2014届嘉定区高三数学一模试卷(理科含答案)

上海市嘉定区2013—2014学年高三年级第一次质量调研数学试卷（理科）一. 填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分． 1．函数)2(log 2-=x y 的定义域是_____________．2．已知i 是虚数单位，复数z 满足1)31(=+⋅i z ，则=||z _______． 3．已知函数)(x f y =存在反函数)(1x f y -=，若函数)1(-=x f y 的图像经过点)1,3(，则)1(1-f的值是___________．4．已知数列}{n a 的前n 项和2n S n =（*N ∈n ），则8a 的值是__________．5．已知圆锥的母线长为5cm ，侧面积为π202cm ，则此圆锥的体积为________3cm ．6．已知θ为第二象限角，54sin =θ，则=⎪⎭⎫ ⎝⎛+4tan πθ____________．7．已知双曲线12222=-by a x （0>a ，0>b ）满足021=b a ，且双曲线的右焦点与抛物线x y 342=的焦点重合，则该双曲线的方程为______________．8．分别从集合}4,3,2,1{=A 和集合}8,7,6,5{=B 中各取一个数，则这两数之积为偶 数的概率是_________．9．在平面直角坐标系中，△ABC 的顶点坐标分别为)2,1(A ，)3,7(-B ，点C 在直线4=y 上运动，O 为坐标原点，G 为△ABC 的重心，则⋅的最小值为__________．10．若nn r r ⎪⎭⎫⎝⎛+∞→12lim 存在，则实数r 的取值范围是_____________．11．在平面直角坐标系中，动点P 到两条直线03=-y x 与03=+y x 的距离之和等于4，则P 到原点距离的最小值为_________．12．设集合}1)4(),{(22=+-=y x y x A ，}1)2()(),{(22=+-+-=at y t x y x B ，若存在实数t ，使得∅≠B A ，则实数a 的取值范围是___________．13．已知函数⎪⎩⎪⎨⎧<++-≥++=0,,0,12)(22x c bx x x x ax x f 是偶函数，直线t y =与函数)(x f 的图像自左 至右依次交于四个不同点A 、B 、C 、D ，若||||BC AB =，则实数t 的值为________． 14．某种平面分形图如下图所示，一级分形图是一个边长为1的等边三角形（图（1））；二级分形图是将一级分形图的每条线段三等分，并以中间的那一条线段为一底边向形外作等边三角形，然后去掉底边（图（2））；将二级分形图的每条线段三等边，重复上述的 作图方法，得到三级分形图（图（3））；…；重复上述作图方法，依次得到四级、五级、…、n 级分形图．则n 级分形图的周长为__________．二. 选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，每题选对得5分，否则一律得零分．15．设向量)1,1(-=x a ，)1,3(+=x b ，则“a ∥b”是“2=x ”的………………（ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充分必要条件D ．既非充分又非必要条件16．若nx x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+22展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是（ ）A ．180B ．120C ．90D ．4517．将函数x y 2sin =（R ∈x ）的图像分别向左平移m （0>m ）个单位，向右平移n（0>n ）个单位，所得到的两个图像都与函数⎪⎭⎫⎝⎛+=62sin πx y 的图像重合，则n m + 的最小值为……………………………………………………………………………（ ） A ．32π B ．65π C ．π D ．34π18．设函数)(x f 的定义域为D ，若存在闭区间D b a ⊆],[，使得函数)(x f 满足：①)(x f在],[b a 上是单调函数；②)(x f 在],[b a 上的值域是]2,2[b a ，则称区间],[b a 是函 数)(x f 的“和谐区间”．下列结论错误的是………………………………………（ ） A ．函数2)(x x f =（0≥x ）存在“和谐区间” B ．函数x e x f =)(（R ∈x ）不存在“和谐区间”C ．函数14)(2+=x xx f (0≥x ）存在“和谐区间” D ．函数⎪⎭⎫⎝⎛-=81log )(x a a x f （0>a ，1≠a ）不存在“和谐区间”三. 解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤． 19．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分．如图，正三棱锥BCD A -的底面边长为2，侧棱长为3，E 为棱BC 的中点． （1）求异面直线AE 与CD 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）； （2）求该三棱锥的体积V ．图（1） 图（2） 图（3）……20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分6分．已知函数3cos 32cos sin 2)(2-+=x x x x f ，R ∈x ． （1）求函数)(x f 的最小正周期和单调递增区间； （2）在锐角三角形ABC 中，若1)(=A f ，2=⋅，求△ABC 的面积．21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，长轴长为4，且点⎪⎪⎭⎫⎝⎛23,1在椭圆C 上． （1）求椭圆C 的方程；（2）设P 是椭圆C 长轴上的一个动点，过P 作方向向量)1,2(=d的直线l 交椭圆C于A 、B 两点，求证：22||||PB PA +为定值．22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．已知函数2)(++=xmx x f （m 为实常数）． （1）若函数)(x f y =图像上动点P 到定点)2,0(Q 的距离的最小值为2，求实数m 的值；B AE D（2）若函数)(x f y =在区间),2[∞+上是增函数，试用函数单调性的定义求实数m 的取值范围；（3）设0<m ，若不等式kx x f ≤)(在⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈1,21x 有解，求k 的取值范围．23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．数列}{n a 的首项为a （0≠a ），前n 项和为n S ，且a S t S n n +⋅=+1（0≠t ）．设1+=n n S b ，n n b b b k c ++++= 21（+∈R k ）．（1）求数列}{n a 的通项公式；（2）当1=t 时，若对任意*N ∈n ，||||3b b n ≥恒成立，求a 的取值范围；（3）当1≠t 时，试求三个正数a ，t ，k 的一组值，使得}{n c 为等比数列，且a ，t ，k 成等差数列．上海市嘉定区2013—2014学年高三年级第一次质量调研（理科）参考答案与评分标准一．填空题（每小题4分，满分56分）1．),2(∞+ 2．21 3．2 4．15 5．π16 6．71- 7．1222=-y x 8．43 9．910．⎪⎭⎫ ⎝⎛∞+---∞,31]1,( 11．22 12．⎥⎦⎤⎢⎣⎡34,0 13．47 14．1343-⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅n二．选择题（每小题5分，满分20分）15．B 16．A 17．C 18．D三．解答题 19．（本题满分12分，第1小题满分6分，第2小题满分6分）（1）取BD 中点F ，连结AF 、EF ，因为EF ∥CD ，所以AEF ∠就是异面直线AE 与CD 所成的角（或其补角）． ……………………………………………………（2分） 在△AEF 中，22==AF AE ，1=EF ， ………………………………（1分）所以822221cos ==∠AEF ． ………………………………………………（2分）所以，异面直线AE 与CD 所成的角的大小为82arccos ． …………………（1分）（2）作⊥AO 平面BCD ，则O 是正△BCD 的中心， ………………………（1分）连结OE ，33=OE ， ……………………………………………………………（1分）所以32322=-=EO AE AO ， ……………………………………………（1分）所以，3233234433131=⨯⨯⨯=⋅=Sh V ． ………………………………（2分）20．（本题满分14分，第1小题满分8分，第2小题满分6分）（1）⎪⎭⎫⎝⎛+=+=-+=32sin 22cos 32sin )1cos 2(3cos sin 2)(2πx x x x x x x x f ， ………………………………………………（2分） 所以，函数)(x f 的最小正周期为π． ………………………………………………（1分） 由223222πππππ+≤+≤-k x k （Z ∈k ）， ………………………………………（2分）得12125ππππ+≤≤-k x k （Z ∈k ）， …………………………………………（2分） 所以，函数)(x f 的单调递增区间是⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-12,125ππππk k （Z ∈k ）． ……………（1分） （2）由已知，132sin 2)(=⎪⎭⎫⎝⎛+=πA A f ，所以2132sin =⎪⎭⎫ ⎝⎛+πA ， ……………（1分）因为20π<<A ，所以34323πππ<+<A ，所以6532ππ=+A ，从而4π=A ． …（2分）又2cos ||||=⋅⋅=⋅A ，，所以，2||||=⋅， ………………（1分）所以，△ABC 的面积2222221sin ||||21=⨯⨯=⋅⋅⋅=A S ． …………（2分）21．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分） （1） 因为C 的焦点在x 轴上且长轴为4，故可设椭圆C 的方程为14222=+by x （0>>b a ）， ……………………………（1分） 因为点⎪⎪⎭⎫⎝⎛23,1在椭圆C 上，所以143412=+b ， …………………………（2分） 解得12=b ， …………（1分）所以，椭圆C 的方程为1422=+y x ． …………………………………（2分）（2）设)0,(m P （22≤≤-m ），由已知，直线l 的方程是2mx y -=， ……（1分）由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=,14,)(2122y x m x y ⇒ 042222=-+-m mx x （*） ………………………（2分） 设),(11y x A ，),(22y x B ，则1x 、2x 是方程（*）的两个根，所以有，,22m x x =+24221-=m x x ， ……………………………………（1分）所以，2222212122)()(||||y m x y m x PB PA +-++-=+])()[(45)(41)()(41)(222122222121m x m x m x m x m x m x -+-=-+-+-+-=]22)(2)[(45]2)(2[45221212212212221m x x x x m x x m x x m x x +-+-+=++-+= 5]2)4(2[452222=+---=m m m m （定值）． ………………………………（3分） 所以，22||||PB PA +为定值． ……………………………………………………（1分）（写到倒数第2行，最后1分可不扣） 22．（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分） （1）设),(y x P ，则2++=xmx y ， 22222)2(||⎪⎭⎫ ⎝⎛++=-+=x m x x y x PQ …………………………………………（1分）22||2222222=+≥++=m m m xm x ， ……………………………………（1分）当0>m 时，解得12-=m ；当0<m 时，解得12--=m ． …………（1分）所以，12-=m 或12--=m ． …………………………………………（1分）（只得到一个解，本小题得3分）（2）由题意，任取1x 、),2[2∞+∈x ，且21x x <， 则⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++-++=-22)()(112212x mx x m x x f x f 212112)(x x m x x x x -⋅-=0>，……（2分） 因为012>-x x ，021>x x ，所以021>-m x x ，即21x x m <， ………………（2分） 由212≥>x x ，得421>x x ，所以4≤m ．所以，m 的取值范围是]4,(-∞． ………………………………………………（2分） （3）由kx x f ≤)(，得kx x mx ≤++2， 因为⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈1,21x ，所以122++≥x x mk ， …………………………………………（2分）令xt 1=，则]2,1[∈t ，所以122++≥t mt k ，令12)(2++=t mt t g ，]21[，∈t ， 于是，要使原不等式在⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈1,21x 有解，当且仅当m in )(t g k ≥（]21[，∈t ）．……（1分） 因为0<m ，所以m m t m t g 111)(2-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=图像开口向下，对称轴为直线01>-=m t ，因为]2,1[∈t ，故当2310≤-<m ，即32-≤m 时，54)2()(m in +==m g t g ；…（4分）当231>-m ，即032<<-m 时，3)1()(m in +==m g t g ． ……………………（5分） 综上，当32-≤m 时，),54[∞++∈m k ；当032<<-m 时，),3[∞++∈m k ． …………………………………（6分）23．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分） （1）因为a S t S n n +⋅=+1 ① 当2≥n 时，a S t S n n +⋅=-1 ②，①—②得，n n a t a ⋅=+1（2≥n ）， ………………………………………………（2分） 又由a S t S +⋅=12，得12a t a ⋅=， ………………………………………………（1分） 所以，}{n a 是首项为a ，公比为t 的等比数列，所以1-⋅=n n ta a （*N ∈n ）．……（1分）（2）当1=t 时，a a n =，na S n =，1+=na b n ， ……………………………（1分） 由||||3b b n ≥，得|13||1|+≥+a na ，0]2)3[()3(≥++-a n a n （*） …………（1分） 当0>a 时，3<n 时，（*）不成立； 当0<a 时，（*）等价于0]2)3)[(3(≤++-a n n （**） 3=n 时，（**）成立． 4≥n 时，有02)3(≤++a n ，即32+-≤n a 恒成立，所以72-≤a ．1=n 时，有024≥+a ，21-≥a ．2=n 时，有025≥+a ，52-≥a ． ………（3分）综上，a 的取值范围是⎥⎦⎤⎢⎣⎡--72,52． ………………………………………………（1分）（3）当1≠t 时，t t a S n n --=1)1(，t at t a t t a b nn n ---+=+--=11111)1(， ………（1分） 2)1()1(1t t at t an n k c n n ----++=2221)1()1(11)1(t att k n t t a t at n ---+⋅--++-=+， ………（2分） 所以，当⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=---=--+0)1()1(,01122t at t k t ta 时，数列}{n c 是等比数列，所以⎪⎩⎪⎨⎧-=-=,1,1t t k t a ………（2分） 又因为a ，t ，k 成等差数列，所以k a t +=2，即112-+-=t tt t ， 解得215+=t ． …………………………………………………………………（1分） 从而，215-=a ，235+=k ． ………………………………………………（1分） 所以，当215-=a ，215+=t ，235+=k 时，数列}{n c 为等比数列．……（1分）。