2020版高考数学大二轮复习8.1坐标系与参数方程学案(理)

2020版高三数学二轮复习(全国理)讲义：专题8 第1讲坐标系与参数方程1

所以曲线 C 是圆心为(2,0)，直径为 4 的圆．
π－θ 因为直线 l 的极坐标方程为ρsin 6 ＝2，
则直线 l 过 A(4,0)，倾斜角为π， 6
所以 A 为直线 l 与圆 C 的一个交点．
设另一个交点为 B，则∠OAB＝π. 6
连结 OB，因为 OA 为直径，从而∠OBA＝π， 2
所以 AB＝4cosπ＝2 3. 6
3
当α＝π时，l 与⊙O 交于两点． 2
| |2
当α≠π时，记 tanα＝k，则 l 的方程为 y＝kx－ 2.l 与⊙O 交于两点当且仅当 1＋k2 <1，解得 k<－1 或 k>1， 2
π，π
π，3π
即α∈ 4 2 或α∈ 2 4 .
π，3π 综上，α的取值范围是 4 4 .
x＝tcosα， (2)l 的参数方程为
专题八选修系列 4 第一讲坐标系与参数方程
高考考点
考点解读
1.直线、圆、椭圆、抛物线的参数方程参数方程
2．参数方程与普通方程的互化
极坐标
1.常见的直线及圆的极坐标方程 2．极坐标方程与直角坐标方程的互化
备考策略
本部分内容在备考时应注意以下知识点：
一是参数方程、极坐标与曲线的关系；二是由参数方程、极坐标方程求解曲线的一些基本量，主要是极坐标与
在圆 C2 的外面，故 C1 与 C2 有且仅有三个公共点等价于 l1 与 C2 只有一个公共点且 l2 与 C2 有两个公共点，或 l2 与
C2 只有一个公共点且 l1 与 C2 有两个公共点．
当 l1 与 C2 只有一个公共点时，A 到 l1 所在直线的距离为 2，
|－k＋2|
所以
＝2，故

2020高考数学理科二轮复习导学案+极坐标与参数方程+Word版含解析

坐标系与参数方程考向一：极坐标方程极坐标一般地，不作特殊说明时，我们认为ρ≥0，θ可取任意实数．极坐标与直角坐标的互化设M 是平面内任意一点，它的直角坐标是(x ，y )，极坐标是(ρ，θ)，则它们之间的关系为：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝□01ρcos θ，y ＝□02ρsin θ；⎩⎪⎨⎪⎧ρ2＝□03x 2＋y 2，tan θ＝□04y x (x ≠0).1、［2016•全国Ⅱ，23］在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为(x ＋6)2＋y 2＝25.(1)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程；(2)直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)，l 与C 交于A ，B 两点，|AB |＝10，求l 的斜率．解 (1)由x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ可得圆C 的极坐标方程ρ2＋12ρcos θ＋11＝0. (2)在(1)中建立的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R )．设A ，B 所对应的极径分别为ρ1，ρ2，将l 的极坐标方程代入C 的极坐标方程得ρ2＋12ρcos α＋11＝0.于是ρ1＋ρ2＝－12cos α，ρ1ρ2＝11.|AB |＝|ρ1－ρ2|＝(ρ1＋ρ2)2－4ρ1ρ2 ＝144cos 2α－44.由|AB |＝10得cos 2α＝38，tan α＝±153.所以l 的斜率为153或－153. 解法二：将l 的参数方程代入C 的方程得于是t 1＋t 2＝－12cos α，t 1t 2＝11. |AB |＝|t 1－t 2|＝144cos 2α－44 由|AB |＝10得cos 2α＝38，tan α＝±153.所以l 的斜率为153或－153. 条件探究：若直线l 的极坐标方程为θ＝π4(ρ∈R )，l 与C 交于M ，N 两点，求△CMN 的面积．设A ，B 所对应的极径分别为ρ1，ρ2，将l 的极坐标方程代入C 的极坐标方程得ρ2＋ ρ＋11＝0.于是ρ1＋ρ2＝－，ρ1ρ2＝11.|AB |＝|ρ1－ρ2|＝(ρ1＋ρ2)2－4ρ1ρ2＝圆C 的半径为5，△CMN 的面积为 .2、【2019年高考全国Ⅲ卷理数】如图，在极坐标系Ox 中，(2,0)A ，)4B π，)4C 3π，(2,)D π，弧AB ，BC ，CD所在圆的圆心分别是(1,0)，(1,)2π，(1,)π，曲线1M 是弧AB ，曲线2M 是弧BC ，曲线3M 是弧CD ．（1）分别写出1M ，2M ，3M 的极坐标方程；（2）曲线M 由1M ，2M ，3M 构成，若点P 在M 上，且||OP =P 的极坐标．【答案】（1）1M 的极坐标方程为π2cos 04ρθθ⎛⎫=≤≤⎪⎝⎭，2M 的极坐标方程为π3π2sin 44ρθθ⎛⎫=≤≤⎪⎝⎭，3M 的极坐标方程为3π2cos π4ρθθ⎛⎫=-≤≤⎪⎝⎭．（2）π6⎫⎪⎭或π3⎫⎪⎭或2π3⎫⎪⎭或5π6⎫⎪⎭．【解析】（1）由题设可得，弧,,AB BC CD 所在圆的极坐标方程分别为2cos ρθ=，2sin ρθ=，2cos ρθ=-．所以1M 的极坐标方程为π2cos 04ρθθ⎛⎫=≤≤⎪⎝⎭，2M 的极坐标方程为π3π2sin 44ρθθ⎛⎫=≤≤⎪⎝⎭，3M 的极坐标方程为3π2cos π4ρθθ⎛⎫=-≤≤ ⎪⎝⎭．（2）设(,)P ρθ，由题设及（1）知若π04θ≤≤，则2cos θ=π6θ=；若π3π44θ≤≤，则2sin θ=π3θ=或2π3θ=；若3ππ4θ≤≤，则2cos θ-=5π6θ=．综上，P 的极坐标为π6⎫⎪⎭或π3⎫⎪⎭或2π3⎫⎪⎭或5π6⎫⎪⎭．3、［2017•全国Ⅱ，22］在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 1的极坐标方程为ρcos θ＝4.(1)M 为曲线C 1上的动点，点P 在线段OM 上，且满足|OM |·|OP |＝16，求点P 的轨迹C 2的直角坐标方程；(2)设点A 的极坐标为⎝⎛⎭⎫2，π3，点B 在曲线C 2上，求△OAB 面积的最大值．解 (1)设P 的极坐标为(ρ，θ)(ρ>0)，M 的极坐标为(ρ1，θ)(ρ1>0)．由题设知|OP |＝ρ，|OM |＝ρ1＝4cos θ. 由|OM |·|OP |＝16得C 2的极坐标方程为ρ＝4cos θ(ρ>0)．因此C 2的直角坐标方程为(x －2)2＋y 2＝4(x ≠0)． (2)设点B 的极坐标为(ρB ，α)(ρB >0)．由题设知|OA |＝2，ρB ＝4cos α，于是△OAB 的面积 S ＝12|OA |·ρB ·sin ∠AOB ＝4cos α·⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫α－π3 ＝2⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫2α－π3－32≤2＋ 3.当α＝－π12时，S 取得最大值2＋ 3.所以△OAB 面积的最大值为2＋ 3.4、【2019年高考全国Ⅱ卷理数】在极坐标系中，O 为极点，点000(,)(0)M ρθρ>在曲线:4sin C ρθ=上，直线l 过点(4,0)A 且与OM 垂直，垂足为P ．（1）当0=3θπ时，求0ρ及l 的极坐标方程；（2）当M 在C 上运动且P 在线段OM 上时，求P 点轨迹的极坐标方程．【答案】（1）0ρ=l 的极坐标方程为cos 23ρθπ⎛⎫-= ⎪⎝⎭；（2）4cos ,,42ρθθπ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦π．【解析】（1）因为()00,M ρθ在C 上，当03θπ=时，04sin 3ρπ== 由已知得||||cos23OP OA π==．设(,)Q ρθ为l 上除P 的任意一点．在Rt OPQ △中，cos ||23OP ρθπ⎛⎫-== ⎪⎝⎭，经检验，点(2,)3P π在曲线cos 23ρθπ⎛⎫-= ⎪⎝⎭上．所以，l 的极坐标方程为cos 23ρθπ⎛⎫-= ⎪⎝⎭．（2）设(,)P ρθ，在Rt OAP △中，||||cos 4cos ,OP OA θθ==即 4cos ρθ=．因为P 在线段OM 上，且AP OM ⊥，故θ的取值范围是,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦．所以，P 点轨迹的极坐标方程为4cos ,,42ρθθπ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦π．考向二：参数方程1、［2017•全国Ⅰ，22］在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ，y ＝sin θ (θ为参数)，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋4t ，y ＝1－t (t 为参数)．(1)若a ＝－1，求C 与l 的交点坐标； (2)若C 上的点到l 距离的最大值为17，求a .解 (1)曲线C 的普通方程为x 29＋y 2＝1.当a ＝－1时，直线l 的普通方程为x ＋4y －3＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋4y －3＝0，x 29＋y 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝0或⎩⎨⎧x ＝－2125，y ＝2425.从而C 与l 的交点坐标为(3，0)，（－2125，2425）.(2)直线l 的普通方程为x ＋4y －a －4＝0，故C 上的点(3cos θ，sin θ)到l 的距离为d ＝|3cos θ＋4sin θ－a －4|17.当a ≥－4时，d 的最大值为a ＋917. 由题设得a ＋917＝17，所以a ＝8；当a ＜－4时，d 的最大值为－a ＋117. 由题设得－a ＋117＝17，所以a ＝－16.综上，a ＝8或a ＝－16.2、【2019年高考全国Ⅰ卷理数】在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为（t 为参数）．以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为．（1）求C 和l 的直角坐标方程；（2）求C 上的点到l 距离的最小值．【答案】（1）221(1)4y xx +=≠-；l 的直角坐标方程为2110x+=；（2．【解析】（1）解法一：，221111t t--<≤+，，，，2221141t x t t y t ⎧-=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，2cos sin 110ρθθ++=所以C 的直角坐标方程为221(1)4y x x +=≠-.解法二:因为221111t t --<≤+，且()22222222141211y t t x t t ⎛⎫-⎛⎫+=+= ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭+，所以C 的直角坐标方程为221(1)4y x x +=≠-． l的直角坐标方程为2110x +=．（2）由（1）可设C 的参数方程为cos ,2sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数，ππα-<<）．C 上的点到lπ4cos 11α⎛⎫-+ ⎪=．当2π3α=-时，π4cos 113α⎛⎫-+ ⎪⎝⎭取得最小值7，故C 上的点到l．3、［2018•全国Ⅲ，22］在平面直角坐标系xOy 中，⊙O 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)，过点(0，－2)且倾斜角为α的直线l 与⊙O 交于A ，B 两点．(1)求α的取值范围；(2)求AB 中点P 的轨迹的参数方程．解：(1)解析一：⊙O 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝1.当α＝π2时，l 与⊙O 交于两点．当α≠π2时，记tan α＝k ，则l 的方程为y ＝kx － 2.l 与⊙O 交于两点当且仅当21＋k 2<1，解得k <－1或k >1，即α∈（π4，π2）或α∈（π2，3π4）.综上α的取值范围是（π4，3π4）.解析二：设l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝t cos α，y ＝－2＋t sin αt 为参数，代入⊙O 的直角坐标方程得t 2－22t sin α＋1＝0.直线l 与⊙O 交于A ，B 两点，所以，， α的取值范围是（π4，3π4）.(2)l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝t cos α，y ＝－2＋t sin αt 为参数，π4<α<3π4.设A ，B ，P 对应的参数分别为t A ，t B ，t P ，则t P ＝t A ＋t B2，且t A ，t B 满足t 2－22t sin α＋1＝0.于是t A ＋t B ＝22sin α，t P ＝2sin α.又点P 的坐标(x ，y )满足⎩⎨⎧x ＝t P cos α，y ＝－2＋t P sin α，所以点P 的轨迹的参数方程是⎩⎨⎧x ＝22sin2α，y ＝－22－22cos2αα为参数，π4<α<3π4.条件探究：点 (0，－2)，过点M 的直线l 与⊙O 交于A ，B 两点，若，求直线l 的方程。

2020版高考数学二轮复习教程第二编专题七系列第1讲坐标系与参数方程练习理

第1讲坐标系与参数方程「考情研析」高考中，该部分内容常以直线、圆锥曲线(主要是圆、椭圆)几何元素为载体，主要考查参数方程与普通方程互化、极坐标方程与直角坐标方程互化；同时进一步考查利用相应方程形式或几何意义解决元素位置关系、距离、面积等综合问题．该部分试题难度一般不大。

核心知识回顾1.极坐标与直角坐标的互化公式设点P的直角坐标为(x，y)，极坐标为(ρ，θ），则2．常见圆的极坐标方程（1）圆心在极点，半径为r的圆:错误!ρ＝r（0≤θ〈2π)．（2)圆心为M(a,0），半径为a的圆：□，02ρ＝2a cosθ错误!.（3）圆心为M错误!,半径为a的圆：错误!ρ＝2a sinθ(0≤θ≤π）．3．常见直线的极坐标方程(1)直线过极点，直线的倾斜角为α:错误!θ＝α(ρ∈R）．(2）直线过点M(a，0）,且垂直于极轴：错误!ρcosθ＝a错误!.(3）直线过点M错误!，且平行于极轴：错误!ρsinθ＝a(0〈θ〈π）．4．直线、圆与椭圆的参数方程热点考向探究考向1 极坐标方程及应用例1 (2019·全国卷Ⅱ）在极坐标系中,O 为极点，点M (ρ0,θ0)（ρ0〉0）在曲线C ：ρ＝4sin θ上，直线l 过点A （4,0)且与OM 垂直,垂足为P .（1)当θ0＝错误!时，求ρ0及l 的极坐标方程；(2)当M 在C 上运动且P 在线段OM 上时，求P 点轨迹的极坐标方程．解（1)因为M （ρ0，θ0)在曲线C 上,当θ0＝π3时，ρ0＝4sin 错误!＝2错误!. 由已知得|OP ｜＝｜OA ｜cos 错误!＝2.设Q（ρ,θ）为l上除P外的任意一点．在Rt△OPQ中，ρcos错误!＝|OP|＝2.经检验，点P错误!在曲线ρcos错误!＝2上，所以，l的极坐标方程为ρcos错误!＝2.（2）设P（ρ,θ）,在Rt△OAP中，|OP｜＝|OA|cosθ＝4cosθ，即ρ＝4cosθ。

因为P在线段OM上，且AP⊥OM，所以θ的取值范围是错误!。

(全国通用)2020版高考数学二轮复习提升专不等式选考系列坐标系与参数方程讲义教案

第1讲坐标系与参数方程[例1] (2019·全国卷Ⅱ)在极坐标系中，O 为极点，点M(ρ0，θ0)(ρ0>0)在曲线C ：ρ＝4sin θ上，直线l 过点A(4，0)且与OM 垂直，垂足为P .(1)当θ0＝π3时，求ρ0及l 的极坐标方程；(2)当M 在C 上运动且P 在线段OM 上时，求P 点轨迹的极坐标方程. [解] (1)因为M(ρ0，θ0)在曲线C 上，当θ0＝π3时，ρ0＝4sin π3＝2 3.由已知得|OP |＝|OA |cos π3＝2.设Q (ρ，θ)为l 上除P 外的任意一点.连接OQ ，在Rt △OPQ 中，ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝|OP|＝2. 经检验，点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3在曲线ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝2上，所以，l 的极坐标方程为ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π3＝2.(2)设P (ρ，θ)，在Rt △OAP 中，|OP |＝|OA |cos θ＝4cos θ，即ρ＝4cos θ. 因为P 在线段OM 上，且AP ⊥OM ，所以θ的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2.所以，P 点轨迹的极坐标方程为ρ＝4cos θ，θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2. [解题方略]1.直角坐标与极坐标方程的互化(1)直角坐标方程化极坐标方程时，可以直接将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入即可. (2)极坐标方程化直角坐标方程时，一般需要构造ρ2，ρsin θ，ρcos θ，常用的技巧有式子两边同乘以ρ，两角和与差的正弦、余弦展开等.2.求解与极坐标有关的问题的主要方法(1)直接利用极坐标系求解，可与数形结合思想结合使用.(2)转化为直角坐标系，用直角坐标求解.若结果要求的是极坐标，还应将直角坐标化为极坐标.[跟踪训练](2019·安徽省考试试题)在直角坐标系xOy 中，直线l 1：x ＝0，圆C ：(x －1)2＋(y －1－2)2＝1，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求直线l 1和圆C 的极坐标方程；(2)若直线l 2的极坐标方程为θ＝π4(ρ∈R )，设l 1，l 2与圆C 的公共点分别为A ，B ，求△OAB 的面积.解：(1)∵x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，∴直线l 1的极坐标方程为ρcos θ＝0，即θ＝π2(ρ∈R )，圆C 的极坐标方程为ρ2－2ρcos θ－2()1＋2ρsin θ＋3＋22＝0.(2)设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，ρ1，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，ρ2，将θ＝π2代入ρ2－2ρcos θ－2()1＋2ρsin θ＋3＋22＝0，得ρ2－2()1＋2ρ＋3＋22＝0，解得ρ1＝1＋ 2.将θ＝π4代入ρ2－2ρcos θ－2()1＋2ρsin θ＋3＋22＝0，得ρ2－2()1＋2ρ＋3＋22＝0，解得ρ2＝1＋ 2.故△OAB 的面积为12×()1＋22×sin π4＝1＋324.[例2] (2019·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－t 21＋t2，y ＝4t1＋t2(t为参数).以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为2ρcos θ＋3ρsin θ＋11＝0.(1)求C 和l 的直角坐标方程； (2)求C 上的点到l 距离的最小值. [解] (1)因为－1<1－t21＋t2≤1，且x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－t 21＋t 22＋4t 2（1＋t 2）2＝1，所以C 的直角坐标方程为x 2＋y 24＝1(x ≠－1)，l 的直角坐标方程为2x ＋3y ＋11＝0.(2)由(1)可设C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos α，y ＝2sin α(α为参数，－π<α<π).C 上的点到l 的距离为|2cos α＋23sin α＋11|7＝4cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－π3＋117.当α＝－2π3时，4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3＋11取得最小值7，故C 上的点到l 距离的最小值为7. [解题方略]参数方程化为普通方程消去参数的方法(1)代入消参法：将参数解出来代入另一个方程消去参数，直线的参数方程通常用代入消参法.(2)三角恒等式法：利用sin 2α＋cos 2α＝1消去参数，圆的参数方程和椭圆的参数方程都是运用三角恒等式法.(3)常见消参数的关系式：①t ·1t＝1；②⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋1t 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫t －1t 2＝4；③⎝ ⎛⎭⎪⎫2t 1＋t 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－t 21＋t 22＝1.[跟踪训练](2019·南昌市第一次模拟测试)在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋t ，y ＝1＋3t(t 为参数)，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋2cos α，y ＝3＋2sin α(α为参数)，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求C 的极坐标方程；(2)设点M (2，1)，直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求|MA |·|MB |的值.解：(1)由参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋2cos α，y ＝3＋2sin α得普通方程(x －4)2＋(y －3)2＝4，所以曲线C 的极坐标方程为ρ2－8ρcos θ－6ρsin θ＋21＝0.(2)设点A ，B 对应的参数分别为t 1，t 2，将⎩⎨⎧x ＝2＋t ，y ＝1＋3t(t 为参数)代入(x －4)2＋(y －3)2＝4，得t 2－()3＋1t ＋1＝0，所以t 1t 2＝1，直线l ：⎩⎨⎧x ＝2＋t ，y ＝1＋3t(t 为参数)，可化为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋12（2t ），y ＝1＋32（2t ），所以|MA |·|MB |＝|2t 1||2t 2|＝4|t 1t 2|＝4.[例3] (2019·福建省质量检查)在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋35t ，y ＝1＋45t(t 为参数).以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ2＝21＋sin 2θ，点P 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2，π4. (1)求C 的直角坐标方程和P 的直角坐标；(2)设l 与C 交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，求|PM |.[解] (1)由ρ2＝21＋sin 2θ得ρ2＋ρ2sin 2θ＝2 ①，将ρ2＝x 2＋y 2，y ＝ρsin θ代入①并整理得，曲线C 的直角坐标方程为x 22＋y 2＝1.设点P 的直角坐标为(x ，y )，因为点P 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，所以x ＝ρcos θ＝2cos π4＝1，y ＝ρsin θ＝2sin π4＝1.所以点P 的直角坐标为(1，1).(2)法一：将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋35t ，y ＝1＋45t 代入x22＋y 2＝1，并整理得41t 2＋110t ＋25＝0，Δ＝1102－4×41×25＝8000＞0，故可设方程的两根分别为t 1，t 2，则t 1，t 2为A ，B 对应的参数，且t 1＋t 2＝－11041.依题意，点M 对应的参数为t 1＋t 22，所以|PM |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪t 1＋t 22＝5541.法二：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x 0，y 0)，则x 0＝x 1＋x 22，y 0＝y 1＋y 22.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋35t ，y ＝1＋45t 消去t ，得y ＝43x －13.将y ＝43x －13代入x 22＋y 2＝1，并整理得41x 2－16x －16＝0，因为Δ＝(－16)2－4×41×(－16)＝2880＞0，所以x 1＋x 2＝1641，x 1x 2＝－1641.所以x 0＝841，y 0＝43x 0－13＝43×841－13＝－341，即M ⎝ ⎛⎭⎪⎫841，－341.所以|PM |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫841－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－341－12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－33412＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－44412＝5541.[解题方略]极坐标方程与参数方程综合问题的解题策略(1)求交点坐标、距离、线段长.可先求出直角坐标方程，然后求解. (2)判断位置关系.先转化为平面直角坐标方程，然后再作出判断.(3)求参数方程与极坐标方程综合的问题.一般是先将方程化为直角坐标方程，利用直角坐标方程来研究问题.[跟踪训练]1.(2019·东北四市联合体模拟)在平面直角坐标系xOy 中，直线l 1的倾斜角为30°，且经过点A (2，1).以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 2：ρcosθ＝3.从坐标原点O 作射线交l 2于点M ，点N 为射线OM 上的点，满足|OM |·|ON |＝12，记点N 的轨迹为曲线C .(1)写出直线l 1的参数方程和曲线C 的直角坐标方程；(2)设直线l 1与曲线C 交于P ，Q两点，求|AP |·|AQ |的值.解：(1)直线l 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t cos30°，y ＝1＋t sin30°(t 为参数)，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋32t ，y ＝1＋12t(t 为参数).设N (ρ，θ)，M (ρ1，θ1)(ρ＞0，ρ1＞0)，则⎩⎪⎨⎪⎧ρρ1＝12，θ＝θ1，又ρ1cos θ1＝3，所以ρ·3cos θ＝12，即ρ＝4cos θ，所以曲线C 的直角坐标方程为x 2－4x ＋y 2＝0(x ≠0).(2)设P ，Q 对应的参数分别为t 1，t 2，将直线l 1的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程中，得⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋32t 2－4⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋32t ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12t 2＝0，即t 2＋t －3＝0，Δ＝13＞0，t 1，t 2为方程的两个根，所以t 1t 2＝－3，所以|AP |·|AQ |＝|t 1t 2|＝|－3|＝3.2.(2019·贵阳市第一学期监测)在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝22t ，y ＝22t ＋42(t 是参数)，以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4.(1)判断直线l 与曲线C 的位置关系；(2)设M (x ，y )为曲线C 上任意一点，求x ＋y 的取值范围. 解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝22t ，y ＝22t ＋42消去t 得y ＝x ＋42，由ρ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4得ρ＝2cos θ－2sin θ，由x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，ρ2＝x 2＋y 2得⎝ ⎛⎭⎪⎫x －222＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋222＝1，即C 是以⎝ ⎛⎭⎪⎫22，－22为圆心，1为半径的圆，圆心⎝ ⎛⎭⎪⎫22，－22到直线y ＝x ＋42的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪22＋22＋422＝5＞1，所以直线l 与曲线C 相离.(2)圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝22＋cos θ，y ＝－22＋sin θ(θ为参数)，则x ＋y ＝sin θ＋cos θ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4，又由θ∈R 可得－1≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4≤1，则－2≤x ＋y ≤2，所以x ＋y 的取值范围为[－2，2]. [专题过关检测]大题专攻强化练1.在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为ρ＝4cos θ，θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2. (1)求半圆C 的参数方程；(2)若半圆C 与圆D ：(x －5)2＋(y －3)2＝m (m 是常数，m ＞0)相切，试求切点的直角坐标.解：(1)半圆C 的普通方程为(x －2)2＋y 2＝4(0≤y ≤2)，则半圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2cos t ，y ＝2sin t(t 为参数，0≤t ≤π).(2)C ，D 的圆心坐标分别为(2，0)，(5，3)，于是直线CD 的斜率k ＝3－05－2＝33. 由于切点必在两个圆心的连线上，故切点对应的参数t 满足tan t ＝33，t ＝π6，所以切点的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋2cos π6，2sin π6，即(2＋3，1).2.(2019·全国卷Ⅲ)如图，在极坐标系Ox 中，A (2，0)，B ⎝⎛⎭⎪⎫2，π4，C ⎝⎛⎭⎪⎫2，3π4，D (2，π)，弧AB ︵，BC ︵，CD ︵所在圆的圆心分别是(1，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π2，(1，π)，曲线M 1是弧AB ︵，曲线M 2是弧BC ︵，曲线M 3是弧CD ︵.(1)分别写出M 1，M 2，M 3的极坐标方程；(2)曲线M 由M 1，M 2，M 3构成，若点P 在M 上，且|OP |＝3，求P 的极坐标.解：(1)由题设可得，弧AB ︵，BC ︵，CD ︵所在圆的极坐标方程分别为ρ＝2cos θ，ρ＝2sinθ，ρ＝－2cos θ.所以M 1的极坐标方程为ρ＝2cos θ⎝⎛⎭⎪⎫0≤θ≤π4，M 2的极坐标方程为ρ＝2sin θ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4≤θ≤3π4，M 3的极坐标方程为ρ＝－2cos θ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4≤θ≤π.(2)设P (ρ，θ)，由题设及(1)知若0≤θ≤π4，则2cos θ＝3，解得θ＝π6；若π4≤θ≤3π4，则2sin θ＝3，解得θ＝π3或θ＝2π3；若3π4≤θ≤π，则－2cos θ＝3，解得θ＝5π6. 综上，P 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫3，π6或⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π3或⎝ ⎛⎭⎪⎫3，2π3或⎝ ⎛⎭⎪⎫3，5π6.3.(2019·福州市第一学期抽测)在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数，α为l 的倾斜角)，以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线E 的极坐标方程为ρ＝4sin θ，直线θ＝β，θ＝β＋π3，θ＝β－π3(ρ∈R )与曲线E 分别交于不同于极点O 的三点A ，B ，C .(1)若π3＜β＜2π3，求证：|OB |＋|OC |＝|OA |；(2)当β＝5π6时，直线l 过B ，C 两点，求y 0与α的值.解：(1)证明：依题意，|OA |＝|4sin β|，|OB |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β＋π3，|OC |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π3， ∵π3＜β＜2π3， ∴|OB |＋|OC |＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β＋π3＋4sin ⎝⎛⎭⎪⎫β－π3＝4sin β＝|OA |.(2)当β＝5π6时，直线θ＝β＋π3与曲线E 的交点B 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2，π6，直线θ＝β－π3与曲线E 的交点C 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫4，π2，从而，B ，C 两点的直角坐标分别为B (3，1)，C (0，4)， ∴直线l 的方程为y ＝－3x ＋4， ∴y 0＝1，α＝2π3.4.(2019·江西八所重点中学联考)在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线M 的极坐标方程为ρ＝2cos θ，若极坐标系内异于O 的三点A (ρ1，φ)，B ⎝⎛⎭⎪⎫ρ2，φ＋π6，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫ρ3，φ－π6(ρ1，ρ2，ρ3＞0)都在曲线M 上.(1)求证：3ρ1＝ρ2＋ρ3；(2)若过B ，C 两点的直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－32t ，y ＝12t (t 为参数)，求四边形OBAC 的面积.解：(1)证明：由题意得ρ1＝2cos φ，ρ2＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫φ＋π6，ρ3＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫φ－π6，则ρ2＋ρ3＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫φ＋π6＋2cos ⎝⎛⎭⎪⎫φ－π6＝23cos φ＝3ρ1.(2)由曲线M 的极坐标方程得曲线M 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x ＝0，将直线BC 的参数方程代入曲线M 的直角坐标方程得t 2－3t ＝0，解得t 1＝0，t 2＝3，∴在平面直角坐标中，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，C (2，0)，则ρ2＝1，ρ3＝2，φ＝π6，∴ρ1＝ 3.∴四边形OBAC 的面积S ＝S △AOB ＋S △AOC ＝12ρ1ρ2·sin π6＋12ρ1ρ3sin π6＝334.5.在平面直角坐标系xOy 中，倾斜角为α的直线l 过点M (－2，－4).以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，且在两坐标系中长度单位相同，曲线C 的极坐标方程为ρsin 2θ＝2cos θ.(1)写出直线l 的参数方程和曲线C 的直角坐标方程；(2)若直线l 与C 交于A ，B 两点，且|MA |·|MB |＝40，求倾斜角α的值.解：(1)因为倾斜角为α的直线过点M (－2，－4)，所以直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋t cos α，y ＝－4＋t sin α(t 是参数).因为曲线C 的极坐标方程为ρsin 2θ＝2cos θ，所以ρ2sin 2θ＝2ρcos θ，所以曲线C 的直角坐标方程是y 2＝2x .(2)把直线的参数方程代入y 2＝2x ，得t 2sin 2α－(2cos α＋8sin α)t ＋20＝0，由题意知，Δ＞0，设t 1，t 2为方程t 2sin 2α－(2cos α＋8sin α)t ＋20＝0的两根，则t 1＋t 2＝2cos α＋8sin αsin 2α，t 1t 2＝20sin 2α，根据直线参数方程的几何意义知|MA |·|MB |＝|t 1t 2|＝20sin 2α＝40，故α＝π4或α＝3π4，又Δ＝(2cos α＋8sin α)2－80sin 2α＞0，所以α＝π4.6.(2019·湖南省五市十校联考)在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝t ＋2(t是参数)，以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4.(1)求圆C 的直角坐标方程；(2)过直线l 上的点向圆C 引切线，求切线长的最小值. 解：(1)由ρ＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4，得ρ2＝ρcos θ－ρsin θ，∴x 2＋y 2－x ＋y ＝0，即圆C 的直角坐标方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋122＝12.(2)设l 上任意一点P (t ，t ＋2)，过P 向圆C 引切线，切点为Q ，连接PC ，CQ ， ∵圆C 的圆心为C ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－12，半径r ＝22，∴|PQ |＝|PC |2－|CQ |2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t －122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋2＋122－⎝ ⎛⎭⎪⎫222＝2（t ＋1）2＋4≥2，即切线长的最小值为2.7.(2019·石家庄市模拟(一))在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r cos α＋2，y ＝r sin α(α为参数)，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，射线l 的极坐标方程为θ＝π3. (1)求曲线C 的极坐标方程；(2)当0＜r ＜2时，若曲线C 与射线l 交于A ，B 两点，求1|OA |＋1|OB |的取值范围. 解：(1)由题意知曲线C 的普通方程为(x －2)2＋y 2＝r 2，令x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，化简得ρ2－4ρcos θ＋4－r 2＝0.(2)法一：把θ＝π3代入曲线C 的极坐标方程中，得ρ2－2ρ＋4－r 2＝0.令Δ＝4－4(4－r 2)＞0，结合0＜r ＜2，得3＜r 2＜4.方程的解ρ1，ρ2分别为点A ，B 的极径，ρ1＋ρ2＝2，ρ1ρ2＝4－r 2＞0， ∴1|OA |＋1|OB |＝1ρ1＋1ρ2＝ρ1＋ρ2ρ1ρ2＝24－r 2. ∵3＜r 2＜4，∴0＜4－r 2＜1， ∴1|OA |＋1|OB |∈(2，＋∞). 法二：射线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12t ，y ＝32t (t 为参数，t ≥0)，将其代入曲线C 的方程(x －2)2＋y 2＝r 2中得，t 2－2t ＋4－r 2＝0，令Δ＝4－4(4－r 2)＞0结合0＜r ＜2，得3＜r 2＜4，方程的解t 1，t 2分别为点A ，B 对应的参数，t 1＋t 2＝2，t 1t 2＝4－r 2，t 1＞0，t 2＞0， ∴1|OA |＋1|OB |＝1t 1＋1t 2＝t 1＋t 2t 1t 2＝24－r 2. ∵3＜r 2＜4，∴0＜4－r 2＜1， ∴1|OA |＋1|OB |∈(2，＋∞). 8.(2019·洛阳市统考)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2t ，y ＝－2＋t (t 是参数)，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ2＝41＋3sin 2θ. (1)求曲线C 1的普通方程和曲线C 2的直角坐标方程； (2)设曲线C 2经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝y得到曲线C 3，M (x ，y )是曲线C 3上任意一点，求点M 到曲线C 1的距离的最大值.解：(1)根据⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2t ，y ＝－2＋t 消参可得曲线C 1的普通方程为x －2y －5＝0，∵ρ2＝41＋3sin 2θ，∴ρ2＋3ρ2sin 2θ＝4，将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，x 2＋y 2＝ρ2代入可得：x 2＋4y 2＝4. 故曲线C 2的直角坐标方程为x 24＋y 2＝1.(2)曲线C 2：x 24＋y 2＝1，经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝y 得到曲线C 3的方程为x ′216＋y ′2＝1，∴曲线C 3的方程为x 216＋y 2＝1.设M (4cos α，sin α)，根据点到直线的距离公式可得点M 到曲线C 1的距离d ＝|4cos α－2sin α－5|12＋（－2）2＝|2sin α－4cos α＋5|5＝|25sin （α－φ）＋5|5≤25＋55＝2＋5(其中tan φ＝2)，∴点M 到曲线C 1的距离的最大值为2＋ 5.第2讲不等式选讲[例1] (2019·福建省质量检查)已知函数f (x )＝|x ＋1|－|ax －3|(a >0). (1)当a ＝2时，求不等式f (x )>1的解集；(2)若y ＝f (x )的图象与x 轴围成直角三角形，求a 的值. [解] (1)当a ＝2时，不等式f (x )>1即|x ＋1|－|2x －3|>1.当x ≤－1时，原不等式可化为－x －1＋2x －3>1，解得x >5，因为x ≤－1，所以此时原不等式无解；当－1<x ≤32时，原不等式可化为x ＋1＋2x －3>1，解得x >1，所以1<x ≤32；当x >32时，原不等式可化为x ＋1－2x ＋3>1，解得x <3，所以32<x <3.综上，原不等式的解集为{x |1<x <3}. (2)因为a >0，所以3a>0，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧（a －1）x －4，x ≤－1，（a ＋1）x －2，－1<x ≤3a ，（1－a ）x ＋4，x >3a. 若y ＝f (x )的图象与x 轴围成直角三角形，则(a －1)(a ＋1)＝－1或(a ＋1)(1－a )＝－1，解得a ＝0(舍去)或a ＝2或a ＝－2(舍去). 经检验，a ＝2符合题意，所以所求a 的值为 2.[解题方略] 绝对值不等式的常用解法(1)基本性质法：对a ＞0，|x |<a ⇔－a <x <a ，|x |>a ⇔x <－a 或x >a . (2)平方法：两边平方去掉绝对值符号.(3)零点分区间法：含有两个或两个以上绝对值符号的不等式，可用零点分区间法脱去绝对值符号，将其转化为与之等价的不含绝对值符号的不等式(组)求解.(4)几何法：利用绝对值的几何意义，画出数轴，将绝对值转化为数轴上两点的距离求解.(5)数形结合法：在直角坐标系中作出不等式两边所对应的两个函数的图象，利用函数图象求解.[跟踪训练]1.(2019·全国卷Ⅱ)已知f (x )＝|x －a |x ＋|x －2|(x －a ). (1)当a ＝1时，求不等式f (x )<0的解集； (2)若x ∈(－∞，1)时，f (x )<0，求a 的取值范围. 解：(1)当a ＝1时，f (x )＝|x －1|x ＋|x －2|(x －1). 当x <1时，f (x )＝－2(x －1)2<0；当x ≥1时，f (x )≥0，所以，不等式f (x )<0的解集为(－∞，1). (2)因为f (a )＝0，所以a ≥1.当a ≥1，x ∈(－∞，1)时，f (x )＝(a －x )x ＋(2－x )(x －a )＝2(a －x )(x －1)<0. 所以，a 的取值范围是[1，＋∞).2.(2019·石家庄市质量检测)设函数f (x )＝|x ＋1|. (1)求不等式f (x )≤5－f (x －3)的解集；(2)已知关于x 的不等式2f (x )＋|x ＋a |≤x ＋4在[－1，1]上有解，求实数a 的取值范围.解：(1)不等式f (x )≤5－f (x －3)，即|x ＋1|＋|x －2|≤5，等价于⎩⎪⎨⎪⎧x <－1，－x －1－x ＋2≤5或⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x ≤2，x ＋1－x ＋2≤5或⎩⎪⎨⎪⎧x >2，x ＋1＋x －2≤5，解得－2≤x ≤3，所以原不等式的解集为{x |－2≤x ≤3}.(2)当x ∈[－1，1]时，不等式2f (x )＋|x ＋a |≤x ＋4，即|x ＋a |≤2－x ，所以|x ＋a |≤2－x 在[－1，1]上有解，即－2≤a ≤2－2x 在[－1，1]上有解，所以－2≤a ≤4，即实数a 的取值范围是[－2，4].[例2] (2019·全国卷Ⅰ)已知a ，b ，c 为正数，且满足abc ＝1.证明： (1)1a ＋1b ＋1c≤a 2＋b 2＋c 2；(2)(a ＋b )3＋(b ＋c )3＋(c ＋a )3≥24.[证明] (1)因为a 2＋b 2≥2ab ，b 2＋c 2≥2bc ，c 2＋a 2≥2ac ，又abc ＝1，故有a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca ＝ab ＋bc ＋ca abc ＝1a ＋1b ＋1c.当且仅当a ＝b ＝c ＝1时，等号成立.所以1a ＋1b ＋1c≤a 2＋b 2＋c 2.(2)因为a ，b ，c 为正数且abc ＝1，故有(a ＋b )3＋(b ＋c )3＋(c ＋a )3≥33（a ＋b ）3（b ＋c ）3（a ＋c ）3＝3(a ＋b )(b ＋c )(a ＋c ) ≥3×(2ab )×(2bc )×(2ac ) ＝24.当且仅当a ＝b ＝c ＝1时，等号成立. 所以(a ＋b )3＋(b ＋c )3＋(c ＋a )3≥24.[解题方略] 证明不等式的常用方法不等式证明的常用方法有比较法、分析法、综合法、放缩法、反证法等. (1)如果已知条件与待证结论直接联系不明显，则考虑用分析法.(2)利用放缩法证明不等式，就是舍掉式中的一些正项或负项，或者在分式中放大或缩小分子、分母，还可把和式中各项或某项换为较大或较小的数或式子，从而达到证明不等式的目的.(3)如果待证的是否定性命题、唯一性命题或以“至少”“至多”等方式给出的问题，则考虑用反证法.用反证法证明不等式的关键是作出假设，推出矛盾.[跟踪训练]1.已知函数f (x )＝|x ＋1|.(1)求不等式f (x )＜|2x ＋1|－1的解集M ； (2)设a ，b ∈M ，证明：f (ab )＞f (a )－f (－b ). 解：(1)由题意，|x ＋1|<|2x ＋1|－1， ①当x ≤－1时，不等式可化为－x －1＜－2x －2，解得x ＜－1； ②当－1＜x ＜－12时，不等式可化为x ＋1＜－2x －2，此时不等式无解； ③当x ≥－12时，不等式可化为x ＋1＜2x ，解得x ＞1. 综上，M ＝{x |x ＜－1或x ＞1}.(2)证明：因为f (a )－f (－b )＝|a ＋1|－|－b ＋1|≤|a ＋1－(－b ＋1)|＝|a ＋b |，所以要证f (ab )＞f (a )－f (－b )，只需证|ab ＋1|＞|a ＋b |，即证|ab ＋1|2＞|a ＋b |2，即证a 2b 2＋2ab ＋1＞a 2＋2ab ＋b 2，即证a 2b 2－a 2－b 2＋1＞0，即证(a 2－1)(b 2－1)＞0.因为a ，b ∈M ，所以a 2＞1，b 2＞1，所以(a 2－1)(b 2－1)＞0成立，所以原不等式成立.2.已知a ，b ∈R ，且a ＋b ＝1，求证：(a ＋2)2＋(b ＋2)2≥252.证明：法一：(放缩法)因为a ＋b ＝1，所以(a ＋2)2＋(b ＋2)2≥2⎣⎢⎡⎦⎥⎤（a ＋2）＋（b ＋2）22＝12[(a ＋b )＋4]2＝252⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当a ＋2＝b ＋2，即a ＝b ＝12时，等号成立. 法二：(反证法)假设(a ＋2)2＋(b ＋2)2<252，则a 2＋b 2＋4(a ＋b )＋8<252.因为a ＋b ＝1，则b ＝1－a ，所以a 2＋(1－a )2＋12<252.所以⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122<0，这与⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122≥0矛盾，故假设不成立.所以(a ＋2)2＋(b ＋2)2≥252.[例3] 已知函数f (x )＝|2x －a |＋|x －1|，a ∈R .(1)若不等式f (x )＋|x －1|≥2对任意的x ∈R 恒成立，求实数a 的取值范围； (2)当a <2时，函数f (x )的最小值为a －1，求实数a 的值. [解] (1)f (x )＋|x －1|≥2可化为⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －a 2＋|x －1|≥1.∵⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －a 2＋|x －1|≥⎪⎪⎪⎪⎪⎪a2－1， ∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪a2－1≥1， ∴a ≤0或a ≥4，∴实数a 的取值范围为(－∞，0]∪[4，＋∞).(2)当a <2时，易知函数f (x )＝|2x －a |＋|x －1|的零点分别为a 2和1，且a2<1，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x ＋a ＋1，x <a2，x －a ＋1，a 2≤x ≤1，3x －a －1，x >1，易知f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，a 2上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫a2，＋∞上单调递增，∴f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＝－a 2＋1＝a －1，解得a ＝43，又43<2，∴a ＝43.[解题方略]解决不等式恒成立、能成立、恰成立问题的策略[跟踪训练]1.在本例条件下，若f (x )≤|x ＋1|的解集包含⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，3，求a 的取值范围. 解：由题意可知f (x )≤|x ＋1|在⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，3上恒成立，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，3时， f (x )＝|2x －a |＋|x －1|＝|2x －a |＋x －1≤|x ＋1|＝x ＋1， ∴|2x －a |≤2，即2x －2≤a ≤2x ＋2， ∵(2x －2)max ＝4， (2x ＋2)min ＝5，因此a 的取值范围为[4，5].2.在本例中函数f (x )不变的条件下，若存在实数x ，使不等式f (x )－3|x －1|≥2能成立，求实数a 的取值范围.解：∵f (x )－3|x －1|＝|2x －a |－2|x －1| ＝|2x －a |－|2x －2|≤|a －2|. ∴|a －2|≥2. ∴a ≤0或a ≥4.∴实数a 的取值范围为(－∞，0]∪[4，＋∞). 3.已知函数f (x )＝|x |＋|x ＋1|.(1)若任意x ∈R ，恒有f (x )≥λ成立，求实数λ的取值范围. (2)若存在m ∈R ，使得m 2＋2m ＋f (t )＝0成立，求实数t 的取值范围. 解：(1)由f (x )＝|x |＋|x ＋1|≥|x －(x ＋1)|＝1知，f (x )min ＝1，欲使任意x ∈R ，恒有f (x )≥λ成立，则需满足λ≤f (x )min ，所以实数λ的取值范围为(－∞，1].(2)由题意得f (t )＝|t |＋|t ＋1|＝⎩⎪⎨⎪⎧－2t －1，t <－1，1，－1≤t ≤0，2t ＋1，t >0，存在m ∈R ，使得m 2＋2m ＋f (t )＝0成立，即有Δ＝4－4f (t )≥0，所以f (t )≤1，又f (t )≤1可等价转化为⎩⎪⎨⎪⎧t <－1，－2t －1≤1或⎩⎪⎨⎪⎧－1≤t ≤0，1≤1或⎩⎪⎨⎪⎧t >0，2t ＋1≤1，所以实数t 的取值范围为[－1，0]. [专题过关检测]大题专攻强化练1.(2019·昆明市质量检测)已知函数f (x )＝|2x －1|. (1)解不等式f (x )＋f (x ＋1)≥4；(2)当x ≠0，x ∈R 时，证明：f (－x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x≥4.解：(1)不等式f (x )＋f (x ＋1)≥4等价于|2x －1|＋|2x ＋1|≥4，等价于⎩⎪⎨⎪⎧x <－12，－4x ≥4或⎩⎪⎨⎪⎧－12≤x ≤12，2≥4或⎩⎪⎨⎪⎧x >12，4x ≥4，解得x ≤－1或x ≥1，所以原不等式的解集是(－∞，－1]∪[1，＋∞).(2)证明：当x ≠0，x ∈R 时，f (－x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝|－2x －1|＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪2x－1，因为|－2x －1|＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪2x －1≥⎪⎪⎪⎪⎪⎪2x ＋2x ＝2|x |＋2|x |≥4，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧（2x ＋1）⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1≥0，2|x |＝2|x |，即x ＝±1时等号成立，所以f (－x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x≥4. 2.(2019·沈阳市质量监测(一))设a >b >0，且ab ＝2，记a 2＋b 2a －b的最小值为M .(1)求M 的值，并写出此时a ，b 的值； (2)解关于x 的不等式：|3x ＋3|＋|x －2|>M . 解：(1)因为a >b >0，所以a －b >0，4a －b>0，根据基本不等式有a 2＋b 2a －b ＝（a －b ）2＋4a －b ＝a －b ＋4a －b≥4，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＝2，ab ＝2，即⎩⎨⎧a ＝3＋1，b ＝3－1时取等号，所以M 的值为4，此时a ＝3＋1，b ＝3－1.(2)当x ≤－1时，原不等式等价于－(3x ＋3)＋(2－x )>4，解得x <－54；当－1<x <2时，原不等式等价于(3x ＋3)＋(2－x )>4，解得－12<x <2；当x ≥2时，原不等式等价于(3x ＋3)＋(x －2)>4，解得x ≥2. 综上所述，原不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－54∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞. 3.已知函数f (x )＝|x －2|. (1)解不等式f (x )＋f (x ＋1)≥5.(2)若|a |>1，且f (ab )>|a |·f ⎝ ⎛⎭⎪⎫b a，证明：|b |>2.解：(1)不等式f (x )＋f (x ＋1)≥5等价于|x －2|＋|x －1|≥5，当x >2时，(x －2)＋(x －1)≥5，x ≥4；当1≤x ≤2时，(2－x )＋(x －1)≥5，1≥5，无解；当x <1时，(2－x )＋(1－x )≥5，x ≤－1. 综上，不等式的解集为{x |x ≥4或x ≤－1}. (2)证明：f (ab )>|a |·f ⎝ ⎛⎭⎪⎫b a⇔|ab －2|>|a |·⎪⎪⎪⎪⎪⎪b a－2⇔|ab －2|>|b －2a | ⇔(ab －2)2>(b －2a )2⇔a 2b 2＋4－b 2－4a 2>0⇔(a 2－1)(b 2－4)>0.因为|a |>1，所以a 2－1>0，所以b 2－4>0，|b |>2.4.已知a ，b ∈(0，＋∞)，且2a 4b＝2. (1)求2a ＋1b的最小值；(2)若存在a ，b ∈(0，＋∞)，使得不等式|x －1|＋|2x －3|≥2a ＋1b成立，求实数x 的取值范围.解：(1)由2a 4b＝2可知a ＋2b ＝1，又因为2a ＋1b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋1b (a ＋2b )＝4b a ＋ab＋4，由a ，b ∈(0，＋∞)可知4b a ＋ab＋4≥24b a ·ab＋4＝8，当且仅当a ＝2b 时取等号，所以2a ＋1b的最小值为8.(2)由(1)及题意知不等式等价于|x －1|＋|2x －3|≥8，①⎩⎪⎨⎪⎧x ≤1，1－x ＋（3－2x ）≥8，所以x ≤－43.②⎩⎪⎨⎪⎧1<x <32，x －1＋3－2x ≥8，无解， ③⎩⎪⎨⎪⎧x ≥32，x －1＋2x －3≥8，所以x ≥4. 综上，实数x 的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－43∪[4，＋∞). 5.(2019·济南市模拟考试)已知函数f (x )＝|x －2|＋|2x －1|. (1)求不等式f (x )≤3的解集；(2)若不等式f (x )≤ax 的解集为空集，求实数a 的取值范围.解：(1)法一：由题意f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x ＋3，x ≤12，x ＋1，12<x <2，3x －3，x ≥2，当x ≤12时，f (x )＝－3x ＋3≤3，解得x ≥0，即0≤x ≤12，当12<x <2时，f (x )＝x ＋1≤3，解得x ≤2，即12<x <2，当x ≥2时，f (x )＝3x －3≤3，解得x ≤2，即x ＝2. 综上所述，原不等式的解集为[0，2].法二：由题意f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x ＋3，x ≤12，x ＋1，12<x <2，3x －3，x ≥2，作出f (x )的图象如图所示，注意到当x ＝0或x ＝2时，f (x )＝3，结合图象，不等式的解集为[0，2].(2)由(1)可知，f (x )的图象如图所示，不等式f (x )≤ax 的解集为空集可转化为f (x )>ax 对任意x ∈R 恒成立，即函数y ＝ax 的图象始终在函数y ＝f (x )的图象的下方，当直线y ＝ax 过点A (2，3)以及与直线y ＝－3x ＋3平行时为临界情况，所以－3≤a <32，即实数a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－3，32. 6.(2019·广州市调研测试)已知函数f (x )＝13|x －a |(a ∈R ).(1)当a ＝2时，解不等式⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －13＋f (x )≥1； (2)设不等式⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －13＋f (x )≤x 的解集为M ，若⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，12⊆M ，求实数a 的取值范围. 解：(1)当a ＝2时，原不等式可化为|3x －1|＋|x －2|≥3，①当x ≤13时，1－3x ＋2－x ≥3，解得x ≤0，所以x ≤0；②当13＜x ＜2时，3x －1＋2－x ≥3，解得x ≥1，所以1≤x ＜2；③当x ≥2时，3x －1＋x －2≥3，解得x ≥32，所以x ≥2.综上所述，当a ＝2时，不等式的解集为{}x |x ≤0或x ≥1.(2)不等式⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －13＋f (x )≤x 可化为|3x －1|＋|x －a |≤3x ，依题意不等式|3x －1|＋|x －a |≤3x 在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，12上恒成立，所以3x －1＋|x －a |≤3x ，即|x －a |≤1，即a －1≤x ≤a ＋1，所以⎩⎪⎨⎪⎧a －1≤13，a ＋1≥12，解得－12≤a ≤43，故实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，43.7.(2019·全国卷Ⅲ)设x ，y ，z ∈R ，且x ＋y ＋z ＝1. (1)求(x －1)2＋(y ＋1)2＋(z ＋1)2的最小值；(2)若(x －2)2＋(y －1)2＋(z －a )2≥13成立，证明：a ≤－3或a ≥－1.解：(1)因为[(x －1)＋(y ＋1)＋(z ＋1)]2＝(x －1)2＋(y ＋1)2＋(z ＋1)2＋2[(x －1)(y ＋1)＋(y ＋1)(z ＋1)＋(z ＋1)(x －1)] ≤3[(x －1)2＋(y ＋1)2＋(z ＋1)2]，所以由已知得(x －1)2＋(y ＋1)2＋(z ＋1)2≥43，当且仅当x ＝53，y ＝－13，z ＝－13时等号成立.所以(x －1)2＋(y ＋1)2＋(z ＋1)2的最小值为43.(2)证明：因为[(x －2)＋(y －1)＋(z －a )]2＝(x －2)2＋(y －1)2＋(z －a )2＋2[(x －2)(y －1)＋(y －1)(z －a )＋(z －a )(x －2)] ≤3[(x －2)2＋(y －1)2＋(z －a )2]，所以由已知得(x －2)2＋(y －1)2＋(z －a )2≥（2＋a ）23，当且仅当x ＝4－a 3，y ＝1－a 3，z ＝2a －23时等号成立.所以(x －2)2＋(y －1)2＋(z －a )2的最小值为（2＋a ）23.由题设知（2＋a ）23≥13，解得a ≤－3或a ≥－1.8.(2019·江西省五校协作体试题)已知函数f (x )＝|x ＋1|＋|3x ＋a |，若f (x )的最小值为1.(1)求实数a 的值；(2)若a ＞0，m ，n 均为正实数，且满足m ＋n ＝a2，求m 2＋n 2的最小值.解：(1)f (x )＝|x ＋1|＋|3x ＋a |，①当a ＞3，即－1＞－a3时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－4x －1－a ，x ≤－a3，2x ＋a －1，－a 3＜x ＜－1，4x ＋a ＋1，x ≥－1，∵f (－1)－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 3＝()－3＋a －⎝ ⎛⎭⎪⎫a3－1＝2（a －3）3＞0， ∴f (－1)＞f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 3，则当x ＝－a3时，f (x )min ＝－4⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 3－1－a ＝1，∴a ＝6.②当a ＜3，即－1＜－a3时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－4x －1－a ，x ≤－1，－2x －a ＋1，－1＜x ＜－a 3，4x ＋a ＋1，x ≥－a3， ∵f (－1)－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 3＝(3－a )－⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 3＋1＝2（3－a ）3＞0，∴f (－1)＞f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 3，则当x ＝－a3时，f (x )min ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 3＋1＋a ＝1，∴a ＝0.③当a ＝3，即－1＝－a3时，f (x )＝4|x ＋1|，当x ＝－1时，f (x )min ＝0不满足题意.综上，a ＝0或a ＝6.(2)由题意知，m ＋n ＝3.∵m ＞0，n ＞0，∴(m ＋n )2＝m 2＋n 2＋2mn ≤(m 2＋n 2)＋(m 2＋n 2)＝2(m 2＋n 2)，即m 2＋n 2≥12(m ＋n )2，当且仅当m ＝n ＝32时取“＝”.∵m 2＋n 2≥92，∴m 2＋n 2的最小值为92.。

【2019-2020】高考数学二轮复习专题八选考4系列选讲2-8-1坐标系与参数方程学案理

【2019-2020】高考数学二轮复习专题八选考4系列选讲2-8-1坐标系与参数方程学案理坐标系与参数方程1．(2018·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的方程为y ＝k |x |＋2.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ2＋2ρcos θ－3＝0.(1)求C 2的直角坐标方程；(2)若C 1与C 2有且仅有三个公共点，求C 1的方程．[解] (1)由x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ得C 2的直角坐标方程为(x ＋1)2＋y 2＝4.(2)由(1)知C 2是圆心为A (－1,0)，半径为2的圆．由题设知，C 1是过点B (0,2)且关于y 轴对称的两条射线．记y 轴右边的射线为l 1，y 轴左边的射线为l 2.由于B 在圆C 2的外面，故C 1与C 2有且仅有三个公共点等价于l 1与C 2只有一个公共点且l 2与C 2有两个公共点，或l 2与C 2只有一个公共点且l 1与C 2有两个公共点．当l 1与C 2只有一个公共点时，A 到l 1所在直线的距离为2，所以|－k ＋2|k 2＋1＝2，故k ＝－43或k ＝0，经检验，当k ＝0时，l 1与C 2没有公共点；当k ＝－43时，l 1与C 2只有一个公共点，l 2与C 2有两个公共点．当l 2与C 2只有一个公共点时，A 到l 2所在直线的距离为2，所以|k ＋2|k 2＋1＝2，故k ＝0或k ＝43.经检验，当k ＝0时，l 1与C 2没有公共点；当k ＝43时，l 2与C 2没有公共点．综上，所求C 1的方程为y ＝－43|x |＋2. 2．(2018·全国卷Ⅲ)在平面直角坐标系xOy 中，⊙O 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)，过点(0，－2)且倾斜角为α的直线l 与⊙O 交于A ，B 两点．(1)求α的取值范围；(2)求AB 中点P 的轨迹的参数方程．[解] (1)⊙O 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝1.当α＝π2时，l 与⊙O 交于两点．当α≠π2时，记tan α＝k ，则l 的方程为y ＝kx － 2.l 与⊙O 交于两点当且仅当⎪⎪⎪⎪⎪⎪21＋k 2<1，解得k <－1或k >1，即α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2或α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π4. 综上，α的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4. (2)l 的参数方程为⎩⎨⎧ x ＝t cos α，y ＝－2＋t sin α(t 为参数，π4<α<3π4)．设A ，B ，P 对应的参数分别为t A ，t B ，t P ，则t P ＝t A ＋t B 2，且t A ，t B 满足t 2－22t sin α＋1＝0.于是t A ＋t B ＝22sin α，t P ＝2sin α. 又点P 的坐标(x ，y )满足⎩⎨⎧ x ＝t P cos α，y ＝－2＋t P sin α.所以点P 的轨迹的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝22sin2α，y ＝－22－22cos2α(α为参数，π4<α<3π4)．1.坐标系与参数方程是高考的选考内容之一，高考考查的重点主要有两个方面：一是简单曲线的极坐标方程；二是参数方程、极坐标方程与曲线的综合应用．2．全国课标卷对此部分内容的考查以解答题形式出现，难度中等，备考此部分内容时应注意转化思想的应用．。

2020版高考理科数学大二轮专题复习新方略讲义：8.1坐标系与参数方程 Word版含解析

解析：(1)消去参数，得直线l的普通方程为x＋y－1＝0.
由ρcos2θ＝sinθ，得ρ2cos2θ＝ρsinθ，
则y＝x2，故曲线C的直角坐标方程为y＝x2.
(2)将代入y＝x2，得t2＋ t－2＝0，
设点A，B对应的参数分别为t1，t2，则t1t2＝－2，易知直线l过点P(－1,2)，故|PA|·|PB|＝|t1t2|＝2.
(2)直角坐标方程与极坐标方程的互化，关键要掌握好互化公式，研究极坐标系下图形的性质，可转化为我们熟悉的直角坐标系的情境.
1．[2019·全国卷Ⅱ][选修4－4：坐标系与参数方程]
在极坐标系中，O为极点，点M(ρ0，θ0)(ρ0>0)在曲线C：ρ＝4sinθ上，直线l过点A(4,0)且与OM垂直，垂足为P.
则直线l过点，倾斜角为 .
又B ，所以点B到直线l的距离为(3 － )×sin ＝2.
2．[2019·湖北八校第一次联考]在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为 (α为参数，t为常数)．以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρcos ＝ .
(1)求圆C的普通方程和直线l的直角坐标方程；
又由①得t1＋t2＝－，故2cosα＋sinα＝0，于是直线l的斜率k＝tanα＝－2.
(1)参数方程是以参变量为中介来表示曲线上点的坐标的方程，是曲线在同一坐标系下的又一种表示形式，在消参时要注意参变量的范围．
(2)在参数方程应用不够熟练的情况下，可将其先化成直角坐标系下的普通方程，这样思路会更加清晰.
(2)由(1)可设C的参数方程为 (α为参数，－π<α<π)．C上的点到l的距离为
＝ .
当α＝－时，4cos ＋11取得最小值7，故C上的点到l距离的最小值为 .

2020版新高考复习理科数学教学案：坐标系与参数方程含答案

(2)解法一：曲线C的直角坐标方程为x2＋y2－2x－8＝0.
将直线l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程整理.得t2＋(2 sinα＋2cosα)t－5＝0.
因为Δ＝(2 sinα＋2cosα)2＋20>0.所以可设该方程的两个根分别为t1.t2.
则t1＋t2＝－(2 sinα＋2cosα).t1t2＝－5.
【例2】[20xx·全国卷Ⅱ]在极坐标系中.O为极点.点M(ρ0.θ0)(ρ0＞0)在曲线C：ρ＝4sinθ上.直线l过点A(4,0)且与OM垂直.垂足为P.
(1)当θ0＝时.求ρ0及l的极坐标方程；
(2)当M在C上运动且P在线段OM上时.求P点轨迹的极坐标方程．
解：(1)因为M(ρ0.θ0)在C上.当θ0＝时.
(1)求A.B两点间的距离；
(2)求点B到直线l的距离．
解：(1)设极点为O.在△OAB中.A .B .由余弦定理.得
AB＝＝ .
(2)因为直线l的方程为ρsin ＝3.
则直线l过点 .倾斜角为 .
又B .所以点B到直线l的距离为
(3 － )×sin ＝2.
■模拟演练——————————————
1．[20xx·南昌二模]已知在平面直角坐标系xOy中.直线l的参数方程为 (t为参数).以坐标原点为极点.x轴非负半轴为极轴建立极坐标系.曲线C的极坐标方程为ρ2－2ρcosθ－2＝0.点P的极坐标是 .
所以点P的直角坐标为(1,1)．
(2)解法一：将代入＋y2＝1.并整理得41t2＋110t＋25＝0.
Δ＝1102－4×41×25＝8 000＞0.
故可设方程的两根为t1.t2.
则t1.t2为A.B对应的参数.且t1＋t2＝－ .
依题意.点M对应的参数为 .

【人教A版】2020年高考数学二轮复习《极坐标与参数方程》讲义案及基础题型精讲卷

2020年高考数学文科二轮复习《极坐标与参数方程》讲义案及基础题型精讲卷一、总论坐标系与参数方程它以函数、方程等知识点为载体，渗透着换元、化归、分类讨论、数形结合、函数与方程等思想方法，在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用．近几年的数学高考中频频出现参数的几何意义问题，其形式逐渐多样化，但只要知其本质，便可举一反三，金枪不倒.二、考纲解读1.理解坐标系的作用.2.了解在直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况.3.能在极坐标中用极坐标表示点的位置.理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化.4.能在极坐标系中给出简单图形(如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆)的方程.通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程，理解用方程表示平面图形时选择适当坐标系的意义.5.了解柱坐标系、球坐标系中表示空间中的点的位置的方法，并与空间直角坐标系中表示点的位置方法相比较，了解它们的区别.6.了解参数方程,了解参数的意义.7.能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程.8.掌握参数方程化普通方程的方法.三、命题趋势探究本章是新课标新增内容，属选考内容，在高考中可能有所体现.参数方程是解析几何、平面向量、三角函数、圆锥曲线与方程等知识的综合应用和进一步深化，是研究曲线的工具之一，值得特别关注.四、知识讲解1.极坐标系在平面上取一个定点O，由点O出发的一条射线Ox、一个长度单位及计算角度的正方向(通常取逆时针方向)，合称为一个极坐标系.点O称为极点，Ox称为极轴.平面上任一点M的位置可以由线段OM的长ρθ度ρ和从Ox到OM的角度θ(弧度制)来刻画(如图1和图2所示).这两个实数组成的有序实数对(,)称为点M的极坐标. ρ称为极径，θ称为极角.2.极坐标与直角坐标的互化设M 为平面上的一点，其直角坐标为(,)x y ，极坐标为(,)ρθ，由图16-31和图16-32可知，下面的关系式成立:cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩或222tan(0)x y yx x ρθ⎧=+⎪⎨=≠⎪⎩（对0ρ<也成立）. 3.极坐标的几何意义r ρ=——表示以O 为圆心，r 为半径的圆；0θθ=——表示过原点(极点)倾斜角为0θ的直线，0(0)θθρ=≥为射线；2cos a ρθ=表示以(,0)a 为圆心过O 点的圆.(可化直角坐标: 22cos a ρρθ=222x y ax ⇒+=222()x a y a ⇒-+=.)4.直线的参数方程直线的参数方程可以从其普通方程转化而来，设直线的点斜式方程为00()y y k x x -=-，其中tan (k αα=为直线的倾斜角)，代人点斜式方程:00sin ()()cos 2y y x x απαα-=-≠,即00cos sin x x y y αα--=. 记上式的比值为t ,整理后得00cos t sin x x t y y αα=+⎧⎨=+⎩,2πα=也成立，故直线的参数方程为00cos t sin x x t y y αα=+⎧⎨=+⎩(t 为参数，α为倾斜角，直线上定点000(,)M x y ，动点(,)M x y ，t 为0M M u u u u u u r的数量，向上向右为正(如图3所示).图 1图 25.圆的参数方程若圆心为点00(,)M x y，半径为r，则圆的参数方程为0cos(02)sinx x ry y rθθπθ=+⎧≤≤⎨=+⎩.6.椭圆的参数方程椭圆2222C:1x ya b+=的参数方程为cossinx ay bθθ=⎧⎨=⎩（θ为参数，(02)θπ≤≤）.7.双曲线的参数方程双曲线2222C:1x ya b-=的参数方程为sectanx ay bθθ=⎧⎨=⎩(,)2k kπθπ≠+∈Z.8.抛物线的参数方程抛物线22y px=的参数方程为222x pty pt⎧=⎨=⎩（t为参数，参数t的几何意义是抛物线上的点与顶点连线的斜率的倒数）.五、解答题题型归纳核心考点1: 参数方程与普通方程、极坐标系与直角坐标系的互化1.⊙1O和⊙2O的极坐标方程分别为4cosρθ=,4sinρθ=-.(1)把⊙1O和⊙2O的极坐标方程分别化为直角坐方程;(2)求经过⊙1O和⊙2O交点的直线的直角坐标方程.图3解析（1）圆1O ：4cos ρθ= ⇒ 24cos ρρθ=⇒224x y x +=，得()2224x y x -+=，圆2O ：4sin ρθ=-⇒24sin ρρθ=-⇒224x y y +=-，得()2224x y ++=。

2020届二轮复习坐标系与参数方程学案(全国通用)

参数方程• 曲线的参数方程定义设平面上取定了一个直角坐标系 xOy ，把坐标 x ，y 表示为第三个变量 t 的函数{x =f (t )y =g (t )a ⩽t ⩽b. ② 如果对于 t 的每一个值（a ⩽t ⩽b ），② 式所确定的点 M (x,y ) 都在一条曲线上；而这条曲线上的任一点 M (x,y )，都可由 t 的某个值通过 ② 式得到，则称 ② 式为该曲线的参数方程，其中变量 t 称为参数． • 直线的参数方程直线的参数方程的一般形式是 {x =x 0+lty =y 0+mt ,t ∈R ．• 圆的参数方程若圆心在点 M 0(x 0,y 0)，半径为 R ，则圆的参数方程为 {x =x 0+Rcosθy =y 0+Rsinθ,0⩽θ⩽2π．• 椭圆的参数方程设椭圆的普通方程为 x 2a +y 2b=1，则椭圆的参数方程为 {x =acosty =bsint 0⩽t ⩽2π.若椭圆的中心不在原点，而在点 M 0(x 0,y 0)，相应的椭圆的参数方程为{x =x 0+acost y =y 0+bsint,0⩽<t ⩽2π.• 抛物线的参数方程设抛物线的普通方程为 y 2=2px ，则抛物线的参数方程为 {x =2pt 2y =2pt．• 双曲线的参数方程设双曲线的普通方程为 x 2a2−y 2b 2=1，则双曲线的参数方程为 {x =asecθy =btanθ．• 摆线的参数方程一圆周沿一直线作无滑动滚动时，圆周上的一定点 M 的轨迹称为摆线．如下图，设半径为 a 的圆在 x 轴上滚动，开始时定点 M 在原点 O 处．取圆滚动时转过的角度 t （以弧度为单位）为参数．当圆滚过 t 角时，圆心为 B ，圆与 x 轴的切点为 A ，定点 M 的位置如图所示，∠ABM =t设动点 M 的坐标为 (x,y )，则所得摆线的参数方程为{x =a (t −sint )y =a (1−cost )极坐标与极坐标方程• 极坐标系在平面上取一个定点 O ，由 O 点出发的一条射线 Ox ，一个长度单位及计算角度的正方向（通常取逆时针方向），合称为一个极坐标系．O 点称为极点，Ox 称为极轴．平面任一点 M 的位置可以由线段 OM 的长度 ρ 和从 Ox 到 OM 的角度 θ 来刻画．这两个数组成的有序数对 (ρ,θ) 称为点 M 的极坐标．ρ 称为极径，θ 称为极角．在极坐标系 (ρ,θ) 中，一般限定 ρ⩾0．当 ρ=0 时，就与极点重合，此时 θ 不确定．给定点的极坐标 (ρ,θ)，就唯一地确定了平面上的一个点．但是，平面上的一个点的极坐标并不是唯一的，它有无穷多种表示形式．事实上，(ρ,θ) 和 (ρ,θ+2kπ) 代表同一个点，其中 k 为整数．可见，平面上的点与它的极坐标不是一一对应关系．这是极坐标与直角坐标的不同之处，如果限定 ρ⩾0，0⩽θ⩽2π，则除极点外，平面上的点就与它的极坐标系构成一一对应关系．若 ρ<0，此时极坐标 (ρ,θ) 对应的点 M 的位置按下面规则确定：点 M 在与极轴成 θ 角的射线的反向延长线上，它到极点 O 的距离为 ∣ρ∣，即规定当 ρ<0 时，点 M (ρ,θ) 就是点 M (−ρ,θ+π)．• 极坐标与直角坐标的关系设 M 为平面上的一点，它的直角坐标系为 (x,y )，极坐标为 (ρ,θ)．则有 {x =ρcosθy =ρsinθ 或 {ρ2=x 2+y 2tanθ=yx(x ≠0)，ρ<0 也成立． • 曲线的极坐标方程在给定的平面上的极坐标系下，有一个二元方程 F (ρ,θ)=0．如果曲线 C 是由极坐标 (ρ,θ) 满足方程的所有点组成的，则称此二元方程 F (ρ,θ)=0 为曲线 C 的极坐标方程．圆心在极轴上的点 (a,0) 处，且过极点的圆，其极坐标方程是 ρ=2acosθ,−π2⩽θ⩽π2；圆心在点 (a,π2) 处且过极点的圆，其极坐标方程是 ρ=2asinθ，0⩽θ⩽π．精选例题坐标系与参数方程1. 圆 C:{x =1+cosθ,y =sinθ（θ 为参数）的圆心到直线 l:{x =−2√2+3t,y =1−3t （t 为参数）的距离为．【答案】 22. （坐标系与参数方程）在极坐标系中，直线 l 过点 (1,0) 且与直线 θ=π3(ρ∈R ) 垂直，则直线 l 极坐标方程为．【答案】 ρcosθ+√3ρsinθ=13. 在极坐标系中，过点 M (√2,π4) 的直线 l 与极轴的夹角 α=π3，l 的极坐标方程为．【答案】 √3ρcosθ−ρsinθ−√3+1=0【分析】依题意得直线 l 的斜率为 √3，其直角坐标方程是 y −1=√3(x −1)，即 √3x +y −√3+1=0，其极坐标方程为 √3ρcosθ−ρsinθ−√3+1=0．4. 在直角坐标系 xOy 中，以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知两点的极坐标为 A (2,π3),B (4,2π3)，则直线 AB 的直角坐标方程为．【答案】 x +√3y −4=0【分析】两点的极坐标为 A (2,π3)，B (4,2π3)，化为直角坐标 A(1,√3)，B(−2,2√3)．斜率 k =2√3−√3−2−1=−√33．所以直线 AB 的直角坐标方程为 y −√3=−√33(x −1)，化为 x +√3y −4=0．5. 点 (2,3) 经过伸缩变换 {2xʹ=x,yʹ=3y 后得到点的坐标为．【答案】 (1,9)【分析】由伸缩变换公式 {2xʹ=x,yʹ=3y 得 {xʹ=12x =1,yʹ=3y =9.6. 已知椭圆 C 在直角坐标系下的方程为x 225+y 216=1，以原点为极点，以 x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，以椭圆 C 的左焦点为圆心，且过椭圆中心的圆的极坐标方程为．【答案】 ρ=−6cosθ7. 在同一平面直角坐标系中，将曲线 x 2−36y 2−8x +12=0 变成曲线 xʹ2−yʹ2−4xʹ+3=0，则满足条件的伸缩变换是．【答案】 {xʹ=x2,yʹ=3y【分析】 x 2−36y 2−8x +12=0 可化为 (x−42)2−9y 2=1. ① xʹ2−yʹ2−4xʹ+3=0 可化为 (xʹ−2)2−yʹ2=1. ②比较①②，可得 {xʹ−2=x−42,yʹ=3y即{xʹ=x2,yʹ=3y.8. 极坐标方程分别为 ρ=2cosθ 和 ρ=sinθ 的两个圆的圆心距为．【答案】 √529. 在极坐标系中，直线 l:ρcosθ=12与曲线 C:ρ=2cosθ 相交于 A ，B 两点，O 为极点．则∠AOB 的大小是．【答案】 2π310. 将椭圆x 225+y 29=1 按 φ：{xʹ=15x,yʹ=13y变换后的曲线围成图形的面积为．【答案】 π【分析】设椭圆x 225+y 29=1 上任意一点的坐标为 P (x,y )，按 φ 变换后的对应的坐标为Pʹ(xʹ,yʹ)，由 φ:{xʹ=x5,yʹ=y 3得 {x =5xʹ,y =3yʹ 带入椭圆方程得 xʹ2+yʹ2=1，为单位圆，面积为 π．11. 直线 x −y +1=0 与直线 3x −y −1=0 交于点 P ，与曲线 C {x =5cosθ,y =3sinθ 交于点 A ，B ，求 ∣PA ∣ 与 ∣PB ∣ 的乘积．【解】联立两条直线的方程，得{x −y +1=0,3x −y −1=0,故点 P 坐标为 (1,2)，直线 PA 的倾斜角为 π4，故直线 PA 的参数方程为 {x =1+√22t,y =2+√22t.由曲线 C 的参数方程得其普通方程为 x 225+y 29=1．把 PA 的参数方程代入曲线 C 的普通方程，有 9(1+√22t)2+25(2+√22t)2=225，即 17t 2+59√2t −116=0，则 t A t B =−11617．故 ∣PA ∣∣PB ∣=11617．12. 建立极坐标系证明：已知半圆直径 ∣AB∣=2r （r >0），半圆外一条直线 l 与 AB 所在直线垂直相交于点 T ，并且 ∣AT∣=2a (2a <r2)．若半圆上相异两点 M ，N 到 l 的距离 ∣MP ∣，∣NQ∣∣ 满足 ∣MP∣:∣MA∣=∣NQ∣∣:∣NA∣=1，则 ∣MA∣+∣NA∣=∣AB∣．【解】以 A 为极点，射线 AB 为极轴建立极坐标系，则半圆的极坐标方程为 ρ=2rcosθ．设 M (ρ1,θ1)，N (ρ2,θ2)，则 ρ1=2rcosθ1，ρ2=2rcosθ2，又 ∣MP∣=2a +ρ1cosθ1=2a +2rcos 2θ1，∣NQ∣∣=2a +ρ2cosθ2=2a +2rcos 2θ2，所以 ∣MP∣=2a +2rcos 2θ1=2rcosθ1，所以 ∣NQ∣∣=2a +2rcos 2θ2=2rcosθ2，所以 cosθ1，cosθ2 是方程 rcos 2θ−rcosθ+a =0 的两个根，由韦达定理得 cosθ1+cosθ2=1，所以 ∣MA∣+∣NA∣=2rcosθ+2rcosθ2=2r =∣AB∣．13. 已知椭圆x 24+y 23=1，过左焦点 F 的直线 l 交此椭圆于 A ，B 两点，y A >y B ，且 ∣FA ∣=2∣FB ∣，求直线 l 的方程及 ∣AB ∣ 的长．【解】解法一：由椭圆 x 24+y 23=1 可得椭圆的左焦点 F 的坐标为 (−1,0)，则设直线 AB 的参数方程为 {x =−1+tcosα,y =tsinα,α 为直线 AB 的倾斜角．又点 A ，B 在椭圆上，故 t A ，t B 满足 3(−1+tcosα)2+4(tsinα)2=12，即 (3cos 2α+4sin 2α)t 2−6tcosα−9=0．则 t A +t B =6cosα3cos 2α+4sin 2α，t A t B =−93cos 2α+4sin 2α．因为 ∣FA ∣=2∣FB ∣，所以 t A =−2t B ，所以 −t B =6cosα3cos 2α+4sin 2α，−2t B 2=−93cos 2α+4sin 2α，2(6cosα3cos 2α+4sin 2α)2=93cos 2α+4sin 2α，即 8cos 2α=3cos 2α+4sin 2α，则 tan 2α=54．因为 y A >y B 且 ∣FA ∣=2∣FB ∣，故直线 l 的方程为 y =√52(x +1)．线段 AB 长度的计算见解法二．解法二：以椭圆的左焦点 F 为极点，以 x 轴的正方向为极轴建立极坐标系，则椭圆x 24+y 23=1 对应的极坐标方程为 ρ=32−cosθ．依题意，设 A ，B 两点的极坐标分别为 (ρA ,θ)，(ρB ,π+θ)，则 0<θ<π2，ρA =2ρB ． 32−cosθ=62+cosθ．则 cosθ=23．所以 tanθ=√52，ρA =32−23=94，ρB =32+23=98．故 ∣AB ∣=ρA +ρB =278，直线 l 的方程为 y =√52(x +1)．14. 设抛物线 y 2=2px 过顶点的两弦 OP 1，OP 2 互相垂直，求以 OP 1，OP 2 为直径的两圆的另一个交点 Q 的轨迹方程．【解】设抛物线 y 2=2px 的参数方程为 {x =2pt 2,y =2pt.则 P 1，P 2 两点的坐标分别设 (2pm 2,2pm )，(2pn 2,2pn )．因为 OP 1，OP 2 互相垂直，故 mn =−1．以 OP 1 为直径的圆的方程为 x (x −2pm 2)+y (y −2pm )=0，即 x 2−2pxm 2+y 2−2pym =0．以 OP 2 为直径的圆的方程为 x (x −2pn 2)+y (y −2pn )=0，即 x 2−2pxn 2+y 2−2pyn =0．设以 OP 1，OP 2 为直径的两圆的另一个交点 Q 的坐标为 (x 0,y 0)，则其满足x 02−2px 0m 2+y 02−2py 0m =0，x 02−2px 0n 2+y 02−2py 0n =0，故 m ，n 是方程 x 02−2px 0x 2+y 02−2py 0x =0 的两个根．由根与系数的关系，得 mn =x 02+y 02−2px 0=−1．故所求动点 Q 的轨迹方程为 x 2+y 2−2px =0(x ≠0)．15. 在极坐标中，已知圆 C 经过点 P(√2,π4) ，圆心为直线 ρsin(θ−π3)=−√32与极轴的交点，求圆 C 的极坐标方程．【解】在 ρsin(θ−π3)=−√32中，令 θ=0 ，得 ρ=1 ，所以圆 C 的圆心坐标为 (1，0) ．因为圆 C 经过点 P(√2，π4) ，所以圆 C 的半径PC =√(√2)2+12−2×1×√2cosπ4=1, 于是圆 C 过极点，所以圆 C 的极坐标方程为 ρ=2cosθ ．16. 已知直线 C 1:{x =1+tcosα,y =tsinα(t 为参数)，圆 C 2:{x =cosθ,y =sinθ(θ 为参数)．(1)当 α=π3 时，求 C 1 与 C 2 的交点坐标；【解】当 α=π3 时，C 1 的普通方程为 y =√3(x −1), C 2 的普通方程为 x 2+y 2=1.联立方程组{x 2+y 2=1,y =√3(x −1),解得 C 1 与 C 2 的交点为(1,0) 和 (12,−√32).(2)过坐标原点 O 作 C 1 的垂线，垂足为 A ，P 为 OA 的中点，当 α 变化时，求点 P 轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线．【解】当 α≠kπ2,k ∈Z 时，C 1 的普通方程为y =(x −1)tanα,设 P (x,y )，则 A (2x,2y )，根据 A 在 C 1 上及 OA 垂直于 C 1 得{2y =(2x −1)tanα,2y 2x =−1tanα, 消去 tanα 并整理，得 P 点轨迹的普通方程为(x −14)2+y 2=116.当 α=kπ2,k ∈Z 时，仍适合上述方程．故 P 点是圆心为 (14,0)，半径为 14的圆．17. 在直角坐标系 xOy 中，圆 C 1:x 2+y 2=4，圆 C 2:(x −2)2+y 2=4．(1)在以 O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆 C 1 、 C 2 的极坐标方程，并求出圆 C 1，C 2 的交点坐标（用极坐标表示）；【解】圆 C 1 的极坐标方程为 ρ=2, 圆 C 2 的极坐标方程为 ρ=4cosθ.解方程组{ρ=2,ρ=4cosθ,得ρ=2,θ=±π3,故圆 C 1 与圆 C 2 交点的坐标为 (2,π3),(2,−π3)．注：极坐标系下点的表示不唯一． (2)求圆 C 1 与 C 2 的公共弦的参数方程．【解】解法一：由{x =ρcosθ,y =ρsinθ,得圆 C 1 与 C 2 交点的直角坐标分别为(1,√3),(1,−√3).故圆 C 1 与 C 2 的公共弦的参数方程为 {x =1,y =t.其中 −√3⩽t ⩽√3.解法二：将 x =1 代入 {x =ρcosθ,y =ρsinθ, 得ρcosθ=1, 从而ρ=1cosθ. 于是圆 C 1 与 C 2 的公共弦的参数方程为 {x =1,y =tanθ,其中 −π3⩽θ⩽π3.18. 在平面直角坐标系 xOy 中，求过椭圆 {x =5cosφy =3sinφ(φ为参数) 的右焦点，且与直线{x =4−2t y =3−t (t 为参数) 平行的直线的普通方程．【解】椭圆的普通方程为x 225+y 29=1, 右焦点为 (4,0) ；直线的普通方程为 2y −x =2，斜率为 12 ；故所求直线方程为y =12(x −4),即x −2y −4=0.19. 已知在直角 xOy 坐标系中，圆 C 的参数方程为 {x =3+2cosθy =−4+2sinθ（θ 为参数）．(1)以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求圆 C 的极坐标方程；【解】圆 C 的参数方程为 {x =3+2cosθy =−4+2sinθ（θ 为参数），所以普通方程为 (x −3)2+(y +4)2=4，圆 C 化为极坐标方程：ρ2−6ρcosθ+8ρsinθ+21=0．(2)已知 A (−2,0)，B (0,2)，圆 C 上任意一点 M (x,y )，求 △ABC 面积的最大值．【解】点 M (x,y ) 到直线 AB ：x −y +2=0 的距离为d =√2△ABM 的面积S =12×∣AB ∣×d =∣2cosθ−2sinθ+9∣=∣2√2sin (π4−θ)+9∣所以 △ABM 面积的最大值为 9+2√2．20. 一个圆形体育馆，自正东方向起，按逆时针方向等分为十六个扇形区域，顺次记为一区，二区 ⋯ 十六区，我们设圆形体育场第一排与体育中心的距离为 200 m ，每相邻两排的间距为 1 m ，每层看台的高度为 0.7 m ，现在需要确定第九区第四排正中的位置 A ，请建立适当的坐标系，把点 A 的坐标求出来．【解】以圆形体育场中心 O 为极点，选取以 O 为端点且过正东入口的射线 Ox 为极轴，在地面上建立极坐标系，则点 A 与体育场中轴线 Oz 的距离为 203 m ，极轴 Ox 按逆时针方向旋转 17π16，就是 OA 在地平面上的射影，A 距地面的高度为 2.8 m ，因此我们可以用柱坐标来表示点 A 的准确位置．所以点 A 的柱坐标为 (203,17π16,145)．参数方程1. 已知两曲线参数方程分别为 {x =√5cosθ,y =sinθ(0⩽θ<π) 和 {x =54t 2,y =t (t ∈R )，它们的交点坐标为．【答案】 (1,2√55)【分析】 {x =√5cosθy =sinθ 表示椭圆 x 25+y 2=1（−√5<x ⩽√5, 且 0⩽y ⩽1）；{x =54t2y =t 表示抛物线 y 2=45x ．椭圆方程与抛物线方程联立解方程组即得．2. 已知曲线 C 1:{x =3+2cosθy =2+2sinθ(θ 为参数)，曲线 C 2:{x =1+3ty =1−4t (t 为参数)，则 C 1 与 C 2 的位置关系为．【答案】相离3. 若圆 M 的方程为 x 2+y 2=4，则圆 M 的参数方程为．【答案】 {x =2cosαy =2sinα（α 为参数）答案不唯一4. 在平面直角坐标系中，曲线 C 的参数方程为 {x =1+3cosαy =3sinα(α为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为，ρcos (θ−π4)=√22m ，若曲线 C 上恰有 3 个点到直线 l 的距离等于 1，则实数 m = ．【答案】 1±2√2【分析】曲线 C 的方程化为 (x −1)2+y 2=9，圆心 (1,0)，r =3，直线 l 的方程化为 x +y −m =0．若曲线 C 上恰有 3 个点到直线 l 的距离等于 1，则圆心到直线 l 的距离等于 2，即 √2=2，所以 m =1±2√2．5. 双曲线 {x =2+3tanφ,y =secφ(φ为参数) 的渐近线方程为________．【答案】 y =±13(x −2)6. （参数方程与极坐标）已知在直角坐标系中曲线 C 1 的参数方程为 {x =t +1t,y =t 2+1t 2（t 为参数且 t ≠0），在以原点 O 为极点，以 x 轴正半轴为极轴建立的极坐标系中曲线 C 2 的极坐标方程为 θ=π4(ρ∈R )，则曲线 C 1 与 C 2 交点的直角坐标为．【答案】 (2,2)【分析】由 ∣x ∣=∣t +1t ∣=∣t ∣+1∣t∣⩾2 及 {x =t +1t ,y =t 2+1t 2，得 C 1:y =x 2−2(∣x ∣⩾2)．由 θ=π4(ρ∈R )，得 C 2:y =x ．联立 C 1 与 C 2 的方程，解得交点的坐标为 (2,2)．7. 直线的参数方程为 {x =2+12t,y =3+√32t（t 为参数），则它的斜截式方程为．【答案】 y =√3x +3−2√38. 圆 C:{x =2cosθy =1+2sinθ（θ 为参数）的圆心坐标为；直线 l:y =2x +1 被圆 C 所截得的弦长为．【答案】 (0,1)；49. 在平面直角坐标系中，已知曲线 c:{x =−2+cosθy =sinθ ( θ 为参数， θ∈[π2,3π2] )，则曲线 c关于 y =x 对称的曲线方程是．【答案】 x 2+(y +2)2=1(−3⩽y ⩽−2)10. 曲线 {x =t 2−1y =2t +1（t 为参数）的焦点坐标是．【答案】 (0,1)【分析】曲线化为一般式方程为 (y −1)2=4(x +1)，令 y −1=m ，x +1=n ，则原式可化为 m 2=4n ，此时焦点为 (1,0)，即 x +1=1，y −1=0，得 x =0，y =1，所以该曲线的焦点为 (0,1)．11. 设直线 l 1 过点 (1,−2)，倾斜角为 π4．直线 l 2：x +2y −4=0． (1)写出直线 l 1 的一个参数方程；【解】由题意得直线 l 1 的方程为 y +2=x −1．设 y +2=x −1=t ，得 {x =1+t,y =−2+t（t 为参数），即为 l 1 的参数方程．(2)求直线 l 1 与 l 2 的交点．【解】将 {x =1+t,y =−2+t 代人 x +2y −4=0，得 (1+t )+2(−2+t )−4=0，所以 t =73．所以 {x =1+t =103,y =−2+t =13.即 l 1 与 l 2 的交点为 (103,13)．12. 当 φ=π2，π 时，求出渐开线 {x =cosφ+φsinφ,y =sinφ−φcosφ(φ为参数) 上的对应点 A ，B ，并求出 A ，B 间的距离．【解】将 φ=π2 代入 {x =cosφ+φsinφ,y =sinφ−φcosφ,得 x =cos π2+π2sin π2=π2，y =sin π2−π2cos π2=1．所以 A (π2,1)．将 φ=π 代入 {x =cosφ+φsinφ,y =sinφ−φcosφ,得 x =cosπ+πsinπ=−1，y =sinπ−πcosπ=π．所以 B (−1,π)．故 A ，B 间的距离为∣AB ∣=√(1−π)2+(π2+1)2=√54π2−π+2．13. 在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为 {x =1−12ty =√32t （t 为参数）．以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆 C 的方程为 ρ=2√3sinθ． (1)写出直线 l 的普通方程和圆 C 的直角坐标方程；【解】消去参数得直线 l 的普通方程为 √3x +y −√3=0，由 ρ=2√3sinθ 得圆 C 的直角坐标方程 x 2+y 2−2√3y =0．(2)若点 P 的直角坐标为 (1,0)，圆 C 与直线 l 交于 A,B 两点，求 |PA|+|PB| 的值．【解】由直线 l 的参数方程可知直线过点 P ，把直线 l 的参数方程代入圆 C 的直角坐标方程 x 2+y 2−2√3y =0，得 (1−12t)2+(√32t−√3)2=3，化简得 t 2−4t +1=0，因为 Δ=12>0，故设 t 1，t 2 是上述方程的两个实数根，所以 t 1+t 2=4，t 1t 2=1， A,B 两点对应的参数分别为 t 1，t 2，所以 |PA|+|PB|=|t 1|+|t 2|=t 1+t 2=4．14. 边长为 a 的等边三角形 ABC 的两个端点 A 、 B 分别在 x 轴、 y 轴两正半轴上移动，顶点 C 和原点 O 分别在 AB 两侧，记 ∠CAx =α，求顶点 C 的轨迹的参数方程．【解】过点 C 作 CD ⊥x 轴于点 D ，设点 C 的坐标为 (x,y )．则由 {x =OA +AD,y =DC,得 {x =acos (2π3−α)+acosα,y =asinα（α 为参数），即为顶点 C 的轨迹方程．15. 已知定直线 l 和线外一点 O ，Q 为直线 l 上一动点，△OQP 为正三角形（按逆时针方向转，如图所示），求点 P 的轨迹方程．【解】以 O 点为原点，过点 O 作 l 的垂线为 x 轴建立直角坐标系．设点 O 到直线 l 的距离为 d （为定值，且 d >0），取 ∠NOQ =θ（θ 为参数），θ∈(−π2,π2)．设动点 P (x,y )，在 Rt △OQN 中，∵∣OQ∣∣=d cosθ，∣OP∣=∣OQ∣∣，∠NOP =θ+π3， ∴x =∣OP∣cos (π3+θ)=d cosθ⋅cos (π3+θ)=(12−√32tanθ)⋅d ，y =∣OP∣⋅sin (π3+θ)=dcosθ⋅sin (π3+θ)=(√32+12tanθ)⋅d ．∴ 点 P 的参数方程为 {x =(12−√32tanθ)d,y =(√32+12tanθ)d (−π2<θ<π2)．消去参数 θ，得普通方程为 x +√3y −2d =0．16. 已知曲线 C 1：{x =2cosθ,y =2sinθ（θ 为参数），曲线 C 2：{x =1+tcosα,y =−1+tsinα（t 为参数）(1)若 α=π4，求曲线 C 2 的普通方程，并说明它表示什么曲线；【解】因为 α=π4，所以 {x =1+√22t,y =−1+√22t（t 为参数），所以 x −1=y +1，所以曲线 C 2 的普通方程是 y =x −2，它表示过点 (1,−1)，倾斜角为 π4 的直线． (2)曲线 C 1 和曲线 C 2 的交点分别记为 M ，N ，求 ∣MN∣ 的最小值．【解】曲线 C 1 的普通方程为 x 2+y 2=4．将 {x =1+tcosα,y =−1+tsinα（t 为参数）代入 x 2+y 2=4 中得 (1+tcosα)2+(−1+tsinα)2=4，则 t 2+2(cosα−sinα)t −2=0，设 t 1，t 2 为方程的两个根，则有 ∣MN∣=∣t 1−t 2∣=√(t 1+t 2)2−4t 1t 2=√4(cosα−sinα)2+8=√12−4sin2α，所以当 sin2α=1 时，∣MN∣ 的最小值为 2√2．17. 在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为 {x =12t 2y =14t （t 为参数），若曲线 C 与直线l ：y =12x 相交于 A ，B 两点，求线段 AB 的长．【解】将曲线 C 的参数方程 {x =12t 2y =14t 化为普通方程得 x =8y 2，由方程组 {x =8y 2x =2y ，解得 {x =0y =0 或 {x =12y =14．所以 A (0,0)，B (12,14) 或 A (12,14)，B (0,0)，所以 AB =√(12)2+(14)2=√54．18. 设圆的半径为 4，沿 x 轴正向滚动，开始时圆与 x 轴相切于原点 O ，记圆上动点为 M ，它随圆的滚动而改变位置，写出圆滚动一周时 M 点的轨迹方程，画出相应曲线，求此曲线上纵坐标 y 的最大值．【解】依题意可知，轨迹是摆线，其参数方程为 {x =4(φ−sinφ),y =4(1−cosφ)(φ为参数且0⩽φ⩽2π)．其曲线是摆线的第一拱 (0⩽φ⩽2π)，如下图所示：易知，当 x =4π 时，y 有最大值 8．19. 已知 acosα+bsinα=c ，acosβ+bsinβ=c ，(ab ≠0,α−β≠kπ,k ∈Z )，求证：cos 2α−β2=c 2a 2+b 2．【解】设直线 l:ax +by =c ，圆 C:{x =cosθy =sinθ，则A (cosα,sinα)，B (cosβ,sinβ) 是直线 l 与圆C 的两个交点，设 OM ⊥AB 于 M ．从而∣AB ∣2=(cosα−cosβ)2+(sinα−sinβ)2=2−2cos (α−β);又 OM =√a 2+b 2；OM 2+(12AB)2=OA 2，所以 c 2a 2+b 2+2−2cos (α−β)4=1，整理得 1+cos (α−β)2=c 2a 2+b 2，即 cos 2α−β2=c 2a 2+b 2．20. 平面直角坐标系中，若圆的摆线过点 (1,0)，求这条摆线的参数方程．【解】令 r (1−cosφ)=0，可得 cosφ=1，所以 φ=2kπ(k ∈Z ) 代入可得 x =r (2kπ−sin2kπ)=1．所以 r =12kπ．又根据实际情况可知 r 是圆的半径，故 r >0．所以应有 k >0 且 k ∈Z ，即 k ∈N ∗．所以所求摆线的参数方程是 {x =12kπ(φ−sinφ),y =12kπ(1−cosφ)（φ 为参数）（其中 k ∈N ∗）．极坐标与极坐标方程1. 在极坐标系中，点 (√2,π4) 到圆 ρ=2cosθ 的圆心的距离为．【答案】 12. 已知两点的极坐标 A (3,π2)，B (3,π6)，则 ∣∣AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣= ，BA ⃗⃗⃗⃗⃗ 与极轴正方向所夹角的大小为．【答案】 3；5π63. 在极坐标系中，曲线 C 1:ρ(√2cosθ+sinθ)=1 与曲线 C 2:ρ=a (a >0) 的一个交点在极轴上，则 a = ．【答案】 √224. 圆 ρ=2cosθ 的半径是．【答案】 15. 若曲线的极坐标方程为 ρ=2sinθ+4cosθ ，以极点为原点，极轴为 x 轴正半轴建立直角坐标系，则该曲线的直角坐标方程为．【答案】 x 2+y 2−4x −2y =06. 在极坐标系中，直线 l 过点 A (3,π3)，B (3,π6)，则直线 l 向上的方向与极轴正方向的夹角等于．【答案】 3π47. 在极坐标系 (ρ,θ) (0⩽θ<2π) 中，曲线 ρ=2sinθ 与 ρcosθ=−1 的交点的极坐标为．【答案】(√2,34π)【分析】两条曲线ρ=2sinθ与ρcosθ=−1的普通方程分别为x2+y2=2y与x=−1，交点坐标为(−1,1)，对应的极坐标为(√2,34π)．8. 已知曲线C的参数方程为{x=2+cosθ，y=sinθ（θ为参数），则曲线上C的点到直线3x−4y+4=0的距离的最大值为．【答案】3【分析】曲线上C的点到直线d=∣∣√32+42∣∣=∣∣10+3cosθ−4sinθ5∣∣⩽3，距离的最大值为3．9. 极坐标方程ρ=cos(π4−θ)所表示的曲线是．【答案】圆10. 如图所示的极坐标系中，以M(4,π6)为圆心，半径r=1的圆M的极坐标方程是．【答案】ρ2−8ρcos(θ−π6)+15=0【分析】依题意，题中的圆M的圆心的直角坐标是(2√3,2)，因此圆M的直角坐标方程是(x−2√3)2+(y−2)2=1，即x2+y2−4√3x−4y+15=0，相应的极坐标方程是ρ2−4√3ρcosθ−4ρsinθ+15=0，即ρ2−8ρcos(θ−π6)+15=0．(1)求过A(2,π4)平行于极轴的直线的极坐标方程；【解】如图所示，在直线 l 上任意取点 M (ρ,θ)．因为 A (2,π4)，所以 ∣MH ∣=2⋅sin π4=√2．在 Rt △OMH 中，∣MH∣=∣OM∣sinθ，即 ρsinθ=√2，所以过 A (2,π4) 平行于极轴的直线方程为 ρsinθ=√2．(2)直线 l 过点 A (3,π3)，且向上的方向与极轴正方向成 3π4，求直线 l 的极坐标方程．【解】如图所示，A (3,π3)，∣OA∣=3，∠AOB =π3，由已知 ∠MBx =3π4，所以 ∠OAB =3π4−π3=5π12．所以 ∠OAM =π−5π12=7π12．又 ∠OMA =∠MBx −θ=3π4−θ，在三角形 MOA 中，根据正弦定理，得 3sin(3π4−θ)=ρsin7π12．因为 sin 7π12=sin (π4+π3)=√2+√64，将 sin (3π4−θ) 展开，化简上面的方程，可得 ρ(sinθ+cosθ)=3√32+32．所以，过 A (3,π3) 且和极轴成 3π4 的直线方程为 ρ(sinθ+cosθ)=3√32+32．12. 在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 1 的参数方程为 {x =t 2,y =t （t 为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 2 的极坐标方程为 ρ2+2ρcosθ−4=0． (1)把 C 1 的参数方程化为极坐标方程；【解】曲线 C 1 的参数方程为 {x =t 2,y =t（t 为参数）普通方程为 y 2=x ，将 {x =ρcosθ,y =ρsinθ代入上式化简得 ρsin 2θ=cosθ，即 C 1 的极坐标方程为 ρsin 2θ−cosθ=0．(2)求 C 1 与 C 2 交点的极坐标（ρ⩾0，0⩽θ<2π）．【解】曲线 C 2 的极坐标方程 ρ2+2ρcosθ−4=0 化为平面直角坐标方程为 x 2+y 2+2x −4=0，将 y 2=x 代入上式得 x 2+3x −4=0，解得 x =1，x =−4（舍去）．当 x =1 时，y =±1，所以 C 1 与 C 2 交点的平面直角坐标为 A (1,1)，B (1,−1)．因为 ρA =√1+1=√2，ρB =√1+1=√2，tanθA =1，tanθB =−1，ρ⩾0，0⩽θ<2π，所以 θA =π4，θB =7π4，故 C 1 与 C 2 交点的极坐标 A (√2,π4)，B (√2,7π4)．13. 在直角坐标系 xOy 中，以 O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立直角坐标系，曲线 C 1 的参数方程为 {x =2cosα+√3,y =2sinα+1.（α 为参数），曲线 C 2 的极坐标方程为 ρ=2cosθ．(1)求曲线 C 1 的极坐标方程；【解】由 {x =2cosα+√3,y =2sinα+1. 得 {x −√3=2cosα,y −1=2sinα.C 2 的直角坐标方程是 (x −√3)2+(y −1)2=4，即 x 2+y 2−2√3x −2y =0，由 ρ2=x 2+y 2，x =ρcosθ，y =ρsinθ 得曲线 C 2 的极坐标方程 ρ2=2ρ(√3cosθ+sinθ)， ρ=4cos (θ−π6)．(2)若射线 θ=π6(ρ⩾0) 交曲线 C 1 和 C 2 于 A ，B （A ，B 异于原点），求 ∣AB ∣．【解】设 A (ρ1,θ1)，B (ρ2,θ2)，将 θ=π6 代入曲线 C 1 的极坐标方程 ρ=4cos (θ−π6) 得 ρ1=4，同理将 θ=π6代入曲线 C 2 的极坐标方程 ρ=2cosθ 得 ρ2=√3，所以 ∣AB ∣=∣ρ1−ρ2∣=4−√3．14. 某大学校园的部分平面示意图如图所示．用点 O ，A ，B ，C ，D ，E ，F 分别表示校门、器材室、公寓、教学楼、图书馆、车库、花园，建立适当的极坐标系，写出各点的极坐标（限定 ρ⩾0，0⩽θ<2π 且极点为 (0,0)）【解】以点O为极点，OA所在的射线为极轴Ox（单位长度为1 m），建立极坐标系，如图所示．由∣OB∣=600 m，∠AOB=30∘，∠OAB=90∘，得∣AB∣=300 m，∣OA∣=300√3 m，同样求得∣OD∣=2∣OF∣=300√2 m，所以各点的极坐标分别为O(0,0)，A(300√3,0)，B(600,π6)，C(300,π2)，D(300√2,3π4)，E(300,π)，F(150√2,3π4)．15. 在极坐标系中，已知圆C的圆心为C(3,π6)，半径为1，Q点在圆周上运动，O为极点． (1)求圆C的极坐标方程；【解】如图所示，设 M (ρ,θ) 为圆 C 上任意一点，在 △COM 中，∣CM∣=1，∠COM =∣∣θ−π6∣∣，根据余弦定理得1=ρ2+9−2⋅ρ⋅3⋅cos ∣∣∣θ−π6∣∣∣, 化简整理得 ρ2−6⋅ρ⋅cos (θ−π6)+8=0，即为圆 C 的极坐标方程． (2)若 P 在直线 OQ 上运动，且满足 ∣OQ∣∣QP∣=23，求动点 P 的轨迹方程．【解】设 Q (ρ1,θ1)，则有ρ12−6⋅ρ1cos (θ1−π6)+8=0. ⋯⋯①设 P (ρ,θ)，则∣OQ∣∣:∣QP∣∣=ρ1:(ρ−ρ1)=2:3 或 ∣∣OQ∣∣:∣QP∣∣=ρ1:(ρ1+ρ)=2:3, 当 ρ1=25ρ 时，又 θ1=θ，即 {ρ1=25ρ,θ1=θ, 代入 ① 得 425ρ2−6⋅25ρ⋅cos (θ−π6)+8=0, 整理得 ρ2−15ρcos (θ−π6)+50=0 即为 P 点的轨迹方程．当 ρ1=2ρ 时，又 θ1=θ−π，同理可得ρ2+3ρ⋅cos (θ−π6)+2=0.所以点 P 的轨迹方程为 ρ2−15ρ⋅cos (θ−π6)+50=0 或 ρ2+3ρcos (θ−π6)+2=0．16. 在直角坐标系 xOy 中，直线经过点 P (−1,0)，其倾斜角为 α，以原点 O 为极点，以 x 轴非负半轴为极轴，与直角坐标系 xOy 取相同的长度单位，建立极坐标系，设曲线 C 的极坐标方程为 ρ2−6ρcosθ+5=0．(1)若直线与曲线 C 有公共点，求 α 的取值范围；【解】将 C 的极坐标方程 ρ2−6ρcosθ+5=0 化为直角坐标为 x 2+y 2−6x +5=0，直线的参数方程为 {x =−1+tcosα,y =tsinα（t 为参数），将直线的参数方程代入曲线 C 的方程整理得 t 2−8tcosα+12=0，直线与曲线有公共点，所以 Δ=64cos 2α−48⩾0，得 cosα⩾√32或 cosα⩽−√32．因为 α∈[0,π)，所以 α 的取值范围为 [0,π6]∪[5π6,π)．(2)设 M (x,y ) 为曲线 C 上任意一点，求 x +y 的取值范围．【解】曲线 C 的方程 x 2+y 2−6x +5=0 化为 (x −3)2+y 2=4，其参数方程为 {x =3+2cosθ,y =2sinθ（θ 为参数），M (x,y ) 为曲线 C 上任意一点，所以 x +y =3+2cosθ+2sinθ=3+2√2sin (θ+π4)． x +y 的取值范围是 [3−2√2,3+2√2]．17. 已知圆 C 的极坐标方程为 ρ2+2√2ρsin (θ−π4)−4=0，求圆心的极坐标．【解】以极坐标系的极点为直角坐标系的原点 O ，极轴为 x 轴的正半轴建立直角坐标系 xOy ，圆 C 的极坐标方程为 ρ2+2ρsinθ−2ρcosθ−4=0，则圆 C 的直角坐标系方程为 x 2+y 2−2x +2y −4=0，即 (x −1)2+(y +1)2=6，于是圆心的直角坐标为 (1,−1)，则其极坐标为 (√2,7π4)．18. 极坐标与参数方程在直角坐标系 xOy 中，圆 C 的参数方程为 {x =2+2cosθy =2sinθ（θ 为参数）．在极坐标系（直角坐标系 xOy 取相同的单位长度，以原点 O 为极点，以 x 轴正半轴为极轴）中，直线 l 的方程为 ρsin (θ+π4)=2√2． (1)求圆 C 的极坐标方程；【解】由 {x =2+2cosθ,y =2sinθ,得圆 C 的直角坐标方程为 (x −2)2+y 2=4，即 x 2+y 2−4x =0．化为极坐标方程为：ρ2−4ρcosθ=0，即 ρ=4cosθ． (2)设圆 C 与直线 l 交于点 A ，B ，求 ∣AB ∣．【解】展开 ρsin (θ+π4)=2√2 得：ρsinθ⋅√22+ρcosθ⋅√22=2√2，所以直线 l 的普通方程为 x +y −4=0．由（1）知圆 C 的圆心坐标为 (2,0)，半径 r =2，所以圆心 (2,0) 到直线 l 的距离 d =√2=√2．所以 r 2=d 2+(∣AB∣2)2．所以 ∣AB ∣=2√2．19. 在极坐标系中，求圆 ρ=2cosθ 的圆心到直线 2ρsin (θ+π3)=1 的距离．【解】将圆 ρ=2cosθ 化为普通方程为 x 2+y 2−2x =0，圆心为 (1,0)，又 2ρsin (θ+π3)=1，即 2ρ(12sinθ+√32cosθ)=1，所以直线的普通方程为 √3x +y −1=0，故所求的圆心到直线的距离 d =√3−12．20. 在直角坐标系 xOy 中，以 O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 ρcos (θ−π3)=1，M ，N 分别为 C 与 x 轴，y 轴的交点．写出 C 的直角坐标方程，并求 M ，N 的极坐标．【解】由 ρcos (θ−π3)=1 得 ρ(12cosθ+√32sinθ)=1．从而 C 的直角坐标方程为 12x +√32y =1，即 x +√3y =2.θ=0 时，ρ=2，所以 M (2,0)． θ=π2 时，ρ=2√33，所以 N (2√33,π2)．课后练习1. 将函数 y =√x −2 的图象上所有点的横坐标伸长为原来的 3 倍（纵坐标不变）得到函数的图象．2. 如图，过点 A 作边长为 √3 的等边 △ABC ，BC 边上的高为 AD ．设 △ABC 的外接圆为圆 M ，现以顶点 A 为极点，以射线 AD 为极轴建立极坐标系，规定在极坐标系中，点 P 的极坐标 (ρ,θ) 满足：ρ⩾0，0⩽θ⩽2π，则图中，（1）点 C 的极坐标为；（2）圆 M 的极坐标方程为；（3）直线 BC 的极坐标方程为．3. 在同一坐标系中，将曲线 y =3sin2x 变为曲线 yʹ=sinxʹ 的伸缩变换是．4. 已知直线 l 的参数方程为 {x =4t y =1+3t （t 为参数），圆 C 的参数方程为 {x =2+cosθy =sinθ（θ为参数），则圆 C 上的点到直线 l 的距离的最大值为．5. 在极坐标系中，曲线 ρ=2 与 cosθ+sinθ=0(0⩽θ⩽π) 的交点的极坐标为．6. 已知直线 l 1 的参数方程为 {x =1+2t,y =3−2t, 则（1）直线 l 1 的倾斜角 α= ；（2）直线 l 1 与直线 l 2：{x =2−t,y =1−t 的交点坐标为；（3）点 P (−2,−1) 到直线 l 1 的距离为．7. 在极坐标系中，曲线 C 的极坐标方程为 ρsin (θ−π6)=3，点 A (2,π3) 到曲线 C 上点的距离的最小值．8. 在极坐标系 (ρ,θ)（0⩽θ⩽2π）中，曲线 ρ(cosθ+sinθ)=1 与 ρ(sinθ−cosθ)=1 的交点的极坐标为．9. 若直线 3x +4y +m =0 与圆 {x =1+cosθy =−2+sinθ（θ 为参数）没有公共点，则实数 m 的取值范围是．10. 将极坐标方程 ρ=cos (π4−θ) 化为直角坐标方程是．11. 在平面直角坐标系中，直线 l 的参数方程为 {x =t +3y =3−t （参数 t ∈R ），圆的参数方程为{x =2cosθy =2sinθ+1（参数 θ∈[0,2π)），则圆心到直线 l 的距离为． 12. 在平面直角坐标系中，已知直线 l 的参数方程为 {x =1+s,y =1−s,(s 为参数)，曲线 C 的参数方程为 {x =t +2,y =t 2,(t 为参数)，若直线 l 与曲线 C 交于 A 、 B 两点，则 ∣AB ∣= ( )13. 若点 P (x,y ) 在曲线 {x =−2+cosθ,y =sinθ（θ 为参数）上，则 yx 的取值范围是．14. 若圆 C 的参数方程为 {x =3cosθ+1,y =3sinθ.（θ 为参数），则圆 C 的圆心坐标为，圆 C与直线 x +y −3=0 的交点个数为．15. 曲线 {x =4cosθ,y =2√3sinθ（θ 为参数）上一点 P 到点 A (−2,0),B (2,0) 的距离之和为．16. 已知动直线 l 平分圆 C ：(x −2)2+(y −1)2=1 ，则直线 l 与圆 O ：{x =3cosθy =3sinθ ( θ 为参数)的位置关系是．17. 在直角坐标系 xOy 中，已知曲线 C 1: {x =t +1,y =1−2t （t 为参数）与曲线 C 2: {x =asinθ,y =3cosθ（θ 为参数，a >0）有一个公共点在 x 轴上，则 a = ．18. 在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为 {x =ty =t +1 (参数t ∈R) ，圆 C 的参数方程为{x =cosθ+1y =sinθ (参数θ∈[0,2π)) ，则圆心到直线 l 的距离是．19. 直线 {x =3+tsin40∘,y =−1+tcos40∘（t 为参数）的倾斜角为．20. 直线 {x =2−12t,y =−1+12t,（t 为参数）被圆 x 2+y 2=4 截得的弦长为．21. 已知椭圆 C 在直角坐标系下的方程为x 225+y 216=1，以原点为极点，以 x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，过椭圆 C 的右焦点，且垂直于 x 轴的直线的极坐标方程为．22. 在极坐标系中，直线 ρ(2cosθ+sinθ)=2 与直线 ρcosθ=1 的夹角大小为．（结果用反三角函数值表示）23. 已知曲线 C 的极坐标方程为 ρ(3cosθ−4sinθ)=1 ，则 C 与极轴的交点到极点的距离是．24. 在极坐标系中，点 (m,π6)(m >1) 到直线 ρcos (θ−π6)=3 的距离为 2，则 m 的值为．25. 在平面直角坐标系中，当 P (x,y ) 不是原点时，定义 P 的“伴随点”为 Pʹ(y x 2+y 2,−x x 2+y 2)；当 P 是原点时，定义 P 的“伴随点“为它自身，平面曲线 C 上所有点的“伴随点”所构成的曲线 Cʹ 定义为曲线 C 的“伴随曲线”．现有下列命题：①若点 A 的“伴随点”是点 Aʹ，则点 Aʹ 的“伴随点”是点 A ； ②单位圆的“伴随曲线”是它自身；③若曲线 C 关于 x 轴对称，则其“伴随曲线” Cʹ 关于 y 轴对称； ④一条直线的“伴随曲线”是一条直线．其中的真命题是（写出所有真命题的序号）．26. 在平面直角坐标系中，当 P (x,y ) 不是原点时，定义 P 的“伴随点”为 Pʹ(y x 2+y2,−x x 2+y 2)；当 P 是原点时，定义 P 的“伴随点“为它自身，现有下列命题： ①若点 A 的“伴随点”是点 Aʹ，则点 Aʹ 的“伴随点”是点 A ； ②单位圆上的点的“伴随点”仍在单位圆上；③若两点关于 x 轴对称，则他们的“伴随点”关于 y 轴对称； ④若三点在同一条直线上，则它们的“伴随点”一定共线．其中的真命题是（写出所有真命题的序号）．27. 在极坐标系中，曲线 C 1:ρ=2cosθ，曲线 C 2:θ=π4，若曲线 C 1 与 C 2 交于 A 、B 两点，则线段 AB = ．28. 在极坐标系中， O 是极点，设点 A(4,π3) ， B(5,−5π6) ，则 △OAB 的面积是．29. 极坐标系内，点 (1,π2) 到直线 ρcosθ=2 的距离是． 30. 过点 P (2,π3) 且平行于极轴的直线的极坐标方程是．31. 在直角坐标系 xOy 中，直线 l 的方程为 x −y +4=0 ，曲线 C 的参数方程为 {x =√3cosαy =sinα(α为参数) ． (1)已知在极坐标（与直角坐标系 xOy 取相同的长度单位，且以原点 O 为极点，以 x 轴正半轴为极轴）中，点 P 的极坐标为 (4,π2) ，判断点 P 与直线 l 的位置关系； (2)设点 Q 是曲线 C 上的一个动点，求它到直线 l 的距离的最小值．32. 在极坐标系中，已知圆 C 的方程是 ρ=4，直线 l 的方程是 ρsin (θ+π6)=3，求圆 C 上一点到直线 l 的距离的最大值．33. 在直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为 {x =3−√22t,y =√5−√22t (t 为参数). 在极坐标系（与直角坐标系 xOy 取相同的长度单位，且以原点 O 为极点，以 x 轴正半轴为极轴）中，圆 C 的方程为 ρ=2√5sinθ. (1)求圆 C 的直角坐标方程；(2)设圆 C 与直线 l 交于点 A 、 B ，若点 P 的坐标为 (3,√5) ，求 ∣PA ∣+∣PB ∣ ． 34. 在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C 1 的参数方程为 {x =cosφ,y =sinφ（φ 为参数），曲线 C 2 的参数方程为 {x =acosφ,y =bsinφ（a >b >0，φ 为参数）．在以 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线 l:θ=α 与 C 1，C 2 各有一个交点，当 α=0 时，这两个交点间的距离为 2，当 α=π2 时，这两个交点重合．(1)分别说明 C 1，C 2 是什么曲线，并求出 a 与 b 的值；(2)设当 α=π4时，l 与 C 1，C 2 的交点分别为 A 1，B 1，当 α=−π4时，l 与 C 1，C 2 的交点分别为 A 2，B 2，求四边形 A 1A 2B 2B 1 的面积．35. 由抛物线 y 2=2x 上各点作 y 轴的垂线段，求线段中点的轨迹方程（参数形式）． 36. 化圆锥曲线的极坐标方程 ρ=ep1−ecosθ 为直角坐标方程．。

高考数学二轮复习坐标系与参数方程学案(全国通用)

参数方程• 曲线的参数方程定义设平面上取定了一个直角坐标系 xOy ，把坐标 x ，y 表示为第三个变量 t 的函数{x =f (t )y =g (t )a ⩽t ⩽b. ② 如果对于 t 的每一个值（a ⩽t ⩽b ），② 式所确定的点 M (x,y ) 都在一条曲线上；而这条曲线上的任一点 M (x,y )，都可由 t 的某个值通过 ② 式得到，则称 ② 式为该曲线的参数方程，其中变量 t 称为参数． • 直线的参数方程直线的参数方程的一般形式是 {x =x 0+lty =y 0+mt ,t ∈R ．• 圆的参数方程若圆心在点 M 0(x 0,y 0)，半径为 R ，则圆的参数方程为 {x =x 0+Rcosθy =y 0+Rsinθ,0⩽θ⩽2π．• 椭圆的参数方程设椭圆的普通方程为 x 2a +y 2b=1，则椭圆的参数方程为 {x =acosty =bsint 0⩽t ⩽2π.若椭圆的中心不在原点，而在点 M 0(x 0,y 0)，相应的椭圆的参数方程为{x =x 0+acost y =y 0+bsint,0⩽<t ⩽2π.• 抛物线的参数方程设抛物线的普通方程为 y 2=2px ，则抛物线的参数方程为 {x =2pt 2y =2pt．• 双曲线的参数方程设双曲线的普通方程为 x 2a2−y 2b 2=1，则双曲线的参数方程为 {x =asecθy =btanθ．• 摆线的参数方程一圆周沿一直线作无滑动滚动时，圆周上的一定点 M 的轨迹称为摆线．如下图，设半径为 a 的圆在 x 轴上滚动，开始时定点 M 在原点 O 处．取圆滚动时转过的角度 t （以弧度为单位）为参数．当圆滚过 t 角时，圆心为 B ，圆与 x 轴的切点为 A ，定点 M 的位置如图所示，∠ABM =t设动点 M 的坐标为 (x,y )，则所得摆线的参数方程为{x =a (t −sint )y =a (1−cost )极坐标与极坐标方程• 极坐标系在平面上取一个定点 O ，由 O 点出发的一条射线 Ox ，一个长度单位及计算角度的正方向（通常取逆时针方向），合称为一个极坐标系．O 点称为极点，Ox 称为极轴．平面任一点 M 的位置可以由线段 OM 的长度 ρ 和从 Ox 到 OM 的角度 θ 来刻画．这两个数组成的有序数对 (ρ,θ) 称为点 M 的极坐标．ρ 称为极径，θ 称为极角．在极坐标系 (ρ,θ) 中，一般限定 ρ⩾0．当 ρ=0 时，就与极点重合，此时 θ 不确定．给定点的极坐标 (ρ,θ)，就唯一地确定了平面上的一个点．但是，平面上的一个点的极坐标并不是唯一的，它有无穷多种表示形式．事实上，(ρ,θ) 和 (ρ,θ+2kπ) 代表同一个点，其中 k 为整数．可见，平面上的点与它的极坐标不是一一对应关系．这是极坐标与直角坐标的不同之处，如果限定 ρ⩾0，0⩽θ⩽2π，则除极点外，平面上的点就与它的极坐标系构成一一对应关系．若 ρ<0，此时极坐标 (ρ,θ) 对应的点 M 的位置按下面规则确定：点 M 在与极轴成 θ 角的射线的反向延长线上，它到极点 O 的距离为 ∣ρ∣，即规定当 ρ<0 时，点 M (ρ,θ) 就是点 M (−ρ,θ+π)．• 极坐标与直角坐标的关系设 M 为平面上的一点，它的直角坐标系为 (x,y )，极坐标为 (ρ,θ)．则有 {x =ρcosθy =ρsinθ 或 {ρ2=x 2+y 2tanθ=yx(x ≠0)，ρ<0 也成立． • 曲线的极坐标方程在给定的平面上的极坐标系下，有一个二元方程 F (ρ,θ)=0．如果曲线 C 是由极坐标 (ρ,θ) 满足方程的所有点组成的，则称此二元方程 F (ρ,θ)=0 为曲线 C 的极坐标方程．圆心在极轴上的点 (a,0) 处，且过极点的圆，其极坐标方程是 ρ=2acosθ,−π2⩽θ⩽π2；圆心在点 (a,π2) 处且过极点的圆，其极坐标方程是 ρ=2asinθ，0⩽θ⩽π．精选例题坐标系与参数方程1. 圆 C:{x =1+cosθ,y =sinθ（θ 为参数）的圆心到直线 l:{x =−2√2+3t,y =1−3t （t 为参数）的距离为．【答案】 22. （坐标系与参数方程）在极坐标系中，直线 l 过点 (1,0) 且与直线 θ=π3(ρ∈R ) 垂直，则直线 l 极坐标方程为．【答案】 ρcosθ+√3ρsinθ=13. 在极坐标系中，过点 M (√2,π4) 的直线 l 与极轴的夹角 α=π3，l 的极坐标方程为．【答案】 √3ρcosθ−ρsinθ−√3+1=0【分析】依题意得直线 l 的斜率为 √3，其直角坐标方程是 y −1=√3(x −1)，即 √3x +y −√3+1=0，其极坐标方程为 √3ρcosθ−ρsinθ−√3+1=0．4. 在直角坐标系 xOy 中，以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知两点的极坐标为 A (2,π3),B (4,2π3)，则直线 AB 的直角坐标方程为．【答案】 x +√3y −4=0【分析】两点的极坐标为 A (2,π3)，B (4,2π3)，化为直角坐标 A(1,√3)，B(−2,2√3)．斜率 k =2√3−√3−2−1=−√33．所以直线 AB 的直角坐标方程为 y −√3=−√33(x −1)，化为 x +√3y −4=0．5. 点 (2,3) 经过伸缩变换 {2xʹ=x,yʹ=3y 后得到点的坐标为．【答案】 (1,9)【分析】由伸缩变换公式 {2xʹ=x,yʹ=3y 得 {xʹ=12x =1,yʹ=3y =9.6. 已知椭圆 C 在直角坐标系下的方程为x 225+y 216=1，以原点为极点，以 x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，以椭圆 C 的左焦点为圆心，且过椭圆中心的圆的极坐标方程为．【答案】 ρ=−6cosθ7. 在同一平面直角坐标系中，将曲线 x 2−36y 2−8x +12=0 变成曲线 xʹ2−yʹ2−4xʹ+3=0，则满足条件的伸缩变换是．【答案】 {xʹ=x2,yʹ=3y【分析】 x 2−36y 2−8x +12=0 可化为 (x−42)2−9y 2=1. ① xʹ2−yʹ2−4xʹ+3=0 可化为 (xʹ−2)2−yʹ2=1. ②比较①②，可得 {xʹ−2=x−42,yʹ=3y即{xʹ=x2,yʹ=3y.8. 极坐标方程分别为 ρ=2cosθ 和 ρ=sinθ 的两个圆的圆心距为．【答案】 √529. 在极坐标系中，直线 l:ρcosθ=12与曲线 C:ρ=2cosθ 相交于 A ，B 两点，O 为极点．则∠AOB 的大小是．【答案】 2π310. 将椭圆x 225+y 29=1 按 φ：{xʹ=15x,yʹ=13y变换后的曲线围成图形的面积为．【答案】 π【分析】设椭圆x 225+y 29=1 上任意一点的坐标为 P (x,y )，按 φ 变换后的对应的坐标为Pʹ(xʹ,yʹ)，由 φ:{xʹ=x5,yʹ=y 3得 {x =5xʹ,y =3yʹ 带入椭圆方程得 xʹ2+yʹ2=1，为单位圆，面积为 π．11. 直线 x −y +1=0 与直线 3x −y −1=0 交于点 P ，与曲线 C {x =5cosθ,y =3sinθ 交于点 A ，B ，求 ∣PA ∣ 与 ∣PB ∣ 的乘积．【解】联立两条直线的方程，得{x −y +1=0,3x −y −1=0,故点 P 坐标为 (1,2)，直线 PA 的倾斜角为 π4，故直线 PA 的参数方程为 {x =1+√22t,y =2+√22t.由曲线 C 的参数方程得其普通方程为 x 225+y 29=1．把 PA 的参数方程代入曲线 C 的普通方程，有 9(1+√22t)2+25(2+√22t)2=225，即 17t 2+59√2t −116=0，则 t A t B =−11617．故 ∣PA ∣∣PB ∣=11617．12. 建立极坐标系证明：已知半圆直径 ∣AB∣=2r （r >0），半圆外一条直线 l 与 AB 所在直线垂直相交于点 T ，并且 ∣AT∣=2a (2a <r2)．若半圆上相异两点 M ，N 到 l 的距离 ∣MP ∣，∣NQ∣∣ 满足 ∣MP∣:∣MA∣=∣NQ∣∣:∣NA∣=1，则 ∣MA∣+∣NA∣=∣AB∣．【解】以 A 为极点，射线 AB 为极轴建立极坐标系，则半圆的极坐标方程为 ρ=2rcosθ．设 M (ρ1,θ1)，N (ρ2,θ2)，则 ρ1=2rcosθ1，ρ2=2rcosθ2，又 ∣MP∣=2a +ρ1cosθ1=2a +2rcos 2θ1，∣NQ∣∣=2a +ρ2cosθ2=2a +2rcos 2θ2，所以 ∣MP∣=2a +2rcos 2θ1=2rcosθ1，所以 ∣NQ∣∣=2a +2rcos 2θ2=2rcosθ2，所以 cosθ1，cosθ2 是方程 rcos 2θ−rcosθ+a =0 的两个根，由韦达定理得 cosθ1+cosθ2=1，所以 ∣MA∣+∣NA∣=2rcosθ+2rcosθ2=2r =∣AB∣．13. 已知椭圆x 24+y 23=1，过左焦点 F 的直线 l 交此椭圆于 A ，B 两点，y A >y B ，且 ∣FA ∣=2∣FB ∣，求直线 l 的方程及 ∣AB ∣ 的长．【解】解法一：由椭圆 x 24+y 23=1 可得椭圆的左焦点 F 的坐标为 (−1,0)，则设直线 AB 的参数方程为 {x =−1+tcosα,y =tsinα,α 为直线 AB 的倾斜角．又点 A ，B 在椭圆上，故 t A ，t B 满足 3(−1+tcosα)2+4(tsinα)2=12，即 (3cos 2α+4sin 2α)t 2−6tcosα−9=0．则 t A +t B =6cosα3cos 2α+4sin 2α，t A t B =−93cos 2α+4sin 2α．因为 ∣FA ∣=2∣FB ∣，所以 t A =−2t B ，所以 −t B =6cosα3cos 2α+4sin 2α，−2t B 2=−93cos 2α+4sin 2α，2(6cosα3cos 2α+4sin 2α)2=93cos 2α+4sin 2α，即 8cos 2α=3cos 2α+4sin 2α，则 tan 2α=54．因为 y A >y B 且 ∣FA ∣=2∣FB ∣，故直线 l 的方程为 y =√52(x +1)．线段 AB 长度的计算见解法二．解法二：以椭圆的左焦点 F 为极点，以 x 轴的正方向为极轴建立极坐标系，则椭圆x 24+y 23=1 对应的极坐标方程为 ρ=32−cosθ．依题意，设 A ，B 两点的极坐标分别为 (ρA ,θ)，(ρB ,π+θ)，则 0<θ<π2，ρA =2ρB ． 32−cosθ=62+cosθ．则 cosθ=23．所以 tanθ=√52，ρA =32−23=94，ρB =32+23=98．故 ∣AB ∣=ρA +ρB =278，直线 l 的方程为 y =√52(x +1)．14. 设抛物线 y 2=2px 过顶点的两弦 OP 1，OP 2 互相垂直，求以 OP 1，OP 2 为直径的两圆的另一个交点 Q 的轨迹方程．【解】设抛物线 y 2=2px 的参数方程为 {x =2pt 2,y =2pt.则 P 1，P 2 两点的坐标分别设 (2pm 2,2pm )，(2pn 2,2pn )．因为 OP 1，OP 2 互相垂直，故 mn =−1．以 OP 1 为直径的圆的方程为 x (x −2pm 2)+y (y −2pm )=0，即 x 2−2pxm 2+y 2−2pym =0．以 OP 2 为直径的圆的方程为 x (x −2pn 2)+y (y −2pn )=0，即 x 2−2pxn 2+y 2−2pyn =0．设以 OP 1，OP 2 为直径的两圆的另一个交点 Q 的坐标为 (x 0,y 0)，则其满足x 02−2px 0m 2+y 02−2py 0m =0，x 02−2px 0n 2+y 02−2py 0n =0，故 m ，n 是方程 x 02−2px 0x 2+y 02−2py 0x =0 的两个根．由根与系数的关系，得 mn =x 02+y 02−2px 0=−1．故所求动点 Q 的轨迹方程为 x 2+y 2−2px =0(x ≠0)．15. 在极坐标中，已知圆 C 经过点 P(√2,π4) ，圆心为直线 ρsin(θ−π3)=−√32与极轴的交点，求圆 C 的极坐标方程．【解】在 ρsin(θ−π3)=−√32中，令 θ=0 ，得 ρ=1 ，所以圆 C 的圆心坐标为 (1，0) ．因为圆 C 经过点 P(√2，π4) ，所以圆 C 的半径PC =√(√2)2+12−2×1×√2cosπ4=1, 于是圆 C 过极点，所以圆 C 的极坐标方程为 ρ=2cosθ ．16. 已知直线 C 1:{x =1+tcosα,y =tsinα(t 为参数)，圆 C 2:{x =cosθ,y =sinθ(θ 为参数)．(1)当 α=π3 时，求 C 1 与 C 2 的交点坐标；【解】当 α=π3 时，C 1 的普通方程为 y =√3(x −1), C 2 的普通方程为 x 2+y 2=1.联立方程组{x 2+y 2=1,y =√3(x −1),解得 C 1 与 C 2 的交点为(1,0) 和 (12,−√32).(2)过坐标原点 O 作 C 1 的垂线，垂足为 A ，P 为 OA 的中点，当 α 变化时，求点 P 轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线．【解】当 α≠kπ2,k ∈Z 时，C 1 的普通方程为y =(x −1)tanα,设 P (x,y )，则 A (2x,2y )，根据 A 在 C 1 上及 OA 垂直于 C 1 得{2y =(2x −1)tanα,2y 2x =−1tanα, 消去 tanα 并整理，得 P 点轨迹的普通方程为(x −14)2+y 2=116.当 α=kπ2,k ∈Z 时，仍适合上述方程．故 P 点是圆心为 (14,0)，半径为 14的圆．17. 在直角坐标系 xOy 中，圆 C 1:x 2+y 2=4，圆 C 2:(x −2)2+y 2=4．(1)在以 O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆 C 1 、 C 2 的极坐标方程，并求出圆 C 1，C 2 的交点坐标（用极坐标表示）；【解】圆 C 1 的极坐标方程为 ρ=2, 圆 C 2 的极坐标方程为 ρ=4cosθ.解方程组{ρ=2,ρ=4cosθ,得ρ=2,θ=±π3,故圆 C 1 与圆 C 2 交点的坐标为 (2,π3),(2,−π3)．注：极坐标系下点的表示不唯一． (2)求圆 C 1 与 C 2 的公共弦的参数方程．【解】解法一：由{x =ρcosθ,y =ρsinθ,得圆 C 1 与 C 2 交点的直角坐标分别为(1,√3),(1,−√3).故圆 C 1 与 C 2 的公共弦的参数方程为 {x =1,y =t.其中 −√3⩽t ⩽√3.解法二：将 x =1 代入 {x =ρcosθ,y =ρsinθ, 得ρcosθ=1, 从而ρ=1cosθ. 于是圆 C 1 与 C 2 的公共弦的参数方程为 {x =1,y =tanθ,其中 −π3⩽θ⩽π3.18. 在平面直角坐标系 xOy 中，求过椭圆 {x =5cosφy =3sinφ(φ为参数) 的右焦点，且与直线{x =4−2t y =3−t (t 为参数) 平行的直线的普通方程．【解】椭圆的普通方程为x 225+y 29=1, 右焦点为 (4,0) ；直线的普通方程为 2y −x =2，斜率为 12 ；故所求直线方程为y =12(x −4),即x −2y −4=0.19. 已知在直角 xOy 坐标系中，圆 C 的参数方程为 {x =3+2cosθy =−4+2sinθ（θ 为参数）．(1)以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求圆 C 的极坐标方程；【解】圆 C 的参数方程为 {x =3+2cosθy =−4+2sinθ（θ 为参数），所以普通方程为 (x −3)2+(y +4)2=4，圆 C 化为极坐标方程：ρ2−6ρcosθ+8ρsinθ+21=0．(2)已知 A (−2,0)，B (0,2)，圆 C 上任意一点 M (x,y )，求 △ABC 面积的最大值．【解】点 M (x,y ) 到直线 AB ：x −y +2=0 的距离为d =√2△ABM 的面积S =12×∣AB ∣×d =∣2cosθ−2sinθ+9∣=∣2√2sin (π4−θ)+9∣所以 △ABM 面积的最大值为 9+2√2．20. 一个圆形体育馆，自正东方向起，按逆时针方向等分为十六个扇形区域，顺次记为一区，二区 ⋯ 十六区，我们设圆形体育场第一排与体育中心的距离为 200 m ，每相邻两排的间距为 1 m ，每层看台的高度为 0.7 m ，现在需要确定第九区第四排正中的位置 A ，请建立适当的坐标系，把点 A 的坐标求出来．【解】以圆形体育场中心 O 为极点，选取以 O 为端点且过正东入口的射线 Ox 为极轴，在地面上建立极坐标系，则点 A 与体育场中轴线 Oz 的距离为 203 m ，极轴 Ox 按逆时针方向旋转 17π16，就是 OA 在地平面上的射影，A 距地面的高度为 2.8 m ，因此我们可以用柱坐标来表示点 A 的准确位置．所以点 A 的柱坐标为 (203,17π16,145)．参数方程1. 已知两曲线参数方程分别为 {x =√5cosθ,y =sinθ(0⩽θ<π) 和 {x =54t 2,y =t (t ∈R )，它们的交点坐标为．【答案】 (1,2√55)【分析】 {x =√5cosθy =sinθ 表示椭圆 x 25+y 2=1（−√5<x ⩽√5, 且 0⩽y ⩽1）；{x =54t2y =t 表示抛物线 y 2=45x ．椭圆方程与抛物线方程联立解方程组即得．2. 已知曲线 C 1:{x =3+2cosθy =2+2sinθ(θ 为参数)，曲线 C 2:{x =1+3ty =1−4t (t 为参数)，则 C 1 与 C 2 的位置关系为．【答案】相离3. 若圆 M 的方程为 x 2+y 2=4，则圆 M 的参数方程为．【答案】 {x =2cosαy =2sinα（α 为参数）答案不唯一4. 在平面直角坐标系中，曲线 C 的参数方程为 {x =1+3cosαy =3sinα(α为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为，ρcos (θ−π4)=√22m ，若曲线 C 上恰有 3 个点到直线 l 的距离等于 1，则实数 m = ．【答案】 1±2√2【分析】曲线 C 的方程化为 (x −1)2+y 2=9，圆心 (1,0)，r =3，直线 l 的方程化为 x +y −m =0．若曲线 C 上恰有 3 个点到直线 l 的距离等于 1，则圆心到直线 l 的距离等于 2，即 √2=2，所以 m =1±2√2．5. 双曲线 {x =2+3tanφ,y =secφ(φ为参数) 的渐近线方程为________．【答案】 y =±13(x −2)6. （参数方程与极坐标）已知在直角坐标系中曲线 C 1 的参数方程为 {x =t +1t,y =t 2+1t 2（t 为参数且 t ≠0），在以原点 O 为极点，以 x 轴正半轴为极轴建立的极坐标系中曲线 C 2 的极坐标方程为 θ=π4(ρ∈R )，则曲线 C 1 与 C 2 交点的直角坐标为．【答案】 (2,2)【分析】由 ∣x ∣=∣t +1t ∣=∣t ∣+1∣t∣⩾2 及 {x =t +1t ,y =t 2+1t 2，得 C 1:y =x 2−2(∣x ∣⩾2)．由 θ=π4(ρ∈R )，得 C 2:y =x ．联立 C 1 与 C 2 的方程，解得交点的坐标为 (2,2)．7. 直线的参数方程为 {x =2+12t,y =3+√32t（t 为参数），则它的斜截式方程为．【答案】 y =√3x +3−2√38. 圆 C:{x =2cosθy =1+2sinθ（θ 为参数）的圆心坐标为；直线 l:y =2x +1 被圆 C 所截得的弦长为．【答案】 (0,1)；49. 在平面直角坐标系中，已知曲线 c:{x =−2+cosθy =sinθ ( θ 为参数， θ∈[π2,3π2] )，则曲线 c关于 y =x 对称的曲线方程是．【答案】 x 2+(y +2)2=1(−3⩽y ⩽−2)10. 曲线 {x =t 2−1y =2t +1（t 为参数）的焦点坐标是．【答案】 (0,1)【分析】曲线化为一般式方程为 (y −1)2=4(x +1)，令 y −1=m ，x +1=n ，则原式可化为 m 2=4n ，此时焦点为 (1,0)，即 x +1=1，y −1=0，得 x =0，y =1，所以该曲线的焦点为 (0,1)．11. 设直线 l 1 过点 (1,−2)，倾斜角为 π4．直线 l 2：x +2y −4=0． (1)写出直线 l 1 的一个参数方程；【解】由题意得直线 l 1 的方程为 y +2=x −1．设 y +2=x −1=t ，得 {x =1+t,y =−2+t（t 为参数），即为 l 1 的参数方程．(2)求直线 l 1 与 l 2 的交点．【解】将 {x =1+t,y =−2+t 代人 x +2y −4=0，得 (1+t )+2(−2+t )−4=0，所以 t =73．所以 {x =1+t =103,y =−2+t =13.即 l 1 与 l 2 的交点为 (103,13)．12. 当 φ=π2，π 时，求出渐开线 {x =cosφ+φsinφ,y =sinφ−φcosφ(φ为参数) 上的对应点 A ，B ，并求出 A ，B 间的距离．【解】将 φ=π2 代入 {x =cosφ+φsinφ,y =sinφ−φcosφ,得 x =cos π2+π2sin π2=π2，y =sin π2−π2cos π2=1．所以 A (π2,1)．将 φ=π 代入 {x =cosφ+φsinφ,y =sinφ−φcosφ,得 x =cosπ+πsinπ=−1，y =sinπ−πcosπ=π．所以 B (−1,π)．故 A ，B 间的距离为∣AB ∣=√(1−π)2+(π2+1)2=√54π2−π+2．13. 在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为 {x =1−12ty =√32t （t 为参数）．以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆 C 的方程为 ρ=2√3sinθ． (1)写出直线 l 的普通方程和圆 C 的直角坐标方程；【解】消去参数得直线 l 的普通方程为 √3x +y −√3=0，由 ρ=2√3sinθ 得圆 C 的直角坐标方程 x 2+y 2−2√3y =0．(2)若点 P 的直角坐标为 (1,0)，圆 C 与直线 l 交于 A,B 两点，求 |PA|+|PB| 的值．【解】由直线 l 的参数方程可知直线过点 P ，把直线 l 的参数方程代入圆 C 的直角坐标方程 x 2+y 2−2√3y =0，得 (1−12t)2+(√32t−√3)2=3，化简得 t 2−4t +1=0，因为 Δ=12>0，故设 t 1，t 2 是上述方程的两个实数根，所以 t 1+t 2=4，t 1t 2=1， A,B 两点对应的参数分别为 t 1，t 2，所以 |PA|+|PB|=|t 1|+|t 2|=t 1+t 2=4．14. 边长为 a 的等边三角形 ABC 的两个端点 A 、 B 分别在 x 轴、 y 轴两正半轴上移动，顶点 C 和原点 O 分别在 AB 两侧，记 ∠CAx =α，求顶点 C 的轨迹的参数方程．【解】过点 C 作 CD ⊥x 轴于点 D ，设点 C 的坐标为 (x,y )．则由 {x =OA +AD,y =DC,得 {x =acos (2π3−α)+acosα,y =asinα（α 为参数），即为顶点 C 的轨迹方程．15. 已知定直线 l 和线外一点 O ，Q 为直线 l 上一动点，△OQP 为正三角形（按逆时针方向转，如图所示），求点 P 的轨迹方程．【解】以 O 点为原点，过点 O 作 l 的垂线为 x 轴建立直角坐标系．设点 O 到直线 l 的距离为 d （为定值，且 d >0），取 ∠NOQ =θ（θ 为参数），θ∈(−π2,π2)．设动点 P (x,y )，在 Rt △OQN 中，∵∣OQ∣∣=d cosθ，∣OP∣=∣OQ∣∣，∠NOP =θ+π3， ∴x =∣OP∣cos (π3+θ)=d cosθ⋅cos (π3+θ)=(12−√32tanθ)⋅d ，y =∣OP∣⋅sin (π3+θ)=dcosθ⋅sin (π3+θ)=(√32+12tanθ)⋅d ．∴ 点 P 的参数方程为 {x =(12−√32tanθ)d,y =(√32+12tanθ)d (−π2<θ<π2)．消去参数 θ，得普通方程为 x +√3y −2d =0．16. 已知曲线 C 1：{x =2cosθ,y =2sinθ（θ 为参数），曲线 C 2：{x =1+tcosα,y =−1+tsinα（t 为参数）(1)若 α=π4，求曲线 C 2 的普通方程，并说明它表示什么曲线；【解】因为 α=π4，所以 {x =1+√22t,y =−1+√22t（t 为参数），所以 x −1=y +1，所以曲线 C 2 的普通方程是 y =x −2，它表示过点 (1,−1)，倾斜角为 π4 的直线． (2)曲线 C 1 和曲线 C 2 的交点分别记为 M ，N ，求 ∣MN∣ 的最小值．【解】曲线 C 1 的普通方程为 x 2+y 2=4．将 {x =1+tcosα,y =−1+tsinα（t 为参数）代入 x 2+y 2=4 中得 (1+tcosα)2+(−1+tsinα)2=4，则 t 2+2(cosα−sinα)t −2=0，设 t 1，t 2 为方程的两个根，则有 ∣MN∣=∣t 1−t 2∣=√(t 1+t 2)2−4t 1t 2=√4(cosα−sinα)2+8=√12−4sin2α，所以当 sin2α=1 时，∣MN∣ 的最小值为 2√2．17. 在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为 {x =12t 2y =14t （t 为参数），若曲线 C 与直线l ：y =12x 相交于 A ，B 两点，求线段 AB 的长．【解】将曲线 C 的参数方程 {x =12t 2y =14t 化为普通方程得 x =8y 2，由方程组 {x =8y 2x =2y ，解得 {x =0y =0 或 {x =12y =14．所以 A (0,0)，B (12,14) 或 A (12,14)，B (0,0)，所以 AB =√(12)2+(14)2=√54．18. 设圆的半径为 4，沿 x 轴正向滚动，开始时圆与 x 轴相切于原点 O ，记圆上动点为 M ，它随圆的滚动而改变位置，写出圆滚动一周时 M 点的轨迹方程，画出相应曲线，求此曲线上纵坐标 y 的最大值．【解】依题意可知，轨迹是摆线，其参数方程为 {x =4(φ−sinφ),y =4(1−cosφ)(φ为参数且0⩽φ⩽2π)．其曲线是摆线的第一拱 (0⩽φ⩽2π)，如下图所示：易知，当 x =4π 时，y 有最大值 8．19. 已知 acosα+bsinα=c ，acosβ+bsinβ=c ，(ab ≠0,α−β≠kπ,k ∈Z )，求证：cos 2α−β2=c 2a 2+b 2．【解】设直线 l:ax +by =c ，圆 C:{x =cosθy =sinθ，则A (cosα,sinα)，B (cosβ,sinβ) 是直线 l 与圆C 的两个交点，设 OM ⊥AB 于 M ．从而∣AB ∣2=(cosα−cosβ)2+(sinα−sinβ)2=2−2cos (α−β);又 OM =√a 2+b 2；OM 2+(12AB)2=OA 2，所以 c 2a 2+b 2+2−2cos (α−β)4=1，整理得 1+cos (α−β)2=c 2a 2+b 2，即 cos 2α−β2=c 2a 2+b 2．20. 平面直角坐标系中，若圆的摆线过点 (1,0)，求这条摆线的参数方程．【解】令 r (1−cosφ)=0，可得 cosφ=1，所以 φ=2kπ(k ∈Z ) 代入可得 x =r (2kπ−sin2kπ)=1．所以 r =12kπ．又根据实际情况可知 r 是圆的半径，故 r >0．所以应有 k >0 且 k ∈Z ，即 k ∈N ∗．所以所求摆线的参数方程是 {x =12kπ(φ−sinφ),y =12kπ(1−cosφ)（φ 为参数）（其中 k ∈N ∗）．极坐标与极坐标方程1. 在极坐标系中，点 (√2,π4) 到圆 ρ=2cosθ 的圆心的距离为．【答案】 12. 已知两点的极坐标 A (3,π2)，B (3,π6)，则 ∣∣AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣= ，BA ⃗⃗⃗⃗⃗ 与极轴正方向所夹角的大小为．【答案】 3；5π63. 在极坐标系中，曲线 C 1:ρ(√2cosθ+sinθ)=1 与曲线 C 2:ρ=a (a >0) 的一个交点在极轴上，则 a = ．【答案】 √224. 圆 ρ=2cosθ 的半径是．【答案】 15. 若曲线的极坐标方程为 ρ=2sinθ+4cosθ ，以极点为原点，极轴为 x 轴正半轴建立直角坐标系，则该曲线的直角坐标方程为．【答案】 x 2+y 2−4x −2y =06. 在极坐标系中，直线 l 过点 A (3,π3)，B (3,π6)，则直线 l 向上的方向与极轴正方向的夹角等于．【答案】 3π47. 在极坐标系 (ρ,θ) (0⩽θ<2π) 中，曲线 ρ=2sinθ 与 ρcosθ=−1 的交点的极坐标为．【答案】(√2,34π)【分析】两条曲线ρ=2sinθ与ρcosθ=−1的普通方程分别为x2+y2=2y与x=−1，交点坐标为(−1,1)，对应的极坐标为(√2,34π)．8. 已知曲线C的参数方程为{x=2+cosθ，y=sinθ（θ为参数），则曲线上C的点到直线3x−4y+4=0的距离的最大值为．【答案】3【分析】曲线上C的点到直线d=∣∣√32+42∣∣=∣∣10+3cosθ−4sinθ5∣∣⩽3，距离的最大值为3．9. 极坐标方程ρ=cos(π4−θ)所表示的曲线是．【答案】圆10. 如图所示的极坐标系中，以M(4,π6)为圆心，半径r=1的圆M的极坐标方程是．【答案】ρ2−8ρcos(θ−π6)+15=0【分析】依题意，题中的圆M的圆心的直角坐标是(2√3,2)，因此圆M的直角坐标方程是(x−2√3)2+(y−2)2=1，即x2+y2−4√3x−4y+15=0，相应的极坐标方程是ρ2−4√3ρcosθ−4ρsinθ+15=0，即ρ2−8ρcos(θ−π6)+15=0．(1)求过A(2,π4)平行于极轴的直线的极坐标方程；【解】如图所示，在直线 l 上任意取点 M (ρ,θ)．因为 A (2,π4)，所以 ∣MH ∣=2⋅sin π4=√2．在 Rt △OMH 中，∣MH∣=∣OM∣sinθ，即 ρsinθ=√2，所以过 A (2,π4) 平行于极轴的直线方程为 ρsinθ=√2．(2)直线 l 过点 A (3,π3)，且向上的方向与极轴正方向成 3π4，求直线 l 的极坐标方程．【解】如图所示，A (3,π3)，∣OA∣=3，∠AOB =π3，由已知 ∠MBx =3π4，所以 ∠OAB =3π4−π3=5π12．所以 ∠OAM =π−5π12=7π12．又 ∠OMA =∠MBx −θ=3π4−θ，在三角形 MOA 中，根据正弦定理，得 3sin(3π4−θ)=ρsin7π12．因为 sin 7π12=sin (π4+π3)=√2+√64，将 sin (3π4−θ) 展开，化简上面的方程，可得 ρ(sinθ+cosθ)=3√32+32．所以，过 A (3,π3) 且和极轴成 3π4 的直线方程为 ρ(sinθ+cosθ)=3√32+32．12. 在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 1 的参数方程为 {x =t 2,y =t （t 为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 2 的极坐标方程为 ρ2+2ρcosθ−4=0． (1)把 C 1 的参数方程化为极坐标方程；【解】曲线 C 1 的参数方程为 {x =t 2,y =t（t 为参数）普通方程为 y 2=x ，将 {x =ρcosθ,y =ρsinθ代入上式化简得 ρsin 2θ=cosθ，即 C 1 的极坐标方程为 ρsin 2θ−cosθ=0．(2)求 C 1 与 C 2 交点的极坐标（ρ⩾0，0⩽θ<2π）．【解】曲线 C 2 的极坐标方程 ρ2+2ρcosθ−4=0 化为平面直角坐标方程为 x 2+y 2+2x −4=0，将 y 2=x 代入上式得 x 2+3x −4=0，解得 x =1，x =−4（舍去）．当 x =1 时，y =±1，所以 C 1 与 C 2 交点的平面直角坐标为 A (1,1)，B (1,−1)．因为 ρA =√1+1=√2，ρB =√1+1=√2，tanθA =1，tanθB =−1，ρ⩾0，0⩽θ<2π，所以 θA =π4，θB =7π4，故 C 1 与 C 2 交点的极坐标 A (√2,π4)，B (√2,7π4)．13. 在直角坐标系 xOy 中，以 O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立直角坐标系，曲线 C 1 的参数方程为 {x =2cosα+√3,y =2sinα+1.（α 为参数），曲线 C 2 的极坐标方程为 ρ=2cosθ．(1)求曲线 C 1 的极坐标方程；【解】由 {x =2cosα+√3,y =2sinα+1. 得 {x −√3=2cosα,y −1=2sinα.C 2 的直角坐标方程是 (x −√3)2+(y −1)2=4，即 x 2+y 2−2√3x −2y =0，由 ρ2=x 2+y 2，x =ρcosθ，y =ρsinθ 得曲线 C 2 的极坐标方程 ρ2=2ρ(√3cosθ+sinθ)， ρ=4cos (θ−π6)．(2)若射线 θ=π6(ρ⩾0) 交曲线 C 1 和 C 2 于 A ，B （A ，B 异于原点），求 ∣AB ∣．【解】设 A (ρ1,θ1)，B (ρ2,θ2)，将 θ=π6 代入曲线 C 1 的极坐标方程 ρ=4cos (θ−π6) 得 ρ1=4，同理将 θ=π6代入曲线 C 2 的极坐标方程 ρ=2cosθ 得 ρ2=√3，所以 ∣AB ∣=∣ρ1−ρ2∣=4−√3．14. 某大学校园的部分平面示意图如图所示．用点 O ，A ，B ，C ，D ，E ，F 分别表示校门、器材室、公寓、教学楼、图书馆、车库、花园，建立适当的极坐标系，写出各点的极坐标（限定 ρ⩾0，0⩽θ<2π 且极点为 (0,0)）【解】以点O为极点，OA所在的射线为极轴Ox（单位长度为1 m），建立极坐标系，如图所示．由∣OB∣=600 m，∠AOB=30∘，∠OAB=90∘，得∣AB∣=300 m，∣OA∣=300√3 m，同样求得∣OD∣=2∣OF∣=300√2 m，所以各点的极坐标分别为O(0,0)，A(300√3,0)，B(600,π6)，C(300,π2)，D(300√2,3π4)，E(300,π)，F(150√2,3π4)．15. 在极坐标系中，已知圆C的圆心为C(3,π6)，半径为1，Q点在圆周上运动，O为极点． (1)求圆C的极坐标方程；【解】如图所示，设 M (ρ,θ) 为圆 C 上任意一点，在 △COM 中，∣CM∣=1，∠COM =∣∣θ−π6∣∣，根据余弦定理得1=ρ2+9−2⋅ρ⋅3⋅cos ∣∣∣θ−π6∣∣∣, 化简整理得 ρ2−6⋅ρ⋅cos (θ−π6)+8=0，即为圆 C 的极坐标方程． (2)若 P 在直线 OQ 上运动，且满足 ∣OQ∣∣QP∣=23，求动点 P 的轨迹方程．【解】设 Q (ρ1,θ1)，则有ρ12−6⋅ρ1cos (θ1−π6)+8=0. ⋯⋯①设 P (ρ,θ)，则∣OQ∣∣:∣QP∣∣=ρ1:(ρ−ρ1)=2:3 或 ∣∣OQ∣∣:∣QP∣∣=ρ1:(ρ1+ρ)=2:3, 当 ρ1=25ρ 时，又 θ1=θ，即 {ρ1=25ρ,θ1=θ, 代入 ① 得 425ρ2−6⋅25ρ⋅cos (θ−π6)+8=0, 整理得 ρ2−15ρcos (θ−π6)+50=0 即为 P 点的轨迹方程．当 ρ1=2ρ 时，又 θ1=θ−π，同理可得ρ2+3ρ⋅cos (θ−π6)+2=0.所以点 P 的轨迹方程为 ρ2−15ρ⋅cos (θ−π6)+50=0 或 ρ2+3ρcos (θ−π6)+2=0．16. 在直角坐标系 xOy 中，直线经过点 P (−1,0)，其倾斜角为 α，以原点 O 为极点，以 x 轴非负半轴为极轴，与直角坐标系 xOy 取相同的长度单位，建立极坐标系，设曲线 C 的极坐标方程为 ρ2−6ρcosθ+5=0．(1)若直线与曲线 C 有公共点，求 α 的取值范围；【解】将 C 的极坐标方程 ρ2−6ρcosθ+5=0 化为直角坐标为 x 2+y 2−6x +5=0，直线的参数方程为 {x =−1+tcosα,y =tsinα（t 为参数），将直线的参数方程代入曲线 C 的方程整理得 t 2−8tcosα+12=0，直线与曲线有公共点，所以 Δ=64cos 2α−48⩾0，得 cosα⩾√32或 cosα⩽−√32．因为 α∈[0,π)，所以 α 的取值范围为 [0,π6]∪[5π6,π)．(2)设 M (x,y ) 为曲线 C 上任意一点，求 x +y 的取值范围．【解】曲线 C 的方程 x 2+y 2−6x +5=0 化为 (x −3)2+y 2=4，其参数方程为 {x =3+2cosθ,y =2sinθ（θ 为参数），M (x,y ) 为曲线 C 上任意一点，所以 x +y =3+2cosθ+2sinθ=3+2√2sin (θ+π4)． x +y 的取值范围是 [3−2√2,3+2√2]．17. 已知圆 C 的极坐标方程为 ρ2+2√2ρsin (θ−π4)−4=0，求圆心的极坐标．【解】以极坐标系的极点为直角坐标系的原点 O ，极轴为 x 轴的正半轴建立直角坐标系 xOy ，圆 C 的极坐标方程为 ρ2+2ρsinθ−2ρcosθ−4=0，则圆 C 的直角坐标系方程为 x 2+y 2−2x +2y −4=0，即 (x −1)2+(y +1)2=6，于是圆心的直角坐标为 (1,−1)，则其极坐标为 (√2,7π4)．18. 极坐标与参数方程在直角坐标系 xOy 中，圆 C 的参数方程为 {x =2+2cosθy =2sinθ（θ 为参数）．在极坐标系（直角坐标系 xOy 取相同的单位长度，以原点 O 为极点，以 x 轴正半轴为极轴）中，直线 l 的方程为 ρsin (θ+π4)=2√2． (1)求圆 C 的极坐标方程；【解】由 {x =2+2cosθ,y =2sinθ,得圆 C 的直角坐标方程为 (x −2)2+y 2=4，即 x 2+y 2−4x =0．化为极坐标方程为：ρ2−4ρcosθ=0，即 ρ=4cosθ． (2)设圆 C 与直线 l 交于点 A ，B ，求 ∣AB ∣．【解】展开 ρsin (θ+π4)=2√2 得：ρsinθ⋅√22+ρcosθ⋅√22=2√2，所以直线 l 的普通方程为 x +y −4=0．由（1）知圆 C 的圆心坐标为 (2,0)，半径 r =2，所以圆心 (2,0) 到直线 l 的距离 d =√2=√2．所以 r 2=d 2+(∣AB∣2)2．所以 ∣AB ∣=2√2．19. 在极坐标系中，求圆 ρ=2cosθ 的圆心到直线 2ρsin (θ+π3)=1 的距离．【解】将圆 ρ=2cosθ 化为普通方程为 x 2+y 2−2x =0，圆心为 (1,0)，又 2ρsin (θ+π3)=1，即 2ρ(12sinθ+√32cosθ)=1，所以直线的普通方程为 √3x +y −1=0，故所求的圆心到直线的距离 d =√3−12．20. 在直角坐标系 xOy 中，以 O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 ρcos (θ−π3)=1，M ，N 分别为 C 与 x 轴，y 轴的交点．写出 C 的直角坐标方程，并求 M ，N 的极坐标．【解】由 ρcos (θ−π3)=1 得 ρ(12cosθ+√32sinθ)=1．从而 C 的直角坐标方程为 12x +√32y =1，即 x +√3y =2.θ=0 时，ρ=2，所以 M (2,0)． θ=π2 时，ρ=2√33，所以 N (2√33,π2)．课后练习1. 将函数 y =√x −2 的图象上所有点的横坐标伸长为原来的 3 倍（纵坐标不变）得到函数的图象．2. 如图，过点 A 作边长为 √3 的等边 △ABC ，BC 边上的高为 AD ．设 △ABC 的外接圆为圆 M ，现以顶点 A 为极点，以射线 AD 为极轴建立极坐标系，规定在极坐标系中，点 P 的极坐标 (ρ,θ) 满足：ρ⩾0，0⩽θ⩽2π，则图中，（1）点 C 的极坐标为；（2）圆 M 的极坐标方程为；（3）直线 BC 的极坐标方程为．3. 在同一坐标系中，将曲线 y =3sin2x 变为曲线 yʹ=sinxʹ 的伸缩变换是．4. 已知直线 l 的参数方程为 {x =4t y =1+3t （t 为参数），圆 C 的参数方程为 {x =2+cosθy =sinθ（θ为参数），则圆 C 上的点到直线 l 的距离的最大值为．5. 在极坐标系中，曲线 ρ=2 与 cosθ+sinθ=0(0⩽θ⩽π) 的交点的极坐标为．6. 已知直线 l 1 的参数方程为 {x =1+2t,y =3−2t, 则（1）直线 l 1 的倾斜角 α= ；（2）直线 l 1 与直线 l 2：{x =2−t,y =1−t 的交点坐标为；（3）点 P (−2,−1) 到直线 l 1 的距离为．7. 在极坐标系中，曲线 C 的极坐标方程为 ρsin (θ−π6)=3，点 A (2,π3) 到曲线 C 上点的距离的最小值．8. 在极坐标系 (ρ,θ)（0⩽θ⩽2π）中，曲线 ρ(cosθ+sinθ)=1 与 ρ(sinθ−cosθ)=1 的交点的极坐标为．9. 若直线 3x +4y +m =0 与圆 {x =1+cosθy =−2+sinθ（θ 为参数）没有公共点，则实数 m 的取值范围是．10. 将极坐标方程 ρ=cos (π4−θ) 化为直角坐标方程是．11. 在平面直角坐标系中，直线 l 的参数方程为 {x =t +3y =3−t （参数 t ∈R ），圆的参数方程为{x =2cosθy =2sinθ+1（参数 θ∈[0,2π)），则圆心到直线 l 的距离为． 12. 在平面直角坐标系中，已知直线 l 的参数方程为 {x =1+s,y =1−s,(s 为参数)，曲线 C 的参数方程为 {x =t +2,y =t 2,(t 为参数)，若直线 l 与曲线 C 交于 A 、 B 两点，则 ∣AB ∣= ( )13. 若点 P (x,y ) 在曲线 {x =−2+cosθ,y =sinθ（θ 为参数）上，则 yx 的取值范围是．14. 若圆 C 的参数方程为 {x =3cosθ+1,y =3sinθ.（θ 为参数），则圆 C 的圆心坐标为，圆 C与直线 x +y −3=0 的交点个数为．15. 曲线 {x =4cosθ,y =2√3sinθ（θ 为参数）上一点 P 到点 A (−2,0),B (2,0) 的距离之和为．16. 已知动直线 l 平分圆 C ：(x −2)2+(y −1)2=1 ，则直线 l 与圆 O ：{x =3cosθy =3sinθ ( θ 为参数)的位置关系是．17. 在直角坐标系 xOy 中，已知曲线 C 1: {x =t +1,y =1−2t （t 为参数）与曲线 C 2: {x =asinθ,y =3cosθ（θ 为参数，a >0）有一个公共点在 x 轴上，则 a = ．18. 在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为 {x =ty =t +1 (参数t ∈R) ，圆 C 的参数方程为{x =cosθ+1y =sinθ (参数θ∈[0,2π)) ，则圆心到直线 l 的距离是．19. 直线 {x =3+tsin40∘,y =−1+tcos40∘（t 为参数）的倾斜角为．20. 直线 {x =2−12t,y =−1+12t,（t 为参数）被圆 x 2+y 2=4 截得的弦长为．21. 已知椭圆 C 在直角坐标系下的方程为x 225+y 216=1，以原点为极点，以 x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，过椭圆 C 的右焦点，且垂直于 x 轴的直线的极坐标方程为．22. 在极坐标系中，直线 ρ(2cosθ+sinθ)=2 与直线 ρcosθ=1 的夹角大小为．（结果用反三角函数值表示）23. 已知曲线 C 的极坐标方程为 ρ(3cosθ−4sinθ)=1 ，则 C 与极轴的交点到极点的距离是．24. 在极坐标系中，点 (m,π6)(m >1) 到直线 ρcos (θ−π6)=3 的距离为 2，则 m 的值为．25. 在平面直角坐标系中，当 P (x,y ) 不是原点时，定义 P 的“伴随点”为 Pʹ(y x 2+y 2,−x x 2+y 2)；当 P 是原点时，定义 P 的“伴随点“为它自身，平面曲线 C 上所有点的“伴随点”所构成的曲线 Cʹ 定义为曲线 C 的“伴随曲线”．现有下列命题：①若点 A 的“伴随点”是点 Aʹ，则点 Aʹ 的“伴随点”是点 A ； ②单位圆的“伴随曲线”是它自身；③若曲线 C 关于 x 轴对称，则其“伴随曲线” Cʹ 关于 y 轴对称； ④一条直线的“伴随曲线”是一条直线．其中的真命题是（写出所有真命题的序号）．26. 在平面直角坐标系中，当 P (x,y ) 不是原点时，定义 P 的“伴随点”为 Pʹ(y x 2+y2,−x x 2+y 2)；当 P 是原点时，定义 P 的“伴随点“为它自身，现有下列命题： ①若点 A 的“伴随点”是点 Aʹ，则点 Aʹ 的“伴随点”是点 A ； ②单位圆上的点的“伴随点”仍在单位圆上；③若两点关于 x 轴对称，则他们的“伴随点”关于 y 轴对称； ④若三点在同一条直线上，则它们的“伴随点”一定共线．其中的真命题是（写出所有真命题的序号）．27. 在极坐标系中，曲线 C 1:ρ=2cosθ，曲线 C 2:θ=π4，若曲线 C 1 与 C 2 交于 A 、B 两点，则线段 AB = ．28. 在极坐标系中， O 是极点，设点 A(4,π3) ， B(5,−5π6) ，则 △OAB 的面积是．29. 极坐标系内，点 (1,π2) 到直线 ρcosθ=2 的距离是． 30. 过点 P (2,π3) 且平行于极轴的直线的极坐标方程是．31. 在直角坐标系 xOy 中，直线 l 的方程为 x −y +4=0 ，曲线 C 的参数方程为 {x =√3cosαy =sinα(α为参数) ． (1)已知在极坐标（与直角坐标系 xOy 取相同的长度单位，且以原点 O 为极点，以 x 轴正半轴为极轴）中，点 P 的极坐标为 (4,π2) ，判断点 P 与直线 l 的位置关系； (2)设点 Q 是曲线 C 上的一个动点，求它到直线 l 的距离的最小值．32. 在极坐标系中，已知圆 C 的方程是 ρ=4，直线 l 的方程是 ρsin (θ+π6)=3，求圆 C 上一点到直线 l 的距离的最大值．33. 在直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为 {x =3−√22t,y =√5−√22t (t 为参数). 在极坐标系（与直角坐标系 xOy 取相同的长度单位，且以原点 O 为极点，以 x 轴正半轴为极轴）中，圆 C 的方程为 ρ=2√5sinθ. (1)求圆 C 的直角坐标方程；(2)设圆 C 与直线 l 交于点 A 、 B ，若点 P 的坐标为 (3,√5) ，求 ∣PA ∣+∣PB ∣ ． 34. 在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C 1 的参数方程为 {x =cosφ,y =sinφ（φ 为参数），曲线 C 2 的参数方程为 {x =acosφ,y =bsinφ（a >b >0，φ 为参数）．在以 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线 l:θ=α 与 C 1，C 2 各有一个交点，当 α=0 时，这两个交点间的距离为 2，当 α=π2 时，这两个交点重合．(1)分别说明 C 1，C 2 是什么曲线，并求出 a 与 b 的值；(2)设当 α=π4时，l 与 C 1，C 2 的交点分别为 A 1，B 1，当 α=−π4时，l 与 C 1，C 2 的交点分别为 A 2，B 2，求四边形 A 1A 2B 2B 1 的面积．35. 由抛物线 y 2=2x 上各点作 y 轴的垂线段，求线段中点的轨迹方程（参数形式）． 36. 化圆锥曲线的极坐标方程 ρ=ep1−ecosθ 为直角坐标方程．。

新课标2020届高考数学二轮复习专题八选修4系列8.1坐标系与参数方程课件理2020120428-

命题热点一命题热点二命题热点三
解: (1)消去参数 t 得 l1 的普通方程 l1:y=k(x-2);消去参数 m 得 l2
的普通方程 l2:y=��1��(x+2).
�� = ��(��-2),
设
P(x,y),由题设得
��
=
1
(��
+
消去 2).
k
得
(2)设点 B 的极坐标为(ρB,α)(ρB>0).
由题设知|OA|=2,ρB=4cos α,于是△OAB 面积
S=12|OA|·ρB·sin∠AOB
=4cos α· sin
��-
π 3
=2 sin 2��- π - 3 ≤2+ 3.
32
当 α=-1π2时,S 取得最大值 2+ 3.
��
= =
�� + 1-��
4��,(t
为参
数).
(1)若 a=-1,求 C 与 l 的交点坐标;
(2)若 C 上的点到 l 距离的最大值为 17,求 a.
-13-
命题热点一命题热点二命题热点三
解:
(1)曲线
C
的普通方程为��
2
+y2=1.
由��12
+
��12=1,得
x2+
�� 2
2
=1,
即曲线 C 的方程为 x2+��42=1.
故
C 的参数方程为
��
= =
cos��, 2sin��(t

2020届高考数学(理)二轮复习课件：专题20 坐标系与参数方程

高考真题体验
命题热点突破
•命题方向1 极坐标方程及其应用
• [分析] (1)直接由sin2t＋cos2t＝1消参可得； • (2)将圆的极坐标方程化为直角坐标方程，
先求出C1、C2两交点的直角坐标，再化为极坐标．
• 『规律总结』 • 解决极坐标系问题的策略
• (1)如果题目中曲线的极坐标方程比较容易化成直角坐标方程，则可以统一转化到直角坐标系中，利用直角坐标系的定理、公式解题．
法
• 与极坐标方程、参数方程相关的问题往往涉及直线、圆、椭圆，处理的基本思路是把它们化为直角坐标方程或普通方程，利用直角坐标方程或普通方程解决实际问题，另外若涉及有关最值或参数范围问题时可利用参数方程，化为三角函数的最值问题处理．
• (2)如果题目中曲线的极坐标方程比较复杂，不方便化成直角坐标方程或者极坐标系中的极角，极径关系比较明显，比如已知两个点的极坐标，求两个点间的距离，则可以直接利用已知的极角、极径结合余弦定理求距离．
•命题方向2 参数方程及其应用
• 2．参数方程表示的曲线的综合问题的求解思路
数学
大二轮复习
第一部分全程方略课件
专题20 坐标系与参数方程
1 高考考点聚
焦
2 核心知识整
合
3 高考真题体
验
4 命题热点突
破
5 课后强化训
练
高考考点聚焦
• 备考策略 • 本部分内容在备考时应注意以下知识点： • 一是参数方程、极坐标与曲线的关系；二
是由参数方程、极坐标方程求解曲线的一些基本量，主要是极坐标与直角坐标、参数方程(直线、圆、椭圆的参数方程)与普通方程的互化问题的应用等，考查知识点较为简单和稳定，这也为大家的备考指明了方向．

2020年高考数学(理)二轮专项复习专题14 坐标系与参数方程

第 1 页共 10 页2020年高考数学（理）二轮专项复习专题14 坐标系与参数方程本专题涉及极坐标系的基础知识，参数方程的概念以及直线、圆、椭圆的参数方程．这部分内容既是解析几何的延续，也是高等数学的基础．【知识要点】1．极坐标系的概念，极坐标系中点的表示．在平面内取一个定点O ，O 点出发的一条射线Ox ，一个长度单位及计算角度的正方向(通常取逆时针方向)，合称为一个极坐标系．O 称为极点，Ox 称为极轴．设M 是平面内任意一点，极点O 与点M 的距离｜OM |叫做点M 的极径，记作ρ ；以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边的角xOM 叫做点M 的极角，记作θ ，有序数对(ρ ，θ )叫做点M 的极坐标．一般情况下，约定ρ ≥0．2．极坐标系与直角坐标系的互化．直角坐标化极坐标：x ＝ρ cos θ ，y ＝ρ sin θ ；极坐标化直角坐标：， 3．参数方程的概念设在平面上取定一个直角坐标系xOy ，把坐标x ，y 表示为第三个变量t 的函数……①，如果对于t 的每一个值(a ≤t ≤b )，①式所确定的点M (x ，y )都在一条曲线上；而这条曲线上任意一点M (x ，y )，都可由t 的某个值通过①式得到，则称①式为该曲线的参数方程，其中t 称为参数．4．参数方程与普通方程的互化把参数方程化为普通方程，需要根据其结构特征，选取适当的消参方法．常见的消参方法有：代入消元法；加减消参法；平方和(差)消参法；乘法消参法等．把曲线C 的普通方程F (x ，y )＝0化为参数方程的关键：一是适当选取参数；二是确保互化前后方程的等价性．要注意方程中的参数的变化范围． 5．直线、圆、椭圆的参数方程．222y x +=ρ).0(tan =/=x xyθ⎩⎨⎧==)()(t g y t f x b t a ≤≤第 2 页共 10 页(1)经过一定点P 0(x 0，y 0)，倾斜角为α 的直线l 的参数方程为(t 为参数)；(2)直线参数方程的一般形式为(t 为参数)；(3)圆的参数方程为(θ 为参数)；(4)椭圆的参数方程为(θ 为参数)．【复习要求】1．理解坐标系的作用．2．能在极坐标系中用极坐标表示点的位置，理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化．3．了解参数方程．4．能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程，并会简单的应用．【例题分析】例1 (1)判断点是否在曲线上． (2)点P 的直角坐标为，则点P 的极坐标为______．(限定0＜θ ≤2π)(3)点P 的极坐标为，则点P 的直角坐标为______．解：(1)因为，所以点是在曲线上． (2)根据ρ 2＝x 2＋y 2，， ⎩⎨⎧+=+=ααsin ,cos 00t y y t x x ⎩⎨⎧+=+=bt y y at x x 00,⎩⎨⎧+=+=θθsin ,cos 00r y y r x x )0(12222>>=+b a b y a x ⎩⎨⎧==θθsin ,cos b y a x )35π,23(-2cos θρ=)3,1(-)4π,3(-2365πcos2cos-==θ)35π,23(-2cos θρ=)0(tan =/=x xy θ第 3 页共 10 页得ρ ＝2，，又点P 在第四象限，，所以，所以点P 的极坐标为 (3)根据x ＝ρ cos θ ，y ＝ρ sin θ ，得，所以点P 的直角坐标为例2 (1)圆ρ ＝2(cos θ ＋sin θ )的半径为______． (2)直线与圆ρ ＝2sin θ 交与A ，B 两点，则|AB |＝______．解：(1)由ρ ＝2(cos θ ＋sin θ )，得ρ 2＝2ρ (cos θ ＋sin θ )，所以，x 2＋y 2＝2x ＋2y ，即(x －1)2＋(y －1)2＝2，所以圆ρ ＝2(cos θ ＋sin θ )的半径为． (2)将直线与圆ρ ＝2sin θ 化为直角坐标方程，得由得，即，由ρ ＝2sin θ ，变形为ρ 2＝2ρ sin θ ，得x 2＋y 2＝2y ，即x 2＋(y －1)2＝1，因为圆的半径为1，圆心到直线的距离为，所以评述：(1)应熟练运用直角坐标与极坐标互化的方法解决有关极坐标的问题；(2)由直角坐标化极坐标时要注意点位于哪一个象限才能确定θ 的大小，如例1(2)，否则，极坐标不唯一；(3)例2也可以用极坐标有关知识直接解决．这需要知道一些直线与圆的极坐标方程的知识．如：3tan -=θ2π23π≤<θ35π=θ).3π5,2(223,223-==y x ).223,223(-)(3πR ∈=ρθ2)(3πR ∈=ρθ3π=θxy=3πtan x y 3=21311=+=d .3)21(12||2=-=AB第 4 页共 10 页①过极点，倾斜角为α 的直线：θ ＝α (ρ ∈R )或写成θ ＝α 及θ ＝α ＋π． ②过A (a ，α)垂直于极轴的直线：ρ cos θ ＝a cos α ． ③以极点O 为圆心，a 为半径的圆(a ＞0)：ρ ＝a ．④若O (0，0)，A (2a ，0)，以OA 为直径的圆：ρ ＝2a cos θ ． ⑤若O (0，0)，A (2a ，)，以OA 为直径的圆：ρ ＝2a sin θ ．对于例2(2)，可以利用结论①⑤，作出直线与圆，通过解三角形的方法求|AB ｜，当然也可以用极坐标方程直接解ρ ，根据ρ 的几何意义求｜AB ｜．例3 圆O 1和圆O 2的极坐标方程分别为ρ ＝4cos θ ，ρ ＝－4sin θ ． (1)把圆O 1和圆O 2的极坐标方程化为直角坐标方程； (2)求经过圆O 1和圆O 2交点的直线的直角坐标方程．解：(1)由ρ ＝4cos θ 得ρ 2＝4ρ cos θ ，根据x ＝ρ cos θ ，y ＝ρ sin θ ，所以x 2＋y 2＝4x ．即x 2＋y 2－4x ＝0为圆O 1的直角坐标方程，同理x 2＋y 2＋4y ＝0为圆O 2的直角坐标方程．(2)由解得即圆O 1和圆O 2交于点(0，0)和(2，－2)．过交点的直线的直角坐标方程为y ＝－x ．例4(1)曲线的参数方程是(t 为参数，t ≠0)，它的普通方程是________． (2)在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为 (参数t ∈R )，圆C 的参数方程为(参数θ ∈[0，2π])，则圆C 的圆心坐标为______，圆心到直线l 的距离为______．解：(1)由得，带入y ＝1－t 2，得 2π⎪⎩⎪⎨⎧=++=-+,04,042222y y x x y x ⎩⎨⎧==;0,011y x ⎩⎨⎧-==.2,222y x ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-=-=21,11t y t x ⎩⎨⎧-=+=t y t x 3,3⎩⎨⎧+==2sin 2,cos 2θθy x t x 11-=x t -=11,)1()2()11(122--=--=x x x x y第 5 页共 10 页注意到，所以已知参数的普通方程为 (2)直线l 的普通方程为x ＋y －6＝0，圆C 的普通方程为x 2＋(y －2)2＝4，所以圆心坐标为(0，2)，圆心到直线l 的距离评述：(1)应熟练运用将参数方程化为普通方程的方法解决有关参数方程的问题； (2)在将参数方程化为普通方程的过程中应注意消参带来的范围变化问题．如例4(1)，若参数方程为(t 为参数，t ＞0)，则其普通方程为例5 求椭圆的内接矩形的最大面积．解：设内接矩形在第一象限内的顶点为P (a cos θ ，b sin θ )，P 点在两轴上的投影分别为A 、B ，则有S 内接矩形＝4S 矩形OAPB ＝4·a cos θ ·b sin θ ＝2ab sin2θ ．因为，所以2θ ∈(0，π)，S 内接矩形的最大值为2ab ．评述：圆锥曲线参数方程主要应用于利用参数方程设圆锥曲线上的点，从而讨论最值等有关问题．椭圆的参数方程为 (θ 为参数)．抛物线y 2＝2px (p ＞0)的参数方程为. 例6 圆M 的参数方程为x 2＋y 2－4Rx cos α －4Ry sin α ＋3R 2＝0(R ＞0)． (1)求该圆的圆心坐标以及圆M 的半径；(2)当R 固定，α 变化时，求圆心M 的轨迹，并证明此时不论α 取什么值，所有的圆M 都外切于一个定圆．解：(1)依题意得圆M 的方程为(x －2R cos α )2＋(y －2R sin α )2＝R 2，故圆心的坐标为M (2R cos α ，2R sin α )，半径为R ．111=/-=t x ⋅--=2)1()2(x x x y .222|620|=-+=d ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=21,11t y t x).1()1()2(2<--=x x x x y 12222=+by a x )2π,0(∈θ)0,0(12222>>=+b a b y a x ⎩⎨⎧==θθtan sec b y a x ⎩⎨⎧==pt y pt x 222第 6 页共 10 页(2)当α 变化时，圆心M 的轨迹方程为 (α 为参数)，两式平方相加得x 2＋y 2＝4R 2，所以圆心M 的轨迹是圆心在原点，半径为2R 的圆．由于所以所有的圆M 都和定圆x 2＋y 2＝R 2外切，和定圆x 2＋y 2＝9R 2内切．例7 过P (5，－3)，倾斜角为α ，且的直线交圆x 2＋y 2＝25于P 1、P 2两点．(1)求|PP 1|·|PP 2｜的值；(2)求弦P 1P 2的中点M 的坐标．解：(1)由已知得所以已知直线的参数方程为…………………①(t 为参数)代入圆的方程化简，得…………………② ②的两个解t 1、t 2就是P 1、P 2对应的参数，由参数的几何意义及韦达定理知｜PP 1|·｜PP 2|＝|t 1|·|t 2|＝9．(2)设M (x ，y )为P 1P 2的中点，则点M 对应的参数，代入参数方程，得所以评述：根据直线的参数方程的标准式中t 的几何意义，有如下常用结论： ①直线与圆锥曲线相交，交点对应的参数分别为t 1，t 2，则弦长l ＝|t 1－t 2｜； ②定点M 0是弦M 1M 2的中点t 1＋t 2＝0；⎩⎨⎧==,sin 2,cos 2ααR y R x ,32)sin 2()cos 2(22R R R R R -==+αα,2)sin 2()cos 2(22R R R R R +==+αα53cos -=α53cos -=α,54sin =α⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=-=,543,535t y t x .095542=+-t t 527221=+=t t t ,2533,2544==y x M PP PP ,9||||21=⋅).2533,2544(⇒第 7 页共 10 页③设弦M 1M 2的中点为M ，则点M 对应的参数值，(由此可求得|M 2M |及中点坐标)．习题14一、选择题 1．极坐标的直角坐标为 (A)(1，)(B)(－，－1)(C)(－1，－)(D)(－1，)2．椭圆(θ 为参数)的焦距等于( )(A) (B)2 (C) (D)3．已知某条曲线的参数方程为(0≤t ≤5)，则该曲线是( )(A)线段 (B)圆弧 (C)双曲线的一支 (D)射线4．若是极坐标系中的一点，则四点中与P 重合的点有( )(A)1个(B)2个(C)3个(D)4个5．在极坐标系中，若等边△ABC 的两个顶点是，那么顶点C 的坐标可能是( ) (A) (B) (C)(D)(3，π)二、选择题6．过极点，倾斜角是的直线的极坐标方程为____________． 221t t t M +=)34π(2,3333⎩⎨⎧==θθsin 5,cos 2y x 212129292⎪⎩⎪⎨⎧-=+=1,2322t y t x )3π,2(--P 、、、)3π5,2()3π8,2()3π2,2(-M R Q )3π5π2,2(-k N )(Z ∈k )4π5,2()4π,2(B A 、)4π3,4()43π,32()π,32(6π第 8 页共 10 页7．点M 的直角坐标(3，－3)化为极坐标是____________． 8．直线(t 为参数)过定点____________．9．曲线(t 为参数)与y 轴的交点坐标是____________．10．参数方程(θ 为参数)表示的曲线的普通方程是____________．三、解答题11．求过点，并且和极轴垂直的直线的极坐标方程．12．在椭圆上求一点，使点M 到直线的距离最小，并求出最小距离．13．设圆C 是以C (4，0)为圆心，半径等于4的圆．(1)求圆C 的极坐标方程；(2)从极点O 作圆C 的弦ON ，求ON 的中点M 的轨迹方程．⎩⎨⎧+-=+=ty at x 41,3⎩⎨⎧=+-=ty t x ,12⎩⎨⎧+==θθθcos sin ,2sin y x )4π,3(14922=+y x 021032=-+y x第 9 页共 10 页14．已知点M (2，1)和双曲线，求以M 为中点的双曲线右支的弦AB 所在直线l的方程．专题14 坐标系与参数方程参考答案习题14一、选择题1．C 2．B 3．A 4．C 5．B 二、填空题 6．； 7．； 8．(3，－1)； 9．(0，1)，(0，－1)；三、解答题 11． 12．解：由题设知椭圆参数方程为(θ 为参数)．设M 的坐标(3cos θ ，2sin θ )由点到直线距离即d 的最小值为，此时．所以M 的坐标为13．解：(1)设P (ρ ，θ )为圆C 上任意一点，圆C 交极轴于另一点A ．由已知|OA |＝8，在Rt △ABC 中，1222=-y x )(6πR ∈=ρθ)47π,23(⋅=223cos θρ⎩⎨⎧==θθsin 2,cos 3y x ,13|210)4πsin(26|13|210sin 6cos 6|-+=-+=θθθd 261344π=θ).2,223(第 10 页共 10 页|OP |＝|OA ｜cos θ ，即ρ ＝8cos θ ，这就是圆C 的方程．(2)连结CM ，因为M 是ON 的中点，所以CM ⊥ON ，故M 在以OC 为直径的圆上．由r ＝|OC |＝4，得动点M 的轨迹方程是ρ ＝4cos θ ．14．解：设AB 的方程为(t 为参数)，代入双曲线方程，得(2cos 2α －sin 2α )t 2＋(8cos α －2sin α )t ＋5＝0，由于M 为AB 的中点，则t 1＋t 2＝0，则tan α ＝4，从而AB 的方程为：4x －y －7＝0．⎩⎨⎧+=+=ααsin 1,cos 2t y t x。

2020版高考数学大一轮复习坐标系和参数方程第1节坐标系学案理新人教B版

第1节坐标系最新考纲 1.了解坐标系的作用，了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况；2.了解极坐标的基本概念，会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，能进行极坐标和直角坐标的互化；3.能在极坐标系中给出简单图形表示的极坐标方程.知识梳理1.平面直角坐标系中的坐标伸缩变换设点P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x′＝λx（λ＞0），y′＝μy（μ＞0）的作用下，点P(x，y)对应到点P′(x′，y′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换.2.极坐标系与点的极坐标(1)极坐标系：如图所示，在平面内取一个定点O(极点)；自极点O引一条射线Ox(极轴)；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系.(2)极坐标：平面上任一点M的位置可以由线段OM的长度ρ和从Ox到OM的角度θ来刻画，这两个数组成的有序数对(ρ，θ)称为点M的极坐标.其中ρ称为点M的极径，θ称为点M的极角.3.极坐标与直角坐标的互化点M 直角坐标(x，y)极坐标(ρ，θ)互化公式⎩⎪⎨⎪⎧x＝ρcos θ，y＝ρsin θρ2＝x2＋y2tan θ＝yx(x≠0)4.圆的极坐标方程曲线图形极坐标方程圆心在极点，半径为r的圆ρ＝r(0≤θ＜2π)圆心为(r，0)，半径为r的圆ρ＝2r cos__θ⎝⎛⎭⎪⎫－π2≤θ≤π2圆心为⎝⎛⎭⎪⎫r，π2，半径为r的圆ρ＝2r sin__θ(0≤θ＜π)5.直线的极坐标方程(1)直线l 过极点，且极轴到此直线的角为α，则直线l 的极坐标方程是θ＝α(ρ∈R ). (2)直线l 过点M (a ，0)且垂直于极轴，则直线l 的极坐标方程为ρcos__θ＝a .(3)直线过M ⎝⎛⎭⎪⎫b ，π2且平行于极轴，则直线l 的极坐标方程为ρsin__θ＝b .诊断自测1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应关系，在极坐标系中点与坐标也是一一对应关系.( ) (2)若点P 的直角坐标为(1，－3)，则点P 的一个极坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－π3.( )(3)在极坐标系中，曲线的极坐标方程不是唯一的.( ) (4)极坐标方程θ＝π(ρ≥0)表示的曲线是一条直线.( ) 答案 (1)× (2)√ (3)√ (4)×2.(教材习题改编)若以直角坐标系的原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，则线段y ＝1－x (0≤x ≤1)的极坐标方程为( )A.ρ＝1cos θ＋sin θ，0≤θ≤π2B.ρ＝1cos θ＋sin θ，0≤θ≤π4C.ρ＝cos θ＋sin θ，0≤θ≤π2D.ρ＝cos θ＋sin θ，0≤θ≤π4解析 ∵y ＝1－x (0≤x ≤1)，∴ρsin θ＝1－ρcos θ(0≤ρcos θ≤1)； ∴ρ＝1sin θ＋cos θ⎝ ⎛⎭⎪⎫0≤θ≤π2.答案 A3.在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.若曲线C 的极坐标方程为ρ＝2sin θ，则曲线C 的直角坐标方程为________.解析由ρ＝2sin θ，得ρ2＝2ρsin θ，所以曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2y ＝0. 答案 x 2＋y 2－2y ＝04.(2017·北京卷)在极坐标系中，点A 在圆ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0上，点P 的坐标为(1，0)，则|AP |的最小值为________.解析由ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0，得x 2＋y 2－2x －4y ＋4＝0，即(x －1)2＋(y －2)2＝1，圆心坐标为C (1，2)，半径长为1. ∵点P 的坐标为(1，0)，∴点P 在圆C 外. 又∵点A 在圆C 上，∴|AP |min ＝|PC |－1＝2－1＝1. 答案 15.已知直线l 的极坐标方程为2ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝2，点A 的极坐标为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫22，7π4，则点A 到直线l 的距离为________.解析由2ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝2，得2ρ⎝ ⎛⎭⎪⎫22sin θ－22cos θ＝2，∴y －x ＝1.由A ⎝ ⎛⎭⎪⎫22，7π4，得点A 的直角坐标为(2，－2).∴点A 到直线l 的距离d ＝|2＋2＋1|2＝522.答案522考点一平面直角坐标系中的伸缩变换【例1】求双曲线C ：x 2－y 264＝1经过φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ，2y ′＝y 变换后所得曲线C ′的焦点坐标.解设曲线C ′上任意一点P ′(x ′，y ′)，由⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ，2y ′＝y ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x ′3，y ＝2y ′，代入曲线C ：x 2－y 264＝1，得x ′29－y ′216＝1，即曲线C ′的方程为x 29－y 216＝1，因此曲线C ′的焦点F 1(－5，0)，F 2(5，0).规律方法 1.平面上的曲线y ＝f (x )在变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λx （λ>0），y ′＝μy （μ>0）的作用下的变换方程的求法是将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x ′λ，y ＝y ′μ代入y ＝f (x )，整理得y ′＝h (x ′)为所求.2.解答该类问题应明确两点：一是根据平面直角坐标系中的伸缩变换公式的意义与作用；二是明确变换前的点P (x ，y )与变换后的点P ′(x ′，y ′)的坐标关系，用方程思想求解.【训练1】在平面直角坐标系中，已知伸缩变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ，2y ′＝y .(1)求点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，－2经过φ变换所得点A ′的坐标；(2)求直线l ：y ＝6x 经过φ变换后所得直线l ′的方程.解 (1)设点A ′(x ′，y ′)，由伸缩变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ，2y ′＝y ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ，y ′＝y 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝13×3＝1，y ′＝－22＝－1.∴点A ′的坐标为(1，－1).(2)设P ′(x ′，y ′)是直线l ′上任意一点.由伸缩变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ，2y ′＝y ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x ′3，y ＝2y ′.代入y ＝6x ，得2y ′＝6·x ′3＝2x ′，即y ′＝x ′，∴y ＝x 为所求直线l ′的方程. 考点二极坐标与直角坐标的互化【例2－1】在极坐标系下，已知圆O ：ρ＝cos θ＋sin θ和直线l ：ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝22.(1)求圆O 和直线l 的直角坐标方程；(2)当θ∈(0，π)时，求直线l 与圆O 公共点的一个极坐标. 解 (1)圆O ：ρ＝cos θ＋sin θ，即ρ2＝ρcos θ＋ρsin θ，圆O 的直角坐标方程为：x 2＋y 2＝x ＋y ，即x 2＋y 2－x －y ＝0，直线l ：ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝22，即ρsin θ－ρcos θ＝1，则直线l 的直角坐标方程为：y －x ＝1，即x －y ＋1＝0.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－x －y ＝0，x －y ＋1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1，故直线l 与圆O 公共点的一个极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫1，π2.【例2－2】 (2016·北京卷改编)在极坐标系中，已知极坐标方程C 1：ρcos θ－ 3ρsin θ－1＝0，C 2：ρ＝2cos θ.(1)求曲线C 1，C 2的直角坐标方程，并判断两曲线的形状； (2)若曲线C 1，C 2交于A ，B 两点，求两交点间的距离. 解 (1)由C 1：ρcos θ－3ρsin θ－1＝0， ∴x －3y －1＝0，表示一条直线. 由C 2：ρ＝2cos θ，得ρ2＝2ρcos θ. ∴x 2＋y 2＝2x ，即(x －1)2＋y 2＝1. 所以C 2是圆心为(1，0)，半径r ＝1的圆. (2)由(1)知，点(1，0)在直线x －3y －1＝0上，所以直线C 1过圆C 2的圆心.因此两交点A ，B 的连线段是圆C 2的直径. 所以两交点A ，B 间的距离|AB |＝2r ＝2.规律方法 1.进行极坐标方程与直角坐标方程互化的关键是抓住互化公式；x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝y x(x ≠0).2.进行极坐标方程与直角坐标方程互化时，要注意ρ，θ的取值范围及其影响；要善于对方程进行合理变形，并重视公式的逆向与变形使用；要灵活运用代入法和平方法等技巧.【训练2】 (1)在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知点A 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，直线的极坐标方程为ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝a ，且点A 在直线上，求a 的值及直线的直角坐标方程.(2)把曲线C 1：x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0化为极坐标方程. 解 (1)∵点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4在直线ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4＝a 上，∴a ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－π4＝2，所以直线的方程可化为ρcos θ＋ρsin θ＝2，从而直线的直角坐标方程为x ＋y －2＝0.(2)将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0，得ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0，所以C 1的极坐标方程为ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0.考点三曲线极坐标方程的应用【例3－1】 (2017·全国Ⅱ卷)在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 1的极坐标方程为ρcos θ＝4.(1)设点M 为曲线C 1上的动点，点P 在线段OM 上，且|OM |·|OP |＝16，求点P 的轨迹C 2的直角坐标方程；(2)设点A 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2，π3，点B 在曲线C 2上，求△OAB 面积的最大值.解 (1)设P 的极坐标为(ρ，θ)(ρ>0)，M 的极坐标为(ρ1，θ)(ρ1>0). 由题设知|OP |＝ρ，|OM |＝ρ1＝4cos θ.由|OM |·|OP |＝16得C 2的极坐标方程为ρ＝4cos θ(ρ>0). 因此C 2的直角坐标方程为(x －2)2＋y 2＝4(x ≠0). (2)设点B 的极坐标为(ρB ，α)(ρB >0). 由题设知|OA |＝2，ρB ＝4cos α，于是△OAB 的面积S ＝12|OA |·ρB ·sin ∠AOB＝4cos α·⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3 ＝2⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－π3－32≤2＋ 3.当α＝－π12时，S 取得最大值2＋ 3.所以△OAB 面积的最大值为2＋ 3.【例3－2】 (2016·全国Ⅰ卷)在直角坐标系xOy中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos t ，y ＝1＋a sin t (t 为参数，a >0).在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ＝4cos θ. (1)说明C 1是哪一种曲线，并将C 1的方程化为极坐标方程；(2)直线C 3的极坐标方程为θ＝α0，其中α0满足tan α0＝2，若曲线C 1与C 2的公共点都在C 3上，求a . 解 (1)消去t ，得C 1的普通方程x 2＋(y －1)2＝a 2， ∴曲线C 1表示以点(0，1)为圆心，a 为半径的圆.将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入C 1的普通方程中，得到C 1的极坐标方程为ρ2－ 2ρsin θ＋1－a 2＝0.(2)曲线C 1，C 2的公共点的极坐标满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧ρ2－2ρsin θ＋1－a 2＝0，ρ＝4cos θ.若ρ≠0，由方程组得16cos 2θ－8sin θcos θ＋1－a 2＝0，由已知tan θ＝2，可得16cos 2θ－8sin θcos θ＝0，从而1－a 2＝0，解得a ＝－1(舍去)，a ＝1. 当a ＝1时，极点也为C 1，C 2的公共点，且在C 3上. 所以a ＝1.规律方法 1.(1)例3－1中利用极径、极角的几何意义，表示△AOB 的面积，借助三角函数的性质求最值优化了解题过程.(2)例3－2第(1)题将曲线C 1的参数方程先化成普通方程，再化为极坐标方程，考查学生的转化与化归能力.第(2)题中关键是理解极坐标方程的含义，消去ρ，建立与直线C 3：θ＝α0的联系，进而求a .2.由极坐标方程求曲线交点、距离等几何问题时，如果不能直接用极坐标解决，可先转化为直角坐标方程，然后求解.【训练3】 (2018·太原一模)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos φ，y ＝sin φ(φ为参数)，曲线C 2：x 2＋y 2－2y ＝0.以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，射线l ：θ＝α(ρ≥0)与曲线C 1，C 2分别交于点A ，B (均异于原点O ).(1)求曲线C 1，C 2的极坐标方程；(2)当0<α<π2时，求|OA |2＋|OB |2的取值范围.解 (1)C 1的普通方程为x 22＋y 2＝1，C 1的极坐标方程为ρ2cos 2 θ＋2ρ2sin 2 θ－2＝0， C 2的极坐标方程为ρ＝2sin θ.(2)联立θ＝α(ρ≥0)与C 1的极坐标方程得|OA |2＝21＋sin 2α，联立θ＝α(ρ≥0)与C 2的极坐标方程得|OB |2＝4sin 2α，则|OA |2＋|OB |2＝21＋sin 2α＋4sin 2α ＝21＋sin 2α＋4(1＋sin 2α)－4. 令t ＝1＋sin 2α，则|OA |2＋|OB |2＝2t＋4t －4，当0<α<π2时，t ∈(1，2).设f (t )＝2t＋4t －4，易得f (t )在(1，2)上单调递增，∴2<|OA |2＋|OB |2<5，故|OA |2＋|OB |2的取值范围是(2，5).基础巩固题组 (建议用时：50分钟)1.(2017·天津卷改编)在极坐标系中，已知直线4ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6＋1＝0与圆ρ＝ 2sin θ，试判定直线与圆的位置关系.解由4ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6＋1＝0得23ρcos θ＋2ρsin θ＋1＝0，故直线的直角坐标方程为23x ＋2y ＋1＝0.由ρ＝2sin θ得ρ2＝2ρsin θ，故圆的直角坐标方程为x 2＋y 2＝2y ，则x 2＋(y －1)2＝1. 圆心为(0，1)，半径为r ＝1.∵圆心到直线23x ＋2y ＋1＝0的距离d ＝|2×1＋1|（23）2＋22＝34<1， ∴直线与圆相交，有两个公共点.2.以直角坐标系中的原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，已知曲线的极坐标方程为ρ＝21－sin θ.(1)将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)过极点O 作直线l 交曲线于点P ，Q ，若|OP |＝3|OQ |，求直线l 的极坐标方程. 解 (1)∵ρ＝x 2＋y 2，ρsin θ＝y ， ∴ρ＝21－sin θ化为ρ－ρsin θ＝2，∴曲线的直角坐标方程为x 2＝4y ＋4.(2)设直线l 的极坐标方程为θ＝θ0(ρ∈R )，根据题意21－sin θ0＝3·21－sin （θ0＋π），解得θ0＝π6或θ0＝5π6，直线l 的极坐标方程θ＝π6(ρ∈R )或θ＝5π6(ρ∈R ).3.(2018·衡水模拟)在极坐标系中，已知曲线C 1：ρ＝2与C 2：ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝2交于两点A ，B .(1)求两交点的极坐标；(2)求线段AB 的垂直平分线l 的极坐标方程.解 (1)C 1：ρ＝2的直角坐标方程为x 2＋y 2＝4，C 2：ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4＝2的方程即ρcos θ＋ρsin θ＝2，化为直角坐标方程得x ＋y －2＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝4，x ＋y －2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2，所以两交点为(0，2)，(2，0)，化为极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2，π2，(2，0).(2)易知直线l 经过点(0，0)及线段AB 的中点(1，1)，所以其方程为y ＝x ，化为极坐标方程得θ＝π4(ρ∈R ).4.(2018·西安调研)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos α，y ＝t sin α(t 为参数，t ≠0)，其中0≤α＜π.在以O为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ＝ 2sin θ，C 3：ρ＝23cos θ. (1)求C 2与C 3交点的直角坐标；(2)若C 1与C 2相交于点A ，C 1与C 3相交于点B ，求|AB |的最大值.解 (1)曲线C 2的直角坐标方程为x 2＋y 2－2y ＝0，曲线C 3的直角坐标方程为x 2＋y 2－23x ＝0. 联立⎩⎨⎧x 2＋y 2－2y ＝0，x 2＋y 2－23x ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32，y ＝32.所以C 2与C 3交点的直角坐标为(0，0)和⎝⎛⎭⎪⎫32，32. (2)曲线C 1的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R ，ρ≠0)，其中0≤α＜π.因此A 的极坐标为(2sin α，α)，B 的极坐标为(23cos α，α). 所以|AB |＝|2sin α－23cos α|＝4⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3. 当α＝5π6时，|AB |取得最大值，最大值为4.5.在极坐标系中，已知直线l 的极坐标方程为ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4 ＝1，圆C 的圆心的极坐标是C ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π4，圆的半径为1.(1)求圆C 的极坐标方程； (2)求直线l 被圆C 所截得的弦长.解 (1)设O 为极点，OD 为圆C 的直径，A (ρ，θ)为圆C 上的一个动点，则∠AOD ＝π4－θ或∠AOD ＝θ－π4，|OA |＝|OD |cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ或|OA |＝|OD |cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4. 所以圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4. (2)由ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝1，得22ρ(sin θ＋cos θ)＝1，∴直线l 的直角坐标方程为x ＋y －2＝0，又圆心C 的直角坐标为⎝⎛⎭⎪⎫22，22满足直线l 的方程， ∴直线l 过圆C 的圆心，故直线被圆所截得的弦长为直径2.能力提升题组 (建议用时：30分钟)6.(2015·全国Ⅰ卷)在直角坐标系xOy 中，直线C 1：x ＝－2，圆C 2：(x －1)2＋(y －2)2＝1，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求C 1，C 2的极坐标方程；(2)若直线C 3的极坐标方程为θ＝π4(ρ∈R )，设C 2与C 3的交点为M ，N ，求△C 2MN 的面积.解 (1)因为x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，所以C 1的极坐标方程为ρcos θ＝－2，C 2的极坐标方程为ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0.(2)将θ＝π4代入ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0，得ρ2－32ρ＋4＝0，解得ρ1＝22，ρ2＝ 2. 故ρ1－ρ2＝2，即|MN |＝ 2.由于C 2的半径为1，则易得△C 2MN 为直角三角形，所以△C 2MN 的面积为S ＝12×12＝12.7.(2018·合肥二模)在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为ρ＝4cos θ. (1)求出圆C 的直角坐标方程；(2)已知圆C 与x 轴相交于A ，B 两点，直线l ：y ＝2x 关于点M (0，m )(m ≠0)对称的直线为l ′.若直线l ′上存在点P 使得∠APB ＝90°，求实数m 的最大值. 解 (1)由ρ＝4cos θ得ρ2＝4ρcos θ，2019年故x 2＋y 2－4x ＝0，即圆C 的直角坐标方程为(x －2)2＋y 2＝4.(2)l ：y ＝2x 关于点M (0，m )的对称直线l ′的方程为y ＝2x ＋2m .依题设，易知AB 为圆C 的直径，故直线l ′上存在点P 使得∠APB ＝90°的充要条件是直线l ′与圆C 有公共点. 因此|4＋2m |5≤2，于是，实数m 的最大值为5－2. 8.已知曲线C 1：x ＋3y ＝3和C 2：⎩⎨⎧x ＝6cos φ，y ＝2sin φ(φ为参数).以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，且两种坐标系中取相同的长度单位.(1)把曲线C 1和C 2的方程化为极坐标方程；(2)设C 1与x ，y 轴交于M ，N 两点，且线段MN 的中点为P .若射线OP 与C 1，C 2交于P ，Q 两点，求P ，Q 两点间的距离.解 (1)曲线C 1化为ρcos θ＋3ρsin θ＝ 3.∴ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6＝32. 曲线C 2化为x 26＋y 22＝1(*) 将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入(*)式得ρ26cos 2θ＋ρ22sin 2θ＝1，即ρ2(cos 2θ＋3sin 2θ)＝6. ∴曲线C 2的极坐标方程为ρ2＝61＋2sin 2θ. (2)∵M (3，0)，N (0，1)，∴P ⎝⎛⎭⎪⎫32，12， ∴OP 的极坐标方程为θ＝π6，把θ＝π6代入ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6＝32，得ρ1＝1，P ⎝⎛⎭⎪⎫1，π6. 把θ＝π6代入ρ2＝61＋2sin 2θ，得ρ2＝2，Q ⎝⎛⎭⎪⎫2，π6. ∴|PQ |＝|ρ2－ρ1|＝1，即P ，Q 两点间的距离为1.。

-22年高考数学二轮复习专题2坐标系与参数方程教学案理

2019-2020年高考数学二轮复习专题20坐标系与参数方程教学案理1.考查参数方程与普通方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化．2.考查利用曲线的参数方程、极坐标方程计算某些量或讨论某些量之间的关系．一、直角坐标与极坐标的互化如图，把直角坐标系的原点作为极点，x 轴正半轴作为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位．设M 是平面内的任意一点，它的直角坐标、极坐标分别为(x ，y )和(ρ，θ)，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，⎩⎪⎨⎪⎧ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝y x x【特别提醒】在曲线方程进行互化时，一定要注意变量的范围，要注意转化的等价性．二、直线、圆的极坐标方程 (1)直线的极坐标方程若直线过点M (ρ0，θ0)，且极轴到此直线的角为α，则它的方程为：ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0－α)．几个特殊位置直线的极坐标方程 ①直线过极点：θ＝α；②直线过点M (a,0)且垂直于极轴：ρcos θ＝a ；③直线过点M ⎝⎛⎭⎪⎫b ，π2且平行于极轴：ρsin θ＝b . (2)几个特殊位置圆的极坐标方程 ①圆心位于极点，半径为r ：ρ＝r ；②圆心位于M (r,0)，半径为r ：ρ＝2r cos θ；③圆心位于M ⎝⎛⎭⎪⎫r ，π2，半径为r ：ρ＝2r sin θ.【特别提醒】当圆心不在直角坐标系的坐标轴上时，要建立圆的极坐标方程，通常把极点放置在圆心处，极轴与x 轴同向，然后运用极坐标与直角坐标的变换公式．三、参数方程 (1)直线的参数方程过定点M (x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)．(2)圆、椭圆的参数方程①圆心在点M (x 0，y 0)，半径为r 的圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋r cos θ，y ＝y 0＋r sin θ(θ为参数，0≤θ≤2π)．②椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos θ，y ＝b sin θ(θ为参数)．【特别提醒】在参数方程和普通方程的互化中，必须使x ，y 的取值范围保持一致．考点一坐标系与极坐标例1．【xx 天津，理11】在极坐标系中，直线与圆的公共点的个数为___________. 【答案】2【变式探究】【xx 年高考北京理数】在极坐标系中，直线cos sin 10ρθθ-=与圆交于A ，B 两点，则______.【答案】2【解析】直线过圆的圆心，因此【变式探究】在极坐标系中，圆ρ＝2cos θ的垂直于极轴的两条切线方程分别为( ) A ．θ＝0(ρ∈R )和ρcos θ＝2 B ．θ＝π2(ρ∈R )和ρcos θ＝2C ．θ＝π2(ρ∈R )和ρcos θ＝1D ．θ＝0(ρ∈R )和ρcos θ＝1 解析由ρ＝2cos θ得x 2＋y 2－2x ＝0. ∴(x －1)2＋y 2＝1，圆的两条垂直于x 轴的切线方程为x ＝0和x ＝2. 故极坐标方程为θ＝π2(ρ∈R )和ρcos θ＝2，故选B.答案 B考点二参数方程例2．【xx ·江苏】[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在平面坐标系中中,已知直线的参考方程为(为参数),曲线的参数方程为( 为参数).设为曲线上的动点，求点到直线的距离的最小值. 【答案】【考点】参数方程化普通方程【变式探究】【xx 高考新课标1卷】（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程在直角坐标系xy 中,曲线C 1的参数方程为（t 为参数,a ＞0）．在以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C 2：ρ=. （I ）说明C 1是哪一种曲线,并将C 1的方程化为极坐标方程；（II ）直线C 3的极坐标方程为,其中满足tan=2,若曲线C 1与C 2的公共点都在C 3上,求a ．【答案】（I ）圆,（II ）1【变式探究】(xx·重庆，15)已知直线l 的参数方程为(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ2cos 2θ＝4⎝⎛⎭⎪⎫ρ＞0，3π4＜θ＜5π4，则直线l 与曲线C 的交点的极坐标为________．解析直线l 的直角坐标方程为y ＝x ＋2，由ρ2cos 2θ＝4得ρ2(cos 2θ－sin 2θ)＝4，直角坐标方程为x 2－y 2＝4，把y ＝x ＋2代入双曲线方程解得x ＝－2，因此交点为(－2，0)，其极坐标为(2，π)．答案 (2，π)【变式探究】(xx·江西，11(2))若以直角坐标系的原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，则线段y ＝1－x (0≤x ≤1)的极坐标方程为( )A ．ρ＝1cos θ＋sin θ，0≤θ≤π2B ．ρ＝1cos θ＋sin θ，0≤θ≤π4C ．ρ＝cos θ＋sin θ，0≤θ≤π2D ．ρ＝cos θ＋sin θ，0≤θ≤π4答案A1.【xx 天津，理11】在极坐标系中，直线与圆的公共点的个数为___________. 【答案】2【解析】直线为，圆为，因为，所以有两个交点2. 【xx 北京，理11】在极坐标系中，点A 在圆22cos 4sin 40ρρθρθ--+=上，点P 的坐标为（1,0），则|AP |的最小值为___________.【答案】1【解析】将圆的极坐标方程化为普通方程为，整理为，圆心，点是圆外一点，所以的最小值就是.3. 【xx 课标1，理22】在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为（θ为参数），直线l 的参数方程为.（1）若a =−1，求C 与l 的交点坐标；（2）若C 上的点到l 的距离的最大值为，求a. 【答案】（1）与的交点坐标为，；（2）或. 【解析】（1）曲线的普通方程为. 当时，直线的普通方程为.由22430{ 19x y x y +-=+=解得或2125{ 2425x y =-=. 从而与的交点坐标为， .【xx ·江苏】[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在平面坐标系中中,已知直线的参考方程为(为参数),曲线的参数方程为( 为参数).设为曲线上的动点，求点到直线的距离的最小值. 【答案】【解析】直线的普通方程为. 因为点在曲线上，设，从而点到直线的的距离d ，当时， .因此当点的坐标为时，曲线上点到直线的距离取到最小值.1.【xx 年高考北京理数】在极坐标系中，直线cos sin 10ρθθ-=与圆交于A ，B 两点，则______.【答案】2【解析】直线过圆的圆心，因此2.【xx 高考新课标1卷】（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程在直角坐标系xy 中,曲线C 1的参数方程为（t 为参数,a ＞0）．在以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C 2：ρ=. （I ）说明C 1是哪一种曲线,并将C 1的方程化为极坐标方程；（II ）直线C 3的极坐标方程为,其中满足tan=2,若曲线C 1与C 2的公共点都在C 3上,求a ．【答案】（I ）圆,（II ）1（Ⅱ）曲线的公共点的极坐标满足方程组⎩⎨⎧==-+-,cos 4,01sin 222θρθρρa 若，由方程组得01cos sin 8cos 1622=-+-a θθθ，由已知，可得0cos sin 8cos162=-θθθ，从而，解得（舍去），.时，极点也为的公共点，在上.所以.3.【xx 高考新课标2理数】选修4—4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，圆的方程为．（Ⅰ）以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，求的极坐标方程；（Ⅱ）直线的参数方程是（为参数）, 与交于两点，，求的斜率．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.4.【xx 高考新课标3理数】（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，曲线的参数方程为，以坐标原点为极点，以轴的正半轴为极轴，，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．（I ）写出的普通方程和的直角坐标方程；（II ）设点在上，点在上，求的最小值及此时的直角坐标. 【答案】（Ⅰ）的普通方程为，的直角坐标方程为；（Ⅱ）．1．(xx·广东，14)已知直线l 的极坐标方程为2ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4＝2，点A 的极坐标为A ⎝⎛⎭⎪⎫22，7π4，则点A 到直线l 的距离为________．解析依题已知直线l ：2ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝2和点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫22，7π4可化为l ：x －y ＋1＝0和A (2，－2)，所以点A 到直线l 的距离为d ＝|2－（－2）＋1|12＋（－1）2＝522. 答案5222．(xx·北京，11)在极坐标系中，点⎝⎛⎭⎪⎫2，π3到直线ρ(cos θ＋3sin θ)＝6的距离为________．解析在平面直角坐标系下，点⎝⎛⎭⎪⎫2，π3化为(1，3)，直线方程为：x ＋3y ＝6，∴点(1，3)到直线的距离为d ＝|1＋3×3－6|2＝|－2|2＝1.答案 13．(xx·安徽，12)在极坐标系中，圆ρ＝8sin θ上的点到直线θ＝π3(ρ∈R )距离的最大值是________．解析由ρ＝8sin θ得x 2＋y 2＝8y ，即x 2＋(y －4)2＝16，由θ＝π3得y ＝3x ，即3x －y ＝0，∴圆心(0，4)到直线y ＝3x 的距离为2，圆ρ＝8sin θ上的点到直线θ＝π3的最大距离为4＋2＝6.答案 64．(xx·江苏，21)已知圆C 的极坐标方程为ρ2＋22ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4－4＝0，求圆C的半径．解以极坐标系的极点为平面直角坐标系的原点O ，以极轴为x 轴的正半轴，建立直角坐标系xOy .圆C 的极坐标方程为 ρ2＋22ρ⎝⎛⎭⎪⎫22sin θ－22cos θ－4＝0，化简，得ρ2＋2ρsin θ－2ρcos θ－4＝0. 则圆C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x ＋2y －4＝0，即(x －1)2＋(y ＋1)2＝6，所以圆C 的半径为 6.5．(xx·新课标全国Ⅰ，23)在直角坐标系xOy 中，直线C 1：x ＝－2，圆C 2：(x －1)2＋(y －2)2＝1，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求C 1，C 2的极坐标方程；(2)若直线C 3的极坐标方程为θ＝π4(ρ∈R )，设C 2与C 3的交点为M ，N ，求△C 2MN 的面积．6．(xx·福建，21(2))在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为 (t 为参数)．在极坐标系(与平面直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴非负半轴为极轴)中，直线l 的方程为2ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4＝m (m ∈R )．①求圆C 的普通方程及直线l 的直角坐标方程； ②设圆心C 到直线l 的距离等于2，求m 的值．解 ①消去参数t ，得到圆C 的普通方程为(x －1)2＋(y ＋2)2＝9. 由2ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝m ，得 ρsin θ－ρcos θ－m ＝0.所以直线l 的直角坐标方程为x －y ＋m ＝0. ②依题意，圆心C 到直线l 的距离等于2，即|1－（－2）＋m |2＝2，解得m＝－3±2 2.7．(xx·湖南，16Ⅱ)已知直线l：2,12x y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ.(1)将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)设点M 的直角坐标为(5，3)，直线l 与曲线C 的交点为A，B ，求|MA |·|MB |的值．1. 【xx 高考安徽卷理第4题】以平面直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位，已知直线的参数方程是（为参数），圆的极坐标方程是，则直线被圆截得的弦长为（）A. B. C. D. 【答案】D【解析】将直线的参数方程消去参数，化成直角坐标方程为，圆的极坐标方程两边同乘为，化成直角坐标方程为，则圆心到直线的距离，所以直线被圆截得的弦长，故选D.2. 【xx 高考北京卷理第3题】曲线，（为参数）的对称中心（） A ．在直线上 B ．在直线上 C ．在直线上 D ．在直线上【答案】B【解析】参数方程所表示的曲线为圆心在，半径为1的圆，其对称中心为，逐个代入选项可知，点满足，故选B.3. 【xx 高考湖北卷理第16题】已知曲线的参数方程是⎪⎩⎪⎨⎧==33t y tx ，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程是，则与交点的直角坐标为 .【答案】4. 【xx 高考湖南卷第11题】在平面直角坐标系中，倾斜角为的直线与曲线，（为参数）交于、两点，且，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，则直线的极坐标方程是________.【答案】【解析】试题分析：利用可得曲线的普通方程为,即曲线为直角的圆,因为弦长,所以圆心在直线上,又因为直线的斜率为,所以直线的直角坐标方程为,则根据直角坐标与极坐标之间的转化可得()sin cos 1cos sin 1ρθρθρθθ⇒=-⇒-=,故填.5.【xx 江西高考理第12题】若以直角坐标系的原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，则线段的极坐标为（）A.1,0cos sin 2πρθθθ=≤≤+ B.1,0cos sin 4πρθθθ=≤≤+C.cos sin ,02πρθθθ=+≤≤D.cos sin ,04πρθθθ=+≤≤【答案】A【解析】根据cos ,sin ,0,[0,2]x y ρθρθρθπ==>∈，得：[0,1],sin 1cos ,(0cos 1,0sin 1,)y ρθρθρθρθ∈=-≤≤≤≤解得1,0cos sin 2πρθθθ=≤≤+，选A.6. 【xx 重庆高考理第15题】已知直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为()2sin 4cos 00,02ρθθρθπ-=≥≤<，则直线与曲线的公共点的极径________.【答案】7. 【xx 陕西高考理第15题】在极坐标系中，点到直线的距离是 . 【答案】1【解析】直线化为直角坐标方程为，点的直角坐标为，点到直线的距离1d ==，故答案为1.8. 【xx 天津高考理第13题】在以为极点的极坐标系中，圆和直线相交于两点．若是等边三角形，则的值为___________．【答案】3．【解析】圆的方程为，直线为．是等边三角形，∴其中一个交点坐标为，代入圆的方程可得．9.【xx 高考福建理第21（2）题】已知直线的参数方程为，（为参数），圆的参数方程为，（为常数）.（I ）求直线和圆的普通方程；（II ）若直线与圆有公共点，求实数的取值范围. 【答案】（I ）,;（II ）试题解析：（I ）直线的普通方程为.圆C 的普通方程为.（II ）因为直线与圆有公共点,故圆C 的圆心到直线的距离,解得.10. 【xx 高考江苏第21C 题】在平面直角坐标系中，已知直线的参数方程12x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（为参数），直线与抛物线相交于两点，求线段的长.【答案】【解析】直线的普通方程为，即，与抛物线方程联立方程组解得，∴AB ==11. 【xx 高考辽宁理第23题】将圆上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C .（Ⅰ）写出C 的参数方程；(Ⅱ)设直线与C 的交点为，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极坐标建立极坐标系，求过线段的中点且与垂直的直线的极坐标方程.【答案】（1）（t 为参数）；（2） .（2）由2214220yxx y⎧+=⎪⎨⎪+-=⎩解得：，或.不妨设,则线段的中点坐标为,所求直线的斜率为，于是所求直线方程为，化极坐标方程，并整理得，即.12. 【xx高考全国1第23题】已知曲线，直线：（为参数）.（I）写出曲线的参数方程，直线的普通方程；（II）过曲线上任意一点作与夹角为的直线，交于点，的最大值与最小值．【答案】（I）；（II）最大值为，最小值为.13. 【xx高考全国2第23题】在直角坐标系xoy中，以坐标原点为极点，x轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程为，.（Ⅰ）求C的参数方程；（Ⅱ）设点D在C上，C在D处的切线与直线垂直，根据（Ⅰ）中你得到的参数方程，确定D 的坐标.【答案】（Ⅰ）是参数，；（Ⅱ）【解析】（1）设点M 是C 上任意一点，则由可得C 的普通方程为：，即22(1)1(01)x y y -+=≤≤，所以C 的参数方程为是参数，.14. 【xx 高考上海理科】已知曲线C 的极坐标方程为，则C 与极轴的交点到极点的距离是 .【答案】【解析】令，则，，所以所求距离为.（xx ·新课标I 理）（23）（本小题10分）选修4—4：坐标系与参数方程已知曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x =4+5cost y =5+5sint （t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ=2sin θ。