人教高中数学必修二2.3直线、平面垂直的判定与性质 -三垂线定理 课件
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高中数学必修2第二章点、直线、平面之间的位置关系课件2.3.1直线与平面垂直的判定
则该直线与此平面垂直．
la l b a b a b A
品质来自专业 信赖源于诚信
判定定理:一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，
l
l
b
A
a
作用： 判定直线与平面垂直． 思想： 直线与平面垂直 直线与直线垂直
5
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典型例题
如果直线 l 与平面 内的任意一条直线都垂直，我 记作 l ． 们说直线 l 与平面 互相垂直，
平面 的垂线
垂足
l
P
直线 l 的垂面
3
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直线与平面垂直
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Байду номын сангаас
除定义外，如何判断一条直线与平面垂直呢？
l
P
4
直线与平面垂直判定定理 金太阳教育网
16
n
又因为 b // a 所以 b m, b n. 又 m , n , m, n 是两条相交直线， 所以 b .
6
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随堂练习
品质来自专业 信赖源于诚信
如图，直四棱柱 ABCD ABCD （侧棱与底面垂直的 ABCD 棱柱成为直棱柱）中，底面四边形 满足什么条件 AC BD 时， ？
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2.3.1直线与平面垂直的判定
1
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实例引入
品质来自专业 信赖源于诚信
生活中有很多直线与平面垂直的实例，你能举出几 个吗？
旗杆与底面垂直
2
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直线与平面垂直
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la l b a b a b A
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判定定理:一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，
l
l
b
A
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作用： 判定直线与平面垂直． 思想： 直线与平面垂直 直线与直线垂直
5
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典型例题
如果直线 l 与平面 内的任意一条直线都垂直，我 记作 l ． 们说直线 l 与平面 互相垂直，
平面 的垂线
垂足
l
P
直线 l 的垂面
3
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直线与平面垂直
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除定义外，如何判断一条直线与平面垂直呢？
l
P
4
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16
n
又因为 b // a 所以 b m, b n. 又 m , n , m, n 是两条相交直线， 所以 b .
6
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随堂练习
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如图，直四棱柱 ABCD ABCD （侧棱与底面垂直的 ABCD 棱柱成为直棱柱）中，底面四边形 满足什么条件 AC BD 时， ？
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2.3.1直线与平面垂直的判定
1
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生活中有很多直线与平面垂直的实例，你能举出几 个吗？
旗杆与底面垂直
2
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直线与平面垂直
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人教版高中数学必修2(A版) 2.3.2平面与平面垂直的判定 PPT课件
类似地，下面的这个二面角应该如何表示？
Q l
B P
二面角的表示
(1)二面角－AB－ (2)二面角P AB Q (3)二面角 l (4)二面角P l Q
A
三.新知的探索 思考4：我们常说“把门开得大一些”，是指哪个角
大一些？
三.新知的探索
在上述变化过程中，图形在变化，形成的二面角也在变化， 我们应该怎样刻画二面角的大小？
2.3.2平面与平面垂直的判定
一.复习与回顾
1.1如何作出两条异面直线的夹角？ 1.2如何作出斜线与平面的夹角？ “空间问题平面化” 1.3在研究上述两个问题时，我们采用了相同的方法，即将 空间角的问题转化为平面角进行处理.
P
a
a
O
a
b/
A
B
b
二.新知的引入
三.新知的探索
我们知道直线上的一点将直线分割成两部分， 每一部分分别叫射线. 那么平面上的一条直线将整个平面一分为二， 每一部分应该叫做什么呢？
（2）角的两边分别在两个面内
（3）角的两边都要垂直于二面角的棱
三.新知的探索 观察：
1.教室相邻的两个墙面分别与地面所成的二面角是多少度？ 相邻的两个墙面所成的二面角又是多少度？
2.教室相邻的两个墙面分别与地面有什么样的位置关系？ 相邻的两个墙面又有什么位置关系呢？
三.新知的探索 3.4定义：
线线垂直
线面垂直
面面垂直
3.转化与化归思想：空间问题平面化处理 习题2.3 必做题A组 第1题、第2题 选做题B组 第1题
P
PA BC PA AC A
BC AC
高中数学2.3.3直线与平面垂直的性质2.3.4平面与平面垂直的性质课件新人教A版必修2
(2)证明:①因为ABCD-A1B1C1D1为正方体, 所以AD1⊥A1D. 又因为CD⊥平面ADD1A1,AD1⊂平面ADD1A1, 所以CD⊥AD1.因为A1D∩CD=D, 所以AD1⊥平面A1DC. 又因为MN⊥平面A1DC, 所以MN∥AD1.
②M是AB的中点.
证明:②设 AD1∩A1D=O,连接 ON,在△A1DC 中, A1O=OD,A1N= NC.
(2)若平面AEF交SD于点G.求证:AG⊥SD.
证明:(2)因为SA⊥平面AC,所以SA⊥DC, 又AD⊥DC,SA∩AD=A, 所以DC⊥平面SAD. 所以DC⊥AG. 又由(1)有SC⊥平面AEF,AG⊂平面AEF, 所以SC⊥AG, 又DC∩SC=C, 所以AG⊥平面SDC,所以AG⊥SD.
规范解答:(1)如图所示,连接BD. 因为四边形ABCD是菱形, 且∠DAB=60°,所以△ABD是正三角形,…………………2分 因为G是AD的中点,所以BG⊥AD.…………………………3分 又因为平面PAD⊥平面ABCD, 平面PAD∩平面ABCD=AD.所以BG⊥平面PAD.……………6分
(2)求证:AD⊥PB.
4.如图所示,在三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BAC=90°,BC1⊥AC,则C1在平面ABC上
的射影H必在直线
上.
答案:AB
5.设α ,β 是空间两个不同的平面,m,n是平面α 及β 外的两条不同直线.从
“①m⊥n;②α ⊥β ;③n⊥β ;④m⊥α ”中选取三个作为条件,余下一个作
为结论,写出你认为正确的一个命题:
规范解答:(2)连接PG. 因为△PAD为正三角形,G为AD的中点, 所以PG⊥AD.…………………………………7分 由(1)知BG⊥AD, 而PG∩BG=G, PG⊂平面PBG, BG⊂平面PBG. 所以AD⊥平面PBG.…………………………10分 又因为PB⊂平面PBG, 所以AD⊥PB.……………………………………12分
②M是AB的中点.
证明:②设 AD1∩A1D=O,连接 ON,在△A1DC 中, A1O=OD,A1N= NC.
(2)若平面AEF交SD于点G.求证:AG⊥SD.
证明:(2)因为SA⊥平面AC,所以SA⊥DC, 又AD⊥DC,SA∩AD=A, 所以DC⊥平面SAD. 所以DC⊥AG. 又由(1)有SC⊥平面AEF,AG⊂平面AEF, 所以SC⊥AG, 又DC∩SC=C, 所以AG⊥平面SDC,所以AG⊥SD.
规范解答:(1)如图所示,连接BD. 因为四边形ABCD是菱形, 且∠DAB=60°,所以△ABD是正三角形,…………………2分 因为G是AD的中点,所以BG⊥AD.…………………………3分 又因为平面PAD⊥平面ABCD, 平面PAD∩平面ABCD=AD.所以BG⊥平面PAD.……………6分
(2)求证:AD⊥PB.
4.如图所示,在三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BAC=90°,BC1⊥AC,则C1在平面ABC上
的射影H必在直线
上.
答案:AB
5.设α ,β 是空间两个不同的平面,m,n是平面α 及β 外的两条不同直线.从
“①m⊥n;②α ⊥β ;③n⊥β ;④m⊥α ”中选取三个作为条件,余下一个作
为结论,写出你认为正确的一个命题:
规范解答:(2)连接PG. 因为△PAD为正三角形,G为AD的中点, 所以PG⊥AD.…………………………………7分 由(1)知BG⊥AD, 而PG∩BG=G, PG⊂平面PBG, BG⊂平面PBG. 所以AD⊥平面PBG.…………………………10分 又因为PB⊂平面PBG, 所以AD⊥PB.……………………………………12分
高中数学第二章点直线平面之间的位置关系2.3.1直线与平面垂直的判定课件新人教A版必修2
错解:因为F,G分别为棱B1B,C1C的中点,所以BC∥FG. 因为BC⊥AB,BC⊥B1B,且B1B∩AB=B, 所以BC⊥平面A1ABB1. 又因为B1E⊂平面A1ABB1, 所以BC⊥B1E, 即FG⊥B1E. 同理A1D1⊥B1E,所以B1E⊥平面A1FGD1. 纠错:本题的错误在于只证明了直线和平面内的两条平行直线垂直,不符
(2)求直线A1B和平面BB1C1C所成的角的正弦值.
(2)解:作 A1F⊥DE,垂足为 F,连接 BF. 因为 A1E⊥平面 ABC,所以 BC⊥A1E. 因为 BC⊥AE,所以 BC⊥平面 AA1DE.所以 BC⊥A1F,所以 A1F⊥平面 BB1C1C. 所以∠A1BF 为直线 A1B 和平面 BB1C1C 所成的角.
(1)证明:A1D⊥平面A1BC;
(1)证明:设E为BC的中点,连接A1E,AE.由题意得A1E⊥平面ABC,所以 A1E⊥AE. 因为AB=AC,所以AE⊥BC. 故AE⊥平面A1BC. 连接DE,由D,E分别为B1C1,BC的中点,得DE∥B1B且DE=B1B, 从而DE∥A1A且DE=A1A, 所以AA1DE为平行四边形. 于是A1D∥AE. 又因为AE⊥平面A1BC,所以A1D⊥平面A1BC.
和这个平面所成的角.
锐角
(2)一条直线垂直于平面,称它们所成的角是 直角 ;一条直线在平面内或 一条直线和平面平行,称它们所成的角是 0° 的角,于是,直线与平面 所成的角θ 的范围是0°≤θ ≤90°.
自我检测
1.(线面垂直的性质)已知直线a⊥平面α ,直线b∥平面α ,则a与b的关系为
(B ) (A)a∥b
在 Rt△A1NB1 中,sin∠A1B1N= A1N = 1 ,因此∠A1B1N=30°.所以,直线 A1B1 与平面 BCB1 所成的角为 A1B1 2
人教版高中数学必修二.3-.4线面垂直、面面垂直的性质定理教学课件 18页PP
•
7.诗歌批评庸俗化趋势亟须扭转。文 学批评 的职业 公信力 需要树 立，批 评家需 要贡献 学术良 知。果 真如此 ，对诗 歌和读 者，都 将是福 音。
•
8.中国音乐在发展过程中，不断承传 自我， 吸收各 地音乐 ，器乐 发达， 演奏形 式丰富 。金、 石、土 、革、 丝、木 、匏、 竹，皆 可作乐 器。乐 曲类型 已有祭 神乐、 宴乐、 军乐、 节庆乐 等区别 。玄宗 时已有 超百人 的大型 交响乐 团，其 演员按 艺术水 平分为“ 坐部伎” 与“立 部伎”。
2.3.3-2.3.4线面垂直、面 面垂直的性质定理
莱州一中
一、知识回顾
1. 直线和平面垂直的定义是什么？
直线垂直于面内的任意直线,则称这条直线和 这个平面垂直.
注:若l ,b
则l b.
l bA
α
2.直线与平面垂直的判定定理？ 直线与面内的两条相交直线都垂直，则该线 与面垂直
图形表示
符号表示
m ,n
则 CD 是 E二面 -A B 角 的平面角
由 ⊥β 得CD ⊥ DE 又CD ⊥ AB, 且DE ∩ AB =D
所以直线CD⊥平面β
平面与平面垂直的性质定理：
两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的 直线与另一个平面垂直。
符号语言：
β
a
l
α
A
a
l
a
al
问题4：面面垂直性质定理用途?
•
2.但与此同时，诗歌批评庸俗化的趋 势越来 越明显 ，不少 诗歌批 评为了 应酬需 要，违 心而作 ，学术 含量可 疑，甚 至堕落 为诗人 小圈子 里击鼓 传花的 游戏道 具。这 类批评 对诗歌 创作来 说类同 饮鸩止 渴，还 不如索 性没有 的好。
《面面垂直的判定》人教版高中数学必修二PPT课件(第2.3.2课时)
新知探究
2.在立体几何中,"异面直线所成的角"是怎样定义的？ 直线a、b是异面直线,在空间任选一点O,分别引直线a' //a, b'// b,我们把相交直线a' 和 b'所成 的锐角 （或直角）叫做异面直线所成的角。 3.在立体几何中,"直线和平面所成的角"是怎样定义的？ 平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角, 叫做这条直线和这外,如何判定两个平面互相垂直呢? (2)日常生活中平面与平面垂直的例子? 为什么教室的门转到任何位置时，门所在平面都与地面垂直？
新知探究
如果一个平面经过了另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。 已知：AB⊥β，AB∩β=B，AB α
∪ ∪
∪
求证：α⊥β.
α
A
C
B
D
人教版高中数学必修二
第2章 关系 点、直线、平面之间的位置关系
感谢你的凝听
MENTAL HEALTH COUNSELING PPT
讲授人： 时间：20XX.6.1
A
新知探究
练习： 指出下列各图中的二面角的平面角：
A, B l
AC
BD
AC⊥l BD ⊥l
Bl
C
D
AO
二面角 --l--
D’
C’
A
A’ D
A
B’ O
CB B
D
O
E
C
二面角B--B’C--A
二面角A--BC-D
新知探究
二面角的计算： 1、找到或作出二面角的平面角 2、证明 1中的角就是所求的角 3、说明此角即为所求二面角的平面角 4、 求出此角的大小 5、回答此角的大小
人教版高中数学必修二《平面与平面垂直的性质》教学课件
位置关系?
α
α
P ba
β
a b
P
β
5/27/2020
直线a在平面 内
如图，已知平面α，β，α⊥β，直线a满足a
垂直β，a α，试判断直线a与平面α的位置关系。
解：在a内作垂直与α与β交线的直线b，
因为 α⊥β，所以 b⊥β 因为 a⊥β，所以 a∥b
α
b
a
又因为 a α，所以 a∥α
β
即直线a与平面α平行
平面与平面垂直 的性质
复习 1.二面角与二面角的平面角
从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。 以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂 直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。
2.平面与平面垂直的定义
如果两个平面所成的二面角是直角（即成直二面角），就 说这两个平面互相垂直．
一、两个平面垂直的性质定理
1.如果两个平面垂直, 那么在一个平面内垂直于它们交线的直线 垂直于另一个平面.
二、“转化思想”
面面关系
线面关系
线线关系
面面平行
线面平行
线线平行
面面垂直
线面垂直
线线垂直
5/27/2020
5/27/2020
探究
已知平面 , ，直线a,且 I ＝AB, ,
a∥ , a⊥AB,试判断直线a与平面 的位置关系。
a
α a
bB
β A
5/27/2020
已知：α∩β＝a，α⊥γ，β⊥γ，求证：a⊥γ．
分析： “从已知想性质，从求证想判定” 这是证明几何问题的基本思维方法． 从已知出发：面面垂直 线面垂直 线线垂直 从求证出发：欲证直线a与平面γ垂直， 大致有以下思路： (1)证明直线a垂直于γ内两条相交直线，从而进一步 想如何在γ内找到这两条相交直线；
高中新教材数学人课件必修时平面与平面垂直的判定定理
注意事项及误区提示
01
注意事项：在应用判定定理二时，需要确保两个平面都垂直于第三个 平面，并且这三个平面的交线是同一条直线。
02
误区提示
03
不能仅凭两个平面都垂直于第三个平面就直接断定这两个平面互相垂 直，需要验证它们是否交于同一直线。
04
在证明过程中，要正确使用线面垂直和面面垂直的性质和判定定理， 避免出现逻辑错误。
由于$alpha perp gamma$，根据面面垂直的性质，存在过点$P$的直 线$PB subset alpha$，使得$PB perp gamma$。
定理表述及证明
同理，在$beta$内可以作出过点$P$ 的直线$PC subset beta$，使得$PC perp gamma$。
又因为$PB subset alpha$且$PC subset beta$，所以$alpha perp beta$。
01
如果两个平面相交，且它们的交 线与第三个平面垂直，则称这两 个平面与第三个平面垂直。
02
如果两个平面分别与第三个平面 垂直，则这两个平面互相垂直。
平面与平面垂直的性质
如果一条直线同时垂直于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线也垂直。 如果两个平面互相垂直，则它们的法线也互相垂直。
垂直于同一平面的两条直线互相平行。
及到较为抽象的空间概念和逻辑推理，学生 在理解和掌握上可能存在一定的困难。因此，在教学中应注重直观演示和实例 分析，帮助学生更好地理解和应用定理。
教学目标与重难点
• 情感态度与价值观
• 过程与方法
通过直观演示、实例分析和小组 讨论等方式，培养学生的空间想 象能力和逻辑推理能力。
05
判定定理三：如果两 个平面的二面角是直 二面角，则这两个平 面互相垂直
高中数学 2.32.3.3直线与平面垂直、平面与平面垂直的性质课件 新人教A版必修2
而 FE⊂平面 DEF，DE⊂平面 DEF，EF∩DE＝E.
栏
PB⊂平面 PGB，GB⊂平面 PGB，PB∩GB＝B，
目 链
接
∴平面 DEF∥平面 PGB.
由(1)得 PG⊥平面 ABCD，而 PG⊂平面 PGB，
∴平面 PGB⊥平面 ABCD， ∴平面 DEF⊥平面 ABCD.
第三十四页，共42页。
PC＝PC，
所以 Rt△PBC≌Rt△PAC，
栏 目
链
所以 AC＝BC.
接
如图，取 AB 中点 D，连接 PD，CD，
则 PD⊥AB，CD⊥AB，又因为 PD∩CD＝D，所以 AB⊥平
面 PDC，所以 AB⊥PC.
第三十七页，共42页。
跟踪 训练
(2)解析：作 BE⊥PC，垂足为 E，连接 AE.
目 链
接
(pàndìng)定理和性质定理间的相互联系．
第三页，共42页。
栏 目 链 接
第四页，共42页。
基础 梳理
1．直线与平面垂直的性质定理.
文字语言
垂直于同一个平面的两条直
平行线(_p_í_n_g_x_íng)
栏
目
链
接
符号语言
a∥b
第五页，共42页。
基础 梳理
图形语言 栏 目 链 接
作用
①线面垂直⇒线线平行； ②作平行线
栏 目 链 接
(1)证明：BD⊥平面 PAC； (2)若 PA＝1，AD＝2，求二面角 BPCA 的正切值．
第二十九页，共42页。
跟踪
训练
证明：∵PA⊥平面 ABCD，∴PA⊥BD.
∵PC⊥平面 BDE，∴PC⊥BD.
又∵PA∩PC＝P，BD⊄平面 PAD.
人教版高中数学必修课 直线与平面垂直的性质 教学PPT课件
Ⅰ. 观察实验
（1）教室前墙所在的平面 和地面是互相垂直的，观 察教室前墙所在的平面里 的任意一条直线是否一定 和地面垂直？
必修2 第二章 点、直线、平面之间的位置关系
D’
（2）长方体ABCDA`B`C`D`中，平面 A’
AA`D`D与平面ABCD
D
垂ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ，能否在平面
AA`D`D中找到垂直于 A
平面ABCD的直线？
S
F
A
C
B
必修2 第二章 点、直线、平面之间的位置关系
1、平面与平面垂直的性质定理： 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个 平面垂直。
2..空间垂直关系有那些？ 如何实现空间垂直关系的相互转化？ 请指出下图中空间垂直关系转化的定理依据？
线线垂直 ① 线面垂直 ③
②
④
①线面垂直的判定定理
必修2 第二章 点、直线、平面之间的位置关系
1、平面与平面垂直的定义
两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二 面角，就说这两个平面互相垂直。
2、平面与平面垂直的判定定理
一个平面过另一个平面的垂线，
b
则这两个平面垂直。
符号表示：
b b
线面垂直
面面垂直
必修2 第二章 点、直线、平面之间的位置关系
（1）若b ,则b 。 （2）若 =l,b l则b 。
（3） 过一个平面内任意一点作交线的垂线,则 此垂线必垂直于另一个平面。
l
必修2 第二章 点、直线、平面之间的位置关系
例1、如图，AB是⊙O的直径，C是圆周上不同 于A，B的任意一点，平面PAC⊥平面ABC，求证： BC⊥平面PAC。
面面垂直
②线面垂直的定义
高中数学 第二章2.3.1直线与平面垂直的判定课件 新人教A版必修2
除定义外，如何判定一条直线与平面垂直呢？ 除定义外，如何判定一条直线与平面垂直呢？
A A 如图，准备一块三角形的纸片，做一个试验： 如图，准备一块三角形的纸片，做一个试验： A
l
C
A
D
α
B B
D D
P
C
C
α C α
B B
D
边上的高时， 所在直 当且仅当折痕 AD 是 BC 边上的高时，AD所在直 的顶点A翻折纸片 得到折痕AD， 翻折纸片， 过 ∆ABC 的顶点 翻折纸片，得到折痕 ，将翻 α 垂直． 线与桌面所在平面 垂直． 折后的纸片竖起放置在桌面上（ ， 于桌面接触 于桌面接触） 折后的纸片竖起放置在桌面上（BD，DC于桌面接触）
⊥ α ，求证 b ⊥ α .
b
n
证明： 证明：在平面 α 内作 a 两条相交直线m， ． 两条相交直线 ，n． 因为直线 a ⊥ α， 根据直线与平面垂直的定义知 α m a ⊥ m, a ⊥ n. 又因为 b // a 所以 b ⊥ m, b ⊥ n. 是两条相交直线， 又 m ⊂ α , n ⊂ α , m, n 是两条相交直线， 所以 b ⊥ α .
线面垂直
知识探究（ 知识探究（二）：直线与平面垂直的判定
思考1 对于一条直线和一个平面， 思考1：对于一条直线和一个平面，如果 根据定义来判断它们是否垂直， 根据定义来判断它们是否垂直，需要解 决什么问题？如何操作？ 决什么问题？如何操作？
思考2 思考2：我们需要寻求一个简单可行的办 法来判定直线与平面垂直. 法来判定直线与平面垂直. 如果直线l与平面 内的一条直线垂直， 如果直线 与平面α内的一条直线垂直， 与平面 内的一条直线垂直 能保证l⊥α吗？ 能保证 ⊥ 吗 如果直线l与平面 内的两条直线垂直， 与平面α内的两条直线垂直 如果直线 与平面 内的两条直线垂直， 能保证l⊥ 吗 能保证 ⊥α吗？
高中数学2.3.3线面垂直_面面垂直的性质定理优秀课件
【答案】 B
4．设两个平面互相垂直，则( ) A．一个平面内的任何一条直线垂直于另一个平面 B．过交线上一点垂直于一个平面的直线必在另一平 面内 C．过交线上一点垂直于交线的直线，必垂直于另一 个平面 D．分别在两个平面内的两条直线互相垂直
【答案】 B
C
D
B
A
思考:如果直线a，b都垂直于平面α，
由观察可知a//b，从理论上如何证明这 个结论？
a b b’
c
α
O
直线与平面垂直的性质定理
垂直于同一个平面的两条直线平行。
ab
用符号表示?
α
作用: ①证明线线平行 ②作平行线
2.直线与平面垂直的其他性质： (1)如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线垂直 于这个平面内的任意一条直线． (2)垂直于同一条直线的两个平面互相平行． (3)两条平行直线中的一条垂直于一个平面，另一条也 垂直于这个平面．
练习一
❖ 1.判断以下命题正确的选项是_______ ❖ (1)垂直于同一条直线的两个平面互相平行 ❖ (2)垂直于同一个平面的两条直线互相平行 ❖ (3)一条直线在平面内,另一条直线与这个平面垂直,那
么这两条直线互相垂直.
2 .已知 a ,b 和 直 平 ,且 线 a 面 ba, ,则 b 与 的
AB ?⊥
在内引直线BE⊥ CD, 垂足为B,
则∠ ABE是二面角-CD- 的
平面角, 由 ⊥ 知,
AB⊥ BE,又BE与CD
是 内的两条
相交直线.
C
E
D
BA
平面与平面垂直的性质定理
两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与 另一个平面垂直
简记为:面面垂直,那么线面垂直.
4．设两个平面互相垂直，则( ) A．一个平面内的任何一条直线垂直于另一个平面 B．过交线上一点垂直于一个平面的直线必在另一平 面内 C．过交线上一点垂直于交线的直线，必垂直于另一 个平面 D．分别在两个平面内的两条直线互相垂直
【答案】 B
C
D
B
A
思考:如果直线a，b都垂直于平面α，
由观察可知a//b，从理论上如何证明这 个结论？
a b b’
c
α
O
直线与平面垂直的性质定理
垂直于同一个平面的两条直线平行。
ab
用符号表示?
α
作用: ①证明线线平行 ②作平行线
2.直线与平面垂直的其他性质： (1)如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线垂直 于这个平面内的任意一条直线． (2)垂直于同一条直线的两个平面互相平行． (3)两条平行直线中的一条垂直于一个平面，另一条也 垂直于这个平面．
练习一
❖ 1.判断以下命题正确的选项是_______ ❖ (1)垂直于同一条直线的两个平面互相平行 ❖ (2)垂直于同一个平面的两条直线互相平行 ❖ (3)一条直线在平面内,另一条直线与这个平面垂直,那
么这两条直线互相垂直.
2 .已知 a ,b 和 直 平 ,且 线 a 面 ba, ,则 b 与 的
AB ?⊥
在内引直线BE⊥ CD, 垂足为B,
则∠ ABE是二面角-CD- 的
平面角, 由 ⊥ 知,
AB⊥ BE,又BE与CD
是 内的两条
相交直线.
C
E
D
BA
平面与平面垂直的性质定理
两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与 另一个平面垂直
简记为:面面垂直,那么线面垂直.
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人教高中数学必修二2.3直线、平面垂 直的判 定与性 质 -三垂线定理 课件
例1：如图，在正方体中，O是AC与BD的交点，直线D1O与AC
垂直吗？说明你的理由。
Q D1O在平面ABCD内的射影是DO
AC与BD垂直
D1 A1
C1 B1
D1O与AC垂直（三垂线定理 ）
你知道吗？ D1B⊥AC
D
C
线射垂直 线斜垂直 A
A
“一垂二射三证”
B
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90°
C
45°
D
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三垂线定理及三垂线定理逆定理
P
定理
线射垂直
线斜垂直
逆定理
O α
a
A
定理和逆定理是证明线线垂直的重要方法！
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• 三垂线定理及逆定理的条件是什么？ • 用三垂线定理及逆定理解题的关键是什
么？ • 能在不同的组合图中观察或者创造出符
合三垂线定理和逆定理的条件吗？
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新知探究 • 逆定理
思考：
如果将定理中的条件a⊥OA改成a⊥PA，你会得到
怎样的结果？命题一定成立吗?
结论：a⊥OA
P
线斜垂直
线射垂直
逆定理
O α
定理
线射垂直
线斜垂直
逆定理
a
A
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如图：请说出下列图形中的垂线、斜线和射影。
P
直线PO是垂线 直线PA是斜线
直线OA是直线PA在平面内的射影
O α
思考：
a A
若 a OA，直线a和直线PA是什么关系？
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如图：已知点P是ΔABC所在平面外一点，若点P在平面内的 射影O恰好是ΔABC的垂心，求证：PA⊥BC(教材练习题)
P 垂心：三边高的交点“问”ABO三角形的外心、内心、重心、垂心，并摘抄！C
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B
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90°
C
45°
D
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应用举例
∵BC是AC的射影 且CD⊥BC ∴CD⊥AC(三垂线定理) 因此斜线AC的长度就是电塔顶与道路的距离。
∵∠CDB=45°，CD⊥BC，CD=20m ∴BC=20m， 在直角三角形ABC中 AC2=AB2+BC2，AC= 152+202 =25(m) 答：电塔顶与道路的距离是25m。
①
PO⊥a ②
aα
AO⊥a a⊥平面POA ③
PO I AO O PA 平面POA a⊥PA
①
②
③
线面垂直
线线垂直
线面垂直
线线垂直
性质定理
判定定理
性质定理
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新知探究 • 定理证明
P
已知：PO、PA分别是平面的垂线、斜线， OA是PA在内的射影，a , 且a OA α O
a
A
求证：a PA
证明： PO⊥α
O B
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应用举例
例2、道旁有一条河，彼岸有电塔AB，高15m，只有测角
器和皮尺作测量工具，能否求出电塔顶与道路的距离？
解：在道边取一点C，使BC与道边所成水平角等于90°， 再在道边取一点D，使水平角CDB等于45°， 测得C、D的距离等于20m A
定理中包括三种垂直关系：
①线面垂直 ②线射垂直 ③ 线斜垂直
P PO
P
a OA
P
a PA
O Aa
O Aa
O Aa
α
α
α
直线和 平面垂直
平面内的直线 和平面一条斜 线的射影垂直
平面内的直线 和平面的一条 斜线垂直
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新知探究 • 定理内容
三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个
平面的一条斜线的正射影垂直，那么它也和这条 斜线垂直。
P 定理
即:线射垂直 线斜垂直
O α
a
A
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三垂线定理
P O α
a
A
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直线和平面垂直的定义是什么？有怎样的性质？ 定义：一条直线和平面相交，且和平面内经过交点的所有直 线都垂直 性质定理：如果一条直线和平面垂直，那么它垂直于平面 内的任何直线 直线和平面垂直的判定定理是什么？ 判定定理：如果平面外一条直线和平面内两条相交直 线都垂直，那么这条直线垂直于平面
对定理的几点说明
P
1、三垂线定理描述的是斜线PA、
射影OA和a直线之间的垂直关系
α
O
2、直线a可以移动，但只能在平面内移
动。因此，直线a和斜线PA可以相交也
可以异平面的一条斜 线和平面内的一条直线垂直的判定定理。
O α
a
A
a
A
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