(完整)极坐标与参数方程知识点总结,推荐文档
极坐标与参数方程考点汇总
专题一极坐标与参数方程考点整合一、极坐标知识点一极坐标系1．极坐标系：如图所示，在平面内取一个定点O，叫作；自极点O引一条射线Ox，叫作；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．2．极坐标：设M是平面内一点，极点O与点M的距离|OM|叫作点M的，记为ρ；以极轴Ox 为始边，射线OM为终边的角xOM叫作点M的，记为θ.有序数对(ρ，θ)叫作点M的极坐标，记为M(ρ，θ)．一般地，不做特殊说明时，我们认为ρ≥0，θ可取任意实数．3．点与极坐标的关系：一般地，极坐标(ρ，θ)与(ρ，θ＋2kπ)(k∈Z)表示同一个点．特别地，极点O的坐标为(0，θ)(θ∈R)．和直角坐标不同，平面内一个点的极坐标有无数种表示．如果规定ρ＞0，0≤θ＜2π，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标(ρ，θ)表示；同时，极坐标(ρ，θ)表示的点也是唯一确定的．4．极坐标与直角坐标的互化(1)互化背景：把直角坐标系的原点作为极点，x轴的正半轴作为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位．(2)互化公式：如图所示，设M是坐标系平面内任意一点，它的直角坐标系是(x，y)，极坐标是(ρ，θ)(ρ≥0)，于是极坐标与直角坐标的互化公式如下表：温馨提示;(1)在由点的直角坐标化为极坐标时，一定要注意点所在的象限和极角的范围，否则点的极坐标将不唯一．(2)在与曲线的方程进行互化时，一定要注意变量的范围，要注意转化的等价性知识点二 常见曲线的极坐标方程．二、参数方程知识点一 参数方程 1．参数方程的概念一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x ，y 都是某个变数t 的函数⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f (t )，y ＝g (t )，①，并且对于t 的每一个允许值，由方程组①所确定的点M (x ，y )都在这条曲线上，那么方程①就叫作这条曲线的参数方程，联系变数x ，y 的变数t 叫作参变数，简称参数．相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫作普通方程． 2．参数方程和普通方程的变化(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式，一般地，可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程．(2)如果知道变数x ，y 中的一个与参数t 的关系，例如x ＝f (t )，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系y ＝g (t )，那么⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f (t )，y ＝g (t )就是曲线的参数方程．(3)在参数方程与普通方程的互化中，必须使x ，y 的取值范围保持一致．易误提醒 在将曲线的参数方程化为普通方程时，还要注意其中的x ，y 的取值范围，即在消去参数的过程中一定要注意普通方程与参数方程的等价性． 知识点二 常见曲线的参数方程 1．直线的参数方程经过点M 0(x 0，y 0)，倾斜角为α(α≠π2)的直线l 的普通方程是y －y 0＝tan_α(x －x 0)，而过M 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程为 (t 为参数)，若点P 对于的参数为t ，则有||PM = ． 2．圆的参数方程如图所示，设圆O 的半径为r ，点M 从初始位置M 0(t ＝0时的位置)出发，按逆时针方向在圆O 上作匀速圆周运动，设M (x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r cos θy ＝r sin θ(θ为参数)．这就是圆心在原点O ，半径为r 的圆的参数方程．其中参数θ的几何意义是OM 0绕点O 逆时针旋转到OM 的位置时，OM 0转过的角度．圆心为(a ，b )，半径为r 的圆的普通方程是(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，它的参数方程为： ． 3．椭圆的参数方程中心在原点O ，焦点在x 轴上的椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，其参数方程为 (φ为参数)．其中参数φ称为离心角；中心在原点O ，焦点在y 轴上的椭圆的标准方程是y 2a 2＋x 2b2＝1(a ＞b ＞0)，其参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝b cos φ，y ＝a sin φ(φ为参数)，其中参数φ仍为离心角，通常规定参数φ的范围为φ∈[0,2π)． 温馨提示 (1)将参数方程化为普通方程，需要根据参数方程的结构特征，选取适当的消参方法．常见的消参方法有代入消参法，加减消参法，平方消参法等．(2)将参数方程化为普通方程时，要注意两种方程的等价性，不要增解、漏解，若x 、y 有范围限制，要标出x 、y 的取值范围．典例分析一、t 的几何意义【例1】.在极坐标系中，曲线C 的方程为2cos29ρθ=，点6P π⎛⎫⎪⎝⎭．以极点O 为原点，极轴为x 轴的正半轴建立直角坐标系．（1）求直线OP 的参数方程的标准式和曲线C 的直角坐标方程； （2）若直线OP 与曲线C 交于A 、B 两点，求11PA PB+的值．【变式1】在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为2{x t y =-+=（t 为参数），若以该直角坐标系的原点O 为极点， x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2sin 4cos 0ρθθ+=. （Ⅰ）求直线l 与曲线C 的普通方程；（Ⅱ）已知直线l 与曲线C 交于,A B 两点，设()2,0M -，求11MA MB-的值.二、ρ的几何意义【例2】（2011新课标全国卷）在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为：2cos 22sin x y αα=⎧⎨=+⎩（α为参数）M 是C 1上的动点，P 点满足2OP OM =,P 点的轨迹为曲线C 2(Ⅰ)求C 2的方程(Ⅱ)在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线3πθ=与C 1的异于极点的交点为A ，与C 2的异于极点的交点为B ，求AB .【变式2】在平面直角坐标系中，曲线122:x cos C y sin αα=+⎧⎨=⎩（α为参数）经伸缩变换2x x y y⎧=⎪⎨⎪='⎩'后的曲线为2C ，以坐标原点O 为极点， x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系. （1）求曲线2C 的极坐标方程； （2）,A B 是曲线2C 上两点，且3AOB π∠=，求OA OB +的取值范围三、面积【例3】.在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程是35cos 35sin x y αα=+⎧⎨=+⎩（α为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系.（1）求曲线的极坐标方程； （2）设12:,:,63l l ππθθ==，若12,l l 与曲线C 分别交于异于原点的,A B 两点，求AOB的面积.【变式3】【2015高考新课标1，文23】选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，直线1:2C x =-，圆()()222:121C x y -+-=，以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系. （I ）求12,C C 的极坐标方程. （II ）若直线3C 的极坐标方程为()πR 4θρ=∈，设23,C C 的交点为,M N ，求2C M N ∆ 的面积. 四、交点【例4】已知直线l 的参数方程为：2cos sin x t y t αα=-+⎧⎨=⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2sin 2cos ρθθ=-.（Ⅰ）求曲线C 的参数方程； （Ⅱ）当4πα=时，求直线l 与曲线C 交点的极坐标.【变式4】【2013课标全国Ⅰ，文23】已知曲线C 1的参数方程为45cos ,55sin x t y t=+⎧⎨=+⎩(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2sin θ. (1)把C 1的参数方程化为极坐标方程；(2)求C 1与C 2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ＜2π)．五、轨迹【例5】（2013全国Ⅱ卷）已知动点,P Q 都在曲线2cos :2sin x C y ββ=⎧⎨=⎩(β为参数)上，对应参数分别为βα=与)20(2πααβ<<=，M 为PQ 的中点． （Ⅰ）求M 的轨迹的参数方程；（Ⅱ）将M 到坐标原点的距离d 表示为α的函数，并判断M 的轨迹是否过坐标原点．【变式5】在直角坐标系xOy 中，已知圆C ： 2{2x cos y sin θθ== (θ为参数)，点P 在直线l ：40x y +-=上，以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．（I ）求圆C 和直线l 的极坐标方程；（II ）射线OP 交圆C 于R ，点Q 在射线OP 上，且满足2OP OR OQ =⋅，求Q 点轨迹的极坐标方程六、参数方程的应用【例6】(2014课表全国Ⅰ)已知曲线22:149x y C +=,直线2:22x t l y t =+⎧⎨=-⎩(t 为参数).(Ⅰ)写出曲线C 的参数方程,直线l 的普通方程;(Ⅱ)过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为30°的直线,交l 于点A ,求|PA |的最大值与最小值.【变式6】(2016·全国Ⅲ卷)在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为1:sin x C y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩（α为参数），以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为sin()4πρθ+=。
极坐标与参数方程知识点总结大全
1．平面直角坐标系中的坐标伸缩变换设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换的作用下,点P(x,y)对应到点,称为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换.2.极坐标系的概念(1)极坐标系如图所示,在平面内取一个定点,叫做极点,自极点引一条射线,叫做极轴;再选定一个长度单位,一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系.注:极坐标系以角这一平面图形为几何背景,而平面直角坐标系以互相垂直的两条数轴为几何背景;平面直角坐标系内的点及坐标能建立一一对应的关系,而极坐标系则不可.但极坐标系和平面直角坐标系都是平面坐标系.(2)极坐标设M是平面内一点,极点及点M的距离|OM|叫做点M的极径,记为;以极轴为始边,射线为终边的角叫做点M的极角,记为.有序数对叫做点M的极坐标,记作.一般地,不作特殊说明时,我们认为可取任意实数.特别地,当点在极点时,它的极坐标为(0, )(∈R).和直角坐标不同,平面内一个点的极坐标有无数种表示.如果规定,那么除极点外,平面内的点可用唯一的极坐标表示;同时,极坐标表示的点也是唯一确定的.3.极坐标和直角坐标的互化(1)互化背景:把直角坐标系的原点作为极点,x轴的正半轴作为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位,如图所示:(2)互化公式:设是坐标平面内任意一点,它的直角坐标是,极坐标是(),于是极坐标及直角坐标的互化公式如表:点直角坐标极坐标互化公式在一般情况下,由确定角时,可根据点所在的象限最小正角.4.常见曲线的极坐标方程曲线图形极坐标方程圆心在极点,半径为的圆圆心为,半径为的圆圆心为,半径为的圆过极点,倾斜角为的直线(1)(2)过点,及极轴垂直的直线过点,及极轴平行的直线注:由于平面上点的极坐标的表示形式不唯一,即都表示同一点的坐标,这及点的直角坐标的唯一性明显不同.所以对于曲线上的点的极坐标的多种表示形式,只要求至少有一个能满足极坐标方程即可.例如对于极坐标方程点可以表示为等多种形式,其中,只有的极坐标满足方程.二、参数方程1.参数方程的概念一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标都是某个变数的函数①,并且对于的每一个允许值,由方程组①所确定的点都在这条曲线上,那么方程①就叫做这条曲线的参数方程,联系变数的变数叫做参变数,简称参数,相对于参数方程而言,直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程.2.参数方程和普通方程的互化(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式,一般地可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程.(2)如果知道变数中的一个及参数的关系,例如,把它代入普通方程,求出另一个变数及参数的关系,那么就是曲线的参数方程,在参数方程及普通方程的互化中,必须使的取值范围保持一致.注：普通方程化为参数方程，参数方程的形式不一定唯一。
极坐标与参数方程知识点总结
极坐标与参数方程知识点总结文档编制序号：[KKIDT-LLE0828-LLETD298-POI08]第一部分：坐标系与参数方程【考纲知识梳理】1．平面直角坐标系中的坐标伸缩变换设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换()()⎩⎨⎧>•='>•='0,0,:μμλλϕy y x x 的作用下,点()y x P ,对应到点()y x P '',,称ϕ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换. 2.极坐标系的概念 (1)极坐标系如图(1)所示,在平面内取一个定点O ,叫做极点,自极点O 引一条射线Ox ,叫做极轴;再选定一个长度单位,一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系.注:极坐标系以角这一平面图形为几何背景,而平面直角坐标系以互相垂直的两条数轴为几何背景;平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应的关系,而极坐标系则不可.但极坐标系和平面直角坐标系都是平面坐标系. (2)极坐标设M 是平面内一点,极点O 与点M 的距离|OM|叫做点M 的极径,记为ρ;以极轴Ox 为始边,射线OM 为终边的角xOM ∠叫做点M 的极角,记为θ.有序数对()θρ,叫做点M 的极坐标,记作M ()θρ,.一般地,不作特殊说明时,我们认为θρ,0≥可取任意实数.特别地,当点M 在极点时,它的极坐标为()()R ∈θθ,0。
和直角坐标不同,平面内一个点的极坐标有无数种表示.如果规定πθρ20,0<≤>,那么除极点外,平面内的点可用唯一的极坐标()θρ,表示;同时,极坐标()θρ,表示的点也是唯一确定的.3.极坐标和直角坐标的互化(1)互化背景:把直角坐标系的原点作为极点,x 轴的正半轴作为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位,如图(2)所示:(2)互化公式:设M 是坐标平面内任意一点,它的直角坐标是()y x ,,极坐标是()()0,≥ρθρ,于是极坐标与直角坐标的互化公式如表:在一般情况下,由θtan 确定角时,可根据点M 所在的象限最小正角. 4.常见曲线的极坐标方程注:由于平面上点的极坐标的表示形式不唯一,即()()()()θπρθπρθπρθρ+--+-+,,,,2,,,都表示同一点的坐标,这与点的直角坐标的唯一性明显不同.所以对于曲线上的点的极坐标的多种表示形式,只要求至少有一个能满足极坐标方程即可.例如对于极坐标方程θρ=点⎪⎭⎫ ⎝⎛4,4ππM 可以表示为⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+45,424,424,4ππππππππM M M 或或等多种形式,其中,只有⎪⎭⎫⎝⎛4,4ππM 的极坐标满足方程θρ=.二、参数方程 1.参数方程的概念一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标()y x ,都是某个变数t 的函数()()⎩⎨⎧==t g y t f x ①,并且对于t 的每一个允许值,由方程组①所确定的点()y x M ,都在这条曲线上,那么方程①就叫做这条曲线的参数方程,联系变数()y x ,的变数t 叫做参变数,简称参数,相对于参数方程而言,直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程. 2.参数方程和普通方程的互化(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式,一般地可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程.(2)如果知道变数()y x ,中的一个与参数t 的关系,例如()t f x =,把它代入普通方程,求出另一个变数与参数的关系()t g y =,那么()()⎩⎨⎧==t g y t f x 就是曲线的参数方程,在参数方程与普通方程的互化中,必须使()y x ,的取值范围保持一致.注：普通方程化为参数方程，参数方程的形式不一定唯一。
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第一部分：坐标系与参数方程【考纲知识梳理】1．平面直角坐标系中的坐标伸缩变换设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换()()⎩⎨⎧>•='>•='0,0,:μμλλϕy y x x 的作用下,点()y x P ,对应到点()y x P '',,称ϕ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换.2.极坐标系的概念(1)极坐标系如图(1)所示,在平面内取一个定点O ,叫做极点,自极点O 引一条射线Ox ,叫做极轴;再选定一个长度单位,一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系.注:极坐标系以角这一平面图形为几何背景,而平面直角坐标系以互相垂直的两条数轴为几何背景;平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应的关系,而极坐标系则不可.但极坐标系和平面直角坐标系都是平面坐标系. (2)极坐标设M 是平面内一点,极点O 与点M 的距离|OM|叫做点M 的极径,记为ρ;以极轴Ox 为始边,射线OM 为终边的角xOM ∠叫做点M 的极角,记为θ.有序数对()θρ,叫做点M 的极坐标,记作M ()θρ,.一般地,不作特殊说明时,我们认为θρ,0≥可取任意实数.特别地,当点M 在极点时,它的极坐标为()()R ∈θθ,0。
和直角坐标不同,平面内一个点的极坐标有无数种表示.如果规定πθρ20,0<≤>,那么除极点外,平面内的点可用唯一的极坐标()θρ,表示;同时,极坐标()θρ,表示的点也是唯一确定的.3.极坐标和直角坐标的互化(1)互化背景:把直角坐标系的原点作为极点,x 轴的正半轴作为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位,如图(2)所示:(2)互化公式:设M 是坐标平面内任意一点,它的直角坐标是()y x ,,极坐标是()()0,≥ρθρ,于点M直角坐标()y x ,极坐标()θρ,互化公式⎩⎨⎧==θρθρsin cos y x ()0tan 222≠=+=x xyy x θρ 在一般情况下,由θ确定角时,可根据点M 所在的象限最小正角. 曲线图形极坐标方程圆心在极点,半径为r 的圆()πθρ20<≤=r圆心为()0,r ,半径为r 的圆⎪⎭⎫ ⎝⎛<≤-=222πθπρr圆心为⎪⎭⎫⎝⎛2,πr ,半径为r 的圆()πθθρ<≤=0sin 2r过极点,倾斜角为α的直线(1)()()R R ∈+=∈=ραπθραθ或(2) ()()00≥+=≥=ραπθραθ或过点()0,a ,与极轴垂直的直线⎪⎭⎫ ⎝⎛<<-=22cos πθπθρa过点⎪⎭⎫⎝⎛2,πa ,与极轴平行的直线()πθθρ<<=0sin a注:由于平面上点的极坐标的表示形式不唯一,即()()()()θπρθπρθπρθρ+--+-+,,,,2,,,都表示同一点的坐标,这与点的直角坐标的唯一性明显不同.所以对于曲线上的点的极坐标的多种表示形式,只要求至少有一个能满足极坐标方程即可.例如对于极坐标方程θρ=点⎪⎭⎫⎝⎛4,4ππM 可以表示为⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+45,424,424,4ππππππππM M M 或或等多种形式,其中,只有⎪⎭⎫⎝⎛4,4ππM 的极坐标满足方程θρ=.二、参数方程 1.参数方程的概念一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标()y x ,都是某个变数t 的函数()()⎩⎨⎧==t g y t f x ①,并且对于t 的每一个允许值,由方程组①所确定的点()y x M ,都在这条曲线上,那么方程①就叫做这条曲线的参数方程,联系变数()y x ,的变数t 叫做参变数,简称参数,相对于参数方程而言,直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程.2.参数方程和普通方程的互化(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式,一般地可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程.(2)如果知道变数()y x ,中的一个与参数t 的关系,例如()t f x =,把它代入普通方程,求出另一个变数与参数的关系()t g y =,那么()()⎩⎨⎧==t g y t f x 就是曲线的参数方程,在参数方程与普通方程的互化中,必须使()y x ,的取值范围保持一致.注：普通方程化为参数方程，参数方程的形式不一定唯一。
极坐标与参数方程知识点总结
第一部分：坐标系与参数方程【考纲知识梳理】1．平面直角坐标系中的坐标伸缩变换设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换()()⎩⎨⎧>•='>•='0,0,:μμλλϕy y x x 的作用下,点()y x P ,对应到点()y x P '',,称ϕ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换.2.极坐标系的概念(1)极坐标系如图(1)所示,在平面内取一个定点O ,叫做极点,自极点O 引一条射线Ox ,叫做极轴;再选定一个长度单位,一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系.注:极坐标系以角这一平面图形为几何背景,而平面直角坐标系以互相垂直的两条数轴为几何背景;平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应的关系,而极坐标系则不可.但极坐标系和平面直角坐标系都是平面坐标系. (2)极坐标设M 是平面内一点,极点O 与点M 的距离|OM|叫做点M 的极径,记为ρ;以极轴Ox 为始边,射线OM 为终边的角xOM ∠叫做点M 的极角,记为θ.有序数对()θρ,叫做点M 的极坐标,记作M ()θρ,.一般地,不作特殊说明时,我们认为θρ,0≥可取任意实数.特别地,当点M 在极点时,它的极坐标为()()R ∈θθ,0。
和直角坐标不同,平面内一个点的极坐标有无数种表示.如果规定πθρ20,0<≤>,那么除极点外,平面内的点可用唯一的极坐标()θρ,表示;同时,极坐标()θρ,表示的点也是唯一确定的.3.极坐标和直角坐标的互化(1)互化背景:把直角坐标系的原点作为极点,x 轴的正半轴作为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位,如图(2)所示:(2)互化公式:设M 是坐标平面内任意一点,它的直角坐标是()y x ,,极坐标是()()0,≥ρθρ,于是极坐标与直角坐标的互化公式如表:点M直角坐标()y x ,极坐标()θρ,互化公式⎩⎨⎧==θρθρsin cos y x ()0tan 222≠=+=x xyy x θρ 在一般情况下,由θtan 确定角时,可根据点M 所在的象限最小正角. 4.常见曲线的极坐标方程 曲线图形极坐标方程圆心在极点,半径为r 的圆()πθρ20<≤=r圆心为()0,r ,半径为r 的圆⎪⎭⎫ ⎝⎛<≤-=222πθπρr圆心为⎪⎭⎫⎝⎛2,πr ,半径为r 的圆()πθθρ<≤=0sin 2r过极点,倾斜角为α的直线(1)()()R R ∈+=∈=ραπθραθ或(2) ()()00≥+=≥=ραπθραθ或过点()0,a ,与极轴垂直的直线⎪⎭⎫ ⎝⎛<<-=22cos πθπθρa过点⎪⎭⎫⎝⎛2,πa ,与极轴平行的直线()πθθρ<<=0sin a注:由于平面上点的极坐标的表示形式不唯一,即()()()()θπρθπρθπρθρ+--+-+,,,,2,,,都表示同一点的坐标,这与点的直角坐标的唯一性明显不同.所以对于曲线上的点的极坐标的多种表示形式,只要求至少有一个能满足极坐标方程即可.例如对于极坐标方程θρ=点⎪⎭⎫⎝⎛4,4ππM 可以表示为⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+45,424,424,4ππππππππM M M 或或等多种形式,其中,只有⎪⎭⎫⎝⎛4,4ππM 的极坐标满足方程θρ=.二、参数方程 1.参数方程的概念一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标()y x ,都是某个变数t 的函数()()⎩⎨⎧==t g y t f x ①,并且对于t 的每一个允许值,由方程组①所确定的点()y x M ,都在这条曲线上,那么方程①就叫做这条曲线的参数方程,联系变数()y x ,的变数t 叫做参变数,简称参数,相对于参数方程而言,直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程.2.参数方程和普通方程的互化(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式,一般地可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程.(2)如果知道变数()y x ,中的一个与参数t 的关系,例如()t f x =,把它代入普通方程,求出另一个变数与参数的关系()t g y =,那么()()⎩⎨⎧==t g y t f x 就是曲线的参数方程,在参数方程与普通方程的互化中,必须使()y x ,的取值范围保持一致.注：普通方程化为参数方程，参数方程的形式不一定唯一。
极坐标与参数方程知识点总结大全
极坐标与参数方程知识点总结大全一、极坐标系统极坐标系统是一种用来表示平面上点的坐标系统，它与直角坐标系统相互转化。
在极坐标系统中，一个点的位置由径向和角度两个量来确定。
常用的表示方式为(r, θ)，其中r表示点到原点的距离，称为极径，而θ表示与参考轴（通常为正X 轴）的夹角，称为极角。
极坐标系统与直角坐标系统之间可以通过如下的转换关系相互转化：•直角坐标→ 极坐标：x = r * cos(θ)，y = r * sin(θ)•极坐标→ 直角坐标：r = sqrt(x^2 + y^2)，θ = arctan(y/x)极坐标系统适用于描述旋转对称性的图形，例如圆、花朵等。
二、参数方程参数方程是一种用参数表示函数的方式。
在参数方程中，自变量和因变量都可以是参数。
一般来说，参数方程是将自变量和因变量都用参数表示的方程组。
以平面上的曲线为例，如果将曲线上的点的坐标分别用参数t表示，则曲线上的点的坐标可以表示为(x(t), y(t))。
这种表示方式称为参数方程。
参数方程在描述含有符号导数的曲线段以及曲线段的方向时非常有用。
参数方程可以将复杂的图形分解成多个简单的函数，从而方便进行图形的分析和计算。
它在计算机图形学、物理学、工程学等领域有广泛的应用。
三、极坐标与参数方程的关系极坐标与参数方程之间存在着密切的关系。
可以通过参数方程来描述极坐标系中的曲线。
一个常见的例子是圆的极坐标方程和参数方程的表示。
以圆的极坐标方程为例，极坐标方程为r = a，其中a为圆的半径。
使用参数方程表示时，可以将极坐标方程转化为参数方程x = a * cos(θ)，y = a * sin(θ)。
同样地，通过参数方程也可以得到一些特殊的极坐标曲线，例如r = a *cos(θ)可以表示一条心形曲线。
四、极坐标曲线的绘制在计算机图形学中，可以通过极坐标方程或参数方程来绘制各种各样的曲线。
对于一个极坐标曲线，可以选择一系列的角度值，然后根据极坐标方程或参数方程计算出相应的极径或坐标点，再将这些点连接起来就可以绘制出曲线。
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极坐标与参数方程一、参数方程1.参数方程的概念一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标x 、y 都是某个变数t 的函数，即 ⎩⎨⎧==)()(t f y t f x 并且对于t 每一个允许值，由方程组所确定的点M （x ，y ）都在这条曲线上（即曲线上的点在方程上，方程的解都在曲线上），那么方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系x 、y 之间关系的变数叫做参变数，简称参数．相对于参数方程而言,直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程.2.参数方程和普通方程的互化曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式,一般地可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程.练习1．若直线的参数方程为，则直线的斜率为（ ）12()23x tt y t=+⎧⎨=-⎩为参数A ．B ．C ．D ．2323-3232-2．下列在曲线上的点是（ ）sin 2()cos sin x y θθθθ=⎧⎨=+⎩为参数A ．B ．C ．D ．1(,231(,)42-3．将参数方程化为普通方程为（ ）222sin ()sin x y θθθ⎧=+⎪⎨=⎪⎩为参数A ．B ．C ．D ．2y x =-2y x =+2(23)y x x =-≤≤2(01)y x y =+≤≤注：普通方程化为参数方程，参数方程的形式不一定唯一（由上面练习（1、3可知））。
应用参数方程解轨迹问题，关键在于适当地设参数，如果选用的参数不同，那么所求得的曲线的参数方程的形式也不同。
3．圆的参数方程如图所示，设圆的半径为，点从初始位置出发，按逆时针方向在圆上作匀速圆周运动，设，则。
这就是圆心在原点，半径为的圆的参数方程，其中的几何意义是转过的角度（称为旋转角）。
圆心为，半径为的圆的普通方程是，它的参数方程为：。
4．椭圆的参数方程以坐标原点为中心，焦点在轴上的椭圆的标准方程为其参数方程为，其中参数称为离心角；焦点在轴上的椭圆的标准方程是其参数方程为其中参数仍为离心角，通常规定参数的范围为∈[0，2）。
极坐标和参数方程知识点总结
千里之行，始于足下。
极坐标和参数方程知识点总结极坐标是一种表示平面上点位置的坐标系统，它是由点到原点的距离（称为极径）和点与极轴的夹角（称为极角）所确定的。
在极坐标系中，每个点的坐标可以表示为(r,θ)的形式，其中r为极径，θ为极角。
参数方程是一种用一对参数变量来表示曲线上的点的坐标的方法。
对于平面上的曲线，常用的参数方程形式为x=f(t)和y=g(t)，其中t为参数变量，f(t)和g(t)分别表示x和y的函数关系。
以下是极坐标和参数方程的一些重要知识点总结：1. 极坐标的转换关系：- 直角坐标到极坐标的转换：x=r*cos(θ)，y=r*sin(θ)- 极坐标到直角坐标的转换：r=sqrt(x^2+y^2)，θ=tan^(-1)(y/x)2. 常见曲线的极坐标方程：- 直线：θ=常数- 圆：r=常数- 椭圆：r=a*b/sqrt(b^2*cos^2(θ)+a^2*sin^2(θ))3. 参数方程的表示方式：- 曲线方程：(x,y)=(f(t),g(t))- 曲线长度的计算公式：L=∫sqrt((dx/dt)^2+(dy/dt)^2)dt4. 参数方程的性质：- 曲线方向：随着参数变量的增大，曲线的运动方向- 曲线对称性：参数方程对称性特点取决于函数f(t)和g(t)的对称性第1页/共2页锲而不舍，金石可镂。
- 曲线切线方向：曲线上某点的切线方向由参数方程的导数决定5. 参数方程与极坐标之间的关系：- 参数方程可以转换为极坐标方程，极径r=f(t)，极角θ=g(t)- 极坐标方程可以转换为参数方程，x=f(θ)*cos(θ)，y=f(θ)*sin(θ)需要注意的是，极坐标和参数方程在一些问题中可以更方便地描述曲线的特性，而在其他问题中直角坐标系可能更适用。
因此，在应用中需要根据具体问题选择合适的坐标系表示。
极坐标与参数方程知识点总结(最新整理)
第一部分：坐标系与参数方程【考纲知识梳理】1．平面直角坐标系中的坐标伸缩变换设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换的作用下,点对应到点()()⎩⎨⎧>∙='>∙='0,0,:μμλλϕy y x x ()y x P ,,称为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换.()y x P '',ϕ2.极坐标系的概念(1)极坐标系如图(1)所示,在平面内取一个定点,叫做极点,自极点引一条射线,叫做极轴;再选定一个长度单位,一O O Ox 个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系.注:极坐标系以角这一平面图形为几何背景,而平面直角坐标系以互相垂直的两条数轴为几何背景;平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应的关系,而极坐标系则不可.但极坐标系和平面直角坐标系都是平面坐标系.(2)极坐标设M 是平面内一点,极点O 与点M 的距离|OM|叫做点M 的极径,记为;以极轴为始边,射线为终ρOx OM 边的角叫做点M 的极角,记为.有序数对叫做点M 的极坐标,记作M .一般地,不作特xOM ∠θ()θρ,()θρ,殊说明时,我们认为可取任意实数.特别地,当点M 在极点时,它的极坐标为。
和直角坐θρ,0≥()()R ∈θθ,0标不同,平面内一个点的极坐标有无数种表示.如果规定,那么除极点外,平面内的点可用πθρ20,0<≤>唯一的极坐标表示;同时,极坐标表示的点也是唯一确定的.()θρ,()θρ,3.极坐标和直角坐标的互化(1)互化背景:把直角坐标系的原点作为极点,x 轴的正半轴作为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位,如图(2)所示:(2)互化公式:设M 是坐标平面内任意一点,它的直角坐标是,极坐标是,于()y x ,()()0,≥ρθρ是极坐标与直角坐标的互化公式如表:点M直角坐标()y x ,极坐标()θρ,互化公式⎩⎨⎧==θρθρsin cos y x ()0tan 222≠=+=x xyy x θρ在一般情况下,由确定角时,可根据点M 所在的象限最小正角.θtan 4.常见曲线的极坐标方程曲线图形极坐标方程圆心在极点,半径为的圆r ()πθρ20<≤=r 圆心为,半径为的圆()0,r r ⎪⎭⎫ ⎝⎛<≤-=222πθπρr 圆心为,半径为的圆⎪⎭⎫⎝⎛2,πr r ()πθθρ<≤=0sin 2r 过极点,倾斜角为的直线α(1)()()R R ∈+=∈=ραπθραθ或(2)()()00≥+=≥=ραπθραθ或过点,与极轴垂直的直线()0,a ⎪⎭⎫ ⎝⎛<<-=22cos πθπθρa 过点,与极轴平行的直⎪⎭⎫⎝⎛2,πa 线()πθθρ<<=0sin a 注:由于平面上点的极坐标的表示形式不唯一,即都表示同一()()()()θπρθπρθπρθρ+--+-+,,,,2,,,点的坐标,这与点的直角坐标的唯一性明显不同.所以对于曲线上的点的极坐标的多种表示形式,只要求至少有一个能满足极坐标方程即可.例如对于极坐标方程点可以表示为θρ=⎪⎭⎫⎝⎛4,4ππM 等多种形式,其中,只有的极坐标满足方程⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+45,424,424,4ππππππππM M M 或或⎪⎭⎫⎝⎛4,4ππM .θρ=二、参数方程1.参数方程的概念一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标都是某个变数的函数①,并且对()y x ,t ()()⎩⎨⎧==t g y t f x于的每一个允许值,由方程组①所确定的点都在这条曲线上,那么方程①就叫做这条曲线的参数方t ()y x M ,程,联系变数的变数叫做参变数,简称参数,相对于参数方程而言,直接给出点的坐标间关系的方程叫()y x ,t 做普通方程.2.参数方程和普通方程的互化(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式,一般地可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程.(2)如果知道变数中的一个与参数的关系,例如,把它代入普通方程,求出另一个变数与参数()y x ,t ()t f x =的关系,那么就是曲线的参数方程,在参数方程与普通方程的互化中,必须使的取()t g y =()()⎩⎨⎧==t g y t f x ()y x ,值范围保持一致.注：普通方程化为参数方程，参数方程的形式不一定唯一。
极坐标与参数方程,知识点
坐标系与参数方程知识点一、极坐标系1. 极坐标系的概念如图所示，一条射线就是一个极坐标系。
其中射线的端点叫做极点，这条射线叫做极轴。
设M 是平面内一点,极点O 与点M 的距离|OM|叫做点M 的极径,记为ρ；以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边的角xOM ∠叫做点M 的极角,记为θ.有序数对(,)ρθ叫做点M 的极坐标,记作(,)M ρθ.2. 在极坐标系里，(,) , (,2) , (,)ρθρθπρθπ±-±都表示同一点的坐标3. 极坐标系中两点之间的距离 设()()2211,,,θρθρB A ，则()221212122cos AB ρρρρθθ=+--4.极坐标和直角坐标的互化5.常见曲线的极坐标方程曲线图形极坐标方程直角坐标方程圆心在极点,半径为r 的圆r ρ=222x y r +=圆心为(,0)r ,半径为r 的圆2cos r ρθ= 222() x r y r -+=圆心为(,)2r π,半径为r 的圆2sin r ρθ= 222() x y r r +-=点M 直角坐标(,)x y极坐标(,)ρθ互化公式cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩ 222tan x y y x ρθ⎧=+⎪⎨=⎪⎩过点(,0)a ,与极轴垂直的直线cos a ρθ= x a =过点(,)2a π,与极轴平行的直线sin a ρθ=y a =过极点,倾斜角为α的直线θα=tan y x α=二、参数方程1.参数方程的概念在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标,x y 都是某个变数t 的函数()()x f t y g t =⎧⎨=⎩,并且对于t 的每一个值，由方程组①所确定的点(,)M x y 都在这条曲线上，那么方程①就叫做这条曲线的参数方程,变量t 叫做参数.2.常见曲线的参数方程曲线普通方程参数方程()t 为参数经过点000(,)M x y ，倾斜角为α的直线 00tan ()y y x x α-=-00cos sin x x t y y t αα=+⎧⎨=+⎩经过点000(,)M x y ，与向量(,)a l m =平行的直线00x x y y l m--=00x x lty y mt=+⎧⎨=+⎩ 圆心为坐标原点,半径为r 的圆222x y r +=cos sin x r ty r t=⎧⎨=⎩ 圆心为(,)a b ，半径为r 的圆222()()x a y b r -+-=cos sin x a r ty b r t =+⎧⎨=+⎩以坐标原点为中心的椭圆22221x y a b += cos sin x a ty b t=⎧⎨=⎩三、平面解析几何初步1. 直线的倾斜角和斜率的概念倾斜角：当直线l 与x 轴相交，x 轴正向与直线l 向上方向之间所成的角α叫做直线l 的倾斜角；当直线与x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0；倾斜角范围为[0,)π；斜率：2111221221-(,)(,)-=+=≠y y A x y B x y y kx x x x b x k 直线上两点，其则斜率 ，中，， 斜率k 的值决定了这条直线相对于x 轴的倾斜程度。
(完整word版)参数方程和极坐标方程知识点归纳
专题九：坐标系与参数方程1、平面直角坐标系中的伸缩变换设点 P( x, y) 是平面直角坐标系中的随意一点，在变换:x x, ( 0),yy, (的作用0).下，点 P(x, y) 对应到点 P ( x , y ) ，称 为平面直角坐标系中的 坐标伸缩变换 ，简称 伸缩变换 。
2、极坐标系的观点在平面内取一个定点 O ，叫做 极点 ；自极点 O 引一条射线 Ox 叫做极轴 ；再选定一个长 度单位、 一个角度单位 ( 往常取弧度 ) 及其正方向 ( 往常取逆时针方向) ，这样就成立了一个 极坐标系 。
M ( , )Ox图 1点 M 的极坐标： 设 M 是平面内一点， 极点 O 与点 M 的距离 | OM | 叫做点 M 的极径 ， 记为；以极轴 Ox 为始边，射线OM 为终边的 xOM 叫做点 M 的极角 ，记为数对 ( , ) 叫做 点 M 的极坐标 ，记为 M ( , ) .。
有序注： 极坐标 ( , ) 与 ( ,2k )(kZ) 表示同一个点。
极点O 的坐标为 (0, )(R ).若0 , 则0 , 规定点 (, ) 与点 ( , ) 对于极点对称，即(, ) 与( ,) 表示同一点。
假如规定0,02，那么除极点外， 平面内的点可用独一的极坐标(, )表示（即一一对应的关系）；同时，极坐标( , ) 表示的点也是独一确立的。
极坐标与直角坐标都是一对有序实数确立平面上一个点，在极坐标系下，一对有序实数 、 对应唯一点 P (， ) ，但平面内任一个点 P 的极坐标不唯一．一个点能够有无数个坐标，这些坐标又有规律可循的， P ( ， ) （极点除外）的所有坐标为 (, ＋ 2k ) 或（， ＋ ( 2k 1) ）， ( kZ) ．极点的极径为 0，而极角随意取．若对、 的取值范围加以限制． 则除极点外， 平面上点的极坐标就唯一了， 如限制 >0，0≤ ＜ 2 或<0，＜ ≤ 等．极坐标与直角坐标的不一样是，直角坐标系中， 点与坐标是一一对应的， 而极坐标系中，点与坐标是一多对应的．即一个点的极坐标是不唯一的． 3、极坐标与直角坐标的互化设 M 是平面内随意一点，它的直角坐标是 ( x, y) ，极坐标是 ( ,) ，从图中能够得出：xcos ,y sinyy( x2x 2 y 2 , tan0).xN xMyx cosO Hx 2 y 22ysintany(x 0)x4、简单曲线的极坐标方程⑴圆的极坐标方程①以极点为圆心， a 为半径的圆的极坐标方程是 a ；（如图1）②以 (a,0) (a 0) 为圆心， a 为半径的圆的极坐标方程是2acos；（如图2）③以 (a, ) ( a0) 为圆心， a 为半径的圆的2极坐标方程是2asin；（如图4）⑵直线的极坐标方程①过极点的直线的极坐标方程是(0) 和(0) .（如图 1）②过点 A(a,0)(a0) ，且垂直于极轴的直线 l 的极坐标方程是cos a .化为直角坐标方程为x a .（如图2）③过点A(a, ) 且平行于极轴的直线l 的2极坐标方程是sin a .化为直角坐标方程为 y a .（如图4）5、柱坐标系与球坐标系MaO x图1aMaOx图42asinM（，）O x图1MaO图4asinMMa O xO a x图3图22acos2 a cosO x MMa( a , )aO x图5图62asin2a cos()MMOaa O图2图3a acos cosM（，）ON (a, )a aM O p图5a图6sin acos()x cos⑴柱坐标：空间点P 的直角坐标(x, y, z)与柱坐标( , , z)的变换关系为：y sin.z z⑵球坐标系x 2 y 2 z 2 r 2空间点 P 直角坐标 (x, y, z) 与球坐标 (r , ,) 的变换关系：x r sin cos .y r sin sinz r cos6、参数方程的观点在平面直角坐标系中，假如曲线上随意一点的坐标x, y 都是某个变数 t 的函数x f (t),而且对于 t 的每一个同意值，由这个方程所确立的点M (x, y) 都在这条曲线上，y g(t),那么这个方程就叫做这条曲线的 参数方程 ，联系变数 x, y 的变数 t 叫做 参变数 ，简称 参数 。
(完整版)极坐标与参数方程知识点、题型总结
极坐标与参数方程知识点、题型总结一、伸缩变换：点是平面直角坐标系中的任意一点，在变换),(y x P 的作用下，点对应到点，称伸缩变换⎩⎨⎧>⋅='>⋅=').0(,y y 0),(x,x :μμλλϕ),(y x P ),(y x P '''一、1、极坐标定义：M 是平面上一点，表示OM 的长度，是，则有序实数实ρθMOx ∠数对,叫极径，叫极角；一般地，，。
，点P 的直角坐标、(,)ρθρθ[0,2)θπ∈0ρ≥极坐标分别为(x ，y )和(ρ，θ)2、直角坐标极坐标 2、极坐标直角坐标⇒cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩⇒222tan (0)x y yx xρθ⎧=+⎪⎨=≠⎪⎩3、求直线和圆的极坐标方程：方法一、先求出直角坐标方程，再把它化为极坐标方程方法二、（1）若直线过点M (ρ0，θ0)，且极轴到此直线的角为α，则它的方程为：ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0－α)（2）若圆心为M (ρ0，θ0)，半径为r 的圆方程为ρ2－2ρ0ρcos(θ－θ0)＋ρ02－r 2＝0二、参数方程：（一）．参数方程的概念：在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标都是某个变数的函数 并且对于的每一个允许值，由这个方程所确y x ,t ⎩⎨⎧==),(),(t g y t f x t 定的点都在这条曲线上，那么这个方程就叫做这条曲线的参数方程，联系变数),(y x M 的变数叫做参变数，简称参数。
相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的y x ,t 方程叫做普通方程。
（二）．常见曲线的参数方程如下：直线的标准参数方程1、过定点（x 0，y 0），倾角为α的直线：（t 为参数）ααsin cos 00t y y t x x +=+=（1）其中参数t 的几何意义：点P （x 0，y 0），点M 对应的参数为t ，则PM =|t| (2)直线上对应的参数是。
极坐标和参数方程知识点总结
极坐标和参数方程知识点总结一、极坐标基础知识极坐标是一种描述平面上点位置的方式，它由两个值组成：极径和极角。
极径表示点到原点的距离，而极角表示点到正半轴的夹角。
二、极坐标与直角坐标系的转换在直角坐标系中，一个点可以用它在x轴和y轴上的投影表示。
而在极坐标系中，一个点可以用它与原点的距离和与正半轴的夹角来表示。
两种坐标系之间可以通过以下公式进行转换：x=r*cosθy=r*sinθ其中，r为极径，θ为极角。
三、常见图形的极坐标方程1. 圆：r=a2. 点：r=03. 直线：θ=k4. 简单叶形线：r=a*cos(2θ)5. 简单心形线：r=a*(1-sinθ)四、参数方程基础知识参数方程是一种描述曲线运动状态的方式，它由两个函数组成：x(t)和y(t)。
这两个函数分别表示曲线上每个点在x轴和y轴上的位置。
五、参数方程与直角坐标系的转换在直角坐标系中，一个曲线可以用y=f(x)的形式表示。
而在参数方程中，一个曲线可以用x(t)和y(t)的形式表示。
两种坐标系之间可以通过以下公式进行转换：x=f(t)y=g(t)其中，t为参数。
六、常见图形的参数方程1. 直线：x=at+b，y=ct+d2. 圆：x=a+r*cosθ，y=b+r*sinθ3. 椭圆：x=a*cosθ，y=b*sinθ4. 双曲线：x=a*secθ，y=b*tanθ七、极坐标与参数方程的联系极坐标和参数方程都是描述曲线运动状态的方式。
它们之间有一定的联系，可以通过以下公式进行转换：r=sqrt(x^2+y^2)tanθ=y/x其中，r为极径，θ为极角。
(完整版)高中数学极坐标与参数方程知识点
极坐标与参数方程知识点（一）曲线的参数方程的定义：在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x 、y 都是某个变数 t 的函数，即x f （t ） y f （t ）并且对于t 每一个允许值，由方程组所确定的点 M （x ，y ）都在这条曲线上，那么方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系 x 、y 之间关系的变数叫做参变数，简称参数.（二）常见曲线的参数方程如下： 1.过定点（x o , y o ）,倾角为a 的直线：「XXt cos （t 为参数）[y y o tsi n其中参数t 是以定点P （x o , y o ）为起点，对应于t 点M （x , y ）为终点的有向线段 PM 的数量，又称为点 P 与点M 间的有向距离. 根据t 的几何意义，有以下结论.(t B t A ) 4t A t B.2.中心在（x o , y o ）,半径等于r 的圆:「x x o r cos（为参数）y y or sin3.中心在原点，焦点在 x 轴（或y 轴）上的椭圆：• x a cos• x bcos（为参数） （或 { )' y bsin' y a sin中心在点（xO,yO ）焦点在平行于x 轴的直线上的椭圆的参数方程4.中心在原点，焦点在 x 轴（或y 轴）上的双曲线:B 是直线上任意两点，它们对应的参数分别为 t A 和 t B ,则 AB = t B t A2 .线段AB 的中点所对应的参数值等于t A t B 2x X o y y oa cos bsi n'（为参数）A 、直线的参数方程和参数的几何意义（三）极坐标系1定义：在平面内取一个定点 0,叫做极点，引一条射线 Ox,叫做极轴，再选一个长度单位和角度的正方向（通常取逆时针方向） 。
对于平面内的任意一点 M 用P 表示线段 0M 勺长 度，B 表示从 Ox 到0M 的角，P 叫做点 M 的极径，B 叫做点 M 的极角，有序数对（P , 0 ） 就叫做点M 的极坐标。
极坐标与参数方程知识点总结大全
1．平面直角坐标系中的坐标伸缩变换设点P（x，y）是平面直角坐标系中的任意一点，在变换的作用下，点P（x，y)对应到点，称为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换。
2.极坐标系的概念（1)极坐标系如图所示，在平面内取一个定点,叫做极点,自极点引一条射线,叫做极轴;再选定一个长度单位,一个角度单位（通常取弧度)及其正方向（通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系。
注：极坐标系以角这一平面图形为几何背景,而平面直角坐标系以互相垂直的两条数轴为几何背景；平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应的关系,而极坐标系则不可.但极坐标系和平面直角坐标系都是平面坐标系。
（2）极坐标设M是平面内一点,极点与点M的距离｜OM｜叫做点M的极径，记为;以极轴为始边，射线为终边的角叫做点M的极角，记为.有序数对叫做点M的极坐标，记作.一般地,不作特殊说明时,我们认为可取任意实数。
特别地，当点在极点时,它的极坐标为（0, )（∈R)。
和直角坐标不同，平面内一个点的极坐标有无数种表示.如果规定，那么除极点外,平面内的点可用唯一的极坐标表示；同时，极坐标表示的点也是唯一确定的.3。
极坐标和直角坐标的互化(1)互化背景：把直角坐标系的原点作为极点,x轴的正半轴作为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位,如图所示:(2）互化公式:设是坐标平面内任意一点,它的直角坐标是，极坐标是()，于是极坐标与直角坐标的互化公式如表:点直角坐标极坐标互化公式在一般情况下，由确定角时，可根据点所在的象限最小正角。
4。
常见曲线的极坐标方程曲线图形极坐标方程圆心在极点,半径为的圆圆心为,半径为的圆圆心为，半径为的圆过极点,倾斜角为的直线（1)（2)过点，与极轴垂直的直线过点，与极轴平行的直线注：由于平面上点的极坐标的表示形式不唯一,即都表示同一点的坐标,这与点的直角坐标的唯一性明显不同。
所以对于曲线上的点的极坐标的多种表示形式,只要求至少有一个能满足极坐标方程即可。
极坐标与参数方程基本知识点
极坐标与参数方程基本知识点(总3页)-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One 1■CAL■本页仅作为文档封面，使用请直接删除极坐标与参数方程基本知识点一、极坐标知识点1.伸缩变换：设点P(x, y)是平而直角坐标系中的任意一点，在变换Jx =2-x,(/>0),的作用下，点卩(圮刃对应到点p(£,y),称卩为平而直角坐标y =“・y,(〃>0).系中的坐标伸缱变挟，简称伸缱变如2.极坐标系的概念：在平而内取一个立点O,从O引一条射线Ox,选左一个单位长度以及计算角度的正方向(通常取逆时针方向为正方向)，这样就建立了一个极坐标系，o点叫做极点，射线Ox 叫做极轴.①极点：②极轴：③长度单位：④角度单位和它的正方向，构成了极坐标系的四要素，缺一不可.3.点M的极坐标：设M是平面内一点，极点O与点M的距离IOMI叫做点M的极径.记为°；以极轴Ox为始边，射线OM为终边的厶OM叫做点M的极角，记为8。
有序数对(Q,&)叫做点M的极坐标，记为极坐标(Q, 0)与(Q, & + 2«丹伙e Z)表示同一个点。
极点O的坐标为(0,0)(0 eR).4.若Q V 0，则—° > 0,规左点(―Q,&)与点(°,0)关于极点对称，即(-p,&)与(°,兀+ &) 表示同一点。
如果规zEp>0,0<6><2^,那么除极点外，平而内的点可用唯一的极坐标(Q,&)表示：同时，极坐标(门&)表示的点也是唯一确左的。
5.极坐标与直角坐标的互化：(1)互化的前提条件①极坐标系中的极点与直角坐标系中的原点重合：②极轴与x轴的正半轴重合③两种坐标系中取相同的长度单位.(2)互化公式p2 = x2 + y2, x = pcos&yy = psinO. tanO = — (x H 0)Y6•曲 ----------------------- -------- 线的极坐标方程：1.直线的极坐标方程：若直线过点M(Q O，%),且极轴到此直线的角为a,则它的方程为：psin(S-a) = p0 sin(0o - a)几个特殊位置的直线的极坐标方程(1)直线过极点(2)直线过点M(a,0)且垂直于极轴(3)直线过M(»?)且平行于极轴2方程：(1) O = a(pwR)或写成0=口及° =盘 + 刀(2) pcosO = a (3) psm6=b2.圆的极坐标方程：若圆心为M(Q”q),半径为r的圆方程为：P2 _ 2p°p cos(6> _ &) + A2 _ 十=0几个特殊位置的圆的极坐标方程(1)当圆心位于极点，r为半径(2)当圆心位于C(a,0)(a>0),a为半径(3)当圆心位于C(«,-) («>0), a 为半径2方程：(l)p = r (2)p = lacosO (3)Q = 2asin&7.在极坐标系中，0 = a(p> 0)表示以极点为起点的一条射线；& = a(QeR)表示过极点的一条直线.二.参数方程知识点】.参数方程的概念：在平面直角坐标系中，若曲线C上的点皿)满足二；，该方程叫曲线C的参数方程，变量(是参变数.简称参数。
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极坐标与参数方程知识点总结
题型一、参数方程转化为普通方程
例：已知圆C 的圆心是直线() 1x t t y t =⎧⎨=+⎩
为参数与x 轴的交点，且圆C 与直线30x y ++=相切，则圆C 的方程为 【分析】这是一道利用圆与直线的位置关系求圆方程的填空题，其中一条直线的方程用参数方程给出。
【解析】化直线() 1x t t y t =⎧⎨=+⎩
为参数为10x y -+=，∴圆C 的圆心是()1,0-
，半径r == 圆C 的方程为()2212x y ++=．
【点睛】将直线的参数方程化为直角坐标方程是解决本题的一个关键点。
【变式】：
1、已知椭圆E 的中心是坐标原点，一个焦点是直线() 1x t t y t
=-⎧⎨=+⎩为参数与x 轴的交点，一个顶点在直线20x +=上，
则椭圆E 的方程为 ．22143x y ⎛⎫+= ⎪⎝⎭ 2.北京9．直线t t y t x (12⎩⎨⎧--=+=为参数)与曲线ααα(sin 3cos 3⎩
⎨⎧==y x 为参数)的交点个数为______。
【解析】直线的普通方程01=-+y x ，圆的普通方程为92
2=+y x ，可以直线圆相交，故有2个交点。
【答案】2
3.在平面直角坐标系中，以坐标原点O 为几点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系。
已知直线l 上两点N M ,的极坐标分别为)2,332(),0,2(π，圆C 的参数方程θθθ(sin 23cos 22⎩
⎨⎧+-=+=y x 为参数）。
（Ⅰ）设P 为线段MN 的中点，求直线OP 的平面直角坐标方程；
（Ⅱ）判断直线l 与圆C 的位置关系。
【解析】
（Ⅰ）由题意知(2,0),M N ，因为P 是线段MN
中点，则P 因此OP
直角坐标方程为：.3
y x = （Ⅱ）因为直线l
上两点(2,0),(0,
3M N ∴l
30y -=，
圆心(2,，半径2r =
. 32
d ∴==<r ,故直线l 和圆C 相交.
【考点定位】本题主要考查极坐标与参数方程的互化、圆的参数方程等基础知识，考查运算求解能力，考查转化化归思想。
4. 在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 和2C 的参数方程分别为
1:x t C t y =⎧⎪⎨=⎪⎩是参数）
和2:(x C y θθθ
⎧=⎪⎨=⎪⎩是参数），它们的交点坐标为_______. 【解析】它们的交点坐标为_______(1,1)
22212:(0),:2C y x y C x y =>+= 解得：交点坐标为(1,1)
5.在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴
建立极坐标系. 已知射线π4θ=与曲线21,(1)x t y t =+⎧⎨=-⎩
（t 为参数） 相交于A ，B 两点，则线段AB 的中点的直角坐标为 .
考点分析：本题考察平面直角坐标与极坐标系下的曲线方程交点.
难易度：★ 解析：π4θ=在直角坐标系下的一般方程为)(R x x y ∈=，将参数方程21,(1)
x t y t =+⎧⎨=-⎩（t 为参数）转化为直角坐标系下的一般方程为222)2()11()1(-=--=-=x x t y 表示一条抛物线，联立上面两个方程消去y 有0452=+-x x ，设
B A 、两点及其中点P 的横坐标分别为0x x x B A 、、，则有韦达定理2520=+=
B A x x x ,又由于点P 点在直线x y =上，因此AB 的中点)25,25(P .
题型二、极坐标与直角坐标的互化
例： 在极坐标系中，由三条直线0=θ，3π
θ=，1sin cos =+θρθρ围成图形的面积是__________.
【分析】本题给出三条直线的极坐标方程，然后求围成的三角形的面积。
【解析】化直线0=θ，3π
θ=，1sin cos =+θρθρ
为0,10x y x y =-=+-=，三条直线的交
点坐标分别为()(
)0,0,1,0,⎝⎭
，∴围成图形的面积为1331224⨯⨯=． 【点睛】解题的关键处是将三条直线的极坐标方程化为直角坐标方程。
【变式】：
1. 在极坐标系中，直线sin 1ρθ=与圆4cos ρθ=相交于A 、B 两点，C 为圆心，则三角形ABC 的面积是
__________.
2.（安徽13）在极坐标系中，圆4sin ρθ=的圆心到直线()6R π
θρ=
∈的距离是_____
解：圆22
4sin (2)4x y ρθ=↔+-=的圆心(0,2)C
直线:()06l R x π
θρ=∈↔=；点C 到直线l
=
3. 10陕西15.C ．（坐标系与参数方程）直线2cos 1ρθ=与圆2cos ρθ=
【解析】2cos 1ρθ=是过点⎪⎭⎫ ⎝⎛0,21且垂直于极轴的直线，2cos ρθ=是以()0,1为圆心，1为半径的圆，则弦长
=321122=⎪⎭
⎫ ⎝⎛-. 设点A 的极坐标为2,6π⎛
⎫ ⎪⎝⎭，直线l 过点A 且与极轴所成的角为3
π，则直线l 的极坐标．．．方程为 ． 5．sin 13πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭或cos 16πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭
或4
sin 13πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭cos sin 20θρθ--= 6．极坐标方程分别为4cos ρθ=和8sin ρθ=-的两个圆的圆心距为
解析： ρ=4 ρ2=4x ∴x 2+y 2=4x ∴(x-2)2+y 2=4 同理：x 2+(y+4)2
=16 7．已知直线l 的参数方程为：2,14x
t y t =⎧⎨=+⎩
（t 为参数），圆C 的极坐标方程为ρθ=，则直线l 与圆C 的位置关系为 相交 .
8.在极坐标系中，圆2ρ=上的点到直线()
6sin 3cos =+θθρ的距离的最小值是 1 . 解析： 圆2ρ=可化为224x y +=，直
线()
6sin 3cos =+θθρ化为60x
+-=，圆心到直线的距离
32d ==>，最短距离为321-= 题型三、参数方程与极坐标方程的应用
例： 以直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位。
已知直线的极坐标方程为()4R πθρ=∈，它与曲线12cos 22sin x y αα
=+⎧⎨=+⎩（α为参数）相交于两点A 和B ，则|AB|=_________ 【分析】本题给出直线的极坐标方程和曲线的参数方程，然后求弦长|AB|
【解析】直线的直角坐标方程为0x y -=，曲线的直角坐标方程为22
(1)(2)4x y -+-= ∵圆心(
)1,2到直线0x
y -=的距离2
d ==
， ∴||AB ==【点睛】将极坐标方程、参数方程统一化为直角坐标方程，然后在直角坐标系中解题。
ρx
【变式】：
1. 以直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位。
已知直线的极坐标方程
为cos sin 1ρθρθ+=，曲线的参数方程为23cos 23sin x y αα=-+⎧⎨=+⎩
（α为参数），则曲线的中心（圆心）到直线的距离为_________22⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭
2.已知曲线C 的极坐标方程是1ρ=，以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程
12()322
t x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩为参数.（Ⅰ）写出直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程； （Ⅱ）设曲线C 经过伸缩变换3x x y y '=⎧⎨'=⎩
得到曲线C '，设曲线C '上任一点为(,)M x y ，求23x y +的最小值.
3．在直接坐标系xOy 中，直线l 的方程为x-y+4=0，曲线C 的参数方程为
x 3cos y sin ααα⎧=⎪⎨=⎪⎩（为参数）．
（I ）已知在极坐标（与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，点P 的极坐标为（4，2
π），判断点P 与直线l 的位置关系； （II ）设点Q 是曲线C 上的一个动点，求它到直线l 的距离的最小值．。