有限元01

成。
单元刚度矩阵的特性：
a)、单元刚度矩阵为对称矩阵； b)、单刚元素表示单元发生某种单位节点位移时所对应的节 点力，反映出单元抵抗这种变形的能力——刚度； c)、对角元素总为正值 d)、奇异性，其行列式为零，物理意义代表单元有刚体运动 存在。
总体刚度矩阵的特性：
物理意义就对应为一个刚度矩阵。
• aij ，当节点 i 取单位位移，而其他节点位移为零时，对应 于节点 i 的节点力。 • 通常约定：单元的位移、节点力、刚度矩阵均按节点分组； 对每一节点的位移，节点力分量，再按 u x ,u y , u z , x , y , z 顺序排列。 其刚度矩阵节点子块则对应各分量排列。
T
Step 3：单元弹性特征 当建立了 与 Q 的定量关系后，对于任一Q 就有 对应的 ，则问题就可以求解。
对任一单元e，建立节点位移与截面节点力之间的关 系。
e单元的节点位移 fi ,i , f j , j ，
T
单元变形时，节点 T e p qi , mi , q j , m j 。 力
梁单元就转化为下图所示的计算模型。
含有3个单元，4个节点（注意要分别编号，不重复） 节点：单元之间的连接，本身是虚构的，而结构是连 续的，采用“结”或 “节”无实质区别。“结”强调了 单元之间的连接，而“节”则有所淡化，有虚拟之意。-文人嚼字
Step 2：节点位移描述
空间任一点有三个方向的运动，三个方向的转动，即 有6个位移量；平面上任一点则有二个位移和一个转动。 对于平面内变形的梁，为简化起见，引入材料力学的 平面假设：梁任一截面(节点)的变形只需中性面位移及其 绕中性面的转角就可确定。 梁受横向载发生变形时，各截面的位移只含截面中性 轴处的挠度及其截面的转角，无轴向位移。
任一节点 i 处的位移为 f i 、 i 。 i 换言之，任一节点 有两个自由度。规定 i 逆时针为正。 记： i 节点的位移为 i ，
fi i i
fi 向上为正，
对应于节点位移，有相应的节点载荷，也成为广义力：
Fi Qi M i
Q2 p2 1 p2 2（1.6c) 或
由（1.6a）（1.6b）得：
p2 1 k21 111 k22 1 2 1
p2 2 k22 2 2 2 k23 2 3 2
注意：对于节点2，其位移是唯一的，否则各单元间 的变形不连续，
2
k 23 2 k 33 3
2
2
（1.6b）
梁在静平衡状态下，节点2的节点力由两部分组成： 单元1的2节点上的反作用力、单元2的2节点上的反作用 力，则，独立节点2处于平衡状态条件为：
2 q2 q1 q 2 2 2 m 2 m1 m 2 2
对于节点1、4，分别只有一个单元独有：
Q1 k11 1 1 k12 1 2
(1.6f)
Q4 k 43 3 3 k 44 3 4
将（1.6d）～（1.6g）合并：
1 Q1 k11 Q 1 2 k 21 Q3 0 Q4 0 1 k11 1 2 k 22 k 22
e
6l 12 4l 2 EJ 6l 3 l 12 6l 6l 2l 2
12 6l 12 6l
6l 2l 2 6l 4l 2
（1.5)
k e 元素的求解过程，任一元素都是在 si aij u j • 回顾一下 e a 状态下求出的， ij 对应于一个变形刚度。整个矩阵 k 的
s1l 3 s 2 l 2 s 2 a 21 3EJ 2 EJ
12 EJ a11 l 3 最后求得： 6 EJ a 21 2 l
由单元的力矩平衡方程：
s 3 s1
s 4 s1l s 2

a31
12 EJ l3
2 1 2 2 2
代入式（1.6c）：
Q2 k 21 11 k 22 1 k 22 2 2 k 23 2 3 （1.6d）
同样地，在单元2与单元3的连接，由力平衡关系得：
Q3 k 32 2 2 k 33 2 k 33 3 3 k 34 3 4 （1.6e)
a)、结构总体刚度矩阵为对称矩阵； b)、稀疏、呈带状分布，非零元素集中在对角线附近； c)、总刚矩阵表示结构发生某种单位节点位移时所对应的节 点载荷，反映结构整体的刚度，代表了各单元刚度之总 体效应。 d)、对角元素总为正值 e)、奇异性，其行列式为零，物理意义代表结构有刚体运动 存在，存在整体漂移。
Q K
（1.8)
Q 、 、 分别称为总节点力（载荷）列阵、总刚度矩 K
阵，总位移列阵。
矩阵，列阵的维数：
Q81
K 88
81
一般情况下，结构若含n个节点，则（1.8）含有2n个 方程，即为结构分析矩阵位移法的基本方程（力平衡方 程）。
K
Step 5： 建立定解
（1.8）式不能直接求解？ 源于总刚的奇异性。 结构存在刚体运动，为一类任意的、结构不发生变形 的刚体漂移。 • 根据边界的约束条件，确定出相应的节点已知位移； • 代入方程组中，化解降阶，消除总刚的奇异性； • 最后求解新方程组。
K Q
' ' '
（1.9）
a 22
4 EJ l
a 42
2 EJ l
Ⅲ 反过来，分别设： u1 u 2 u 4 0 ； u3 1
u4 1
u1 u 2 u 4 0 ；
对应于左端固支的悬臂梁。 e 同样可以得出， k 中的第三列、第四列元素。 最后得到具有普遍意义的单元刚度矩阵：
k
a13 a23 a33 a43
a14 fi a24 i a34 f j a44 j
（1.1)
p
e
k
e
e
(1.2)
k 代表了力与位移的关系，为一特定的物理意义，仿
e
弹簧变形规律，可定义为刚度矩阵。 存在另一种表达式：
（ ）
S2
e
j
取单元长度，弹性模量、截面惯性矩分别讨论如下：
Ⅰ 设 u1 1 、 ， 其物理意义相当于悬臂梁的变形：
参考材料力学中梁的变形公式：
s1l 3 s2l 2 u1 1 3EJ 2 EJ
s1l 2 s2l u2 0 2 EJ EJ
从（1.4）式中，可以得到一个联立方程（关 s 于 s1 、 2 ），
6 EJ a 41 2 l
这样，由 u1 1 、其余等于0时，可以导出中 列的元素。
k e 第一
Ⅱ 设 u 2 1 （1弧度），u 2 u 3 u 4 0
其物理意义如下图，相当于左简支和右悬臂。同样由 梁的变形及平衡方程可以得到：
a12 a32 6 EJ 2 l
i 和 j 处应受到力的作用，有节点
注意：节点力与截面载荷意义不相同！ 节点力指单元截面处的内力，为材料力学中的切向力 和弯距。 节点载荷为梁结构在节点处受到的外载荷。 节点力与节点载荷的正向取为一致。
与材料力学中的符号规定有异 ：
在线性弹性，小变形条件下，存在线性关系：
qi a11 a12 m i a21 a22 q j a31 a32 m j a41 a42
第1章 杆件结构
1.1 直梁
左端A简支，右端D固定，B处承受集中力F、 弯距M作用，求其挠度？
分析步骤： Step 1、离散化 梁的特征？
将结构自然分为三段：AB、BC、CD。每一段内部有 相同的几何尺寸、无外载，可视作一个单位体（单元）， 各段内部特性（材料、几何）可与其他单元相互独立。
各段之间的交界截面可看作单元之间的连接节点，两 端支座A、D也可以看作节点。

e
e
R
e
p
e
（1.3)
R 称为柔度矩阵
本步的工作就是要给出 k 的具体表达式。为规范化
e
编制程序，对梁单元的节点位移、节点力另外编号：

e
u1 u2
e
u3
u4
T
S1
T
S3 S4
p
s1
s2
s3
s4
i
则（1.1式）变换为：
s1 a11 a12 s a 2 21 a22 s3 a31 a32 s4 a41 a42 a13 a23 a33 a43 a14 u1 a24 u2 a34 u3 a44 u4
B：在单元刚度建立过程中，我们根据材料力学结果直 接导出单元刚度元素值，未引入新的理论与假设，是否 存在问题或不足？ 简要、明确地阐述了建立有限元方程的一种原始模 式，但是流程具有共通性。
C：在单元刚度矩阵的推导中，我们均未涉及结构载荷、 边界条件等； 在有集中载荷作用处，我们直接取为节点，集中载 荷均转化为节点载荷； 若是梁的一段上承受均布或者其他形式的连续分布 载荷，怎么处理？
q1 , m1 分别表示单元1的节点2上的节点力、力矩；余类推。 2 2
）
1
2
单元刚度方程：
单元1：
p1 k11 p2 k 21
1
k12 k 22
1
1 2
1
（1.6a）
单元2：
p2 k 22 p3 k 32
若梁离散有n个节点，则对应有2n个节点位移、载荷 分量。全部节点位移记为 、全部节点载荷记为 ： Q