六年级数学重点内容 不定方程
六年级奥数第28讲：不定方程
简单的不定方程所谓有定方程，是指未知数的个数多于方程个数的方程（组）。
解不定方程的方法是：（1）根据整除知识，缩小未知数的取值范围，然后试算求解。
（2）分析末位数字，缩小未知数的取值范围，寻求方程的整数解。
（3）求出一个未知数用另一个未知数表示的式子，然后试算求解。
（4）直接根据方程确定未知数的取值范围，通过试算求解。
例1、马小富在甲公司打工，几个月后又在乙公司兼职。
甲公每月付给他薪金470元，乙公司每月付给他薪金350元。
年终，马小富从两家公司共获薪金7 620元。
问他在甲公司打工多少个月，在乙公司兼职多少个月。
做一做：有A、B、C三种商品若干，价值共300元，其中A商品单价为16元，B商品单价为158元，C商品单价为19元。
那么，全部C商品至少价值多少元？最多价值多少元？例2、要把1米长的优质铜管锯成长38毫米和长90毫米两种规格的小铜管，每锯一次都损耗1毫米铜管，那么，只有当锯得的38毫米铜管和90毫米的铜管各为多少段时，所损耗的铜管才能最少？做一做：一个同学把他生日的月份乘以31，日期乘以12，然后加起来的和是170，你知道他出生于何月何日吗？例3、某单位的职工到效外植树，其中的男职工，也有女职工，并有31的职工各带一个孩子参加，男职工每人种13棵树，女职工每人种10棵树，每个孩子种6棵树，他们共种了216棵树，那么其中女职工有多少人？做一做：一群猴子采摘水蜜桃。
猴王不在的时候，一只大猴子1小时可采摘15千克，一只小猴子1小时可采摘11千克；猴王在场监督的时候，大猴子的51和小猴子的51必须停止采摘，去伺候猴王，有一天采摘了8小时，其中只有第一小时和最后一小时有猴王在场监督，结果共摘3 382千克水密桃。
问：在这个猴群中，共有大猴子多少只？例4、小明用5天时间看完一本200页的故事书。
已知第二天看的页数比第一天多，第三天看的页数是第一天、第二天看的页数之和，第四天看的页数是第五天至少看了多少页？做一做：有一堆围棋子，白子颗数是黑子颗数的3倍。
六年级奥数不定方程
六年级奥数不定方程Prepared on 21 November 2021第六讲不定方程【知识要点】1、许多数学家需要用方程或方程组来求解。
要想获得未知数的唯一解，能独立列出的方程个数必须与未知数的个数相等。
如果方程个数少于未知数的个数，则称之为不定方程或不定方程组，以为此时未知数一般有无数多个解，解是不确定的。
但如果结合具体问题，增加一些对解的限制条件，如只求自然数解等，这样的不定方程的解就只有有限个或唯一一个了。
必须注意，限制条件中，有些是明显的，有些则是隐藏的。
2、求不定方程的自然数解或正整数解，关键是充分利用整除特征，尝试找出第一解；对于其他的所有解，可通过解的规律，逐一罗列出来，并不困难。
【例题精讲】例1：求下列方程的整数解（x＞0，y＞0）。
（1）5x+10y=14；（2）11x+3y=89.【思路点拨】5和10有公因数5，而14没有公因数5，所以原方程无整数解；y=29－3211x，11x－2能被3整除且x＜9。
模仿练习：（1）求满足方程5x+3y=40的自然数解。
（2）设A 和B 都是自然数，且满足11A +7B =7757，求A+B 的值。
例2：某单位职工到郊外植树，其中31的职工各带了一个孩子参加，男职工每人种13棵树，女职工每人种10棵，每个孩子种6棵树，他们共种了216棵树，那么其中有女职工多少人【思路点拨】设有女职工x 人，男职工y 人，那么有孩子3y x +人，这个条件说明3|x+y 。
模仿练习：某小学共有大、中、小宿舍12间，能住80人。
每间大宿舍能住8人，每间中宿舍能住7人，每间小宿舍能住5人。
问中、小宿舍共有多少间例3：有四个自然数A 、B 、C 、D ，它们的和不超过除以B 商5余5；A 除以C 商6余6；A 除以D 商7余7，这四个自然数的和是多少【思路点拨】A=5B+5=6C+6=7D+7，A 一定是5,6,7的公倍数。
模仿练习：有三张扑克牌，牌的数字各不相同，并且都小于10，把三张牌洗好后，分别发给甲、乙、丙三人，每人记下自己牌的数字，再重新洗牌、发牌、记数。
小学六年级奥数第40讲 不定方程(含答案分析)
第40讲不定方程一、知识要点当方程的个数比方程中未知数的个数少时，我们就称这样的方程为不定方程。
如5x－3y ＝9就是不定方程。
这种方程的解是不确定的。
如果不加限制的话，它的解有无数个；如果附加一些限制条件，那么它的解的个数就是有限的了。
如5x－3y＝9的解有：x＝2.4 x＝2.7 x＝3.06 x＝3.6y＝1 y＝1.5 y＝2.1 y＝3如果限定x、y的解是小于5的整数，那么解就只有x＝3，Y＝2这一组了。
因此，研究不定方程主要就是分析讨论这些限制条件对解的影响。
解不定方程时一般要将原方程适当变形，把其中的一个未知数用另一个未知数来表示，然后再一定范围内试验求解。
解题时要注意观察未知数的特点，尽量缩小未知数的取值范围，减少试验的次数。
对于有3个未知数的不定方程组，可用削去法把它转化为二元一次不定方程再求解。
解答应用题时，要根据题中的限制条件（有时是明显的，有时是隐蔽的）取适当的值。
二、精讲精练【例题1】求3x+4y＝23的自然数解。
先将原方程变形，y＝23－3x4。
可列表试验求解：所以方程3x+4y＝23的自然数解为X=1 x=5 Y=5 y=2 练习11、求3x+2y＝25的自然数解。
2、求4x+5y＝37的自然数解。
3、求5x－3y＝16的最小自然数解。
【例题2】求下列方程组的正整数解。
5x+7y+3z＝253x－y－6z＝2这是一个三元一次不定方程组。
解答的实话，要先设法消去其中的一个未知数，将方程组简化成例1那样的不定方程。
5x+7y+3z＝25 ①3x－y－6z＝2 ②由①×2+②，得13x+13y＝52X+y＝4 ③把③式变形，得y＝4－x。
因为x、y、z都是正整数，所以x只能取1、2、3.当x＝1时，y＝3当x＝2时，y＝2当x＝3时，y＝1把上面的结果再分别代入①或②，得x＝1，y＝3时，z无正整数解。
x＝2，y＝2时，z也无正整数解。
x＝3时，y＝1时，z＝1.所以，原方程组的正整数解为 x＝1y＝1z＝1求下面方程组的自然数解。
六年级不定方程
解:设需要大客车x辆，小客车y辆， 则 48x＋30y＝306 即 8x＋5y＝51， 可以变形为：y＝（51－8x）÷5， 由于y是自然数，所以51－8x应该是5的倍数， 我们不难找出：x＝2；y＝7。
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例题精讲
例4、一个工人将99颗子弹装入两种盒子中，每个大盒子装12 颗，小盒子装5颗，恰好装完，已知盒子数大于10，问这两种 盒子各有多少个？
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练习题
2、大旅游车有50个座位，小旅游车有21个座 位，现有284位乘客去八达岭旅游，要使每位 旅游者都有座位且车上没有空座位，共需多少 辆旅游车？
分析：没有空座，即 坐满，列出符合题意 的不定方程求解即可。
解:设大旅游车x辆，小旅游车y辆， 则50x＋21y＝284，变形得：x＝（ 284－21y）÷50 即284－21y是50的倍数，y只能取4 ，此时x＝4，即共需8辆旅游车 。
所以，解答这类方程，一定要 找出题中明显或隐含的限制条 件。亦可以根据整除知识，缩 小未知数的取值范围，然后试 算求解。
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例题精讲
例1、求不定方程7x＋11y＝276的自然数解。
题中不定方程的限制条件就是x、y都是自然数。将不定方程7x＋11y＝ 276变形为：x＝（276－11y）÷7，由于x、y都是自然数，说明276－ 11y应该是7的倍数，y可以从最小的自然数1开始试验。经过试验，y可 取6、13、20，相对应，x＝30、19、8。
分析：题中已经告诉我们恰好装完，则大盒子与小盒子总量就 是99颗，且注意限制条件，所需的盒子数必须大于10 。列出 符合题意的不定方程求出解。
解: 设大盒有x只，小盒有y只，列方程得：12x＋ 5y＝99，且x＋y＞10，x，y都是整数。 变形得：x＝（99－5y）÷12，99－5y是12的倍 数，可得：x＝2时，y＝15，符合条件； x＝7，y＝3时，x＋y＝10，不符合条件。 所以大盒子有2只，小盒子有15只。
小学数学六年级(上)第07讲 不定方程(含答案)
一般地，如果 是 的一组解，那么 （当 时）也是 的一组解．这是因为 ．另外， （当 时）也是 的一组解，理由相同．
这条性质有什么用呢？我们以求 的自然数解为例，我们容易看出它有一组自然数解 ．应用上面的规律， 每次增加3， 每次减少2（只要 还是自然数），所得结果仍然是 的一组解，所以 、 、 、 、 都是 的自然数解．另外 每次减少3（只要 还是自然数）， 每次增加2，所得结果也是 的自然数解，所以 、 、 也都是 的自然数解．而且这样就已经求出了 的所有自然数解，它们是：
例5．我国古代数学家张丘建在《算经》一书中提出了“百鸡问题”：鸡翁一值钱五，鸡母一值钱三，鸡雏三值钱一．百钱买百鸡，问鸡翁、鸡母、鸡雏各几何？这个问题是说：每只公鸡价值5文钱，每只母鸡价值3文钱，每3只小鸡价值1文钱．要想用100文钱恰好买100只鸡，公鸡、母鸡和小鸡应该分别买多少只？
「分析」题中有几个未知量？由这些未知量你能列出几个方程？
《张丘建算经》
张丘建，北魏清河（今山东邢台市清河县）人，中国古代数学家，著有《张丘建算经》．该书的体例为问答式，条理精密、文辞古雅，是中国古代数学史上少有的杰作．
《张丘建算经》现传本有92问，比较突出的成就有最大公约数与最小公倍数的计算，各种等差数列问题的解决，某些不定方程问题的求解．百鸡问题就是其中一个著名的不定方程问题．
练习3、天气炎热，高思学校购置了大、小空调若干．每台大空调每天耗电38度，每台小空调每天耗电13度．已知所有大空调日耗电量之和恰好比所有小空调日耗电量之和少1度．请问：单位里最少购进了多少台空调？
例4．将一根长为380厘米的合金铝管截成若干根长为36厘米和24厘米两种型号的短管，加工损耗忽略不计．问：剩余部分最少是多少厘米？
不定方程概念
不定方程概念
不定方程是一个含有未知数的方程，通常是一个非线性方程，其中未知数的数量大于方程中的已知系数的数量。
一个不定方程可能有多个解，而且通常没有一般的解析解。
不定方程的目标是找到满足方程的未知数的所有可能的取值。
不定方程的求解可以通过代数、数论、几何等方法进行。
代数方法通常包括代数运算和方程变形，以便将方程化简为已知数和未知数的关系。
数论方法通常使用数学的数论理论和性质，将方程的解限制在某些整数范围内。
几何方法通常使用几何图形和性质，将方程的解转化为几何问题的解。
不定方程在数学和工程领域中广泛应用，例如在密码学中的离散对数问题、模线性方程问题；在控制理论中的状态估计和参数辨识问题；在经济学中的最优化和均衡问题等等。
不定方程的求解方法和技巧因问题的不同而各异，需要灵活运用数学知识和解题技巧。
六年级数学第10讲：不定方程
目录第10讲不定方程 (1)兴趣篇 (1)拓展篇 (5)超越篇 (11)第10讲不定方程兴趣篇1、有两种不同规格的油桶若干个，大油桶能装8千克油，小油桶能装5千克油，44千克油恰好装满这些油桶。
问：大、小油桶各几个？【答案】大油桶3个，小油桶4个【分析】设大桶x个，，小桶y个，则8x+5y=44。
尾数判断：y必为偶数，8x尾数为4。
那么有8x=24 x=3y=（44-24）÷5=4答：有大油桶3个，小油桶4个。
2、有150个乒乓球分装在大、小两种盒子里，大盒每盒装12个，小盒每盒装7个。
问：需要大、小盒子各多少个才能恰好把这些球装完？【答案】大盒9个，小盒6个或者大盒2个，小盒18个【分析】设大盒子x个，小盒子y个，则12x+7y=150两边取7的模，有()53mod7x ≡x =2+7k （k N ∈）又x ≤15012.512=，故x 共有2个取值：2，9。
不定方程有2组正整数解：218x y =⎧⎨=⎩，96x y =⎧⎨=⎩答：需要2个大盒子，18个小盒子或9个大盒子，6个小盒子。
3、小花狗和波斯猫是一对好朋友，它们在早晚见面时总要叫上几声表示问候。
若是早晨见面，小花狗叫2声，波斯猫叫1声；若是晚上见面，小花狗叫2声，波斯猫叫3声。
细心的小娟对它们的叫声统计了15天，发现它们并不是每天早晚都见面，在这15天内它们共叫了61声。
问：波斯猫至少叫了多少声？【答案】27声【分析】依题意，猫狗早晨见面，共叫了3声，晚上见面，共叫了5声，设它们15天中白天见面x 次，晚上见面y 次，显然x ，y ≤15，那么3x +5y =61，两边取5的模，有：31(mod5)25()x x k k N ≡⇒=+∈有3组解：211x y =⎧⎨=⎩，78x y =⎧⎨=⎩，125x y =⎧⎨=⎩ 对应的小猫分别叫了：35，31，27次，故最少叫27声。
4、庙里有若干个大和尚和若干个小和尚共七百多人，已知7个大和尚每天共吃41个馒头，19个小和尚每天共吃60个馒头，平均每个和尚每天恰好吃4个馒头。
6年级-2-不定方程-难版
第2讲 不定方程在列方程组解答应用题时，有两个未知数，就需要有两个方程。
有三个未知数，就需要有三个方程。
当未知数的个数多于方程的个数时，这样的方程称为不定方程，为纪念古希腊数学家丢番图，不定方程也称为丢番图方程。
不定方程在小学奥数乃至以后初高中数学的进一步学习中，有着举足轻重的地位。
而在小学阶段打下扎实的基础，无疑很重要。
不定方程是由于联立方程的条件“不足”而出现的，从一般情况来说，有无数多个解。
不过，我们要注意到它的“预定义”条件，比如未知项是自然数，比如在数位上的数码不仅是自然数，而且是一位数等等，甚至题干中直接给出限制条件，这样，就使得不定方程的解“定”下来了。
这种情况也不排除它的取值不止一种。
不定方程解的情况比较复杂，有时无法得出方程的解，有时又会出现多个解。
如果考虑到题中以一定条件所限制的范围，会有可能求出唯一的解或几种可能的解（而这类题的限制范围往往与整数的分拆有很大关系）。
解答这类方程，必须要对题中明显或隐含的条件加以判断、推理，才能正确求解。
【例1】★求方程2725=+y x 的正整数解。
【解析】因为2y 为偶数，27为奇数，所以5x 为奇数，即x 为奇数典型例题知识梳理⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==15,63,111y x y x y x 【小试牛刀】求方程4x ＋10y ＝34的正整数解【解析】因为4与10的最大公约数为2，而2|34，两边约去2后，得 2x ＋5y ＝17，5y 的个位是0或5两种情况，2x 是偶数，要想和为17，5y 的个位只能是5，y 为奇数即可；2x 的个位为2，所以x 的取值为1、6、11、16……x ＝1时，17－2x ＝15，y ＝3，x ＝6时，17－2x ＝ 5，y ＝1，x ＝11时，17－2x ＝17 －22，无解所以方程有两组整数解为：16,31x x y y ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩ 【例2】★ 设A ，B 都是正整数，并且满足3317311=+B A ，求B A +的值。
六年级上奥数第3讲 不定方程
六秋第3讲不定方程一、教学目标当方程的个数比方程中未知数的个数少时，我们就称这样的方程为不定方程。
如5x－3y＝9就是不定方程。
这种方程的解是不确定的。
如果不加限制的话，它的解有无数个；如果附加一些限制条件，那么它的解的个数就是有限的了。
这种方程的解是不确定的。
如果不加限制的话，它的解有无数个；如果附加一些限制条件，那么它的解的个数就是有限的了。
解题时要注意观察未知数的特点，尽量缩小未知数的取值范围，减少试验的次数。
二、例题精选【例1】求下列方程的自然数解：①23x+16y=500 ②39x+30y=267【巩固1】求下列方程的自然数解：①3x+5y=127 ②11x+12y=160【例2】小明把他生日的月份乘以31，再把生日的日期乘以12，然后把两个乘积加起来刚好等于400.你知道小明的生日是几月几日吗?【巩固2】有大小、两种蛋糕。
一个大蛋糕够7个人吃，一个小蛋糕够4个人吃。
现在有100人需要招待，应该分别准备大、小蛋糕多少个才不会浪费？【例3】张师傅每天能缝制 3 件上衣，或者 9 件裙裤，李师傅每天能缝制 2 件上衣，或者 7 件裙裤，两人 20 天共缝制上衣和裙裤 134 件.那么其中上衣是多少件？【巩固3】要把一根长 36.9 厘米的木料锯成长 3.9 厘米和 6.9 厘米两种规格的小木料.每锯一次要耗损0.1厘米的木料，要求除了每次锯木时的损耗外不能浪费.那么这两种规格的木料各锯多少段?【例4】 某工厂为优秀职工发奖金,一等奖每人 1800 元,二等奖每人 1200 元,三等奖每人 800 元,每种奖都有人领,共有 15 名优秀职工领有奖金的总数为 16000 元, 获得一、二、三等奖的职工各有多少人?【巩固4】有 100 个同学去操场踢足球、打排球和打篮球，每个足球场地 22 人，每个排球场地 12 人，每个篮球场地 10 人，他们共占了 8 个场地.问：其中足球场、排球场和篮球场各几个?【例5】 某次聚餐，每一位男宾付130 元，每一位女宾付100 元，每带一个孩子付60元，现有31的成人各带了一个孩子，主办方总共收到了2160元。
不定方程解
不定方程解
不定方程是数学中一种求解特定问题的最有效的方法，它的特点是没有唯一的解，学习这一概念及其解题方法对学生的学习有莫大的益处。
本文就不定方程的定义及其解题步骤进行详细的介绍。
一、什么是不定方程
不定方程是一种不能确定解的方程，由任意的未知量写成，只要满足方程的条件，任意的未知量都可以拿来求解，这种方程属于一元一次方程，即只有一个未知量，就可以求出解。
二、不定方程的解法
1、不定方程解法的第一步是把方程化为等价形式，即将不定方程式化简到有一个变量，例如y，这样就变成了一个可以求解的方程。
2、第二步，将上述方程重新分解成等价的形式，即将未知量归一化成已知量的形式，例如将y=x/2的形式换成2y=x，这时只要知道x的值，就可以求出y的值。
3、第三步，将解析出来的结果赋值给未知量，例如将上面的2y=x赋值，就可以得到y的解析解。
4、最后，将未知量和已知量分开，这样就可以求出未知量的值。
三、应用
1、不定方程可以用来解决某些数学问题，例如可以求出某一物体在一定时间内的位移、速度和加速度等；
2、不定方程还可以帮助我们快速的求解几何图形的参数，例如圆的半径等；
3、不定方程也可以用来求解代数问题，如多项式的根和系数等。
四、结论
不定方程在数学中有着广泛的应用，可以帮助解决很多实际问题，因此，学习不定方程的解题过程是很有必要的。
六年级解不定方程知识点
六年级解不定方程知识点解不定方程是数学中的一种重要问题，对于六年级的学生来说，掌握解不定方程的方法和技巧是很重要的。
本文将介绍六年级解不定方程的知识点，帮助同学们更好地理解和应用。
一、什么是不定方程不定方程是指未知数的个数多于方程的个数的方程。
通常情况下，不定方程只有一个方程，但涉及到多个未知数。
例如：2x + 3y = 7，此方程有两个未知数x和y，但只有一个方程，因此为不定方程。
二、解不定方程的方法解不定方程的方法主要有代入法和相消法两种。
1. 代入法代入法是指将一个未知数用另一个未知数表示出来，然后代入方程，通过解得到的方程进一步求解。
举个例子来说明：已知方程：2x + 3y = 7 （1）x = 2 - y （2）将式（2）中的x代入式（1），得到：2(2 - y) + 3y = 74 - 2y + 3y = 74 + y = 7y = 7 - 4y = 3将求得的y的值代入式（2）中，得到：x = 2 - 3x = -1因此，方程的解为x = -1，y = 3。
2. 相消法相消法是通过变形将方程中一些项相消来求解。
相消的基本原则是等式两边同时加减相同的值，使得一些项相消。
再举个例子来说明：已知方程：3x + 4y = 10 （3）2x - 3y = 1 （4）将方程（4）的两倍加到方程（3）上，得到：3x + 4y + 2(2x - 3y) = 10 + 23x + 4y + 4x - 6y = 127x - 2y = 12然后将方程（4）的三倍加到方程（3）上，得到：3x + 4y + 3(2x - 3y) = 10 + 33x + 4y + 6x - 9y = 139x - 5y = 13现在我们得到了两个新的方程：7x - 2y = 12 和 9x - 5y = 13。
进一步求解这两个方程可以得到x和y的值。
三、解不定方程的注意事项在解不定方程时，还需要注意以下几点：1. 确保方程的解是整数或者有理数，根据具体题目的要求，可以使用不同的方法和技巧。
六年级知识点不定方程
六年级知识点不定方程不定方程是数学中的一个重要概念，对于六年级的学生来说，掌握不定方程的解法对于提高数学解题能力至关重要。
本文将为大家介绍六年级知识点不定方程的概念、解法及应用。
一、不定方程的概念不定方程是指方程中含有未知数的数值不确定，通常表示为形如ax + by = c的方程，其中a、b、c为已知的系数，x、y为未知数。
不定方程中，我们需要找到满足方程的整数解。
二、不定方程的解法1. 列举法列举法是最常用的解不定方程的方法。
具体步骤是：（1）将方程中的系数a、b与结果c分别取不同的整数值，列出方程的多组解；（2）逐个验证所列出的解是否满足原方程，验证通过即为方程的解。
2. 辗转相除法当方程中的系数a、b较大时，使用列举法效率较低，这时可以尝试使用辗转相除法。
具体步骤是：（1）先令a、b互换，使得a > b；（2）用b去除以a，得到余数r；（3）如果r为0，则a为原方程的最大公约数，b为原方程的解之一；（4）如果r不为0，则继续用r去除以b；（5）重复以上步骤，直到余数为0为止，最后一个余数不为0的除数即为原方程的最大公约数。
三、不定方程的应用不定方程在实际生活中有广泛的应用。
以下举例说明：1. 整数约分在分数的运算中，我们需要进行整数的约分操作。
不定方程的解法可以帮助我们快速找到分数的最大公约数，从而进行有效地约分操作。
2. 货币找零问题在日常购物中，我们经常遇到需要找零的情况。
不定方程的解法可以帮助我们计算出最少需要的货币张数，从而进行合理的找零操作。
3. 奥数问题奥数中有很多涉及不定方程的问题，掌握不定方程的解法可以帮助我们更好地解决这类问题，提高奥数竞赛的成绩。
四、总结六年级的学生通过掌握不定方程的概念、解法及应用，可以提高数学解题的能力，为提高数学成绩打下坚实基础。
在实际生活中，不定方程的应用也随处可见，能够帮助我们解决各种问题。
以上是关于六年级知识点不定方程的相关介绍。
通过学习和掌握，相信大家能够在数学学习中取得更好的成绩！。
不定式方程(六年级)
不定式方程一：不定方程知识精讲一．不定方程的定义1．一次不定方程：含有两个未知数的一个方程，叫做二元一次方程，由于它的解不唯一，所以也叫做二元一次不定方程．2．多元不定方程：含有三个未知数的方程叫三元一次方程，它的解也不唯一．二．不定方程的解法及步骤1．常规方法：观察法、试验法、枚举法．2．多元不定方程解法：根据已知条件确定一个未知数的值，或者消去一个未知数，这样就把三元一次方程变成二元一次不定方程，按照二元一次不定方程解即可．3．涉及知识点：列方程、数的整除、大小比较．三．解不定方程的步骤1．列方程．2．消元．3．写出表达式．4．确定范围．5．确定特征．6．确定答案．四．技巧总结1．写出表达式的技巧：用特征不明显的未知数表示特征明显的未知数，同时考虑用范围小的未知数表示范围大的未知数．2．消元技巧：消掉范围大的未知数．三点剖析重难点：不定方程的解法以及应用．题模精讲题模一不定方程的计算例1.1.1、判断下列不定方程是否有正整数解，若有，求出所有正整数解．（1）；（2）；（3）；（4）．答案：（1）（2）（3）（4）无整数解解析：（1），，所以，即得，（2），，所以，．（3），，所以，．（4），，所以．无整数解．例1.1.2、已知△和☆分别表示两个自然数，并且，则△+☆=__________．答案：5解析：依题意得11△+5☆=37，易知其自然数解为△=2，☆=3．所以△+☆=5．例1.1.3、有三个分子相同的最简假分数，化成带分数后为．已知a，b，c都小于10，a，b，c依次为__________，__________， __________．答案：7，3，2解析：由题意有．解这个不定方程，得．例1.1.4、已知代表两位整数，求方程的解．题模二不定方程的应用例1.2.1、有150个乒乓球分装在大、小两种盒子里，大盒每盒装12个，小盒每盒装7个．问：需要大盒子__________个、小盒子__________个，才能恰好把这些球装完．答案：大盒9个，小盒6个或者大盒2个，小盒18个解析：设需要x个大盒子，y个小盒子，依题意得：，解得，．所以需要大盒9个，小盒6个或者大盒2个，小盒18个．例1.2.2、某单位的职工到郊外植树，其中有男职工，也有女职工，并且有的职工各带一个孩子参加．男职工每人种13棵树，女职工每人种10棵树，每个孩子种6棵树，他们一共种了216棵树．请问：其中有__________名男职工．答案：12名解析：设有x名男职工，y名女职工，则孩子有名，依题意得：，整理得：，化简得，解得，，，其中只有时才是整数，所以有12名男职工．例1.2.3、有甲、乙、丙、丁四种货物，若购买甲1件、乙5件、丙1件、丁3件共需195元；若购买甲2件、乙1件、丙4件、丁2件共需183元；若购买甲2件、乙6件、丙6件、丁5件共需375元．现在购买甲、乙、丙、丁各一件共需多少元？答案：81元解析：设购买甲一件要x元，乙一件要y元，丙一件要z元，丁一件要w元，依题意得：注意到题目要求的是，所以完全可以不求x、y、z、w分别是多少，想办法整体求出．观察发现要直接凑出或它的倍数并不容易，一个比较明显的是可以求出，可以用来调整x和z的系数．接着可以让y和w的系数变的一样，得，得，所以．故现在购买甲、乙、丙、丁各一件共需81元．（当然本题可以直接看出得到）例1.2.4、将一根长为380厘米的合金铝管截成若干根长为36厘米和24厘米两种型号的短管，加工损耗忽略不计．问：剩余部分的管子最少是多少厘米？答案：8厘米解析：设已经截出了根长36厘米的管子和根长24厘米的管子，那么被截出的管子一共长厘米．由，得：一定是12的倍数．而380不是12的倍数，所以是没有自然数解的！管子不可能刚好被用尽，那么最少会剩下多少厘米呢？由于一定是12的倍数，小于380且能被12整除的最大自然数是372，而的自然数解是存在的，如，也就是截出1根长36厘米的管子和14根长24厘米的管子，能够使得截出的管子总长度达到最大值372厘米．所以剩余部分最少是厘米．例1.2.5、有纸币60张，其中1分、1角、1元和10元各有若干张．请你判断：这些纸币的总面值能否恰好是100元？答案：不能解析：设1分的有x张，1角的有y张，1元的有z张，10元的有w张，依题意得，得，很明显等号左边是9的倍数，而等号右边不是9的倍数，所以无自然数解，故这些纸币的总面值不能恰好是100元．例1.2.6、现有一架天平和很多个13克和17克的砝码，用这些砝码，不能称出的最大整数克重量是多少？（砝码只能放在天平的一边）答案：191解析：设用了x个13克的砝码，y个17克的砝码，要称的重量为c克，依题意，就是求使无自然数解的c的最大值．利用拓展14解法二中提到的结论，c最大取时，无自然数解，所以不能称出的最大整数克重量是191克．例1.2.7、现有1.7升和4升的两个空桶和一个大桶里的100升汽油，用这两个空桶要倒出1升汽油，至少需要倒多少次？答案：26次解析：依题意，模拟的倒几次后会发现，本题和不定方程：和的解有关系．先解出这两个不定方程：的解为：的解为：其中，这个解明显要小，下面解释一下它的含义．先看它对应的过程：1、倒满1.7升；2、1.7升倒入4升；3、倒满1.7升；4、1.7升倒入4升；5、倒满1.7升；6、1.7升倒入4升中，还剩1.1升；7、4升的倒入大桶里；8、1.1升倒入4升；9、倒满1.7升；10、1.7升倒入4升；11、倒满1.7升；12、1.7升倒入4升，还剩0.5升；13、4升的倒入大桶里；14、0.5升倒入4升；15、倒满1.7升；16、1.7升倒入4升；17、倒满1.7升；18、1.7升倒入4升；19、倒满1.7升；20、倒入4升，还剩1.6升．21、4升的倒入大桶里；22、1.6升倒入4升；23、倒满1.7升；24、倒入4升；25、倒满1.7升；26、倒入4升，还剩1升．可以看出，每次从大桶中倒入两个小桶的都是1.7升，每次从两个小桶中倒回大桶的都是4升，所以两个小桶中量出的1升可以看做是，倒进的1.7x减去倒出的4y的差．那么就得到了上面的不定方程．另一个不定方程同理也很容易想明白．例1.2.8、某校开学时，七年级新生人数在500～1000范围内，男、女生的比例为．到八年级时，由于收40名转学生，男、女生的比例变为．请问，该年级入学时，男、女生各有多少人？答案：男生320人，女生280人解析：设开始时共人，后来变为人，则，．易知a为8的倍数，b为5的倍数，故可设，，方程化简为，且．解得，，入学时总人数为人，男生320人，女生280人．例1.2.9、在新年联欢会上，某班组织了一场飞镖比赛．如图，飞镖的靶子分为三块区域，分别对应17分、11分和4分．每人可以扔若干次飞镖，脱靶不得分，投中靶子就可以得到相应的分数．试问：如果比赛规定恰好投中100分才能获奖，要想获奖至少需要投中几个飞镖？如果规定恰好投中120分才能获奖，要想获奖至少需要投中几个飞镖？随堂练习随练1.1、下列方程的自然数解：（1），则；（2），则；（3），则；（4），则．答案：（1）（2）（3）无解（4）解析：枚举法．随练1.2、小高有若干张8分的邮票，墨莫有若干张15分的邮票，两人的邮票总面值是99分，那么小高的8分邮票有__________张．答案：3张解析：设小高有8分邮票x张，15分邮票y张，依题意得：，解得，所以小高有3张8分邮票．随练1.3、将426个乒乓球装在三种盒子里，大盒每盒装25个，中盒每盒装20个，小盒每盒装16个．现共装了24盒，则用了__________个大盒．随练1.4、新发行的一套珍贵的纪念邮票共三种不同的面值：20分、40分和50分，其中面值20分的邮票售价5元，面值40分的邮票售价8元，面值50分的邮票售价9元．小明花了156元买回了总面值为8.3元的邮票，那么三种面值的邮票分别买了____________________张．答案：20分的邮票3张，40分的邮票3张，50分的邮票13张解析：设买了x张20分的邮票，y张40分的邮票，z张50分的邮票，依题意得：，消y得，解得，，……，同时还要满足y为整数，经验证当时，符合题意，所以买了20分的邮票3张，40分的邮票3张，50分的邮票13张．课后作业作业1、方程有________组自然数解．答案：11解析：易知y可为0至的所有自然数，即方程有11组自然数解．作业2、求的所有整数解．答案：为任意整数）解析：先找出一组基本的解，然后写出所有解即可．作业3、求不定方程2x+3y+5z=15的正整数解．答案：解析：先确定z的值，把三元一次不定方程转化为二元一次不定方程，再进行计算．正整数解如下：．作业4、设A和B都是自然数，并且满足．那么__________．答案：3解析：，又因为A、B为自然数得，．作业5、有两种不同规格的油桶若干个，大油桶能装8千克油，小油桶能装5千克油，44千克油恰好装满这些油桶．问：大油桶__________个，小油桶__________个．答案：大油桶3个，小油桶4个解析：设有x个大油桶，y个小邮桶，依题意得，解得，所以有3个大油桶，4个小邮桶．作业6、新学期开始了，几个老师带着一些学生去搬全班的100本教科书．已知老师和学生共14人，每名老师能搬12本，每名男生能搬8本，每名女生能搬5本，恰好一次搬完．问：搬书的老师__________名、男生__________名、女生__________名．答案：老师3名，男生2名，女生8名解析：设搬书的老师有x名，男生有y名，女生有z名，依题意得：，消去z得，解得，所以，所以搬书的老师有3名，男生2名，女生8名．作业7、小李去文具店买圆珠笔、铅笔和钢笔，每种笔都只能整盒买，不能单买．钢笔4支一盒，每盒5元；圆珠笔6支一盒，每盒6元；铅笔10支一盒，每盒7元．小李总共花了97元，买了90支笔．请问：三种笔分别买了多少盒？答案：圆珠笔3盒，铅笔2盒，钢笔13盒设圆珠笔买了x盒，铅笔买了y盒，钢笔买了z盒，依题意得：，消去x得，解得，，……将y、z代入原方程组，发现只有时，x有自然数解．所以买了圆珠笔3盒，铅笔2盒，钢笔13盒．作业8、卡莉娅到商店买糖，巧克力糖13元一包，奶糖17元一包，水果糖7.8元一包，酥糖10.4元一包，最后他共花了360元，且每种糖都买了．请问：卡莉娅共买了多少包奶糖？答案：12包解析：不妨设巧克力糖、奶糖、水果糖和酥糖分别有包、包、包和包，则．把系数都化成整数，得：．由于我们只关心奶糖的数量，我们将未知数分为一组，其余未知数分为另一组：．也就是．令，则．它的自然数解只有，所以卡莉娅共买了12包奶糖．作业9、雨轩图书馆内有两人桌、三人桌和四人桌共五十多张，其中两人桌的数量为四人桌数量的2倍．这天除了某张桌子坐满外，其它两人桌每桌都只坐1人，三人桌每桌都只坐2人，四人桌每桌都只坐3人，且恰好平均每11人占用17个座位．请问：图书馆两人桌、三人桌、四人桌分别有多少张？答案：二人桌24张；三人桌19张；四人桌12张设图书馆有三人桌x张，四人桌y张，则两人桌有2y张，依题意得：，化简得，解得，，……为符合三种桌子共五十多张，发现只有这组解符合，图书馆两人桌有24张，三人桌19张，四人桌12张．。
不定式方程(六年级)
不定式方程一：不定方程知识精讲一．不定方程的定义1．一次不定方程：含有两个未知数的一个方程，叫做二元一次方程，由于它的解不唯一，所以也叫做二元一次不定方程．2．多元不定方程：含有三个未知数的方程叫三元一次方程，它的解也不唯一．二．不定方程的解法及步骤1．常规方法：观察法、试验法、枚举法．2．多元不定方程解法：根据已知条件确定一个未知数的值，或者消去一个未知数，这样就把三元一次方程变成二元一次不定方程，按照二元一次不定方程解即可．3．涉及知识点：列方程、数的整除、大小比较．三．解不定方程的步骤1．列方程．2．消元．3．写出表达式．4．确定范围．5．确定特征．6．确定答案．四．技巧总结1．写出表达式的技巧：用特征不明显的未知数表示特征明显的未知数，同时考虑用范围小的未知数表示范围大的未知数．2．消元技巧：消掉范围大的未知数．三点剖析重难点：不定方程的解法以及应用．题模精讲题模一不定方程的计算例1.1.1、判断下列不定方程是否有正整数解，若有，求出所有正整数解．（1）；（2）；（3）；（4）．答案：（1）（2）（3）（4）无整数解解析：（1），，所以，即得，（2），，所以，．（3），，所以，．（4），，所以．无整数解．例1.1.2、已知△和☆分别表示两个自然数，并且，则△+☆=__________．答案：5解析：依题意得11△+5☆=37，易知其自然数解为△=2，☆=3．所以△+☆=5．例1.1.3、有三个分子相同的最简假分数，化成带分数后为．已知a，b，c都小于10，a，b，c依次为__________，__________，__________．答案：7，3，2解析：由题意有．解这个不定方程，得．例1.1.4、已知代表两位整数，求方程的解．题模二不定方程的应用例1.2.1、有150个乒乓球分装在大、小两种盒子里，大盒每盒装12个，小盒每盒装7个．问：需要大盒子__________个、小盒子__________个，才能恰好把这些球装完．答案：大盒9个，小盒6个或者大盒2个，小盒18个解析：设需要x个大盒子，y个小盒子，依题意得：，解得，．所以需要大盒9个，小盒6个或者大盒2个，小盒18个．例1.2.2、某单位的职工到郊外植树，其中有男职工，也有女职工，并且有的职工各带一个孩子参加．男职工每人种13棵树，女职工每人种10棵树，每个孩子种6棵树，他们一共种了216棵树．请问：其中有__________名男职工．答案：12名解析：设有x名男职工，y名女职工，则孩子有名，依题意得：，整理得：，化简得，解得，，，其中只有时才是整数，所以有12名男职工．例1.2.3、有甲、乙、丙、丁四种货物，若购买甲1件、乙5件、丙1件、丁3件共需195元；若购买甲2件、乙1件、丙4件、丁2件共需183元；若购买甲2件、乙6件、丙6件、丁5件共需375元．现在购买甲、乙、丙、丁各一件共需多少元？答案：81元解析：设购买甲一件要x元，乙一件要y元，丙一件要z元，丁一件要w元，依题意得：注意到题目要求的是，所以完全可以不求x、y、z、w分别是多少，想办法整体求出．观察发现要直接凑出或它的倍数并不容易，一个比较明显的是可以求出，可以用来调整x和z的系数．接着可以让y和w的系数变的一样，得，得，所以．故现在购买甲、乙、丙、丁各一件共需81元．（当然本题可以直接看出得到）例1.2.4、将一根长为380厘米的合金铝管截成若干根长为36厘米和24厘米两种型号的短管，加工损耗忽略不计．问：剩余部分的管子最少是多少厘米？答案：8厘米解析：设已经截出了根长36厘米的管子和根长24厘米的管子，那么被截出的管子一共长厘米．由，得：一定是12的倍数．而380不是12的倍数，所以是没有自然数解的！管子不可能刚好被用尽，那么最少会剩下多少厘米呢？由于一定是12的倍数，小于380且能被12整除的最大自然数是372，而的自然数解是存在的，如，也就是截出1根长36厘米的管子和14根长24厘米的管子，能够使得截出的管子总长度达到最大值372厘米．所以剩余部分最少是厘米．例1.2.5、有纸币60张，其中1分、1角、1元和10元各有若干张．请你判断：这些纸币的总面值能否恰好是100元？答案：不能解析：设1分的有x张，1角的有y张，1元的有z张，10元的有w张，依题意得，得，很明显等号左边是9的倍数，而等号右边不是9的倍数，所以无自然数解，故这些纸币的总面值不能恰好是100元．例1.2.6、现有一架天平和很多个13克和17克的砝码，用这些砝码，不能称出的最大整数克重量是多少？（砝码只能放在天平的一边）答案：191解析：设用了x个13克的砝码，y个17克的砝码，要称的重量为c克，依题意，就是求使无自然数解的c的最大值．利用拓展14解法二中提到的结论，c最大取时，无自然数解，所以不能称出的最大整数克重量是191克．例1.2.7、现有1.7升和4升的两个空桶和一个大桶里的100升汽油，用这两个空桶要倒出1升汽油，至少需要倒多少次？答案：26次解析：依题意，模拟的倒几次后会发现，本题和不定方程：和的解有关系．先解出这两个不定方程：的解为：的解为：其中，这个解明显要小，下面解释一下它的含义．先看它对应的过程：1、倒满1.7升；2、1.7升倒入4升；3、倒满1.7升；4、1.7升倒入4升；5、倒满1.7升；6、1.7升倒入4升中，还剩1.1升；7、4升的倒入大桶里；8、1.1升倒入4升；9、倒满1.7升；10、1.7升倒入4升；11、倒满1.7升；12、1.7升倒入4升，还剩0.5升；13、4升的倒入大桶里；14、0.5升倒入4升；15、倒满1.7升；16、1.7升倒入4升；17、倒满1.7升；18、1.7升倒入4升；19、倒满1.7升；20、倒入4升，还剩1.6升．21、4升的倒入大桶里；22、1.6升倒入4升；23、倒满1.7升；24、倒入4升；25、倒满1.7升；26、倒入4升，还剩1升．可以看出，每次从大桶中倒入两个小桶的都是1.7升，每次从两个小桶中倒回大桶的都是4升，所以两个小桶中量出的1升可以看做是，倒进的1.7x 减去倒出的4y的差．那么就得到了上面的不定方程．另一个不定方程同理也很容易想明白．例1.2.8、某校开学时，七年级新生人数在500～1000范围内，男、女生的比例为．到八年级时，由于收40名转学生，男、女生的比例变为．请问，该年级入学时，男、女生各有多少人？答案：男生320人，女生280人解析：设开始时共人，后来变为人，则，．易知a为8的倍数，b为5的倍数，故可设，，方程化简为，且．解得，，入学时总人数为人，男生320人，女生280人．例1.2.9、在新年联欢会上，某班组织了一场飞镖比赛．如图，飞镖的靶子分为三块区域，分别对应17分、11分和4分．每人可以扔若干次飞镖，脱靶不得分，投中靶子就可以得到相应的分数．试问：如果比赛规定恰好投中100分才能获奖，要想获奖至少需要投中几个飞镖？如果规定恰好投中120分才能获奖，要想获奖至少需要投中几个飞镖？随堂练习随练1.1、下列方程的自然数解：（1），则；（2），则；（3），则；（4），则．答案：（1）（2）（3）无解（4）解析：枚举法．随练1.2、小高有若干张8分的邮票，墨莫有若干张15分的邮票，两人的邮票总面值是99分，那么小高的8分邮票有__________张．答案：3张解析：设小高有8分邮票x张，15分邮票y张，依题意得：，解得，所以小高有3张8分邮票．随练1.3、将426个乒乓球装在三种盒子里，大盒每盒装25个，中盒每盒装20个，小盒每盒装16个．现共装了24盒，则用了__________个大盒．随练1.4、新发行的一套珍贵的纪念邮票共三种不同的面值：20分、40分和50分，其中面值20分的邮票售价5元，面值40分的邮票售价8元，面值50分的邮票售价9元．小明花了156元买回了总面值为8.3元的邮票，那么三种面值的邮票分别买了____________________张．答案：20分的邮票3张，40分的邮票3张，50分的邮票13张解析：设买了x张20分的邮票，y张40分的邮票，z张50分的邮票，依题意得：，消y得，解得，，……，同时还要满足y为整数，经验证当时，符合题意，所以买了20分的邮票3张，40分的邮票3张，50分的邮票13张．课后作业作业1、方程有________组自然数解．答案：11解析：易知y可为0至的所有自然数，即方程有11组自然数解．作业2、求的所有整数解．答案：为任意整数）解析：先找出一组基本的解，然后写出所有解即可．作业3、求不定方程2x+3y+5z=15的正整数解．答案：解析：先确定z的值，把三元一次不定方程转化为二元一次不定方程，再进行计算．正整数解如下：．作业4、设A和B都是自然数，并且满足．那么__________．答案：3解析：，又因为A、B为自然数得，．作业5、有两种不同规格的油桶若干个，大油桶能装8千克油，小油桶能装5千克油，44千克油恰好装满这些油桶．问：大油桶__________个，小油桶__________个．答案：大油桶3个，小油桶4个解析：设有x个大油桶，y个小邮桶，依题意得，解得，所以有3个大油桶，4个小邮桶．作业6、新学期开始了，几个老师带着一些学生去搬全班的100本教科书．已知老师和学生共14人，每名老师能搬12本，每名男生能搬8本，每名女生能搬5本，恰好一次搬完．问：搬书的老师__________名、男生__________名、女生__________名．答案：老师3名，男生2名，女生8名解析：设搬书的老师有x名，男生有y名，女生有z名，依题意得：，消去z得，解得，所以，所以搬书的老师有3名，男生2名，女生8名．作业7、小李去文具店买圆珠笔、铅笔和钢笔，每种笔都只能整盒买，不能单买．钢笔4支一盒，每盒5元；圆珠笔6支一盒，每盒6元；铅笔10支一盒，每盒7元．小李总共花了97元，买了90支笔．请问：三种笔分别买了多少盒？答案：圆珠笔3盒，铅笔2盒，钢笔13盒解析：设圆珠笔买了x盒，铅笔买了y盒，钢笔买了z盒，依题意得：，消去x得，解得，，……将y、z代入原方程组，发现只有时，x有自然数解．所以买了圆珠笔3盒，铅笔2盒，钢笔13盒．作业8、卡莉娅到商店买糖，巧克力糖13元一包，奶糖17元一包，水果糖7.8元一包，酥糖10.4元一包，最后他共花了360元，且每种糖都买了．请问：卡莉娅共买了多少包奶糖？答案：12包解析：不妨设巧克力糖、奶糖、水果糖和酥糖分别有包、包、包和包，则．把系数都化成整数，得：．由于我们只关心奶糖的数量，我们将未知数分为一组，其余未知数分为另一组：．也就是．令，则．它的自然数解只有，所以卡莉娅共买了12包奶糖．作业9、雨轩图书馆内有两人桌、三人桌和四人桌共五十多张，其中两人桌的数量为四人桌数量的2倍．这天除了某张桌子坐满外，其它两人桌每桌都只坐1人，三人桌每桌都只坐2人，四人桌每桌都只坐3人，且恰好平均每11人占用17个座位．请问：图书馆两人桌、三人桌、四人桌分别有多少张？答案：二人桌24张；三人桌19张；四人桌12张解析：设图书馆有三人桌x张，四人桌y张，则两人桌有2y张，依题意得：，化简得，解得，，……为符合三种桌子共五十多张，发现只有这组解符合，图书馆两人桌有24张，三人桌19张，四人桌12张．。
不定方程式
不定方程式
不定方程式是指含有未知数的方程式，其未知数的取值不受限制，因此有无穷多个解。
这种方程式通常涉及到多个未知数，且未知数之间存在关系，需要通过一定的方法解决。
解不定方程式的过程需要考虑到各个未知数之间的关系，以及方程式中的系数、常数等具体因素。
在解不定方程式的过程中，常用的方法包括代入法、消元法、降次法等。
代入法是指将一个未知数的表达式带入到另一个未知数的表达式中，从而得到一个只含有一个未知数的方程式，再通过求解这个方程式来得到未知数的值。
消元法是指通过逐步消去一些未知数，从而逐步减少方程式中未知数的个数，最终得到一个只含有一个未知数的方程式。
降次法是指通过将方程式中的高次项转化为低次项，从而简化方程式的求解过程。
解不定方程式的过程中，需要注意到可能存在多个解，且解的形式可能不止一种。
因此，在求解过程中需要考虑到所有可能的情况，并给出所有可能的解。
此外，解不定方程式的过程中还需要注意到方程组的一致性与矛盾性，即方程组是否有解以及解的个数等问题。
在数学中，不定方程式是一种常见的问题类型，其解决方法涉及到代数知识、方程式的性质等多个方面。
通过解不定方程式的过程，可以锻炼学生的逻辑思维能力、数学推理能力等方面的能力，有助于提高学生的数学素养。
总的来说，不定方程式是一类重要的数学问题，其解决方法多种多样，需要灵活运用代数知识、方程式的性质等多个方面的知识。
通过解不定方程式的过程，可以提高学生的数学能力，培养学生的逻辑思维能力，有助于学生在数学领域取得更好的成绩。
六下第十讲不定方程
第十讲不定方程一、知识要点含有两个未知数的一个方程，由于它的解不唯一，所以叫做不定方程。
解不定方程的步骤：列方程；消元；确定范围；确定答案。
二、自我探究【例1】工程队要铺设78米长的地下排水管道，仓库中有3米和5米长的两种管子，问两种管子各用各用多少根？【例2】在一个盒子里装有蟋蟀和蜘蛛若干只，共45只脚，求蟋蟀和蜘蛛各有多少只？【例3】将426个乒乓球装在三种盒子里。
大盒每盒装25个，中盒每盒装20个。
小盒每盒装16个。
现共装了24盒，求用了多少个大盒？【例4】三峡工程区移民到各乡镇散居，某乡把移民分散到三个自然屯居住。
将移民总数的五分之一拨给甲屯，七分之几拨给乙屯，额拨给丙屯的恰好有33人。
这个乡的移民共有多少人？三、自我挑战第一关：1.小明买一只4角9分钱的铅笔，他手上有许多贰分和伍分的硬币，他应该怎样付钱且不用找钱？2.有一个两位数，加上36以后，十位上的数字与个位上上的数字的位置正好交换，求这个两位数。
3.有96名同学去划船，每只小船做6人，每只大船坐10人，要使每位同学都坐上船，而且大、小船都有且总船数最少，那么需要大船、小船各多少只？4.将601个球分别装在大小两种包装盒里，大盒每盒装5个，小盒每盒装3个。
求使用的包装盒的个数有多少种不同的安排方法？第二关：1.一名同学的生日的月份乘31，日期乘12，然后加起来的的和是170，你知道他出生于几月几日吗？2.公鸡一只值钱5，母鸡一只值钱3，小鸡三只值钱1，今有钱100，买三种鸡共100只，问公鸡、母鸡、小鸡各买几只？3.甲乙两家养鸡106只，甲家养的鸡中，公鸡占38；乙家养的鸡中，母鸡占511。
甲乙两家共养鸡多少只？第三关：1.有三种不同数字的卡片，上面各写着一个1—10的自然数，小红、小丽和小强各摸取了一张，每人都记下卡片上的数字后把卡片放回，然后每人又从中随意摸取一张，记下这次卡片上的数字后放回，这样反复几次之后，三个人各自记录的数字之和分别是13、15、23.问这三张卡片上的数字分别是几2.哥德巴赫猜想是说：“每个大于2的偶数都可以表示成两个质数之和．”试将168表示成两个两位质数的和，并且其中的一个数的个位数字是1．。
人教版数学-第六节不定方程
第六节 不定方程所谓不定方程，是指未知数的个数多于方程个数，且未知数受到某些（如要求是有理数、整数或正整数等等）的方程或方程组。
不定方程也称为丢番图方程，是数论的重要分支学科，也是历史上最活跃的数学领域之一。
不定方程的内容十分丰富，与代数数论、几何数论、集合数论等等都有较为密切的联系。
不定方程的重要性在数学竞赛中也得到了充分的体现，每年世界各地的数学竞赛吉，不定方程都占有一席之地；另外它也是培养学生思维能力的好材料，数学竞赛中的不定方程问题，不仅要求学生对初等数论的一般理论、方法有一定的了解，而且更需要讲究思想、方法与技巧，创造性的解决问题。
在本节我们来看一看不定方程的基础性的题目。
基础知识1．不定方程问题的常见类型：（1）求不定方程的解；（2）判定不定方程是否有解；（3）判定不定方程的解的个数（有限个还是无限个）。
2．解不定方程问题常用的解法：（1）代数恒等变形：如因式分解、配方、换元等；（2）不等式估算法：利用不等式等方法，确定出方程中某些变量的范围，进而求解；（3）同余法：对等式两边取特殊的模（如奇偶分析），缩小变量的范围或性质，得出不定方程的整数解或判定其无解；（4）构造法：构造出符合要求的特解，或构造一个求解的递推式，证明方程有无穷多解；（5）无穷递推法。
以下给出几个关于特殊方程的求解定理：（一）二元一次不定方程（组）定义1.形如c by ax =+(,,,,Z c b a ∈b a ,不同时为零)的方程称为二元一次不定方程。
定理1.方程c by ax =+有解的充要是c b a |),(；定理2.若1),(=b a ，且00,y x 为c by ax =+的一个解，则方程的一切解都可以表示成⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=t b a a y y t b a b x x ),(),(00t (为任意整数)。
定理3.n 元一次不定方程c x a x a x a n n =+++ 2211，(N c a a a n ∈,,,,21 )有解的充要条件是c a a a n |),,,(21 .方法与技巧：1．解二元一次不定方程通常先判定方程有无解。
不定方程因式分解
不定方程因式分解一、不定方程的概念不定方程是指含有未知数的方程，且方程中未知数的取值没有限定范围。
不定方程与定方程的区别在于，定方程中未知数的取值是确定的，而不定方程中未知数的取值是不确定的。
二、不定方程的因式分解不定方程的因式分解是指将不定方程中的未知数分解成几个因子的乘积。
因式分解可以帮助我们解决不定方程，并找到方程的整数解。
三、不定方程因式分解的方法不定方程因式分解的方法有很多，其中最常用的方法有：1. 提公因式法：将不定方程中的所有项提取出公因式，然后将不定方程化成新的不定方程。
2. 配方法：将不定方程中的未知数的平方项与一个常数相加，使方程变成完全平方公式的形式，然后利用完全平方公式因式分解。
3. 公式法：将不定方程中的未知数的平方项与一个常数相加，使方程变成已知公式的形式，然后利用公式因式分解。
4. 差平方公式法：将不定方程中的未知数的平方项与一个常数相加，使方程变成差平方公式的形式，然后利用差平方公式因式分解。
5. 和平方公式法：将不定方程中的未知数的平方项与一个常数相加，使方程变成和平方公式的形式，然后利用和平方公式因式分解。
四、不定方程因式分解的应用不定方程因式分解在数学中有着广泛的应用，例如：1. 解不定方程：不定方程因式分解可以帮助我们找到方程的整数解。
2. 证明数学定理：不定方程因式分解可以帮助我们证明一些数学定理，例如费马大定理、哥德巴赫猜想等。
3. 构造数学模型：不定方程因式分解可以帮助我们构造一些数学模型，例如数论模型、密码模型等。
五、不定方程因式分解的意义不定方程因式分解在数学中有着重要的意义，它可以帮助我们解决不定方程、证明数学定理、构造数学模型等。
同时，不定方程因式分解也是数学竞赛中经常考查的内容，掌握不定方程因式分解的方法对于参加数学竞赛的学生来说是必备的。
六、不定方程因式分解的练习题1. 解不定方程：x^2-7x+12=02. 证明：对于任意整数n，n^2+n+1不是完全平方数。
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六年级数学重点内容不定方程
专题简析：
当方程的个数比方程中未知数的个数少时，我们就称这样的方程为不定方程。
如5x－3y＝9就是不定方程。
这种方程的解是不确定的。
如果不加限制的话，它的解有无数个；如果附加一些限制条件，那么它的解的个数就是有限的了。
如5x－3y＝9的解有：
x＝2.4 x＝2.7 x＝3.06 x＝3.6
………
y＝1 y＝1.5 y＝2.1 y＝3
如果限定x、y的解是小于5的整数，那么解就只有x＝3，Y＝2这一组了。
因此，研究不定方程主要就是分析讨论这些限制条件对解的影响。
解不定方程时一般要将原方程适当变形，把其中的一个未知数用另一个未知数来表示，然后再一定范围内试验求解。
解题时要注意观察未知数的特点，尽量缩小未知数的取值范围，减少试验的次数。
对于有3个未知数的不定方程组，可用削去法把它转化为二元一次不定方程再求解。
解答应用题时，要根据题中的限制条件（有时是明显的，有时是隐蔽的）取适当的值。
例1．
求3x+4y＝23的自然数解。
先将原方程变形，y＝23－3x
4。
可列表试验求解：
X=1 x=5 Y=5 y=2 练习一
1、求3x+2y＝25的自然数解。
2、求4x+5y＝37的自然数解。
3、求5x－3y＝16的最小自然数解。
例2
求下列方程组的正整数解。
5x+7y+3z＝25
3x－y－6z＝2
这是一个三元一次不定方程组。
解答的实话，要先设法消去其中的一个未知数，将方程组简化成例1那样的不定方程。
5x+7y+3z＝25 ①
3x－y－6z＝2 ②
由①×2+②，得13x+13y＝52
X+y＝4 ③
把③式变形，得y＝4－x。
因为x、y、z都是正整数，所以x只能取1、2、3.
当x＝1时，y＝3
当x＝2时，y＝2
当x＝3时，y＝1
把上面的结果再分别代入①或②，得x＝1，y＝3时，z无正整数解。
x＝2，y＝2时，z也无正整数解。
x＝3时，y＝1时，z＝1.
所以，原方程组的正整数解为 x＝1
y＝1
z＝1
练习2
求下面方程组的自然数解。
1、－2z＝7
2、 7x+9y+11z＝68
3x+2y+4z＝21 5x+7y+9z＝52
4、5x+7y+4z＝26
3x－y－6z＝2
例3
一个商人将弹子放进两种盒子里，每个大盒子装12个，每个小盒子装5个，恰好装完。
如果弹子数为99，盒子数大于9，问两种盒子各有多少个？
两种盒子的个数都应该是自然数，所以要根据题意列出不定方程，再求出它的自然数解。
设大盒子有x个，小盒子有y个，则
12x+5y＝99（x＞0，y＞0，x+y＞9）
y＝（99－12y）÷5
经检验，符合条件的解有： x＝2 x＝7
y＝15 y＝3
所以，大盒子有2个，小盒子有15个，或大盒子有7个，小盒子有3个。
练习3.
1、某校6（1）班学生48人到公园划船。
如果每只小船可坐3人，每只大船可
坐5人。
那么需要小船和大船各几只？（大、小船都有）
2、甲级铅笔7角钱一枝，乙级铅笔3角钱一枝，小华用六元钱恰好可以买两种
不同的铅笔共几枝？
3、小华和小强各用6角4分买了若干枝铅笔，他们买来的铅笔中都是5分一枝
和7分一枝的两种，而且小华买来的铅笔比小强多，小华比小强多买来多少枝？
例题4
买三种水果30千克，共用去80元。
其中苹果每千克4元，橘子每千克3元，梨每千克2元。
问三种水果各买了多少千克？
设苹果买了x千克，橘子买了y千克，梨买了（30－x－y）千克。
根据题意得：
4x+3y+2×（30－x－y）＝82
x＝10－y 2
由式子可知：y<20，则y必须是2的倍数，所以y可取2、4、6、8、10、12、
14、16、18。
因此，原方程的解如下表：
练习4
1、有红、黄、蓝三种颜色的皮球共26只，其中蓝皮球的只数是黄皮球的9倍，
蓝皮球有多少只？
2、用10元钱买25枝笔。
已知毛笔每枝2角，彩色笔每枝4角，钢笔每枝9角。
问每种笔各买几枝？（每种都要买）
3、晓敏在文具店买了三种贴纸；普通贴纸每张8分，荧光纸每张1角，高级纸
每张2角。
她一共用了一元两角两分钱。
那么，晓敏的三种贴纸的总数最少是多少张？
例5
某次数学竞赛准备例2枝铅笔作为奖品发给获得一、二、三等奖的学生。
原计划一等奖每人发6枝，二等奖每人发3枝，三等奖每人发2枝。
后又改为一等奖每人发9枝，二等奖每人发4枝，三等奖每人发1枝。
问：一、二、三等奖的学生各有几人？
设一等奖有x人，二等奖有y人，三等奖有z人。
则
6x+3y+2z＝22 ①
9x+4y+z＝22 ②
由②×2－①，得12x+5y＝22
y ＝22－12x
5
x＝1
x只能取1。
Y＝2，代入①得z＝5，原方程的解为 y＝2
z＝5 所以，一等奖的学生有1人，二等奖的学生有2人，三等奖的学生有5人。
练习5
1、某人打靶，8发打了53环，全部命中在10环、7环和5环。
他命中10环、7
环和5环各几发？
2、篮子里有煮蛋、茶叶蛋和皮蛋30个，价值24元。
已知煮蛋每个0.60元，茶
叶蛋每个1元，皮蛋每个1.20元。
问篮子里最多有几个皮蛋？
3、一头猪卖31
2
个银币，一头山羊卖1
1
3
个银币，一头绵羊买
1
2
个银币。
有人用
100个银币卖了这三种牲畜100头。
问猪、山羊、绵羊各几头？
答案：
练1
1、 x＝1 x＝3 x＝5 x＝7
y＝11 y＝8 y＝5 y＝2
2、 x＝3 x＝8
y＝11 y＝1
4、 x＝5
y＝3
练2
1、x＝1
y＝3
z＝3
2、 x＝3 x＝4
y＝4 y＝2
z＝1 z＝2
3、 x＝3
y＝1
z＝1
练3
1、设需要小船x只，大船y只。
则3x+5y＝48，y＝48－3x
5
根据题意，x可取1、
6、11，
方程的解是 x＝1 x＝6 x＝11 y＝9 y＝6 y＝3
2、设买甲级笔x枝，乙级笔y枝，则7x+3y＝60，y＝60－7x
3。
x≤。