3-3 第三章 离散傅里叶变换-三种误差
数字信号第三章 离散傅里叶变换
第三章离散傅里叶变换DFT: Discrete Fourier Transform第三章学习目标z理解傅里叶变换的几种形式z掌握离散傅里叶变换(DFT)及性质，圆周移位、共轭对称性，掌握圆周卷积、线性卷积及两者之间的关系z掌握频域抽样理论z掌握DFT的应用引言DFT要解决两个问题：一是频谱的离散化；二是算法的快速计算(FFT)。
这两个问题都是为了使计算机能够实时处理信号。
Fourier变换的几种可能形式时间函数频率函数连续时间、连续频率—傅里叶变换连续时间、离散频率—傅里叶级数离散时间、连续频率—序列的傅里叶变换可以得出一般的规律：一个域的离散对应另一个域的周期延拓；一个域的连续必定对应另一个域的非周期。
−jwndw e jwn 时域离散、非周期频域连续、周期z 时域周期化→频域离散化z 时域离散化→频域周期化离散连续周期性非周期性引言Fourier变换的几种可能形式时间函数频率函数连续时间、连续频率—傅里叶变换连续时间、离散频率—傅里叶级数离散时间、连续频率—序列的傅里叶变换离散时间、离散频率—周期序列的傅里叶级数由DTFT到DFS离散时间、离散频率的傅立叶级数（DFS）由上述分析可知，对DTFT，要想在频域上离散化，那么在时域上必须作周期延拓。
对长度为M的有限长序列x(n)，以N为周期延拓（N≥M）。
注意：周期序列的离散傅里叶级数（DFS）只对有限长序列作周期延拓或周期序列成立。
……四种傅里叶变换形式的归纳时间函数频率函数连续和非周期非周期和连续连续和周期(T0)非周期和离散(Ω=2π/T)离散(T)和非周期周期(Ωs=2π/T)和连续离散(T)和周期(T0)周期(Ωs=2π/T)和离散(Ω=2π/T)在进行DFS 分析时，时域、频域序列都是无限长的周期序列周期序列实际上只有有限个序列值有意义长度为N 的有限长序列可以看成周期为N 的周期序列的一个周期（主值序列）借助DFS 变换对，取时域、频域的主值序列可以得到一个新的变换—DFT ，即有限长序列的离散傅里叶变换3.1 离散傅里叶变换（DFT ）的定义及物理意义——有限长序列的离散频域表示x(n)的N 点DFT 是¾x(n)的z 变换在单位圆上的N 点等间隔抽样；¾x(n)的DTFT 在区间[0，2π）上的N 点等间隔抽样。
第三章离散傅里叶变换及其快速计算方法(DFT、FFT)
X (e jw )
（2）Z 变换 -- 提供任意序列的 z 域表示。
n
x( n)e jnw
X (z)
n
x ( n) z n
这两种变换有两个共同特征：
（1）变换适合于无限长序列 （2）它们是连续变量 ω 或 z 的函数
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3
3.1 问题的提出：可计算性
X (z)
而对于
n
x ( n) z n
n
x ( n) z n
找不到衰减因子使它绝对可和（收敛）。为此，定义新函 数，其 Z 变换：
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15
DFS 定义：正变换
X ( z)
n
x ( n) z n ~ ( n ) z n x
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6
3.1 问题的提出：傅里叶变换的四种形式 （3）
2. 周期连续时间信号：傅里叶级数 FS
~ (t ) x X (n 0 )
t T
时域周期频域离散
0
2 T
x(t)
~
n -
X(n 0 )e jn0t
时域连续函数造成频域是非周期的谱。 频域的离散对应时域是周期函数。
X (e jT )
T T
X (e jT )e jnT d
取样定理
n
x(nT )e jnT
1 X ( 0 ) T n
时域的离散化造成频域的周期延拓 时域的非周期对应于频域的连续
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8
《离散傅里叶变换-第三章》
n0 0 = kn 8 7
3
3
2π − j kn 8
3 − j kπ 8
(2) 设变换区间N=16， 则
X(k) = ∑ x(n)W
n= 0
3π k −j 16
π
N= 0 = n0 0
2 = ∑ e, k = 0,1, ⋅ ⋅ ⋅, 7 π N =0 sin( k ) 8
2. 时域循环移位定理 设x(n)是长度为N的有限长序列，y(n)为x(n)的循环移位，即： y(n)=x((n+m))NRN(n) 则: Y(k)=DFT[y(n)]=W-kmNX(k) 其中:X(k)=DFT[x(n)], 0≤k≤N-1
kn 证明： Y ( k ) = DFT [ y (n )] = x (( n + m )) N RN (n )WN ∑ N− 令n+m=n′，则有1 n =0 N −1
~
~ ∞
x (n ) =
m =−∞
∑
x ( n + mN )
(3.1.5)
(3.1.6) ••
~
x (n ) ••
0
••
N-1
•
n
x (n ) = x ( n ) ⋅ RN (n )
~
~
••
••
~(n ) x
•• •
0
••
•
••
•• •
~
••
N-1
•
n
一般定义周期序列 x(n) 中从n=0到N-1的第一个周期为 x(n)的主 n) x(n) (3.1.7) x( 值区间，而主值区间上的序列称为x(n) 的主值序列。(3.1.7) x(n)
第3章离散时间傅里叶变换
第3章 离散时间傅里叶变换在信号与系统中，分析连续时间信号可以采用时域分析方法和频域分析方法，它们之间是通过连续时间的傅里叶变换来完成从时域到频域的变换，它们之间是完成了一种域的变换，从而拓宽了分析连续时间信号的途径。
与连续时间系统的分析类似，在离散时间系统中，也可以采用离散傅里叶变换，将时间域信号转换到频率域进行分析，这样，不但可以得到离散时间信号的频谱，而且也可以使离散时间信号的分析方法更具有多元化。
本章将介绍离散时间系统的频域分析方法。
3.1 非周期序列的傅里叶变换及性质3.1.1 非周期序列傅里叶变换1．定义一个离散时间非周期信号与其频谱之间的关系，可用序列的傅里叶变换来表示。
若设离散时间非周期信号为序列)(n x ，则序列)(n x 的傅里叶变换(DTFT)为：正变换： ∑∞-∞=ω-ω==n nj j en x e X n x DTFT )()()]([ (3-1-1)反变换： ⎰ππ-ωωω-ωπ==d e e X n x e X DTFT n j j j )(21)()]([1 (3-1-2)记为：)()(ω−→←j Fe X n x当然式(3-1-2)等式右端的积分区间可以是)2,0(π或其它任何一个周期。
[例3-1] 设序列)(n x 的波形如图3-1所示，求)(n x 的傅里叶变换)(ωj e X解：由定义式(3-1-1)可得ωω=--=--===ω-ω-ωω-ω-ωω-ω-ω-ω-=ω-∞-∞=ω∑∑21sin 3sin )()(11)()(25212121333656j j j j j j j j j nj n nj n j ee e e e e e e e een R e X 2．离散时间序列傅里叶变换存在的条件：离散时间序列)(n x 的傅里叶变换存在且连续的条件为)(n x 满足绝对可和。
即：∞<∑∞-∞=)(n x n （3-1-3）反之，序列的傅里叶变换存在且连续，则序列一定是绝对可和的。
第3章离散傅里叶变换
第[ax1 (n) bx2 (n)] aX1 (k ) bX2 (k )
式中，a, b为任意常数。该式可根据DFT定义证明。 2. x1 (n) 和 x2 (n) 的长度N1和N2不等时， 选择
N max N1 , N 2
为变换长度,短者进行补零达到N点。
x(n ) 2 (a ) 0 N －1 n (e) o N －2 N －1 x(n ) 1 n ＝0
~ x ( n)
(b )
0
N －1
n (f)
2 1 n ＝0 N －2 N －1
~ x (n 2) x (( n 2)) N
(c)
0
N －1
n (g ) 2 1 n ＝0
x(( n 2)) N RN (n)
第3章 离散傅里叶变换 五、 DFT形式下的帕斯瓦尔定理
1 x(n) y (n) N n 0
* N 1
X (k )Y * (k )
k 0
kn Y ( k ) W N k 0 N 1 N 1 n 0 kn N *
N 1
证
1 * x ( n ) y ( n ) x ( n ) N n 0 n 0
X (k ) DFT[ x(n)]
则
nl IDFT[ X ((k l ))N RN (k )] WN x(n) e j 2 nl N
x(n)
这就是调制特性。它说明，时域序列的调制等效于频域的圆周移位。
第3章 离散傅里叶变换
三、对偶性 • 若 • 则
X (k ) DFT[ x(n)]
N 1 N 1
1 N
Y (k ) x(n)W
* k 0
N 1
第3章--离散傅里叶变换(DFT)(用此参考课件上课)
x(n)
三. DFT的隐含周期性
DFT变换对中，x(n)与X(k)均为有限长序列，但由于 WNkn的周期性，使x(n) 和X(k)均具有隐含周期性，且周期
均为N。 对任意整数m，总有
1 使DFT具有特殊性质(如循环移位、循环卷积等)的根 本原因，也是学习DFT需要着重理解的性质！ 2 不论原始有限长度序列的性质如何，只要对它做DFT 运算，即将它看做是周期为N的周期序列
xn
W kn 2N
n0
nN
N 1
N 1
x
n
W kn 2N
x n N W2kNnN
n0
n0
N1
k n N 1
kn kN
x n WN2 x n N WN2 WN 2
n0
n0
N 1
x
kn
n WN2
1 e jk
n0
2
X
k 2
,
0，
k 偶数 k 奇数
0 k 2N -1
证：利用周期序列的移位性质加以证明
DFS [x((n m)) N ] DFS [~x (n m)] WNmk X~(k)
可直接按IDFT{Y(k)}证明
再利用DFS和DFT关系
DFT[x((n m))N RN (n)] DFT[~x (n m)RN (n)] WNmk X~(k )RN (k ) WNmk X (k )
例题：
已知x(n)是长度为N的有限长度序列，X(k)=DFT[x(n)]，
令 y n x n N R2N n ，试求Y(k)=DFT[y(n)]与X(k)之间的关系。
解：
2 N 1
2 N 1
Y k
y
n
第三章离散时间信号的傅里叶变换
第三章离散时间信号的傅里叶变换课程：数字信号处理目录第三章离散时间信号的傅里叶变换 (3)教学目标 (3)3.1引言 (3)3.2傅里叶级数CFS (4)3.2.1傅里叶级数CFS定义 (4)3.2.2傅里叶级数CFS性质 (6)3.3傅里叶变换CFT (7)3.3.1傅里叶变换CFT定义 (7)3.3.2傅里叶变换CFT的性质 (8)3.4离散时间信号傅里叶变换DTFT (9)3.4.1离散时间信号傅里叶变换DTFT定义 (9)3.4.2离散时间信号傅里叶变换的性质 (10)3.5周期序列的离散傅里叶级数(DFS) (14)3.5.1周期序列的离散傅里叶级数的定义 (14)3.5.2周期序列的离散傅里叶级数的性质 (18)3.6离散傅里叶变换(DFT) (20)3.6.1离散傅里叶变换(DFT) (20)3.6.2离散傅里叶变换的性质 (23)3.7CFS、CFT、DTFT、DFS和DFT的区别与联系 (25)3.8用DFT计算模拟信号的傅里叶分析 (28)3.9实验 (30)本章小结 (32)习题 (33)参考文献： (36)第三章离散时间信号的傅里叶变换教学目标本章讲解由时域到频域的傅里叶变换，频域观察信号有助于进一步揭示系统的本质，对于某些系统可以极大的简化其设计和分析过程。
通过本章的学习，要理解连续时间信号的傅里叶级数和傅里叶变换的和离散时间信号基本概念、性质和应用；了解一些典型信号的傅里叶变换；理解连续时间信号的傅里叶级数(CFS)、连续时间信号的傅里叶变换(CFT)、离散时间傅里叶变换(DTFT)、离散时间傅里叶级数(DTFS)和离散傅里叶变换(DFT)它们相互间的区别与联系；掌握傅里叶变换的参数选择，以及这些参数对傅里叶变换性能的影响；了解信号处理中其它算法（卷积、相关等）可以通过离散傅里叶变换(DFT)来实现。
3.1引言一束白光透过三棱镜，可以分解为不同颜色的光，这些光再通过三棱镜，就会得到白光。
第三章.离散时间信号的傅里叶变换
4、时域卷积定理
∞
) = x ( 0 ) + 2∑ x ( n ) cos (ω n )
n =1
y (n) = x ( n) * h ( n)
Y ( e jω ) = X ( e jω ) H ( e jω )
X I ( e jω ) = 0 x ( n) =
π∫
1
π
0
X R ( e jω ) cos (ω n ) d ω
jω jω 2 2 ⎤ X ( e jω ) = ⎡ ⎣ X R ( e ) + X I ( e )⎦
12
如果 x ( n ) 是实信号，根据DTFT的正、反变换的定义，有 如下性质： ① X ( e jω ) 的实部 X R ( e jω ) 是 ω 的偶函数，即 ② X (e
jω
= X ( e − jω )
x (t ) =
k =−∞
X ( k Ω0 ) =
1 T /2 x ( t ) e − jk Ω0t dt T ∫−T / 2
X ( k Ω 0 )代表了x ( t ) 中第k次谐波的幅度，并且它是离散的。
∑ X ( kΩ ) e
0
∞
jk Ω0 t
并非所有周期信号都可展开成傅里叶级数。一个周期信号 能展开成傅里叶级数，除满足前面指出的平方可积条件 外，还需要满足如下的Dirichlet条件： ① 在任一周期内若存在间断点，则间断点的数目应是有限 的。 ② 在任一周期内的极大值和极小值的数目应是有限的。 ③ 在一个周期内应是绝对可积的，即
第三章
离散时间信号的傅里叶变换
第三章 离散时间信号的 傅里叶变换
内容概要
1、连续时间信号的傅氏变换 2、离散时间信号的傅氏变换（DTFT） 3、连续时间信号的抽样 4、离散时间周期信号的傅氏级数 5、离散傅氏变换（DFT） 6、利用DFT计算线性卷积 7、希尔伯特变换
第三章 离散傅里叶变换(DFT)
− N
n
)*
W
n N
=
W
n N
+iN
3. 可约性 4. 正交性
W i⋅n N
= WNn / i
∑ ∑ 1
N
N −1
W
nk N
(WNmk
)
*
k =0
=
1 N
N −1
W (n−m)k N
k =0
=
⎧1, ⎩⎨0,
n − m = iN n − m ≠ iN
3.3 周期序列的离散傅里叶级数
z 可以看出，当0≤k≤N-1 时，X~(k) 是对X(z)在Z平面单 位圆上的N点等间隔采样，在此区间之外随着k的变 化，X~ (k ) 的值呈周期变化。
了。所以这种无穷长序列实际上只有N个序列值的信息是 有用的，因此周期序列与有限长序列有着本质的联系。
3.3 周期序列的离散傅里叶级数
z X~(k) ↔ ~x (n) 是一个周期序列的离散傅里叶 级数(DFS)变换对，这种对称关系可表示为：
∑ X
(k )
=
D F S [ x (n)]
=
N −1
x
10
X (k) =
|X(ejω)|
X (e jω ) ω= 2π k 10
=
− j 4π k
e 10
sin(π k / 2) sin(π k /10)
5
…
o
π
…
2π
3π
4π
ω
3.3 周期序列的离散傅里叶级数
例2 已知周期序列x (n),求X (k )。并讨论 X~ (k)与 X (e jω ) 的关系
将n和k互换，有 ∑ Nx (－k ) = N－1 X (n)WNkn n＝0
第三章离散傅里叶变换
不变，F减小N增加，又因增加 因此，和N可按下面两式选择 例1 有一频谱分析用FFT处理器，抽样点数为2的幂，假定没有采用 任何 特殊的数据处理，已给条件为 ①频率分辨率 ②信号的最高频率 求：①最小记录长度 ②抽样点的最大间隔T ③在一个记录中最小点数N 解： ① ② ③ 取 （2）频域泄露（截短产生误差）
●任何有限长序列都可以表示成共轭对称分量和共轭反对称分量 之和，即 ………… ……….(3-2) 对（3-2）式n换成N-n，并取复共轭得 (3-3) 联立（3-2），（3-3）可得：
●任何序列也可以表示实部和虚部 (3-4) 其中 (3-5) (3-6) （3）DFT的共轭对称性 ●对（3-4）进行DFT得： (3-7) ① 对（3-5）进行DFT得： .(3-8) ② 对（3-6）进行DFT得 (3-9) 结论：由（3-7），（3-8），（3-9）可得 其中 ● 任何序列可以表示为共轭对称和共轭反对称分量： (3-10) (3-11) (3-12) ① 对(3-10)进行DFT得 ② 对(3-11)进行DFT得 ③ 对(3-12)进行DFT得 结论: 其中 ●是长度为N的实序列，且，则 ① 共轭对称，即
2 (a) n,m 3 1 0
(b) 1 2 3 n,m
-2 6 5
2 1 -3 N=4 (c) m
m 3 2 n=0 (d)
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
m 3 0 n=1 (e)
m 1 0 n=2 (f)
2 m 1 n=3 (g)
2 3 2 m 1 (h) 1
图4
4、复共轭序列的DFT
设是的复共轭序列，长度为N，则 (3-1) 且。 证明：根据DFT的唯一性，只要证明（3-1）式右边等于左边即可。 又由的隐含周期性有 。 同理可证 。
第3章 离散傅里叶变换(DFT)
时域循环移位定理表明：有限长序列的循环移位，在离散 频域中相当于引入一个和频率成正比的线性相移WN-mk 频域循环移位定理表明：时域序列的调制(相移)等效于频域 的循环移位
(3.1.7)
注：若x(n)实际长度为M，延拓周期为N，则当N<M时，(3.1.5) 式仍表示以N为周期的周期序列，但(3.1.6)和 (3.1.7)式仅对 N≥M时成立。
第3章 离散傅里叶变换(DFT)
图3.1.2（a）中x(n)实际长度M=6，
x (n) 如图 当延拓周期N=8时，~
3.1.2（b）所示。
DTFT:X(e )= x( n)e
M 1 n0
N (n) RN (n) xN ( n) x
(k ) x N (n)WNkn DFS : X
DFT与ZT关系：
k
z e
j k N
X (k ) X ( z )
k ,, ,..., N k ,, ,..., N
第3章 离散傅里叶变换(DFT)
（2）时/频域循)] X (k )
k 0,1,..., N 1
则
且
mk DFT [ x(( n m)) N RN (n)] WN X (k )
nl IDFT [ X (( k l )) N RN (k )] WN x ( n)
n 0 N 1
WN e
j
2 N
k 0,1,..., N 1 n 0,1,..., N 1
1 N 1 IDFT [ X (k )] x(n) X (k )WN kn N k 0
1 IDFT[ X (k )]N N
N 1
mk kn [ x ( m ) W ] W N N k 0 m 0 k ( mn ) W N k 0 N 1
3离散傅里叶变换解析
k
F (k )e
0
jk0t
4.离散、周期时域信号 f p (n) ←映射→周期、离散频域信号 F p (k ) ，它由离散傅里叶级数变 换构成映射关系，即
F p (k )
n 0
N 1
nk f p (n)WN
1 f p ( n) N
F (k )W
p n 0
N 1
Re[ x(n)] Re[ x(n)]
Im[ x(n)] Im[ x(n)]
则称为x(n)共轭反对称序列（conjugate antisymmetric sequence）， 通常表示为： x (n) x * (n)
0 o
任何序列x(n)都可以表示为共轭对称序列与共轭反对称序列之和：
x ( n) x e ( n) x o ( n)
其中
xe (n) 1 [ x(n) x * (n)] 2
xo (n)
1 [ x(n) x * (n)] 2
4
若
F x(n) X (e j )
则
F x* (n) X * (e j )
上式说明共轭序列的傅里叶变换等于原序列傅里叶变换的共轭函数的 反函数。
f
n 0
N 1
p
(n)e jn0 r NFr
8
f 以上分析表明，系数 F 可以严格地由
r
N 1 n 0
p (n)e
jn0 r
NFr
式求出，也就是说
f p (n) Fk e jn0k
k 0
N 1
式表述的关系是存在的。
将
f p (n) Fk e
k 0
以上二式说明复指数 e
第3章 离散傅里叶变换(DFT)
M为整数 M为整数
x (n ) =
m = −∞
∑
∞
x ( n + mN )
(3.1.5) (3.1.6)
x (n ) = x (n ) ⋅ RN (n )
~
~
x(n)=x((n))N，
% X (k ) =
m =− ∞
∑ X (k + mN )
∞
% X (k ) = X (k ) RN (k )
回到本节
N k=0
k =0 N
为DFT变换 长度N≥M， ， N 为DFT变换 长度N≥M， WN = e DFT 有限长 离散序列 有限长 离散序列
−j
2π N
第三章 离散傅里叶变换DFT
例1
解：
已知 x(n) = R4 (n)，分别求N = 8和N =16 时的X (k)。
N = 8时
N−1 n=0 nk N
第三章 离散傅里叶变换DFT
式中x((n))N表示x(n)以N为周期的周期延拓序列， ((n))N 表示n对N求余， 即如果 n=MN+n1， 0≤n1≤N-1， 则 ((n))N=n1 例如 N = 5, x N (n) = x((n))5 则有
~
M为整数，
x (5) = x ((5))5 = x (0) x (6) = x ((6))5 = x (1)
∑e
n=0
k =0 8, = 0, k = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7
x(n)的16点DFT为
k 1 − W168 1 − e k X (k ) = W16 n = = k 2π −j k 1 − W16 n=0 1 − e 16 π 7π sin k −j k 2 = e 16 , k = 0,1, 2,L ,15 π sin k 16
离散傅里叶变换
第三章离散傅里叶变换离散傅里叶变换不仅具有明确的物理意义，相对于DTFT他更便于用计算机处理。
但是，直至上个世纪六十年代，由于数字计算机的处理速度较低以及离散傅里叶变换的计算量较大，离散傅里叶变换长期得不到真正的应用，快速离散傅里叶变换算法的提出，才得以显现出离散傅里叶变换的强大功能，并被广泛地应用于各种数字信号处理系统中。
近年来，计算机的处理速率有了惊人的发展，同时在数字信号处理领域出现了许多新的方法，但在许多应用中始终无法替代离散傅里叶变换及其快速算法。
§ 3-1 引言一.DFT是重要的变换1.分析有限长序列的有用工具。
2.在信号处理的理论上有重要意义。
3.在运算方法上起核心作用，谱分析、卷积、相关都可以通DFT在计算机上实现。
二.DFT是现代信号处理桥梁DFT要解决两个问题：一是离散与量化，二是快速运算。
信号处理§ 3-2 傅氏变换的几种可能形式一.连续时间、连续频率的傅氏变换-傅氏变换对称性：时域连续，则频域非周期。
反之亦然。
二.连续时间、离散频率傅里叶变换-傅氏级数t时域信号频域信号连续的非周期的非周期的连续的⎰∞∞-Ω-=Ωdtet x j X tj )()(:*时域周期为Tp, 频域谱线间隔为2π/Tp三.离散时间、连续频率的傅氏变换--序列的傅氏变换时域信号频域信号连续的周期的非周期的离散的pT 0=Ω四.离散时间、离散频率的傅氏变换--DFTt0 T 2T1 2 N nNT 时域信号频域信号离散的非周期的周期的连续的-TT2Tt∑∞-∞=Ω-Ω=n Tjn T j e nT x e X )()(:正由上述分析可知，要想在时域和频域都是离散的，那么两域必须是周期的。
DFT 的简单推演：在一个周期内，可进行如下变换：视作n 的函数， 视作k 的函数，这样,§ 3-3 周期序列的DFS 一.周期序列DFS的引入 导出周期序列DFS 的传统方法是从连续的周期信号的复数傅氏级数开始的：时域信号频域信号离散的周期的周期的离散的)1()1(0-Ω-N N 002/2/:1~0,2:1~0:)(1)()()(Ω=∆Ω=ΩΩ-=⋅=Ω=ΩΩ-ΩΩ==⎰∑ΩΩ-ΩΩ∞-∞=Ω-Ωd d N k F k k N n d e eX nT x enT x e X s s T jn T j sn Tjn T j π从)()(2k N je X nT x π)())()(2k X n x nT x k Nj →→π对上式进行抽样，得：，代入 又由于所以求和可以在一个周期内进行，即这就是说，当在k=0,1,..., N-1求和与在k=N,...,2N-1求和所得的结果是一致的。
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ω(，造成频谱泄露 见程序演示
解决频谱泄露问题：
1、增大N 2、使信号缓慢截断，即加旁瓣小的窗
3.栅栏现象 j X (e ) 的频域采样，因此 X (k ) 只反映了在 X (k ) 是 离散点 2k / N（ 0 k N 1）上的值，而无法反 映这些点之间的频谱内容。这就是栅栏现象。 如果原始信号的频谱峰值正好在两个离散点之 间时，离散傅里叶变换就无法检测出此峰值。
θ(π)
200 150 100 50 0 -50 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6
ω(π)
0.8 1
30 20 10 0 -10 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
Hd(e jθ)
W(e jω-θ)
θ(π)
200 150 100 50 0 -50 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6
2π DFT的谱线间隔等于 N
，所以，等效的频率
分辨率为
f
fs f N
用DFT做谱分析的参数选择原则：主要是 f s 和N。 第一：取样频率 f s 应满足奈奎斯特取样率, 即 Ts 1/ 2 f m。 第二：采样点数N一般由频率分辨率 f 来确定， 即 N f s / f ，考虑到DFT由FFT算法实现，一 般N取成2的整数幂（ N 2 M ） 第三：上面两个参数确定后，进而得到信号的记录 长度 T NT N / f 1 。
频率分辨率与DFT参数的选择
频率分辨率可以从两个方面来定义： 第一种定义是广义的，能够分辨开靠得很近的 两个频率分量的能力，也称作频率分辨力。 第二种定义是狭义的，专门用于刻画DFT的一 种频谱分析性能，是指某点数条件下DFT所表 示的最小频率间隔。这种定义不一定具有第一 种频率分辨率的含义。
抽样信号和原连续信号的关系
f(t) F(ω) ω ωm …… ω
0 fs(t)
t
0
ω s>2 ω m时
…… -ωs
Fs(ω) 0 ωm Fs(ω) 0 ωm ωs Fs(ω) 0 ωmωs 2ωs 3ωs 4ωs 5ωs …… ω 2ωs 3ωs 4ωs …… ω ωs 2ωs 3ωs
0
t
ω s=2 ω m时
…… -2ωs -ωs
ω s<2 ω m时 抽样信号频谱与原时间 连续信号频谱的关系？
…… -2ωs -ωs
在A/D变换之前要让信号通过一个低通滤波器， 起什么作用？ 在A/D变换之前让信号通过一个低通滤波器，是 为了限制信号的最高频率，使其满足当采样频 率一定时，采样频率应大于等于信号最高频率2 倍的条件。此滤波器也叫“抗混叠”滤波器。
W(e jω-θ)
θ(π)
200 150 100 50 0 -50 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6
ω(π)
0.8 1
30 20 10 0 -10 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
Hd(e jθ)
W(e jω-θ)
1.混叠现象 若已知 xa (t ) 是频率范围为0 f f m 的带限信号，由 采样定理可知，当采样频率 f s 2 f m 时将出现频谱混叠， 因此使得频谱分析出现误差，消除该误差，采样频率 需 f s 2 f m。 实际中很多情况下可能无法预计原始信号的频率范 围 ，为了防止混叠，通常在采样前用一个模拟低通带 限滤波器将原始信号的上限频率限制在采样频率的一半 以内，这种模拟滤波器称为抗混叠滤波器。 解决：抗混叠滤波+采样定理
6
8
1 (c )
相位
0
－1
0
2
4 W / rad
6
8
x(n)的频谱 (a) x(n)波形； (b) 幅频特性曲线； (c) 相频特性曲线
做DFT时参数的选取例题word3-3 第k根谱线所代表的频率是多少？
见例题
解 (2)最大采样间隔:
1 1 Ts < 0.125ms 3 2 f m 2 4 10
(3)最小记录点数:
f s 2 4 103 N 800 10 f
N取1024
(1)最小记录长度:
T N Ts 1024 0.000125 0.128s
例 x(n)=0.5nR10 (n)，用DFT分析x(n)的频谱， 要求频率分辨率为 0.02π，并画出幅频曲线和相 频曲线。 (1) 根据频率分辨率求N： (2) 计算x(n)的N点DFT. (3) X(k)的幅频特性和相频特性
s s
f
[例] 有一频谱分析用的FFT处理器,其采样点数须是2 的整数幂,假设没有采用任何的数据处理措施, 已给条件为: (1)频谱分辨率 10 HZ (2)信号最高频率 4 KHZ 试确定以下参量: (1)最小记录长度T； (2)采样点间的最大时间间隔 Ts ； (3)在一个记录中最少点数N 。
分辨率给的是数字频率，怎么办？
解 (1) 根据频率分辨率求N：数字频率一圈是2π， 分成N份，每份就是分辨率： 所以：N≥100, 取N=100 (2) 计算x(n)的N点DFT：
X ( k ) DFT [ x ( n )]
kn x ( n ) W N n 0 n kn 0 . 5 W 100 n 0 N 1 N 1
30 20 10 0 -10 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
Hd(e jθ)
W(e jω-θ)
θ(π)
200 150 100 50 0 -50 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6
ω(π)
0.8 1
30 20 10 0 -10 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
ω(π)
0.8 1
尾巴信号还要与原信号相乘相加，造成频谱泄露
30 20 10 0 -10 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
Hd(e jθ)
W(e jω-θ)
θ(π)
200 150 100 50 0 -50 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6
2 0 .02 N
k=0,1,…,N-1 k=0,1,…,99 k=0,1,…,99
k 10 1 0 .510 W100 k 1 0 .510 W100
X(k)的幅频特性和相频特性
1 x(n) (a ) 0.5 0 0 2 5 n 10
幅度
(b )
1 0 0
2
4 W / rad
在 N点 x1 (n) 后加 M-N个零，则序列变为长为 M的新序列 x2 (n)：
0 k N 1 x1 (n)， x 2 ( n) 0，N k M 1
x2 (n)
的DFT为：
j
X 2( e
)
M 1 n 0
x ( n )e
2
j n
x1 ( n )e
Hd(e jθ)
W(e jω-θ)
θ(π)
200 150 100 50 0 -50 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6
ω(π)
0.8 1
30 20 10 0 -10 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
Hd(e jθ)
n 0
N 1
j n
X 1( e
j
)
可见，增补零值前后序列的频谱没有发生变化。
但
X 2 (k ) DFT[ x2 (n)] x2 (n)e
n 0 M 1 2 j nk M
x1 (n)e
n 0
N 1
j
2 nk M
X 1 ( e j )
2 k M
可见，时域增补零的效果实际上相当于改变 了频域采样点的位置。 改善栅栏效应：
补0，使N增大，可更细观察 。 栅栏效应减小了，分辨率提高了吗？没有！
数据后补零的影响：为什么要补零？
不能提高分辨率，没有增加数据有效长度！ 数据过短，补零后只可起到一定的插值作用； 补零后使数据长度为 2 的整次幂，有利于FFT。
ω(π)
0.8 1
尾巴信号还要与原信号相乘相加，造成频谱泄露
30 20 10 0 -10 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
Hd(e jθ)
W(e jω-θ)
θ(π)
200 150 100 50 0 -50 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6
2.泄漏现象 DFT是对有限长序列定义的，因此为了做DFT， 在时域上需要截取，造成泄漏误差。 设 x(n) 是 xa (t ) 的采样，有限长序列 x1 (n) 是 的序列，即
x1 (n) x(n) RN (n)
0 n N 1
x ( n)
中
任何截断可以看成与矩形函数相乘，则频域卷积。 为什么频谱泄露了？
离散傅里叶变换的应用
利用离散傅里叶变换可以做谱分析。 谱分析：计算信号的频谱，包括振幅谱、相位 谱和功率谱。
与DFT有关的几个问题
由于DFT是DTFT的离散值，所以用DFT进行谱 分析会造成三种误差现象：
• 混叠现象 • 泄露现象 • 栅栏现象
通过分析这三种误差现象，可以得出DFT 做谱分析时参数选择的原则。