】1．（建立辅助函数）令函数()()ln 1f x x =+，则对0x ∀>，函数()f x 在闭区间[]0,x 上连续，在开区间()0,π上可导，并且()11f x x'=+；2．由拉格朗日中值定理可得，[]0,x ξ∃∈使得等式()()()1ln 1ln 1001x x ξ+-+=-+成立，化简得()1ln 11x x ξ+=+，又∵[]0,x ξ∈， ∴()111f ξξ'=<+，∴()ln 11x x x +<⋅=， 即证得：当1x >时，xe e x >⋅第二节 罗比达法则○运用罗比达法则进行极限运算的基本步骤（★★） 1．☆等价无穷小的替换（以简化运算）2．判断极限不定型的所属类型及是否满足运用罗比达法则的三个前提条件 A ．属于两大基本不定型（0,0∞∞）且满足条件，则进行运算：()()()()lim limx a x a f x f x g x g x →→'=' （再进行1、2步骤，反复直到结果得出）B ．☆不属于两大基本不定型（转化为基本不定型） ⑴0⋅∞型（转乘为除，构造分式） 【题型示例】求值：0lim ln x x x α→⋅【求解示例】()10000201ln ln lim ln lim lim lim 111lim 0x x L x x x x x x x x x x x x x a ααααααα∞∞-'→→→→→'⋅===⋅'⎛⎫- ⎪⎝⎭=-=解： （一般地，()0lim ln 0x x x βα→⋅=，其中,R αβ∈）⑵∞-∞型（通分构造分式，观察分母） 【题型示例】求值：011lim sin x x x →⎛⎫-⎪⎝⎭【求解示例】200011sin sin lim lim lim sin sin x x x x x x x x x x x x →→→--⎛⎫⎛⎫⎛⎫-== ⎪ ⎪ ⎪⋅⎝⎭⎝⎭⎝⎭解：()()()()000002sin 1cos 1cos sin limlim lim lim 0222L x x L x x x x x x xx x x ''→→→→''---====='' ⑶00型（对数求极限法）【题型示例】求值：0lim xx x →【求解示例】()()0000lim ln ln 000002ln ,ln ln ln 1ln ln 0lim ln lim lim111lim lim 0lim lim 11x x x x x L x yy x x x x x y x y x x x xx xx y xx x x y e e e x→∞∞'→→→→→→→===='→=='⎛⎫ ⎪⎝⎭==-=====-解：设两边取对数得：对对数取时的极限：，从而有 ⑷1∞型（对数求极限法）【题型示例】求值：()10lim cos sin xx x x →+【求解示例】()()()()()1000000lim ln ln 10ln cos sin cos sin ,ln ,ln cos sin ln 0limln limln cos sin cos sin 10lim lim 1,cos sin 10lim =lim x xx x L x x yy x x x x y x x y xx x y x y xx x x x x x x y e e e e→→→'→→→→+=+=+→='+⎡⎤--⎣⎦====++'===解：令两边取对数得对求时的极限，从而可得⑸0∞型（对数求极限法） 【题型示例】求值：tan 01lim xx x →⎛⎫⎪⎝⎭【求解示例】()()tan 00200020*******,ln tan ln ,1ln 0lim ln lim tan ln 1ln ln lim limlim 1sec 1tan tan tan sin sin lim lim li xx x x L x x x L x y y x x x y x y x x x xx x x xx x x x x →→∞∞'→→→'→→⎛⎫⎛⎫==⋅ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎡⎤⎛⎫→=⋅ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦'=-=-=-⎛⎫'⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭'==='解：令两边取对数得对求时的极限，00lim ln ln 002sin cos m 0,1lim =lim 1x x yy x x x xy e e e →→→→⋅====从而可得○运用罗比达法则进行极限运算的基本思路（★★）00001∞⎧⎪∞-∞−−→←−−⋅∞←−−⎨∞⎪∞⎩∞(1)(2)(3)⑴通分获得分式（通常伴有等价无穷小的替换）⑵取倒数获得分式（将乘积形式转化为分式形式） ⑶取对数获得乘积式（通过对数运算将指数提前）第三节 泰勒中值定理（不作要求） 第四节 函数的单调性和曲线的凹凸性 ○连续函数单调性（单调区间）（★★★） 【题型示例】试确定函数()3229123f x x x x =-+-的单调区间 【求解示例】1．∵函数()f x 在其定义域R 上连续，且可导∴()261812f x x x '=-+2．令()()()6120f x x x '=--=，解得：121,2x x ==4．∴函数f x 的单调递增区间为,1,2,-∞+∞； 单调递减区间为()1,2【题型示例】证明：当0x >时，1xe x >+ 【证明示例】1．（构建辅助函数）设()1x x e x ϕ=--，（0x >）2．()10xx e ϕ'=->，（0x >）∴()()00x ϕϕ>=3．既证：当0x >时，1xe x >+【题型示例】证明：当0x >时，()ln 1x x +<【证明示例】1．（构建辅助函数）设()()ln 1x x x ϕ=+-，（0x >）2．()1101x xϕ'=-<+，（0x >） ∴()()00x ϕϕ<=3．既证：当0x >时，()ln 1x x +<○连续函数凹凸性（★★★）【题型示例】试讨论函数2313y x x =+-的单调性、极值、凹凸性及拐点【证明示例】1．()()236326661y x x x x y x x '⎧=-+=--⎪⎨''=-+=--⎪⎩ 2．令()()320610y x x y x '=--=⎧⎪⎨''=--=⎪⎩解得：120,21x x x ==⎧⎨=⎩3．（四行表）x(,0)-∞ 0(0,1) 1(1,2) 2(2,)+∞y '-++- y '' ++--y1 (1,3) 5 4．⑴函数13y x x =+-单调递增区间为(0,1),(1,2)单调递增区间为(,0)-∞,(2,)+∞；⑵函数2313y x x =+-的极小值在0x =时取到，为()01f =，极大值在2x =时取到，为()25f =；⑶函数2313y x x =+-在区间(,0)-∞,(0,1)上凹，在区间(1,2),(2,)+∞上凸；⑷函数2313y x x =+-的拐点坐标为()1,3第五节 函数的极值和最大、最小值○函数的极值与最值的关系（★★★）⑴设函数()f x 的定义域为D ，如果M x ∃的某个邻域()M U x D ⊂，使得对()M x U x ∀∈，都适合不等式()()M f x f x <，我们则称函数()f x 在点(),M M x f x ⎡⎤⎣⎦处有极大值()M f x ；令{}123,,,...,M M M M Mn x x x x x ∈则函数()f x 在闭区间[],a b 上的最大值M 满足：()(){}123max ,,,,...,,M M M Mn M f a x x x x f b =；⑵设函数()f x 的定义域为D ，如果m x ∃的某个邻域()m U x D ⊂，使得对()m x U x ∀∈，都适合不等式()()m f x f x >，我们则称函数()f x 在点(),m m x f x ⎡⎤⎣⎦处有极小值()m f x ；令{}123,,,...,m m m m mn x x x x x ∈则函数()f x 在闭区间[],ab 上的最小值m 满足：()(){}123min ,,,,...,,m m m mn m f a x x x x f b =；【题型示例】求函数()33f x x x =-在[]1,3-上的最值 【求解示例】1．∵函数()f x 在其定义域[]1,3-上连续，且可导 ∴()233f x x '=-+2．令()()()3110f x x x '=--+=， 解得：121,1x x =-= ．（三行表）x1- ()1,1-1 (]1,3()f x ' 0+-()f x极小值极大值4．又∵12,12,318f f f -=-==- ∴()()()()max min 12,318f x f f x f ====- 第六节 函数图形的描绘（不作要求） 第七节 曲率（不作要求）第八节 方程的近似解（不作要求） 第四章 不定积分第一节 不定积分的概念与性质 ○原函数与不定积分的概念（★★） ⑴原函数的概念：假设在定义区间I 上，可导函数()F x 的导函数为()F x '，即当自变量x I ∈时，有()()F x f x '=或()()dF x f x dx =⋅成立，则称()F x 为()f x 的一个原函数⑵原函数存在定理：（★★）如果函数()f x 在定义区间I 上连续，则在I 上必存在可导函数()F x 使得()()F x f x '=，也就是说：连续函数一定存在原函数（可导必连续） ⑶不定积分的概念（★★）在定义区间I 上，函数()f x 的带有任意常数项C 的原函数称为()f x 在定义区间I 上的不定积分，即表示为：()()f x dx F x C =+⎰（⎰称为积分号，()f x 称为被积函数，()f x dx 称为积分表达式，x 则称为积分变量）○基本积分表（★★★）○不定积分的线性性质（分项积分公式）（★★★）()()()()1212k f x k g x dx k f x dx k g x dx +=+⎡⎤⎣⎦⎰⎰⎰ 第二节 换元积分法○第一类换元法（凑微分）（★★★） （()dx x f dy ⋅'=的逆向应用）()()()()f x x dx f x d x ϕϕϕϕ'⋅=⋅⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎰⎰【题型示例】求221dx a x +⎰【求解示例】222211111arctan 11x x dx dx d Ca x a a aa x x a a ⎛⎫===+ ⎪+⎝⎭⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰⎰解：【题型示例】求【求解示例】()()121212x x C=+=+=○第二类换元法（去根式）（★★）（()dx x f dy ⋅'=的正向应用）⑴对于一次根式（0,a b R ≠∈）：t =，于是2t b x a-=，则原式可化为t⑵对于根号下平方和的形式（0a >）：tan x a t =（22t ππ-<<），于是arctan xt a=，则原式可化为sec a t ；⑶对于根号下平方差的形式（0a >）：asin x a t =（22t ππ-<<），于是arcsin xt a=，则原式可化为cos a t ；bsec x a t =（02t π<<），于是arccos at x =，则原式可化为tan a t ；【题型示例】求（一次根式） 【求解示例】2221t x t dx tdttdt dt t C Ct =-=⋅==+=⎰⎰【题型示例】求（三角换元）【求解示例】()()2sin ()2222arcsincos 22cos 1cos 221sin 2sin cos 222x a t t xt adx a ta a tdt t dta a t t C t t t C ππ=-<<==−−−−−−→=+⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭⎰⎰第三节 分部积分法 ○分部积分法（★★）⑴设函数()u f x =，()v g x =具有连续导数，则其分部积分公式可表示为：udv uv vdu =-⎰⎰⑵分部积分法函数排序次序：“反、对、幂、三、指” ○运用分部积分法计算不定积分的基本步骤： ⑴遵照分部积分法函数排序次序对被积函数排序； ⑵就近凑微分：（v dx dv '⋅=） ⑶使用分部积分公式：udv uv vdu =-⎰⎰⑷展开尾项vdu v u dx '=⋅⎰⎰，判断a ．若v u dx '⋅⎰是容易求解的不定积分，则直接计算出答案（容易表示使用基本积分表、换元法与有理函数积分可以轻易求解出结果）； b ．若v u dx '⋅⎰依旧是相当复杂，无法通过a 中方法求解的不定积分，则重复⑵、⑶，直至出现容易求解的不定积分；若重复过程中出现循环，则联立方程求解，但是最后要注意添上常数C【题型示例】求2x e x dx ⋅⎰【求解示例】()()222222222222222x x x x x x x x x x x x x x x e x dx x e dx x de x e e d x x e x e dx x e x d e x e xe e dx x e xe e C⋅===-=-⋅=-⋅=-+=-++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰解：【题型示例】求sin x e xdx ⋅⎰【求解示例】()()()()sin cos cos cos cos cos cos sin cos sin sin cos sin sin x x x xx x x x x x x x x x e xdx e d x e x xd ee x e xdx e x e d x e x e x xd e e x e x e xdx⋅=-=-+=-+=-+=-+-=-+-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰解：()sin cos sin sin x x x x e xdx e x e x xd e ⋅=-+-⎰⎰即：∴()1sin sin cos 2xxe xdx e x x C ⋅=-+⎰第四节 有理函数的不定积分 ○有理函数（★）设：()()()()101101m m mn n nP x p x a x a x a Q x q x b x b x b --=++⋯+==++⋯+ 对于有理函数()()P x Q x ，当()P x 的次数小于()Q x 的次数时，有理函数()()P x Q x 是真分式；当()P x 的次数大于()Q x 的次数时，有理函数()()P x Q x 是假分式○有理函数（真分式）不定积分的求解思路（★）⑴将有理函数()()P x Q x 的分母()Q x 分拆成两个没有公因式的多项式的乘积：其中一个多项式可以表示为一次因式()kx a -；而另一个多项式可以表示为二次质因式()2lx px q ++，（240p q -<）；即：()()()12Q x Q x Q x =⋅一般地：n mx n m x m ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，则参数n a m =-22b c ax bx c a x x a a ⎛⎫++=++ ⎪⎝⎭则参数,b cp q a a ==⑵则设有理函数()()P x Q x 的分拆和式为：()()()()()()122k lP x P x P x Q x x a x px q =+-++其中()()()()1122...k kkP x A A A x a x a x a x a =+++----()()()()2112222222...ll llP x M x N M x N x px q x px q x px q M x N x px q ++=++++++++++++参数121212,,...,,,,...,l k lM M M A A A N N N ⎧⎧⎧⎨⎨⎨⎩⎩⎩由待定系数法（比较法）求出⑶得到分拆式后分项积分即可求解【题型示例】求21x dx x +⎰（构造法） 【求解示例】()()()221111111111ln 112x x x x dx dx x dx x x x xdx dx dx x x x Cx +-++⎛⎫==-+ ⎪+++⎝⎭=-+=-++++⎰⎰⎰⎰⎰⎰第五节 积分表的使用（不作要求）第五章 定积分极其应用第一节 定积分的概念与性质 ○定积分的定义（★）()()01lim nbiiai f x dx f x I λξ→==∆=∑⎰（()f x 称为被积函数，()f x dx 称为被积表达式，x则称为积分变量，a 称为积分下限，b 称为积分上限，[],a b 称为积分区间）○定积分的性质（★★★）⑴()()b baaf x dx f u du =⎰⎰ ⑵()0a af x dx =⎰ ⑶()()b ba akf x dx k f x dx =⎡⎤⎣⎦⎰⎰⑷（线性性质）()()()()1212b b ba a a k f x k g x dx k f x dx k g x dx +=+⎡⎤⎣⎦⎰⎰⎰ ⑸（积分区间的可加性）()()()bc baacf x dx f x dx f x dx =+⎰⎰⎰⑹若函数()f x 在积分区间[],a b 上满足()0f x >，则()0baf x dx >⎰；（推论一）若函数()f x 、函数()g x 在积分区间[],a b 上满足()()f x g x ≤，则()()b baaf x dxg x dx ≤⎰⎰；（推论二）()()b baaf x dx f x dx ≤⎰⎰○积分中值定理（不作要求） 第二节 微积分基本公式○牛顿-莱布尼兹公式（★★★）（定理三）若果函数()F x 是连续函数()f x 在区间[],a b 上的一个原函数，则()()()baf x dx F b F a =-⎰○变限积分的导数公式（★★★）（上上导―下下导）()()()()()()()x x d f t dt f x x f x x dxϕψϕϕψψ''=-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎰ 【题型示例】求21cos 2limt xx e dt x -→⎰【求解示例】()2211cos cos 2002lim lim 解：t t x x x L x d e dt e dt dx x x--'→→='⎰⎰()()()()2222221cos cos000cos 0cos cos 0cos 010sin sin limlim 22sin lim 2cos sin 2sin cos lim21lim sin cos 2sin cos 21122xxx x xL x xxx x x e ex x e xxdx e dx x x ex ex xe x x x x e e---→→-'→--→-→-⋅-⋅-⋅==⋅='⋅+⋅⋅=⎡⎤=+⋅⎣⎦=⋅=第三节 定积分的换元法及分部积分法 ○定积分的换元法（★★★） ⑴（第一换元法）()()()()b ba a f x x dx f x d x ϕϕϕϕ'⋅=⋅⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎰⎰ 【题型示例】求20121dx x +⎰【求解示例】()[]222000111121ln 212122121ln 5ln 5ln122解：dx d x x x x =+=⎡+⎤⎣⎦++=-=⎰⎰ ⑵（第二换元法）设函数()[],f x C a b ∈，函数()x t ϕ=满足： a ．,αβ∃，使得()(),a b ϕαϕβ==；b ．在区间[],αβ或[],βα上，()(),f t t ϕϕ'⎡⎤⎣⎦连续 则：()()()baf x dx f t t dt βαϕϕ'=⎡⎤⎣⎦⎰⎰。
高数学习资料(含讲义及全部内容)(一)
第一 函数与极限函数和极限都是高等数学中最重要、最基本的概念，极值方法是最基本的方法，一切内容都将从这二者开始。
§1、 函 数一、集合、常量与变量1、集合：集合是具有某种特定性质的事物所组成的全体。
通常用大写字母A 、B 、C ……等来表示，组成集合的各个事物称为该集合的元素。
若事物a 是集合M 的一个元素，就记a ∈M （读a 属于M ）；若事物a 不是集合M 的一个元素，就记a ∉M 或a ∈M （读a 不属于M ）；集合有时也简称为集。
注 1：若一集合只有有限个元素，就称为有限集；否则称为无限集。
2：集合的表示方法：⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧===+++======等。
中在点；为我校的学生；须有此性质。
如：中的元素必中，且，即：有此性质的必在所具有的某种性质合可表示为：，那么该集若知其元素有某种性质不到元素规律的集合，、列不出全体元素或找为全体偶数集；，，，然数集，为全体自，，，写出，如：元素的规律，也可类似、对无限集，若知道其；鸡一只猫，一只狗，一只的方法来表示，如：可用列举出其全体元素、若集合为有限集，就枚举法}),(),{(}{}0375{}{)(}642{}321{)(}{},10,,3,2,1{)(23D y x y x C x x B x x x x A A A x x A iii B A ii B A i 3：全体自然数集记为N,全体整数的集合记为Z,全体有理数的集合记为Q,全体实数的集合记为R 。
以后不特别说明的情况下考虑的集合均为数集。
4：集合间的基本关系：若集合A 的元素都是集合B 的元素，即若有A x ∈，必有B x ∈，就称A 为B 的子集，记为B A ⊂,或A B ⊃(读B 包含A)。
显然：R Q Z N ⊂⊂⊂.若B A ⊂,同时A B ⊂,就称A 、B 相等,记为A=B 。
5：当集合中的元素重复时,重复的元素只算一次.如：{1,2,2,3}={1,2,3}。
大一上学期高数期末知识点
大一上学期高数期末知识点高等数学是大学数学的重要组成部分，也是理工科学生必修的一门基础课程。
下面将对大一上学期高等数学的期末考试中可能涉及的重要知识点进行总结和梳理，供同学们参考复习。
1. 函数与极限- 函数的定义及性质- 极限的概念和性质- 极限的运算法则- 无穷小与无穷大- 函数连续性及其判定2. 导数与微分- 导数的定义及性质- 常见函数求导法则- 高阶导数和隐函数求导- 微分的定义及性质- 泰勒展开与近似计算3. 微分中值定理与应用- 罗尔定理- 拉格朗日中值定理- 柯西中值定理- 应用题中的最值和最优化问题4. 不定积分与定积分- 不定积分的基本概念- 常见函数的不定积分- 定积分的定义及性质- 牛顿-莱布尼茨公式- 定积分的应用5. 微分方程- 微分方程的基本概念- 可分离变量的微分方程- 一阶线性微分方程- 常系数线性齐次微分方程- 高阶线性齐次微分方程及特征方程6. 多元函数及偏导数- 多元函数的定义及性质- 偏导数的概念和计算方法- 隐函数求导- 多元函数的极值及条件极值7. 重积分- 重积分的定义及性质- 二重积分的计算方法- 三重积分的计算方法- 坐标变换与重积分的应用8. 曲线与曲面积分- 第一类曲线积分的计算- 第二类曲线积分的计算- 曲面积分的计算- 格林公式及其应用9. 空间解析几何- 点、直线、平面的坐标表示 - 空间曲线和空间曲面的方程 - 空间曲线的切向量和法平面 - 直线与平面的位置关系10. 数列和级数- 数列的定义和性质- 数列极限的概念和性质- 常见数列极限的计算方法 - 级数的概念和性质- 收敛级数和发散级数的判定以上是大一上学期高等数学的重要知识点总结，同学们可以根据自己的学习进度和实际情况进行有针对性的复习。
希望大家在期末考试中取得好成绩！。
大一高数期末复习重点
24
渐近线的求法
(a) 水平渐近线 若函数 f ( x)满足
lim f ( x) a,
20
洛必达法则
基本类型： 变型: 法则：
0 型, 型
0
0 , , 00, 1 , 0型
lim f ( x)
f ( x)
lim
.
g( x)
g( x)
注 (1) 当上式右端极限存在时, 才能用此法则, (2) 在求极限过程中,可能要多次使用此法则, (3) 在使用中, 要进行适当的化简, (4) 在使用中, 注意和其它求极限方法相结合.
对数法求导
分段函数在分
段
点
求
导
高阶
导
数(s
in
x,cos
x,e
x
,
1
)
1 x
14
参数方程
x y
(t) (t)
求
导
数：
dy
dy dx
dt dx
(t) (t )
dt
dy
d2 y dx 2
d( dy ) dx dx
d( ) dx dt dx
d(
(t (t
) )
)
dt dx
dt
dt
15
(1)
由可导性,有 lim f ( x) f (1) lim f ( x) f (1)
x1
x1
x1
x1
lim
ax b 1
大一高数复习资料
高等數學第一章 函數與極限第一节 函數●函數基礎（高中函數部分相關知識）（▲▲▲） ●鄰域（去心鄰域）（▲） 第二节 數列的極限●數列極限的證明（▲） 〖題型 〗已知數列{}n x ，證明{}lim n x x a →∞=〖證明 〗N -ε語言1．由n x a ε-<化簡得()εg n >， ∴()N g ε=⎡⎤⎣⎦2．即對0>∀ε，()N g ε∃=⎡⎤⎣⎦，當N n >時，始終有不等式n x a ε-<成立， ∴{}a x n x =∞→lim第三节 函數的極限●0x x →時函數極限的證明（▲）〖題型 〗已知函數()x f ，證明()A x f x x =→0lim〖證明 〗δε-語言1．由()f x A ε-<化簡得()00x x g ε<-<， ∴()εδg =2．即對0>∀ε，()εδg =∃，當00x x δ<-<時，始終有不等式()f x A ε-<成立， ∴()A x f x x =→0lim●∞→x 時函數極限的證明（▲）〖題型 〗已知函數()x f ，證明()A x f x =∞→lim〖證明 〗X -ε語言1．由()f x A ε-<化簡得()x g ε>， ∴()εg X =2．即對0>∀ε，()εg X =∃，當X x >時，始終有不等式()f x A ε-<成立， ∴()A x f x =∞→lim第四节 無窮小與無窮大●無窮小與無窮大的本質（▲） 函數()x f 無窮小⇔()0lim =x f函數()x f 無窮大⇔()∞=x f lim●無窮小與無窮大的相關定理與推論（▲▲）（定理三）假設()x f 為有界函數，()x g 為無窮小，則()()lim 0f x g x ⋅=⎡⎤⎣⎦（定理四）在引數的某個變化過程中，若()x f 為無窮大，則()1f x -為無窮小；反之，若()x f 為無窮小，且()0f x ≠，則()x f 1-為無窮大 〖題型 〗計算：()()0lim x x f x g x →⋅⎡⎤⎣⎦（或∞→x ）1．∵()f x ≤M ∴函數()f x 在0x x =的任一去心鄰域()δ,0x U內是有界的；（∵()f x ≤M ，∴函數()f x 在D x ∈上有界；） 2．()0lim 0=→x g x x 即函數()x g 是0x x →時的無窮小； （()0lim =∞→x g x 即函數()x g 是∞→x 時的無窮小；）3．由定理可知()()0lim 0x x f x g x →⋅=⎡⎤⎣⎦（()()lim 0x f x g x →∞⋅=⎡⎤⎣⎦）第五节 極限運算法則●極限的四則運算法則（▲▲） （定理一）加減法則 （定理二）乘除法則關於多項式()p x 、()x q 商式的極限運算設：()()⎪⎩⎪⎨⎧+⋯++=+⋯++=--nn n mm m b x b x b x q a x a x a x p 110110 則有()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∞=∞→0limb a x q x p x m n m n m n >=< （特別地，當()()00lim 0x x f x g x →=（不定型）時，通常分子分母約去公因式即約去可去間斷點便可求解出極限值，也可以用羅比達法則求解）〖題型 〗求值233lim 9x x x →--〖求解示例〗解：因為3→x ，從而可得3≠x ，所以原式()()23333311lim lim lim 93336x x x x x x x x x →→→--====-+-+其中3x =為函數()239x f x x -=-的可去間斷點 倘若運用羅比達法則求解（詳見第三章第二節）：解：()()00233323311lim lim lim 9269x L x x x x x x x '→→→'--===-'- ●連續函數穿越定理（複合函數的極限求解）（▲▲） （定理五）若函數()x f 是定義域上的連續函數，那麼，()()00lim lim x x x x f x f x ϕϕ→→⎡⎤=⎡⎤⎣⎦⎢⎥⎣⎦〖題型 〗求值：93lim23--→x x x 〖求解示例〗3x →===第六节 極限存在準則及兩個重要極限●夾迫準則（P53）（▲▲▲） 第一個重要極限：1sin lim0=→xxx∵⎪⎭⎫⎝⎛∈∀2,0πx ，x x x tan sin <<∴1sin lim0=→x x x （特別地，000sin()lim 1x x x x x x →-=-）●單調有界收斂準則（P57）（▲▲▲）第二個重要極限：e x xx =⎪⎭⎫⎝⎛+∞→11lim（一般地，()()()()lim lim lim g x g x f x f x =⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，其中()0lim >x f ）〖題型 〗求值：11232lim +∞→⎪⎭⎫ ⎝⎛++x x x x〖求解示例〗第七节 無窮小量的階（無窮小的比較） ●等價無窮小（▲▲）1．()~sin ~tan ~arcsin ~arctan ~ln(1)~1UU U U U U U e +- 2．U U cos 1~212-（乘除可替，加減不行）〖題型 〗求值：()()xx x x x x 31ln 1ln lim 20++++→ 〖求解示例〗第八节 函數的連續性 ●函數連續的定義（▲） ●間斷點的分類（P67）（▲）⎩⎨⎧∞⋯⋯⎩⎨⎧）无穷间断点（极限为第二类间断点可去间断点（相等）跳越间断点（不等）限存在）第一类间断点（左右极（特別地，可去間斷點能在分式中約去相應公因式）〖題型 〗設函數()⎩⎨⎧+=xa e x f x 2 ，00≥<x x 應該怎樣選擇數a ，使得()x f 成為在R 上的連續函數？〖求解示例〗1．∵()()()2010000f e e e f a a f a --⋅++⎧===⎪⎪=+=⎨⎪=⎪⎩2．由連續函數定義()()()e f x f x f x x ===+-→→0lim lim 0∴e a =第九节 閉區間上連續函數的性質 ●零點定理（▲）〖題型 〗證明：方程()()f x g x C =+至少有一個根介於a 與b 之間 〖證明 〗1．（建立輔助函數）函數()()()x f x g x C ϕ=--在閉區間[],a b 上連續；2．∵()()0a b ϕϕ⋅<（端點異號）3．∴由零點定理，在開區間()b a ,內至少有一點ξ，使得()0=ξϕ，即()()0fg C ξξ--=（10<<ξ）4．這等式說明方程()()f x g x C =+在開區間()b a ,內至少有一個根ξ 第二章 導數與微分第一节 導數概念●高等數學中導數的定義及幾何意義（P83）（▲▲）〖題型 〗已知函數()⎩⎨⎧++=bax e x f x 1 ，00>≤x x 在0=x 處可導，求a ，b〖求解示例〗1．∵()()0010f e f a -+'⎧==⎪⎨'=⎪⎩，()()()00001120012f e e f b f e --+⎧=+=+=⎪⎪=⎨⎪=+=⎪⎩2．由函數可導定義()()()()()0010002f f a f f f b -+-+''===⎧⎪⎨====⎪⎩ ∴1,2a b ==〖題型 〗求()x f y =在a x =處的切線與法線方程（或：過()x f y =圖像上點(),a f a ⎡⎤⎣⎦處的切線與法線方程） 〖求解示例〗1．()x f y '='，()a f y a x '='=| 2．切線方程：()()()y f a f a x a '-=- 法線方程：()()()1y f a x a f a -=--' 第二节 函數的和（差）、積與商的求導法則 ●函數和（差）、積與商的求導法則（▲▲▲） 1．線性組合（定理一）：()u v u v αβαβ'''±=+ 特別地，當1==βα時，有()u v u v '''±=± 2．函數積的求導法則（定理二）：()uv u v uv '''=+3．函數商的求導法則（定理三）：2u u v uv v v '''-⎛⎫= ⎪⎝⎭第三节 反函數和複合函數的求導法則●反函數的求導法則（▲） 〖題型 〗求函數()x f 1-的導數〖求解示例〗由題可得()x f 為直接函數，其在定於域D 上單調、可導，且()0≠'x f ；∴()()11fx f x -'⎡⎤=⎣⎦' ●複合函數的求導法則（▲▲▲） 〖題型 〗設(ln y e =，求y '〖求解示例〗第四节 高階導數●()()()()1n n fx fx -'⎡⎤=⎣⎦（或()()11n n n n d y d y dx dx--'⎡⎤=⎢⎥⎣⎦）（▲） 〖題型 〗求函數()x y +=1ln 的n 階導數〖求解示例〗()1111y x x-'==++， ()()()12111y x x --'⎡⎤''=+=-⋅+⎣⎦，……第五节 隱函數及參數方程型函數的導數 ●隱函數的求導（等式兩邊對x 求導）（▲▲▲） 〖題型 〗試求：方程ye x y +=所給定的曲線C ：()x y y =在點()1,1e -的切線方程與法線方程〖求解示例〗由ye x y +=兩邊對x 求導即()y y x e '''=+化簡得1y y e y ''=+⋅∴ee y -=-='11111 ∴切線方程：()e x ey +--=-1111 法線方程：()()e x e y +---=-111●參數方程型函數的求導〖題型 〗設參數方程()()⎩⎨⎧==t y t x γϕ，求22dx yd〖求解示例〗1.()()t t dx dy ϕγ''=2.()22dy d y dx dxt ϕ'⎛⎫⎪⎝⎭=' 第六节 變化率問題舉例及相關變化率（不作要求）第七节 函數的微分●基本初等函數微分公式與微分運算法則（▲▲▲） 第三章 中值定理與導數的應用第一节 中值定理 ●引理（費馬引理）（▲） ●羅爾定理（▲▲▲） 〖題型 〗現假設函數()f x 在[]0,π上連續，在()0,π 上可導，試證明：()0,ξπ∃∈， 使得()()cos sin 0ff ξξξξ'+=成立〖證明 〗1．（建立輔助函數）令()()sin x f x x ϕ=顯然函數()x ϕ在閉區間[]0,π上連續，在開區間()0,π上可導；2．又∵()()00sin00f ϕ==即()()00ϕϕπ==3．∴由羅爾定理知()0,ξπ∃∈，使得()()cos sin 0f f ξξξξ'+=成立●拉格朗日中值定理（▲）〖題型 〗證明不等式：當1x >時，xe e x >⋅〖證明 〗1．（建立輔助函數）令函數()x f x e =，則對1x ∀>，顯然函數()f x 在閉區間[]1,x 上連續，在開區間()1,x 上可導，並且()x f x e '=；2．由拉格朗日中值定理可得，[]1,x ξ∃∈使得等式()11x e e x e ξ-=-成立，又∵1e e ξ>，∴()111x e e x e e x e ->-=⋅-，化簡得x e e x >⋅，即證得：當1x >時，xe e x >⋅ 〖題型 〗證明不等式：當0x >時，()ln 1x x +< 〖證明 〗1．（建立輔助函數）令函數()()ln 1f x x =+，則對0x ∀>，函數()f x 在閉區間[]0,x 上連續，在開區間()0,π上可導，並且()11f x x'=+； 2．由拉格朗日中值定理可得，[]0,x ξ∃∈使得等式()()()1ln 1ln 1001x x ξ+-+=-+成立， 化簡得()1ln 11x x ξ+=+，又∵[]0,x ξ∈， ∴()111f ξξ'=<+，∴()ln 11x x x +<⋅=， 即證得：當1x >時，xe e x >⋅第二节 羅比達法則●運用羅比達法則進行極限運算的基本步驟（▲▲）1．☆等價無窮小的替換（以簡化運算）2．判斷極限不定型的所屬類型及是否滿足運用羅比達法則的三個前提條件A ．屬於兩大基本不定型（0,0∞∞）且滿足條件，則進行運算：()()()()lim lim x a x a f x f x g x g x →→'=' （再進行1、2步驟，反復直到結果得出） B ．☆不屬於兩大基本不定型（轉化為基本不定型） ⑴0⋅∞型（轉乘為除，構造分式） 〖題型 〗求值：0lim ln x x x α→⋅〖求解示例〗（一般地，()0lim ln 0x x x βα→⋅=，其中,R αβ∈）⑵∞-∞型（通分構造分式，觀察分母）〖題型 〗求值：011lim sin x x x →⎛⎫- ⎪⎝⎭〖求解示例〗()()()()00002sin 1cos 1cos sin limlim lim lim 0222L x x L x x x x x x xx x x ''→→→→''---====='' ⑶00型（對數求極限法） 〖題型 〗求值：0lim xx x →〖求解示例〗()()0000lim ln ln 000002ln ,ln ln ln 1ln ln 0lim ln lim lim111lim lim 0lim lim 11x x x x x L x yy x x x x x y x y x x x xx xx y xx x x y e e e x→∞∞'→→→→→→→===='→=='⎛⎫ ⎪⎝⎭==-=====-解：设两边取对数得：对对数取时的极限：，从而有 ⑷1∞型（對數求極限法）〖題型 〗求值：()10lim cos sin xx x x →+〖求解示例〗⑸0∞型（對數求極限法）〖題型 〗求值：tan 01lim xx x →⎛⎫⎪⎝⎭ 〖求解示例〗●運用羅比達法則進行極限運算的基本思路（▲▲）⑴通分獲得分式（通常伴有等價無窮小的替換） ⑵取倒數獲得分式（將乘積形式轉化為分式形式） ⑶取對數獲得乘積式（通過對數運算將指數提前）第三节 泰勒中值定理（不作要求） 第四节 函數的單調性和曲線的凹凸性 ●連續函數單調性（單調區間）（▲▲▲）〖題型 〗試確定函數()3229123f x x x x =-+-的單調區間 〖求解示例〗1．∵函數()f x 在其定義域R 上連續，且可導∴()261812f x x x '=-+2．令()()()6120f x x x '=--=，解得：121,2x x ==4．∴函數f x 的單調遞增區間為,1,2,-∞+∞； 單調遞減區間為()1,2〖題型 〗證明：當0x >時，1xe x >+ 〖證明 〗1．（構建輔助函數）設()1x x e x ϕ=--，（0x >）2．()10xx e ϕ'=->，（0x >）∴()()00x ϕϕ>=3．既證：當0x >時，1xe x >+〖題型 〗證明：當0x >時，()ln 1x x +<〖證明 〗1．（構建輔助函數）設()()ln 1x x x ϕ=+-，（0x >）2．()1101x xϕ'=-<+，（0x >） ∴()()00x ϕϕ<=3．既證：當0x >時，()ln 1x x +< ●連續函數凹凸性（▲▲▲）〖題型 〗試討論函數2313y x x =+-的單調性、極值、凹凸性及拐點〖證明 〗1．()()236326661y x x x x y x x '⎧=-+=--⎪⎨''=-+=--⎪⎩ 2．令()()320610y x x y x '=--=⎧⎪⎨''=--=⎪⎩解得：120,21x x x ==⎧⎨=⎩4．⑴函數13y x x =+-單調遞增區間為(0,1),(1,2)單調遞增區間為(,0)-∞,(2,)+∞； ⑵函數2313y x x =+-的極小值在0x =時取到，為()01f =，極大值在2x =時取到，為()25f =；⑶函數2313y x x =+-在區間(,0)-∞,(0,1)上凹，在區間(1,2),(2,)+∞上凸；⑷函數2313y x x =+-的拐點座標為()1,3第五节 函數的極值和最大、最小值 ●函數的極值與最值的關係（▲▲▲）⑴設函數()f x 的定義域為D ，如果M x ∃的某個鄰域()M U x D ⊂，使得對()M x U x ∀∈，都適合不等式()()M f x f x <，我們則稱函數()f x 在點(),M M x f x ⎡⎤⎣⎦處有極大值()M f x ；令{}123,,,...,M M M M Mn x x x x x ∈則函數()f x 在閉區間[],a b 上的最大值M 滿足：()(){}123max ,,,,...,,M M M Mn M f a x x x x f b =；⑵設函數()f x 的定義域為D ，如果m x ∃的某個鄰域()m U x D ⊂，使得對()m x U x ∀∈，都適合不等式()()m f x f x >，我們則稱函數()f x 在點(),m m x f x ⎡⎤⎣⎦處有極小值()m f x ；令{}123,,,...,m m m m mn x x x x x ∈則函數()f x 在閉區間[],a b 上的最小值m 滿足：()(){}123min ,,,,...,,m m m mn m f a x x x x f b =；〖題型 〗求函數()33fx x x =-在[]1,3-上的最值 〖求解示例〗1．∵函數()f x 在其定義域[]1,3-上連續，且可導∴()233f x x '=-+2．令()()()3110f x x x '=--+=， 解得：121,1x x =-= 4．又∵12,12,318f f f -=-==- ∴()()()()max min 12,318f x f f x f ====- 第六节 函數圖形的描繪（不作要求）第七节 曲率（不作要求）第八节 方程的近似解（不作要求） 第四章 不定積分第一节 不定積分的概念與性質 ●原函數與不定積分的概念（▲▲） ⑴原函數的概念：假設在定義區間I 上，可導函數()F x 的導函數為()F x '，即當引數x I ∈時，有()()F x f x '=或()()dF x f x dx =⋅成立，則稱()F x 為()f x 的一個原函數⑵原函數存在定理：（▲▲）如果函數()f x 在定義區間I 上連續，則在I 上必存在可導函數()F x 使得()()F x f x '=，也就是說：連續函數一定存在原函數（可導必連續） ⑶不定積分的概念（▲▲）在定義區間I 上，函數()f x 的帶有任意常數項C 的原函數稱為()f x 在定義區間I 上的不定積分，即表示為：()()f x dx F x C =+⎰（⎰稱為積分號，()f x 稱為被積函數，()f x dx 稱為積分運算式，x 則稱為積分變數） ●基本積分表（▲▲▲）●不定積分的線性性質（分項積分公式）（▲▲▲） 第二节 換元積分法●第一類換元法（湊微分）（▲▲▲） （()dx x f dy ⋅'=的逆向應用）〖題型 〗求221dx a x+⎰ 〖求解示例〗222211111arctan 11x x dx dx d C a x a a aa x x a a ⎛⎫===+ ⎪+⎝⎭⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰⎰解：〖題型 〗求〖求解示例〗●第二類換元法（去根式）（▲▲）（()dx x f dy ⋅'=的正向應用）⑴對於一次根式（0,a b R ≠∈）：t =，於是2t bx a-=， 則原式可化為t⑵對於根號下平方和的形式（0a >）：tan x a t =（22t ππ-<<）， 於是arctan xt a=，則原式可化為sec a t ；⑶對於根號下平方差的形式（0a >）：asin x a t =（22t ππ-<<），於是arcsin xt a=，則原式可化為cos a t ；bsec x a t =（02t π<<），於是arccos at x =，則原式可化為tan a t ；〖題型 〗求（一次根式） 〖求解示例〗2221t x t dx tdttdt dt t C Ct =-=⋅==+=⎰⎰〖題型 〗求（三角換元）〖求解示例〗第三节 分部積分法 ●分部積分法（▲▲）⑴設函數()u f x =，()v g x =具有連續導數，則其分部積分公式可表示為：udv uv vdu =-⎰⎰⑵分部積分法函數排序次序：“反、對、冪、三、指” ●運用分部積分法計算不定積分的基本步驟： ⑴遵照分部積分法函數排序次序對被積函數排序； ⑵就近湊微分：（v dx dv '⋅=） ⑶使用分部積分公式：udv uv vdu =-⎰⎰⑷展開尾項vdu v u dx '=⋅⎰⎰，判斷a ．若v u dx '⋅⎰是容易求解的不定積分，則直接計算出答案（容易表示使用基本積分表、換元法與有理函數積分可以輕易求解出結果）； b ．若v u dx '⋅⎰依舊是相當複雜，無法通過a 中方法求解的不定積分，則重複⑵、⑶，直至出現容易求解的不定積分；若重複過程中出現迴圈，則聯立方程求解，但是最後要注意添上常數C〖題型 〗求2x e x dx ⋅⎰〖求解示例〗〖題型 〗求sin xe xdx ⋅⎰〖求解示例〗 ∴()1sin sin cos 2xxe xdx e x x C ⋅=-+⎰第四节 有理函數的不定積分 ●有理函數（▲）設：()()()()101101m m mn n nP x p x a x a x a Q x q x b x b x b --=++⋯+==++⋯+ 對於有理函數()()P x Q x ，當()P x 的次數小於()Q x 的次數時，有理函數()()P x Q x 是真分式；當()P x 的次數大於()Q x 的次數時，有理函數()()P x Q x 是假分式 ●有理函數（真分式）不定積分的求解思路（▲） ⑴將有理函數()()P x Q x 的分母()Q x 分拆成兩個沒有公因式的多項式的乘積：其中一個多項式可以表示為一次因式()kx a -；而另一個多項式可以表示為二次質因式()2lx px q ++，（240p q -<）；即：()()()12Q x Q x Q x =⋅一般地：n mx n m x m ⎛⎫+=+⎪⎝⎭，則參數n a m =-則參數,b c p q a a== ⑵則設有理函數()()P x Q x 的分拆和式為：其中參數121212,,...,,,,...,l k lM M M A A A N N N ⎧⎧⎧⎨⎨⎨⎩⎩⎩由待定係數法（比較法）求出⑶得到分拆式後分項積分即可求解〖題型 〗求21x dx x +⎰（構造法） 〖求解示例〗第五节 積分表的使用（不作要求） 第五章 定積分極其應用第一节 定積分的概念與性質 ●定積分的定義（▲）（()f x 稱為被積函數，()f x dx 稱為被積運算式，x則稱為積分變數，a 稱為積分下限，b 稱為積分上限，[],a b 稱為積分區間）●定積分的性質（▲▲▲）⑴()()b baaf x dx f u du =⎰⎰ ⑵()0aa f x dx =⎰ ⑶()()b b aakf x dx k f x dx =⎡⎤⎣⎦⎰⎰⑷（線性性質）⑸（積分區間的可加性）⑹若函數()f x 在積分區間[],a b 上滿足()0f x >，則()0baf x dx >⎰；（推論一）若函數()f x 、函數()g x 在積分區間[],a b 上滿足()()f x g x ≤，則()()bbaaf x dxg x dx ≤⎰⎰；（推論二）()()bb aaf x dx f x dx ≤⎰⎰●積分中值定理（不作要求）第二节 微積分基本公式●牛頓-萊布尼茲公式（▲▲▲）（定理三）若果函數()F x 是連續函數()f x 在區間[],a b 上的一個原函數，則●變限積分的導數公式（▲▲▲）（上上導―下下導） 〖題型 〗求21cos 2limt xx e dt x -→⎰〖求解示例〗第三节 定積分的換元法及分部積分法 ●定積分的換元法（▲▲▲） ⑴（第一換元法） 〖題型 〗求2121dx x +⎰〖求解示例〗()[]222000111121ln 212122121ln 5ln 5ln122解：dx d x x x x =+=⎡+⎤⎣⎦++=-=⎰⎰ ⑵（第二換元法）設函數()[],f x C a b ∈，函數()x t ϕ=滿足： a ．,αβ∃，使得()(),a b ϕαϕβ==；b ．在區間[],αβ或[],βα上，()(),f t t ϕϕ'⎡⎤⎣⎦連續則：()()()ba f x dx f t t dt βαϕϕ'=⎡⎤⎣⎦⎰⎰ 〖題型 〗求40⎰〖求解示例〗⑶（分部積分法） ●偶倍奇零（▲▲）設()[],f x C a a ∈-，則有以下結論成立： ⑴若()()f x f x -=，則()()02aaaf x dx f x dx -=⎰⎰⑵若()()f x f x -=-，則()0aaf x dx -=⎰第四节 定積分在幾何上的應用（暫時不作要求） 第五节 定積分在物理上的應用（暫時不作要求） 第六节 反常積分（不作要求） 如：不定積分公式21arctan 1dx x C x =++⎰的證明。
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【求解示例】由题可得 f x 为直接函数，其在定于域 D 上单调、可导，且 f x 0 ；∴ f
1
1． （建立辅助函数）函数 x f x g x C 在 闭区间 a, b 上连续； 2．∵ a b 0 （端点异号） 得 0 ， 即 f
f 0
0
，
x0 在x0 x0
1
0
arcsin x 2 1
x a
2
2
earcsin earcsin earcsin
a2 2 2 1 x 2 1 2 x a 2x 2 2x x 2 1 2 x 1 2 x2 2 x2 a2
2． U 2 ~ 1 cos U （乘除可替，加减不行） ln 1 x x ln 1 x 【题型示例】求值： lim x 0 x 2 3x 【求解示例】 ln 1 x x ln 1 x 解：因为x 0, 即x 0, 所以原式 lim x0 x 2 3x 1 x ln 1 x lim 1 x x lim x 1 1 lim x 0 x0 x x 3 x 0 x 3 xx 3 3 第八节 函数的连续性 ○函数连续的定义（★）
e e e
1
arcsin x 2 1
x2 a2
e x 1 【题型示例】 已知函数 f x ax b 处可导，求 a ， b
【求解示例】
f 0 e0 1 1．∵ ， f 0 b f 0 a 0
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【求解示例】解：因为 x 3 ，从而可得 x 3 ，所以原
x 3 x 3 1 1 lim lim 2 x 3 x 9 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 6 x 3 其中 x 3 为函数 f x 2 的可去间断点 x 9
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x 0 x 0
高等数学期末复习资料
【题型示例】 证明： 方程 f x g x C 至少有一个根 介于 a 与 b 之间 【证明示例】
第九节 闭区间上连续函数的性质 ○零点定理（★）
【题型示例】求函数 f 1 x 的导数
○反函数的求导法则（★）
3．由定理可知 lim f x g x 0
x x0
（ lim f x g x 0）
x
【题型示例】已知函数 f x ，证明 lim f x A 【证明示例】 语言 ∴ g
x x0
x
x 为无穷小；反之，若 f x 为无 穷小，且 f x 0 ，则 f 1 x 为无穷大 【题型示例】计算： lim f x g x （或 x ） x x
0
第二节 数列的极限 ○数列极限的证明（★）
1．∵ f x ≤ M ∴函数 f x 在 x x0 的任一去心
2 lim 1 2 x 1 2 x 1
2
x 1
2 lim 1 2 x 1 2x 1
2 x 1 2 x 1 2 2 lim 1 2 x 1 2x 1 x 1
2 lim x 1 2 x 1 2 x 1
x 1
x 3 1 1 lim lim 2 x 9 L x 3 x 2 9 x 3 2 x 6
0 0
x 3
2 x 1 2 x1 2 x 1 2 2 lim 1 2 x 1 2 x 1
第三节 函数的极限 ○ x x0 时函数极限的证明（★）
第五节 极限运算法则 ○极限的四则运算法则（★★） （定理一）加减法则 （定理二）乘除法则
关于多项式 p x 、 q x 商式的极限运算 设：
m m 1 px a0 x a1 x am n n 1 qx b0 x b1 x bn
x
p x a0 则有 lim x qx b0 0
nm nm nm
1．由 f x A 化简得 x g ， 2．即对 0 ， X g ，当 x X 时，始终有 不等式 f x A 成立， ∴ lim f x A
x
邻域 U x0 , 内是有界的； 2． lim g x 0 即函数 g x 是 x x0 时的无穷小；
x x0
x
1．由 xn a 化简得 n g ，
（∵ f x ≤ M ，∴函数 f x 在 x D 上有界； ） （ lim g x 0 即函数 g x 是 x 时的无穷小； ）
高等数学期末复习资料
高等数学
第一章 函数与极限 第一节 函数 ○函数基础（高中函数部分相关知识） （★★★） ○邻域（去心邻域） （★）
○无穷小与无穷大的相关定理与推论（★★） （定理三）假设 f x 为有界函数， g x 为无穷小， （定理四）在自变量的某个变化过程中，若 f x 为 无穷大，则 f
lim f x lim f x f x0
x x0
○间断点的分类（P67） （★）
sin( x x0 ) （特别地， lim 1） x x0 x x0
○单调有界收敛准则（P57） （★★★） 第二个重要极限： lim 1 （一般地， lim f x
1．由 f x A 化简得 0 x x0 g ， 2．即对 0 ， g ，当 0 x x0 时， 始终有不等式 f x A 成立， ∴ lim f x A
x x0
○ x 时函数极限的证明（★） 【题型示例】已知函数 f x ，证明 lim f x A 【证明示例】 X 语言 ∴ X g
【题型示例】求值： lim
x 3
x 3 x2 9
第七节 无穷小量的阶（无穷小的比较） ○等价无穷小（★★） U ~ sin U ~ tan U ~ arcsin U ~ arctan U ~ ln(1 U ) 1． ~ eU 1
【求解示例】 lim
x 3
x 3 x 3 1 6 lim 2 2 x 3 x 9 x 9 6 6
lim
2
e
○连续函数穿越定理 （复合函数的极限求解） （★★） （定理五）若函数 f x 是定义域上的连续函数，那
e 2 x1 2 x 1 e1 e
2 x2 lim
lim x 么， lim f x f x x0 x x0
g C 0（ 0 1 ） f x g x C 在开区间 a, b
e
x a
2 2
earcsin
x 2 1
x2 a2
内至少有一个根 第二章 导数与微分 第一节 导数概念 ○高等数学中导数的定义及几何意义（P83） （★★）
lim f x 0 ）
择数 a ，使得 f x 成为在 R 上的连续函数？
e 2 x x0 ， 应该怎样选 x0 a x
【题型示例】求值： lim 【求解示例】
2x 3 x 2 x 1
x 1
【求解示例】 f 0 e 20 e1 e 1．∵ f 0 a 0 a f 0 a 2．由连续函数定义 lim f x lim f x f 0 e ∴a e
子分母约去公因式即约去可去间断点便可求解出极 限值，也可以用罗比达法则求解） 【题型示例】求值 lim
x 3
第四节 无穷小与无穷大 ○无穷小与无穷大的本质（★） 函数 f x 无穷小 lim f x 0
函数 f x 无穷大 lim f x
x 3 x2 9
x
f x0 g x0 0 g x0 f x g x0 0, f x0 0 lim x x0 g x 0 g x0 f x0 0 0 f x 0 （不定型）时，通常分 （特别地，当 lim x x0 g x 0
x x0
1 2
第六节 极限存在准则及两个重要极限 ○夹迫准则（P53） （★★★） 第一个重要极限： lim ∵ x 0,
sin x 1 ， sin x x tan x ∴ lim x 0 x 2
sin x 1 x 0 x
lim
lim1 x 1 x 0 lim 1 x 0 sin x x 0 sin x sin x lim x 0 x x
式 lim 倘若运用罗比达法则求解（详见第三章第二节） ： 解： lim
x 3
2x 3 解： lim x 2 x 1
x 1
2x 1 2 lim x 2x 1
2 x 1 2 x 1 2 2 x 1
x 1
g x
跳越间断点（不等） 第一类间断点（左右极限存在） 可去间断点（相等） 第二类间断点 无穷间断点（极限为）
（特别地，可去间断点能在分式中约去相应公因式）
lim g x
x
1 e x
lim f x
，其中
x