合肥工业大学大一上学期高数期末考试题

高数期末考试

一、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 1. =

+→x

x x sin 20

)

31(lim .

2.

,)(cos 的一个原函数是已知

x f x

x

=⋅

⎰x x

x

x f d cos )(则

.

3.

lim (cos cos cos )→∞-+++=

2

2

2

21n n n n n n ππ

π

π .

4. =

-+⎰

2

12

12

211

arcsin －

dx x

x x .

二、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分)

5. ）时（　，则当，设133)(11)(3→-=+-=

x x x x x

x βα.

（A ）()()x x αβ与是同阶无穷小，但不是等价无穷小； （B ）()()x x αβ与是等价无穷小；

（C ）()x α是比()x β高阶的无穷小； （D ）()x β是比()x α高阶的

无穷小.

6. )(0),sin (cos )(　处有则在设=+=x x x x x f .

（A ）(0)2f '= （B ）(0)1f '=（C ）(0)0f '= （D ）()f x 不可导.

7. 若

()()()0

2x

F x t x f t dt

=-⎰，其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且

'>()0f x ，则（ ）.

（A ）函数()F x 必在0x =处取得极大值； （B ）函数()F x 必在0x =处取得极小值；

（C ）函数()F x 在0x =处没有极值，但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点； （D ）函数()F x 在0x =处没有极值，点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。

8.

)

(

)( , )(2)( )(1

=+=⎰x f dt t f x x f x f 则是连续函数，且设

（A ）2

2x （B ）2

2

2x

+（C ）1x - （D ）2x +.

9.

三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分）

10. 设函数=()y y x 由方程

sin()1x y

e xy ++=确定，求'()y x 以及'(0)y . 11. .d )1(17

7

x x x x ⎰+-求

12. ．

　求，， 设⎰--⎪⎩⎪

⎨⎧≤<-≤=1 32

)(1020)(dx x f x x x x xe x f x

13. 设函数)(x f 连续，=⎰1

0()()g x f xt dt

，且→=0

()

lim

x f x A x ，A 为常数. 求

'()g x 并讨论'()g x 在=0x 处的连续性.

14. 求微分方程2ln xy y x x '+=满足

=-

1

(1)9y 的解.

四、 解答题（本大题10分）

15. 已知上半平面内一曲线)0()(≥=x x y y ，过点(,)01，且曲线上任一点

M x y (,)00处切线斜率数值上等于此曲线与x 轴、y 轴、直线x x =0所围成面积的2倍与该点纵坐标之和，求此曲线方程. 五、解答题（本大题10分）

16. 过坐标原点作曲线x y ln =的切线，该切线与曲线x y ln =及x 轴围

成平面图形D.

(1) 求D 的面积A ；(2) 求D 绕直线x = e 旋转一周所得旋转体的体积

V .

六、证明题（本大题有2小题，每小题4分，共8分）

17. 设函数)(x f 在[]0,1上连续且单调递减，证明对任意的[,]∈01q ，

1

()()≥⎰⎰q

f x d x q f x dx

.

18. 设函数)(x f 在[]π,0上连续，且0

)(0

=⎰

π

x d x f ，0

cos )(0

=⎰

π

dx x x f .

证明：在()π,0内至少存在两个不同的点21,ξξ，使.0)()(21==ξξf f （提

示：设

⎰=

x

dx

x f x F 0

)()(）

解答

一、单项选择题(本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1、D 2、A 3、C 4、C

二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分）

5. 6

e . 6.c x x +2

)cos (21　.7. 2π. 8.3π.

三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 9. 解：方程两边求导

(1)cos()()0x y

e y xy xy y +''+++=

cos()

()cos()x y x y

e y xy y x e x xy +++'=-+

0,0x y ==，(0)1y '=-

10. 解：7

67u x x dx du ==

1(1)112

()7(1)71u du du

u u u u -==-++⎰⎰原式 1

(ln ||2ln |1|)7u u c =-++ 7712

ln ||ln |1|77x x C =-++

11. 解：1

3

30

()x

f x dx xe dx ---=+

⎰⎰⎰

03

()x

xd e --=-+⎰⎰

00

2

32

cos (1sin )x x

xe e d x πθθθ----⎡⎤=--+-=⎣⎦⎰

令

321

4

e π

=

--

12. 解：由(0)0f =，知(0)0g =。

===

⎰⎰1

()()()x

xt u

f u du

g x f xt dt x

(0)x ≠

02

()()()(0)

x

xf x f u du

g x x x

-'=

≠⎰

2

0()()A

(0)lim lim

22x

x x f u du

f x

g x x →→'===⎰

02

()()lim ()lim

22x

x x xf x f u du

A A

g x A x

→→-'==-

=

⎰，'()g x 在=0x 处连续。

13. 解：2

ln dy y x dx x +=

2

2

(ln )

dx dx x x y e e xdx C -⎰⎰=+⎰

2

11

ln 39x x x Cx -=

-+

1

(1),09y C =-=，

11ln 39y x x x

=- 四、 解答题（本大题10分）