第四节 对换 线性代数
线性代数教案全(同济大学第六版)
线性代数教案第（1）次课授课时间（）1.教学内容: 二、三阶行列式的定义；全排列及其逆序数；阶行列式的定义2.时间安排: 2学时；3.教学方法: 讲授与讨论相结合；4.教学手段: 黑板讲解与多媒体演示.基本内容备注第一节 二、三阶行列式的定义一、二阶行列式的定义从二元方程组的解的公式,引出二阶行列式的概念。
设二元线性方程组 ⎩⎨⎧=+=+22222211212111b x a x a b x a x a用消元法,当021122211≠-a a a a 时,解得211222111212112211222112121221,a a a a b a b a x a a a a b a b a x --=--=令2112221122211211a a a a a a a a -=,称为二阶行列式 ,则如果将D 中第一列的元素11a ,21a 换成常数项1b ,2b ,则可得到另一个行列式,用字母1D 表示,于是有2221211a b a b D =按二阶行列式的定义,它等于两项的代数和: ,这就是公式（2）中 的表达式的分子。
同理将 中第二列的元素a 12,a 22 换成常数项b1,b2 ,可得到另一个行列式,用字母 表示,于是有2121112b a b a D =按二阶行列式的定义,它等于两项的代数和: ,这就是公式（2）中 的表达式的分子。
于是二元方程组的解的公式又可写为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==D D x D D x 2211 其中0≠D例1. 解线性方程组 .1212232121⎪⎩⎪⎨⎧=+=-x x x x 同样,在解三元一次方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++333323213123232221211313212111bx a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 时,要用到“三阶行列式”,这里可采用如下的定义.二、三阶行列式的定义设三元线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++333323213123232221211313212111bx a x a x a b x a x a x a b x a x a x a用消元法解得定义 设有9个数排成3行3列的数表333231232221131211a a a a a a a a a 记 333231232221131211a a a a a a a a a D =322113312312332211a a a a a a a a a ++=332112322311312213a a a a a a a a a ---,称为三阶行列式,则三阶行列式所表示的6项的代数和,也用对角线法则来记忆: 从左上角到右下角三个元素相乘取正号,从右上角到左下角三个元素取负号,即例2.计算三阶行列式 .(-14) 例3.求解方程 （ ） 例4.解线性方程组 解 先计算系数行列式573411112--=D 069556371210≠-=----+-= 再计算 321,,D D D515754101121-=--=D ,315534011222=--=D ,55730112123=---=D得 23171==D D x ,69312-==D D y ,6953-==D D z第（ 2 ）次课授课时间（）第（ 3 ）次课授课时间（）1.教学内容: 行列式按行（列）展开；2.时间安排: 2学时；3.教学方法: 讲授与讨论相结合；教学手段: 黑板讲解与多媒体演示.基本内容备注第5节 行列式按行（列）展开定义 在 阶行列式中, 把元素 所处的第 行、第 列划去, 剩下的元素按原排列构成的 阶行列式, 称为 的余子式, 记为；而 称为 的代数余子式.引理 如果 阶行列式中的第 行除 外其余元素均为零, 即: .则： .证 先证简单情形:再证一般情形:定理 行列式等于它的任意一行（列）的各元素与对应的代数余子式乘积之和, 即按行: 按列: 证:（此定理称为行列式按行（列）展开定理）nnn n ini i n a a a a a a a a a D212111211000000+++++++++=nnn n in n nnn n i n nn n n i n a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a 21112112121121121111211000000+++=).,2,1(2211n i A a A a A a in in i i i i =+++=例1 : . 解:例2: 21122112----=n D解: 21122112----=n D 211221100121---=+++nr r)()()()()()21331122213311n n n n n n n x x x x x x x x x x x -----, 并提出因子 ）()2321111--n n n x x x x x x()1-n 阶范德蒙行列式(1n x x -行列式一行（列）的各元素与另一行（列）对应各元素的代数余子式乘积之和为零第（ 4 ）次课授课时间（）1.教学内容: 克拉默法则；2.时间安排: 2学时；教学方法: 讲授与讨论相结合；4.教学手段: 黑板讲解与多媒体演示.4.教学手段：黑板讲解与多媒体演示.基本内容备注第（5）次课授课时间（）1.教学内容: 矩阵；矩阵的运算；2.时间安排: 2学时；3.教学方法: 讲授与讨论相结合；4.教学手段: 黑板讲解与多媒体演示。
线性代数1-2全排列及其逆序数1-3n阶行列式的定义1-4对换
例3 用行列式的定义计算
0 0 0 1 0 0 0 2 0 0 Dn n1 0 0 0 0 0 0 0 0 n
解 Dn 1 t a1,n1a2,n2 an1,1ann
1t 1 2 n 1 n 1t n!, tn 1n 2 21n
01 2L n 3 n 2 0
1234
例3 计算
0 D
4
2
1
0056
0008
解
1234Βιβλιοθήκη 0421D 00
5
6 a11a22a a 33 44 1 4 5 8 160.
0008
同理可得下三角行列式
a11
0 0 0
a21 a22 0 0
an1
an2
an3 ann
a11a22 ann .
例4 证明对角行列式
1 2
因此对换相邻两个元素，排列改变奇偶性 . 再证一般对换的情形 .
设排列为 a1 alab1 bmbc1 cn , 现来对换 a 与b.
a1 al a b1 bm b c1 cn
m 次相邻对换 a1 al ab b1 bmc1 cn
m 1 次相邻对换 a1 al b b1 bm a c1 cn
t 0 1 0 3 1 5.
例2 计算下列排列 nn 1n 2L 321
的逆序数，并讨论它的奇偶性.
解
t 1 2 L (n 2) n 1
nn 1
,
2
当 n 4k,4k 1 时为偶排列；
当 n 4k 2,4k 3 时为奇排列.
第一章 行列式
第三节 n 阶行列式的定义
一、概念的引入
1
a a t p1q1 p2q2
a pnqn
线性代数 概率论与数理统计 作业册 (参考答案)青岛理工大学
第一章 行列式第一节二阶与三阶行列式 第二节全排列及其逆序数第三节n 阶行列式的定义第四节对换1.求下列各排列的逆序数：(1) 134785692 (2) 139782645 (3) 13…(2n-1)24…(2n) (4) 13…(2n-1)(2n)(2n-2)…2 （11;17;2)1(-n n ;)1(-n n ） 2. 已知排列9561274j i 为偶排列，则=),(j i (8,3) .3.计算下列各阶行列式：(1) 600300301395200199204100103 (2)0d 0c 0b 0a 0 (3)efcfbfde cd bd aeac ab --- [2000; 0; 4abcdef] 4. 设xx x x xD 111123111212-=，则D 的展开式中3x 的系数为 -1 .5 求二次多项式()x f ，使得()61=-f ，()21=f ，()32=f解 设()c bx ax x f ++=2，于是由()61=-f ，()21=f ，()32=f 得⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=+-32426c b a c b a c b a 求c b a ,,如下： 06124111111≠-=-=D ，61231121161-=-=D ，121341211612==D ，183242116113-=-=D 所以 11==D D a ，22-==D Db ，33==DD c故()322+-=x x x f 为所求。
第五节 行列式的性质 第六节 行列式按行（列）展开 第七节克拉默法则1.n 阶行列式ij a D =，则展开式中项11342312n n n a a a a a - 的符号为( D ). （A ）- （B ）+ （C ）n)1(- （D ）1)1(--n2.如果1a a a a a a a a a D 333231232221131211==，求333231312322212113121111a a 3a 2a 4a a 3a 2a 4a a 3a 2a 4--- [-12] 3. 已知4521011130112101--=D ，计算44434241A A A A +++ [-1]4. 计算行列式3833262290432231---- [-50]5.计算下列各行列式（D k 为k 阶行列式）(1)a11a,其中对角线上元素都是a ，未写出的元素都是0; [2--n naa ](2) aaaa x a aax; [1)(--n a x a ](3)n1n 321a xxxxx a x x x x x a x x x x xa xx x x x a- [利用递推公式来求]递推公式为1121)()())((---+---=n n n n D x a x a x a x a x Dn D =)1)(())((2121xa xx a x x a x x a x a x a n n -++-+-+--- (4) n2222232222222221[)!2(-n ](5)β+ααββ+αβ+ααββ+ααββ+ααββ+α1000000100001000010000[n n n n βαββαα++++--11]6.问λ，μ取何值时，齐次方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+μ+=+μ+=++λ0x x 2x 0x x x 0x x x 321321321有非零解？ [0;1==μλ]求每类商品的销售利润率。
线代2
a11 (a1i ka1 j ) a1 j a1n ci kc j a21 (a2i ka2 j ) a2 j a2n an1 (ani kanj ) anj ann ;
又如
a11 ai1 a j1 an1
a12 ai 2 a j2 an 2
(1) a p1 1 a pnn , t t ( p1 p2 pn ). 证毕.
例1
用行列式的定义计算
0 0 0 1 0 0 0 2 0 0 Dn n1 0 0 0 0 0 0 0 0 n
解 Dn 1t a1,n 1a2,n 2 an 1,1ann
所以一个排列中的任意两个元素对换，排列的 奇偶性改变.
推论
奇排列变成标准排列的对换次数为奇数， 偶排列变成标准排列的对换次数为偶数.
Dn 1t a1 p1 a2 p2 anpn
其中, t t ( p1 p2 pn ).
定理2
n阶行列式可等价定义为:
t Dn 1 a p1 1a p2 2 a pn n
i1 i2 in
D
ri r j
D1
an1 an 2 ann
D1 1t b1 p1 bipi b jp j bnpn 1t a1 p1 a jpi aip j anpn 1t a1 p1 aip j a jpi anpn ,
证明 记 D det( aij )的转置行列式
b11 b12 b1n b21 b22 b2 n D , bn1 bn 2 bnn
T
即 bij a ji i , j 1,2,, n,
线性代数第一章行列式第四节对换
排列各占一半. 排列变为a ··mlbab1 · b . 显然, ·al 和 · · · · · · 排列变为a1 · albab1 1·ba. 显然, m排列 a1 ·排列 a1 · · · · 个不同的 证明b 设在全部 设在全部 n 阶排列中有 这 个不同 证明 n 阶排列中有 s而 a , b s而 a , b · · b1 · bm 经对换后的逆序数并不改变, · · 1 · bm 经对换后的逆序数并不改变, 推论奇排列和 t 个不同的偶排列,需证 s = t. 奇排列和 两个元素的逆序数改变为: = t. t 2 奇排列变成标准排列的对换次数为 个不同的偶排列,需证 s 当a<b时,经对换后 两个元素的逆序数改变为: 当a<b时,经对换后 a 奇数，偶排列变成标准排列的对换次数为偶数. 当a>b时 的逆序数增加 把 而 个奇排列最左边的两个数对换,则 1 s b 的逆序数不变; 当a>b时,经 把 s 的逆序数增加 1 而 b 的逆序数不变; 个奇排列最左边的两个数对换,则 s 个
一种表示法. 排列改变奇偶性. 对于行列式的任一项
(1) a1 p1 aipi a jp j anpn ,
t
其中 1i j n 为自然数排列，t 为排列
p1 pi p j pn
的逆序数， 对换元素 aipi 与 a jp j 成
(1)t a1 p1 a jp j aipi anpn ,
对换模型 a 的逆序数不变而 b 的逆数减少 1. 对换后 个不同的偶排列, 所以 ≤ 所以 对换后 a 的逆序数不变而s b 的逆数减少 s1. 所以 s ≤ 奇排列变成了 s 奇排列变成了 个不同的偶排列, t .
三、n 阶行列式的等价定义
利用定理 1 一个排列中的任意两个元素对换, 下面来讨论行列式定义的另
2对换行列式性质
潍坊科技学院教案课程名称：线性代数授课人：§1.3 对换复习提问：n 阶行列式的定义，逆序数的求法 讲授新课：1.对换的定义： 在排列中,将某两个数对调,其余的数不动,这种对排列的变换称为对换.将相邻两数对换,称为相邻对换（或者邻换）.2.对换的性质1：一个排列中的任意两数对换,排列改变奇偶性. 利用相邻对换奇数次改变排列的奇偶性，相邻对换偶数数次不改变排列的奇偶性来证明，略3.对换的性质2：n 级全排列共有!n 项，其中奇偶排列各占一半。
例1：试判断655642312314a a a a a a 和662551144332a a a a a a -是否都是六阶行列式的项解：∴=,6)431256(τ 655642312314a a a a a a 是六阶行列式的项 而∴=+=+,835)234156()341526(ττ662551144332a a a a a a -不是六阶行列式的项§1.4行列式的性质1.转置行列式：记22212221212111212222111211,a a a a a a a a a D a a a a a a a a a D n n n n T nnn n n n⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=行列式T D （D '）称为行列式D 的转置行列式。
2.性质1 ：行列式与它的转置行列式相等 利用定义即可证明性质2： 互换行列式的两行（列），行列式变号nk i n k i nnj kj ij j j j j j j j j nnn n kn k k ini i n a a a a a a a a a a a a a a a a11211)(21212111211)1(τ∑-=将第i 行与第k 行交换，则ni k n i k nnj ij kj j j j j j j j j nnn n ini i kn k k na a a a a a a a a a a a a a a a11211)(21212111211)1(τ∑-=其中列标进行了一次对换，所以添加了一个负号，即可证明 推论：如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式等于零 证 把这两行互换，有D D -=，故0=D性质3 ：行列式的某一行（列）中所有元素都乘以同一数k ，等于用数k 乘此行列式。
线性代数1-2
a2 j
a a 2n ci kc j 21
a2i ka2 j
a2 j
a2n
an1
ani
anj
ann
an1
ani kanj
anj
ann
注:(1)上述使用性质6得到的新行列式中,变化的是第i列,而第j列不变;
(2)利用性质5易证上述右式等于左式;
(3)性质2,3,6介绍了行列式关于行和列的三种运算,记为 ri rj , ri k ,
1 3 2 1
例1.5.1 求下列4阶行列式的值 D4 2 1
. 00
3 1 0 0
分析:注意到该行列式右下角的四个元素均为0,如果这四个零元素处在右
上角,就构成分块下三角行列式,可以降阶为两个二阶行列式之积.
于是想到借助性质2容易将该行列式转化为分块下三角行列式,即有
解法3:
3 1 0 0
1 p1
jpi
ip j
npn
由 定 义3
D.
证毕.
推论 如果行列式有两行(列)完全相同，则此行列式的值等于零. 性质3 行列式某一行(列)的所有元素都乘以常数k,等于用k乘以这个行列式.
推论 行列式某一行(列)的所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面.
性质4 行列式中如果有两行(列)元素成比例，则此行列式等于零. 性质5 若行列式的某一列(行)的元素都是两数之和，例如第i列的元素都是
2 0 1 1
1 5 3 3
解:注意到第2列的元素较简单,故从这一列着眼,利用性质设法化出主对角
的上三角行列式.
1 3 1 2
1 3 1 2
c1 c2 1 5 3 4 r2 r1 0 8 4 6
D
线性代数知识点总结-最新
线性代数⼀、⾏列式1. ⼆阶与三阶⾏列式对⼆元线性⽅程组有⼆阶段⾏列式若记则对个数组成的⾏列的数表有三阶⾏列式2.全排列和对换排列全排列：把个不同的元素排成⼀列，叫做这个元素的全排列排列。
逆序：对于个不同的元素先规定⼀个元素之间的标准次序在这个元素的任⼀排列中当某⼀对元素的先后顺序与标准次序不同时就说它构成⼀个逆序。
逆序数：⼀个排列中所有逆序的总数。
奇排列：逆序数为技术的排列偶排列：逆序数为偶数的排列排列的逆序数：对换：将排列中的任意两个元素对调，其余的元素不动的过程。
相邻对换：将相邻两个元素进⾏的对换。
定理：⼀个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性。
推论奇排列对换成标准排列的对换次数为奇数，偶数列对换成标准数列的对换次数为偶数。
3.n阶⾏列式对个数组成的⾏列的数表有阶⾏列式，记作4.⾏列式的性质⾏列⾏列式称为的转置⾏列式性质：⾏列式与它的转置⾏列式相等性质：对换⾏列式的两⾏列，⾏列式变号推论：如果⾏列式有两⾏列完全相同，则此⾏列式等于零性质：⾏列式的某⼀⾏列中所有的元素都乘同⼀数，等于⽤数乘此⾏列式性质：⾏列式中如果有两⾏（列）元素成⽐例，则此⾏列式等于零性质：若⾏列式的某⼀⾏的元素都是两数之和，则⾏列式可拆分为两个⾏列式相加性质：把⾏列式的某⼀⾏的个元素乘同义数然后加到另⼀⾏列对应的元素上去，⾏列式不变。
5.⾏列式按⾏(列)展开在阶⾏列式中把元所在的第⾏和第列划去后在阶⾏列式中把元所在的第⾏和第列划去后留下来的阶⾏列式叫做元的余⼦式记作记叫做元的代数余⼦式引理⼀个阶⾏列式如果其中第⾏所有元素除元外都为零那么这⾏列式等于与它的代数余⼦式的乘积即定理按⾏列展开法则⾏列式等于它的任⼀⾏列的各元素与其对应的代数余⼦式乘积之和即或例如四阶⾏列式中元的余⼦式和代数余⼦式分别为⼆、矩阵2.1 线性⽅程组、矩阵、矩阵的运算当常数项不全为零时有元⾮齐次线性⽅程组含有个末知数个⽅程的元⾮齐次线性⽅程组：其中是第个⽅程的第个末知数的系数是第个⽅程的常数项当全为零时有元齐次线性⽅程组：元齐次线性⽅程组⼀定有零解不⼀定有⾮零解即⼀组不全为零的解2.1.1 矩阵1、矩阵介绍对由个数排成的⾏列的数表称为⾏列矩阵矩阵：数位于矩阵的第⾏第列称为矩阵的元2、矩阵的种类矩阵的种类：其中称为系数矩阵称为末知数矩阵称为常数项矩阵称为增⼴矩阵⾏矩阵⾏向量：列矩阵列向量：实矩阵元素是实数的矩阵复矩阵元素是复数的矩阵除特别说明外都指实矩阵阶矩阵阶⽅阵：⾏数与列数都等于的矩阵同型矩阵⾏数、列数都相等的两个矩阵相等矩阵如果与是同型矩阵并且它们的对应元素相等即那么就称矩阵与矩阵相等记作零矩阵元素都是零的矩阵注意不同型的零矩阵是不同的对⾓矩阵对⾓阵：从左上⾓到右下⾓的直线叫做对⾓线以外的元素都是的阶⽅阵：特别当有阶单位矩阵单位阵：单位阵的元为：当当2.1.2 矩阵的运算1、矩阵的加法矩阵的加法：设有两个矩阵和那么矩阵与的和记作规定为只有当两个矩阵是同型矩阵时才能进⾏加法运算矩阵加法满⾜下列运算规律设都是矩阵设矩阵记称为矩阵的负矩阵由此规定矩阵的减法为2、矩阵数乘数与矩阵的乘积记作或规定为：数乘矩阵满⾜下列运算规律设、为矩阵、为数3、矩阵相乘矩阵相乘：对矩阵矩阵有矩阵记为其中按此定义⼀个⾏矩阵与⼀个列矩阵的乘积是⼀个阶⽅阵也就是⼀个数由此表明乘积矩阵的元就是的第⾏与的第列的乘积如：4、转置矩阵矩阵称为的转置矩阵：例如转置矩阵的运算规律：对称矩阵对称阵：元素以对⾓线为对称轴对应相等的阶矩阵如果阶⽅阵满⾜：即则为对称矩阵⽅阵的⾏列式：⽅阵的⾏列式或：由阶⽅阵的元素所构成的⾏列式各元素的位置不变伴随矩阵：⾏列式的各个元素的代数余⼦式所构成的矩阵称为矩阵的伴随矩阵有：注：2.2 逆矩阵、克拉默法则、矩阵分块法2.2.1 逆矩阵1、逆矩阵的定义、性质和求法：逆矩阵的定义、性质和求法：逆矩阵的定义、性质和求法：对于阶矩阵如果有⼀个阶矩阵使则矩阵是可逆的的逆矩阵逆阵在矩阵的乘法中的作⽤与数类似如果矩阵是可逆的那么的逆矩阵是惟⼀的这是因为若、都是的逆矩阵则有所以的逆矩阵是惟⼀的定理若矩阵可逆，则定理若则矩阵可逆且其中为矩阵的伴随矩阵推论：若或，则故逆矩阵满⾜下述运算规律若可逆则亦可逆且若可逆数则可逆且若、为同阶矩阵且均可逆则亦可逆且2、逆矩阵的初步应⽤：逆矩阵的初步应⽤：设求矩阵使其满⾜解：若存在则⽤左乘上式右乘上式有即若⽽故知、都可逆且于是2.2.2 克拉默法则克拉默法则：含有个末知数的个线性⽅程的⽅程组：①它的解可以⽤阶⾏列式表⽰即有克拉默法则：如果线性⽅程组①的系数矩阵的⾏列式不等于零即：那么⽅程组①有惟⼀解其中是把系数矩阵中第列的元素⽤⽅程组右端的常数项代替后所得到的阶矩阵即2.2.3 分块矩阵1、分块矩阵分块矩阵：以⼦块为元素的形式上的矩阵将矩阵⽤若⼲条纵线和横线分成许多个⼩矩阵每⼀个⼩矩阵称为的⼦块例如将矩阵分成⼦块的分法很多下⾯举出三种分块形式，，分法可记为其中即为的⼦块⽽形式上成为以这些⼦块为元的分块矩阵2、分块矩阵的运算分块矩阵的运算与普通矩阵的运算相类似：分块矩阵的运算与普通矩阵的运算相类似：设矩阵与的⾏数相同、列数相同采⽤相同的分块法有：其中与的⾏数相同、列数相同那么：设为数那么：设为矩阵为矩阵分块成：其中的列数分别等于的⾏数那么：其中设则设为阶⽅阵若的分块矩阵只有在对⾓线上有⾮零⼦块其余⼦块都为零矩阵且在对⾓线上的⼦块都是⽅阵即其中都是⽅阵那么称为分块对⾓矩阵分块对⾓矩阵的⾏列式满⾜：由此性质可知若则并有：补充：。
线性代数课件第一章
逆序. 一个排列中所有逆序的总数叫做这个排列的逆 序数.
在一个 n 阶排列中，任何一个数对不是构成逆序 就是构成顺序．如果我们把顺序的个数称为顺序数，则 一个 n 阶排列的顺序数与逆序数的和为 n(n –1)/2 .
a12a21) a12a21)
x1 x2
b1a22 a11b2
a12b2 b1a21
, .
当 a11a22 – a12a21 0 时，求得方程组（１）的解为
x1
x2
b1a22
a11a22 a11b2
a11a22
a12b2
a12a21 b1a21
a12a21
, .
（２）
为了记忆该公式，引入记号
(为偶排列)． 带负号的三项列标排列：132 , 213 , 321
(为奇排列)． 故三阶行列式可以写成
a11 a12 a13
a21 a22 a23 (1)t a1p1 a2 p2 a3 p3 ,
a31 a32 a33
其中 t 为排列 p1p2p3 的逆序数， 表示对1，2，3 三个 数的所有排列 p1p2p3 求和．
a11 a21
a12 a22
a11a22 a12a21
并称之为二阶行列式．其中 aij 称为行列式的元素，
aij 的两个下标表示该元素在行列式中的位置，第一个下
标称为行标， 表示该元素所在的行，第二个下标称为列
标，表示该元素所在的列，常称 aij 为行列式的(i , j ) 元1由a11成a11baaa1a1111b122二12二aaa22122b222阶22阶22ba1abaa行行11112aa22baa22ba11a1列12列22a22122baaa112式12式1222,.1b12的，,. 定即bb12 义aa，12（22 ,（２２a）11b）2
《对换线性代数》课件
对换线性代数是一种数学工具，用于描述线性空间中的向量之间的关系。
详细描述
对换线性代数是线性代数的一个重要分支，主要研究向量空间中的向量之间的 关系，以及这些关系如何通过矩阵来表示和操作。它提供了描述和解决线性问 题的数学框架。
对换线性代数的发展历程
总结词
对换线性代数的发展历程可以追溯到19世纪，随着数学和科学的进步，它逐渐成 为解决实际问题的重要工具。
滤波器设计
滤波器是用于提取信号特征或抑制噪声的方法。通过对换线性代数中的矩阵和向量，可以设计各种滤波器，如低通滤 波器、高通滤波器、带通滤波器等。
图像处理
图像处理是对图像进行各种操作以满足需求的技术。通过对换线性代数中的矩阵和向量，可以实现图像 的变换、滤波、边缘检测等操作，用于图像增强、目标检测等任务。
矩阵的运算性质
掌握矩阵的基本运算性质，如加法、数乘、乘 法等。
行列式与矩阵的逆
理解行列式的定义和性质，掌握如何计算矩阵 的逆。
矩阵的分解
了解矩阵的几种分解方法，如LU分解、QR分解等。
线性代数在数学其他领域的应用
1 2
在微分学中的应用
了解线性代数在解决微分方程、微分几何等领域 的应用。
在概率论与统计学中的应用
PART 05
对换线性代数的进阶知识
线性代数的几何意义
线性变换与矩阵
理解线性变换如何通过矩阵进行表示和变换，以及线 性变换在几何空间中的意义。
特征向量与特征值
掌握特征向量和特征值的定义，理解它们在几何解释 中的意义。
线性变换的几何意义
了解线性变换在几何空间中的表现，如平移、旋转、 缩放等。
线性代数的性质与定理
特征值的性质：特征值唯 一，特征向量不唯一。
04184线性代数
行列式性质1.行列互换，行列式值不变2.某行(列)可提取公因数3.对换两行(列)，行列式变号(推论：两行(列)成比例，行列式值为0)4.若某行(列)是两个元素的和，可以拆分为两个行列式的和5.某行(列)的k倍加到另一行(列)，行列式值不变解法(展开公式)n阶行列式的值，等于它任意一行(列)元素与其对应代数余子式乘积之和克拉默法则若线性方程组的系数行列式≠0，则方程组必有唯一解推论1：若齐次线性方程组系数行列式≠0，则方程组只有0解推论2：若齐次线性方程组有非零解，则系数行列式值为0矩阵矩阵：m行n列元素排列成的数表方阵：m=n时，叫做n阶矩阵或方阵公式1.丨A T丨 =丨A丨2.丨KA丨= K n丨A丨3.丨AB丨=丨A丨·丨B丨丨A2丨=丨A丨2对称矩阵：沿主对角线对称 (A T＝A，反对称矩阵A T＝-A)正交矩阵：A T A=AA T=E伴随矩阵：矩阵中所有元素对应代数余子式，行列交换组成的新矩阵公式1.AA※=A※A=丨A丨E2.丨A※丨=丨A丨n-1A※=丨A丨·A-13.A-1=丨A丨-1 · A※若存在矩阵B，使AB=BA=E，则矩阵A可逆，矩阵B为矩阵A的逆矩阵性质1.若A可逆，则A-1也可逆，且(A-1)-1＝A ， (A T)-1＝(A-1)T2.若A可逆，K ≠ 0，则KA可逆，且(KA)-1＝K-1A-13.若A可逆，则丨A丨≠ 0 (推论：A、B是n阶矩阵，若AB=E，则B=A-1)4.若A、B均可逆，则AB也可逆，且(ABC)-1=C-1B-1A-1分块矩阵运算：分块矩阵运算时，每个子块也要内部运算初等变换：倍乘、互换、倍加初等矩阵：矩阵经过一次初等变换得到的新矩阵(左行右列)矩阵等价：矩阵A经过有限次数初等变换得到B，则A和B等价k阶子式：任意取k行k列元素按原来的次序构成k阶行列式，为矩阵的子式秩：矩阵中值不为0的阶数最大的k阶子式，为矩阵的秩，记作r定理1.秩＝阶数，则丨A丨≠0，可逆 (秩＜阶数，则丨A丨＝0，不可逆)2.经过初等变换，矩阵的秩不变3.转置后矩阵的秩不变n维向量：n个数构成的有序数组，称为一个n维向量零向量：所有分量全为0的向量，不同维数的0向量不相等运算：加法、数乘、内积线性表出a1，a2...a n是一组n维向量，k1，k2...k n是一组常数若B=k1a1，k2a2...k n a n，则称B是a1，a2...a n的线性组合(B可用a1，a2...a n线性表出)定理若向量组B1，B2...B n可用a1，a2...a n线性表出,则r(B)≤r(A)线性相关定义：设a1，a2...a n是n个m维向量，若存在n个不全为0的数k1，k2...k n使k1a1+k2a2+...+k n a n=0，则称向量组线性相关，否则称为线性无关定理a1，a2...a n线性相关1.a1，a2...a n=0，降秩，不可逆2.齐次方程组有非0解3.n+1维向量必线性相关4.至少有一个向量ai可由其余向量线性表出a1，a2...a n线性无关，而a1，a2...a n，B线性相关，则B必能由a1，a2...a n线性表出，且表法唯一a1，a2...a n可由B1，B2...B t线性表出，且n＞t，则a1，a2...a n必线性相关(推论：若a1，a2...a n线性无关，则n≤t)线性无关定义：若k1a1+k2a2+...+k n a n=0，必有k1=0...k n=0，则称a1，a2...a n线性无关向量组的极大无关组设有向量组A：a1，a2...a n，若A中能选出r个向量a1，a2...a r满足：1.A0：a1，a2...a r线性无关 2.向量组A中任意r+1个向量（如果有）都线性相关则称A0是向量组A的一个极大线性无关组向量组的秩向量组T中任意一个极大无关组所含向量个数，为T的秩（等价向量秩必相同）向量空间概念：n维实行(列)向量全体构成的集合，称为实n维向量空间，记作R n子空间：R n中取a1，a2...a n，则k1a1，k2a2...k n a n一定是R n中的一个子空间基设V是R n中的一个向量空间，若V中的向量组A：a1，a2...a n满足1.A线性无关2.V中任意一个向量a都可以由a1，a2...a n线性表出则A是V的一个基，a1，a2...a n为基向量，基中向量个数r为V的维数，并称V为r维向量空间坐标a=k1a1+k2a2+...+k n a n成立时，表出系数k1，k2...k n称为a在基a1，a2...a n下的坐标齐次线性方程组定理1.若n维列向量ξ满足AX=0，则称ξ为AX=0的解2.n为零向量是AX=0的解，称为0解，反之称为非0解，向量分量中至少有一个不为03.由AX=0的解向量构成的向量集合，称为AX=0的解空间性质1.若ξ1和ξ2都是AX=0的解，ξ1+ξ2则也是AX=0的解2.若ξ是AX=0的解，k是任意实数，则kξ也是AX=0的解基础解系设a1，a2...a n是Ax=0的基础解系，若它满足a1，a2...a n线性无关Ax=0任意一个解ξ都可以由a1，a2...a n线性表出则a1，a2...a n是Ax=0的一个基础解系原则1.不能是0向量2.解向量必须都是Ax=0的解3.解向量个数为n-r4.任意n-r个解向量都线性无关推论Ax=0只有零解，则r(A)=n，即Ax=0没有基础解系Ax=0有非零解，则r(A)＜n，即Ax=0有无穷个基础解系当A是n阶方阵时Ax=0只有零解，丨A丨≠0Ax=0有非零解，丨A丨等于0非齐次线性方程组增广矩阵：线性方程组中，所有常数项拼成的矩阵有解判别r(A,b)=r(A)时，Ax=b必有解r(A,b)=r(A)=n，方程组有唯一解r(A,b)=r(A)＜n，方程组有无穷解r(A,b)=r(A)+1时，Ax=b必无解A是n阶方阵时丨A丨=0时， r(A,b)=r(A)＜n，则方程组有无穷解r(A,b)=r(A)+1，则Ax=b无解丨A丨≠0时， r(A,b)=r(A)=n，Ax=b有唯一解x=A-1b导出组任意一个非齐方程组都有对应齐次方程组，称为导出组性质若a1，a2都是Ax=b的解，则ξ=a1-a2是其导出组的解若a是Ax=b的解，ξ是其导出组Ax=0的解，则a+ξ是Ax=b的解结构定理特解：方程组Ax=b的任意一个解齐次方程组解题步骤1.拼系数矩阵2.化成行最简3.立同解方程组4.赋值自由未知量5.求出基础解系6.加入常数项7.基础解系的线性组合即是通解非齐次方程组解题步骤1.拼成增广矩阵2.化成行最简3.立同解方程组4.赋值，找到特解5.立导出组6.赋值，解出基础解系7.求出通解非齐次通解=非齐次特解+齐次通解特征值和特征向量定义：若存在某个数λ与某个n维非零列向量P，满足AP=λP则称λ为A的一个特征值，P为A的属于这个特征值的一个特征向量特征方程特征向量P的值，就是(λE-A)x=0的所有非零解零向量也是(λE-A)x=0的解，但不是A的特征向量结论三角矩阵的特征值乘积，就是其全体对角元一个向量P不可能是属于同一个方阵A的不同特征值的特征向量n阶方阵A与其转置矩阵A T特征值相同n阶方阵全体特征值的和，等于主对角线元素的和 (迹)，乘积等于行列式的值求法根据A的特征方程求出A的特征值（丨λE-A丨）逐个代入特征值，得到对应齐次线性方程组，求出对应特征向量方阵相似定义：A和B均为n阶方阵，若存在P，使B=P-1AP，则称A和B相似，记作A~B结论若A~B，则A和B的特征值、迹、行列式的值、秩相同若A矩阵相似于对角阵，那么对角矩阵的对角元就是A矩阵的n个特征值方阵与对角矩阵相似条件矩阵是对称矩阵特征向量全都线性无关特征值相同，需满足特征值重数=对应特征向量个数证明可相似对角化求特征值（特征值是相似对角矩阵主对角线的元素）代入特征值求n-r（λE-A），看是否等于特征值重数内积与正交内积：两个同维向量的内积就是对应分量乘积之和。
线性代数第四讲矩阵的初等变换PPT资料(正式版)
2x3 2x3 9x3
x4 2x4 7 x4
4 4 9
①②
①②
x1 x2 2x3 x4 4
423xxx111
x2 6x2 6x2
x3 2x3 9x3
x4 2x4 7 x4
2 4 9
增广矩阵的比较
B
2 1 4 3
1 1
6 6
1 2
2 9
1 1 2 7
9442
1 1 2 1 4
非零数 某个方程的非零倍加到另一个方程上 线性方程组与其增广矩阵相互对应 对方程组的变换完
全可以转换为对方程组的增广矩阵的变换 把方程组的上述三种同解变换移植到矩阵上 就得到矩
阵的三种初等变换
下页
v2.矩阵的初等变换 定义 矩阵的初等行(列)变换 (i)对调两行(列) ——换法变换 (ii)以非零数k乘某一行(列)中的所有元素 ——倍法变换 (3)把某一行(列)的k倍加到另一行(列)上去 ——消法变换
1 2
2 9
1 1 2 7
9442
B2
2231
1 1 3 6
2 1
1 9
1 1 1 7
9224
显然 把B的第3行乘以(1/2)即得B2
下页
v1.引例 在解线性方程组的过程中 我们可以把一个方程变为另
一个同解的方程 这种变换过程称为同解变换 同解变换有 交换两个方程的位置 把某个方程乘以一个
非零数 某个方程的非零倍加到另一个方程上
43xxx111
x2 6x2 6x2
2x3 2x3 9x3
x4 2x4 7 x4
4 4 9
③2
③2
2x1 x2 x3 x4 2
23xxx111
x2 3x2 6x2
线性代数：第4节对换
设排列为 a1 alab1 bmbc1 cn 现来对换 a 与b.
a1al a b1bm b c1cn
m 次相邻对换 a1 al abb b1 bmc1cn
m 1 次相邻对换 a1al b b1bm a c1cn
a1alab1bmbc1cn ,
2m 1次相邻对换 a1 al bb1 bmac1 cn ,
二、对换与排列的奇偶性的关系
定理1 一个排列中的任意两个元素对换，排列 改变奇偶性． 证明 设排列为
a1al abb b1bm 对换a与b a1al bbaa b1bm
除a ,b 外，其它元素的逆序数不改变.
当a b时， 经对换后 a 的逆序数增加1 , b 的逆序数不变; 当a b时， 经对换后 a 的逆序数不变 ，b的逆序数减少1.
所以一个排列中的任意两个元素对换，排列改变 奇偶性.
推论 奇排列调成标准排列的对换次数为奇数， 偶排列调成标准排列的对换次数为偶数.
证明 由定理1知对换的次数就是排列奇偶性的
变化次数, 而标准排列是偶排列(逆序数为0),因此 知推论排列改变 奇偶性．
第四节 对换
★ 一、对换的定义 ★ 二、对换与排列奇偶性的关系 ★ 三、小结
一、对换的定义
定义 在排列中，将任意两个元素对调，其余 元素不动，这种作出新排列的手续叫做 对换．
将相邻两个元素对调，叫做相邻对换． 例如
a1 al a bb b1 bm a1ala b1bm b c1cn a1 al bbaa b1 bm a1al b b1bm aa c1cn
第四节 对换
b 当 a 时，
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
b的逆序数减少1. 经对换后 a 的逆序数不变 ，
因此对换相邻两个元素，排列改变奇偶性. 设排列为 a a ab b bc c 1 l 1 m 1 n 现来对换 a 与b .
a a a b b b c c b a 1 l 1 m 1 n
m 次相邻对换
a a ab b b c c ab 1 l 1 m 1 n
2 1
t 不是现在的列标 p 2p 1p 3 的逆序数,但有什么关系呢?
下面看行标列标前后逆序数的变化:
1 2 行 123 213 行标排列的奇偶性改变一次
p p p p p p p p 列 123 2 1 3 列标排列的奇偶性改变一次
1 2
结论:
t 与现在列标的逆序数的奇偶性正好相反,现在行标排 列是奇数.
t 1 a a a , 也总有且仅有D中的某一项 p 1 p 2 p n
1 2 n
1 a a a , 与之对应并相等, 于是D与 D 1 1 q 2 q nq
s
1 2 n
中的项可以一一对应并相等,
D . 从而 D 1
定理3 n 阶行列式也可定义为
D 1 a a a p q q p q 1 1p 2 2 n n
变化次数, 而标准排列是偶排列(逆序数为0),因此 知推论成立.
定理2 n 阶行列式也可定义为
t D 1 a a a p 1 p 2 p n
1 2 n
p p 其中 t 为行标排列 p 的逆序数. 1 2 n
证明 按行列式定义有
D 1 a a a 1 p p np 12 2 n
线代第一章第四讲
所以, 由相邻对换的结果知: 所以 由相邻对换的结果知 一个排列中的任意两 个元素对换, 排列改变奇偶性. 个元素对换 排列改变奇偶性 推论: 奇排列调成标准排列的对换次数为奇数, 推论 奇排列调成标准排列的对换次数为奇数 偶 排列调成标准排列的对换次数为偶数. 排列调成标准排列的对换次数为偶数 证明: 由定理1知 证明 由定理 知, 对换的次数就是排列奇偶性的 变化次数, 而标准排列是偶排列(逆序数为 变化次数 而标准排列是偶排列 逆序数为 逆序数为0), 因此 推 因此, 论成立. 论成立 下面讨论行列式的另一种定义形式. 行列式的另一种定义形式 下面讨论行列式的另一种定义形式 对于行列式的任一项 t (−1) a1 p1a2 p2 Laipi Lajpj Lanpn , 其中12···i···j···n为自然排 其列逆序数 t 为列下标排列 为自然排, 其中 为自然排 其列逆序数0, p1p2···pi···pj···pn的逆序数 对换元素 aipi 与a jp j 成 的逆序数, t (−1) a1 p1a2 p2 Lajpj Laipi Lanpn ,
§1.4 对 换
一、对换的定义
定义: 在排列中, 将任意两个元素对调, 定义 在排列中 将任意两个元素对调 其余元素 对换． 不动, 这种作出新排列的手续叫做对换 不动 这种作出新排列的手续叫做对换． 将相邻两个元素对调, 叫做相邻对换 将相邻两个元素对调 叫做相邻对换. 相邻对换 例如 a1 a2 ··· al a b b1 ··· bm a1 a2 ··· al b a b1 ··· bm a1 a2 ··· al a b1 ··· bm b c1 ··· cn a1 a2 ··· al b b1 ··· bm a c1 ··· cn
0 0 L 0 1 0 0 0 L 2 0 0 L L L L Dn = L n−1 0 L 0 0 0 0 0 L 0 0 n
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定理2 n阶行列式也可定义为
D
1 t a p11a p2 2 a pnn
定理3 n阶行列式也可定义为
D
1
a a t p1q1 p2q2
a pnqn
其中 p1 p2 pn , q1q2 qn是两个 n级排列，t 为行
标排列逆序数与列标排列逆序数的和.
例1 试判断 a14a23a31a42a56a65和 a32a43a14a51a25a66 是否都是六阶行列式中的项. 解 a14a23a31a42a56a65 下标的逆序数为
对换了3次
a a a a a 13 21 35 44 52 是五阶行列式中的一项，符号为负
a a a a a a a a a源自a 13 21 35 44 5221 13 35 44 52
a a a a a a a a a a 21 52 35 44 13
21 52 13 44 35
(25143) 5
解 (1) a23a31a42a56a14a65 a14a23a31a42a56a65 , 431265的逆序数为 t 1 0 2 2 1 0 6,
所以 a23a31a42a56a14a65 前边应带正号.
(2) a32a43a14a51a66a25 行标排列341562的逆序数为
二、对换与排列的奇偶性的关系
定理1 一个排列中的任意两个元素对换，排列 改变奇偶性．
例如：五级排列34512，t(34512)=6, 对换4和1，t(31542)=5
推论 奇排列调成标准排列的对换次数为奇数， 偶排列调成标准排列的对换次数为偶数.
(31542)=5 31542 --13542--12543 --12345
t 0020046 列标排列234165的逆序数为
t 10300 4 所以 a32a43a14a51a66a25 前边应带正号.
例3 用行列式的定义计算
0 0 0 1 0 0 0 2 0 0 Dn n1 0 0 0 0 0 0 0 0 n
解 Dn 1 t a1,n1a2,n2 an1,1ann 1t 1 2 n 1 n 1t n!,
t431265 0 1 2 2 0 1 6
所以 a14a23a31a42a56a65 是六阶行列式中的项.
a32a43a14a51a25a66 下标的逆序数为
所以 a32a43a14a51a25a66 不是六阶行列式中的项.
例2 在六阶行列式中，下列两项各应带什么符号. (1) a23a31a42a56a14a65; (2) a32a43a14a51a66a25 .
tn 1n 2 21n n 2 n 3 2 1 n 1n 2 2
n1n2
Dn 1 2 n!.
三、小结
1. 一个排列中的任意两个元素对换，排列改 变奇偶性．
2.行列式的三种表示方法
D
1 t a p11a p2 2 a pnn
D
1 ta1 p1a2 p2 anpn
第四节 对换
一、对换的定义
定义 在排列中，将任意两个元素对调，其余 元素不动，这种作出新排列的手续叫做 对换．
将相邻两个元素对调，叫做相邻对换． 例如
a1 al a bb b1 bm a1 ala b1 bm b c1 cn
a1 al bbaa b1 bm a1 al b b1 bm aa c1 cn
将s 个奇排列的前两个数对换,则这 s个奇排 列全变成偶排列,并且它们彼此不同,所以 s t.
若将 t个偶排列的前两个数对换,则这 t个偶排列 全变成奇排列,并且它们彼此不同,于是有 t s. 故必有s t.
D
1
a a t p1q1 p2q2
a pnqn
其中 p1 p2 pn , q1q2 qn是两个 n 级排列，t 为
行标排列逆序数与列标排列逆序数的和.
思考题
证明 在全部 n 阶排列中n 2 ,奇偶排列各占
一半.
思考题解答
证 设在全部 n 阶排列中有 s 个奇排列, t 个偶 排列,现来证 s t .