3-3 第三章 离散傅里叶变换-三种误差

6
8
1 (c )
相位
0
－1
0
2
4 W / rad
6
8
x(n)的频谱 (a) x(n)波形； (b) 幅频特性曲线； (c) 相频特性曲线
做DFT时参数的选取例题word3-3 第k根谱线所代表的频率是多少？
见例题
频率分辨率与DFT参数的选择
频率分辨率可以从两个方面来定义： 第一种定义是广义的，能够分辨开靠得很近的 两个频率分量的能力，也称作频率分辨力。 第二种定义是狭义的，专门用于刻画DFT的一 种频谱分析性能，是指某点数条件下DFT所表 示的最小频率间隔。这种定义不一定具有第一 种频率分辨率的含义。
ω(π)
0.8 1
尾巴信号还要与原信号相乘相加，造成频谱泄露
30 20 10 0 -10 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
Hd(e jθ)
W(e jω-θ)
θ(π)
200 150 100 50 0 -50 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6
2Leabharlann Baidu DFT的谱线间隔等于 N
，所以，等效的频率
分辨率为
f
fs f N
用DFT做谱分析的参数选择原则：主要是 f s 和N。 第一：取样频率 f s 应满足奈奎斯特取样率, 即 Ts 1/ 2 f m。 第二：采样点数N一般由频率分辨率 f 来确定， 即 N f s / f ，考虑到DFT由FFT算法实现，一 般N取成2的整数幂（ N 2 M ） 第三：上面两个参数确定后，进而得到信号的记录 长度 T NT N / f 1 。
1.混叠现象 若已知 xa (t ) 是频率范围为0 f f m 的带限信号，由 采样定理可知，当采样频率 f s 2 f m 时将出现频谱混叠， 因此使得频谱分析出现误差，消除该误差，采样频率 需 f s 2 f m。 实际中很多情况下可能无法预计原始信号的频率范 围 ，为了防止混叠，通常在采样前用一个模拟低通带 限滤波器将原始信号的上限频率限制在采样频率的一半 以内，这种模拟滤波器称为抗混叠滤波器。 解决：抗混叠滤波+采样定理
30 20 10 0 -10 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
Hd(e jθ)
W(e jω-θ)
θ(π)
200 150 100 50 0 -50 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6
ω(π)
0.8 1
30 20 10 0 -10 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
可见，时域增补零的效果实际上相当于改变 了频域采样点的位置。 改善栅栏效应：
补0，使N增大，可更细观察 。 栅栏效应减小了，分辨率提高了吗？没有！
数据后补零的影响：为什么要补零？
不能提高分辨率，没有增加数据有效长度！ 数据过短，补零后只可起到一定的插值作用； 补零后使数据长度为 2 的整次幂，有利于FFT。
2 0 .02 N
k=0,1,…,N-1 k=0,1,…,99 k=0,1,…,99
k 10 1 0 .510 W100 k 1 0 .510 W100
X(k)的幅频特性和相频特性
1 x(n) (a ) 0.5 0 0 2 5 n 10
幅度
(b )
1 0 0
2
4 W / rad
…… -2ωs -ωs
ω s<2 ω m时 抽样信号频谱与原时间 连续信号频谱的关系？
…… -2ωs -ωs
在A/D变换之前要让信号通过一个低通滤波器， 起什么作用？ 在A/D变换之前让信号通过一个低通滤波器，是 为了限制信号的最高频率，使其满足当采样频 率一定时，采样频率应大于等于信号最高频率2 倍的条件。此滤波器也叫“抗混叠”滤波器。
抽样信号和原连续信号的关系
f(t) F(ω) ω ωm …… ω
0 fs(t)
t
0
ω s>2 ω m时
…… -ωs
Fs(ω) 0 ωm Fs(ω) 0 ωm ωs Fs(ω) 0 ωmωs 2ωs 3ωs 4ωs 5ωs …… ω 2ωs 3ωs 4ωs …… ω ωs 2ωs 3ωs
0
t
ω s=2 ω m时
ω(π)
0.8 1
尾巴信号还要与原信号相乘相加，造成频谱泄露 见程序演示
解决频谱泄露问题：
1、增大N 2、使信号缓慢截断，即加旁瓣小的窗
3.栅栏现象 j X (e ) 的频域采样，因此 X (k ) 只反映了在 X (k ) 是 离散点 2k / N（ 0 k N 1）上的值，而无法反 映这些点之间的频谱内容。这就是栅栏现象。 如果原始信号的频谱峰值正好在两个离散点之 间时，离散傅里叶变换就无法检测出此峰值。
在 N点 x1 (n) 后加 M-N个零，则序列变为长为 M的新序列 x2 (n)：
0 k N 1 x1 (n)， x 2 ( n) 0，N k M 1
x2 (n)
的DFT为：
j
X 2( e
)
M 1 n 0
x ( n )e
2
j n
x1 ( n )e
Hd(e jθ)
W(e jω-θ)
θ(π)
200 150 100 50 0 -50 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6
ω(π)
0.8 1
30 20 10 0 -10 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
Hd(e jθ)
分辨率给的是数字频率，怎么办？
解 (1) 根据频率分辨率求N：数字频率一圈是2π， 分成N份，每份就是分辨率： 所以：N≥100, 取N=100 (2) 计算x(n)的N点DFT：
X ( k ) DFT [ x ( n )]
kn x ( n ) W N n 0 n kn 0 . 5 W 100 n 0 N 1 N 1
W(e jω-θ)
θ(π)
200 150 100 50 0 -50 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6
ω(π)
0.8 1
30 20 10 0 -10 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
Hd(e jθ)
W(e jω-θ)
ω(π)
0.8 1
尾巴信号还要与原信号相乘相加，造成频谱泄露
30 20 10 0 -10 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
Hd(e jθ)
W(e jω-θ)
θ(π)
200 150 100 50 0 -50 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6
离散傅里叶变换的应用
利用离散傅里叶变换可以做谱分析。 谱分析：计算信号的频谱，包括振幅谱、相位 谱和功率谱。
与DFT有关的几个问题
由于DFT是DTFT的离散值，所以用DFT进行谱 分析会造成三种误差现象：
• 混叠现象 • 泄露现象 • 栅栏现象
通过分析这三种误差现象，可以得出DFT 做谱分析时参数选择的原则。
解 (2)最大采样间隔:
1 1 Ts < 0.125ms 3 2 f m 2 4 10
(3)最小记录点数:
f s 2 4 103 N 800 10 f
N取1024
(1)最小记录长度:
T N Ts 1024 0.000125 0.128s
例 x(n)=0.5nR10 (n)，用DFT分析x(n)的频谱， 要求频率分辨率为 0.02π，并画出幅频曲线和相 频曲线。 (1) 根据频率分辨率求N： (2) 计算x(n)的N点DFT. (3) X(k)的幅频特性和相频特性
n 0
N 1
j n
X 1( e
j
)
可见，增补零值前后序列的频谱没有发生变化。
但
X 2 (k ) DFT[ x2 (n)] x2 (n)e
n 0 M 1 2 j nk M
x1 (n)e
n 0
N 1
j
2 nk M
X 1 ( e j )

2 k M
2.泄漏现象 DFT是对有限长序列定义的，因此为了做DFT， 在时域上需要截取，造成泄漏误差。 设 x(n) 是 xa (t ) 的采样，有限长序列 x1 (n) 是 的序列，即
x1 (n) x(n) RN (n)
0 n N 1
x ( n)
中
任何截断可以看成与矩形函数相乘，则频域卷积。 为什么频谱泄露了？
θ(π)
200 150 100 50 0 -50 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6
ω(π)
0.8 1
30 20 10 0 -10 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
Hd(e jθ)
W(e jω-θ)
θ(π)
200 150 100 50 0 -50 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6
s s
f
[例] 有一频谱分析用的FFT处理器,其采样点数须是2 的整数幂,假设没有采用任何的数据处理措施, 已给条件为: (1)频谱分辨率 10 HZ (2)信号最高频率 4 KHZ 试确定以下参量: (1)最小记录长度T； (2)采样点间的最大时间间隔 Ts ； (3)在一个记录中最少点数N 。