概率统计2.5
概率统计试卷复习资料
总复习一、填空题（每题3分）1、已知事件A 与B 独立，且5.0)(=A P ，7.0)(=B P ，则=)(AUB P2、设X 服从正态分布)3.2(2N ，且21C) X (=≤P ，则=C 3、设每次试验中成功的概率为P )1(<<P o ，则在二次重复独立试验中，至少失败一次的概率为 。
4、评价估计量优劣的三条标准是无偏性，一致性和 性。
5、已知随机变量X 服从),(2σμN ，则X 的概率密度函数为6、设X 1，…，X n 是总体X 的一个样本,且X 的期望μ=EX 和方差2σ=DX 均未知，则2σ的无偏估计是=∧2σ7、设X 服从二项分布),(p n B ，则)(X E =8、若X 与Y 独立，且6)(=X D ，3)(=Y D ，则)2(Y X D -=9、设X 服从),(2σμN ，则≤≥-)3(σμX P10、一口袋中装有8只球，在这6只球上分别标有-1,1,1，1,1,3,,3，3这样的数字，现从这只口袋中任取一球，用随机变量X 表示取得的球上标明的数字，求:（1）X 的概率分布律；（2）X 的概率分布函数；（3）)34(-X E .11.袋中有4个乒乓球, 其中3个是黄球, 1个是白球. 今有两人依次随机地从袋中各取一球, 取后不放回, 则第2个人取得黄球的概率是 . 12、对事件,A B 和C ,已知1()()()5P A P B P C ,()()0P AB P BC ,1()8P AC ,则,A B ,C 中至少有一个发生的概率是_________.13、已知随机变量X 在区间[ 5，15 ]上服从均匀分布，则EX= .14、中心极限定理告诉我们，若随机变量X 服从参数为1000，0.06的二项分布，则X 也近似服从参数为___ __和______的正态分布.15、设(X 1,X 2,...,X n )是取自正态总体N (μ,σ2)的简单随机样本,统计量∑==n i i X n T 121，则T 的数学期望ET=16、设X 表示独立射击目标10次所击中目标的次数，每次击中的概率为0.3，则X 2的数学期望E(X 2)= ．17、设随机变量X 服从正态分布N(2,0.22),已知标准正态分布函数值 Φ(2.5)=0.9938,则P{2<X<2.5}=___ .18、设随机变量X 和Y 满足DX =25, DY =9, ρXY =0.4, 则D (X-Y) =19 、设总体X 的概率密度为,,020)(⎩⎨⎧<<=其它x Ax x f 则A=20、若随机变量X 服从参数为1=λ的分布，则大数定律告诉我们：∑=ni i X n 11依概率收敛于21 ，设总体X 服从),(2σμN 分布，X 1，…，X n 是X 的一个样本，则统计量n / X σμ- 服从分布;)(1_1222X XS nni i-=∑=οο 服从 分布；212)(1μο-∑=ni iX服从 分布二，单选1 .若随机变量X 具有性质)()(X D X E =，则X 服从 分布 a 、正态 b 、二项 c 、泊松 d 、均匀2、若)()(1)(B P A P B A P -=+，则A 与B a 、互不相容 b 、独立c 、为对立事件d 、为任意事件3、设随机变量X 服从)2,1(2N ，12-=X Y ，则Y 服从 分布 a 、)4,2(2N b 、)4,1(2N c 、)4,1(N d 、)4,2(N4、设A 与B 为两个随机事件，若0)(=AB P ，则下列命题正确的是 a 、A 、B 互不相容 b 、AB 未必是不可能事件 c 、A ，B 独立 d 、0)(=A P 或0)(=B P5、从总体X 中抽取样本X ，X 2，若X 服从)1,(θN 分布，则θ的估计量中，最有效的是a 、217671X X + b 、212121X X + c 、215451X X + d 、216561X X +6、“A 、B 、C 三事件恰有一个发生”可表为 a 、C U B U A b 、C B Ac 、ABCd 、C B A C B A C B U U A7、5.0)(=A P ，8.0)(=B P ，9.0)(=AUB P ，则B A 与的关系是 a 、互不相容 b 、独立 c 、B A ⊃ d 、A B ⊃8、设随机变量X 服从分布， 则2)] X [E() X (=D a 、均匀 b 、标准正态 c 、二项 d 、泊松9、设),(y x F 是随机变量Y), X (的分布函数，则下列式子 成立。
线性代数与概率统计课程教学体系的构建
线性代数与概率统计课程教学体系的构建【摘要】本文旨在探讨线性代数与概率统计课程教学体系的构建。
在文章介绍了背景信息，阐述了研究的意义以及研究目的。
接着在分别从课程概述、内容设计、教学方法、评估与改进以及教学体系实践等方面进行详细讨论。
结合实际教学实践，探讨了课程教学体系的重要性，并展望未来的发展趋势。
在结语部分总结全文内容，强调线性代数与概率统计课程教学体系的重要性，并鼓励对其进行不断改进和优化，以促进教学质量的提升和学生能力的全面发展。
【关键词】线性代数，概率统计，课程教学体系，构建，教学方法，评估，改进，实践，重要性，未来发展，结语1. 引言1.1 背景介绍线性代数与概率统计是现代科学与工程领域中的两门重要课程，它们为学生提供了基础的数学工具和数据分析能力。
线性代数主要研究向量空间和线性变换的理论，而概率统计则关注随机现象的规律性和分布特征。
随着信息时代的到来，大数据和人工智能等领域对于线性代数与概率统计知识的需求日益增长，因此构建一套科学有效的教学体系具有重要意义。
在实际教学中，线性代数与概率统计课程的内容设计和教学方法都需要与时俱进，满足学生的实际需求，并同时保持学科内在的逻辑连贯性。
通过对课程教学的科学评估与不断改进，可以提高教学效果，激发学生的学习兴趣，培养他们独立思考和问题解决的能力。
将线性代数与概率统计课程与实际问题相结合，引入实际案例和应用场景，有助于加深学生对知识的理解和运用能力。
本文将对线性代数与概率统计课程的教学体系进行探讨和分析，旨在为教育工作者和学生提供一些建设性的思路和建议，促进教学质量的提升和学生能力的培养。
结束。
1.2 研究意义线性代数与概率统计是现代数学中非常重要的两门基础课程，它们对于计算机科学、统计学、物理学、工程学等领域都有着深远的影响。
线性代数作为数学中的基本理论，可以帮助学生建立数学思维和抽象思维能力，培养学生解决实际问题的能力。
而概率统计则是一门与现实生活息息相关的学科，它可以帮助学生理解和预测随机现象的规律，提高他们的决策能力和分析能力。
概率与统计的计算方法
概率与统计的计算方法概率与统计是一门数理学科，研究随机现象的规律以及通过观察数据来做出合理推断的方法。
在现代科学与技术领域中广泛应用，例如金融、医学、工程和社会科学等。
在概率与统计的学习中，计算方法是非常关键的一部分。
本文将介绍一些常见的概率与统计计算方法，包括概率计算、均值与方差计算、假设检验等。
一、概率计算方法概率是描述随机事件发生可能性的数值。
在概率计算中，常用的方法有计数法、公式法和条件概率法。
1. 计数法：通过对事件的所有可能结果进行计数，从而得到事件发生的概率。
例如，计算抛一枚骰子得到1的概率，可列出骰子的所有可能结果{1, 2, 3, 4, 5, 6}，计数结果为1，所以概率为1/6。
2. 公式法：根据事件的性质和条件，使用概率公式来计算概率。
常见的公式包括加法法则、乘法法则和贝叶斯公式等。
例如，计算两次抛硬币都是正面的概率，使用乘法法则，假设事件A为第一次抛硬币正面，事件B为第二次抛硬币正面，根据乘法法则，P(A∩B) = P(A) *P(B|A) = 1/2 * 1/2 = 1/4。
3. 条件概率法：考虑到已知条件，计算事件发生的概率。
例如，计算在已知第一次抛硬币正面的情况下，第二次抛硬币也是正面的概率，使用条件概率法，假设事件A为第一次抛硬币正面，事件B为第二次抛硬币正面，根据条件概率定义，P(B|A) = P(A∩B) / P(A)，代入已知条件和前面计算的结果，得到P(B|A) = 1/4 / 1/2 = 1/2。
二、均值与方差的计算方法均值和方差是描述数据分布特征的重要指标。
在统计学中，常用的计算方法有样本均值计算、样本方差计算和标准差计算等。
1. 样本均值计算：对一组数据进行求和，然后除以数据的数量，得到均值。
例如，计算一组数据{1, 2, 3, 4, 5}的均值，求和得到15，数据数量为5，所以均值为15/5 = 3。
2. 样本方差计算：计算每个数据值与均值的差的平方和的平均值。
概率统计 第二章 离散型随机变量.
以随机变量X表示n次试验中A发生的次数，X可能取值 为0,1,2,3,…,n。设每次试验中A发生的概率为p， 发生的概率为1-p=q。 (X=k)表示事件“n重贝努里试验中A出现k次”，即
A
AA A A A A A A A A A A AA A A A A
因此X的分布律为
P ( X k ) C 0 .6 0 .4
k 7 k
7k
, k 0 ,1, 2 ,..., 7
所求概率为 P ( X 4 ) P7( X 4 ) P ( X 5 ) P ( x 6 ) P ( X 7 )
C
k 4
k 7
( 0 .6 ) ( 0 .4 )
k
( p q) 1
n
k 0
正好是二项式(p+q)n展开式的一般项，故称二 项分布。特别地，当n=1时P(X=k)=pkq1-k(k=0,1)即为 0-1分布。
例2.6 某厂长有7个顾问，假定每个顾问贡献正确意见 的概率为0.6，且设顾问与顾问之间是否贡献正确意见 相互独立。现对某事可行与否个别征求各顾问的意见， 并按多数顾问的意见作出决策，试求作出正确决策的概 率。 解 设X=k表示事件“7个顾问中贡献正确意见的人 数”， 则X可能取值为0，1，2，…，7。 （视作7重贝努里实验中恰有k次发生，k个顾问贡献出 正确意见）,X~B(7,0.6)。
1 X 0 当 e1 发生时 当 e 2 发生时
即它们都可用0-1分布来描述，只不过对不同 的问题参数p的值不同而已。
3、超几何分布（参见第一章）
4、二项分布
(1)贝努里(Bernoulli)试验模型。 设随机试验满足： 1°在相同条件下进行n次重复试验； 2°每次试验只有两种可能结果，A发生或A不发生； 3°在每次试验中，A发生的概率均一样，即P(A)=p； 4°各次试验是相互独立的， 则称这种试验为贝努里概型或n重贝努里试验。 在n重贝努里试验中，人们感兴趣的是事件A发 生的次数。
高中数学第二章概率2.5随机变量的均值和方差概率论与数理统计公式整理素材苏教版选修2_3202012251156
②正概率密度区间为矩形
二维正态分布
＝0
随机变量的函数
若X1,X2,…Xm,Xm+1,…Xn相互独立，h,g为连续函数，则：
h（X1，X2,…Xm）和g（Xm+1,…Xn）相互独立。
特例：若X与Y独立，则：h（X）和g（Y）独立。
例如：若X与Y独立，则：3X+1和5Y-2独立。
（8）二维均匀分布
当x2>x1时，有F（x2,y）≥F(x1,y);当y2>y1时，有F(x,y2)≥F(x,y1);
（3）F（x,y）分别对x和y是右连续的，即
（4）
（5）对于
.
（4）离散型与连续型的关系
（5）边缘分布
离散型
X的边缘分布为
；
Y的边缘分布为
。
连续型
X的边缘分布密度为
Y的边缘分布密度为
（6）条件分布
离散型
不可能事件（Ø）的概率为零，而概率为零的事件不一定是不可能事件；同理，必然事件（Ω）的概率为1，而概率为1的事件也不一定是必然事件。
）事件的关系与运算
①关系：
如果事件A的组成部分也是事件B的组成部分，（A发生必有事件B发生）：
如果同时有，，则称事件A与事件B等价，或称A等于B：A=B。
A、B中至少有一个发生的事件：AB，或者A+B。
加法公式
P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)
当P(AB)＝0时，P(A+B)=P(A)+P(B)
减法公式
P(A-B)=P(A)-P(AB)
当BA时，P(A-B)=P(A)-P(B)
当A=Ω时，P()=1- P(B)
条件概率
概率统计-习题及答案-（2）
2.12 考虑函数 3(2)02/5 ()0C x x x f x ?-<<=? ? 其他 能否作为随机变量的概率密度？如果能，试求出常数C 的值。 2.13 已知随机变量X 的概率密度为 01 ()0 Ax x f x < ?其他 ， 求：（1）系数A ；（2）概率{0.5}P X ≤； （3）随机变量X 的分布函数。 2.14 已知随机变量X 的概率密度为()x f x Ae
0}3{=>ηP 。 2.3 （1）ξ可能的取值为1，2，3。 从8个好灯泡和2个坏灯泡中任取3个，恰好取到k 个好灯泡和k -3个坏灯泡的概率为 3 10 32 8}{C C C k P k k -==ξ（3,2,1=k ）。 由此求得ξ的概率分布为
ξ的分布函数为 ???? ??? ≥==+=+=<≤==+=<≤==<=≤=31 }3{}2{}1{3215
2.5 已知某人在求职过程中每次求职的成功率都是0.4，问他预计最多求职多少次，就能保证有99%的把握获得一个就业机会？ 2.6 已知1000个产品中有100个废品。从中任意抽取3个，设X 为取到的废品数。 （1）求X 的概率分布，并计算X =1的概率。 （2）由于本题中产品总数很大，而从中抽取产品的数目不大，所以，可以近似认为是“有放回地任意抽取3次”，每次取到废品 的概率都是0.1，因此取到的废品数服从二项分布。试按照这一假设，重新求X 的概率分布，并计算X =1的概率。 2.7 一个保险公司推销员把保险单卖给5个人，他们都是健康的相同年龄的成年人。根据保险统计表，这类成年人中的每一个 人未来能活30年的概率是2/3。求： （1）5个人都能活30年的概率； （2）至少3个人都能活30年的概率； （3）仅2个人都能活30年的概率； （4）至少1个人都能活30年的概率。 2.8 一张答卷上有5道选择题，每道题列出了3个可能的答案，其中有一个答案是正确的。某学生靠猜测能答对至少4道题的概 率是多少？
2.5 随机变量的函数的分布
推论
若X ~ N ( µ , σ ), 则
2
X −µ
σ
~ N (0, 1)
正态分布的标准化
2010年12月16日星期四 中央财经大学《概率统计》课件--孙 博 第二章 第五节 --第18页--
设X ~ N（0，1），其概率密度为 （ ， ） 其概率密度为：
1 ϕ ( x) = e −∞ < x < +∞ 2π 则 Y = X 2 概率密度函数为： 概率密度函数为 1 y − − 1 y 2e 2 , y > 0 fY ( y ) = 2π 0, y ≤ 0
1, 0 < x < 1 fX ( x) = 其它 0,
d(e− y/ 2 ) − y/ 2 − y/ 2 , 0< e <1 fX (e ) fY ( y) = dy 0, 其它 1 − y / 2 得 e , y>0 fY ( y) = 2 0, 其它
服从[19 21]上的均匀分布 [19， 上的均匀分布． 即 Y 服从[19，21]上的均匀分布
2010年12月16日星期四 中央财经大学《概率统计》课件--孙 博 第二章 第五节 --第26页--
设球的半径X 例 设球的半径X的概率密度为 6 x(1 − x), x ∈ (0,1) f ( x) = 试求体积的概率密度。 试求体积的概率密度。 其它 0, 4 Y = π X 3 的分布函数为 解 体积 3 3y 3y 4 3 FY ( y ) = P π X < y = P X < 3 = FX 3 4π 4π 3 − 2 3 3y 1 3y 3 y 3 y ′ 3 3 3 fY ( y ) = f X ⋅ = fX 3 ⋅ ⋅ ⋅ 4π 4π 4π 3 4π 4π
高中数学第二章概率2.5随机变量的均值和方差概率论与数理统计公式整理素材苏教版选修2_32
指数分布
ex ,
f (x)
0 服从参数为 的指数分
布。 X 的分布函数为
F(x)
1 ex , 0,
x 0,
x<0。
记住积分公式：
x nex dx n!
0
正态分布
设随机变量 X 的密度函数为
f (x)
1
( x )2
e ， 2 2 x ，
F(x) 1
(t )2
x
e
2 2
dt
2
。
参数 0 、 1时的正态分布称为标准正态分布，记
为 X ~ N(0,1) ，其密度函数记为
(x)
1
x2
e2
2 ， x ，
分布函数为
(x) 1
x
e
t2
2
dt
。
2
(x) 是不可求积函数，其函数值，已编制成表可供查用。
Φ(-x)＝1-Φ(x)且 Φ(0)＝ 1 。 2
当 P(AB)＝0 时，P(A+B)=P(A)+P(B)
P(A-B)=P(A)-P(AB)
减法公式 当 B A 时，P(A-B)=P(A)-P(B)
当 A=Ω时，P( B )=1- P(B)
定义 设 A、B 是两个事件，且 P(A)>0，则称 P( AB) 为事件 A 发生条 P( A)
条件概率
件下，事件 B 发生的条件概率，记为 P(B / A) P( AB) 。 P( A)
件，它具有如下性质：
①每进行一次试验，必须发生且只能发生这一组中的一个事件；
②任何事件，都是由这一组中的部分事件组成的。
基 本 事 这样一组事件中的每一个事件称为基本事件，用 来表示。
概率统计(概率)
9922.0)42.2(9938.0)5.2(9901.0)33.2(,8413.0)0.1(=Φ=Φ=Φ=Φ二、填空题 （每空3分，共21分）1、某射手有5发子弹，射一次命中的概率为0.75。
如果命中了就停止射击，否则就一直射到子弹用尽。
则耗用子弹数ξ的数学期望为 。
2、已知DY=36，cov(X ，Y)=12，相关系数r XY =0.4，则DX= 。
3、三次独立的试验中，成功的概率相同，已知至少成功一次的概率为6437，则每次试验成功的概率为 。
4、设),4(~),,3(~p B Y p B X ，且X 、Y 相互独立，则Y X +服从二项分布 。
5、若)5,0(~U X ，方程04522=-++X Xx x 有实根的概率 。
6、设),11(~532σN X +，且P{2<X<4}=0.15，则P{X<0}= _________7、相关系数是两个随机变量之间 程度的一种度量。
1．甲、乙二人独立地向同一目标射击一次，其命中率分别为0.6和0.5，现已知目标被命中，则它是甲命中的概率是______。
2．设X 和Y 为两个随机变量，且，则。
3．设随机变量X 与Y 独立，,且 ，则。
4． 设X ，Y 是两个相互独立同服从正态分布 的随机变量，则E(|X-Y|)=______。
5． 设随机变量X 的密度函数 ，Y 表示对X 的5次独立观察终事件出现的次数，则DY =______。
6.某柜台有4个服务员 ，他们是否需用台秤是相互独立的，在1小时内每人需用台秤的概率为 ，则4人中至多1人需用台秤的概率为 _________________。
1、B A ,事件，则=⋃B A AB 。
2、已知,1.0)(=A P ,2.0)(=B p 且B A ,相互独立，则=)(AB p ；)(AB p =3、设二维随机变量的联合密度函数为o th e r y x xy x p 10,10,0,4)(<<<<⎩⎨⎧=，=<<)5.00(X p 。
概率统计复习
仅供参考概率统计复习1.2例题四 ，1.3例题二、四，1.4例题一、六、七，1.5例题四，2.2例题四、五，2.3例题二，2.4例题一、三、四，2.5例题一、二、三，3.1例题一、二，3.2例题二，4.1例题一、三、五、六，4.2例题一、五、七、八，4.3例题一、六，4.3例题四、六，4.4例题一、二、五，5.2例题一、四，5.3例题一、二，6.1例题一，6.2例题一、五1.2习题四已知P （A ）=P （B ）=P （C ）=41，()()161BC P AC P ==，()0AB P =，求事件A ，B ，C 全不发生的概率。
解： ()()()C B A P -1C B A P C B A P ⋃⋃=⋃⋃=()()()()()()()[]ABC P BC P -AC P -AB P -C P B P A P -1+++= 830161-161-0-414141-1=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++= 1.3习题一袋中装有5个白球，3个黑球，从中一次任取两个，求()1求取到的两个球颜色不同的概率;()2求取到的两个球有黑球的概率。
解： ()1 设A=｛取到的两个球颜色不同｝，则()2815C C C A P 281315==. ()2}{()}{，则由题意有球取到黑，球个黑取到设===B 2,1i i A i()()()()2121A P A P A A P B P +=+=149C C C C C C 282305281315=+= 1.4习题二假设一批产品中一、二、三等品各占60%，30%，10%，从中任1件，结果不是三等品，求取到的是一等品的概率。
解： 令A 为“取到的是i 等品”，i=1,2,3， ()()()()()329.06.0A P A P A PA A P A A P 3133131====.1.4习题三设10件产品中有4件不合格产品，从中任取2件，已知所取2件产品中有1件不合格品，求另一件也是不合格品的概率。
(2021年整理)概率论与数理统计习题集及答案
概率论与数理统计习题集及答案编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（概率论与数理统计习题集及答案）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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《概率论与数理统计》作业集及答案第1章 概率论的基本概念§1 。
1 随机试验及随机事件1. (1) 一枚硬币连丢3次,观察正面H ﹑反面T 出现的情形。
样本空间是：S= ；(2） 一枚硬币连丢3次,观察出现正面的次数。
样本空间是：S= ; 2.（1） 丢一颗骰子. A ：出现奇数点，则A= ；B ：数点大于2，则B= 。
(2） 一枚硬币连丢2次, A ：第一次出现正面，则A= ；B ：两次出现同一面，则= ；C ：至少有一次出现正面，则C= .§1 .2 随机事件的运算1. 设A 、B 、C 为三事件，用A 、B 、C 的运算关系表示下列各事件：（1)A 、B 、C 都不发生表示为： .(2)A 与B 都发生,而C 不发生表示为： 。
(3）A 与B 都不发生,而C 发生表示为： .（4）A 、B 、C 中最多二个发生表示为: 。
（5）A 、B 、C 中至少二个发生表示为： 。
(6）A 、B 、C 中不多于一个发生表示为： . 2. 设}42:{},31:{},50:{≤<=≤<=≤≤=x B x x A x x S ：则（1）=⋃B A ,（2）=AB ，(3）=B A ， （4)B A ⋃= ，（5）B A = 。
§1 。
3 概率的定义和性质1. 已知6.0)(,5.0)(,8.0)(===⋃B P A P B A P ，则（1） =)(AB P ， （2)()(B A P ）= , （3))(B A P ⋃= . 2. 已知,3.0)(,7.0)(==AB P A P 则)(B A P = 。
概率论与数理统计公式
概率论与数理统计公式1.概率公式：
1.1概率加法公式：
P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)
1.2条件概率公式：
P(A，B)=P(A∩B)/P(B)
P(B，A)=P(A∩B)/P(A)
1.3乘法公式：
P(A∩B)=P(A)*P(B，A)
P(A∩B)=P(B)*P(A，B)
1.4全概率公式：
P(A)=ΣP(A，B_i)*P(B_i)
1.5贝叶斯公式：
P(B，A)=P(A，B)*P(B)/P(A)
2.数理统计中的基本概念和公式：
2.1样本均值：
样本均值 = (x1 + x2 + ... + xn) / n
2.2总体均值：
总体均值=(样本均值*n-x)/(n-1)
2.3样本方差：
样本方差 = Σ(xi - x̄)² / (n-1)
2.4总体方差：
总体方差= Σ(xi - µ)² / N
2.5样本标准差：
样本标准差=√(样本方差)
2.6总体标准差：
总体标准差=√(总体方差)
2.7样本中位数：
样本中位数=(x[n/2]+x[(n+1)/2])/2（当n为偶数时）
2.8样本四分位数：
样本四分位数Q1=x[(n+3)/4]
样本四分位数Q3=x[(3n+1)/4]
2.9标准正态分布的累积分布函数的逆函数：
Zα=Φ^(-1)(α)，其中Φ(z)表示标准正态分布的累积分布函数。
2.10卡方分布的累积分布函数的逆函数：
x^2α=χ^2^(-1)(α)，其中χ^2(x)表示卡方分布的累积分布函数。
概率统计作业
1.6 已知 N 件产品中有 M 件是不合格品,今从中随机地抽取 n 件.试求,(1) n 件中恰有 k 件不合格品的概 率;(2) n 件中至少有一件不合格品的概率.假定 k ≤ M 且 n − k ≤ N − M . 1.10 在长度为 T 的时间段内,有两个长短不等的信号随机地进入接收机.长信号持续时间为 t1 (≤ T ) ,短
2.18
已知随机变量 X , Y 的联合概率函数如下.当 α , β 取何值时 X 与 Y 相互独立?
X Y
1 2
1 1/6 1/3
2 1/9
α
3 1/18
β
2.15 两名水平相当的棋手奕棋三盘．设 X 表示某名棋手获胜的盘数, Y 表示他输赢盘数之差的绝对值. 假定没有和棋,且每盘结果是相互独立的.试求(1) X 与 Y 的联合概率函数;(2) X , Y 的边缘概率函数.
3.2
设 F ( x) 是分布函数.验证 F 2 ( x) 满足定理 3.1 的 4 条特征性质,从而证明 F 2 ( x) 必定是某个随机变量的
分布函数.
3.5
Y 表示对 X 作三次独立重复观测中事件 { X < 2} 出现的次 设随机变量 X 服从区间(—1,4)上的均匀分布．
1.26 甲、乙、丙三门高炮同时独立地各向敌机发射一枚炮弹,它们命中敌机的概率都是 0.2.飞机被击中 1 弹而坠毁的概率为 0.1,被击中 2 弹而坠毁的概率为 0.5,被击中 3 弹必定坠毁.(1)试求飞机坠毁的概 率;(2)已知飞机坠毁,试求它在坠毁前只有命中 1 弹的概率.
1.24
某厂生产的钢琴中有 70％可以直接出厂,剩下的钢琴经调试后,其中 80％可以出厂,20％被定为不 1.27 已知甲袋中装有 a 只红球, b 只白球;乙袋中装有 c 只红球, d 只白球．试求下列事件的概率:(1)合并 两只口袋,从中随机地取一只球,该球是红球;(2)随机地取一只袋,再从该袋中随机地取一只球,该球是红 球;(3)从甲袋中随机地取出一只球放人乙袋,再从乙袋中随机地取出一只球,该球是红球.
中南大学医学类(五年制)本科生培养方案
---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------ 中南大学医学类(五年制)本科生培养方案预防医学类本科生培养方案一、培养目标培养德智体美全面发展，对公共卫生具有良好的敬业精神和职业道德，有坚实的公共卫生与预防医学基础理论、基本知识、基本技能，有较强的实践工作能力，具有从事疾病预防控制、卫生监督、卫生事业管理等工作的公共卫生与预防医学专门人才。
二、培养要求 1．思想道德与职业素质要求热爱祖国，拥护中国共产党，热爱公共卫生事业。
具有全心全意为人民健康服务的思想和崇高的敬业精神，工作作风严谨，勇于开拓创新，善于学习，积极进取。
具有较强的法律观念，健康的体格与心理，良好的团队合作精神和社会适用能力等。
2．专业知识要求具有雄厚的基础医学知识和基本的临床医学知识，能较好地掌握流行病与卫生统计学、劳动卫生与环境卫生学、营养与食品卫生学、儿少卫生与妇幼保健学、卫生毒理学、社会医学与卫生事业管理等学科的基本理论和基本知识。
熟悉国家的卫生法律法规与卫生政策以及与本专业有关的人文科学、社会科学知识。
了解我国疾病预防控制中心、卫生监督所、特殊疾病防治研究所（院）、妇幼保健院（站）、社区卫生服务中心等公共卫生机构和相关卫生管理部门的工作内容与程序。
1 / 133．工作技能要求掌握常见的预防医学实验研究、现场调查研究以及资料处理分析的方法与技术；熟悉课题设计与医学统计软件的应用。
具有从事调查、分析和处理公共卫生问题与突发事件的初步能力。
有较强的社会交往能力、外文文献阅读能力与计算机应用能力。
三、主干课程和特色课程主干课程：基础医学、临床医学、预防医学特色课程：卫生化学、卫生毒理学、卫生统计学、流行病学、营养与食品卫生学、职业卫生与职业医学、环境卫生学、社会医学、儿童少年卫生学、卫生法学与卫生监督学、卫生事业管理学四、毕业合格标准本大类学生应达到学校对本科毕业生提出的德、智、体、美等方面的要求，完成培养方案规定的各教学环节的课程学习，最低修满 270 学分（其中必须修满规定的必修学分），毕业论文答辩与毕业实习考核合格，方可准予毕业。
《概率论与数理统计》(全英语)教学大纲课程名称概率
《概率论与数理统计》(全英语)教学大纲课程名称:概率论与数理统计学时:48学时学分:2.5分先修课程:高等数学,线性代数开课院系:上海交通大学理学院数学系教材:华章统计学原版精品系列：概率统计（英文版·第4版）, [美]德格鲁特（Morris H.DeGroot），[美]舍维什（Mark J.Schervish）著Morris H.DeGroot ，Mark J.Schervish 编, 机械工业出版社, 2012教学参考:[1] M.N. DeGroot, M.J. Schervish, Probability and Statistics, 3rd ed. Boston, MA; London:Addison-Wesley, 2002[2] Jay.L. Devore, Probability and Statistics, 5th ed. Higher Education Press, 2010[3] H. Jeffreys, Theory of Probability, 3rd ed. Oxford: Oxford University Press, 1998[4] J.T. McClave, T. Sincich, A First Course in Statistics, 7th ed. Upper Saddle River, NJ: PrenticeHall; London: Prentice-Hall International, 2000[5] S.M. Ross, Introduction to Probability and Statistics for Engineers and Scientists,2nd ed. SanDiego, CA; London: Harcourt/Academic, 2000[6] V.K. Rothagi, S.M. Ehsanes, An Introduction to Probability and Statistics, 2nd ed.New York, Chichester: Wiley, 2001Probability and Statistics (English)Curriculum IntroductionCourse Title: Probability and Statistics (English)Total Hours: 48Credit: 2.5Pre-Course：Calculus, Linear AlgebraDepartment of giving course: Department of mathematics in Shanghai Jiaotong UniveristyTextbook:Probability and Statistics ( fourth edition), [美]德格鲁特（Morris H.DeGroot），[美]舍维什（Mark J.Schervish）著Morris H.DeGroot ，MarkJ.Schervish 编, 机械工业出版社, 2012Reference:[1] M.N. DeGroot, M.J. Schervish, Probability and Statistics, 3rd ed. Boston, MA; London: Addison-Wesley, 2002[2] Jay.L. Devore, Probability and Statistics, 5th ed. Higher Education Press, 2010[3] H. Jeffreys, Theory of Probability, 3rd ed. Oxford: Oxford University Press, 1998[4] J.T. McClave, T. Sincich, A First Course in Statistics, 7th ed. Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall; London: Prentice-Hall International, 2000[5] S.M. Ross, Introduction to Probability and Statistics for Engineers and Scientists,2nd ed. San Diego, CA; London: Harcourt/Academic, 2000[6] V.K. Rothagi, S.M. Ehsanes, An Introduction to Probability and Statistics, 2nd ed. New York, Chichester: Wiley, 2001<<概率论与数理统计>>是一门从数量方面研究随机现象规律性的数学学科，它已广泛地应用于工农业生产和科学技术之中，并与其它数学分支互相渗透与结合。
《概率论与数理统计》第三版__课后习题答案._
《概率论与数理统计》第三版__课后习题答案._习题⼀1.1 写出下列随机试验的样本空间：(1) 解：连续5 次都命中，⾄少要投5次以上，故}{ ,7,6,51=Ω； (2) 解：}{12,11,4,3,22 =Ω；(3) 解：医院⼀天内前来就诊的⼈数理论上可以从0到⽆穷，所以}{ ,2,1,03=Ω；(4) ()}{;51,4≤≤=Ωj i j i(5) 解：⽤0 表⽰合格, 1 表⽰不合格，则()()()()}{1,1,0,1,1,0,0,05=Ω；(6) 解：⽤x 表⽰最低⽓温, y 表⽰最⾼⽓温;考虑到这是⼀个⼆维的样本空间，故： ()}{216,T y x T y x ≤≤=Ω；(7) 解：}{207 x x =Ω；(8) 解：()}{l y x y x y x =+=Ω,0,0,8 ； 1.2(1) C AB ；(2))(C B A ? (3)C B A ??(4)C B A C B A C B A ?? (5)BC AC AB ?? (6)C B C A B A ??(7)ABC (8)C AB C B A BCA ??1.3 设样本空间}{20≤≤=Ωx x , 事件A =}{15.0≤≤x x ,}{6.18.0≤=x x B具体写出下列各事件：(1)AB }{18.0≤=x x ；(2) B A -=}{8.05.0≤≤x x ； (3)B A -=}{28.05.00≤?≤≤x x x ; (4) B A ?=}{26.15.00≤?≤≤x x x1.6 解：由于),(,B A A A AB 故)()()(B A P A P AB P ?≤≤，⽽由加法公式，有：)()()(B P A P B A P +≤?1.7 解：(1) 昆⾍出现残翅或退化性眼睛对应事件概率为：175.0)()()()(=-+=?WE P E P W P E W P(2)由于事件W 可以分解为互斥事件E W WE ,，昆⾍出现残翅, 但没有退化性眼睛对应事件概率为：1.0)()()(=-=W E P W P E W P(3) 昆⾍未出现残翅, 也⽆退化性眼睛的概率为：825.0)(1)(=?-=E W P E W P .1.8 解：(1) 由于B AB A AB ??,，故),()(),()(B P AB P A P AB P ≤≤显然当B A ?时P(AB) 取到最⼤值。
浅析经济金融问题中的概率统计及应用
浅析经济金融问题中的概率统计及应用【摘要】概率统计在经济金融中扮演着重要角色，通过对数据的分析和概率模型的建立，可以帮助理解经济金融领域的风险和变化。
本文首先介绍了概率统计在经济金融中的应用，包括对市场走势和股票价格的预测。
其次讨论了基于概率统计的风险管理，通过有效的风险控制和规避，可以降低金融市场的不确定性和波动性。
然后通过案例分析展示了概率统计模型在实际投资中的应用和效果。
进一步探讨了概率统计模型的优势，以及在投资决策中的作用。
总结指出，概率统计在经济金融中具有重要意义，并展望了未来的研究方向，为深入探讨和发展经济金融领域提供了新的思路和方法。
【关键词】概率统计、经济金融、风险管理、投资决策、案例分析、模型优势、研究意义、展望未来、重要意义。
1. 引言1.1 背景介绍在经济金融领域，概率统计是一种重要的工具和方法，它可以帮助人们更好地理解和预测经济金融现象中的规律性和随机性。
随着经济金融市场的不断发展和复杂化，概率统计在经济金融中的应用也日益广泛。
在金融领域，投资决策和风险管理是非常重要的问题。
概率统计可以帮助投资者更准确地评估资产的风险和收益，从而制定更有效的投资策略。
基于概率统计的风险管理方法也能帮助金融机构更好地管理自身风险，防范金融危机的发生。
通过对经济金融数据的收集和分析，概率统计还可以帮助人们发现市场中存在的规律性和趋势，从而更好地指导投资决策。
概率统计模型的优势在于可以量化不确定性，并为投资者提供更加客观和准确的信息。
随着经济金融领域的发展和变化，概率统计在其中的应用愈发重要。
本文将从不同角度探讨概率统计在经济金融中的作用，并展望未来的研究方向。
1.2 研究意义在经济金融中，各种变量之间往往存在着一定的随机性和不确定性，概率统计能够帮助我们对这些变量进行建模和量化。
通过对历史数据的分析和运用统计方法，可以揭示出一些隐藏在数据背后的规律和趋势，从而更好地预测未来的走势。
基于概率统计的风险管理在经济金融中扮演着至关重要的角色。
天津大学《概率论与数理统计》随机变量函数
y b a
1 FX
y b a
yba2
fY(y)fXya b1 a
1
2ae
2(a)2
综上得 Y~Nab,a2
2021/8/17
14
定理
正态随机变量的线性函数服从正态分布。
设 X~N (,2), YaXb(a0),则 Y~N (ab,(a)2)
推论
若 X~N (,2), 则 X ~N (0 ,1 )
hy
fX xdx
2021/8/17
17
于是得Y的概率密度
fY(y) fXh 0 (y)h(y)
y
其他
若g(x)<0, 同理可证
fY(y) fX h 0 (y)h (y)
y
其他
合并两式，即得证。
若ƒ(x)在有限区间[a，b]以外等于零，则只需假
设在[a，b]上恒有g(x)>0(或恒有g(x)<0)，
第二步 fY(y)F Y (y)
2021/8/17
11
例2 设 随 机X变 的量 概 率 密 度 为
fX(x)8x, 0,
0x4,求 其 .他
随
机Y1. 变 2求 X量 F8Y的 ( y)；概
率 .
密
度
解F Y ( 第y ) 一 步P P { { 求 2 Y X Y y 8 } 2 X y }8的 PX 分 2. yf布 2F YY (8(yy))函 .Fy Y28(数 fyX)(.x)dx
连续型——概率密度 归一性 概率计算
分布函数与概率密度的互变
正态分布的概率计算
均匀分布U(a,b) 正态分布N(a, 2 )
指数分布E（)
29
练习:已知随机变量X的概率密度为
概率统计在日常生活中的应用举例
中国石油大学（北京）《概率论与数理统计》大作业概率统计在日常生活中的应用举例理学院应化13-2班殷炜2013011634杨宗凡2013011633张安合20130116352015年5月概率统计在日常生活中的应用举例殷炜 杨宗凡 张安合（理学院应化系13-2班）摘要：概率论是一门与现实生活紧密相连的学科，它被广泛地应用到我们日常生活中。
本文主要从日常生活中的几个方面，运用贝努利概型，正态分布，数学期望等相关知识，揭示概率统计与实际生活的密切联系，加深我们对概率统计的认识，更好地指导我们的日常行动!关键词：概率统计；日常生活；应用；贝努利概型；正态分布；数学期望一、 引言概率统计以自然界的随机现象为研究对象，它与人们的日常生活有着密切的联系。
结合具体生活实际，对概率统计的应用进行分析，将概率统计思想用于实践指导我们行动，有利于全面认识某些活动的本质现象。
下面是有关概率统计知识的实际应用问题。
二、贝努利概型在保险业中的应用在现实生活中我们经常会接触到社会保险,出于对自身利益的考虑,有些人可能会问:保险公司和投保人谁是最大受益者呢?如果你了解概率统计知识,不防自己算一下。
例:假设有2500个同一年龄和同一社会阶层的人参加了某一保险公司的人寿保险。
在1月1日这一天,每个参加保险的人支付120元保险费给公司，那么其死亡时，家属就可以从公司里领取20000元保险金。
设在一年里每个人死亡的概率为0.002，问“保险公司亏本”的概率是多少?分析：假设“一个人在一年内死亡与否”为一次试验，则有2500人参加了这一保险，于是以上问题就转化为一个2500重的贝努利概型，同时，若将每人在一年内死亡的概率假定为P=0.002。
设参加保险的人每年的死亡记录为X ，则:P(X=k)= 0.002k (1-0.002)2500-k(0 设“保险公司亏本”为事件A ，x 为死亡人数,则公司应支出20000x(元),而公司的总收入为2500×120(元)。
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解 由图可知, Y 的取 值范围为(0,1) 故当 y 0 或 y 1 时 f Y (y) = 0
y sin x (0 x )
1
1 0.8 0.6 0.4 0.2
例8 已知 X ~ N (0,1) , Y = X 2 , 求 f Y (y) 解一 从分布函数出发
FY ( y ) P(Y y )
当 y 0 时，FY (y) = 0；
y
当 y>0 时，
y ]
[
[ y [
FY ( y ) P( X y )
2
y
P( y X y )
注意 连续 r.v.函数的分布函数不一定是连 续函数.
例如 X ~ U (0,2)
y 0, x 0 g ( x) x, 0 x 1 令Y=g (X) 1 1, x 1
1 , f X ( x) 2 0, 0 x2 其他
x
0, y FY ( y ) , 2 1,
g ( x1 ) g ( x2 ) g ( xn ) 则 Y=g(X) ～ p2 pn p1
如果g(xk)中有一些是相同的，把它们作适当 并项即可.
例1 已知 X 的概率分布为 X -1 0 1
pk 解 X
求 Y 1= 2X – 1 与 Y 2= X 2 的分布律
点集，而P为直线上的勒贝格测度, (, ℱ,Ｐ)
构成一概率空间.定义随机变量
Y ( )
则 Y ( ) 的分布函数为 FY ( y) P{Y y}
0 y 1, FY ( y) P{Y y} y
Y ( ) ~ U [0,1]
定义
X F 1 (Y )
则X 有的分布函数为F(x)。（根据上一个实例）
1 1 ( y 2) 解 fY ( y ) fX | 3 | 3
1 2 y 3 2 2e , 3 0,
y2 0 3 其 他
2 2( 23 y ) e , 3 0,
y2 其他
问题
设 r.v.X 服从(0,1)内均匀分布,
X [1 g (Y )]/ 2
其中 g ( y )
2 2
y
o
e
t2 2
dt
求 r.v. Y 的 p.d.f.
问 题
在高为 h 的ABC 中任取一点M , 点 M 到 AB 的距离为随机变量X , 求其密度函数 f (x).
FY y P(Y y) P( X 2 y)
当y0时
FY ( y ) 0
1 FY ( y ) dx 2 y
y
当0<y<1时
y
y y
当y≥1时 FY ( y ) 1
1 fY ( y ) FY ' ( y ) 2 y 0 0 y1 其它
解
f X [(1 y) ] fY ( y ) dy dx x(1 y )3
3
(1 - y)3
x
2 dx 3(1 y ) 3 f X (1 y ) , y 6 dy x(1 y ) 1 (1 y )
3
例10 设 X 的 p.d.f.为
FY ( y) =
蝌
-
y y
1 e 2p
-
1 2 x 2
y
dx = 2
0
1 e 2p
-
1 2 x 2
dx
故
0, y fY ( y) 1 1/ 2 2 y e , 2
0, 1 fY ( y) (1/ 2) 2 1 1 y y2 e 2 ,
fY ( y) y f X ( x1 )[(x)1 ] f X ( x2 )(x)2
f X ( x1 ) f X ( x2 ) fY ( y ) dy dy dx x x dx x x
1 2
f X ( x1 ) f X ( x2 ) dy dy dx x x dx x x
FY ( y ) P{Y y}
dF ( y ) Y fY ( y ) dy
g ( x ) y
f ( x)dx
此法也叫“分布函数法 ”。
例2 、 r.v.X的密度函数为
求 Y 2 X 的密度函数 解：
1 f X ( x) (1 x 2 )
y FY ( y ) P(Y y ) P(2 X y ) P( X ) 2
1 dx 2 (1 x )
fY ( y ) FY ( y ) 1 1 2 2 (1 y / 2) 2 (4 y 2 )
y 2
例3.设XU(-1,1),求Y=X2的分布函数与概率密度。
1 1 x 1 解 fX x 2 0 其它
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
x
当0 y < 1 时
y sin x 0 x y sin x((0 x )) 1 y• x 0 arcsiny - arcsiny
1 0.8 0.6 0.4 0.2 0.5 1 1.5 2 2.5 3
1 2 arcsin y 2( arcsin y ) 1 y 故 2 , 0 y 1 2 fY ( y ) 1 y 0, 其他
1 e 2 y
y 2
故
fY ( y )
y0 , y0 0, 1 e 2y
y 2
此答案是否
对？
y0 , y0
应修正为
fY ( y )
一般地, y=g(x)是I1， I2，…， In上单调可导函
数，在每个区间上的反函数分别为xi=hi(y)
特别地 ，若 X ~ N ( , 2) ,
X 则 Y ~ N (0,1)
设 X ~ N ( ,2) , Y = a X +b服从正态分布。 Y ~ N ( a +b, a22 ) 正态分布的线性组合仍服从正态分布。
例7 X ~ Exp (2), Y = – 3X + 2 , 求 fY ( y)
1
2
f X ( y ) f X ( y) dy dy dx x y dx x y
1 1 e | 2 y | 2 1 1 e | 2 y | 2
0, 1 e 2y
y 2
( y )2 2
( y )2 2
y
x2=h2(y)
x1=h1(y)
y = g(x)
x3=h3(y) I1 I2 I3 x
则 Y=g(X)的概率分布密度函数为
fY ( y ) f X (hn ( y )) f X (h1 ( y )) f X (h2 ( y )) dy dy dy dx x h1 ( y ) dx x h2 ( y ) dx x hn ( y )
特别地，若g(x)为单调函数，则
f X ( x) fY ( y ) dy dx
其中x=g-1(y)为y = g(x)
的反函数。
y = g(x)
y
x
x
1 , 例9 设 f X ( x) 2 (1 x )
x
Y 1 X
3
y 1 3 x
y
求 f Y (y)
2、公式法：一般地
定理1 若X～fX(x),y=g(x)是单调可导函数，则
Y g ( X ) ~ fY ( y) f X [h( y)] | h( y) |
其中x=h(y)为y＝g(x)的反函数.
本质
dx fY ( y ) f X ( x ) | |, dy
i.e.| fY ( y)dy || f X ( x)dx |
故
例如 设 X ~ N ( ,2) , Y = a X +b, 则
1 1 fY ( y ) f X ( y b) |a| a
1 e 2 | a |
Y ~ N ( a +b, a22 )
( y ba ) 2 2 a 2 2
y
注：1 、只有当g(x)是x的单调可导函数时， 才可用以上公式推求Y的密度函数； 2、 注意变量的取值范围。
例4
U ( , ) 2 2
tan
求 的密度函数。
解： 设
y tan x
dx 1 2 dy 1 y
x arctan y
1
1 f ( y ) 1 y2
(2)若r.v.Y ~ U (0,1),则 X F 1 (Y ) 的分布函数为 F(x).
定理2. 若F(x)满足右连续性、非降性、且
x
lim F ( x) 1, lim F ( x) 0
x
则存在一个概率空间及其上的随机变量X，使X的 分布函数为F(x)。 证明：设样本空间 [0,1], ℱ为[0,1]上的Borel
§2.5 r.v. 函数的分布
问题 已知 r.v. X 的p.d.f. f X (x) 或分布律. 求 随机变量Y= g ( X )的密度函数
fY (y) 或分布律
方法 利用分布函数。
一、离散型随机变量函数的分布律
一般，若X是离散型 r.v . X的概率分布为
x1 X ～ p1 x2 xn p2 pn
即服从柯西分布
例5.已知XN(,