高中数学平面向量知识点总结课件复习课程
平面向量全章小结.ppt
求点P和点M的坐标
P(－10，7) M(2，1)
19. 已知向量a=(1，5)，b=(－3，2)，求a在b 方向上的正射影的数量。
| a | cos a,b a b 7 13 | b | 13
20. 已知两点A，B的坐标为(5，0)，(0，5)， 直线OP垂直于直线AB于点P，求点P的坐标
P(5 , 5) 22
x=3, y=－2 7. 已知向量i⊥j，|i|=|j|=1，a=4i－j，b=i+2j， c=2i－3j，计算：a·a+3(a·b)－2(b·c)+1。
32
8. 已知向量r的模和它相对于x轴正方向的转 角θ ，求向量r的坐标。
(1) |r|=16，θ =60°； (8,8 3)
(2) |r|=26，θ =45°； (3) |r|=80，θ =120°；
< a，b >=90° |a+b|= 2 5 , |a－b|= 2 5 <(a+b)，a>=45 °
4. 已知△ABC，点O是△ABC的重心（三条
中线的交点），求证： OA OB OC 0
A
O
B
C
D
5. 在△ABC中，引中线AD、BE、CF，求证：
AD BE CF 0
A
F
E
B
C
D
6.给定一个基底{i，j}，且a=4i+j，b=3j， c=12i－3j，如果c=xa+yb，求x，y.
AB AD __D__B___.
(3) 如果向量a= 2 b，则向量a与b的关系
3
是 共线 。
(4) AB AC CB BA = 3AB .
高中数学知识复习与总结(平面向量)
平面向量1、向量有关概念：（1）向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别。
向量常用有向线段来表示，注意不能说向量就是有向线段，为什么？（向量可以平移）。
（2）零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：，注意零向量的方向是任意的；（3）单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量(与AB 共线的单位向量是||AB AB ±，但AB 的单位向量是||AB AB ，注意二者的区别。
)；（4）相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性；（5）平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量a 、b 叫做平行向量，记作：a ∥b ，规定零向量和任何向量平行。
提醒：①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线, 但两条直线平行不包含两条直线重合；③平行向量无传递性！（因为有0)；④三点A B C 、、共线⇔ AB AC 、共线； （6）相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。
a 的相反向量是a -。
2、向量的表示方法：（1）几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如AB ，注意起点在前，终点在后； （2）符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如，，等；（3）坐标表示法：在平面内建立直角坐标系，以与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i ，为基底，则平面内的任一向量可表示为(),a xi y j x y =+=，称(),x y 为向量的坐标，＝(),x y 叫做向量a 的坐标表示。
如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同。
，则把向量AB 按向量a ＝（－1,3下列命题：（1）若a b =，则a b =。
（2）两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同。
（3）若AB DC =，则ABCD 是平行四边形。
（4）若ABCD 是平行四边形，则AB DC =。
（5）若,a b b c ==，则a c =。
人教版高中数学第二章平面向量小结(共20张PPT)教育课件
•
• 学习重要还是人脉重要?现在是一 个双赢 的社会 ，你的 价值可 能更多 的决定 了你的 人脉， 我们所 要做的 可能更 多的是 专心打 造自己 ，把自 己打造 成一个 优秀的 人、有 用的人 、有价 值的人 ，当你 真正成 为一个 优秀有 价值的 人的时 候，你 会惊喜 地发现 搞笑人 脉会破 门而入 。从如 下方 面改进 ：1、专 心做可 以提升 自己的 事情； 2、学 习并拥 有更多 的技能 ；3、成 为一个 值得交 往的人 ；4学 会独善 其身， 尽量少 给周围 的人制 造麻烦 ，用你 的独立 赢得尊 重。
电
:
那
你
的
第
一
口
罗
没
有
我
和
他
不
同
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我
是
从
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层
但
是
当
我
拍
完
但
是
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轻
时
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一
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想
法
就
是
如
果
我
告
诉
你
怎
么
弄
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电
:
“
口
罗
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一
，
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戏
有
上
来
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分
钟
后
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还
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其
没
清
镜
没
有
楚 弄
有 怎
完 情
么
头
我
就
胆
怯
，
像
运
作
这
个
东
西
(
，
下
高一数学平面向量知识点复习课件.ppt
x
x1 x2 1
y
y1 y2 1
1
x
x1
x2 2
中点公式
y
y1 y2 2
2、平移公式
如果点P（x1，y2）按向量 a (h, k)
平移至 P(x, y)，则
x x h
y
y
k
例5 设P1（2，-1），P2（0，5），且P在直线
P1P2上使
，求点P 的坐标。
例3 设 a (3,2),b (,7),c (2, )，若
a 2b c，求，的值。
解：由已知条件，得：
a 2b =（3，2）-2（λ，7）
=（3-2λ，-12） =（-2，μ） ∴ 3-2λ=-2 μ=-12
∴ λ= 5 ，μ=-12 2
三、两个重要定理
1、向量共线充要条件
一个向实量数λb，与使非得零向量 a 共线的充要条件是有且只有
（2）当 k a b 与 a 3b平行时，存在唯一实数λ， 使 k a b=λ (a 3b，) 由（k-3，2k+2）= λ（10，-4）
k 3 10 2k 2 4
解得 k 1 , 1
3
3
反向
五、两个重要公式
1、定比分点坐标公式
设P（x，y），P1（x1，y1），P2（x2，y2），且
一、向量及其有关概念
有向线段
向量的几何表示 向量的模 零向量 单位向量 平行向量 向 共线向量 量 相等向量 相反向量
二、向量的运算
几 加法 何 减法 方 实数与向量的积
向法
量
的
运 算
坐 标
加法 减法 实数与向量的积
方 平面向量数量积
法
几何方法：
必修四_平面向量知识点梳理58页PPT
66、节制使快乐增加并使享受加强。 ——德 谟克利 特 67、今天应做的事没有做，明天再早也 是耽误 了。——裴斯 泰洛齐 68、决定一个人的一生，以及整个命运 的，只 是一瞬 之间。 ——歌 德 69、懒人无法享受休息之乐。——拉布 克 70、浪费时间是一桩大罪过。——卢梭
必修四_平面向量知识点梳理
36、如果我们国家的法律中只有某种 神灵， 而不是 殚精竭 虑将神 灵揉进 宪法， 总体上 来说， 法律就 会更好 。—— 马克·吐 温 37、纲纪废弃之日，便是暴政兴起之 时。— —威·皮 物特
38、若是没有公众舆论的支持，法律 是ห้องสมุดไป่ตู้毫 没有力 量的。 ——菲 力普斯 39、一个判例造出另一个判例，它们 迅速累 聚，进 而变成 法律。 ——朱 尼厄斯
高中数学复习课件-高中数学必修4课件 第二章总结平面向量
向量的运算有:加法、减法、数乘及两个向量的数量积,常见的有两种方法: 定义法和坐标法.特别是利用坐标进行向量的运算时,由于转化为实数的运算, 因此比利用定义运算方便、简捷.
应用 1 若向量 AB =(3,-1),n=(2,1),n· AC =7,则 n· BC 的值为( ).
A.-2
相等向量 : 长度相等且方向相同的两个向量
相反向量 : 长度相等而方向相反的两个向量
表示
几何表示 : 用有向线段表示向量
字母表示
:
用一个小写英文字母或两个大写英文字母表示向量
坐标表示 : 用有序实数对表示向量,等于终点坐标减去起点坐标
线性运算
加法
法则
: 三角形法则和平行四边形法则,结果是向量 运算律 : 交换律、结合律
应用 1 已知向量 a,b 满足|a|=3,|b|=2,a 与 b 的夹角为 60°,则 a·b= ; 若(a-mb)⊥a,则实数 m= .
解析:a·b=|a||b|cos 60°=3×2×1 =3. 2
∵(a-mb)⊥a,∴(a-mb)·a=0. ∴a2-mb·a=0.∴9-3m=0.∴m θ.因此求向量的夹角应先转化为求向量夹角的余弦值,再
结合夹角的范围确定夹角的大小.
应用 1 已知向量 a=(1,2),b=(-2,-4),|c|= 5 ,若(c- b)·a= 15 ,则 a 与 c 的夹 2
角为( ).
A.30°
B.60°
C.120°
D.150°
解析:a·b=-10,则(c- b)·a=c·a- b·a=c·a+10= 15 ,所以 c·a=- 5 .
B.BE D.CF
解析:在正六边形 ABCDEF 中,由于 CD∥AF,且|CD|=|AF|,故 CD = AF .同理
高一数学平面向量 PPT课件 图文
a－3b=(1, 2)－3(－3, 2)= (10, －4)
(ka+b)∥(a－3b)
－4(k－3)－10(2k+2)=0
K=－ 1
3
∵
ka+b=
10 3
,
4 3
=－
1 3
(a－3b)
∴它们反向
例2
思考:
此题还有没有其它解法?
分析 要证A、B、D三点共线，可证 AB=λBD关键是找到λ
解： ∵BD=BC+CD= 2a + 8b+ 3(a b)=a+5b
∴AB=2 BD
AB∥ BD
且AB与BD有公共点B
∴ A、B、D 三点共线
例3
知识结构
平面向量小 复习
知识要点 例题解析 巩固练习
课外作业
练习5 已知a=（1，0），b=（1，1），c =（－1，0） 求λ和μ，使 c =λa +μb.
新课标人教版课件系列
《高中数学》
必修4
2.6《平面向量-复习》
平面向量复习
知识结构 要点复习 例题解析
巩固练习
制作：曾毅 审校：王伟
知识结构
平面向量 复习
知识要点 例题解析 巩固练习
课外作业
表示 向量的三种表示
平
三角形法则
面
向量加法与减法
向
平行四边形法则
量
向量平行的充要条件
运算 实数与向量的积
知识Байду номын сангаас点 例题解析 巩固练习
课外作业
2025届高中数学一轮复习课件《平面向量基本定理及坐标表示》ppt
)
高考一轮总复习•数学
第10页
2．已知平面向量 a＝(1,1)，b＝(1，－1)，则向量12a－32b＝( )
A．(－2，－1) B．(－2,1)
C．(－1,0)
D．(－1,2)
解析：因为 a＝(1,1)，b＝(1，－1)，所以12a－32b＝12(1，1)－32(1，－1)＝12，12－32，－32 ＝(－1,2)．
∴54<k<32.即 k 的取值范围为54，32.
高考一轮总复习•数学
第23页
题型
平面向量的坐标运算
典例 2(1)已知 A(－2,5)，B(10，－3)，点 P 在直线 AB 上，且 P→A ＝－13P→B ，则点 P 的
由线性关系，转化到坐标运算．
坐标是( )
A．(－8,9)
B．(1,3)
C．(－1，－3) D．(8，－9)
高考一轮总复习•数学
第3页
01 理清教材 强基固本 02 重难题型 全线突破 03 限时跟踪检测
高考一轮总复习•数学
第4页
理清教材 强基固本
高考一轮总复习•数学
第5页
一 平面向量基本定理 如果 e1，e2 是同一平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量 a，有且只 有一对实数 λ1，λ2，使 a＝λ1e1＋λ2e2，若 e1，e2 不共线，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内 所有向量的一个基底．若 e1，e2 互相垂直，则称这个基底为正交基底；若 e1，e2 分别为与 x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量，则称这个基底为单位正交基底．
高考一轮总复习•数学
第22页
解析：如图，分别取 BD，AE 的中点 G，N，连接 GN 交 EF 于 H，
高一数学平面向量复习课件
向量数量积的几何意义在于它表示了两个向量的长度和它们之间的夹角之间的关系。具体来说，当两个非零向量 的夹角为锐角时，它们的数量积为正；当夹角为直角时，数量积为零；当夹角为钝角时，数量积为负。
向量数量积的运算律
总结词
掌握向量数量积的运算律，包括 交换律、结合律和分配律。
详细描述
向量数量积满足交换律，即 a·b=b·a；结合律，即 (a+b)·c=a·c+b·c；分配律，即 (λa)·b=λ(a·b)，其中λ是标量。
向量积的性质
向量积的性质
1. 向量积的方向与两个向量的夹角和大小有 关，其方向垂直于两个给定向量所确定的平 面；2. 向量积的模长为|a×b|=|a||b|sinθ； 3. 向量积满足结合律但不满足交换律；4. 向量积可以用来表示向量的旋转关系。
性质的应用
在解析几何中，向量积可以用来解决与旋转 、速度和加速度有关的问题；在物理中，向 量积可以用来描述力矩、角速度等物理量。 通过理解这些性质和应用，学生可以更好地
向量积的运算律
向量积的运算律
交换律a×b=-b×a，分配律 (a+b)×c=a×c+b×c。这些运算律与标量积 的运算律类似，但要注意向量积不满足结合 律。
运算律的理解
交换律表明向量积的方向与夹角有关，而分 配律表明向量积与向量的线性组合是可分配 的。这些运算律对于理解向量积的性质和计 算非常重要。
混合积的性质
非负性
向量a、b、c的混合积为非负数，当且仅当a、b、c三个 向量共面时取值为0。
线性性质
混合积满足线性性质，即对于任意标量m和n，有 $(mvec{a} + nvec{b}) cdot vec{c} = mvec{a} cdot vec{c} + nvec{b} cdot vec{c}$。
人教高中数学必修二A版《平面向量的应用》平面向量及其应用教学说课复习课件(平面几何中的向量方法)
必修第二册·人教数学A版
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探究二 平面向量在几何求值中的应用
[例 2] (1)已知边长为 2 的正六边形 ABCDEF，连接 BE，CE，
点 G 是线段 BE 上靠近 B 的四等分点，连接 GF，则G→F·C→E( )
课件
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个 人 简 历 ： 课件 /jianli/
的合力的大小为( )
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A．5 课件
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个 人 简 历 ： 课件 /jianli/
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手 抄 报 ： 课 件/shouchaobao/ 课 件
课件 课件
课件 课件
课件 课件
课件 课件
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N
B．5 2 N
C．5 3 N
D．5 6 N
解析：两个力的合力的大小为|F1＋F2|＝ F21＋F22＋2F1·F2＝5 6(N)． 答案：D
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手 抄 报 ： 课 件/shouchaobao/ 课 件
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①选取基底；②用基底表示相关向量；③利用向量的线性运算或数量积找相应关系；
④把几何问题向量化．
(2)向量的坐标运算法的四个步骤：
基底表示，利用向量的运算法则、运算律或性质计算．
②坐标法：建立平面直角坐标系，实现向量的坐标化，将几何问题中的长度、垂直、
平行、夹角等问题转化为代数运算．
(完整版)高中数学平面向量讲义
平面向量（学生专用）专题六平面向量一. 基本知识【1】向量的基本概念与基本运算（1）向量的基本概念：①向量：既有大小又有方向的量向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小．②零向量：长度为 0的向量，记为0 ，其方向是任意的，0 与任意向量平行③单位向量：模为 1 个单位长度的向量④平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量⑤相等向量：长度相等且方向相同的向量（2）向量的加法uuurruuura r,BCr r uuur b ，则a+b = ABuuuruuur① 0 a a 0a ；②向量加法满足交换律与结合律；uuur uuur uuu uuur uuurAB BC CD L PQ QR AR ，但这时必须“首尾相连”．（3）向量的减法：①相反向量：与a 长度相等、方向相反的向量，叫做a 的相反向量②向量减法：向量a 加上b 的相反向量叫做a 与b 的差，③作图法：a b可以表示为从b 的终点指向a的终点的向量（a、b 有共同起点）（4）实数与向量的积：实数λ与向量a的积是一个向量，记作λ a ，它的长度与方向规定如下：（Ⅰ）a a ；（Ⅱ）当0时，λ a的方向与a 的方向相同；当0时，λa 的方向与a 的方向相反；当0 时，a 0 ，方向是任意的（5）两个向量共线定理：向量b 与非零向量a 共线有且只有一个实数，使得b = a（6）平面向量的基本定理：如果e1,e2是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数1, 2使：a 1e1 2e2 ，其中不共线的向量e1,e2 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底2】平面向量的坐标表示平面向量 （学生专用 ）rr r rr 1） 平面向量的坐标表示 ：平面内的任一向量 a 可表示成 a xi yj ，记作 a =（x,y ） 。
2） 平面向量的坐标运算：uuur②若A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ，则 AB x 2 x 1,y 2 y 1③ 若 a r=(x,y) ，则 a r=( x, y)rx 2, y 2 ，则a//b x 1y 2 x 2y 1 0⑥若 a r b ，则 x 1 x 2 y 1 y 2 0【3】平面向量的数量积（1）两个向量的数量积：r r 已知两个非零向量 a ，它们的夹角为 ，则 a r · b r =︱ a r︱· rr ︱ b ︱ cos 叫做 a r 与数量积（或内积）rr规定 0 a 0r（ 2）向量的投影： ︱ b ︱ cos 为射影rr3）数量积的几何意义： a r ·b 等于 a r 的长度与 b 在a r方向上的投影的乘积 4）向量的模与平方的关系： a r a r a r2 |a r |2（6）平面向量数量积的运算律：y1x12x2y2y12yxra若yx r b ra则xrb ra rR ，称为向量 b r在 a r方向上的投影 投影的绝对值称r r r r 2r 2r 2r 2r a b aab 2ab；ar r r 2 r 2 r rr 2a b b 2a 2ab b5）乘法公式成立：r 2 arr①交换律成立：a r b b a r r r r②对实数的结合律成立：a r b a r b a r b R③分配律成立：a r carr 特别注意：（ 1）结合律不成立： a rb cr a r b c r；rr（ 2）消去律不成立 a r b a r c r 不能得到 b c rr r r r （ 3） a rb =0 不能得到 a r =0 或 b =0（7）两个向量的数量积的坐标运算：r r已知两个向量 a r （ x 1 , y 1）, b （x 2,y 2），则 a r·b =x 1x 2 y 1y 2rr uuur ruuru r（ 8 ） 向 量 的 夹 角 ： 已 知 两 个 非 零 向 量 a 与 b ， 作 OA = a , OB = b , 则 ∠ AOB=0 0rr（001800） 叫 做向 量a与b的 夹 角x 1x 2 y 1y 22 2 2 2x 1 y 1 x 2 y 2r r r（10）两个非零向量垂直的充要条件 ：a ⊥b a ·b ＝O x 1x 2 y 1y 2 0平面向量 数量积的性质 二. 例题分析【模块一】向量的基本运算【例 1】 给出下列六个命题：①两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；r r r r uuur uuur ②若 a b ，则a b ③在平行四边形 ABCD 中一定有ABDC ；ur r r ur ur ur r r r r r r ④若 m n,np ，则 m p ； ⑤若 a // b ，b // c ,则 a // cr r r r r r r ⑥任一向量与它的相反下列不相等 . ⑦已知向量 a0，且 a b 0，则 b 0r r r r r r r r r r r r ⑧ a b 的充要条件是 a b 且 a // b ；⑨若 a 与b 方向相同，且 a b ，则 a b ；⑩由于零向量的方向不确定，故零向量不与任意向量平行； 其中正确的命题的序号是=cos a,bcos a?当且仅当两个非零向量 a r与b 同方向时， θ=00，当且仅当 a r与b 反方向时θ =1800，同时 0与其它任何非零向量之间不谈夹角这一问题r r r （9）垂直 ：如果 a r与b 的夹角为 900则称 a r 与b 垂直，记作 a r⊥b例 2】 已知向量 a,b 夹角为 45 ，且 a 1,2abuur uur r r r r 变式 1】若 a 2， b 3，a b 3求 a b 的值.变式 2】设向量 a ，b 满足| a|=|b |=1 及| 3a-2 b|=3 ，求| 3a+b| 的值【例 3】已知向量 a r 、b r 的夹角为 60o ，|a r | 3，|b r | 2 ，若(3a r 5b r ) (m rab r )，求 m 的 值.例 4】 若向量 a r 1,2 ， b r1, 1 求 2a b 与 a b 的夹角 .a,b 满足 a b a b ，则下列结论一定正确的是A a // bB a bC a【变式 1】设 a , b 是两个非零向量 .A ．若 | a +b |=| a |-| b |, 则 a ⊥ bB ．若 a ⊥b , 则 | a +b |=| a |-| b |C ．若| a +b |=| a |-| b |, 则存在实数 λ,使得 a =λbD ．若存在实数 λ,使得 a =λb ,则| a +b |=| a |-| b |uur10 ；求 b 的变 式 】 设 x,y R, 向 量 ax,1,b 1,y ,c 2, 4 , 且 a c,b//cabA ． 5B ． 10C ． 2 5()D ．10例 5】 已知两个非零向量1) 证明 a b【例 7】设 a r、 b 都是非零向量 ,下列四个条件中 ,使 a |r a| | b r 成立的充分条件是( b|rrrrr r r r r rA ． a bB ． a//bC ． a 2bD ． a//b 且 |a| |b模块二】向量与平面几何ouuur例 1】在△ ABC 中， A 90oAB 1,AC 2 ,设P 、Q 满足 AP变式 2】若平面向量 a,b 满足: 2a b 3; 则agb 的最小值是 ___例 6】 设0, ， a cos ,sin ， b21, 32,22)r 当 2arra 2b 时求角 的uuur AQ uuur1 AC ， uuur uuur R BQ CP2 ，则 = ( )1 2 4A B C D 2 3 3 3uu uruuur uuur例 2】在△ABC 中,AB=2,AC=3, ABgBC = 1 则 BC A ． 3 B ． 7 C ． 2 2D ． 23uuuruuur uuur【变式 1】 若向量 BA2,3 , CA 4,7 , 则 BC （）A ． 2, 4B ． 2,4C ． 6,10D ． 6, 10MA?MBuuur uuurAB ，AQ 1uuu ruuur uuur R BQ CP 3 ，则 = 2 （ ）A1B 1 2C 1 10D 32 222 2例 3】 若等边 ABC 的边 长为 2 3 ， 平面内 一点 M 满足 CM12CB CA , 则uuur 变式 1】已知△ ABC 为等边三角形， AB 2设 P 、Q 满足 APuuur r uuur r r例 4】ABC中, AB边上的高为CD, 若CB a,CA b,a例 5】在平面直角坐标系中uuruOQ ，则点Q 的坐标是A．( 7 2, 2) B．( 7 2, 2)C．( 4 6, 2) D．( 4 6,2)uuur uuur4rra32r1r0,|a r | 1,|b r | 2,则uuru, O(0,0), P(6,8) , 将向量OP 按逆后 , 得向量例 6】在例 7】在平行四边形ABCD中, ∠ A= 3, 边AB、AD的长分别为 2、1. 若M、N分别是边BC、CD上的点,且满足|BM | |CN|,则AM AN 的取值范围是____________|BC | |CD |【例 8】如图,在矩形ABCD 中, AB 2，BC 2，点E为BC的中点,点F在边CD uuur uuur uuur uuur上,若ABgAF 2,则AEgBF 的值是 ____ .ABC中, M是BC的中点 , AM=3, BC=10,则 AB AC=uuur uuur例 9 】已知正方形 ABCD 的边长为 1,点 E 是 AB 边上的动点 ,则 DE CB 的值为uuur uuur______ ; DE DC 的最大值为 _____例 10】已知直角梯形 ABCD 中， AD // BC , ADC 900 , AD2,BC 1, P 是腰DC 上的动点，则 uuur uuur PA 3PB 的最小值为 ________ 例 11】如图，在VABC 中， AD uuur AB , BCuuur uuur uuur则 ACgAD 3 uuur uuur例 12】 (15) 在四边形 ABCD 中， AB = DC1 uuur uuur BC BC 3 uuur uu 3ur BDuuur uuur则四边形 ABCD的面积是例 13】在VABC 中，若uuur2,3 ,AC 6, 4 ，则VABC面积为【例 14】（2012 年河北二模）uuur 不重合的一个动点，则PAA 2B 0C -9在VABC中，AB 边上的中线 CD=6 ，点P为CD 上（与C,D）uuur uuurPB .PC 的最小值是D -18。
《平面向量复习小结》课件
向量的加法：平行四边形法则，将两个向量的起点和终点分别连接，得到的平行四边形的对角线就是两个向量的和
向量的减法：将两个向量的起点和终点分别连接，得到的平行四边形的对角线就是两个向量的差
平面向量的运算
加法：平行四边形法则
数乘：数乘向量
数量积：向量数量积
混合运算：向量混合运算
向量运算的应用：向量运算的应用
向量在几何图形中的应用
向量的模和方向角计算
向量在物理和工程中的应用
综合练习题
判断题：判断向量的加法、减法、数乘和数量积运算是否正确
填空题：填写向量的坐标、长度、方向角等属性
计算题：计算向量的加法、减法、数乘和数量积
应用题：利用向量解决实际问题，如物理中的力、速度等问题
课件总结
回顾了平面向量的基本概念和性质
解题思路
Aware
理解题意：明确题目中给出的已知条件和未知条件
Appeal
建立模型：根据题意，建立相应的数学模型
Ask
求解模型：利用已知条件，求解数学模型，得到答案
Act
检验答案：将求得的答案代入题目中，检验是否满足题意
Advocate
总结反思：总结解题过程中的经验和教训，反思自己的解题思路和方法，以便下次遇到类似问题时能够更快地解决
汇报人：PPT
展望了平面向量在物理、工程等领域的应用前景
探讨了向量在几何中的应用，如向量的平行、垂直和夹角
介绍ห้องสมุดไป่ตู้向量的加法、减法和数乘运算
讲解了向量的数量积和向量积
展望未来
平面向量在教育、培训等领域的应用
平面向量在计算机科学、人工智能等领域的应用
平面向量在工程、建筑等领域的应用
平面向量在数学、物理等学科中的应用
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4.数量积
W | F || S | cos 其中 | F | cos 为有效力 定义： a b | a || b | cos 叫做向量 a 与 b 的数量积。
数量积的运算律
交换律： a b b a 分配律： a (b c) a b a c
但不满足结合律
3.三点定理
A, B,C 三点共线
PA PB PC且 1
4.重心定理
G 为 ABC的重心 GA GB GC 0
5.共线定理
a 与 b 共线 b a 或 a b
6.垂直定理
a⊥b ab 0
7.转化定理
2
a
|
a
|2
八、坐标表示 1.向量坐标表示定义
i ：水平向右的单位向量 j ：竖直向上的单位向量 a ：坐标平面内任一向量 若 a xi y j ，则 a (x, y) 显然 i (1,0) ， j (0,1) ，位置向量 OM 坐标与点 M 坐标相同
4.平行向量：方向平行的两个向量。 5.共线向量：方向共线的两个向量
6.相等向量：大小相等，方向相同的两个 向量。
7.相反向量：大小相等，方向相反的两个 向量。 8.基底向量：两个不共线的向量。
四、向量的特殊属性： 平移一个向量，平移前与平移后大小没变， 方向也没变，故平移前与平移后为相等向量。 这个性质叫做向量的自由性，所以向量也叫 自由向量。
A(x1, y1 ), B(x2 , y2 ) 则 AB OB OA
(x2 , y2 ) (x1, y1 ) (x2 x1, y2 y1 )
4.定理坐标表示
a (x1, y1) b (x2 , y2 ) a ∥ b x1 y2 x2 y1 0 a ⊥ b x1x2 y1 y2 0
2.运算坐标表示
a (x1, y1) b (x2 , y2 ) a b (x1 x2 , y1 y2 ) a b (x1 x2 , y1 y2 )
a (x1, y1) (x1,y1)
a b x1x2 y1 y2
3.点坐标与向量坐标转化 1.求点坐标可转化为求位置向量坐标； 2.已知两点坐标，求向量坐标
平面向量知识点整理
一、概念 既有大小，又有方向的量
力 速度 位移
二、表示 1.有向线段表示： 2.字母符号表示：
a b c m n e1 e2
AC BD DC CA AD CB
三、特殊向量 1.单位向量：长度为1的向量。
2.零向量：长度为0的向量，方向任意性。 表示： 0
3.位置向量:在坐标系内，且起点位置在 坐标原点上的向量。
5.求运算坐标表示： （1）求模
a (x1, y1) | a | x12 y12
（2）求投影
a (x1, y1) ， b (x2 , y2 )
向量 a 在 b 方向上的投影：
| a | cos a b
|b|
x1x2 y1 y2
x
2 2
y22
（3）求夹角
cos a b
| a || b |
根据上面性质可以得出：平行向量就是共 线向量。
五、向量运算 1.加：
2.减： 减去一个向量等于加上它的相反向量。
AB AC AB (AC) AB CA CA AB CB
即：
3.数乘
1.引入
a 表示向东走 2 米，那么 3a 与 2a 分别表示什么？
2.运算律
(a) ()a
(a b) a b
a (b c) (a b) c （要理解为什么？） 消去律不成立： a c b c 不能推出 a b a b 0 也不能推出 a 0 或 b 0
六、关于求的运算
1.求模：即求向量的大小，也可以理解为 求有向线段的长度。 2.求投影：
向量 a 在 b 方向上的投影：| a | cos
计算：| a | cos | a | cos | b |
|b|
ab |b|
3.求夹角
cos a b
| a || b |
七、向量定理 1.中点定理
D 为 BC 中点 AD 1 (AB AC) 2
2.基本定理
e1 ， e2 为基底向量， a 为平面内任一向量
a e1 e2 ，这样的表示唯一
x1 x2 y1 y2
x12 y