专题2 初等函数与函数的应用

2 ⎧ x ≤ 1， ⎛ 1 ⎞ ⎪1 − x ， 8. （山东卷文 5）设函数 f ( x ) = ⎨ 则f⎜ ⎟ 的值为 2 ⎪ ⎝ f (2) ⎠ ⎩ x + x − 2，x > 1，
．
9．若 f ( x −
1 1 ) = x 2 + 2 ，则函数 f ( x − 1) = x x
．
x
10. （安徽卷理 11）若函数 f ( x ), g ( x ) 分别是 R 上的奇函数、偶函数，且满足 f ( x) − g ( x) = e ， 则 f (x) =
2
命题 Q：函数 g ( x) 是减函数. 如果命题 P、Q 有且仅有一个是真命题，求 a 的取值范围；
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考点突破专题二
初等函数与函数的应用（2）
004 函数性质：值域（最值） 、定义域对称、奇偶性判定和性质、单调性判定和性质、凸凹性、对称 性、周期性 【自我提醒】 4．函数值域的一般求法你还记得吗？利用单调性、利用导数、利用函数的图像、利用判别式法、利 用不等式的性质、利用常见函数的性质等。求值域与求最值不一样啊！求函数的最值，一般要指出 取得最值时相应的自变量的值。求值域有哪些方法？你能够说出 6 种以上吗？（直接法，反函数法， 配方法，换元法，均值不等式法，判别式法，单调性法，导数法） 。分段函数怎么求值域？（分段求 再综合） 。分段函数怎么写表达式？（分段写，分别注明定义域，用大括号括起来） ； 5．求函数的单调区间，你考虑函数的定义域了吗？如求函数 y = log 2 ( x 2 − 2 x − 3) 的单调增区间？ 6．函数单调性的证明方法是什么？（定义法、导数法）判定和证明是两回事呀！判断方法：定义法、 图象法、利用常见函数的单调性及复合函数单调性的判断规则等。 还记得函数单调性与奇偶性逆用 的例子吗？（⑴ 比较大小；⑵ 解不等式；⑶ 求参数的范围。 ） 7．求函数单调性时，易错误地在多个单调区间之间添加符号“∪”和“或” ；单调区间是区间不能 用集合或不等式表示。 8．判断函数的奇偶性时，注意到定义域的特点了吗？（定义域关于原点对称是这个函数具有奇偶性 的必要非充分条件） 。奇函数的五个信息、偶函数的四条信息你都了解吗？ 【自我测试】 1. 函数 y = x − 1 的单调增区间是
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11（全国Ⅰ卷理 6）若函数 y = f ( x − 1) 的图像与函数 y = ln
x + 1 的图像关于直线 y = x 对称，则
f ( x) =
．
12 （ 江 西 卷 文 3 ） 若 函 数 y = f ( x ) 的 定 义 域 是 [0, 2] ， 则 函 数 g ( x ) = 是 ．
．
9 （2009 重庆卷理）若 f ( x) =
1 + a 是奇函数，则 a = 2 −1
x
．
10. 求函数 y =
x −1 的值域为 x+2
．
11
y = 2 x + 1 + x − 1 的值域为
．
12. 求 y =
x 的值域 1 + x2 x2 + x + 1 的值域 x +1
．
13. 求 y =
1 2
4 (a>0) ，则 log 2 a = 9 3
．
5 （宁夏海南卷理）用 min{a,b,c}表示 a,b,c 三个数中的最小值 设 f（x）=min{, x+2,10-x} (x ≥ 0),则 f（x）的最大值为 ．
6. 函数 f ( x ) =
lg ( 4 − x ) 的定义域 x −3
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．
14.（重庆卷理 4） 已知函数 y= 1 − x +
x + 3 的最大值为 M,最小值为 m,则
m 的值为 M
．
15.（天津，19）设 a > 0 ， f ( x) =
ex a + 是 R 上的偶函数。 a ex
（1）求 a 的值； （2）证明 f ( x) 在 (0, +∞) 上为增函数。
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x
．
2（2009 陕西卷文）定义在 R 上的偶函数 f ( x) 满足：对任意的 x1 , x2 ∈ [0, +∞)( x1 ≠ x2 ) ，有
f ( x2 ) − f ( x1 ) < 0 .则函数单调 x2 − x1
3
． ．
3.（福建卷理 4 文 4）函数 f(x)=x +sinx+1(x ∈ R),若 f(a)=2,则 f(-a)的值为
．
7. （ 北 京 文 ） 为 了 得 到 函 数 y = lg 点 ．
x+3 的 图 像 ， 只 需 把 函 数 y = lg x 的 图 像 上 所 有 的 10
．
8.（北京卷文 2）若 a = log 3 π，b = log 7 6，c = log 2 0.8 ，则
1) a = ln x，b = 2 ln x，c = ln x ，则 9.（全国Ⅱ卷理 4 文 5）若 x ∈ (e ，，
考点突破专题二
初等函数与函数的应用（3）
005 指数函数、对数函数、幂函数、图像变换、抽象函数 【自我提醒】 9．函数（非零函数）的图象不可能关于 x 轴对称， （为什么？） 函数图象与 x 轴的垂线至多一个公 共点，但与 y 轴的垂线的公共点可能没有，也可能任意个，抛物线是否一定是函数图象？
10．常见函数的图象特征你都记得吗？函数的图像特征与函数的性质存在着对应关系，像二次函数、 指数函数、幂函数、对数函数、三角函数（正弦、余弦、正切函数） ，作法你掌握了吗？哪三种图象 变换法？（平移、对称、伸缩变换）
赣马高级中学 2011 届高三考点突破专题二 初等函数与函数的应用（1）
003 函数概念： 同一函数的概念、定义域、解析式、分段函数、函数值 【自我提醒】 1．哪几种对应能够构成映射？函数呢？映射和函数是何关系呢？函数是“非空数集上的映射” ，其 中“值域是映射中象集 B 的子集” 2．函数有三要素：定义域、对应法则和值域。定义域是函数的一个部分，求函数一定要指出其定义 域，另外研究函数的性质时一定要先明确定义域（就如你早上起床要刷牙幺： ） ） ，定义域一定要写成 2 2 集合的形式。 y =2Px 是函数吗？x =2Py 呢？它只是什么呢？函数与方程有什么联系与区别？什么是 函数？定义原文呢？函数三要素是什么？其核心是什么？函数一定有解析式吗？函数一定有对应关 系吗？(当然),函数有哪些表示形式？(解析式、图象、表格) 2．函数的定义域分为“自然定义域和非自然定义域” ，求自然定义域，主要是据表达式有意义罗列 条件组 ，化简条件组就行了；而非自然定义域要注意有时其实质是在解不等式（组） ，而有时是在 求一新函数的值域。 3．你有“定义域优先”的好习惯吗?比如判断奇偶性时，先做什么？定义域关于原点对称的函数就 一定有奇偶性吗？你有“定义域优先”的好习惯吗?比如判断奇偶性时，先做什么？定义域关于原点 对称的函数就一定有奇偶性吗？ 【自我测试】 1.（2009 福建卷文）下列函数中，与函数 y = A . f ( x) = ln x B. f ( x) =
6. （福建卷理） 下列函数 f ( x) 中， 满足 “对任意 x1 ，x2 ∈ （0，+∞ ） ， 当 x1 < x2 时， 都有 f ( x1 ) > f ( x2 ) 的是 ．
7. 判断函数 y =
| x − 4 | −4 9 − x2
的奇偶性
．
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x 8.若函数 f ( x) = k − 2 x （a 为常数）在定义域上为奇函数，则 k= 1+ k ⋅ 2
f (2 x) 的定义域 x −1
13.已知函数 f ( x) = ax + bx + c(a > 0, b ∈ R, c ∈ R) ， 若函数 f ( x) 的最小值是 f (−1) = 0 ，且
2
⎧ f ( x) x > 0, c = 1 ， F ( x) = ⎨ 求 F ( x) + f (−2) 的值. ⎩− f ( x) x < 0,
x
y = log a x 呢？ 你还记得对数恒等式（ a log a N = N ）和换底公式吗？知道：
x x
n log a N = log a m N n m
吗？为什么说函数 y = ka ( k > 0) 的图像一定可以由函数 y = a 的图像经过平移而得到呢？ 【自我测试】 1. 函数 y = (a 2 − 3a + 3) ⋅ a x 是指数函数，则有
1 有相同定义域的是 x
D. f ( x) = e
x
1 x
C. f ( x) =| x |
2.（全国Ⅰ卷理 1）函数 y =
x( x − 1) + x 的定义域为
．
．
3. （四川延考文 2）函数 y = 1 − x + lg x 的定义域为 5. （上海春卷 3）函数 f ( x) =
− x2 + x + 6 的定义域是 x −1
3
−1
．
10. （辽宁卷文）已知函数 f ( x) 满足：x≥4,则 f ( x) ＝ ( ) ；当 x＜4 时 f ( x) ＝ f ( x + 1) ，则
x
1 2
f (2 + log 2 3) ＝
．
11. （山 东卷 文 15）已知 f (3x ) = 4 x log 2 3 + 233 ，则 f (2) + f (4) + f (8) + 于 ．
2 2
．
6.（湖北卷理 13）已知函数 f ( x) = x + 2 x + a , f (bx) = 9 x − 6 x + 2 ,其中 x ∈ R , a , b 为常数，则 方程 f ( ax + b) = 0 的解集为