2015抛物线载体下的几何综合

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高中数学抛物线的几何性质总结课件

高中数学抛物线的几何性质总结课件
开口大小与函数值随x变化的幅度有关,开口越小,函数值变化幅度越小;开口 越大,函数值变化幅度越大。
开口方向与开口大小的关系
开口方向与开口大小的相互影响
开口方向和开口大小是相互影响的,一般来说,向上开口的抛物线开口会逐渐变小,向下开口的抛物线开口会逐 渐变大。
特殊情况下的关系
当a=0时,抛物线退化为一条直线,此时开口方向和大小无法定义。
04 抛物线的对称性
抛物线的对称轴
抛物线关于其对称轴对称,对称轴是 一条垂直于x轴的直线。
对称轴是抛物线几何性质的一个重要 特征,它决定了抛物线的形状和位置 。
对于标准形式的抛物线 y=ax^2+bx+c,其对称轴的方程是 x=-b/2a。
抛物线的对称中心
抛物线的对称中心是其顶点的位 置,顶点坐标可以通过二次函数 的顶点式y=a(x-h)^2+k得到。
抛物线上的任意一点 到焦点的距离等于该 点到准线的距离。
抛物线的标准方程
开口向右的抛物线方程为 $y^2 = 2px$,其中 $p$ 是焦 距。
开口向左的抛物线方程为 $y^2 = -2px$,其中 $p$ 是 焦距。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
抛物线的标准方程可以根据焦 点和准线的位置进行变换。
抛物线的几何性质
01
02
03
开口方向与函数值变化趋势
开口方向与函数值随x的变化趋势一致,向上开口时函数值随x增大而增大,向 下开口时函数值随x增大而减小。
抛物线的开口大小
开口大小与二次项系数的绝对值大小
开口大小由二次项系数的绝对值|a|决定,|a|越大,抛物线开口越小;|a|越小,抛 物线开口越大。
开口大小与函数值变化幅度的关系

抛物线与几何综合题的解析梳理与拓展探究

抛物线与几何综合题的解析梳理与拓展探究

抛物线与几何综合题的解析梳理与拓展探究作者:***来源:《中学教学参考·理科版》2024年第02期[摘要]拋物线与几何综合题常作为中考压轴题,综合考查学生的知识与能力。

对于抛物线与几何综合题,教师应指导学生解读题型特点,围绕真题进行探究分析,总结考点知识,挖掘解题模型,并适度拓展。

[关键词]抛物线;几何;一线三垂直;模型[中图分类号] G633.6 [文献标识码] A [文章编号] 1674-6058(2024)05-0028-04一、问题综述抛物线与几何综合题在初中数学中十分常见,常作为压轴题综合考查学生的知识掌握情况与综合解析问题的能力。

该类题型有以下三大特点:一是融合代数与几何的相关知识,具有数与形的双重特点。

(探究解析时建议采用数形结合思想)二是隐含众多几何模型,如“将军饮马”模型、“一线三垂直”模型、隐圆模型等。

(探究解析时建议充分运用相应的模型)三是设问具有关联性,即问题之间虽相互独立,但其在条件、结论以及解题思路上具有一定的联系。

(可以把握问题间的联系来探索解题思路)对于此类题型的解题探究,建议教师精选近几年的典型中考数学真题,深度解析真题,分析解题方法及模型构建思路,并围绕真题核心内容开展拓展探究,指导学生强化知识与方法,培养解题思维。

二、真题探究2023年江苏省连云港市中考数学试卷第26题为典型的抛物线与几何综合题,以抛物线与直线相交为基础,将代数与几何的相关知识融合在一起,设定条件综合考查学生的探究能力和问题解决能力。

下面笔者逐一解析问题,探究解题思路。

(一)考题再现如图1所示,在平面直角坐标系[xOy]中,抛物线[L1:y=x2-2x-3]的顶点为[P]。

直线[l]过点[M(0,m)]([m≥-3]),且平行于[x]轴,与抛物线[L1]交于[A]、[B]两点([B]在[A]的右侧)。

将抛物线[L1]沿直线[l]翻折得到抛物线[L2],抛物线[L2]交[y]轴于点[C],顶点为[D]。

高二数学抛物线的几何性质3

高二数学抛物线的几何性质3
解:因为抛物线关于x轴对称,它的顶点在原点,并且经过 点M (2,2 2),所以,可设它的标准方程为y2 2Px(P 0)
因为点M在抛物线上,所以 (2 2)2 2P 2,即p 2
因此,所求抛物线的标 准方程是 y2 4x
例4 斜率为1的直线l经过抛物线y2 4x的焦点F,且与
所以AB AF BF x1 x2 2
例4 斜率为1的直线l经过抛物线y2 4x的焦点F,且与
抛物线相交于A, B两点,求线段AB的长。
由已知得抛物线的焦点为F (1,0),
所以直线AB的方程为y x 1 A’
代入方程 y2 4x,得(x 1)2 4x,
y
A
化简得x2 6x 1 0.
五、抛物线开口方向的判断
y2 2 px X + ,x轴正半轴,向右 y2 2 px X - ,x轴负半轴,向左 x2 2 py y + ,y轴正半轴,向上 x2 2 py y - ,y轴负半轴,向下
六、抛物线开口大小 y y2=2px
A
l
过焦点且垂直于对称轴的直线
· x 被抛物线截得的线段AB叫做抛
抛物线相交于A, B两点,求线段AB的长。
解:由题意可知,p 2, p 1,
准线l : x 1.
2
A’
y
A
设A(x1, y1), B(x2, y2), A, B到
准线l的距离分别为dA, dB.
OF
x
由抛物线的定义可知
B’ B
AF dA x1 1,
BF dB x2 1,
例 5、已知抛物线顶点在原点,以 x 轴为 对称轴且与圆 x2+y2=4 相交的公共弦长 为 2 3 ,求抛物线的方程。

抛物线的简单几何性质

抛物线的简单几何性质

x
直线与抛物线的关系
例3.已知抛物线y2=4x,过定点A(-2, 1)的
直线l的斜率为k,下列情况下分别求k的
取值范围:
1. l与抛物线有且仅有一个公共点;
2. l与抛物线恰有两个公共点;
3. l与抛物线没有公共点.
例 1 已知抛物线的方程为 y 4 x ,直线 l 过定点 P ( 2 , 1 ) ,斜率为 k , k 为何值时,直线 l 与抛物线 2 y 4 x :⑴只有一个公共点;⑵有两个公共点;⑶ 没有公共点?
l
y
(4) 离心率:
O
F
x
e =1
方程 图
y2 = 2px
(p>0)
y
l O F x
y2 = -2px
x2 = 2py
x2 = -2py
(p>0)
y
x
l l F x
(p>0)
y
F
O l
(p>0)
y
x
O F
形 范围
对称 性
O
x≥0 y∈R
x≤0 y∈R
x∈R y≥0
x∈R y≤0
关于x轴对称 (0,0) e=1
2
分析:直线与抛物 线有一个公共点 的情况有两种情 形:一种是直线 平行于抛物线的 对称轴; 另一种是直线与 抛物线相切.

归纳方法:
1.联立方程组,并化为关于x或y的一元方程;
2.考察二次项的系数是否为0,
①若为0,则直线与抛物线的对称轴平行, 直线与抛物线有且仅有一个交点; ②若不为0,则进入下一步. 3.考察判别式 ⊿<0 直线与抛物线相离. ⊿=0 直线与抛物线相切; ⊿>0 直线与抛物线相交;

抛物线的简单几何性质 课件

抛物线的简单几何性质 课件

对称轴
_x_轴
_y_轴
顶点 性 质 焦点
准线
F(p ,0) ___2___ _x____p2_
_O_(_0_,_0_)_
F( p ,0) ____2____
_x___p2__
F(0, p) _____2__ yp ______2_
F(0, p) ______2__
y p ____2__
离心率
e=_1_
即又yx020y=02p2p(x0,xy∴∴00x)y00=2=21p,xp2+0(x0=-52p),.
p 2
因此直线AB的方程为x=5p .
2
【互动探究】题2中,若把“垂心”改为“重心”,AB的方程如 何? 【解析】根据抛物线的对称性,因为F为△OAB的重心,所以A,B 两点关于x轴对称.又根据重心的性质, ∵|OF|= p,
FA FB
【解题探究】1.判断直线与圆位置关系时最常用的方法是什 么? 2.什么是定值? 探究提示: 1.判断直线与圆的位置关系时,一般利用几何法进行判断,即判 断圆心到直线的距离与半径的大小. 2.定值就是代数式化简的结果与任何参数都无关.
【证明】1.如图,作AA1⊥l于A1,BB1⊥l于B1,
抛物线的简单几何性质
抛物线的简单几何性质
标准方程
y2=2px (p>0)
y2=-2px (p>0)
x2=2py (p>0)
x2=-2py (p>0)
图象
标准方程
y2=2px (p>0)
y2=-2px (p>0)
x2=2py (p>0)
x2=-2py (p>0)
范围 _x_≥_0_,_y_∈__R_ _x_≤__0_,_y∈__R_ _x_∈__R_,_y_≥_0_ x_∈__R_,_y_≤__0_

2014-2015学年高中数学(人教版选修2-1)配套课件第二章 2.4.2 抛物线的简单几何性质

2014-2015学年高中数学(人教版选修2-1)配套课件第二章 2.4.2 抛物线的简单几何性质

x∈R,y≥0
x∈R,y≤0
栏 目 链 接
x 轴 ____ O(0,0) ________
______ e= 1
y轴 ____
性 质
顶点 离心率 开口方 向
向右 ____
向左 ____
向上 ____
向下 ____
基 础 梳 理 2.焦半径与焦点弦. 抛物线上一点与焦点F的连线段叫做焦半径,过焦 点的直线与抛物线相交所得弦叫做焦点弦.设抛物线上 任意一点P(x0,y0),焦点弦端点A(x1,y1),B(x2,y2), 则四种标准形式下的焦点弦和焦半径公式
D.y=4
栏 目 链 接
解析:对于此类问题,解决过程中尤其要注意所给的方 1 2 程形式是否是标准方程形式,否则容易出错.由 y=- x 得 8 x2=-8y,故其准线方程是 y=2. 答案:C
3.设抛物线 y2=8x 的焦点为 F,准线为 l,P 为抛物线上一点,
PA⊥l,A 为垂足.如果直线 AF 的斜率为- 3,那么|PF|=( B )
变 式 迁 移
解析:(1)依题意知抛物线方程为 x2=±2py(p>0)的形式, 又 =3,所以 p=6,2p=12,故方程为 x2=±12y. 2 (2)线段 OA 的垂直平分线为 4x+2y-5=0,与 x 轴的交点 5 5 为 ,0,所以抛物线的焦点为 ,0,所以其标准方程是 y2= 4 4 5x. 答案:(1)C (2)y2=5x
解析:抛物线的焦点为 F(1,0),准线方程为 x=-1.由抛物线 p p 定义知|AB|=|AF|+|BF|=x1+ +x2+ =x1+x2+p,即 x1+x2+2 2 2 5 =7,得 x1+x2=5,于是弦 AB 的中点 M 的横坐标为 .因此点 M 2 5 7 到抛物线准线的距离为 +1= . 2 2

抛物线的简单几何性质

抛物线的简单几何性质
与抛物线方程联立,得y=43x-1 , y2=4x
消去 y,整理得 4x2-17x+4=0, 由抛物线的定义可知,|AB|=x1+x2+p= 147+2=245. 所以,线段 AB 的长为245.
[点评] 过抛物线焦点的直线与抛物线相交弦长问 题是抛物线中常见问题.解决此类问题,通常有三种 解法:(1)焦点弦长公式,
|AB|= p-y1-y2
典例精析
类型一 抛物线的简单几何性质 [例1] 抛物线的顶点在原点,对称轴重合于椭圆 9x2+4y2=36短轴所在的直线,抛物线焦点到顶点的距 离为3,求抛物线的方程. [分析] 先确定抛物线方程的形式,再依条件求待 定参数.
[解] 椭圆 9x2+4y2=36 可化为x42+y92=1,得抛物 线的对称轴为 x 轴.
(2)顶点在原点,对称轴为y轴时的抛物线方程可设 为x2=ay(a≠0),当a>0时,抛物线开口向上,当a<0时, 抛物线开口向下.
类型二 抛物线的焦点弦问题 [例 2] 斜率为43的直线 l 经过抛物线 y2=2px 的
焦点 F(1,0),且与抛物线相交于 A、B 两点. (1)求该抛物线的标准方程和准线方程; (2)求线段 AB 的长; [分析] (1)由抛物线焦点坐标得 p 值,求出抛物
(3)方法一:如图 4,知直线 AB 斜率必存在 故设 AB 方程为 y-1=m(x-1) 即 y=mx-m+1,设 A(x1,y1),B(x2,y2) 则由yx=2=m4xy-m+1 得 x2-4mx+4m-4=0
图4
则 x1+x2=4m,而x1+2 x2=1 即 x1+x2=2 ∴4m=2,m=12, 故直线 AB 方程为 x-2y+1=0.
方法二:设 A(x1,y1),B(x2,y2),则xx2122= =44yy12① ②

2014-2015学年高中数学选修2-1 抛物线的标准方程及简单几何性质导学案

2014-2015学年高中数学选修2-1  抛物线的标准方程及简单几何性质导学案

抛物线及其标准方程导学案【学习要求】1.掌握抛物线的定义及焦点、准线的概念. 2.会求简单的抛物线的方程.【学法指导】通过观察抛物线的形成过程,得出抛物线定义,建系得出抛物线标准方程.通过抛物线及其标准方程的应用,体会抛物线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.【知识要点】1.抛物线的定义平面内与一个定点F 和一条定直线l (l 不经过点F ) 的点的轨迹叫做抛物线.点F 叫做抛物线的 ,直线l 叫做抛物线的 2探究点一 抛物线定义如图,我们在黑板上画一条直线EF ,然后取一个三角板,将一条拉链AB 固定在三角板的一条直角边上,并将拉链下边一半的一端固定在C 点,将三角板的另一条直角边贴在直线EF 上,在拉锁D 处放置一支粉笔,上下拖动三角板,粉笔会画出一条曲线. 问题1 画出的曲线是什么形状?问题2 |DA |是点D 到直线EF 的距离吗?为什么?问题3 点D 在移动过程中,满足什么条件?问题 4 在抛物线定义中,条件“l 不经过点F ”去掉是否可以?例1 方程[]22)1()3(2-++y x =|x -y +3|表示的曲线是( )A .圆B .椭圆C .双曲线D .抛物线跟踪训练1 (1)若动点P 与定点F (1,1)和直线l :3x +y -4=0的距离相等,则动点P 的轨迹是 ( ) A .椭圆 B .双曲线 C .抛物线 D .直线(2)若动圆与圆(x -2)2+y 2=1相外切,又与直线x +1=0相切,则动圆圆心的轨迹是 ( ) A .椭圆 B .双曲线 C .双曲线的一支 D .抛物线探究点二 抛物线的标准方程问题 1 结合求曲线方程的步骤,怎样求抛物线的标准方程?问题2 抛物线方程中p 有何意义?标准方程有几种类型?问题3 根据抛物线方程如何求焦点坐标、准线方程?例2 已知抛物线的方程如下,求其焦点坐标和准线方程. (1)y 2=-6x ; (2)3x 2+5y =0; (3)y =4x 2; (4)y 2=a 2x (a ≠0).跟踪训练2 (1)抛物线方程为7x +4y 2=0,则焦点坐标为( ) A .⎝⎛⎭⎫716,0 B .⎝⎛⎭⎫-74,0 C .⎝⎛⎭⎫-716,0D .⎝⎛⎭⎫0,-74 (2)抛物线y =-14x 2的准线方程是 ( )A .x =116B .x =1C .y =1D .y =2例3 分别求满足下列条件的抛物线的标准方程. (1)准线方程为2y +4=0; (2)过点(3,-4);(3)焦点在直线x +3y +15=0上.跟踪训练3 (1)经过点P (4,-2)的抛物线的标准方程为( ) A .y 2=x 或x 2=y B .y 2=x 或x 2=8y C .x 2=-8y 或y 2=x D .x 2=y 或y 2=-8x(2)已知抛物线的顶点在原点,焦点在y 轴上,抛物线上一点M (m ,-3)到焦点F 的距离为5,求m 的值、抛物线方程及其准线方程.探究点三 抛物线定义的应用例4 已知点A (3,2),点M 到F ⎝⎛⎭⎫12,0的距离比它到y 轴的距离大12. (1)求点M 的轨迹方程;(2)是否存在M ,使|MA |+|MF |取得最小值?若存在,求此时点M 的坐标;若不存在,请说明理由. 跟踪训练4 (1)抛物线y =4x 2上的一点M 到焦点的距离为1,则点M 的纵坐标是 ( ) A .1716B .1516C .78D .0(2)已知点P 是抛物线y 2=2x 上的一个动点,则点P 到点(0,2)的距离与点P 到该抛物线准线的距离之和的最小值是( ) A .172B .3C . 5D .92【当堂检测】1.已知抛物线的准线方程为x =-7,则抛物线的标准方程为 ( ) A .x 2=-28y B .y 2=28x C .y 2=-28x D .x 2=28y2.抛物线y 2=2px (p >0)上一点M 到焦点的距离是a (a >p2),则点M 的横坐标是 ( )A .a +p2B .a -p2C .a +pD .a -p3.已知直线l 1:4x -3y +6=0和直线l 2:x =-1,抛物线y 2=4x 上一动点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值是 ( ) A .2B .3C .115D .37164.焦点在y 轴上,且过点A (1,-4)的抛物线的标准方程是__________【课堂小结】1.抛物线的定义中不要忽略条件:点F 不在直线l 上.2.确定抛物线的标准方程,从形式上看,只需求一个参数p ,但由于标准方程有四种类型,因此,还应确定开口方向,当开口方向不确定时,应进行分类讨论.有时也可设标准方程的统一形式,避免讨论,如焦点在x 轴上的抛物线标准方程可设为y 2=2mx (m ≠0),焦点在y 轴上的抛物线标准方程可设为x 2=2my (m ≠0).【拓展提高】1.若点P 到点(4,0)F 的距离比它到直线50x +=的距离小1,则P 点的轨迹方程是( ) A .216y x =- B .232y x =- C .216y x = D .232y x =2.过抛物线x y 42=的焦点作直线交抛物线于),(),,(2211y x B y x A 两点,如果621=+x x ,那么AB =( )A .10B .8C .6D .43.过抛物线y 2=2px (p >0)的焦点F 的直线l 交抛物线于点A 、B ,交其准线于点C ,若|BC |=2|BF |,且|AF |=3,则此抛物线方程为( )A .y 2=9xB .y 2=6xC .y 2=3xD .y 2=3x4.抛物线x y 42=上的两点A 、B 到焦点的距离之和为10,则线段AB 中点到y 轴的距离为抛物线的简单几何性质(一)导学案【学习要求】1.了解抛物线的范围、对称性、顶点、焦点、准线等几何性质. 2.会利用抛物线的性质解决一些简单的抛物线问题.【学法指导】结合椭圆和双曲线的几何性质,类比抛物线的性质,通过对抛物线的标准方程的讨论,进一步理解用代数方法研究几何性质的优越性,感受坐标法和数形结合的基本思想.【知识要点】12.焦点弦直线过抛物线y 2=2px (p >0)的焦点F ,与抛物线交于A (x 1,y 1)、B (x 2,y 2)两点,由抛物线的定义知,|AF |=x 1+p 2,|BF |=x 2+p2,故|AB |=3.直线与抛物线的位置关系直线y =kx +b 与抛物线y 2=2px (p >0)的交点个数决定于关于x 的方程 的解的个数.当k ≠0时,若Δ>0,则直线与抛物线有 个不同的公共点;当Δ=0时,直线与抛物线有 个公共点;当Δ<0时,直线与抛物线 公共点.当k =0时,直线与抛物线的轴 ,此时直线与抛物线有 个公共点.【问题探究】探究点一 抛物线的几何性质问题1 类比椭圆、双曲线的几何性质,结合图象,说出抛物线y 2=2px (p >0)的范围、对称性、顶点、离心率.怎样用方程验证?问题 2 通过抛物线的几何性质,怎样探求抛物线的标准方程?例1 若抛物线y 2=x 上一点P 到准线的距离等于它到顶点的距离,则点P 的坐标为 ( ) A .⎝⎛⎭⎫14,±24B .⎝⎛⎭⎫18,±24C .⎝⎛⎭⎫14,24D .⎝⎛⎭⎫18,24跟踪训练1 抛物线y 2=2px (p >0)上一点M 的纵坐标为-42,这点到准线的距离为6,则抛物线方程为________探究点二 抛物线的焦点弦问题例2 已知直线l 经过抛物线y 2=6x 的焦点F ,且与抛物线相交于A 、B 两点. (1)若直线l 的倾斜角为60°,求|AB |的值;(2)若|AB |=9,求线段AB 的中点M 到准线的距离.跟踪训练2 已知过抛物线y 2=4x 的焦点F 的弦长为36,求弦所在的直线方程.探究点三 直线与抛物线的位置关系问题 结合直线与椭圆、直线与双曲线的位置关系,请你思考一下怎样讨论直线与抛物线的位置关系?例3 已知抛物线的方程为y 2=4x ,直线l 过定点P (-2,1),斜率为k ,k 为何值时,直线l 与抛物线y 2=4x :只有一个公共点;有两个公共点;没有公共点?跟踪训练3 过点(-3,2)的直线与抛物线y 2=4x 只有一个公共点,求此直线方程.【当堂检测】1.设AB 为过抛物线y 2=2px (p >0)的焦点的弦,则|AB |的最小值为 ( ) A .p2B .pC .2pD .无法确定2.设抛物线y 2=8x 的准线与x 轴交于点Q ,若过点Q 的直线l 与抛物线有公共点,则直线l 的斜率的取值范围是( )A .⎣⎡⎦⎤-12,12 B .[-2,2] C .[-1,1] D .[-4,4]3.抛物线y =4x 2上一点到直线y =4x -5的距离最短,则该点坐标为 ( ) A .(1,2)B .(0,0)C .⎝⎛⎭⎫12,1D .(1,4)4.已知过抛物线y 2=4x 的焦点F 的直线交该抛物线于A 、B 两点,|AF |=2,则|BF |=_______【课堂小结】1.讨论抛物线的几何性质,一定要利用抛物线的标准方程;利用几何性质,也可以根据待定系数法求抛物线的方程.2.直线与抛物线有一个交点,是直线与抛物线相切的必要不充分条件.3.直线与抛物线的相交弦问题共有两类,一类是过焦点的弦,一类是不过焦点的弦.解决弦的问题,大多涉及到抛物线的弦长、弦的中点、弦的斜率.常用的办法是将直线与抛物线联立,转化为关于x 或y 的一元二次方程,然后利用根与系数的关系,这样避免求交点.尤其是弦的中点问题,还应注意“点差法”的运用.【拓展提高】1.若双曲线2221613x y p -=的左焦点在抛物线22y px =的准线上,则p 的值为( )A .2B .3C .4D .2.设O 为坐标原点,F 为抛物线x y 42=的焦点,A 为抛物线上的一点,若4OA AF ∙=-,则点A 的坐标为( )A .)22,2(±B .)2,1(±C .)2,1(D .)22,2(3.已知直线l :y =-x +1和抛物线C :x y 42=,设直线与抛物线的交点为B A 、,求AB 的长。

抛物线的几何性质

抛物线的几何性质

M (x, y)
关于x轴 对称
M1(x, y)
由于点(x, y) 也满
足 y2 = 2px ,故抛物线 y2 = 2px
(p>0)关于x轴对称.
y M(x,y)
o F( p ,0) x
2
M1(x,-y)
3、 顶点
y
定义:抛物线
与它的轴的交点叫 做抛物线的顶点。
o F( p ,0) x
2
抛物线y2 = 2px
抛物线的几何性质
(一)回顾
图形
y
l
OF x
焦点
F ( p ,0) 2
yl
FO x
F ( p ,0) 2
y
F
O
x
l
y
l
O F
x
F (0, p ) 2
F (0, p ) 2
准线
x p 2
x p 2
y p 2
y p 2
方程
y2 = 2px (p>0)
y2 = -2px (p>0) x2 = 2py (p>0)
3.抛物线只有一个顶点,一个焦点,一条 准线; 4.抛物线的离心率是确定的,为1。
5、抛物线的通径 2p
6、抛物线不是双曲线的一部分。
y
1
O1
x
(三)例题
例1.已知抛物线关于x轴 对称,它的顶点在坐标原点, 并且经过点M(2,2 2),求它 的标准方程。
例2.探照灯反光镜的轴截面是 抛物线的一 部分,光源位于抛物 线的焦点处.已知灯口圆的直径 为60cm,灯深40cm.求抛物线的 标准方程和焦点位置。
得到直线l 的方程为 y 2 p (x 2 p) yA yB

抛物线的标准方程与几何性质

抛物线的标准方程与几何性质

y2 =4x、 y2 = -4x、
x2 =4y 或 x2 = -4y
A
19
练习1
2、已知抛物线的标准方程是(1)y2 =12x、(2)y= 12x2 求它们的焦点坐标和准线方程;
解(:1)p=6,焦点坐标是(3,0)准线方程是
x=-3.
(2)先化为标准方程 x2 1 y ,p 1 ,
12
24
1
=
9
2
A
y或y2 =
4
x。
3 21
练习2
已知抛物线经过点P(4,-2),求抛物线的标 准方程。
提示:注意到P为第四象限的点,所以可以设抛物线
的标准方程为y2=2px或x2=-2py
解: 点P(4,2)位于第四象限,设方所程求为
y2 2p1x或x2 2p2y,将x4, y 2代入,
可得p1
1, 2
抛物线的标准方程还有
几种不同的形式?它们是 如何建系的?
A
10
三. 四种抛物线及其它们的标准方程
y

OF
x

l
y
y
FO x
F
O
l
l
y l
O
x
F
x
焦点位置
x轴的 正半轴上
x轴的 负半轴上
y轴的 正半轴上
y轴的 负半轴上
标准方程 y2=2px y2=-2px
x2=2py x2=-2py
焦点坐标 准线方程
O
x l
O F
x
x≥0 y∈R x≤0 y∈R x∈R y≥0 x∈R y≤0
对称性 关于x轴对称 关于x轴对称 关于y轴对称 关于y轴对称
顶点 (0,0) (0,0) (0,0) (0,0)

抛物线与几何图形的综合

抛物线与几何图形的综合

抛物线与几何图形的综合◆类型一二次函数与三角形的综合一、全等三角形的存在性问题1.如图,抛物线y=x2+bx+c经过点(1,-4)和(-2,5),请解答下列问题:(1)求抛物线的解析式;(2)若抛物线与x轴的两个交点为A,B,与y轴交于点C.在该抛物线上是否存在点D,使得△ABC与△ABD全等?若存在,求出D点的坐标;若不存在,请说明理由.二、线段(或周长)的最值问题及等腰三角形的存在性问题2.如图,已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过A(-1,0),B(3,0),C(0,-3)三点,直线l是抛物线的对称轴.(1)求抛物线的函数关系式;(2)设点P是直线l上的一个动点,当点P到点A、点B的距离之和最短时,求点P的坐标;(3)点M也是直线l上的动点,且△MAC为等腰三角形,请直接写出所有符合条件的点M的坐标.◆类型二二次函数与平行四边形的综合3.如图,抛物线y=ax2+2ax+c(a>0)与y轴交于点C,与x轴交于A,B 两点,A点在B点左侧.若点E在x轴上,点P在抛物线上,且以A,C,E,P为顶点的四边形是平行四边形,则符合条件的点P有()A.1个B.2个C.3个D.4个4.如图,抛物线y=12x2+x-32与x轴相交于A,B两点,顶点为P.(1)求点A,B的坐标;(2)在抛物线上是否存在点E,使△ABP的面积等于△ABE的面积?若存在,求出符合条件的点E的坐标;若不存在,请说明理由;(3)坐标平面内是否存在点F,使得以A,B,P,F为顶点的四边形为平行四边形?直接写出所有符合条件的点F的坐标.◆类型三二次函数与矩形、菱形、正方形的综合5.如图,在平面直角坐标系中,点A在抛物线y=x2-2x+2上运动.过点A作AC⊥x轴于点C,以AC为对角线作矩形ABCD,连接BD,则对角线BD的最小值为________.第5题图第6题图6.如图,抛物线y =ax 2-x -32与x 轴正半轴交于点A(3,0).以OA 为边在x 轴上方作正方形OABC ,延长CB 交抛物线于点D ,再以BD 为边向上作正方形BDEF.则a =,点E 的坐标是_________________.7.如图,对称轴为直线x =72的抛物线经过点A(6,0)和B(0,-4).(1)求抛物线的解析式及顶点坐标;(2)设点E(x ,y)是抛物线上一动点,且位于第一象限,四边形OEAF 是以OA 为对角线的平行四边形,求平行四边形OEAF 的面积S 与x 之间的函数关系式;(3)当(2)中的平行四边形OEAF 的面积为24时,请判断平行四边形OEAF 是否为菱形.8.正方形OABC 的边长为4,对角线相交于点P ,抛物线l 经过O ,P ,A 三点,点E 是正方形内的抛物线l 上的动点.(1)建立适当的平面直角坐标系,①直接写出O ,P ,A 三点的坐标;②求抛物线l 的解析式;(2)求△OAE 与△OCE 面积之和的最大值.答案:。

学案1:2.7.2 抛物线的几何性质

学案1:2.7.2 抛物线的几何性质

2.7.2抛物线的几何性质学习目标核心素养1.了解抛物线的范围、对称性、顶点、焦点、准线等几何性质.(重点)2.会利用抛物线的性质解决一些简单的抛物线问题.(重点、难点)3.掌握直线与抛物线相交时与弦长相关的知识.通过抛物线的几何性质的学习,培养直观想象、数学运算素养.【情境导学】情境引入如果让抛物线绕其对称轴旋转,就得到一个旋转形成的抛物面曲面,旋转抛物面的轴上,有一个焦点,任何一条平行于抛物面轴的光(射)线由抛物面上反射出来之后,其反射光(射)线都通过该点,应用抛物面的这个几何性质,人们设计了很多非常有用的东西,如太阳灶、卫星电视天线、雷达等.当然这条性质本身也是抛物线的一条性质,今天我们就来具体研究一下构成抛物面的线——抛物线的几何性质.新知初探1.抛物线的几何性质标准方程y2=2px(p>0)y2=-2px(p>0)x2=2py(p>0)x2=-2py(p>0)图形性质范围x≥0,y∈R x≤0,y∈R x∈R,y≥0x∈R,y≤0对称轴x轴y轴顶点离心率e=思考1:抛物线x2=2py(p>0)有几条对称轴?思考2:抛物线的范围是x∈R,这种说法正确吗?思考3:参数p对抛物线开口大小有何影响?2.焦点弦设过抛物线焦点的弦的端点为A(x1,y1),B(x2,y2),则初试身手1.思考辨析(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)抛物线是中心对称图形.()(2)抛物线的范围为x∈R.()(3)抛物线关于顶点对称.()(4)抛物线的标准方程虽然各不相同,但离心率都相同.()2.设抛物线y2=8x上一点P到y轴的距离是6,则点P到该抛物线焦点F的距离是() A.8B.6C.4D.23.过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2),若x1+x2=6,则|AB|=.4.顶点在原点,对称轴是x轴,并且顶点与焦点的距离等于6的抛物线方程是.【合作探究】【例1】(1)平面直角坐标系xOy中,有一定点A(2,1),若线段OA的垂直平分线过抛物线y2=2px(p>0)的焦点,则该抛物线的标准方程是.(2)抛物线的顶点在原点,对称轴重合于椭圆9x2+4y2=36短轴所在的直线,抛物线焦点到顶点的距离为3,求抛物线的方程及抛物线的准线方程.[规律方法]用待定系数法求抛物线方程的步骤提醒:求抛物线的方程时要注意抛物线的焦点位置.不同的焦点设出不同的方程.[跟进训练]1.已知抛物线关于x轴对称,它的顶点在坐标原点,其上一点P到准线及对称轴距离分别为10和6,求抛物线方程.【例2】(1)抛物线y2=4x的焦点为F,准线为l,点A是抛物线上一点,且∠AFO=120°(O 为坐标原点),AK⊥l,垂足为K,则△AKF的面积是.(2)已知正三角形AOB的一个顶点O位于坐标原点,另外两个顶点A,B在抛物线y2=2px(p >0)上,求这个三角形的边长.[规律方法]利用抛物线的性质可以解决的问题(1)对称性:解决抛物线的内接三角形问题.(2)焦点、准线:解决与抛物线的定义有关的问题.(3)范围:解决与抛物线有关的最值问题.(4)焦点:解决焦点弦问题.提醒:解答本题时易忽略A,B关于x轴对称而出错.[跟进训练]2.已知双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的两条渐近线与抛物线y2=2px(p>0)的准线分别交于A、B两点,O为坐标原点,若双曲线的离心率为2,△AOB的面积为3,求抛物线的标准方程.[探究问题]以抛物线y2=2px(p>0)为例,回答下列问题:(1)过焦点F的弦长|AB|如何表示?还能得到哪些结论?(2)以AB为直径的圆与直线l具有怎样的位置关系?(3)解决焦点弦问题需注意什么?【例3】已知抛物线方程为y2=2px(p>0),过此抛物线的焦点的直线与抛物线交于A,B两点,且|AB|=52p,求AB所在直线的方程.[思路探究]根据弦长求出直线斜率,进而求得直线方程.[母题探究]1.(改变问法)本例条件不变,求弦AB的中点M到y轴的距离.2.(变换条件)本例中,若A 、B 在其准线上的射影分别为A 1,B 1,求∠A 1FB 1.[规律方法]解决过焦点的直线与抛物线相交有关的问题时,一是注意直线方程和抛物线方程联立得方程组,再结合根与系数的关系解题,二是注意焦点弦长、焦半径公式的应用.解题时注意整体代入思想的运用,简化运算.【课堂小结】1.讨论抛物线的几何性质,一定要利用抛物线的标准方程;利用几何性质,也可以根据待定系数法求抛物线的方程.2.解决抛物线的轨迹问题,可以利用抛物线的标准方程,结合抛物线的定义.3.抛物线y 2=±2px (p >0)的过焦点的弦长|AB |=x 1+x 2+p ,其中x 1,x 2分别是点A ,B 横坐标的绝对值;抛物线x 2=±2py (p >0)的过焦点的弦长|AB |=y 1+y 2+p ,其中y 1,y 2分别是点A ,B 纵坐标的绝对值.4.求抛物线的方程常用待定系数法和定义法;直线和抛物线的弦长问题、中点弦问题及垂直、对称等可利用判别式、根与系数的关系解决;抛物线的综合问题要深刻分析条件和结论,灵活选择解题策略,对题目进行转化.【学以致用】1.若抛物线y 2=2x 上有两点A 、B 且AB 垂直于x 轴,若|AB |=22,则抛物线的焦点到直线AB 的距离为( )A .12B .14C .16D .182.在抛物线y 2=16x 上到顶点与到焦点距离相等的点的坐标为( ) A .(42,±2) B .(±42,2) C .(±2,42)D .(2,±42)3.设O 为坐标原点,F 为抛物线y 2=4x 的焦点,A 是抛物线上一点,若OA →·AF →=-4,则点A 的坐标是( ) A .(2,±22)B .(1,±2)C.(1,2) D.(2,22)4.已知AB是过抛物线2x2=y的焦点的弦,若|AB|=4,则AB的中点的纵坐标是.5.已知点P(1,m)是抛物线C:y2=2px上的点,F为抛物线的焦点,且|PF|=2,直线l:y =k(x-1)与抛物线C相交于不同的两点A,B.(1)求抛物线C的方程;(2)若|AB|=8,求k的值.【参考答案】【情境导学】新知初探2.抛物线的几何性质(0,0)1思考1:[提示]有一条对称轴.思考2:[提示]抛物线的方程不同,其范围就不一样,如y2=2px(p>0)的范围是x≥0,y∈R,故此说法错误.思考3:[提示]参数p(p>0)对抛物线开口大小有影响,因为过抛物线的焦点F且垂直于对称轴的弦的长度是2p,所以p越大,开口越大.初试身手1.[答案](1)×(2)×(3)×(4)√[提示](1)×在抛物线中,以-x代x,-y代y,方程发生了变化.(2)×抛物线的方程不同,其范围不同,y2=2px(p>0)中x≥0,y∈R.(3)×(4)√离心率都为1,正确.2.A[∵抛物线的方程为y2=8x,∴其准线l的方程为x=-2,设点P(x0,y0)到其准线的距离为d,则d=|PF|,即|PF|=d=x0-(-2)=x0+2,∵点P到y轴的距离是6,∴x0=6,∴|PF|=6+2=8.]3.8[∵y2=4x,∴2p=4,p=2.∵由抛物线定义知:|AF|=x1+1,|BF|=x2+1,∴|AB|=x1+x2+p=6+2=8.]4.y2=24x或y2=-24x[∵顶点与焦点距离为6,即p2=6,∴2p=24,又对称轴为x轴,∴抛物线方程为y2=24x或y2=-24x.]【合作探究】【例1】(1)y 2=5x [线段OA 的垂直平分线为4x +2y -5=0,与x 轴的交点为⎝⎛⎭⎫54,0, ∴抛物线的焦点为⎝⎛⎭⎫54,0,∴其标准方程是y 2=5x .] (2)解:椭圆的方程可化为x 24+y 29=1,其短轴在x 轴上,∴抛物线的对称轴为x 轴,∴设抛物线的方程为y 2=2px 或y 2=-2px (p >0). ∵抛物线的焦点到顶点的距离为3,即p2=3,∴p =6,∴抛物线的标准方程为y 2=12x 或y 2=-12x , 其准线方程分别为x =-3和x =3. [跟进训练]1.[解] 设抛物线方程为y 2=2ax (a ≠0),点P (x 0,y 0). 因为点P 到对称轴距离为6,所以y 0=±6,因为点P 到准线距离为10,所以⎪⎪⎪⎪x 0+a2=10. ① 因为点P 在抛物线上,所以36=2ax 0. ②由①②,得⎩⎪⎨⎪⎧ a =2,x 0=9或⎩⎪⎨⎪⎧a =18,x 0=1 或⎩⎪⎨⎪⎧ a =-18,x 0=-1或⎩⎪⎨⎪⎧a =-2,x 0=-9. 所以所求抛物线方程为y 2=±4x 或y 2=±36x .类型二抛物线性质的应用【例2】(1)43 [如图,设A (x 0,y 0),过A 作AH ⊥x 轴于H ,在Rt △AFH 中,|FH |=x 0-1,由∠AFO =120°,得∠AFH =60°,故y 0=|AH |=3(x 0-1),所以A 点的坐标为()x 0,3(x 0-1), 将点A 坐标代入抛物线方程可得3x 20-10x 0+3=0, 解得x 0=3或x 0=13(舍),故S △AKF =12×(3+1)×23=43.](2)解:如图所示,设正三角形OAB 的顶点A ,B 在抛物线上,且坐标分别为A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则y 21=2px 1,y 22=2px 2.又|OA |=|OB |,所以x 21+y 21=x 22+y 22,即x 21-x 22+2px 1-2px 2=0,整理得(x 1-x 2)(x 1+x 2+2p )=0.∵x 1>0,x 2>0,2p >0,∴x 1=x 2,由此可得|y 1|=|y 2|, 即线段AB 关于x 轴对称. 由此得∠AOx =30°,所以y 1=33x 1,与y 21=2px 1联立, 解得y 1=23p .∴|AB |=2y 1=43p . [跟进训练]2.[解] 由已知得c a =2,所以a 2+b 2a 2=4,解得ba =3.即渐近线方程为y =±3x ,而抛物线准线方程为x =-p2,于是A ⎝⎛⎭⎫-p 2,-32p ,B ⎝⎛⎭⎫-p 2,32p ,从而△AOB 的面积为12·3p ·p 2=3.可得p =2,因此抛物线开口向右,所以标准方程为y 2=4x .类型三焦点弦问题[探究问题](1) [提示] ①|AB |=2⎝⎛⎭⎫x 0+p2(焦点弦长与中点关系). ②|AB |=x 1+x 2+p =2psin 2θ(θ为AB 的倾斜角).③A ,B 两点的横坐标之积、纵坐标之积为定值,即x 1·x 2=p 24,y 1·y 2=-p 2.④S △AOB =p 22sin θ.⑤1|AF |+1|BF |=2p(定值). (2) [提示] 如图,AB 是过抛物线y 2=2px (p >0)焦点F 的一条弦,设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),AB 的中点M (x 0,y 0),相应的准线为l .所以以AB 为直径的圆必与准线l 相切.(3) [提示] 要注意抛物线定义在其中的应用,通过定义将焦点弦长度转化为端点的坐标问题,从而可借助根与系数的关系进行求解.【例3】[解] ∵过焦点的弦长|AB |=52p , ∴弦所在的直线的斜率存在且不为零,设直线AB 的斜率为k ,且A (x 1,y 1),B (x 2,y 2).∵y 2=2px 的焦点为F ⎝⎛⎭⎫p 2,0.∴直线方程为y =k ⎝⎛⎭⎫x -p 2. 由⎩⎪⎨⎪⎧y =k ⎝⎛⎭⎫x -p 2,y 2=2px ,整理得k 2x 2-(k 2p +2p )x +14k 2p 2=0(k ≠0), ∴x 1+x 2=k 2p +2p k 2,∴|AB |=x 1+x 2+p =k 2p +2p k 2+p , 又|AB |=52p ,∴k 2p +2p k 2+p =52p ,∴k =±2. ∴所求直线方程为y =2⎝⎛⎭⎫x -p 2或y =-2⎝⎛⎭⎫x -p 2. [母题探究]1.[解] 设AB 中点为M (x 0,y 0),由例题解答可知2x 0=x 1+x 2=32p , 所以AB 的中点M 到y 轴的距离为34p . 2.[解] 由例题解析可知AB 的方程为y =k ⎝⎛⎭⎫x -p 2,即x =1k y +p 2,代入y 2=2px 消x 可得y 2=2p k y +p 2,即y 2-2p ky -p 2=0,∴y 1y 2=-p 2, 由A 1点的坐标为⎝⎛⎭⎫-p 2,y 1,B 1点的坐标为⎝⎛⎭⎫-p 2,y 2,得kA 1F =-y 1p ,kB 1F =-y 2p . ∴kA 1F ·kB 1F =y 1y 2p2=-1,∴∠A 1FB 1=90°. 【学以致用】1.A [线段AB 所在的直线方程为x =1,抛物线的焦点坐标为⎝⎛⎭⎫12,0,则焦点到直线AB的距离为1-12=12.] 2.D [抛物线y 2=16x 的顶点O (0,0),焦点F (4,0),设P (x ,y )符合题意,则有 ⎩⎪⎨⎪⎧ y 2=16x ,x 2+y 2=(x -4)2+y 2⇒⎩⎪⎨⎪⎧ y 2=16x ,x =2⇒⎩⎨⎧x =2,y =±4 2. 所以符合题意的点为(2,±42).]3.B [由题意知F (1,0),设A ⎝⎛⎭⎫y 204,y 0,则OA →=⎝⎛⎭⎫y 204,y 0,AF →=⎝⎛⎭⎫1-y 204,-y 0, 由OA →·AF →=-4得y 0=±2,∴点A 的坐标为(1,±2),故选B .] 4.158 [设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),由抛物线2x 2=y ,可得p =14. ∵|AB |=y 1+y 2+p =4,∴y 1+y 2=4-14=154,故AB 的中点的纵坐标是y 1+y 22=158.] 5.[解] (1)抛物线C :y 2=2px 的准线为x =-p 2, 由|PF |=2得:1+p 2=2,得p =2. 所以抛物线的方程为y 2=4x .(2)设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),由⎩⎪⎨⎪⎧y =k (x -1),y 2=4x ,可得 k 2x 2-(2k 2+4)x +k 2=0,Δ=16k 2+16>0,∴x 1+x 2=2k 2+4k 2. ∵直线l 经过抛物线C 的焦点F ,∴|AB |=x 1+x 2+p =2k 2+4k 2+2=8,解得k =±1, 所以k 的值为1或-1.。

抛物线(4)

抛物线(4)

在抛物线上有一动点 P 到 y 轴的距离为 d1,P 到直线 l 的距离为 d2,则 d1+d2 的最 小值是( )
5 A. 2
2+2
5 B. 2
2+1
5 C. 2
2-2
5 D. 2
2-1
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高三一轮总复习
【解析】 设抛物线 y2=4x 的焦点为 F(1,0),则 d1=|PF|-1,d1+d2=d2+|PF|
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高三一轮总复习
2.必知联系 (1)若抛物线的开口方向不能确定,可设抛物线的标准方程为 y2=mx 或 x2= my(m≠0). (2)若直线与抛物线只有一个公共点,则直线与抛物线相切,或直线平行于对 称轴,即由直抛线物方线程方程 得 ay2+by+c=0 或 ax2+bx+c=0.当aΔ≠=0b,2-4ac=0 时,直线与抛物线相切,当 a=0 时,此时直线就是与对称轴平行的直线.
-1,点
F
到直线
l
的距离
d=|1+24|=5
2
2 .
则 d1+d2≥522-1,故选 D. 【答案】 D
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高三一轮总复习
————|规律方法|———————————————————————— 与抛物线有关的最值问题的求解策略
与抛物线有关的最值问题,一般情况下都与抛物线的定义有关.由于抛物线 的定义在运用上有较大的灵活性,因此此类问题也有一定的难度.“看到准线想 焦点,看到焦点想准线”,这是解决抛物线焦点弦有关问题的重要途径.
高三一轮总复习 (2)(2015·福建高考)已知点 F 为抛物线 E:y2=2px(p>0)的焦点,点 A(2,m) 在抛物线 E 上,且|AF|=3. ①求抛物线 E 的方程; ②已知点 G(-1,0),延长 AF 交抛物线 E 于点 B,证明:以点 F 为圆心且与直 线 GA 相切的圆,必与直线 GB 相切.

抛物线的简单几何性质(综合)

抛物线的简单几何性质(综合)

外切
总结词
当抛物线的焦点在圆外,且圆心在抛物线上 时,抛物线与圆相切于两点,即外切。
详细描述
外切的情况发生在抛物线的焦点位于圆心所 在直线的另一侧时。此时,圆心到抛物线准 线的距离等于圆的半径,因此抛物线与圆相 切于两点。
相交
总结词
当抛物线的焦点在圆内或圆在抛物线上时, 抛物线与圆有两个交点,即相交。
抛物线的简单几何性质(综合)
目 录
• 抛物线的定义与基本性质 • 抛物线的对称性 • 抛物线的几何变换 • 抛物线与直线的交点 • 抛物线与圆的位置关系 • 抛物线的实际应用
01 抛物线的定义与Байду номын сангаас本性质
定义
01
抛物线是一种二次曲线,其方程为 $y = ax^2 + bx + c$,其中 $a, b, c$ 是常数,且 $a neq 0$。
关于原点的对称性
总结词
抛物线关于原点的对称性表现为,将抛物线绕原点旋转180度,其形状和位置 保持不变。
详细描述
当抛物线绕原点旋转180度时,抛物线的开口方向发生改变,顶点的位置也发生 改变,但抛物线的形状和位置保持不变,即关于原点对称。
03 抛物线的几何变换
平移
总结词
平移不改变抛物线的形状和开口方向,只是沿垂直或水平方向移动抛物线。
联立方程法
将抛物线的方程与直线的 方程联立,解出交点的坐 标。
判别式法
利用二次方程的判别式来 判断直线与抛物线是否有 交点,以及交点的个数。
参数方程法
利用抛物线的参数方程, 将参数表示为交点的坐标。
交点与弦长
弦长公式
根据抛物线与直线的交点坐标,利用弦长公式计算弦长。

抛物线的简单几何性质

抛物线的简单几何性质

抛物线与其他图形位置关系探讨
与坐标轴交点
与其他二次曲线关系
抛物线可以与坐标轴交于一点、两点 或不相交,这取决于抛物线的方程和 系数。
抛物线与椭圆、双曲线等二次曲线可 以有不同的位置关系,如相切、相交 或相离。
与直线交点
抛物线与直线的交点个数可以是0个 、1个或2个,具体情况需要联立方程 求解。
位置关系在解题中应用举例
准线
抛物线的准线是一条与对称轴平行的直线,且到焦点的距离等于焦距。对于标准 方程 $y^2 = 4px$,准线的方程为 $x = -p$。
开口方向与对称轴
开口方向
抛物线的开口方向由标准方程中的 $x$ 或 $y$ 的系数决定。对于标准方程 $y^2 = 4px$,抛物线开口向右;对于 $x^2 = 4py$,抛物线开口向上;以 此类推。
对于开口向上的抛物 线 y = ax^2 (a > 0) ,焦点坐标为 (0, 1/4a)。
对于一般形式的抛物 线,焦点坐标可以通 过配方和平移等方法 求得。
对于开口向下的抛物 线 y = -ax^2 (a > 0),焦点坐标为 (0, 1/4a)。
顶点和焦点关系探讨
抛物线的顶点是离焦点最近的点,也是抛物线的对称中心。
对于一般形式的抛物线 Ax^2 + By + C = 0 (A ≠ 0),可以 通过完成平方等方法,将其转化为标准形式,进而求得准线 方程。
对称轴方程求法
对于标准形式的抛物线 y^2 = 2px (p > 0),其对称轴方程为 x = 0,即 y轴。
对于一般形式的抛物线 Ax^2 + By + C = 0 (A ≠ 0),其对称轴方程为 x = -B/2A。

高二数学抛物线的简单几何性质2

高二数学抛物线的简单几何性质2

探究2 既然过抛物线焦点的直线与 其相交,交点的纵坐标的乘积是一 个定值,那么过抛物线对称轴上其 他任意一定点,是否也有这个性质 呢?
探究3 设抛物线 y2 2 px 上两动点
A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,且满足 y1 y2 k(k为 常 数),问AB是否恒过
某一定点?
y A(x1,y1)
M1
p2 (2)x1x2= 4
B1
,y1y2= - p2
(3) 1 1 2
| AF | | BF | P
M
OF
X
B(x2,y2)
(4) A,O, B1三 点 共 线, B, O, A1三 点 共 线
y
A1
y2=2px(p>0) M1
A(x1,y1)
MN OFB1来自B(x2,y2)探究4 设抛物线 y2 2 px 上两动点
A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,且满足 y1 y2 k(k为 常 数),求AB中点P的
轨迹方程.
探究5 设抛物线 y2 2 px 上两动点
A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,O为坐标原点,
OA⊥OB,则直线AB是否过定点? 求AB中点P的轨迹方程.
数),求证:直线AB过定点。
将“探究6”的MA MB “直线MA 与直线MB的倾斜角之差为900”变为 “直线MA与直线MB的倾斜角之和
为900”,即kMA kMB r ,r =1,直线
AB过定点.
将“探究6”的MA MB “直线MA 与直线MB的倾斜角之差为900”变为 “直线MA与直线MB的倾斜角之和 为1800”,直线AB不过定点,但可得
探究8 若M为抛物线 y2 2 px( p 0)

抛物线的简单几何性质(位置)

抛物线的简单几何性质(位置)
同样地,通过联立抛物线和椭圆的方程,可以求解得到交 点。根据交点的个数和性质,可以判断抛物线与椭圆的位 置关系。
抛物线与双曲线的位置关系
将抛物线和双曲线的方程联立,求解得到交点。根据交点 的个数和性质,可以判断抛物线与双曲线的位置关系。
03 抛物线对称性质
对称轴与对称中心
对称轴
对于一般的抛物线 y = ax^2 + bx + c (a ≠ 0),其对称轴为直线 x = b/2a。特别地,当抛物线方程为 y = ax^2 时,对称轴为 y 轴。
已知焦点和准线求方程
01
根据抛物线的定义,已知焦点和准线可以唯一确定一条抛物线,
进而求出其方程。
已知焦点和曲线上一点求方程
02
通过设点法或待定系数法,可以求出抛物线的方程。
应用场景
03
在解决与抛物线相关的问题时,经常需要利用焦点来求解抛物
线的方程。
焦点在解决实际问题中应用
光学应用
在光学中,抛物线的焦点 性质被广泛应用于凸透镜、 凹透镜等光学器件的设计 和分析。
在解决与抛物线相关的距离问题时,可以利用准线的这一性质,通过计算点到直线的距离来间接求得点到焦点的 距离。
利用准线求曲线方程问题
性质描述
已知抛物线的准线方程和焦点坐标,可以推导出抛物线的标准方程。
应用场景
在求解与抛物线相关的曲线方程时,可以通过分析准线方程和焦点坐标,利用抛物线的定义和性质, 构建出抛物线的方程。
抛物线的顶点位于其对称 轴上,对于标准方程y^2 = 2px,顶点为(0,0)。
抛物线是轴对称图形,其 对称轴为通过顶点且垂直 于x轴的直线。对于标准 方程y^2 = 2px,对称轴 为y轴。
对于标准方程y^2 = 2px, 焦点为(p,0),准线方程为 x = -p。

2.3.2抛物线的简单几何性质综合

2.3.2抛物线的简单几何性质综合

y
x F
总结:
判断直线与抛物线位置关系的操作程序: 把直线方程代入抛物线方程
得到一元一次方程 直线与抛物线的 对称轴平行
得到一元二次方程 计算判别式 >0 =0 相切 <0 相离
相交(一个交点)
相交
例 4:已知直线 l:y=kx+1 和抛物线 C:y2 =4x,试判断当 k 为何值时,l 与 C 有: 1 一个公共点;②两个不同公共点; ③没有公共点.
p x 2
p x 2
y
F
l
O
x
p ( ,0) 2
p (0, ) 2
y
F
O
l
x
p y 2
p y 2
ylO Fxp x2=-2py (0, ) (p>0) 2
二、探索新知 如何研究抛物线y2 =2px(p>0)的几何性质?
y
1、
范围
由抛物线y2 =2px(p>0) 有 2 px y 0
x
3、
顶点
y
定义:抛物线与 它的轴的交点叫做抛 物线的顶点。

o
y2
= 2px (p>0)中,
p F ( , 0) 2
x
令y=0,则x=0. 即:抛物线y2 = 2px (p>0)的顶点(0,0).
注:这与椭圆有四个顶点,双曲线有两个顶点不同。
4、
离心率
y
P(x,y)
抛物线上的点与 焦点的距离和它到准 线的距离之比,叫做 抛物线的离心率。 由定义知, 抛物线y2 = 2px (p>0)的离心率为e=1.
2
A`
O
A
解这题,你有什么方法呢?
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抛物线载体下的几何图形
1.知抛物线 与x 轴相交于A 、B 两点,与y 轴相交于点C ,若已知A 点的坐标为A (-2,0).
(1)求抛物线的解析式及它的对称轴;
(2)求点C 的坐标,连接AC 、BC ,并求线段BC 所在直线的解
析式;
(3)试判断△AOC 与△COB 是否相似?并说明理由;
(4)在抛物线的对称轴上是否存在点Q ,使△ACQ 为等腰三角
形,若存在,求出符合条件的Q 点坐标;若不存在,请说明理由.
2如图,抛物线y =ax 2+bx +c 经过点A (-3,0),B (1,0),C (0,-3).
(1)求抛物线的解析式;
(2)若P 为第三象限内抛物线上的一点,记△P AC 的面积为S ,求S 的
最大值并求出此时点P 的坐标;
(3)设抛物线的顶点为D ,DE ⊥x 轴于点E ,
在y 轴上是否存在点m ,使得△ADM 是直角三角形?若存在,请直接写
出点M 的坐标;不存在,请说明理由.
3 如图,抛物线 y =ax 2+bx +c (a ≠0)经过点A (-3,0)、B (1,0)、C (-2,1),交y 轴于点M .
(1)求抛物线的表达式;
(2)D 为抛物线在第二象限部分上的一点,作DE 垂直x 轴于点E ,交
线段AM 于点F ,求线段DF 长度的最大值,并求此时点D 的坐标;
(3)抛物线上是否存在一点P ,作PN 垂直x 轴于点N ,使得以点P 、
A 、N 为顶点的三角形与△MAO 相似?若存在,求点P 的坐标;若不存
在,请说明理由.
44
12++-=bx x
y
4 直角坐标系xOy 中,抛物线 上的点为A ,与y 轴的交点为B .连结AB ,AC ⊥AB ,交y 轴于点C ,延长CA 到点D ,使AD =AC ,连结BD .作
AE ∥x 轴,DE ∥y 轴.
(1)当m =2时,求点B 的坐标;
(2)求DE 的长;
(3)①设点D 的坐标为(x ,y ),求y 关于x 的函数解析式; ②过点D 作AB 的平行线,与第(3)①题确定的函数图象的另一个交
点为P ,当m 为何值时?以A ,B ,D ,P 为顶点的四边形是平行四边形?
5. 平面直角坐标系中,顶点为(3,4)的抛物线交y 轴于A 点,交 x 轴于B 、C 两点(点B 在点C 的左侧),已知A 点坐标为(0,-5).
(1)求此抛物线的解析式;
(2)过点B 作线段AB 的垂线交抛物线于点D ,如果以点C 为圆
心的圆与直线BD 相切,请判断抛物线的对称轴l 与OC 的位置关
系,并给出证明;
(3)在抛物线上是否存在一点P ,使△ACP 是以AC 为直角边的
三角形,若存在,求出点P 的坐标;若不存在,请说明理由.
抛物线载体下点的探究问题
△ABC 的顶点坐标分别为A (-6,0),B (4,0),C (0,8),把△ABC 沿直线BC 翻折,点A 的对应点为D ,抛物线y =ax 2-10ax +c 经过点C ,顶点M 在直线BC 上.
(1)证明四边形ABDC 是菱形,并求点D 的坐标;
(2)求抛物线的对称轴和函数表达式;
(3)在抛物线上是否存在点P ,使得△PBD 与△PCD 的面积相
等?若存在,直接写出点P 的坐标;若不存在,请说明理由.
()221144
y x m m m =--
+
已知抛物线y=ax2+bx+c的顶点A(2,0),与y轴的交点为
B(0,-1).
(1)求抛物线的解析式;
(2)在对称轴右侧的抛物线上找出一点C,使以BC为直径的圆经过抛物线的顶点A.并求出点C的坐标以及此时圆的圆心P点的坐标
(3)在(2)的基础上,设直线x=t(0<t<10)与抛物线交于点N,当t为何值时,△BCN的面积最大,并求出最大值.
(2)求抛物线的对称轴与线段OB交点D的坐标.
(3)线段OB与抛物线交于点E,点P为线段OE上一动点,(点
P不与点O、点E重合),过P点作y轴的平行线,交抛物线于点M,问:在线段OE上是否存在这样的点P,使得PD=CM?若存在,请求出此时点P的坐标,若不存在,请说明理由.
已知y=x2-2x+c与y轴交于A,B两点,与y轴交于C点,抛
物线的顶点为D点,点A的坐标为(-1,0).
(1)求D点的坐标;
(2)如图1,连结AC,BD,并延长交于点E,
求∠E的度数;
(3)如图,已知点P(-4,0),点Q在x轴下方的抛物线上,
直线PQ交线段AC于点M,当∠PMA=∠E时,求点Q的坐标.
如图,抛物线y =ax 2+bx +c (a ≠0)的图象过点C (0,1),顶点为Q (2,3),点D 在x 轴正半轴上,且线段OD =OC .
(1)求直线CD 的解析式;
(2)求抛物线的解析式;
(3)将直线CD 绕点C 逆时针方向旋转45°所得直线与抛物线相交于
另一点E ,求证:△CEQ ∽△CDO ;
(4)在(3)的条件下,若点P 是线段QE 上的动点,点F 是线段OD
上的动点,问:在P 点和F 点的移动过程中,△PCF 的周长是否存在
最小值?若存在,求出这个最小值,若不存在,请说明理由.
(b 是实数且b >2)与x 轴的正半轴分别交于
如图,已知抛物线点A 、B (点A 位于点B 的左侧),与y 轴的正半轴交于点C .
⑴点B 的坐标为 ,点C 的坐标为 (用含b 的代数式表示);
⑵请你探索在第一象限内是否存在点P ,使得四边形PCOB 的面积等于2b ,且△PBC 是以点P 为直角
顶点的等腰直角三角形?如果存在,求出点P 的坐标;如果不存在,请说明理由;
⑶请你进一步探索在第一象限内是否存在点Q ,使得△QCO 、△QOA 和△QAB 中的任意两个三角形均
相似(全等可看作相似的特殊情况)?如果存在,
求出点Q 的坐标;如果不存在,请说明理由.
如图,经过点A (0,-4)的抛物线y = 1 2x 2+bx +c 与x 轴相交于点B (-0,0)和C ,O 为坐
标原点.
(1)求抛物线的解析式;(2)将抛物线y = 1 2x 2+bx +c 向上平移 7 2个单
位长度、再向左平移m (m >0)个单位长度,得到新抛物线.若新抛物
线的顶点P 在△ABC 内,求m 的取值范围;
x y P O C B A。

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