大学高等数学第二册复习资料

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高数2知识点总结

高数2知识点总结
高等数学2是大学数学的一门课程，是高等数学的延伸和拓展。

它包含了多个知识点，总结如下：
1. 无穷级数：
- 收敛和发散的概念；
- 正项级数的判别法，如比较判别法、比值判别法、根值判别法等； - 任意级数的绝对收敛和条件收敛概念。

2. 函数的连续性和可导性：
- 函数的连续性概念及连续性定理；
- 可导函数的导数定义及性质，如导数的四则运算、链式法则、隐
函数导数等。

3. 多元函数的偏导数：
- 多元函数的偏导数定义和求导法则，如常见的偏导函数的求导法则；
- 高阶偏导数、混合偏导数及其次序可换性。

4. 多元函数的极值和最值：
- 多元函数的极值和最值的概念及存在性定理；
- 极值和最值的求解方法，如拉格朗日乘数法。

5. 重积分：
- 二重积分和三重积分的概念；
- 重积分的计算方法，如累次积分法、极坐标法、柱坐标法、球坐
标法等；
- 坐标变换的雅可比行列式及其应用。

6. 曲线与曲面积分：
- 曲线积分和曲面积分的概念；
- 曲线积分与路径无关性质的应用，如格林公式、斯托克斯公式；
- 曲面积分的计算方法，如参数化计算、高斯公式。

以上是高等数学2的主要知识点总结，通过学习这些知识点，可以进一步理解和应用高等数学的相关内容。

大学高等数学第二册复习资料

第六章定积分的应用学习指导一、基本内容（一）微元法根据问题的具体情况选取积分变量x 及变化区间，再小区间[]dx x x +,。

求出部分量的近似值的积分元素()dx x f du =，从而求出所求量()⎰=ba dxx f u 。

（二）平面图形的面积1．由平面曲线()x f y =，直线a x =，b x =和0=y 所围图形的面积：()dxx f A b a⎰=。

2．由平面曲线()x f y 1=，()x f y 2=和直线a x =，b x =所转图形的面积：()()⎰-=b adxx f x f A 21。

3．由极坐标曲线()θγγ=， αθ=、βθ=转的图形的面积：()⎰=βαθθγd A 221。

4．由参数方程()t x x =，()t y y =给出的曲线和直线()()αx a x ==，()()βx b x ==，0=y 所围图形的面积：()()⎰⎰'==βαdtt x t y dx y SA b a。

（三）体积1．由曲线()x f y =和直线a x =，b x =，0=y 所围图形绕x 轴旋转一周所得旋转体体积：()⎰+=bax dxx f V 2π。

2．由曲线()y x x =和直线c y =，d y =，0=x 所围图形绕y 轴旋转一周所得旋转体积：()⎰=dcy dyy x V 2π。

3．垂直于x 轴的平行截面面积为x 的函数()x A 的立体的体积：()⎰=badxx A V 。

（四）平面曲线的弧长1．直角坐标曲线()x f y =b x ≤≤0：()[]⎰'+=b adxx f L 21。

2．参数方程曲线()t x x =，()t y y =，βα≤≤t ：()[]()[]⎰'+'=βαdtx y t x L 22。

3．极坐标曲线()θγγ=，βθα≤≤：()()[]⎰'+=βαθθγθd r L 22。

（五）定积分在物理上的应用对实际问题先取积分变量，积分区间，求出所求量的微元，利用微元法求解。

《高等数学二》复习教程

《高等数学二》复习教程第一讲函数、连续与极限一、理论要求1.函数概念与性质函数的基本性质（单调、有界、奇偶、周期）几类常见函数（复合、分段、反、隐、初等函数）2.极限极限存在性与左右极限之间的关系夹逼定理和单调有界定理会用等价无穷小和罗必达法则求极限3.连续函数连续（左、右连续）与间断理解并会应用闭区间上连续函数的性质（最值、有界、介值）二、题型与解法A.极限的求法（1）用定义求（2）代入法（对连续函数，可用因式分解或有理化消除零因子）（3）变量替换法（4）两个重要极限法（5）用夹逼定理和单调有界定理求（6）等价无穷小量替换法（7）洛必达法则与Taylor级数法（8）其他（微积分性质，数列与级数的性质）1.612arctan lim )21ln(arctan lim3030-=-=+->->-xx x x x x x x （等价小量与洛必达） 2.已知2030)(6lim 0)(6sin limx x f x x xf x x x +=+>->-，求解：20303')(6cos 6lim )(6sin limx xy x f x x x xf x x x ++=+>->- 72)0(''06)0(''32166'''''36cos 216lim6'''26sin 36lim 00=∴=+-=++-=++-=>->-y y xy y x x xy y x x x362722''lim 2'lim )(6lim0020====+>->->-y x y x x f x x x （洛必达）3.121)12(lim ->-+x xx x x （重要极限） 4.已知a 、b 为正常数，xx x x b a 30)2(lim +>-求解：令]2ln )[ln(3ln ,)2(3-+=+=x x x x x b a xt b a t2/300)()ln(23)ln ln (3limln lim ab t ab b b a a b a t xx x x x x =∴=++=>->-（变量替换） 5.)1ln(12)(cos lim x x x +>-解：令)ln(cos )1ln(1ln ,)(cos 2)1ln(12x x t x t x +==+ 2/100212tan limln lim ->->-=∴-=-=e t x x t x x （变量替换）6.设)('x f 连续，0)0(',0)0(≠=f f ，求1)()(lim202=⎰⎰>-xx x dtt f x dtt f（洛必达与微积分性质）7.已知⎩⎨⎧=≠=-0,0,)ln(cos )(2x a x x x x f 在x=0连续，求a解：令2/1/)ln(cos lim 2-==>-x x a x （连续性的概念）三、补充习题（作业） 1.3cos 11lim-=---->-xx x e x x （洛必达）2.)1sin 1(lim 0xx ctgx x ->- （洛必达或Taylor ） 3.11lim22=--->-⎰x xt x edte x （洛必达与微积分性质）第二讲导数、微分及其应用一、理论要求 1.导数与微分导数与微分的概念、几何意义、物理意义会求导（基本公式、四则、复合、高阶、隐、反、参数方程求导）会求平面曲线的切线与法线方程2.微分中值定理理解Roll 、Lagrange 、Cauchy 、Taylor 定理会用定理证明相关问题3.应用会用导数求单调性与极最值、凹凸性、渐进线问题，能画简图会计算曲率（半径）二、题型与解法A.导数微分的计算基本公式、四则、复合、高阶、隐函数、参数方程求导1.⎩⎨⎧=+-==52arctan )(2te ty y t x x y y 由决定，求dx dy2.x y x y x x y y sin )ln()(32+=+=由决定，求1|0==x dxdy解：两边微分得x=0时y x y y ==cos '，将x=0代入等式得y=1 3.y x x y y xy+==2)(由决定，则dx dy x )12(ln |0-==B.曲线切法线问题4.求对数螺线)2/,2/πθρρπθe e （），在（==处切线的直角坐标方程。

大一高等数学第二册知识点

大一高等数学第二册知识点总览在大学的学习生涯中，高等数学是一门必修课程，它是学习数学的基础，为日后更深入的学习打下坚实的基础。

大一高等数学第二册是数学课程的延续，包含了一系列重要知识点，本文将对这些知识点逐一进行介绍。

一、向量代数与空间解析几何向量代数和空间解析几何是大一高等数学第二册的开篇内容。

向量是描述物体运动状态或力的作用方式的重要工具。

在这个章节里，我们将学习向量的表示法、加法和减法、数量积和向量积等基本运算法则。

同时，还将介绍向量的投影、夹角和三角形面积等概念。

二、多元函数与偏导数多元函数与偏导数是大一高等数学第二册中的重难点内容。

多元函数是指函数与多个自变量有关，而偏导数是求多元函数对某一个自变量的变化率。

在这一章节里，我们将学习多元函数的概念和性质，并深入研究偏导数的定义、计算方法以及应用。

通过学习偏导数，可以更好地理解函数在不同方向上的变化情况。

三、重积分重积分是大一高等数学第二册的另一个重要知识点。

它是对多元函数在有界闭区域上的积分运算。

在这个章节里，我们将学习重积分的定义、计算方法和性质，并探究重积分在物理学、经济学等领域的应用。

四、曲线积分与曲面积分曲线积分和曲面积分是大一高等数学第二册中的进阶内容。

曲线积分是对曲线上的函数进行积分运算，而曲面积分是对曲面上的函数进行积分运算。

在这一章节里，我们将学习曲线积分和曲面积分的计算方法，并探讨它们的应用。

通过学习曲线积分和曲面积分，可以更好地理解物体在弯曲路径上的运动规律以及场的分布情况。

五、无穷级数无穷级数是大一高等数学第二册中的拓展内容。

它是由无限多个数相加或相乘而成的数列。

在这个章节里，我们将学习数列的收敛性和发散性，以及无穷级数的概念、性质和求和方法。

同时，还将讨论无穷级数的收敛域以及泰勒级数的应用。

六、常微分方程常微分方程是大一高等数学第二册的最后一个重要知识点。

它研究函数的导数与自变量之间的关系。

在这一章节里，我们将学习常微分方程的基本概念、分类、解法和应用。

高等数学大二第二学期总复习

b
b
b
b−ε
f (x)dx
b
∫a f (x)dx= ∫a f (x)dx+ ∫c
= lim∫a
ε→ 0 +
c−ε
t= ( x)
第二类换元公式
（主要应用于无理函数的不定积分）主要应用于无理函数的不定积分）
如： ax + bdx; ∫
∫
x dx 令： = t ax + b
ax + b
注1
三角代换的一般规律: 三角代换的一般规律
：如∫
x 1− x
2
dx
当被积函数中含有被积函数中含有
(1) a − x ,令 x = a sin t
原函数一定存在 .
) 就可保证它的
有极限存在； (A) 有极限存在； (C) 有界；有界；
（B）连续；连续；（D）有有限个间断点
选择题
1.下列等式中正确的是下列等式中正确的是
DHale Waihona Puke A. d[ ∫ f ( x )dx ] = f ( x ); C . ∫ df ( x ) = f ( x );
d B . [ ∫ f ( x )dx ] = f ( x )dx; dx
总复习
不定积分定积分微分方程
不定积分
1、原函数定义如果在区间 I 内，可导函数 F ( x ) 的导函数为
f ( x ) ，即 ∀x ∈ I ，都有 F ′( x ) = f ( x ) 或 dF ( x ) = f ( x )dx ，那么函数 F ( x ) 就称为 f ( x ) 或 f ( x )dx 在区间 I 内原函数.
1、定积分的定义
记λ = max{∆x1 , ∆x 2 ,L , ∆x n }，

高等数学2复习资料

第七章常微分方程一、本章学习要求与重点和难点（一）基本要求1．了解微分方程和微分方程的阶、解、通解、初始条件与特解等概念.2．掌握可分离变量的微分方程和一阶线性微分方程的解法. 3．了解二阶线性微分方程解的结构. 4．掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法. 5．会求自由项为xm x P λe)(或x x P xm βαcos e)(，x x P x m βαsin e )(时的二阶常系数非齐次线性微分方程的解.6. 知道特殊的高阶微分方程（)()(x f yn =，),(y x f y '=''，),(y y f y '=''）的降阶法. 7．会用微分方程解决一些简单的实际问题.重点微分方程的通解与特解等概念，一阶微分方程的分离变量法，一阶线性微分方程的常数变易法，二阶线性微分方程的解的结构，二阶常系数非齐次线性微分方程的待定系数法。

难点一阶微分方程的分离变量法，一阶线性微分方程的常数变易法，二阶常系数非齐次线性微分方程的待定系数法，高阶微分方程的降阶法，用微分方程解决一些简单的实际问题.二、主要解题方法 1．一阶微分方程的解法例1 求微分方程2d d d d xy y x y x y y +=+ 满足条件02x y==的特解.解这是可以分离变量的微分方程，将方程分离变量，有21d d 11y y x y x =--两边积分，得21d d 11y y x y x =--⎰⎰求积分得 211ln 1ln 12y x C -=-+221ln 1ln(1)2y x C -=-+，112222221(1)e1e(1)C C y x y x -=-⇒-=±-记12e 0C C ±=≠，得方程的解 221(1)y C x -=-.可以验证0C =时，1y =±，它们也是原方程的解，因此，式221(1)y C x -=-中的C 可以为任意常数，所以原方程的通解为 221(1)y C x -=- （C 为任意常数）.代入初始条件2x y== 得 3C =，所以特解为2213(1)y x -=-. 例2 求微分方程（1）y y y x '=+，（2） 22ecos x y xy x '-=的通解. （1）解一原方程可化为 d d 1y y xy x x=+ ，令 y u x=，则 d d 1u u u x x u +=+，即 21d d u xu u x +=- ，两边取积分2111()d d u x u u x +=-⎰⎰，积分得1ln ln ln u x C u -=-，将yu x=代入原方程，整理得原方程的通解为 e xyy C =（C 为任意常数）.解二原方程可化为d 11d x x y y -= 为一阶线性微分方程，用常数变易法.解原方程所对应的齐次方程 d 10d x x y y-=，得其通解为 x C y =. 设()x C y y =为原方程的解，代入原方程，化简得1()1()lnyC y y C y C '=⇒=所以原方程的通解为1ln x y y C =，即exyy C = （C 为任意常数）.（2）解这里2()2,()e cos x P x x Q x x =-=，代入通解的公式得22d 2d e (e cos e d )x xx x x y x x C ---⎰⎰=⋅+⎰222=e (e cos ed )x x x x x C -⋅+⎰22=e (cos d )e (sin )x x x x C x C +=+⎰（C 为任意常数）.小结一阶微分方程的解法主要有两种：分离变量法，常数变易法.常数变易法主要适用线性的一阶微分方程，若方程能化为标准形式()()y P x y Q x '+=，也可直接利用公式()d ()d e (()e d P x xP x x y Q x x C -⎰⎰=+⎰）求通解.2．可降阶的高阶微分方程例3 求微分方程321x y x y '''+=的通解.解方程中不显含未知函数y ，令d ,d P y P y x'''== 代入原方程，得 32d 1d P x x P x+= 微分方程3d 11d P P x x x+=是关于未知函数()P x 的一阶线性微分方程，代入常数变易法的通解公式，所以11d d 131()e(e d )x x xxP x x C x-⎰⎰=+⎰ln ln 131=e(e d )xxx C x-+⎰1113211111(d )()C x x C C x x x x x x =⋅+=-+=-+⎰ 由此 12d 1d C y x x x=-+112211()d ln C y x C x C x x x=-+=++⎰因此，原方程的通解为 121ln y C x C x =++ （12,C C 为任意常数）.例4 求微分方程 22()(1)y y y '''=-满足初始条件112,1x x yy =='==-，的特解.解方程不显含x ，令 d ,d P y P y P y '''==，则方程可化为 2d 2(1)d P P Py y=- 当 0P ≠时d 2d 1P y P y =-，于是 21(1)P C y =-. 根据112,1x x yy =='==-，知21y y ='=- 代入上式，得11C =-，从而得到2d d (1)y x y =--，积分得 211x C y =+-，再由12x y==，求得 20C =，于是当0P ≠时，原方程满足所给初始条件的特解为11x y =-，当0P =时，得y C =(常数)，显然这个解也满足方程，这个解可包含在解11x y =-中.故原方程满足所给初始条件的特解为11x y =-，即 11y x=+.3．二阶常系数线性齐次微分方程的求解方法例5 求微分方程20y ay y '''-+=的通解.解原方程对应的特征方程为21,222102a r ar r a ±-+=⇒==±（1）当1a >，即 1a >或1a <-时，特征方程有两个不相等的实根：12r a r a =+=-，，故原方程的通解为((12eea xa xy C C =+.（2）当1a =，即1a =或1a =-时，特征方程有两个相等的实根12r r a ==故原方程的通解为12()e ax y C C x =+.（3）当1a <，即 11a -<<时，特征方程有两个共轭复根1,2r a =±故原方程的通解为12e (cos sin )ax y C C =+.4．二阶常系数线性非齐次微分方程的求解方法例6 求微分方程4e x y y x ''-=满足初始条件0,1x x yy =='==，的特解.解对应齐次方程的特征方程为210r -=，特征根 1,21r =±．故对应齐次微分方程的通解为 12e e x x c y C C -=+.因为1λ=是特征方程的单根，所以设特解为01()e x P y x b x b =+代入原方程得0102244b b b x x ++=比较同类项系数得 011,1b b ==-，从而原方程的特解为 (1)e x P y x x =- 故原方程的通解为12e e (1)e x x x y C C x x -=++-，由初始条件0x =时，0y y '==，得 12120,2,C C C C +=⎧⎨-=⎩从而121,1C C ==-，.因此满足初始条件的特解为e e (1)e x x x y x x -=-+-.例7 求微分方程248e sin2x y y y x '''-+=的通解.解对应的齐次微分方程的特征方程 2480r r -+=，特征根 1,222i r =±.于是所对应的齐次微分方程通解为212e (cos2sin 2)x c y C x C x =+为了求原方程248e sin2x y y y x '''-+=的一个特解, 先求(22i)48e ()x y y y +'''-+=*的特解.由于22i λ=+是特征方程的单根，且()1m P x =是零次多项式。

高数大二知识点总结归纳

高数大二知识点总结归纳一、导数与微分在高等数学的学习中，导数和微分是非常重要且基础的知识点。

导数表示函数在某一点的变化率，微分则是导数的一种应用。

在大二的高数课程中，我们系统学习了导数和微分的相关理论和应用。

在这一部分，我们将对导数和微分的相关知识进行总结归纳。

1. 导数的定义与性质导数的定义是函数在某一点处的变化率，用极限的概念来描述。

导数具有以下性质：- 可导性与导数的连续性：函数在某一点可导，等价于函数在该点处导数存在且连续。

- 导数与函数的关系：导数可以反映函数的增减性和凹凸性。

- 链式法则：用于求复合函数的导数。

- 反函数的导数：反函数的导数与原函数导数的乘积等于1。

- 导数的四则运算：标量乘法、加法、减法、乘法和除法。

2. 微分的定义与基本公式微分是导数的一个应用，用于近似计算函数在某一点处的变化量。

对于函数y=f(x)，在x处的微分记作dy=f'(x)dx。

微分具有以下基本公式：- 基本微分公式：对于常见的函数关系，可以通过代入dx计算微分。

- 微分的近似计算：利用微分可以近似计算函数在某一点附近的变化量。

- 高阶微分：对函数进行多次微分，得到高阶导数和高阶微分。

二、微分方程微分方程是描述函数和其导数（或微分）之间关系的方程。

在高数大二的学习中，我们学习了常微分方程的基本理论和解法。

下面是对微分方程知识的总结归纳。

1. 常微分方程的类型常微分方程可以分为一阶和二阶两类：- 一阶微分方程：包括可分离变量方程、齐次方程、一阶线性方程等。

- 二阶常系数齐次线性微分方程：形式为y''+p(x)y'+q(x)y=0。

2. 常微分方程的解法- 可分离变量方程的解法：将方程两边分离变量，并逐步求积分。

- 线性微分方程的解法：通过特解和齐次解相加得到总解。

- 高阶线性微分方程的解法：利用特征方程求解。

三、级数级数是一种特殊的数列，它是数列部分和的极限。

在高等数学中，级数是一个重要的概念，并且有广泛的应用。

数二_基本知识点汇总

数二——基本知识点Deran Pan2017.8.11目录第一章极限 (6)一、定理 (6)二、重要极限 (6)三、等价无穷小 (6)六、积分和求极限 (6)四、佩亚诺余项泰勒展开 (7)第二章一元函数微分 (8)一、函数微分 (8)二、微分运算法则 (8)三、基本微分公式 (8)四、变限积分求导 (8)五、N阶导数 (8)六、参数方程导数 (8)七、隐函数求导法则，幂指函数求导法则 (8)八、反函数的一阶、二阶求导 (9)九、单调、极值、凹凸、拐点 (9)十、渐近线 (9)十一、曲率 (9)十三、泰勒定理 (9)十四、极限与无穷小的关系 (9)十五、附 (9)第三章一元函数积分 (11)一、定理 (11)二、基本积分公式 (11)三、基本积分方法 (11)四、一个重要的反常积分 (11)五、定积分的应用 (11)第四章多元函数微分 (13)一、如果lim x→x0x→x0xx,x存在，则xx,x在该点连续 (13)二、求重极限方法 (13)三、可微性讨论 (13)四、复合函数微分 (13)五、高阶偏导 (13)六、隐函数求导 (13)七、二元函数极值的充分条件 (14)八、条件极值、拉格朗日乘数法 (14)九、二重积分 (14)十、柯西积分不等式 (16)第五章常微分方程 (17)一、一阶微分方程 (17)二、可降阶的高阶微分方程 (17)三、高阶常系数微分方程 (17)第一章行列式 (19)一、余子式&代数余子式 (19)二、几个重要公式 (19)第二章矩阵 (19)一、运算规则 (19)二、特殊矩阵 (20)三、可逆矩阵 (20)四、秩 (20)第三章向量 (21)一、线性表出、线性相关、极大线性无关组 (21)二、施密特正交化 (21)三、正交矩阵 (21)第四章线性方程组 (22)一、克拉默法则 (22)二、齐次线性方程组、基础解系 (22)三、非齐次线性方程组、通解结构 (22)第五章特征值、特征向量、相似矩阵 (23)一、特征值、特征向量 (23)二、相似矩阵 (23)三、实对称矩阵 (23)四、矩阵、特征值、特征向量 (23)五、判断A是否相似于对角 (24)第六章二次型 (24)一、二次型 (24)二、标准型 (24)四、化二次型为标准型，规范型 (24)五、合同 (24)六、惯性定理 (25)七、实对称矩阵A、B合同的充要条件 (25)八、正定 (25)九、正定阵性质 (25)后记 (26)第一章极限一、定理夹逼定理，单调有界定理二、重要极限1.lim x→0sin xx=12.limx→0(1+x)1x=x3.lim x→∞√xx=14.limx→0+x x∙(In x)x=05.limx→∞x x∙x−xx=1三、等价无穷小当x→0时：1、sin x~x、2、tan x~x、3、1−cos x~12x24、x x−1~x5、In(1+x)~x6、(1+x)x−1~x∙x7、arcsin x~x8、arctan x~x9、x x−1~x∙In(x)10、x x+x x~x x，(x>x>0)五、洛必达法则六、积分和求极限limx→∞x x=limx→∞1x∙∑x(xx)xx=1=∫x(x)d x1四、佩亚诺余项泰勒展开1、x x=1+x+12!x2+⋯+1x!x x+x(x x)2、sin x=x−13!x3+⋯+(−1)x(2x+1)!x2x+1+x(x2x+2)3、cos x=1−12!x2+⋯+(−1)x(2x)!x2x+x(x2x+1)4、In(1+x)=x−x22+x33+⋯+(−1)x−1xxx+x(x x)5、(1+x)x=1+xx+x(x−1)2!x2+⋯+x×(x−1)×⋯×(x−x+1)x!x x+x(x x)第二章一元函数微分一、函数微分d x =x ∆x +x (x )=x d x +x (x )二、微分运算法则1、 (x ±x )′=x ′±x ′2、 (x ∙x )′=x ′∙x +x ∙x ′3、 (x ∙x )′=x ∙x ′4、 (x x )′=x ′x −xx ′x2三、基本微分公式1、 x ′=02、 (x x )′=x ∙xx −13、 (x x )′=x x ∙In (x ) 4、 (x x )′=x x 5、 (xxx x x )′=1x ∙In (x )6、 (cos x )′=−sin x7、 (sin x )′=cos x8、 (cot x )′=−(csc x )29、 (tan x )′=(sec x )2 10、(sec x )′=sec x ∙tan x 11、(csc x )′=−csc x ∙cot x 12、(arcsin x )′=√1−x 213、(arccos x )′=√1−x 214、(arctan x )′=11+x 215、(arccot x )′=−11+x 2四、变限积分求导(∫x (x )d x x2(x )x 1(x))′=x (x 2(x ))∙x 2′(x )−x (x 1(x ))∙x 1′(x )五、 N 阶导数1、 (x ±x )(x )=x (x )±x (x )2、 (x ∙x )(x )=x (x )∙x +x x 1∙x(x −1)∙x (1)+⋯+x x x ∙x(x −x)∙x (x )+⋯+x ∙x (x )六、参数方程导数x x′=x x ′x x′x xx ′′=(x x ′)x′x x′=x x ′∙x xx ′′−x xx ′′∙x x′(x x ′)3七、隐函数求导法则，幂指函数求导法则八、反函数的一阶、二阶求导xx xx=1xxxx=1x′(x)x′′(x)=−x′′(x)(x′(x))3九、单调、极值、凹凸、拐点十、渐近线水平渐近线：limx→∞x(x)=x铅直渐近线：limx→x0x(x)=x斜渐近线：limx→x0x(x)x=x，limx→x0[x(x)−x∙x]=x十一、曲率x=|x′′|(1+(x′)2 ) 3 2x=1x=(1+(x′)2)32|x′′|十二、定理费马定理（驻点）、罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理。

大学高数第二册公式整理

dy
hx
g
xdx
最后得 Hx Gx c
dy Pxy 0
（2）一阶线性齐次微分方程： dx y ce Pxdx
dy Pxy Qx
（3）一阶线性非齐次微分方程： dx
y
ce
P
x
d
x
Qxe Pxdxdx c
（4）齐次微分方程：代换法：如果 dy y ，则令 y u
dx x
x
求
z
的一阶偏导
f x x0 , f y x0 ,
y0 y0
0 0
f xx x0 , y0 A
令
z
的二阶偏导
f xy x0 ,
y0
B
f
yy
x0
,
y0
C
①当 AC B2 0 时，且 A 0 时，有极大值； A 0 时，极小值
②当 AC B2 0时，无极值
③当 AC B2 0时，无法判定
1. 方向导数与梯度
方向导数： f f cos f cos
l x
y
cos,cos 是l的方向余弦
梯
度
：
g r a d fx,
y
f x
,
f y
2.（1）曲线的切线与法平面
x xt
设曲
线方程：
y
yt
z zt
则切线方程：
x x0
x`t0
y y0
y`t0
z z0
z`t0
法平面方程： x`t0 x x0 y`t0 y y0 z`t0 z z0 0
（2）曲面的切平面与法线
设曲线方程为： Fx, y, z 0
则切线方程：
x x0

高等数学二知识点总结

高等数学二知识点总结（实用版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。

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高数二知识点

高数二知识点高等数学二作为高等数学的延伸和深化，是大学数学课程中的一门重要课程。

它对于培养学生的抽象思维能力和数学建模能力具有重要作用。

下面，我将就高等数学二中的一些重要知识点进行简要介绍。

1. 多元函数的极限与连续多元函数的极限和连续是高等数学二中的基础知识点。

在多元函数的极限中，需要理解极限的定义，熟练掌握极限的性质和计算方法，能够判断多元函数是否有极限。

在多元函数的连续中，需要理解连续的定义和性质，掌握连续函数的判定方法，了解连续函数的运算规则。

掌握了多元函数的极限与连续，能够为后续的微分、积分提供坚实的基础。

2. 二重积分与三重积分二重积分和三重积分是高等数学二中的重要内容，也是数学建模中常用的数学工具。

在二重积分中，需要理解二重积分的定义与性质，掌握二重积分的计算方法，包括直角坐标下的二重积分和极坐标下的二重积分。

在三重积分中，需要理解三重积分的定义与性质，掌握三重积分的计算方法，包括直角坐标下的三重积分和柱面坐标下的三重积分。

掌握了二重积分与三重积分，能够在实际问题中进行面积、体积和质量的计算。

3. 多元函数的偏导数与全微分多元函数的偏导数与全微分是研究多元函数的重要工具。

在多元函数的偏导数中，需要理解偏导数的概念和性质，熟练掌握偏导数的计算方法，包括常规偏导数的计算和高阶偏导数的计算。

在多元函数的全微分中，需要理解全微分的定义和性质，掌握全微分的计算方法，能够进行微分近似和微分运算。

掌握了多元函数的偏导数与全微分，能够为后续的泰勒展开和极值问题提供基础。

4. 重积分的应用重积分具有广泛的应用领域，如物理学、工程学、经济学等。

通过重积分的计算，可以求解平面区域的面积、空间图形的体积，还可以计算质心、转动惯量等。

此外，重积分还可以用于求解动量、质量和动力学问题等。

掌握了重积分的应用，能够将数学知识与实际问题相结合，培养学生的数学建模能力。

总之，在学习高等数学二的过程中，多元函数的极限与连续、二重积分与三重积分、多元函数的偏导数与全微分、重积分的应用等是需要重点关注和掌握的知识点。

高数(下册)复习资料完整

高等数学(向量代数—>无穷级数)知识点向量与空间几何向量：向量表示((a^b));向量运算(向量积)；向量的方向和投影空间方程：曲面方程(旋转曲面和垂直柱面)；直线方程(参数方程和投影方程)平面方程：点法式(法向量)、一般式、截距式；平面夹角和距离直线方程：一般式、对称式(方向向量)、参数式；直线夹角；平面交线(法向量积)切平面和切线：切线与法平面；切平面与法线多元函数微分学多元函数极限：趋近方式，等阶代换偏微分和全微分：高阶微分(连续则可等)；复合函数求导(Jacobi行列式)；多元函数极值：偏导数判定；拉格朗日乘数法(条件极值)重积分二重积分：直角坐标和极坐标；对称性；换元法三重积分：直角坐标、柱坐标和球坐标；对称性重积分的应用：曲面面积；质心；转动惯量；引力曲线与曲面积分曲线积分：弧长积分；坐标曲线积分(参数方程)；格林公式面积积分：对面积积分；坐标面积积分；高斯公式无穷级数级数收敛：通项极限正项级数：调和级数；比较法和比较极限法；根值法；极限法；绝对收敛和条件收敛幂级数：收敛半径和收敛域；和函数；麦克劳林级数(二次展开)Fourier级数：傅里叶系数(高次三角函数积分)；奇偶延拓；正弦和余弦级数；一般周期的傅里叶级数矢量分析与场论(空间场基础)方向导数与梯度方向导数：向量参数式；偏导数；方向余弦梯度(grad)：方向导数的最值；梯度方向；物理意义(热导方向与电场方向)格林公式：曲线积分—>二重积分；曲线方向与曲面方向全微分原函数：场的还原；折线积分通量与散度高斯公式：闭合曲面—>三重积分；曲面外侧定向；曲面补齐；向量表达(通量)散度(div)：通量的体积元微分；物理意义(有源场(电场)) 环流量与旋度斯托克斯公式：闭合曲线—>曲面积分；向量积定向；行列式表达；向量表达；物理意义(环通量)旋度(rot)：行列式斯托克斯公式；物理意义(有旋场(磁场))向量代数定义定义与运算的几何表达在直角坐标系下的表示向量有大小、有方向. 记作a 或AB a (,,)x y z x y z a i a j a k a a a =++=,,x x y y z z a prj a a prj a a prj a ===模向量a 的模记作aa 222x y z a a a =++和差c a b =+c a b =－=+c a b {},,=±±±x x y y z z a b a b a b单位向量0a ≠，则a ae a=a e 222(,,)=++x y z x y z a a a a a a方向余弦设a 与,,x y z 轴的夹角分别为αβγ，，，则方向余弦分别为cos αβγ，cos ，coscos y x z a a a aaaαβγ===，cos ，coscos a e αβγ=(，cos ，cos ) 222cos 1αβγ+=+cos cos 点乘（数量积） θcos b a b a =⋅，θ为向量a 与b 的夹角 z z y y x x b a b a b a ++=⋅b a叉乘（向量积）b ac ⨯=θsin b a c =θ为向量a 与b 的夹角向量c 与a ，b 都垂直 zyxz y xb b b a a a k j ib a =⨯ 定理与公式垂直 0a b a b ⊥⇔⋅= 0x x y y z z a b a b a b a b ⊥⇔++=平行 //0a b a b ⇔⨯=//y zx x y za a a ab b b b ⇔== 交角余弦两向量夹角余弦ba ba ⋅=θcos222222cos x x y y z zx y z x y za b a b a b a a a b b b θ++=++⋅++投影向量a 在非零向量b 上的投影cos()b a bprj a a a b b∧⋅==222x x y y z zb x y za b a b a b prj a b b b ++=++空间曲面∑：0),,(=z y x F法向量000000000((,,),(,,),(,,))x y z n F x y z F x y z F x y z = 切平“面”方程：000000000000(,,)()(,,)()(,,)()0x x x F x y z x x F x y z y y F x y z z z -+-+-=法“线“方程：),,(),,(),,(000000000000z y x F z z z y x F y y z y x F x x z y x -=-=- ),(y x f z = 0000((,),(,),1)x y n f x y f x y =--或0000((,),(,),1)x y n f x y f x y =-切平“面”方程：0)())(,())(,(0000000=---+-z z y y y x f x x y x f y x法“线“方程：1),(),(0000000--=-=-z z y x f y y y x f x x y x 重积分积分类型计算方法典型例题二重积分()σd ,⎰⎰=Dy x f I平面薄片的质量质量=面密度⨯面积（1）利用直角坐标系X —型⎰⎰⎰⎰=Dbax x dy y x f dx dxdy y x f )()(21),(),(φφY —型⎰⎰⎰⎰=dcy y Ddx y x f dy dxdy y x f )()(21),(),(ϕϕP141—例1、例3（2）利用极坐标系使用原则(1) 积分区域的边界曲线易于用极坐标方程表示(含圆弧,直线段 )； (2) 被积函数用极坐标变量表示较简单(含22()x y α+,α为实数)21()()(cos ,sin )(cos ,sin )Df d d d f d βϕθαϕθρθρθρρθθρθρθρρ=⎰⎰⎰⎰02θπ≤≤0θπ≤≤2πθπ≤≤P147—例5（3）利用积分区域的对称性与被积函数的奇偶性当D 关于y 轴对称时，（关于x 轴对称时，有类似结论）P141—例2应用该性质更方便所有类型的积分：○1定义：四步法——分割、代替、求和、取极限；○2性质：对积分的范围具有可加性，具有线性性；○3对坐标的积分，积分区域对称与被积函数的奇偶性。

大学高等数学第二册复习资料

大学高等数学第二册复习资料第一章一元函数微分学1. 函数的极限1.1 无穷大与无穷小在微积分中，我们常常需要研究函数在某一点附近的变化情况。

为此，引入了极限的概念。

在这一小节中，我们将学习无穷大与无穷小的定义以及它们之间的关系。

1.2 极限的定义极限的定义是微积分的基础，我们通过一些具体的例子来介绍极限的概念和求解方法。

1.3 一些重要的极限在微积分的应用中，有一些特殊的极限需要我们掌握。

这些极限在求解一些复杂问题时经常会出现，并且在证明一些定理时也起到关键作用。

2. 导数与微分2.1 导数的概念导数是一元函数微分学中的重要概念，它描述了函数在某一点的变化率。

2.2 导数的计算我们将介绍一些计算导数的方法，例如使用定义计算导数、使用基本导数公式以及利用导数的运算法则等。

2.3 高阶导数和隐函数求导在实际问题中，我们常常需要求解高阶导数或者对隐函数进行求导。

这些都是导数计算的一些扩展应用。

3. 微分学的基本定理与应用3.1 微分学的基本定理微分学的基本定理是微积分中的一些重要定理，它们建立了微积分的基础和框架。

3.2 微分学的应用微积分的应用非常广泛，例如在物理学、工程学、经济学等领域，都会用到微积分的相关概念和方法。

第二章一元函数积分学1. 不定积分与积分的定义1.1 不定积分的概念不定积分是微积分的重要内容，它是导数运算的逆运算。

1.2 积分的定义与性质我们将介绍积分的几何意义、定义和一些基本性质，例如积分的线性性、积分中值定理等。

2. 定积分2.1 定积分的概念定积分是微积分中的重要工具，在实际问题中有着广泛的应用。

2.2 定积分的计算我们将介绍一些定积分的计算方法，例如分部积分法、换元积分法、定积分的性质等。

2.3 定积分的应用定积分在几何学、物理学等领域有着广泛的应用，例如计算曲线的长度、面积等。

3. 微积分基本定理与应用3.1 微积分基本定理微积分基本定理是微积分中的重要定理，它将微积分的导数和积分联系起来。

高数2复习资料.ppt

dz dx 2x
2x 4y
2
y
dy dx
dy dx
6z
dz dx
0
dz
x
dx 3z1
dy x(6 z1)
dx 2 y(3z1)
五、可导可微连续的关系
竞赛一（1）；作业一（1） (1)连续 (3)可微 (2)偏导连续 (4)偏导存在
六、曲线的切线, 法平面;曲面的切平面, 法线
记F(x, y, z, ) 8xyz (x2 y2 z2 a2 )
由FFzx
Fy F
0有 0
唯一驻点(
3a 3
,
3a 3
,
3a 3
,
0
)
Vmax(
3 3
a,
3 3
a,
3 3
a)
1 3
a3
九、比较积分值的大小
竞赛一（2）；作业二（3）
十、交换积分顺序
竞赛三（4）；作业一（2），五（1,2）
D
2
解： D关于y轴对称， xdxdy 0
D
又 D关于x轴对称， y3 sin x2dxdy 0
D
I
1dxdy 2
1 2
a2
D
求I (x y)dxdy, D : y x2, y 4x2及y 1所围.
D
解：作草图 D关于y轴对称
xdxdy 0,
D 1
ydxdy 2 ydxdy 2 dy
A
f
'' xx
(
1 2
,1)
2e
0
,B
f
'' xy
(
1 2
,1)
0,
C

高等数学二

高等数学二第一章极限和连续第一节极限[复习考试要求]1.了解极限的概念（对极限定义等形式的描述不作要求）。

会求函数在一点处的左极限与右极限，了解函数在一点处极限存在的充分必要条件。

2.了解极限的有关性质，掌握极限的四则运算法则。

3.理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的性质、无穷小量与无穷大量的关系。

会进行无穷小量阶的比较（高阶、低阶、同阶和等价）。

会运用等价无穷小量代换求极限。

4.熟练掌握用两个重要极限求极限的方法。

第二节函数的连续性[复习考试要求]1.理解函数在一点处连续与间断的概念，理解函数在一点处连续与极限存在之间的关系，掌握判断函数（含分段函数）在一点处连续性的方法。

2.会求函数的间断点。

3.掌握在闭区间上连续函数的性质会用它们证明一些简单命题。

4.理解初等函数在其定义区间上的连续性，会利用函数连续性求极限。

第二章一元函数微分学第一节导数与微分[复习考试要求]1.理解导数的概念及其几何意义，了解可导性与连续性的关系，会用定义求函数在一点处的导数。

2.会求曲线上一点处的切线方程与法线方程。

3.熟练掌握导数的基本公式、四则运算法则以及复合函数的求导方法。

4.掌握隐函数的求导法与对数求导法。

会求分段函数的导数。

5.了解高阶导数的概念。

会求简单函数的高阶导数。

6.理解微分的概念，掌握微分法则，了解可微和可导的关系，会求函数的一阶微分。

第二节导数的应用[复习考试要求]1.熟练掌握用洛必达法则求“0·∞”、“∞-∞”型未定式的极限的方法。

2.掌握利用导数判定函数的单调性及求函数的单调增、减区间的方法。

会利用函数的单调性证明简单的不等式。

3.理解函数极值的概念，掌握求函数的驻点、极值点、极值、最大值与最小值的方法，会解简单的应用题。

4.会判断曲线的凹凸性，会求曲线的拐点。

5.会求曲线的水平渐近线与铅直渐近线第三章一元函数积分学第一节不定积分[复习考试要求]1.理解原函数与不定积分的概念及其关系，掌握不定积分的性质。

高等数学II复习提要

高等数学（二）归纳（归纳不完全，仅供期末复习参考）第一部分：空间解析几何与向量代数||21.6.sin ,.5cos .4,,Pr Pr cos ..3,cos Pr .2}co ,cos ,{cos cos cos ,cos },,{cos ,cos ,cos .1222222222222222ABC b a c b b b a a a kj ib ac b b b a a a b a b a b a b a b a b a b j a a j b b a b a u j z y x z z y x y z y x xz y x AB zyxz y xzy x z y x zz y y x x z z y y x x a b u ⨯=⋅==⨯=++⋅++++=++===⋅=⋅++=++=++==面积三角形两向量之间的夹角：是一个数量轴的夹角。

与是向量在轴上的投影：为与则：式：设称为方向余弦。

计算公称为方向角；，，的夹角弦：向量与三个坐标轴向量的方向角与方向余θθθϕϕγβαγβαγβαγβα⎪⎩⎪⎨⎧+=+=+===-=-=-+++++==++=+++==-+-+-ptz z nty y m t x x p n m s t p z z n y y m x x C B A DCz By Ax d c zb y a x D Cz By Ax z y x M C B A n z z C y y B x x A 00000022200000000002;},,{,)1(.9.81)3(0)2(),,(},,,{0)()()()1(.7）参数方程：（为直线的方向向量其中点向式：空间直线方程：面的距离：平面外任意一点到该平截距式方程：一般方程：，其中点法式：平面的方程：9.二次曲面（常见的）（1）旋转曲面例如：旋转抛物面22y x z +=（2）锥面例如圆锥面222y x z +=（3）球面例如2222a z y x=++zyzx yx yxFF y zF F x z y x z z z y x F FF dx dy x y y y x F dy yv dx x v dv dy y u dx x u du y x v v y x u u xvv z x u u z x z y x v y x u f z tvv z t u u z dt dz t v t u f z yy x f x y x f dz z dzz udy y u dx x u du dy y z dx x z dz -=∂∂-=∂∂==-===∂∂+∂∂=∂∂+∂∂===∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂==∆+∆=≈∆∂∂+∂∂+∂∂=∂∂+∂∂=，，　则：所确定的函数）方程（，，则：所确定的函数）方程（隐函数的求导公式：时，，当：多元复合函数的求导法近似计算：全微分：分法及其应用第二部分：多元函数微),(0),,(2)(0),(1.4),(),()],(),,([)](),([.3),(),(.2.1性方程组的法则求）　不必记忆公式，用解线数的偏导求法所确定的两个二元函）方程组：（(0),,,(0),,,(3⎩⎨⎧==v u y x G v u y x F 5.多元函数可微，偏导存在，连续，方向导数存在，偏导连续之间的关系。