算法设计与分析试题

依次递归直到棋盘为1×1的规模即可解决问题。
符号三角形问题算法思想
第1行有n个符号。两个同号下是“”两个异号下是“”。对
于给定n计算有多少个不同符号三角形使其所含的“”和“”
的个数相同。
回溯法是一种通用性解法可以将回溯法看作是带优化的穷举
法。

动态规划与分治法相同之处是也将原问题分解为若干子问题再递
归求解不同之处是所分解的子问题彼此并不独立而是互有重叠。
a) 最长公共子序列的结构
若用穷举搜索法耗时太长算法需要指数时间。
易证最长公共子序列问题也有最优子结构性质
设序列X=<x1, x2, …, xm>和Y=<y1, y2, …, yn>的一个最长公共子序
列X=<x1, x2, …, xm>和Y=<y1, y2, …, yn>作为输入。输出两个数
组c[0..m ,0..n]和b[1..m ,1..n]。其中c[i,j]存储Xi与Yj的最长公共
子序列的长度b[i,j]记录指示c[i,j]的值是由哪一个子问题的解达
到的这在构造最长公共子序列时要用到。最后X和Y的最长
后不放在同一行或同一列或同一斜线上。使用回溯法求解如下
static int n; //皇后个数
static int [] x; //当前解
static long sum; //当前已找到的可行方案数
public static long nQueen(int nn){
盖。
4
种L型骨牌
核心算法思想分治思想
在2○k×2○k个方格组成的棋盘中用到的L型骨牌有(4○k-1)/3个。从
分治的思想易得到需将问题微型化于是我们将棋盘平均分成四
个相似的棋盘。若特殊方格恰在图示的第一块区域为了符合分
治思想我们需要将其他三部分转化成同样具有特殊方格的棋盘
int main()
{
int m,n,result;
cout<<"Input:"<<endl;
cin>>m;
cin>>n;
result = ackermann(m,n);
cout<<result<<endl;



如在计算X和Y的最长公共子序列时可能要计算出X和Yn-1
及Xm-1和Y的最长公共子序列。而这两个子问题都包含一个公
共子问题即计算Xm-1和Yn-1的最长公共子序列。
我们来建立子问题的最优值的递归关系。用c[i,j]记录序列Xi和Yj
的最长公共子序列的长度。其中Xi=<x1, x2, …, xi>Yj=<y1, y2, …,










1,
2
0
)1),,1((),(
2)0,(
1),0(
2)0,1(
mn
n
m
mmnAAmnA
nnA
mA
A return 0;
}
int ackermann(int m, int n)
{
if (m == 0) return n+1;
if (n == 0) return ackermann(m-1, 1);
return ackermann(m-1, ackermann(m, n-1));
}
或者
#include <stdio.h>
贪心算法总体思想
顾名思义贪心算法总是做出在当前看来最好的选择。也就是说贪心
算法并不从整体最优考虑它所做出的选择只是在某种意义上的
局部最优选择。当然希望贪心算法得到的最终结果也是整体最
优的。虽然贪心算法不能对所有问题都得到整体最优解但对许
多问题它能产生整体最优解。如单源最短路径问题最小生成树
}
}
void main()
{
int a,b;
scanf("%d%d",&a,&b);
printf("%d\n",Ack(a,b));
}
在一个n×n的棋盘上放置彼此不受攻击n个皇后。即任何2个皇
以扩展为x[1i+1]所相应的符号三角形。最终由x[1n]所确定
的符号三角形中包含的“+”号个数与“-”号个数同为n*n+1
/4。因此在回溯搜索过程中可用当前符号三角形所包含的“+”号
个数与“-”号个数均不超过n*n+1/4作为可行性约束用于
剪去不满足约束的子树。对于给定的n当n*n+1/2为奇数时
n=nn;
sum=0;
x=new int [n+1];
for(int i=0;i<=n;i++)x[i]=0; //初始户
backtrack(1);
return sum;
}
请设计方法函数backtrack(int t)。
回溯法的基本思想是在一棵含有问题全部可能解的状态空间树
上进行深度优先搜索解为叶子结点。搜索过程中每到达一
个结点时则判断该结点为根的子树是否含有问题的解如果
可以确定该子树中不含有问题的解则放弃对该子树的搜索
退回到上层父结点继续下一步深度优先搜索过程。
在回溯法中并不是先构造出整棵状态空间树再进行搜索
z2, …, zk-1>。
最长公共子序列问题具有最优子结构性质。
b) 子问题的递归结构
由最长公共子序列问题的最优子结构性质可知要找出X=<x1, x2, …,
xm>和Y=<y1, y2, …, yn>的最长公共子序列可按以下方式递归
地进行当xm=yn时找出Xm-1和Yn-1的最长公共子序列
z2, …, zk-1>。
证明用反证法。若zk≠xm,则<z1,z2,…zk,xm> 是X和Y的长度为
k+1的公共子序列。这与Z是X和Y的一个最长公共子序列矛盾
因此必有zk=xm=yn。由此可知Zk-1是Xm-1和Yn-1的一个长
度为k-1的公共子序列W则将xm加在其尾部将产生X和Y的
然后在其尾部加上xm(=yn)即可得X和Y的一个最长公共子序列。
当xm≠yn时必须解两个子问题即找出Xm-1和Y的一个最长
公共子序列及X和Yn-1的一个最长公共子序列。这两个公共子序
列中较长者即为X和Y的一个最长公共子序列。
由此递归结构容易看到最长公共子序列问题具有子问题重叠性质。例
函数A(nm)定义如下
设计计算函数值A(nm)的递归函数。
阿克曼Ackermann)函数的c++程序
#include <iostream.h>
int ackermann(int m, int n);
i. 若xm=yn则zk=xm=yn且Zk-1是Xm-1和Yn-1的最长公共子序
列
ii. 若xm≠yn且zk≠xm 则Z是Xm-1和Y的最长公共子序列
iii. 若xm≠yn且zk≠yn 则Z是X和Yn-1的最长公共子序列。
其中Xm-1=<x1, x2, …, xm-1>Yn-1=<y1, y2, …, yn-1>Zk-1=<z1,
一个长度大于k的公共子序列。此为矛盾故Zk-1是Xm-1和Y
的一个最长公共子序列。
由于zk≠xm, Z是Xm-1和Y的一个公共子序列。若Xm-1和Y有
一个长度大于k的公共子序列W则W也是X和Y的一个长度
大于k的公共子序列。这与Z是X和Y的一个最长公共子序列矛
盾由此可知Z是Xm-1和Y的一个最长公共子序列。
问题等。在一些情况下即使贪心算法不能得到整体最优解其
最终结果却是最优解的很好近似。
棋盘骨牌覆盖问题算法思想
一个2k×2k k为非负整数个方格组成的特殊棋盘中有一个
方格为特殊方格。用4种不同形态的L型骨牌覆盖给定的特殊棋
盘上除特殊方格以外的所有方格任何2个L型骨牌不得重叠覆
;0,
0,0
]}][1[],1][[max{
1]1][1[
0
]][[ ii. 若xm≠yn且zk≠xm 则Z是Xm-1和Y的最长公共子序列
iii. 若xm≠yn且zk≠yn 则Z是X和Yn-1的最长公共子序列。
其中Xm-1=<x1, x2, …, xm-1>Yn-1=<y1, y2, …, yn-1>Zk-1=<z1,
号为“-”号1 ≤ i≤ n。由于x[i]是二值的所以在用回溯法
解符号三角形问题时可以用一棵完全二叉树来表示其解空间。
在符号三角形的第一行的前i个符号x[1i ]确定后就确定了
一个由i*i+1/2个符号组成的符号三角形。下一步确定了x[i+1]
的值后只要在前面已确定的符号三角形的右边加一条边就可
2??m的一个子序列隐刺X共有2m个不同子序列从而穷举搜
索发需要指数时间。事实上最长公共子序列问题也有最优子结构性质有
如下定理设序列X=<x1, x2, …, xm>和Y=<y1, y2, …, yn>的一个最
长公共子序列Z=<z1, z2, …, zk>则
int Ack(int m,int n)