有理数的由来
对有理数和无理数的认识
对有理数和无理数的认识摘要：本文将对有理数和无理数的由来、概念及性质作一介绍，试图对数学中关于有理数和无理数的知识作一个梳理和拓展，以此帮助初中读者加深对实数的认识。
关键词：有理数 无理数 代数无理数与超越无理数一、 有理数1、有理数的由来在远古时候人们的生活经历探索，由模型到符号的演变发展成现在数及其符号，算术运算和早期代数也随之发展起来，在这里不做详细说明(大家可以参考由［英国］ 蒂莫西·高尔斯的《数学史》译:刘熙文献)，今日的算术和维叶塔以前的算术的区别在于对“不可能”到可能“可能”态度的转变，17世纪以前的代数家赋予这个名词有绝对的意义，认定了自然数是一切算术运算的特有数域，他们把可能性或者说，限制了的可能性，视为这些运算的内在性质。
也既是算术的直接运算乘法(ab)、加法（a+b ）、自乘(ba )在自然数域中是全可能的，然而逆运算除法（ba ），减法（a-b ）、开方（b a ）要在只在有限制的条件下成立。
维塔娜以前的代数学家只满足于陈述这些事实，他们不能对这些问题做更深入的分析。
然而算术直接运算之所以全可能，是因为这些运算只不过是一系列重复运算，一步步深入到自然数中，然自然数我们先验假定为无限。
若要除去这个假定，我们把算术域限于一个有限集合（比如1000以内自然数）因此998+456>1000、600 X 50>1000就变的没意义了，然而相对式子也就失去意义。
或者限于奇数，对乘法还是全可能(奇数之积任为奇数)，然而加法就不成立了。
因此在自然数域中算术运算是全可能的。
那么问题来了，能否把把数域扩大使得算术逆运算也成立，然而对于减法，我们只要把负数和0加进去就可以了。
对于除法，只要把正负分数加进去就使得除法也全可能。
因此由正负整数，正负分数和0组成的数域称为有理数域。
（希腊文称为λογος，原意为“成比例的数”(rational number)，但中文翻译不恰当，逐渐变成“有道理的数”。
有理数的由来是什么
“有理数”这一名称不免叫人费解，有理数并不比别的数更“有道理”。
事实上，这似乎是一个翻译上的失误。
有理数一词是从西方传来，在英语中是（rational number），而（rational）通常的意义是“理性的”。
中国在近代翻译西方科学著作，依据日语中的翻译方法，以讹传讹，把它译成了“有理数”。
但是，这个词来源于古希腊，其英文词根为（ratio），就是比率的意思（这里的词根是英语中的，希腊语意义与之相同）。
所以这个词的意义就是整数的“比”。
与之相对，而“无理数”就是不能精确表示为两个整数之比的数，而并非没有道理。
若将它写成小数形式，小数点之后的数字有无限多个，并且不会循环。
常见的无理数有大部分的平方根、π等。
无理数的另一特征是无限的连分数表达式。
（强调：π就是π，π不等于3.14，不等于3.1415926，也不等于任何一个你能在纸上用阿拉伯数字所能表示的数，这一点要反复强调，2π不等于6.28，切记，切记！）
有理数是整数和分数的统称，一切有理数都可以化成分数的形式。
在有理数中，不是无限不循环小数的小数就是分数。
一切有理数都可以化成分数的形式
有理数按定义分类；有理数分为整数（正整数、0、负整数）；分数（正分数、负分数）
按性质符号分类；有理数分为正有理数（正整数、正分数）、0、负有理数（负整数、负分数）
凡是不能用a/b形式表达的实数就是无理数，又叫无限不循环小数。
有理数和无理数统称为实数。
有理数的由来
有理数的由来有理数的由来由来古埃及人约于公元前17世纪初已使用分数，中国《九章算术》中也载有分数的各种运算。
分数的使用是由于除法运算的需要。
除法运算可以看作求解方程px=q(p0)，如果p，q 是整数，则方程不一定有整数解。
为了使它恒有解，就必须把整数系扩大成为有理系。
关于有理数系的严格理论，可用如下方法建立。
在Z(Z -{0})即整数有序对(但第二元不等于零)的集上定义的如下等价关系：设 p1，p2 Z，q1，q2 Z - {0}，如果p1q2=p2q1。
则称(p1，q2)～(p2，q1)。
Z(Z -{0})关于这个等价关系的等价类，称为有理数。
(p，q)所在的有理数，记为。
一切有理数所成之集记为Q。
令整数p对应一于，即(p，1)所在的等价类，就把整数集嵌入到有理数的集中。
因此，有理数系可说是由整数系扩大后的数系。
有理数集合是一个数域。
任何数域必然包含有理数域。
即有理数集合是最小的数域。
有理数是实数的紧密子集：每个实数都有任意接近的有理数。
一个相关的性质是，仅有理数可化为有限连分数。
依照它们的序列，有理数具有一个序拓扑。
有理数是实数的(稠密)子集，因此它同时具有一个子空间拓扑。
采用度量，有理数构成一个度量空间，这是上的第三个拓扑。
幸运的是，管它的定义是有有限位，但它是无限趋近于无理数的，以致于没有手段进行判断。
证明：假设位数最多的非无限循环有理数被写出，我们在这个数的最后再加一位，这个数还是有限位有理数，但位数比已写出有理数多一位，证明原来写出的不是位数最多的非无限循环有理数。
所以位数最多的非无限循环有理数是不可能被写出的。
有理数的由来的故事
有理数的由来的故事
咱来唠唠有理数的由来，那可老有趣了。
话说在很久很久以前，人们开始数数，像1、2、3这些自然数，那是最开始的数学小伙伴。
大家用这些数来数羊啊、果子啊啥的，可方便了。
但是呢，生活中总有一些事儿光靠自然数搞不定。
比如说，把一个苹果分给两个人，每人能得到多少呢？这时候就需要新的数了。
于是分数就诞生啦，像二分之一、三分之一这些，就像是自然数的“好搭档”，和自然数一起组成了有理数这个大家族。
有理数这个名字啊，也有它的道理。
“有理”可不是说它很讲道理，而是说这些数的比例关系很明确。
就好比说你能清楚地知道三分之二就是把一个东西平均分成三份，取其中的两份。
而且在古代，各个文明都发现了有理数的存在。
古希腊的数学家们就对这些数研究得挺透彻，他们觉得这些数是很完美的，可以用来描述很多生活中的数学现象。
比如说盖房子的时候算比例啊，做买卖的时候算分成啊。
总之呢，有理数就是这么一步步从人们的生活需求里冒出来的，它们在数学的世界里可是非常重要的基础成员，要是没有它们，咱们现在的好多事儿都得乱套咯。
什么叫有理数集有理数的由来
什么叫有理数集有理数的由来很多同学都学习了有理数，那么什么是有理数？什么是有理数集？大家一起来看看吧。
有理数集简介数学上，有理数是一个整数a和一个非零整数b的比，例如3/8，通则为a/b。
0也是有理数。
有理数是整数和分数的集合，整数也可看做是分母为一的分数。
有理数与分数的区别，分数是一种比值的记法。
可以是无理数，例如根号2/2。
有理数的小数部分是有限或为无限循环的数。
不是有理数的实数称为无理数，即无理数的小数部分是无限不循环的数。
有理数集，即由所有有理数所构成的集合，用黑体字母Q表示。
有理数集是实数集的子集。
有理数名字的由来有理数这一概念最早源自西方《几何原本》，明末数学家徐光启和学者利玛窦翻译《几何原本》，前6卷时的底本是拉丁文，他们将这个词的拉丁文( 即“logos”) 译为“理”，这个“理”在文言文中的意思是“比值”。
明末时期日本落后于我们，常常派使者来我国，这个有理数的概念也被他们拿走了，但是当时的日本学者对我国的文言文理解不够，直接将在文言文中表示“比值”的“理”直译成了“道理”的“理”，没文化真坑人呀！直到清朝中期我国对有理数的翻译并没有错，可是到了清末，那时候中国落后于日本，于是清朝派留学生去日本，居然又将此名词重新传回中国，并且一直沿用至今。
以致于现在中日两国都用“有理数”和“无理数”这一错误的说法。
所以说现在对“有理数”名称的理解的疑惑是历史原因造成的。
有理数大小的比较由正有理数的大小排列我们可以知道“在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大”，于是规定“数轴上右边的点所表示的数大于左边的点所表示的数。
”根据这个规定，可以知道：正数都大于0；负数都小于0；正数大于一切负数。
对于两个正数的大小，小学时我们已经知道。
关于两个负数的比较大小，我们虽然已经可以根据它们在数轴上的位置确定，但是我们希望把它们转化为正数来进行比较，这样会使计算简便。
如|－3|=3，|－2|=2，因为3>2，所以|－3|>|－2|而由数轴可知－3<－2，即“两个负数，绝对值大的反而小”。
自然数到有理数的发展过程
自然数到有理数的发展过程一、自然数的概念自然数是最早出现的数的概念，它包括了0和正整数，用来表示物体的数量。
自然数的概念最早由人类在生活中的计数行为中形成，它是人类认识数的起点。
二、整数的引入随着人类社会的发展，人们发现在生活中还经常涉及到负数的概念，比如负债、亏损等。
为了能够更好地描述这些情况，整数的概念应运而生。
整数包括了自然数及其相反数，可以表示正负的数量关系。
三、有理数的出现在解决一些实际问题时，人们发现了一些自然数和整数无法完全表示的数，比如2除以3得到的结果。
这时，有理数的概念被引入。
有理数包括了可以表示为两个整数之比的数，其中分子和分母都是整数。
四、有理数的性质有理数具有一些重要的性质，比如加法封闭性、乘法封闭性、可逆性等。
有理数的加法、减法、乘法和除法运算都可以在有理数集合内进行，结果仍然是有理数。
五、有理数的运算有理数的运算可以通过分数的加减乘除来进行。
加法和乘法都有交换律和结合律，而减法和除法则没有交换律和结合律。
六、有理数的应用有理数在生活中有着广泛的应用，比如在温度计中，正数表示高温，负数表示低温；在金融领域，有理数用来表示资产和负债的关系；在物理学中，有理数用来表示速度、加速度等概念。
七、有理数的局限性尽管有理数在数学和现实生活中有着广泛的应用，但它依然存在一些局限性。
例如，无理数无法用有限个整数之比表示，而有些实际问题中需要用到无理数的概念。
八、无理数的引入为了解决有理数无法完全表示的问题，无理数的概念被引入。
无理数是指不能表示为两个整数之比的数，它包括了无限不循环小数和无限循环小数。
九、实数的出现实数是自然数、整数、有理数和无理数的集合，它包括了所有的数。
实数的引入是为了能够完整地描述数的概念，它是数学中最为广泛应用的概念之一。
总结：自然数是数的最早概念，整数的引入丰富了数的概念，有理数的出现解决了无法用整数表示的数的问题，无理数的引入进一步完善了数的概念，最终形成了实数的概念。
有理数产生原因及应用
有理数产生原因及应用有理数的产生原因：有理数是最基本的数学概念之一，在人类发展数学的过程中逐渐被发现和建立。
有理数的产生可以追溯到人类最早开始计数的阶段，当人类开始用数字来表示物体的数量或大小时，有理数的概念应运而生。
有理数最基本的特征就是可以用分数的形式来表示。
有理数的应用：1. 日常生活中的度量与计算：在日常生活中，我们经常会遇到需要测量、度量或计算的情况。
例如，测量房间的面积、计算购物清单的总价格、计算工资的增长等等。
这些都是使用有理数进行测量、计算和比较的情景。
2. 金融和经济领域：有理数在金融和经济领域的应用非常广泛。
例如，在财务会计中，需要进行资产负债的计算和比较；在经济学中，需要对收入、成本、市场需求等进行量化和比较。
有理数的概念和运算能够帮助我们理解和处理这些经济和金融数据。
3. 科学领域：有理数在科学领域的应用也非常重要。
在物理学中，有理数常用于测量物体的质量、长度、速度等。
在化学中，有理数常用于计算摩尔质量和化学反应中的物质比例等。
在生物学中，有理数常用于计算种群数量、遗传比例等。
有理数为科学家提供了量化和比较物理和化学现象的工具。
4. 计算机科学：在计算机科学和信息技术领域中，有理数也有着广泛的应用。
在计算机编程中，有理数被用于字节计算、内存管理等方面。
在图形图像处理中，有理数被用于坐标计算和图像搜索等方面。
有理数的概念和运算为计算机科学家提供了处理各种数据和问题的基础。
5. 统计学：在统计学中，有理数被用于收集和分析数据。
例如，在调查中收集到的数据往往可以用有理数表示。
然后利用有理数的概念和运算对数据进行分析，得出平均值、方差、相关性等统计指标，以帮助我们理解数据背后的规律和趋势。
总结起来，有理数具有广泛的应用范围，几乎涵盖了人类的各个领域。
有理数的产生源于人类对于数量和大小的认知和需求，而其应用则体现了数学在现实生活和各个学科中的重要性。
有理数概念的产生和发展史
有理数概念的产生和发展史
有理数是数学中的一个基本概念，它可以用分数的形式表示，包括正整数、负整数以及零，是数学中最基本的数系之一。
有理数的概念在古希腊时期就已经产生，并在欧几里德的几何学中得到系统的阐述，随着数学的发展，有理数的概念也得到了不断的拓展和深化。
在希腊古典文明时期，有理数被广泛应用于测量和几何学中。
例如，毕达哥拉斯学派研究了数学中的比例关系，推导出了勾股定理，从而进一步拓展了有理数的概念。
同时，希腊数学家欧多克索斯也提出了著名的欧多克索斯算法，用于求解两个有理数的最大公约数。
在中世纪时期，阿拉伯学者对有理数的研究进一步深化，他们提出了无理数的概念，并发展出了十进制小数的表示法。
此外，阿拉伯数学家还研究了分数的运算、分数的约分等问题，为有理数的发展奠定了坚实的基础。
在现代数学中，有理数的概念得到了广泛的应用。
有理数的集合是一个重要的数学对象，它被广泛运用于代数、几何、拓扑学等领域。
有理数的运算规则、有理数的完备性等问题也成为数学中的重要问题，这些问题的研究推动了数学的不断发展。
总的来说，有理数的概念可以追溯到古希腊时期，随着数学的不断发展，有理数的概念也得到了不断的拓展和深化。
有理数的概念是数学中最基本的数系之一，对于数学的研究和应用有着重要的意义。
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有理数的故事
有理数的故事
从古至今，人类一直在探索自然界中的数学规律。
而有理数便是其中重要的一类。
有理数可以表示为分子和分母为整数的分数形式，并且可以用小数形式来表示。
有理数的概念最早可以追溯到公元前500年左右的古希腊。
但当时人们只知道正整数和负整数，对于分数形式的认识还很欠缺。
数学家毕达哥拉斯在公元前6世纪时提出了一个重要的数学定理，即毕达哥拉斯定理，但在证明过程中却遇到了根号2这个数，发现无法用有理数来表示。
毕达哥拉斯为了保护自己的派对，甚至开高价禁止人们研究这个数，这也被称为“根号2之禁”。
直到公元前4世纪，另一位著名的古希腊数学家欧几里得，才发现了数学中的一大难题——平方根问题。
他证明了根号2是一个无理数，也就是不能表示成有理数的数。
这项发现使得数学理论更加完备和深刻。
后来，欧几里得又在《几何原本》中系统地阐述了有理数和无理数之间的关系，使得人们对于有理数的认识更加深入。
现代社会中，有理数随处可见。
人们在化学、物理、经济等众多领域中，都需要用到有理数。
人们对于有理数的认识也更加深刻，不仅能表示整数、分数，还可以表示实数中的有限小数和循环小数。
有理数的概念和运算已经成为中小学数学教育的重要内容。
有理数的故事不仅是数学历史的一部分，更是人类智慧和进步的缩影。
有理数的典故
有理数的典故有理数是指能够表示为两个整数的比值的数，包括整数、分数和小数。
有理数的概念源自于古希腊的毕达哥拉斯学派，他们将有理数视为世界的本质。
古希腊的毕达哥拉斯学派认为世界是有序的，万物都可以用数学来描述和解释。
然而，当他们尝试用数学来描述一些实际问题时，却遇到了一个困扰：无法用整数来表示一些长度或面积。
毕达哥拉斯学派的学生们发现，有些长度无法用整数来表示，例如斜边长为1的等腰直角三角形的底边长。
他们用尺量了一下，发现底边长约为 1.414。
这个数既不是整数，也不是分数，于是他们将其称为“无理数”。
这个发现对于毕达哥拉斯学派来说是一个巨大的冲击，因为他们坚信世界是有理性和秩序的。
于是，他们试图将无理数转化为有理数，以保持他们的信仰。
然而，他们很快发现，无理数是无法用有理数来精确表示的。
无论他们怎样尝试，都无法找到一个有理数能够完全等于无理数的值。
于是，他们不得不接受无理数的存在，并将其视为无法被完全理解的神秘力量。
这个故事告诉我们，有时候我们无法用有限的理性来解释一些现象和问题。
世界是复杂多样的，其中包含了许多我们无法完全理解的东西。
有时候，我们需要接受一些事物的存在，即使它们超出了我们的理解范围。
有理数的典故也提醒我们要保持谦逊和开放的心态。
我们不能仅仅因为我们无法理解某个概念或现象，就拒绝接受它的存在。
只有保持开放的心态，我们才能够不断学习和进步。
有理数的典故还告诉我们，数学是一门不断发展和演变的学科。
古希腊的数学家们提出了有理数的概念，但他们无法解决无理数的问题。
直到后来，勾股定理的发现和数学分析的发展，才使人们对无理数有了更深入的理解。
在现代数学中，有理数和无理数都被广泛应用。
它们不仅仅是数学的概念，也是自然科学、工程技术等领域中不可或缺的工具。
有理数和无理数的研究不仅帮助我们解决实际问题，也推动了数学本身的发展。
有理数的典故让我们意识到世界的复杂性和无限性。
它提醒我们要保持谦逊和开放的心态，不断学习和进步。
有理数名字释疑
理就是规律的意思，例如1/3是无限循环小数，3是整数，0.3是小数
而对应的无理数，小数部分是无限不循环小数，没有规律可循，例如根号2
“有理数”这一名称不免叫人费解，有理数并不比别的数更“有道理”。
事实上，这似乎是一个翻译上的失误。
有理数一词是从西方传来，在英语中是rational number，而rational通常的意义是“理性的”。
中国在近代翻译西方科学著作，依据日语中的翻译方法，以讹传讹，把它译成了“有理数”。
但是，这个词来源于古希腊，其英文词根为ratio，就是比率的意思（这里的词根是英语中的，希腊语意义与之相同）。
所以这个词的意义也很显豁，就是整数的“比”。
与之相对，“无理数”就是不能精确表示为两个整数之比的数，而并非没有道理。
概述有理数的历史
概述有理数的历史
有理数的历史可以追溯到古希腊和古印度时期。
在古希腊，毕达哥拉斯和他的学派是最早研究有理数的人之一，他们将有理数定义为两个整数的比值，其中分母不为零。
在古印度，印度数学家在计算和几何领域作出了重要贡献，他们注意到无论是正数还是负数，都可以表示为分数的形式，并且提出了零是一个有理数的概念。
随着时间的推移，有理数的研究逐渐扩展到其他文化中。
在中国，数学家们很早就开始使用算筹来计算，并发展出了分数和小数的计算方法。
在欧洲，数学家们继续探索有理数的性质，并发展了更多关于它们的理论，例如欧几里得的《几何原本》中包含了对有理数的系统定义和运算规则。
有理数的历史还与分数的发展密切相关。
随着人们对分数的理解加深，有理数的概念也变得更加丰富和完善。
分数是有理数的一种形式，可以表示为两个整数的比值，其中分母不为零。
总的来说，有理数的历史可以追溯到古希腊和古印度时期，并随着时间的推移扩展到其他文化和欧洲。
有理数的发展与分数的发展密切相关，并且对今天的数学和科学领域都有着重要的影响。
1.2.1 有理数
1.2.1 有理数在我们的数学世界中，有理数是一个非常基础且重要的概念。
那什么是有理数呢？简单来说，有理数就是可以表示为两个整数之比的数。
我们先从整数开始说起。
整数包括正整数、零和负整数，像 1、2、3 是正整数，－1、－2、－3 是负整数，而 0 则是一个特殊的存在。
整数在我们的日常生活中经常用到，比如数人数、计算物品的数量等等。
但是，只有整数是不够的，我们还需要更丰富的数来描述各种情况。
这就引出了有理数。
比如 1/2、－3/4 这样的分数，它们都是有理数。
有理数的范围比整数更广，因为它包含了整数和分数。
有理数具有一些很重要的性质。
首先，有理数的加、减、乘、除运算都是封闭的。
这是什么意思呢？就是说，两个有理数进行加、减、乘、除运算，得到的结果仍然是有理数。
举个例子，1/2 ＋ 1/2 ＝ 1，这是一个有理数；3 2 ＝ 1，也是有理数；2 × 3/2 ＝ 3，还是有理数；4 ÷ 2 ＝ 2，依然是有理数。
有理数还可以按照大小进行排序。
我们通常使用数轴来直观地表示有理数的大小关系。
在数轴上，越靠右的有理数越大，越靠左的有理数越小。
比如－2 在－1 的左边，所以－2 小于－1。
有理数在解决实际问题中也有广泛的应用。
比如在测量物体的长度时，如果我们测量得到的结果是一个小数，那么这个小数通常可以表示为一个有理数。
又比如在计算商品的折扣价格时，涉及到的分数和小数也都是有理数。
再来说说有理数的分类。
有理数可以分为正有理数、零和负有理数。
正有理数包括正整数和正分数，负有理数包括负整数和负分数。
正有理数都大于 0，负有理数都小于 0。
而 0 既不是正有理数，也不是负有理数，它是一个独立的存在。
有理数的出现，让我们的数学运算和对世界的数量描述更加精确和丰富。
它为我们解决各种数学问题和实际生活中的计算提供了有力的工具。
在数学的学习过程中，我们要深刻理解有理数的概念和性质，熟练掌握有理数的运算，这样才能为后续更复杂的数学学习打下坚实的基础。
有理数的历史故事50字
有理数的历史故事50字
有理数是指可以表示为两个整数之比的数，如1/2、3/4等等。
其
历史可以追溯到古希腊时期，当时的数学家毕达哥拉斯提出了有理数
的概念。
他们发现一些问题无法用整数解决，比如一边长为1的正方
形的对角线长度是无法精确表示为整数的。
为了解决这个问题，毕达
哥拉斯们创造了一个新的数学领域——有理数。
在古代，有理数主要用于几何学，并在建筑和土木工程中得到广
泛应用。
人们用有理数来测量长度，计算面积，解决各种实际问题。
经过数学家们的不断努力，有理数逐渐成为数学的基础，被广泛研究
和应用。
但是，有理数也存在一些问题。
最著名的例子是平方根为无限不
循环小数的数，如根号2。
古希腊数学家发现这些数无法用两个整数之比来表示，因此无法称之为有理数。
这个发现引发了数学界的震动，
并推动了更深入的研究。
在古希腊后期，数学家们发现了更多这样的数，即无法表示为两
个整数之比的数。
这些数被称为无理数，与有理数相对。
无理数的发
现颠覆了古希腊人对数的理解，使数学领域进入了一个全新的阶段。
有理数和无理数的出现，推动了数学的发展。
人们开始研究实数，实数是有理数和无理数的集合，包括所有可以用无限小数表示的数。
实数的引入为解决各类问题提供了更广阔的数学工具。
总结起来，有理数的历史讲述了人类不断探索数学的过程。
它的
发现和研究推动了数学的发展，拓展了我们对数的理解。
有理数的历
史故事告诉我们，数学是一门不断进步的科学，通过不断质疑和探索，我们可以开拓数学的边界。
有理数的由来是什么
有理数的由来是什么标准化管理处编码[BBX968T-XBB8968-NNJ668-MM9N]
有理数的由来是什么
汉语中“数学”一词的大约产生于宋元时期。
有理数：数学上，有理数是一个整数a和一个非零整数b的比（ratio），通常写作a/b，故又称作分数。
希腊文称为λογο，原意为“成比例的数”（rational number），但并非中文翻译不恰当。
有理数这一概念最早源自西方《几何原本》，在中国明代，从西方传入中国，而从中国明代传入日本时，出现错误。
明末数学家徐光启和学者利玛窦翻译《几何原本》前6卷时的底本是拉丁文。
他们将这个词（即“logos”）译为“理”，这个“理”指的是“比值”。
日本在明治维新以前，欧美数学典籍的译本多半采用中国文言文的译本。
日本学者将中国文言文中的“理”直接翻译成了理，而不是文言文所解释的“比值”。
后来，日本学者直接用错误的理解翻译出了“有理数”和“无理数”。
当有理数从日本传回中国时又延续错误。
清末中国派留学生到日本，将此名词传回中国，以至现在中日两国都用“有理数”和“无理数”的说法.可见，由于当年日本学者对中国文言文的理解不到位，才出现了今天的误译。
不是有理数的实数遂称为无理数。
有理数的典故
有理数的典故有理数是指可以表示为两个整数的比值的数，包括正整数、负整数和零。
有理数的典故可以追溯到古希腊的毕达哥拉斯学派。
毕达哥拉斯学派是古希腊数学的重要学派之一，他们对有理数的研究起到了重要的推动作用。
在毕达哥拉斯学派看来，数字是神圣的，它们是宇宙的基本构成单位。
然而，他们发现了一些让他们困惑的数字，比如根号2的数字。
根号2无法表示为两个整数的比值，这对毕达哥拉斯学派来说是一种破坏了他们神圣数字观念的存在。
在公元前6世纪，有一位著名的数学家和哲学家毕达哥拉斯提出了一个有名的问题：是否存在一个既不能表示为整数的比值，也不能表示为两个整数的比值的比值呢？这个问题被称为“毕达哥拉斯的无理数问题”。
为了解决这个问题，毕达哥拉斯学派展开了一系列的研究。
他们试图通过勾股定理来解决这个问题，但很快发现根号2不是一个有理数。
这个发现击碎了他们对数字的神圣观念，带来了一场数学的革命。
后来，欧几里得提出了一个证明，证明了根号2是一个无理数。
这个证明被称为“反证法”。
他假设根号2是一个有理数，然后通过推理推出矛盾的结论，证明了根号2不是一个有理数。
这个证明让人们开始意识到，有理数并不是所有数的完整描述。
有理数的典故还可以追溯到另一个著名的数学家欧多克斯塔斯。
他发现了一种新的数，这种数既不能表示为整数的比值，也不能表示为两个整数的比值的比值。
这种数被称为“无理数”，它是有理数的补充。
有理数的典故告诉我们，数学是一个不断发展的学科。
在数学的发展过程中，人们对数字的认识和理解也在不断深化。
有理数的研究使人们开始思考那些无法用有理数表示的数，这推动了数学的发展。
今天，有理数在数学和实际生活中都有着广泛的应用。
在数学中，有理数是一个重要的基础概念，它是实数和复数的基础。
在实际生活中，有理数被广泛应用于测量、计算和描述。
比如，我们常常使用有理数来表示长度、面积、体积等物理量。
有理数的典故不仅仅是一段历史，更是对人类思维的一次挑战和突破。
有理数名称的由来
有理数名称的由来
“有理数”这一名称不免叫人费解，有理数并不比别的数更“有道理”、事实上，这大概是一个翻译上的失误、有理数一词是从西方传来，在英语中是rationalnumber，而rational通常的意义是“理性的”、中国在近代翻译西方科学著作，依据日语中的翻译方法，以讹传讹，把它译成了“有理数”、然而，那个词来源于古希腊，其英文词根为ratio，确实是比率的意思〔那个地方的词根是英语中的，希腊语意义与之相同〕、因此那个词的意义也特别显豁，确实是整数的“比”、与之相对，“无理数”确实是不能精确表示为两个整数之比的数，而并非没有道理、。
有理数是怎么产生的
有理数是怎么产生的很久很久以前，人类的祖先群居在森林里、山洞中，身上披的是兽皮和树叶，吃的是山上的野兽、树上的野果和水里的鱼，终年靠狩猎为生.那时候，虽然每天猎取的食物不多，但仍然有一个记数的问题.开始，人们只是以“多”和“少”来区分.渐渐地，有人想到可以扳着手指头来数数，因为那时每天狩猎的结果也只是“屈指可数”的水平.再后来，狩猎的工具改进了，水平也提高了，当猎物超过十个以后，“屈指”已不可数，于是又想到在一条绳子上打结来记数.周代（公元前10世纪前后）《易经·系辞》中记载的“上古结绳而治”，指的就是那个远古的时代.又过了不知多少年代，人们渐渐感到“结绳’不但麻烦，而且时间一长往往记不清这些“结”指的是什么了，终于想到要用一些符号来表示各种不同的东西和各种东西的数目，出现了最早的数字.例如，公元前三、四千年我国西安的半坡遗址和公元前近二千年的二里头遗址的陶文中，就有 | || ||| ||||×或X ∧或个+ 八+ |等符号，它们分别表示 1 2 3 4 5 6 7 8 70.在殷墟的甲骨文卜辞中，也有许多数字（参见《中国数学的世界之最》一文）.在国外，大约在公元八世纪有一种印度的数字传入阿拉伯，它们是：〡∧∨ 10，等等，它们分别表示l：2、工4、5、5、7：8、9、10．这种数字后来由阿拉伯传人欧洲，被欧洲人称作阿拉伯数字.这些数字符号，在使用过程中经人们不断的改进，最后演变成现在我们所使用的数字.数字的出现，给人们的生产和生活带来了极大的方便.但如何用尽量少的数字来表示那么多的数呢？这个问题，在中国人首先创立了十进制记数法以后，才最终得到圆满的解决.打猎有时两人合作才能猎获一只兔子，有时五人合作一共猎获二头羊.如何分配这些食物呢？起初，人们只知道“二分一”、”五分二’；后来，才逐渐形成了分数的概念，记录下来，就是“二分之一”、“五分之二”、... ...，这也是中国人首创的.《周髀算经》中已大量使用分数，《九章算术》（约公元前100～50年）给出了相当完整的分数理论，比欧洲同类著作大约早1400年.我们现在所说的分数除法把除数“颠倒相乘”，就是我国古代教学家刘徽（公元前三世纪）的原话.人类对零的认识比较晚.打不到野兽，空手而归，这是最初对“零”的印象──空虚、饥饿、一无所有.在记录这种情况时，各民族大多不约而同地用空位来表示.后来，又用符号“□”表示空位（有人推测这是个空无一物的牲畜栏），慢慢地就演化成现的“0”了.正如伟大导师恩格斯所精辟论断的那样“数和形的概念不是从其他任何地方，而是从现实世界中得来的”.在小学教学中，算式“2-3”给我们的印象是“不够减”.但学习了《有理教》的知识以后，我们就能解决这个问题了.有理数包括正数、负数和0.正负数的概念也是从生产实际的需要中产生的.生产发展了，一方面，人们的“财富”多起来，同时也促使人们“互通有无”，进行交换.于是，人们把私有财产记为正，欠债记为负；收入记为正，支出记为负；运进记为正，运出记为负；超出记为正，不足记为负……人们从这些具有相反意义的量中抽象出了正数和负数的概念.负数是相对于正数而言的.正数和负数既相互对立，又相互依存.我们的祖先不仅最早认识到负数的存在，而且总结出正负数的加减运算法则（如《九章算术》），这在当时也是一件具有世界意义的重大创造.由于生产实践的需要，随着科学技术的发展，数的概念一直在不断地扩充.目前，对于人类已经掌握的数的概念，其关系可综述为：。
有理数为什么叫有理数
有理数为什么叫有理数
在数学的广阔天地中，有理数占据了一个特殊且核心的地位。
那么，为什么它们被称为“有理数”呢？这里的“有理”究竟蕴含了怎样的深意？
“有理数”的“有理”二字，源于它们可以表示为两个整数的比值。
换句话说，每一个有理数都可以被写成一个整数a与另一个非零整数b的商，即a/b的形式。
这种比值表示法为有理数提供了坚实的数学基础，并且确保了有理数在运算时的封闭性、结合性、交换性和分配性等基本性质。
是一个正有理数，有理数包括正数、负数以及零，它们都可以由整数经过除法运算得到。
例如，3
2则是一个负有理数。
零也可以视为一个有理数，因为它可以表示为任何整数与自身的比值。
而−3
5
有理数的命名不仅仅是一个数学概念，它也体现了数学的哲学思想。
在数学中，有理数代表着一种有序、有理有据的思维方式，它们是人类理性思维的产物。
有理数的存在使得我们可以进行精确的计算和推理，为解决各种实际问题提供了有力的工具。
总的来说，有理数之所以被称为“有理数”，是因为它们可以表示为两个整数的比值，这种比值表示法为有理数提供了坚实的数学基础，并体现了数学的理性与有序性。
有理数不仅在数学领域中有着广泛的应用，更是人类理性思维的结晶，为我们的日常生活和科学研究提供了重要的支撑。
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由来古埃及人约于公元前17世纪初已使用分数，中国《九章算术》中也载有分数的各种运算。
分数的使用是由于除法运算的需要。
除法运算可以看作求解方程px=q(p0)，如果p，q是整数，则方程不一定有整数解。
为了使它恒有解，就必须把整数系扩大成为有理系。
关于有理数系的严格理论，可用如下方法建立。
在Z(Z -{0})即整数有序对(但第二元不等于零)的集上定义的如下等价关系：设 p1，p2 Z，q1，q2 Z - {0}，如果p1q2=p2q1。
则称(p1，q2)～(p2，q1)。
Z(Z -{0})关于这个等价关系的等价类，称为有理数。
(p，q)所在的有理数，记为。
一切有理数所成之集记为Q。
令整数p对应一于，即(p，1)所在的等价类，就把整数集嵌入到有理数的集中。
因此，有理数系可说是由整数系扩大后的数系。
有理数集合是一个数域。
任何数域必然包含有理数域。
即有理数集合是最小的数域。
有理数是实数的紧密子集：每个实数都有任意接近的有理数。
一个相关的性质是，仅有理数可化为有限连分数。
依照它们的序列，有理数具有一个序拓扑。
有理数是实数的(稠密)子集，因此它同时具有一个子空间拓扑。
采用度量，有理数构成一个度量空间，这是上的第三个拓扑。
幸运的是，所有三个拓扑一致并将有理数转化到一个拓扑域。
有理数是非局部紧致空间的一个重要的实例。
这个空间也是完全不连通的。
有理数不构成完备的度量空间;实数是的完备集。
p进数除了上述的绝对值度量，还有其他的度量将转化到拓扑域：设p是素数，对任何非零整数a设 | a | p= p- n，这里pn是p的最高次幂除a另外 | 0 | p= 0。
对任何有理数，设。
则在上定义了一个度量。
度量空间不完备，它的完备集是p进数域。
一个困难的问题：有理数的边界在哪里? 根据定义，无限循环小数和有限小数(整数可认为是小数点后是0的小数)，统称为有理数，无限不循环小数是无理数。
但人类不可能写出一个位数最多的有理数，对全地球人类，或比地球人更智慧的生物来说是有理数的数，对每个地球人来说，可能是无法知道它是有理数还是无理数了。
因此有理数和无理数的边界，竟然紧靠无理数，任何两个十分接近的无理数中间，都可以加入无穷多的有理数，反之也成立。
竟然没有人知道有理数的边界，或者说有理数的边界是无限接近无理数的。
定理：位数最多的非无限循环有理数是不可能被写出的，尽管它的定义是有有限位，但它是无限趋近于无理数的，以致于没有手段进行判断。
证明：假设位数最多的非无限循环有理数被写出，我们在这个数的最后再加一位，这个数还是有限位有理数，但位数比已写出有理数多一位，证明原来写出的不是位数最多的非无限循环有理数。
所以位数最多的非无限循环有理数是不可能被写出的。