2013届四川省邛崃一中高三10月月考数学(文)试题

邛崃市2013届高三月考（十月）数学（文科）试题卷 时间 120分钟 总分 150分一、选择题（每小题5分，共60分）1．设集合A ={1，2，3，4}，B ={3，4，5}，U=A ∪B ，则∁U (A ∩B )的元素个数为A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2. 复数z 满足z =2－i1－i，则复数z 对应的点在 A ．第一象限 B ．第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限3. 已知sin 2α = − 2425，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫− π4，0，则sin α＋cos α =A. －15B. 15C. －75D. 75 4. 设f (x )是定义在R 上的周期为3的周期函数，如图表示该函数在区间(－2,1)上的图象，则f (2 011)＋f (2 012) = A ．3 B ．2C ．1D ．05．已知p ：x 2－x < 0，那么命题p 的一个必要不充分条件是A ．0 < x < 1B ．－1< x < 1 C. 12 < x < 23D. 12 < x < 26. 如图，是一个程序框图，运行这个程序，则输出的结果为A. 1321B. 2113C. 813 D. 1387.若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示，则其侧面积等于A. 3 B ．2C ．2 3D ．68. 已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S 9＝－36，S 13＝－104，等比数列{b n }中，b 5＝a 5，b 7＝a 7，则b 6的值为 A ．±4 2 B ．－4 2 C ．4 2D ．无法确定9.设a =log 32，b =ln2，c = 521-，则A ． a b c <<B ．b c a <<C ． c a b <<D ．c b a << 10. 在区间 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤− π2，π2上随机取一个数x ，cos x 的值介于0到 12 之间的概率为A. 23B. 12C. 2πD. 13 11. 设函数f (x )在R 上可导,其导函数为f /(x )，且函数y = (1 − x ) f /(x )的图像如图所示，则下列结论中一定成立的是 A ．函数f (x )有极大值f (2)和极小值f (1) B ．函数f (x )有极大值f (−2)和极小值f (1) C ．函数f (x )有极大值f (2)和极小值f (−2) D ．函数f (x )有极大值f (−2)和极小值f (2)12. 对实数a 和b ，定义运算“⊕”：a ⊕b ＝⎩⎨⎧a ，a －b ≤1，b ，a －b >1.设函数f (x )＝(x 2－2)⊕(x －x 2)，x ∈R ，若函数y ＝f (x )－c 的图象与x 轴恰有两个公共点，则实数c 的取值范围是A ．(−∞，−2)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫−1，32B ．(−∞，−2)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫−1，− 34 C. ⎝ ⎛⎭⎪⎫−1，14∪⎝ ⎛⎭⎪⎫14，+∞ D. ⎝ ⎛⎭⎪⎫−1，− 34∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，+∞二、填空题（每小题4分，共16分）13．某高校甲、乙、丙、丁四个专业分别有150、150、400、300名学生，为了解学生的就业倾向，用分层抽样的方法从该校这四个专业共抽取40名学生进行调查，应在丙专业抽取的学生人数为 ．14.设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －5≤0x －y －2≤0x ≥0，则目标函数z ＝2x ＋3y 的最大值为_____. 15. 已知函数f (x ) = ||lg x ，若a < b ，且f (a ) = f (b )，则a + b 的取值范围是_______． 16．观察下表：12 3 43 4 5 6 74 5 6 7 8 9 10 ……则第_______行的各数之和等于22009三、解答题(共六个小题，共74分) 17．（本题满分12分）函数f (x ) = A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx − π6 + 1 (A > 0，ω > 0) 的最大值为3, 其图像相邻两条对称轴之间的距离为 π2．（Ⅰ）求函数f (x ) 的解析式；（Ⅱ）设α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2 ，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2 = 2，求α的值.18. （本题满分12分）如图，三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，侧棱垂直底面，∠ACB = 90o ，AC = BC = 12AA 1，D 是棱AA 1的中点． （Ⅰ）证明：DC 1⊥平面DCB ；（Ⅱ）平面BDC 1分此棱柱为上、下两部分，求上、下两部分的体积比．19．（本题满分12分）某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息,安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据,如下表所示.A 1B 1C 1A BCD已知这100位顾客中的一次购物量超过8件的顾客占55%； (Ⅰ)确定x ，y 的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值；(Ⅱ)求一位顾客一次购物的结算时间不超过．．．2分钟的概率.(将频率视为概率)20.（本题满分12分）已知 f (x ) = ||ax + 1 (a ∈R)，不等式 f (x )≤3 的解集为{x | −2≤x ≤1}. (Ⅰ)求 a 的值；(Ⅱ)若 f (x ) − 2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2 ≤ k 恒成立，求 k 的取值范围．21. （本题满分12分）已知等比数列{a n }的各项均为正数，且 2a 1 + 3a 2 = 1，a 32= 9a 2a 6． （Ⅰ）若数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）设 b n = log 3a 1 + log 3a 2 + … + log 3a n ，求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n 的前 n 项和．22.（本题满分14分）已知函数 f (x ) = px − p x − 2ln x ，g (x ) = 2ex ，（Ⅰ）若 p = 2，求曲线 f (x ) 在点 (1，f (1)) 处的切线方程；（Ⅱ）若函数 f (x ) 在其定义域内为增函数，求正实数 p 的取值范围； （Ⅲ）若p 2 − p ≥0，且至少存在一点 x 0∈[1，e ]，使得 f (x 0) > g (x 0) 成立，求实数 p 的取值范围.邛崃市2013届高三月考（十月）数学（文科）参考答案一、1.C ； 2. A ； 3. B ； 4. A ；5. B ；6. D ；7. D ；8. A ；9.C ；10. D ；11.D ；12. B 二、填空题13： 16； 14： 9； 15：（2，+∞）； 16：1005 三、解答题17．解析:（Ⅰ）∵函数f (x )的最大值为3，A > 0 ∴A + 1 = 3，即A = 2∵函数图像的相邻两条对称轴之间的距离为 π2，∴最小正周期为T = π ∴2πω = π，ω = 2．∴f (x ) = 2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x − π6 + 1 （Ⅱ）∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2 = 2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α − π6 + 1 = 2 即 sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α − π6 = 12∵ α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2 ，∴ − π6 < α − π6 < π3∴ α − π6 = π6 ，故α = π3．18. 解析:（Ⅰ）证明：由题设知，BC ⊥CC 1，BC ⊥AC ，CC 1∩AC = C ．∴BC ⊥平面ACC 1A 1．又DC 1⊂平面ACC 1A 1， ∴ DC 1⊥BC由题设知，∠A 1DC 1 =∠ADC = 45o ∴∠CDC 1 = 90o ∴ DC 1⊥DC又 DC ∩BC = C ， ∴DC 1⊥平面DCB ．（Ⅱ）设棱锥B −DACC 1 的体积为V 1，AC = 1．由题意得A 1B 1C 1BCDV 1 = 13×1 + 22×1×1 = 12 ．又三棱柱ABC −A 1B 1C 1的体积V = 12×1×1×2 = 1，故(V − V 1)∶V 1 = 1∶1 故平面BDC 1分此棱柱为上、下两部分，体积比为1∶1．19．解析：(Ⅰ)由已知得y + 20 + 10 = 55，x + y = 55，解得x = 30，y = 25收集的100位顾客一次购物的结算时间视为容量为100的样本，顾客一次购物的结算时间的样本平均值为：1×15 + 1.5×30 + 2×25 + 2.5×20 + 3×10100=1.9(分钟)．(Ⅱ)记A 为事件“一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟”，A 1、A 2、A 3分别表示事件“该顾客一次购物的结算时间为1分钟”，“该顾客一次购物的结算时间为1.5分钟”， “该顾客一次购物的结算时间为2分钟”．得P(A 1) = 15100 = 320 ，P(A 2) = 30100 = 310，P(A 3) = 25100 = 14.∵A = A 1∪A 2∪A 3，且A 1、A 2、A 3是互斥事件∴P(A ) = P(A 1∪A 2∪A 3) = P(A 1) + P(A 2) + P(A 3) = 710 .故一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率约为710. 20. 解析：（Ⅰ）由||ax + 1≤ 3得 −4≤ax ≤2．又f (x )≤3 的解集为{x | −2≤x ≤1}， 当a ≤0时，不合题意．当a > 0时，− 4a ≤x ≤2a 得a = 2．…………………………………………5分(Ⅱ)记h (x )= f (x ) −2f⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，则 h (x ) =⎩⎨⎧1， x ≤−1−4x − 3，−1<x < − 12−1， x ≥ − 12所以 h (x )≤1，因此 k ≥1．21. 解析：（Ⅰ）设数列{a n }的公比为q ，由 a 32 = 9a 2a 6 得a 33 = 9a 42所以q 2 = 19． 由条件可知 q > 0，故q = 13．由2a 1 + 3a 2 = 1得2a 1 + 3a 1q = 1，所以 a 1 = 13．故数列{a n }的通项式为a n = 13n ．（Ⅱ ）b n =log 3a 1 + log 3a 2 + …+ log 3a n =−(1 + 2 +… +n ) = −n (n +1)2故1b n= − 2n (n + 1) = −2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n − 1n + 11b 1 + 1b 2 + … + 1b n = −2⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1 − 12 + ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 − 13 + ⎝ ⎛⎭⎪⎫13 − 14 + … + ⎝ ⎛⎭⎪⎫1n − 1n + 1 = −2nn + 1所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n 的前n 项和为− 2n(n + 1)．22. 解析：（Ⅰ）当2p =时，函数2222()22ln ,(1)222ln10.()2,f x x x f f x xx x'=--=--==+- (2)分曲线()f x 在点(1,(1))f 处的切线的斜率为(1)222 2.f '=+-=从而曲线()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程为02(1),y x -=-即2 2.y x =-…………………………4分（Ⅱ ）22222().p px x pf x p x x x-+'=+-=令2()2,h x px x p =-+ 要使()f x 在定义域(0,)+∞内是增函数，只需()0h x ≥………………………6分 即222()20,1xh x px x p p x =-+≥⇔≥+故正实数p 的取值范围是[1,).+∞………8分 （Ⅲ ）2()eg x x=在[1,]e 上是减函数，x e ∴=时，min ()2;1g x x ==时，max ()2,g x e =即()[2,2],g x e ∈………………………………………………………10分 ①当0p <时，2()2,h x px x p =-+其图象为开口向下的抛物线，对称轴1x p=在y 轴的左侧，且(0)0h <，所以()f x 在[1,]x e ∈内是减函数.当0p =时，()2h x x =-，因为[1,],x e ∈所以2()0,()0,h x f x x'<=-<此时，()f x 在[1,]x e ∈内是减函数.故当0p ≤时，()f x 在[1,]e 上单调递减max ()(1)02,f x f ⇒==<不合题意；…12分②当1p ≥时，由（2）知()f x 在[1,]e 上是增函数，(1)02,f =<又()g x 在[1,]e 上是减数，故只需max min ()(),[1,],f x g x x e >∈而max min 1()()2ln ,()2,f x f e p e eg x e ⎛⎫==--= ⎪⎝⎭即12ln 2,p e e e ⎛⎫--> ⎪⎝⎭解得24,1e p e >-所以实数p 的取值范围是24,1e e ⎛⎫+∞ ⎪-⎝⎭.……14分。