2013年高考第二轮复习数学全国理科选修4—4 坐标系与参数方程

选修4—4 坐标系与参数方程真题试做1．(2012·上海高考，理10)如图，在极坐标系中，过点M(2,0)的直线l 与极轴的夹角α＝π6.若将l 的极坐标方程写成 ρ＝f(θ)的形式，则f(θ)＝__________.2．(2012·北京高考，理9)直线⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2＋t ，y ＝－1－t (t 为参数)与曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos α，y ＝3sin α(α为参数)的交点个数为__________．3．(2012·江西高考，理15)曲线C 的直角坐标方程为x2＋y2－2x ＝0，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C 的极坐标方程为__________．4．(2012·课标全国高考，理23)已知曲线C1的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos φ，y ＝3sin φ(φ为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是ρ＝2.正方形ABCD 的顶点都在C2上，且A ，B ，C ，D 依逆时针次序排列，点A 的极坐标为⎝⎛⎭⎫2，π3.(1)求点A ，B ，C ，D 的直角坐标；(2)设P 为C1上任意一点，求|PA|2＋|PB|2＋|PC|2＋|PD|2的取值范围． 5．(2012·辽宁高考，文23)在直角坐标系xOy 中，圆C1：x2＋y2＝4，圆C2：(x －2)2＋y2＝4. (1)在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆C1，C2的极坐标方程，并求出圆C1，C2的交点坐标(用极坐标表示)； (2)求圆C1与C2的公共弦的参数方程． 考向分析从近几年的高考情况看，该部分主要有三个考点：一是平面坐标系的伸缩变换；二是极坐标方程与直角坐标方程的互化；三是极坐标方程与参数方程的综合应用．对于平面坐标系的伸缩变换，主要是以平面直角坐标系和极坐标系为平台，考查伸缩变换公式的应用，试题设计大都是运用坐标法研究点的位置或研究几何图形的形状．对于极坐标方程与直角坐标方程的互化，是高考的重点和热点，涉及直线与圆的极坐标方程，从点与直线、直线与圆的位置关系等不同角度考查，研究求距离、最值、轨迹等常规问题．极坐标方程与参数方程的综合应用，主要是以直线、圆和圆锥曲线的参数方程为背景，转化为普通方程，从而进一步判断位置关系或进行有关距离、最值的运算．预计2013年高考中，本部分内容主要考查极坐标方程与直角坐标方程的互化、参数方程与普通方程的互化，考查简单曲线的极坐标方程和参数方程，试题多以填空题、解答题的形式呈现，属于中档题．热点例析热点一 平面坐标系的伸缩变换【例１】在同一平面直角坐标系中，将直线x －2y ＝2变成直线2x ′－y ′＝4，求满足图象变换的伸缩变换．规律方法 1．平面坐标系的伸缩变换对图形的变化起到了一个压缩或拉伸的作用，如三角函数图象周期的变化．2．设点P(x ，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λx (λ>0)，y ′＝μy (μ>0)的作用下，点P(x ，y)对应到点P ′(x ′，y ′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换．变式训练1 在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝5x ，y ′＝3y 后，曲线C 变为曲线2x ′2＋8y ′2＝1，则曲线C 的方程为( )．A ．50x2＋72y2＝1B ．9x2＋100y2＝1C ．25x2＋36y2＝1D ．225x2＋89y2＝1热点二 极坐标方程与直角坐标方程的互化【例２】在极坐标系中，已知圆ρ＝2cos θ与直线3ρcos θ＋4ρsin θ＋a ＝0相切，求实数a 的值．规律方法 1．直角坐标和极坐标的互化 把直角坐标系的原点作为极点，x 轴的正半轴作为极轴，并在两个坐标系中取相同的长度单位，设M 是平面内任意一点，它的直角坐标是(x ，y)，极坐标是(ρ，θ)，则 x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ且ρ2＝x2＋y2，tan θ＝yx (x≠0)．这就是直角坐标和极坐标的互化公式．2．曲线的极坐标方程的概念：在极坐标系中，如果平面曲线C 上任意一点的极坐标至少有一个满足方程f(ρ，θ)＝0，并且坐标适合f(ρ，θ)＝0的点都在曲线C 上，那么方程f(ρ，θ)＝0就叫做曲线C 的极坐标方程．变式训练2 圆O1和圆O2的极坐标方程分别为ρ＝4cos θ，ρ＝－sin θ. (1)把圆O1和圆O2的极坐标方程化为直角坐标方程； (2)求经过圆O1，圆O2两个交点的直线的直角坐标方程． 热点三 参数方程与普通方程的互化 【例３】把下列参数方程化为普通方程．(1)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋cos θ，y ＝2－sin θ； (2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12t ，y ＝5＋32t.规律方法 1．参数方程部分，重点还是参数方程与普通方程的互化，主要是将参数方程消去参数化为普通方程．2．参数方程与普通方程的互化：参数方程化为普通方程的过程就是消参过程，常见方法有三种： ①代入法：首先利用解方程的技巧求出参数t ，然后代入消去参数； ②三角法：利用三角恒等式消去参数； ③整体消元法：根据参数方程本身的结构特征，从整体上消去参数．化参数方程为普通方程F(x ，y)＝0：在消参过程中注意变量x ，y 取值范围的一致性，必须根据参数的取值范围，确定f(t)和g(t)的值域即x ，y 的取值范围．变式训练3 把下列参数方程化为普通方程，并说明它们各表示什么曲线．(1)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12t ，y ＝2＋32t(t 为参数)；(2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4sin θ＋1，y ＝5cos θ(θ为参数)． 热点四 极坐标方程与参数方程的综合应用【例４】在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos α，y ＝sin α(α为参数)．以直角坐标系原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝2 2.点P 为曲线C 上的动点，求点P 到直线l 距离的最大值．规律方法 如果直接由曲线的极坐标方程看不出曲线是什么图形，往往先将曲线的极坐标方程化为相应的直角坐标方程，然后再通过直角坐标方程判断出曲线是什么图形．变式训练4 在直角坐标系xOy 中，直线l 的方程为x －y ＋4＝0，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3cos α，y ＝sin α(α为参数)． (1)已知在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，点P 的极坐标为⎝⎛⎭⎫4，π2，判断点P 与直线l 的位置关系；(2)设点Q 是曲线C 上的一个动点，求它到直线l 的距离的最小值．1．(2012·安徽安庆二模，4)以平面直角坐标系的原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，则曲线⎩⎨⎧x ＝7cos φ，y ＝7sin φ(φ为参数，φ∈R)上的点到曲线ρcos θ＋ρsin θ＝4(ρ，θ∈R) 的最短距离是( )．A ．0B ．22－7C ．1D ．2 22．设直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋12t ，y ＝3＋32t(t 为参数)，则其斜截式方程为__________．3．(2012·广东梅州中学三模，15)在极坐标系中，若过点A(3,0)且与极轴垂直的直线交曲线ρ＝4cos θ于A ，B 两点，则|AB|＝__________.4．(2012·北京丰台区三月模拟，11)在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋32t ，y ＝12t(t 为参数)．以O 为极点，x 轴正方向为极轴的极坐标系中，圆C 的极坐标方程是ρ2－4ρcos θ＋3＝0.则圆心到直线的距离是__________．5．在平面直角坐标系xOy 中，判断曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)与直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2t ，y ＝1－t (t 为参数)是否有公共点，并证明你的结论．6．(2012·江苏镇江5月模拟，21)已知椭圆C 的极坐标方程为ρ2＝123cos2θ＋4sin2θ，点F1，F2为其左、右焦点，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋22t ，y ＝22t(t 为参数，t ∈R)．求点F1，F2到直线l 的距离之和．7．(2012·吉林长春实验中学模拟，23)已知圆C 的方程为x2＋y2－2x ＝0，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝t ，y ＝－23＋3t(t 为参数)．(1)设y ＝sin θ，求圆C 的参数方程；(2)直线l 与圆C 交于A ，B 两点，求线段AB 的长． 参考答案 命题调研·明晰考向 真题试做1．1sin ⎝⎛⎭⎫π6－θ2．2 3．ρ＝2cos θ 4．解：(1)由已知可得A ⎝⎛⎭⎫2cos π3，2sin π3，B ⎝⎛⎭⎫2cos ⎝⎛⎭⎫π3＋π2，2sin ⎝⎛⎭⎫π3＋π2，C ⎝⎛⎭⎫2cos ⎝⎛⎭⎫π3＋π，2sin ⎝⎛⎭⎫π3＋π，D ⎝⎛⎭⎫2cos ⎝⎛⎭⎫π3＋3π2，2sin ⎝⎛⎭⎫π3＋3π2， 即A(1，3)，B(－3，1)，C(－1，－3)，D(3，－1)．(2)设P(2cos φ，3sin φ)，令S ＝|PA|2＋|PB|2＋|PC|2＋|PD|2， 则S ＝16cos2φ＋36sin2φ＋16＝32＋20sin2φ. 因为0≤sin2φ≤1，所以S 的取值范围是[32,52]．5．解：(1)圆C1的极坐标方程为ρ＝2， 圆C2的极坐标方程为ρ＝4cos θ.解⎩⎪⎨⎪⎧ρ＝2，ρ＝4cos θ，得ρ＝2，θ＝±π3， 故圆C1与圆C2交点的坐标为⎝⎛⎭⎫2，π3，⎝⎛⎭⎫2，－π3.注：极坐标系下点的表示不唯一．(2)解法一：由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，得圆C1与C2交点的直角坐标分别为(1，3)，(1，－3)．故圆C1与C2的公共弦的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝t ，－3≤t≤ 3.(或参数方程写成⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝y ，－3≤y≤3)解法二：将x ＝1代入⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，得ρcos θ＝1，从而ρ＝1cos θ.于是圆C1与C2的公共弦的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝tan θ，－π3≤θ≤π3.精要例析·聚焦热点热点例析【例1】解：设变换为⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λx ，y ′＝μy ，代入第二个方程，得2λx －μy ＝4与x －2y ＝2比较，将其变成2x －4y ＝4，比较系数得λ＝1，μ＝4.则伸缩变换公式为⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x ，y ′＝4y ，即直线x －2y ＝2图象上所有点的横坐标不变，纵坐标扩大到原来的4倍可得到直线2x ′－y ′＝4.【变式训练1】A【例2】解：将极坐标方程化为直角坐标方程，得圆的方程x2＋y2＝2x ，即(x －1)2＋y2＝1， 直线的方程为3x ＋4y ＋a ＝0.由题设知，圆心(1,0)到直线的距离为1，即有|3×1＋4×0＋a|32＋42＝1，解得a ＝－8，或a ＝2.故a 的值为－8或2.【变式训练2】解：(1)因为圆O1和圆O2的极坐标方程分别为 ρ＝4cos θ，ρ＝－sin θ，又因为ρ2＝x2＋y2，ρcos θ＝x ，ρsin θ＝y ， 所以由ρ＝4cos θ，ρ＝－sin θ得， ρ2＝4ρcos θ，ρ2＝－ρsin θ.即x2＋y2－4x ＝0，x2＋y2＋y ＝0.所以圆O1和圆O2的直角坐标方程分别为 x2＋y2－4x ＝0，x2＋y2＋y ＝0.(2)由(1)易得，经过圆O1和圆O2两个交点的直线的直角坐标方程为4x ＋y ＝0.【例3】解：(1)由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧cos θ＝x －3，sin θ＝2－y.由三角恒等式cos2θ＋sin2θ＝1，可知(x －3)2＋(y －2)2＝1，这就是它的普通方程．(2)由已知，得t ＝2x －2，代入y ＝5＋32t 中，得y ＝5＋32(2x －2)， 即3x －y ＋5－3＝0就是它的普通方程．【变式训练3】解：(1)由x ＝1＋12t ，得t ＝2x －2. ∴y ＝2＋32(2x －2)．∴3x －y ＋2－3＝0，此方程表示直线．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4sin θ＋1，y ＝5cos θ，得⎩⎨⎧sin θ＝x －14，cos θ＝y5，两式平方并相加，得(x －1)216＋y225＝1，此方程表示椭圆．【例4】解：ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝22化简为ρcos θ＋ρsin θ＝4，则直线l 的直角坐标方程为x ＋y ＝4.设点P 的坐标为(2cos α，sin α)，得P 到直线l 的距离d ＝|2cos α＋sin α－4|2，即d ＝|5sin(α＋φ)－4|2，其中cos φ＝15，sin φ＝25.当sin(α＋φ)＝－1时，dmax ＝22＋102.【变式训练4】解：(1)把极坐标系中的点P ⎝⎛⎭⎫4，π2化为直角坐标，得P(0,4)．因为点P 的直角坐标(0,4)满足直线l 的方程x －y ＋4＝0，所以点P 在直线l 上． (2)因为点Q 在曲线C 上，故可设点Q 的坐标为(3cos α，sin α)，从而点Q 到直线l 的距离是 d ＝|3cos α－sin α＋4|2＝2cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＋42＝2cos⎝⎛⎭⎫α＋π6＋22，由此得，当cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝－1时，d 取得最小值，且最小值为 2.创新模拟·预测演练1．B 2．y ＝3x ＋3－23 3．23 4．12 5．解：无公共点．理由如下： 直线l 的普通方程为x ＋2y －3＝0.把曲线C 的参数方程代入l 的方程x ＋2y －3＝0， 得2cos θ＋2sin θ－3＝0，即2sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝32.因为2sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4∈[－2，2]，而32∉[－2，2]． 所以方程2sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝32无解．即曲线C 与直线l 没有公共点．6．解：直线l 的普通方程为y ＝x －2； 曲线C 的普通方程为x24＋y23＝1. ∵F1(－1,0)，F2(1,0)， ∴点F1到直线l 的距离 d1＝|－1－0－2|2＝322，点F2到直线l 的距离 d2＝|1－0－2|2＝22，∴d1＋d2＝2 2.7．解：(1)将y ＝sin θ代入(x －1)2＋y2＝1中，得x ＝cos θ＋1.因此圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ＋1，y ＝sin θ(θ为参数)．(2)将直线⎩⎨⎧x ＝t ，y ＝－23＋3t化为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12t ′，y ＝－23＋32t ′，代入x2＋y2－2x ＝0中，得t ′2－7t ′＋12＝0，解得t1′＝3，t2′＝4.|AB|＝|t1′－t2′|＝1.。