湖北省武汉市武昌实验中学高三数学临门一脚试卷 理(含

2016年湖北省武汉市武昌实验中学高考数学临门一脚试卷（理科）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．i是虚数单位，复数=（）

A．1+2i B．2+4i C．﹣1﹣2i D．2﹣i

2．若，α是第三象限的角，则=（）

A．B．C．D．

3．下列说法中，不正确的是（）

A．已知a，b，m∈R，命题“若am2＜bm2，则a＜b”为真命题

B．命题“∃x0∈R，x02﹣x0＞0”的否定是：“∀x∈R，x2﹣x≤0”

C．命题“p或q”为真命题，则命题p和q命题均为真命题

D．“x＞3”是“x＞2”的充分不必要条件

4．设区域Ω={（x，y）|0≤x≤2，0≤y≤2}，区域A={（x，y）|xy≤1，（x，y）∈Ω}，在区域Ω中随机取一个点，则该点在A中的概率（）

A．B．C．D．

5．如果执行下面的程序框图，输出的S=110，则判断框处为（）

A．k＜10？B．k≥11？C．k≤10？D．k＞11？

6．曲线y=xe x﹣1在点（1，1）处切线的斜率等于（）

A．2e B．e C．2 D．1

7．若向量满足：，，，则=（）

A．2 B．C．1 D．

8．设变量x，y满足约束条件则目标函数z=3x﹣y的最大值为（）

A．﹣4 B．0 C．D．4

9．函数f（x）=2cos（ωx+）（ω＞0）的图象与x轴交点的横坐标构成一个公差为的等差数列，要得到函数g（x）=2sinωx的图象，只需将函数f（x）的图象（）A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度

C．向右平移个单位长度D．向左平移个单位长度

10．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某个四面体的三视图，则该四面体的表面积为（）

A．8+8+4B．8+8+2C．2+2+D． ++

11．如图，F1，F2分别是双曲线C：（a，b＞0）的在左、右焦点，B是虚轴的

端点，直线F1B与C的两条渐近线分别交于P，Q两点，线段PQ的垂直平分线与x轴交于点M．若|MF2|=|F1F2|，则C的离心率是（）

A．B．C．D．

12．若函数f（x）=|a x+x2﹣x•lna﹣m|﹣2，（a＞0且a≠1）有两个零点，则m的取值范围（）

A．（﹣1，3）B．（﹣3，1）C．（3，+∞）D．（﹣∞，﹣1）

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．

13．的展开式中x2y2的系数为．（用数字作答）

14．若直线l1：y=x+a和直线l2：y=x+b将圆（x﹣1）2+（y﹣2）2=8分成长度相等的四段弧，则a2+b2= ．

15．数列{a n}中，a1=1，S n为数列{a n}的前n项和，且对∀n≥2，都有=1．则{a n}

的通项公式a n= ．

16．已知函数f（x）是R上的奇函数，当x＞0时，f（x）=（|x+tanα|+|x+tanα|+

tanα）（α为常数，且﹣＜α＜），若∀x∈R，都有f（x﹣3）≤f（x）恒成立，则实数α的取值范围是．

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．如图，在凸四边形ABCD中，C，D为定点，CD=，A，B为动点，满足AB=BC=DA=1．（Ⅰ）写出cosC与cosA的关系式；

（Ⅱ）设△BCD和△ABD的面积分别为S和T，求S2+T2的最大值．

18．某超市从2014年甲、乙两种酸奶的日销售量（单位：箱）的数据中分别随机抽取100个，并按[0，10]，（10，20]，（20，30]，（30，40]，（40，50]分组，得到频率分布直方图如图：

假设甲、乙两种酸奶独立销售且日销售量相互独立．

（Ⅰ）写出频率分布直方图（甲）中的a的值；记甲种酸奶与乙种酸奶日销售量（单位：箱）的方差分别为，，试比较与的大小；（只需写出结论）

（Ⅱ）估计在未来的某一天里，甲、乙两种酸奶的销售量恰有一个高于20箱且另一个不高于20箱的概率；

（Ⅲ）设X表示在未来3天内甲种酸奶的日销售量不高于20箱的天数，以日销售量落入各组的频率作为概率，求X的数学期望．

19．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点A1在平面ABC内的射影D在AC上，∠ACB=90°，BC=1，AC=CC1=2．

（Ⅰ）证明：AC1⊥A1B；

（Ⅱ）设直线AA1与平面BCC1B1的距离为，求二面角A1﹣AB﹣C的大小．

20．如图，已知动圆M过定点F（1，0）且与y轴相切，点F关于圆心M的对称点为F′，点F′的轨迹为H．

（1）求曲线H的方程；

（2）一条直线AB经过点F，且交曲线H于A、B两点，点C为直线x=1上的动点．

①求证：∠ACB不可能是钝角；

②是否存在这样的点C，使得△ABC是正三角形？若存在，求点C的坐标；否则，说明理由．

21．若函数y=f（x）在x=x0处取得极大值或极小值，则称x0为函数y=f（x）的极值点．已知a，b是实数，1和﹣1是函数f（x）=x3+ax2+bx的两个极值点．

（1）求a和b的值；

（2）设函数g（x）的导函数g′（x）=f（x）+2，求g（x）的极值点；

（3）设h（x）=f（f（x））﹣c，其中c∈[﹣2，2]，求函数y=h（x）的零点个数．

[选修4-1：几何证明选讲]

22．如图，△ABC内接于直径为BC的圆O，过点A作圆O的切线交CB的延长线于点P，∠BAC 的平分线分别交BC和圆O于点D、E，若PA=2PB=10．

（1）求证：AC=2AB；

（2）求AD•DE的值．

[选修4-1：坐标系与参数方程]

23．选修4﹣4：坐标系与参数方程．

极坐标系与直角坐标系xoy有相同的长度单位，以原点为极点，以x轴正半轴为极轴，已知曲线C1的极坐标方程为ρ=4cosθ，曲线C2的参数方程为（t为参数，0≤α＜π），射线θ=φ，θ=φ+，θ=φ﹣与曲线C1交于（不包括极点O）三点A、B、C．（I）求证：|OB|+|OC|=|OA|；

（Ⅱ）当φ=时，B，C两点在曲线C2上，求m与α的值．

[选修4-5：不等式选讲]

24．已知函数f（x）=|x﹣m|﹣2|x﹣1|（m∈R）

（1）当m=3时，求函数f（x）的最大值；

（2）解关于x的不等式f（x）≥0．