浙江专卷2018届中考数学复习第四章几何初步与三角形第三节等腰三角形与直角三角形随堂演练_218

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2018年浙江中考数学复习第4单元《三角形》知识点考点小结课件

破坏此木框，则任意两个螺丝间的距离的最大值为(
A. 6 C. 8 B. 7 D. 9
)
浙江近9年中考真题精选（2009-2017）
考点精讲
【解析】已知四条木条围成的木框的四个边长分别为2、3、4、 6，①选2＋3、4、6作为三角形，则三边长为5、4、6，5－4＜ 6＜5＋4，能构成三角形，此时两个螺丝间的最大距离为6；②
度、分、秒的换算：1周角＝360°，1平角＝180°，
1°＝60′，1′＝60″，角的度、分、秒换算是60进制的
余角
90° 定义：若两个角的和等于⑥_____ ，则这两个角
互余
余角、补角
性质：同角（或等角）的余角相等
定义：若两个角的和等于⑦______ 180°，则这两个角互补性质：同角（或等角）的补角相等
可简单的概括为“已知中点找中位线”；在平行四边形
或菱形中，边上有中点时，常连
接中点与对角线的交点构造中位线
浙江近9年中考真题精选（2009-2017）
考点精讲
重难点突破
一、三角形三边关系例1 如图，用四个螺丝将四条不可弯曲的木条围成一个木框，不计螺丝大小，其中相邻两螺丝的距离依次为2、3、4、 6，且相邻两木条的夹角均可调整．若调整木条的夹角时不
图1
浙江近9年中考真题精选（2009-2017）
考点精讲
定义：连接一个顶点与它对边中点的线段
图形及性质：如图2,在△ABC中,AD为BC边上的中线,则 DC ＝ 1 BC 有BD=⑨________
中线重心:三角形的三条中线交于一点,该点称为三角形的重
2
心，该点到三角形顶点的距离等于
它到对边中点距离的2倍
补角

浙江省中考数学复习第一部分考点研究第四单元三角形第18课时等腰三角形(含近9年中考真题)试题(20

浙江省2018年中考数学复习第一部分考点研究第四单元三角形第18课时等腰三角形（含近9年中考真题）试题编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（浙江省2018年中考数学复习第一部分考点研究第四单元三角形第18课时等腰三角形（含近9年中考真题）试题）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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第一部分考点研究第四单元三角形第18课时等腰三角形浙江近9年中考真题精选(2009～2017）命题点1等腰三角形的相关计算（杭州2考,台州3考，绍兴3考)1. （2016杭州9题3分)已知直角三角形纸片的两条直角边长分别为m和n（m〈n），过锐角顶点把该纸片剪成两个三角形，若这两个三角形都为等腰三角形，则( ）A。

m2＋2mn＋n2＝0 B. m2－2mn＋n2＝0C. m2＋2mn－n2＝0 D。

m2－2mn－n2＝02。

(2017台州8题4分）如图,已知等腰三角形ABC，AB＝AC.若以点B为圆心，BC长为半径画弧，交腰AC于点E，则下列结论一定正确的是（）A. AE＝EC B。

AE＝BEC。

∠EBC＝∠BAC D. ∠EBC＝∠ABE第2题图3。

(2017绍兴8题4分)在探索“尺规三等分角"这个数学名题的过程中，曾利用了上图，该图中，四边形ABCD是矩形，E是BA延长线上一点，F是CE上一点，∠ACF＝∠AFC，∠FAE＝∠FEA。

若∠ACB＝21°，则∠ECD的度数是( ）A. 7°B。

浙江省中考数学总复习第四章基本图形(一)第18讲三角形与全等三角形讲解篇(2021学年)

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第18讲三角形与全等三角形１．三角形的概念及其分类错误!2．与三角形有关的线段考试内容考试要求高____＿____＿__________三角形的三条高相交于三角形的内部；直角三角形的三条高相交于＿＿__＿______＿____＿___;钝角三角形的三条高相交于三角形的外部.b中线三角形的三条中线相交于＿____________＿___＿_＿,每一条中线都将三角形分成面积____＿______＿___＿_＿＿_的两部分.角平分线三角形的三条角平分线相交于＿_＿＿_＿＿_____＿___＿__＿，这个点是三角形的__＿＿____＿_＿_＿_＿_＿＿__，这个点到三边的距离__________________＿_．三边关系三角形的两边之和＿＿_____________＿_＿__第三边,三角形的两边之差________＿_＿_______＿_第三边．ｃ稳定性三角形具有稳定性，四边形没有稳定性.a 三角形的中位定义连结三角形两边____＿_______＿＿____＿＿的线段叫做三角形的中c３．与三角形有关的角４.全等三角形的性质与判定写成“角边角"或“ＡSＡ”）;判定4：两角和其中一个角的对边分别相等的两个三角形全等(简写成“角角边”或“AAS”);判定５：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（简写成“斜边、直角边”或“HL＂)．考试内容考试要求基本方法1.分析问题思考方法：(1)顺推分析:从已知条件出发，运用相应的定理，联合几个已知条件加以发展，一步一步地去靠近欲证目标;（2)逆推分析:从欲证结论入手,分析达到欲证的可能途径,逐步沟通它与已知条件的联系，从而找到证明方法;(3）顺推分析与逆推分析相结合；(4)联想分析：对于一道与证明过的题目有类似之处的新题目,分析它们之间的相同点与不同点,尝试把对前一道题的思考转用于现在的题目中,从而找到它的解法.c2.“截长法”和“补短法”是证明和差关系的重要方法，无论用哪一种方法都是要将线段的和差关系转化为证明线段相等的问题，因此添加辅助线构造全等三角形是通向结论的桥梁．1.（201７·舟山)长度分别为2，７,x的三条线段能组成一个三角形，x的值可以是（）Ａ．4 B.5 C．6 D．９2．(2017·衢州）如图,直线AB∥ＣD,∠Ａ＝70°，∠C=40°,则∠E等于( ）A.3０°B.40°C．6０°D．70°3．(20１6·丽水）如图,在△ABC中，∠A＝63°,直线MN∥BC,且分别与AB,AC相交于点D，E，若∠AEN=１３３°，则∠B的度数为＿________________＿__．4．（20１７·温州）如图，在五边形ABCＤE中，∠BCD=∠EDC=９0°,BC=EＤ，AＣ=ＡD。

浙江省2018届初三数学中考总复习讲练含答案

浙江省2018届初三数学中考总复习目录第1讲实数及其运算 (1)第2讲整式及其运算 (11)第3讲因式分解 (20)第4讲分式及其运算 (25)第5讲二次根式及其运算 (34)第6讲一元一次方程与分式方程及其应用 (43)第7讲二元一次方程组及其应用 (52)第8讲一元二次方程及其应用 (63)第9讲方程(组)的应用 (72)第10讲不等式与不等式组 (82)第12讲函数概念与平面直角坐标系 (99)第13讲一次函数及其图象 (112)第14讲反比例函数及其图象 (126)第15讲二次函数的图象与性质 (141)第16讲函数的应用 (154)第17讲线段、角、相交线和平行线 (168)第18讲三角形与全等三角形 (182)第19讲特殊三角形 (196)第20讲多边形与平行四边形 (222)第21讲矩形、菱形与正方形 (234)第23讲直线与圆的位置关系 (261)第24讲圆的有关计算 (272)第25讲几何作图 (280)第26讲三视图与展开图 (294)第27讲图形与变换 (303)第28讲图形的相似 (326)第29讲锐角三角函数与解直角三角形 (349)第30讲数据的收集与整理 (366)第31讲数据的分析及其应用 (380)第32讲简单事件的概率及其应用 (393)第33讲选择、填空题常用解法问题 (405)第34讲归纳、猜想与说理型问题 (414)第35讲方程、函数思想型问题 (422)第36讲分类讨论型问题 (434)第37讲方案设计型问题 (446)第38讲阅读理解型问题 (457)第39讲开放与探索型问题 (468)第40讲实验与动态型问题 (478)第41讲课本题改编型问题 (489)第1讲实数及其运算1．实数的分类实数⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧有理数⎩⎪⎨⎪⎧整数⎩⎨⎧⎭⎪⎬⎪⎫正整数自然数负整数分数⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫正分数有限小数或无限循环小数无理数⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫正无理数无限不循环小数 2．实数的有关概念3.科学记数法和近似数4.平方根、算术平方根、立方根5.实数的大小比较6.实数的运算1．(2016·金华)如图是加工零件的尺寸要求，现有下列直径尺寸的产品(单位：mm)，其中不合格的是( )A ．∅45.02B ．∅44.9C ．∅44.98D ．∅45.01 2．(2017·金华)下列各组数中，把两数相乘，积为1的是( )A ．2和－2B ．－2和12C.3和33 D.3和－ 33．(2016·丽水)下列四个数中，与－2的和为0的数是( )A ．－2B ．2C ．0D ．－124．(2017·杭州)|1＋3|＋|1－3|＝( )A ．1 B. 3 C ．2 D ．2 3 5．计算：(1)(2016·衢州)计算：|－3|＋9－(－1)2＋⎝⎛⎭⎫－120；(2)(2017·金华)计算：2cos60°＋(－1)2017＋|－3|－(2－1)0；(3)(2015·台州)6÷(－3)＋|－1|－20150.【问题】在下图的集合圈中，有5个实数．(1)其中最大的数是________；(2)计算其中的有理数的和与无理数的积的差； (3)请你再提出有关实数的几个问题．【归纳】通过开放式问题，归纳、疏理有理数、无理数有关的概念，以及实数的分类；实数的运算法则．类型一与实数相关的概念例1 数字2，13，π，38，cos 45°，0.32中是无理数的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【解后感悟】对无理数的判定，不能只被表面形式迷惑，而应从最后结果去判断．一般来说，用根号表示的数不一定就是无理数，如38＝2是有理数，用三角函数符号表示的数也不一定就是无理数，如sin 30°、tan 45°就是有理数，一个数是不是无理数关键在于不同形式表示的数的最终结果是不是无限不循环小数．1．(1)(2015·上海)下列实数中，是有理数的为( ) A.2B.34C ．πD ．0(2)(2017·河北)如图为张小亮的答卷，他的得分应是( )姓名__张小亮__ 得分__？__填空(每小题20分，共100分)①－1的绝对值是____．②2的倒数是____．③－2的相反数是____．④1的立方根是____．⑤－1和7的平均数是___．A．100分B．80分C．60分D．40分(3)数轴上有A，B，C，D四个点，其中绝对值相等的点是()A．点A与点D B．点A与点CC．点B与点C D．点B与点D类型二科学记数法与近似值例2(2017·绍兴)研究表明，可燃冰是一种替代石油的新型清洁能源，在我国某海域已探明的可燃冰存储量达150000000000立方米，其中数字150000000000用科学记数法可表示为()A．15³1010B．0.15³1012C．1.5³1011D．1.5³1012【解后感悟】科学记数法的表示形式为a³10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．2．(1)(2017·益阳)目前，世界上能制造出的最小晶体管的长度只有0.00000004m，将0.00000004用科学记数法表示为()A．4³108B．4³10－8C．0.4³108D．－4³108(2)(2017·温州)下列选项中的整数，与17最接近的是()A．3 B．4 C．5 D．6类型三实数的运算例3(2015·绍兴)计算：2cos45°－(π＋1)0＋14＋(12)－1.【解后感悟】实数运算的一般步骤：(1)观察运算种类；(2)确定运算顺序；(3)把握每步运算法则和符号；(4)灵活运用运算律．3．(2016·舟山)13世纪数学家斐波那契的(计算书)中有这样一个问题：“在罗马有7位老妇人，每人赶着7头毛驴，每头驴驮着7只口袋，每只口袋里装着7个面包，每个面包附有7把餐刀，每把餐刀有7只刀鞘”，则刀鞘数为( )A ．42B ．49C ．76D ．77 4．计算：(1)(2015·菏泽)(－1)2015＋sin 30°－(π－3.14)0＋⎝⎛⎭⎫12－1；(2)(2017·衢州)计算：12＋(π－1)0³|－2|－tan 60°；(3)(2015·温州)20150＋12＋2³⎝⎛⎭⎫－12.类型四实数的大小比较例4 (2015·丽水)在数－3，－2，0，3中，大小在－1和2之间的数是( ) A ．－3 B ．－2 C ．0 D ．3 【解后感悟】实数的大小比较常用以下方法：(1)数轴比较法：将两数表示在数轴上，右边的点表示的数总比左边的点表示的数大． (2)代数表示法：正数大于零；负数小于零；正数大于一切负数；两个负数，绝对值大的数反而小．(3)差值比较法：设a 、b 是两个任意实数，则：a －b>0，a>b ；a －b ＝0，a ＝b ；a －b<0，a<b.5．(1)(2016·衢州)在2，－1，－3，0这四个实数中，最小的是()A.2B．－1 C．－3 D．0(2)设a＝20，b＝(－3)2，c＝3－27，d＝⎝⎛⎭⎫12－1，则a，b，c，d按由小到大的顺序排列正确的是()A．c<a<d<b B．b<d<a<c C．a<c<d<b D．b<c<a<d【新定义题】定义新运算：对于任意实数a，b，都有a⊕b＝a(a－b)＋1，等式右边是通常的加法、减法及乘法运算，比如：2⊕5＝2³(2－5)＋1＝2³(－3)＋1＝－6＋1＝－5(1)求(－2)⊕3的值；(2)若3⊕x的值小于13，求x的取值范围，并在如图所示的数轴上表示出来．【方法与对策】这是一道新运算类的题目，其特点一般是“新”而不“难”，处理的方法一般为：根据新运算的定义，将已知中的数据代入进行运算，易得最终结果；同时利用所学知识解答综合问题是我们应具备的能力，是中考命题方式．【对科学记数法的精确的位数混淆不清；实数运算的顺序、符号处理不当】1．(2017·台州)人教版初中数学教科书共六册，总字数是978000，用科学记数法可将978000表示为()A．978³103B．97.8³104 C．9.78³105D．0.978³1062．(2015·遂宁)计算：－13－27＋6sin 60°＋(π－3.14)0＋|－5|.参考答案第1讲实数及其运算【考点概要】1．零负分数负无理数 2.原点正方向单位长度符号两侧距离乘积为1 1a 3.a ³10n 4.相反数负数 0 0 正的负的 5.大于小于小小于 6.1 1a p 乘除加减括号内【考题体验】1．B 2.C 3.B 4.D 5.(1)6；(2)2；(3)－2. 【知识引擎】【解析】(1)32；(2)首先要弄清有理数和无理数的概念；有理数包括整数和分数；无理数指的是无限不循环小数．正确找到有理数和无理数后，再进行计算即可．有理数是32，－23，它们的和为32＋(－23)＝9－8＝1；无理数是12，π，8，它们的积为12³π³8＝2π.∴有理数的和与无理数的积的差等于1－2π.(3)写出其中的负整数；绝对值最小的数等．【例题精析】例1 C 例2 C 例3 原式＝2³22－1＋12＋2＝2＋32.例4 C 【变式拓展】 1．(1)D (2)B (3)C 2. (1)B (2)B 3.C4．(1)12； (2)2＋3； (3)2 3.5.(1)C (2)A 【热点题型】【分析与解】(1)按照定义新运算a ⊕b ＝a(a －b)＋1，求解即可．(－2)⊕3＝－2³(－2－3)＋1＝－2³(－5)＋1＝10＋1＝11. (2)先按照定义新运算a ⊕b ＝a(a －b)＋1，得出3⊕x ，再令其小于13，得到一元一次不等式，解不等式求出x 的取值范围，即可在数轴上表示．∵3⊕x<13，∴3(3－x)＋1<13，9－3x ＋1<13，－3x<3，x>－1，数轴表示如图所示【错误警示】1．C2．原式＝－1－33＋6³32＋1＋5＝ 5.第2讲整式及其运算1．整式的相关概念2.整式的运算1．(2017·衢州)下列计算正确的是(A ．2a ＋b ＝2abB ．(－a)2＝a 2C ．a 6÷a 2＝a 3D ．a 3²a 2＝a 62．(2017·台州)下列计算正确的是( ) A ．(a ＋2)(a －2)＝a 2－2 B ．(a ＋1)(a －2)＝a 2＋a－2 C ．(a ＋b)2＝a 2＋b 2 D ．(a －b)2＝a 2－2ab ＋b 23．(2016·宁波)下列图案是用长度相同的火柴棒按一定规律拼搭而成，图案①需8根火柴棒，图案②需15根火柴棒，…，按此规律，图案⑦需____________________根火柴棒．4．(2015·嘉兴)化简：a(2－a)＋(a ＋1)(a －1)．【问题】(1)计算：(a ＋3)(a －3)＋a(3a －2)－(2a －1)2；(2)完成(1)计算后回答：①此计算过程中，用到了哪些乘法公式和法则； ②此计算过程中，要注意哪些问题．【归纳】通过开放式问题，归纳、疏理实数相关概念、运算法则，以及要注意的问题．类型一幂的运算例1 计算：(1)(a 2b)3＝________；(2)(3a)2²a 5＝________； (3)x 5÷x 3＝________．【解后感悟】(1)幂的运算法则是进行整式乘除法的基础，要熟练掌握，解题时要明确运算的类型，正确运用法则；(2)在运算的过程中，一定要注意指数、系数和符号的处理．1．(2015·益阳)下列运算正确的是( )A ．x 2²x 3＝x 6B ．(x 3)2＝x 5C ．(xy 2)3＝x 3y 6D ．x 6÷x 3＝x 2 2．若3x ＝4，9y ＝7，则3x －2y的值为( )A .47B .74C ．－3D .27类型二整式的加减运算例2 (1)若mn ＝m ＋3，则2mn ＋3m －5mn ＋10＝________．(2)已知(a －2)2＋|b ＋1|＝0，则代数式2a 2b －3ab 2－(a 2b －4ab 2)＝________．(3)若代数式5a －3b 的值是－2，则代数式2(a －b)＋4(2a －b)＋3的值等于________．【解后感悟】整式的加减，实质上就是，有括号的，先去括号．只要算式中没有同类项，就是最后的结果．3．(1)化简：4a －(a －3b)＝____________________.(2)已知a ，b 互为相反数，则(4a －3b)－(3a －4b)＝____________________.(3)已知2x ＋y ＝－1，则代数式(2y ＋y 2－3)－(y 2－4x)的值为____________________． (4)(2015·巴中)若单项式2x 2y a ＋b与－13x a －b y 4是同类项，则a ＝____________________，b ＝____________________.类型三整式的混合运算与求值例3 (1)(2x)3²(－2y 3)÷(－16xy 2)＝________；(2)已知x 2－4x ＋3＝0，则(x －1)2－2(1＋x)＝________； (3)已知m ＋n ＝－3，mn ＝5，则(2－m)(2－n)的值为________；(4)长方形的长为a cm ，宽为b cm ，若长增加了2cm ，面积比原来增加了________cm 2. 【解后感悟】(1)对于整式的加、减、乘、除、乘方运算，要充分理解其运算法则，注意运算顺序，正确应用乘法公式以及整体和分类等数学思想．(2)在应用乘法公式时，要充分理解乘法公式的结构特点，分析是否符合乘法公式的条件．4．(1)先化简，再求值：(4ab 3－8a 2b 2)÷4ab ＋(2a ＋b)(2a －b)，其中a ＝2，b ＝1.(2)化简：2[(m －1)m ＋m(m ＋1)][(m －1)m －m(m ＋1)]．若m 是任意整数，请观察化简后的结果，你发现原式表示一个什么数？类型四乘法公式例4 (1)已知a ＋b ＝10，a －b ＝8，则a 2－b 2＝________； (2)若a 2＋b 2＝2，a ＋b ＝3，则ab 的值为________；(3)已知a ＝1，b ＝－12，则a(a －3b)＋(a ＋b)2－a(a －b)＝________．【解后感悟】对于整式乘法运算，能用乘法公式要充分运用公式；在应用时，要充分理解乘法公式的结构特点，分析是否符合乘法公式的条件．5．(2016·北京)如图中的四边形均为矩形，根据图形，写出一个正确的等式：____________________.6．化简：(1)(2017·舟山)(m ＋2)(m －2)－m 3³3m ；(2)(2017·温州)(1＋a)(1－a)＋a(a －2)；(3)(2015·益阳)(x ＋1)2－x(x ＋1)．类型五整式运算的应用及规律型问题例5 (2016·山西)如图是一组有规律的图案，它们是由边长相同的小正方形组成，其中部分小正方形涂有阴影，依此规律，第n 个图案中有个涂有阴影的小正方形(用含有n 的代数式表示)．【解后感悟】解决整式的规律性问题应充分发挥数形结合的作用，从分析图形的结构入手，分析图形结构的形成过程，从简单到复杂，进行归纳猜想，从而获得隐含的数学规律，并用代数式进行描述．7．(1)(2017·衢州)如图，从边长为(a＋3)的正方形纸片中剪去一个边长为3的正方形，剩余部分沿虚线又剪拼成一个如图所示的长方形(不重叠无缝隙)，则拼成的长方形的另一边长是____________________．(2)一个大正方形和四个全等的小正方形按图1，2两种方式摆放，则图2的大正方形中未被小正方形覆盖部分的面积是____________________(用a、b的代数式表示)．【阅读理解题】(2015·舟山)如图，多边形的各顶点都在方格纸的格点(横竖格子线的交错点)上，这样的多边形称为格点多边形，它的面积S可用公式S＝a＋12b－1(a是多边形内的格点数，b是多边形边界上的格点数)计算，这个公式称为“皮克定理”．现用一张方格纸共有200个格点，画有一个格点多边形，它的面积S＝40.(1)这个格点多边形边界上的格点数b＝________(用含a的代数式表示)；(2)设该格点多边形外的格点数为c，则c－a＝________．【方法与对策】本题需要先通过阅读掌握新定义方法，再利用类似方法解决问题．关键是观察问题，分析问题，解决问题的能力．该题型是中考命题的一种方式．【幂的运算的常见错误】计算：(1)x 3²x 5； (2)x 4²x 4； (3)(a m ＋1)2；(4)(－2a 2²b)2； (5)(m －n)6÷(n －m)3.参考答案第2讲整式及其运算【考点概要】1．乘积字母数字指数的和次数最高多项式相同相同同类 2.系数不改变改变 a m ＋n a mn a n b n a m －n 系数指数相加 ma ＋mb ＋mc 相加 ma ＋mb ＋na ＋nb 指数相加 a 2－b 2 a 2±2ab ＋b 2【考题体验】1．B 2.D 3.50 4.2a －1. 【知识引擎】【解析】(1)2a —10；(2)①完全平方公式、平方差公式，去括号、合并同类项等；②去括号时，要注意变号等．【例题精析】例1 (1)a 6b 3；(2)9a 7；(3)x 2 例2 (1)1；(2)－2；(3)－1. 例3 (1)x 2y (2)－4 (3)15 (4)2b例4 (1)80；(2)72；(3)54.例5 由图可得，第1个图案涂有阴影的小正方形的个数为5，第2个图案涂有阴影的小正方形的个数为5³2－1＝9，第3个图案涂有阴影的小正方形的个数为5³3－2＝13，…，第n 个图案涂有阴影的小正方形的个数为5n －(n －1)＝4n ＋1.故答案为：4n ＋1.【变式拓展】1．C 2.A 3.(1)3a ＋3b (2)0 (3)－5 (4)3 1 4.(1)原式＝2a(2a －b)，将a ＝2，b ＝1代入得12.(2)原式＝2(m 2－m ＋m 2＋m)(m 2－m －m 2－m)＝－8m 3.原式＝(－2m)3，表示3个－2m 相乘的数．(答案不唯一) 5.m(a ＋b ＋c)＝am ＋bm ＋cm6．(1)－4； (2)1－2a ； (3)x ＋1. 7.(1)a ＋6 (2)ab 【热点题型】【分析与解】(1)∵S ＝a ＋12b －1，且S ＝40，∴a ＋12b －1＝40，整理得：b ＝82－2a ； (2)∵a是多边形内的格点数，b是多边形边界上的格点数，总格点数为200，∴边界上的格点数与多边形内的格点数的和为b＋a＝82－2a＋a＝82－a，∴多边形外的格点数c＝200－(82－a)＝118＋a，∴c－a＝118＋a－a＝118.【错误警示】(1)x3²x5＝x3＋5＝x8；(2)x4²x4＝x4＋4＝x8；(3)(a m＋1)2＝a(m＋1)³2＝a2m＋2；(4)(－2a2b)2＝(－2)2a4b2＝4a4b2；(5)(m－n)6÷(n－m)3＝(n－m)6÷(n－m)3＝(n－m)3.第3讲因式分解因式分解1．(2015·台州)把多项式2x 2－8分解因式，结果正确的是( ) A ．2(x 2－8) B ．2(x －2)2 C ．2(x ＋2)(x －2) D ．2x(x －4x )2．(2017·台州)因式分解：x 2＋6x ＝____________________. 3．(2017·金华)分解因式：x 2－4＝____________________.4．(2016·绍兴)分解因式：a3－9a＝.【问题】给出三个多项式：12x2＋x－1，12x2＋3x＋1，12x2－x.(1)请你选择其中两个进行加法运算，并把结果分解因式．(2)结合以上解题的体验，回答因式分解有哪些方法，一般步骤怎样？【归纳】通过开放式问题，归纳、疏理运用多种方法分解因式，其一般顺序是：首先提取公因式，然后再考虑用公式，最后结果一定要分解到不能再分解为止．类型一因式分解的意义例1下列式子从左到右变形是因式分解的是()A．a2＋4a－21＝a(a＋4)－21B．a2＋4a－21＝(a－3)(a＋7)C．(a－3)(a＋7)＝a2＋4a－21D．a2＋4a－21＝(a＋2)2－25【解后感悟】此题主要考查因式分解的意义，正确把握因式分解的意义是解题关键．1．下面的多项式中，能因式分解的是()A．m2＋n B．m2－m＋1C．m2－n D．m2－2m＋12．(2016·滨州)把多项式x2＋ax＋b分解因式，得(x＋1)(x－3)，则a，b的值分别是() A．a＝2，b＝3 B．a＝－2，b＝－3C．a＝－2，b＝3 D．a＝2，b＝－3类型二因式分解的几何性例2如图，边长为a的正方形中有一个边长为b的小正方形，若将图1的阴影部分拼成一个长方形，如图2，比较图1和图2的阴影部分的面积，你能得到的公式是____________________________．【解后感悟】利用图形的面积来解释代数式的恒等变形，这是数形结合思想的应用，是我们学习过程中，常见的列等量关系的依据．3．利用1个a³a的正方形，1个b³b的正方形和2个a³b的矩形可拼成一个正方形(如图所示)，从而可得到因式分解的公式____________________．类型三因式分解的方法例3分解因式：(1)(2017·绍兴)x2y－y＝__________．(2)(2017·安徽模拟)ax2－6ax＋9a＝________．(3)(x－1)2－9＝________．(4)(2016·荆门)(m＋1)(m－9)＋8m＝________．【解后感悟】多项式分解因式有公因式首先提取公因式，然后再用公式法或其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．第(4)题利用多项式的乘法运算法则展开整理成一般多项式是解题的关键．4．因式分解：(1)(2017·温州)m2＋4m＝____________________.(2)(2015·丽水)9－x2＝____________________．(3)a3－4a＝____________________.(4)(2017·杭州市江干区模拟)a3b－2a2b＋ab＝____________________.(5)(2015·南京)(a－b)(a－4b)＋ab＝____________________．类型四因式分解的应用例4(1)已知a＋b＝2，ab＝1，则a2b＋ab2的值为________；(2)已知x2－2x－3＝0，则2x2－4x的值为________．【解后感悟】此题是因式分解的应用，将所求式子进行适当的变形是解本题的关键．5．(1)(2015·衡阳)已知a ＋b ＝3，a －b ＝－1，则a 2－b 2的值为____________________． (2)(2015·盐城)若2m －n 2＝4，则代数式10＋4m －2n 2的值为____________________． 6．仔细阅读下面例题，解答问题：例题：已知二次三项式x 2－4x ＋m 有一个因式是(x ＋3)，求另一个因式以及m 的值．解：设另一个因式为(x ＋n)，得x 2－4x ＋m ＝(x ＋3)(x ＋n)，则x 2－4x ＋m ＝x 2＋(n ＋3)x＋3n ，∴⎩⎪⎨⎪⎧n ＋3＝－4m ＝3n .解得：n ＝－7，m ＝－21，∴另一个因式为(x －7)，m 的值为－21.问题：仿照以上方法解答下面问题：已知二次三项式2x 2＋3x －k 有一个因式是(2x －5)，求另一个因式以及k 的值．【阅读理解题】阅读下列文字与例题：将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是分组分解法．例如：(1)am ＋an ＋bm ＋bn ＝(am ＋bm)＋(an ＋bn)＝m(a ＋b)＋n(a ＋b)＝(a ＋b)(m ＋n)； (2)x 2－y 2－2y －1＝x 2－(y 2＋2y ＋1)＝x 2－(y ＋1)2＝(x ＋y ＋1)(x －y －1)．试用上述方法分解因式a 2＋2ab ＋ac ＋bc ＋b 2＝________．【方法与对策】(1)当某项正好为公因式时，提取公因式后，该项应为1，不可漏掉；(2)首项系数为负数时，一般公因式的系数取负数，使括号内首项系数为正；(3)公因式也可以是多项式．该题型是中考命题方向．【忽视提系数的最大公约数、分解不彻底】因式分解：(1)a 3－16a ； (2)4x 2－16y 2.参考答案第3讲因式分解【考点概要】乘积 m (a ＋b ＋c ) (a ＋b )(a －b ) (a±b )2 提公因式公式法【考题体验】1．C 2.x (x ＋6) 3.(x ＋2)(x －2) 4.a (a ＋3)(a －3) 【知识引擎】【解析】(1)(12x 2＋x －1)＋(12x 2＋3x ＋1)＝x 2＋4x ＝x (x ＋4)；(12x 2＋x －1)＋(12x 2－x )＝x 2－1＝(x ＋1)(x －1)；(12x 2＋3x ＋1)＋(12x 2－x )＝x 2＋2x ＋1＝(x ＋1)2；(2)因式分解的方法：①提公因式法；②公式法．因式分解的步骤：一提、二套、三查．【例题精析】例1 B 例2 a 2－b 2＝(a ＋b)(a －b)．例3 (1)y(x ＋1)(x －1)；(2)a(x －3)2；(3)(x ＋2)(x －4)；(4)(m ＋3)(m －3)．例4 (1)2；(2)6.【变式拓展】 1．D 2. B3.a 2＋2ab ＋b 2＝(a ＋b)24.(1)m(m ＋4) (2)(3＋x)(3－x) (3)a(a ＋2)(a －2) (4)ab(a －1)2(5)(a －2b)25.(1)－3 (2)186.设另一个因式为(x ＋a)，得2x 2＋3x －k ＝(2x －5)(x ＋a)，则2x 2＋3x －k ＝2x 2＋(2a －5)x －5a ，∴⎩⎪⎨⎪⎧2a －5＝3－5a ＝－k ，解得：a ＝4，k ＝20，故另一个因式为(x ＋4)，k 的值为20.【热点题型】【分析与解】原式＝(a 2＋2ab ＋b 2)＋(ac ＋bc)＝(a ＋b)2＋c(a ＋b)＝(a ＋b)(a ＋b ＋c)．【错误警示】(1)a(a ＋4)(a －4)； (2)4(x ＋2y)(x －2y)．第4讲分式及其运算1．分式的概念2.分式的基本性质3.分式的运算1．(2015·丽水)分式－11－x 可变形为( )A ．－1x －1B .11＋xC ．－11＋xD .1x －12．(2016·台州)化简x 2－y 2（y －x ）2的结果是( )A ．－1B ．1C .x ＋y y －xD .x ＋yx －y3．(2017·湖州)要使分式1x －2有意义，x 的取值应满足______________________________． 4．(2017·舟山)若分式2x －4x ＋1的值为0，则x 的值为____________________．5．(2015·湖州)计算：a 2a －b －b 2a －b.【问题】(1)从三个代数式：①a 2－2ab ＋b 2，②3a －3b ，③a 2－b 2中任意选择两个代数式构造成分式，然后进行化简，并求当a ＝6，b ＝3时该分式的值．(2)通过对(1)的解答，你能想到与分式相关的哪些信息．【归纳】通过开放式问题，归纳、疏理分式概念，以及分式相关的性质，探究分式化简方法．类型一分式的概念例1 分式2x ＋6x 2－9.(1)若分式有意义，则x 的取值范围是________； (2)若分式的值为0，则x 的值为________； (3)把分式化为最简分式________．【解后感悟】分式有意义，首先求出使分母等于0的字母的值，然后让未知数不等于这些值，便可使分式有意义；分式的值为0的条件是：首先求出使分子为0的字母的值，再检验这个字母的值是否使分母的值为0，当它使分母的值不为0时，这就是所要求的字母的值；化为最简分式是分母、分子因式分解，再约分．1．已知分式x 2－4x －2，若分式无意义，则x 的取值范围是____________________；若分式的值为零，则x ＝____________________.2．(2016·滨州)下列分式中，最简分式是( ) A .x 2－1x 2＋1B .x ＋1x 2－1C .x 2－2xy ＋y 2x 2－xy D .x 2－362x ＋12类型二分式的约分和通分例2 计算：(1)(2016·淄博)1－4a 22a ＋1＝________；(2)2xx －1＋x ＋11－x ＝________； (3)2x ＋1－x －2x 2－1＝________； (4)1－a －1a －1＝________.【解后感悟】分式化简关键是约分，约分的关键是找公因式，若分子和分母有多项式，先将其因式分解，然后将相同的因式约去即可．分式的加减运算关键是通分，通分的关键是找最简公分母．3．(1)(2016·丽水)1a ＋1b 的运算结果正确的是( )A .1a ＋bB .2a ＋b C .a ＋b abD ．a ＋b (2)(2015·绍兴)化简x 2x －1＋11－x 的结果是( )A ．x ＋1B .1x ＋1C ．x －1D .xx －1(3)若a 、b 都是正实数，且1a －1b ＝2a ＋b ，则aba 2－b 2＝____________________.(4)(2016·荆州)当a ＝2＋1，b ＝2－1时，代数式a 2－2ab ＋b 2a 2－b 2的值是 .(5)(2015·台州)先化简，再求值：1a ＋1－a（a ＋1）2，其中a ＝2－1.类型三分式的运算与求值例3 (1)(2016·内江)化简：⎝⎛⎭⎫a 2a －3＋93－a ÷a ＋3a ＝________.(2)(2015·黄冈)化简：ba 2－b 2÷⎝⎛⎭⎫1－a a ＋b ＝________.(3)(2015·衢州)先化简，再求值：(x 2－9)÷x －3x ，其中x ＝－1.(4)先化简，再求值：⎝⎛⎭⎫x 2x －1－x ＋1÷4x 2－4x ＋11－x ，其中x 满足x 2＋x －2＝0.【解后感悟】(1)解决这类题关键是把握好通分与约分．分式加减的本质是通分，乘除的本质是约分．(2)熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．化简求值题要将原式化为最简后再代值，从求出x 的两个数中选一个数代入求值，但要注意分式成立的条件．4．(2015·成都)化简：(a a ＋2＋1a 2－4)÷a －1a ＋2.5．先化简，再求值：x 2－4x ＋42x ÷x 2－2xx 2＋1，在0，1，2，三个数中选一个合适的，代入求值．类型四与分式有关的变形和应用例4 观察下列等式：第1个等式：a 1＝11³3＝12³(1－13)；第2个等式：a 2＝13³5＝12³(13－15)；第3个等式：a 3＝15³7＝12³(15－17)；第4个等式：a 4＝17³9＝12³(17－19)； …请解答下列问题：(1)按以上规律列出第5个等式：a 5＝______＝______；(2)用含有n 的代数式表示第n 个等式：a n ＝________＝________(n 为正整数)； (3)求a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋…＋a 100的值．【解后感悟】本题是数字变化规律，要求首先分析题意，通过观察、分类归纳、抽象出数列的规律，并进行推导得出答案．6．(1)如图，设k ＝甲图中阴影部分面积乙图中阴影部分面积(a ＞b ＞0)，则有( )A ．k ＞2B ．1＜k ＜2C .12＜k ＜1 D ．0＜k ＜12(2)一种商品原来的销售利润率是47%.现在由于进价提高了5%，而售价没变，所以该商品的销售利润率变成了____________________%.【注：销售利润率＝(售价－进价)÷进价】．【探索规律题】(2015·巴中)a 是不为1的数，我们把11－a 称为a 的差倒数，如：2的差倒数为11－2＝－1；－1的差倒数是11－（－1）＝12；已知a 1＝－12，a 2是a 1的差倒数，a 3是a 2的差倒数．a 4是a 3的差倒数，…依此类推，则a 2015＝________．【方法与对策】此题是找规律的题目，对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，找出规律是解题的关键，该题型是中考的热点．【分式的分母不能为零，除数不能为零】分式x 2－4x 2－x －2的值是0，则x 的值为________．参考答案第4讲分式及其运算【考点概要】1．字母 2.公因式基本性质同分母【考题体验】1．D 2.D 3.x ≠2 4.2 5.a ＋b. 【知识引擎】【解析】(1)答案不唯一．选取①、②得a 2－2ab ＋b 23a －3b ＝（a －b ）23（a －b ）＝a －b3，当a ＝6，b＝3时，原式＝6－33＝1(有6种情况)． (2)分式概念、运算法则，注意点等．【例题精析】例1 (1)x ≠±3；(2)无解；(3)2x －3. 例2 (1)1－2a ；(2)1；(3)xx 2－1；(4)a 2－2a ＋21－a 例3 (1)a ；(2)1a －b ；(3)原式＝(x ＋3)(x －3)·xx －3＝x(x ＋3)＝x 2＋3x ，当x ＝－1时，原式＝(－1)2＋3³(－1)＝－2；(4)原式＝x 2－（x －1）（x －1）x －1²1－x （2x －1）2＝2x －1x －1²1－x（2x －1）2＝11－2x .由x 2＋x －2＝0，解得x 1＝－2，x 2＝1，∵x ≠1，∴当x ＝－2时，原式＝11－2³（－2）＝15. 例4 (1)19³11，12³(19－111)； (2)1()2n －1³()2n ＋1，12³(12n －1－12n ＋1)．(3)a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋…＋a 100＝12³(1－13)＋12³(13－15)＋12³(15－17)＋…＋12³(1199－1201)＝12³⎝⎛⎭⎫1－13＋13－15＋15－17＋…＋1199－1201＝12³⎝⎛⎭⎫1－1201＝12³200201＝100201.【变式拓展】 1．x ＝2 －2 2. A3. (1)C (2)A (3)－12(4)22 (5)1（a ＋1）2，12. 4. a －1a －2. 5.x 2.当x ＝1时，原式＝12. 6.(1)B (2)40 【热点题型】【分析与解】a 1＝－12，a 2是a 1的差倒数，即a 2＝11－（－12）＝23，a 3是a 2的差倒数，即a 3＝11－23＝3，a 4是a 3的差倒数，即a 4＝11－3＝－12，…依此类推，∵2015÷3＝671……2，∴a 2015＝a 2＝23.故答案为：23.【错误警示】当x 2－4x 2－x －2＝0时，x 2－4＝0且x 2－x －2≠0，∴x ＝－2.故答案为－2.第5讲二次根式及其运算1．二次根式的有关概念2.二次根式的性质3.二次根式的运算1．(2015·湖州)4的算术平方根是( )A ．±2B ．2C ．－2D . 22．(2017·宁波)要使二次根式x －3有意义，则x 的取值范围是( ) A ．x ≠3 B ．x ＞3 C ．x ≤3 D ．x ≥3 3．(2016·杭州)下列各式变形中，正确的是( ) A ．x 2²x 3＝x 6 B .x 2＝|x|C .⎝⎛⎭⎫x 2－1x ÷x ＝x －1 D ．x 2－x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x －122＋144．(2017·宁波)实数－8的立方根是____________________．5．(2017·湖州)计算：2³(1－2)＋8.【问题】下列各式已给出计算结果：①8－2＝6； ②（－3）2＝－3；③2³3＝6； ④8÷2＝4 (1)其中正确的是____________； (2)对于错误的结果，请给出正确答案；(3)通过以上的解答，联想二次根式有哪些性质、运算法则？【归纳】通过开放式问题，归纳、疏理二次根式的性质和运算法则，以及注意的问题．类型一平方根、算术平方根、立方根例1 (1)(2015·黄冈)9的平方根是( ) A ．±3 B ．±13C ．3 D ．－3(2)(2017·黄冈)16的算术平方根是________． (3)(2016·宁波)实数－27的立方根是________．【解后感悟】一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根；注意算术平方根易与平方根的概念混淆而导致错误；开立方和立方互为逆运算是解题的关键．1．(1)(2016·唐山模拟)下列式子中，计算正确的是( ) A ．－ 3.6＝－0.6 B .（－13）2＝－13 C .36＝±6 D ．－9＝－3(2)如果一个正数的两个平方根为a ＋1和2a －7，则这个数为____________________．类型二二次根式的有关概念与性质例2 (1)式子2x ＋1x －1有意义的x 的取值范围是________； (2)(2017·邵阳模拟)将45化成最简二次根式是________． (3)计算：（1－2）2＝________.【解后感悟】(1)此类有意义的条件问题主要是根据：①二次根式的被开方数大于或等于零；②分式的分母不为零列不等式组，转化为求不等式组的解集．(2)此题根据二次根式的性质化简，是解本题的关键．2．(1)(2017·荆州)下列根式是最简二次根式的是( ) A .13B .0.3C .3D .20 (2)k 、m 、n 为三个整数，若135＝k 15，450＝15m ，180＝6n ，则下列有关于k 、m 、n 的大小关系，何者正确( )A ．k ＜m ＝nB ．m ＝n ＜kC ．m ＜n ＜kD ．m ＜k ＜n(3)(2016·金华)能够说明“x 2＝x 不成立”的x 的值是____________________(写出一个即可)．(4)若实数a 、b 满足||a ＋2＋b －4＝0，则a 2b＝____________________.(5)若整数x 满足|x|≤3，则使7－x 为整数的x 的值是____________________(只需填一个)．类型三二次根式的运算与求值例3 (1)(2017·滨州)下列计算：(1)(2)2＝2，(2)（－2）2＝2，(3)(－23)2＝12，(4)(2＋3)(2－3)＝－1，其中结果正确的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 (2)计算：8－312＋2＝______； (3)化简：3(2－3)－24－|6－3|＝________.【解后感悟】(1)二次根式的加减运算，关键是掌握二次根式的化简及同类二次根式的合并；(2)二次根式的混合运算，正确化简二次根式是解题关键．3．(1)下列计算正确的是()A．43－33＝1 B.2＋3＝ 5C．212＝2D．3＋22＝5 2(2)算式(6＋10³15)³3之值为()A．242B．125C．1213D．18 24．(1)计算(10－3)2018²(10＋3)2017＝____________________；(2)(2016·聊城)计算：27²83÷12＝.类型四二次根式的大小比较例4已知甲、乙、丙三数，甲＝5＋15，乙＝3＋17，丙＝1＋19，则甲、乙、丙的大小关系，下列何者正确()A．丙＜乙＜甲B．乙＜甲＜丙C．甲＜乙＜丙D．甲＝乙＝丙【解后感悟】比较两个二次根式大小时要注意：(1)负号不能移到根号内；(2)根号外的正因数要平方后才能从根号外移到根号内．5．(1)(2015·河北)在数轴上标注了四段范围，如图，则表示8的点落在()A．段①B．段②C．段③D．段④(2)(2015·杭州)若k＜90＜k＋1(k是整数)，则k＝()A．6 B．7 C．8 D．9(3)(2017·白银)估计5－12与0.5的大小关系是：5－12____________________0.5.(填“＞”、“＝”、“＜”)类型五二次根式的综合型问题例5(1)已知实数x，y满足||x－4＋y－8＝0，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是________．(2)在日常生活中，取款、上网都需要密码，有的人把自己的出生年月作为密码，有的人把生活中的重要数字或自己认为吉利的数字作为密码，这样很容易被知情人窃用．有一种用二次根式法产生的密码，如：对于二次根式121，计算的结果是11，取被开方数和计算结果，再在中间加一个数字0，于是就得到一个六个数字的密码“121011”．对于二次根式0.81，用上述方法产生的密码是________．【解后感悟】常见的非负数有三种形式：|a|，a，a2；若几个非负数的和等于零，则这几个数都为零．6．(1)矩形相邻两边长分别为2，8，则它的周长是____________________，面积是____________________．(2)观察分析下列数据，寻找规律：0，3，6，3，23，…，那么第10个数据应是____________________．(3)若y＝3x－6＋6－3x＋x3，则10x＋2y的平方根为____________________．7．已知x＝3＋1，y＝3－1，求下列各式的值：(1)x2＋2xy＋y2；(2)x2－y2.【探索规律题】如图，以O(0，0)、A(2，0)为顶点作正△OAP1，以点P1和线段P1A的中点B为顶点作正△P1BP2，再以点P2和线段P2B的中点C为顶点作△P2CP3，…，如此继续下去，则第六个正三角形中，不在第五个正三角形上的顶点P6的坐标是________．【方法与对策】根据O(0，0)，A(2，0)为顶点作△OAP1，再以P1和P1A的中点B为顶点作△P1BP2，再以P2和P2B的中点C为顶点作△P2CP3，…，如此继续下去，结合图形求出点P6的坐标．本题由特殊到一般的规律解题是关键，这类题型是中考的热点．【二次根式的化简符号不明确】下列各式中，正确的是()A.（－3）2＝－3B．－32＝－3C.（±3）2＝±3D.32＝±3参考答案第5讲二次根式及其运算【考点概要】 1．a ≥0 2. ≥0 a －a 3.最简二次根式相同 abab乘除【考题体验】 1．B 2. D 3. B 4. －25.原式＝2－22＋22＝2. 【知识引擎】【解析】(1)③； (2)①8－2＝2，②（－3）2＝3，④8÷2＝2； (3)主要从二次根式性质、运算法则方面去思考．【例题精析】例1 (1)A ；(2)4；(3)－3 例2 (1)根据题意得，2x ＋1≥0且x －1≠0，解得x ≥－12且x ≠1.(2)35；(3)2－1. 例3 (1)D ；(2)原式＝22－322＋2＝322，故答案为：322；(3)3(2－3)－24－|6－3|＝6－3－26－(3－6)＝－6.故答案为：－6.例4 ∵3＝9<15<16＝4， ∴8＜5＋15＜9，∴8＜甲＜9.∵4＝16＜17＜25＝5，∴7＜3＋17＜8，∴7＜乙＜8.∵4＝16＜19＜25＝5，∴5＜1＋19＜6，∴5＜丙＜6.∴丙＜乙＜甲．故选A . 例5 (1)由||x －4＋y －8＝0得，x －4＝0，y －8＝0，即x ＝4，y ＝8.若4是腰长，则三角形的三边长为：4、4、8，不能组成三角形．若4是底边长，则三角形的三边长为：4、8、8，能组成三角形，周长为4＋8＋8＝20；即等腰三角形的周长是20.(2)0.81＝0.9，所以得到一个六个数字的密码081009.【变式拓展】1．(1)D (2)9 2.(1)C (2)D (3)－1 (4)1(5)－2 3. (1)C (2)D 4.(1)10－3 (2)12 5．(1)C (2)D (3)＞ 6.(1)62 4 (2)33(3)±67.(1)因为x ＝3＋1，y ＝3－1，所以x ＋y ＝23，x －y ＝2.则(1)x 2＋2xy ＋y 2＝(x ＋y)2＝(23)2＝12. (2)x 2－y 2＝(x ＋y)(x －y)＝4 3.【热点题型】【分析与解】每一个正三角形的边长都是上个三角形的边长的12，第六个正三角形的边长是116，故顶点P 6的横坐标是6332，P 5纵坐标是3－34－38＝538，P 6的纵坐标为538＋332＝21332，故答案为：(6332，21332)．【错误警示】（－3）2＝9＝32＝3，选项A 错误；（±3）2＝9＝32＝3，选项C 错误；32＝3，选项D 错误．故选B .。

浙江省2018年中考数学总复习三角形试题

阶段检测5 三角形一、选择题(本大题有10小题，每小题4分，共40分．请选出各小题中唯一的正确选项，不选、多选、错选，均不得分)1．下列长度的三根小木棒能构成三角形的是( )A．2cm，3cm，5cm B．7cm，4cm，2cmC．3cm，4cm，8cm D．3cm，3cm，4cm2．如图，田亮同学用剪刀沿直线将一片平整的树叶剪掉一部分，发现剩下树叶的周长比原树叶的周长要小，能正确解释这一现象的数学知识是( )A．垂线段最短 B．经过一点有无数条直线C．经过两点，有且仅有一条直线 D．两点之间，线段最短第2题图第3题图第5题图第6题图3．如图，点D，E分别在线段AB，AC上，CD与BE相交于O点，已知AB＝AC，现添加以下的哪个条件仍不能判定△ABE≌△ACD( )A．∠B＝∠C B．AD＝AE C．BD＝CE D．BE＝CD4．已知△ABC中，∠A＝20°，∠B＝∠C，那么△ABC是( )A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．正三角形5．如图，两个三角形的面积分别是9，6，对应阴影部分的面积分别是m，n，则m－n 等于( )A．2 B．3 C．4 D．无法确定6．如图所示，线段AC的垂直平分线交线段AB于点D，∠A＝50°，则∠BDC＝( ) A．50° B．100° C．120° D．130°7．如图，数轴上点A，B分别对应1，2，过点B作PQ⊥AB，以点B为圆心，AB长为半径画弧，交PQ于点C，以原点O为圆心，OC长为半径画弧，交数轴于点M，则点M对应的数是( )A. 3B. 5C. 6D.7第7题图第8题图 8．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝30°，以A 为圆心，任意长为半径画弧分别交AB 、AC 于点M 和N ，再分别以M 、N 为圆心，大于12MN 的长为半径画弧，两弧交于点P ，连结AP 并延长交BC 于点D ，则下列说法中正确的个数是( )①AD 是∠BAC 的平分线；②∠ADC ＝60°；③点D 在AB 的中垂线上；④S △DAC ∶S △ABC ＝1∶3.A ．1B ．2C ．3D ．49．平面直角坐标系中，已知A (2，2)、B (4，0)．若在坐标轴上取点C ，使△ABC 为等腰三角形，则满足条件的点C 的个数是( )A ．5B ．6C ．7D ．810．如图1，分别以直角三角形三边为边向外作等边三角形，面积分别为S 1、S 2、S 3；如图2，分别以直角三角形三个顶点为圆心，三边长为半径向外作圆心角相等的扇形，面积分别为S 4、S 5、S 6.其中S 1＝16，S 2＝45，S 5＝11，S 6＝14，则S 3＋S 4＝( )第10题图A ．86B ．64C ．54D ．48二、填空题(本大题有6小题，每小题5分，共30分)11．如图，AB ∥CD ，直线EF 分别交AB 、CD 于M ，N 两点，将一个含有45°角的直角三角尺按如图所示的方式摆放，若∠EMB ＝75°，则∠PNM 等于度．12．若等腰三角形的顶角为120°，腰长为2cm ，则它的底边长为 cm. 13．“今有井径五尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四寸，问井深几何？”这是我国古代数学《九章算术》中的“井深几何”问题，它的题意可以由图获得，则井深为____________________尺．第11题图第13题图第14题图14．如图1是我们常用的折叠式小刀，图2中刀柄外形是一个矩形挖去一个小半圆，其中刀片的两条边缘线可看成两条平行的线段，转动刀片时会形成如图2所示的∠1与∠2，则∠1与∠2的度数和是度．第15题图第16题图15．如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，△ABO≌△ADO.下列结论：①AC⊥BD；②CB＝CD；③△ABC≌△ADC；④DA＝DC.其中所有正确结论的序号是.16．如图，∠BOC＝9°，点A在OB上，且OA＝1，按下列要求画图：以A为圆心，1为半径向右画弧交OC于点A1，得第1条线段AA1；再以A1为圆心，1为半径向右画弧交OB于点A2，得第2条线段A1A2；再以A2为圆心，1为半径向右画弧交OC于点A3，得第3条线段A2A3；…这样画下去，直到得第n条线段，之后就不能再画出符合要求的线段了，则n ＝.三、解答题(本大题有8小题，第17～20题每题8分，第21题10分，第22、23题每题12分，第24题14分，共80分)17．如图，点C，E，F，B在同一直线上，点A，D在BC异侧，AB∥CD，AE＝DF，∠A ＝∠D.第17题图(1)求证：AB＝CD；(2)若AB＝CF，∠B＝30°，求∠D的度数．18．已知△ABN和△ACM位置如图所示，AB＝AC，AD＝AE，∠1＝∠2.第18题图(1)求证：BD＝CE；(2)求证：∠M＝∠N.19．杨阳同学沿一段笔直的人行道行走，在由A步行到达B处的过程中，通过隔离带的空隙O，刚好浏览完对面人行道宣传墙上的社会主义核心价值观标语，其具体信息汇集如下：如图，AB∥OH∥CD，相邻两平行线间的距离相等，AC，BD相交于O，OD⊥CD.垂足为D，已知AB＝20米，请根据上述信息求标语CD的长度．第19题图20．在等边△ABC中，点D，E分别在边BC、AC上，若CD＝2，过点D作DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F，求EF的长．第20题图21．如图，△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，CE⊥AB，AE＝CE.求证：(1)△AEF≌△CEB；(2)AF＝2CD.第21题图22．在△ABC中，AB＝15，BC＝14，AC＝13，求△ABC的面积．第22题图某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路完成解答过程．作AD⊥BC于D，设BD＝x，用含x的代数式表示CD―→根据勾股定理，利用AD作为“桥梁”，建立方程模型求出x―→利用勾股定理求出AD的长，再计算三角形面积23．在等边△ABC中，第23题图(1)如图1，P，Q是BC边上的两点，AP＝AQ，∠BAP＝20°，求∠AQB的度数；(2)点P，Q是BC边上的两个动点(不与点B，C重合)，点P在点Q的左侧，且AP＝AQ，点Q关于直线AC的对称点为M，连结AM，PM.①依题意将图2补全；②小茹通过观察、实验提出猜想：在点P，Q运动的过程中，始终有PA＝PM，小茹把这个猜想与同学们进行交流，通过讨论，形成了证明该猜想的几种想法：想法1：要证明PA＝PM，只需证△APM是等边三角形；想法2：在BA上取一点N，使得BN＝BP，要证明PA＝PM，只需证△ANP≌△PCM；想法3：将线段BP绕点B顺时针旋转60°，得到线段BK，要证PA＝PM，只需证PA＝CK，PM＝CK…请你参考上面的想法，帮助小茹证明PA＝PM(一种方法即可)．24．如图，△ABC中，AB＝AC，点P是三角形右外一点，且∠APB＝∠ABC.第24题图(1)如图1，若∠BAC＝60°，点P恰巧在∠ABC的平分线上，PA＝2，求PB的长；(2)如图2，若∠BAC＝60°，探究PA，PB，PC的数量关系，并证明；(3)如图3，若∠BAC＝120°，请直接写出PA，PB，PC的数量关系．参考答案阶段检测5 三角形一、1—5.DDDAB 6—10.BBDAC二、11.30 12.2 3 13.57.5 14.90 15.①②③ 16.9三、17.(1)略； (2)∵△ABE≌△DCF，∴AB ＝CD ，BE ＝CF ，∵AB ＝CF ，∠B ＝30°，∴AB ＝BE ，∴△ABE 是等腰三角形，∴∠D ＝∠A＝12×(180°－30°)＝75°. 18．(1)略； (2)∵∠1＝∠2，∴∠1＋∠DAE ＝∠2＋∠DAE，即∠BAN＝∠CAM，由(1)得：△ABD≌△ACE，∴∠B ＝∠C，在△ACM 和△ABN 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠C ＝∠B，AC ＝AB ，∠CAM ＝∠BAN，∴△ACM ≌△ABN(ASA)，∴∠M ＝∠N.19．∵AB ∥CD ，∴∠ABO ＝∠CDO，∵OD ⊥CD ，∴∠CDO ＝90°，∴∠ABO ＝90°，即OB⊥AB，∵相邻两平行线间的距离相等，∴OD ＝OB ，在△ABO 与△CDO 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠ABO ＝∠C DO ，OB ＝OD ，∠AOB ＝∠COD，∴△ABO≌△CDO(ASA)，∴CD ＝AB ＝20(m )．20．∵△ABC 是等边三角形，∴∠B ＝∠ACB＝60°，∵DE ∥AB ，∴∠EDC ＝∠B＝60°，∴△EDC 是等边三角形，∴DE ＝DC ＝2，在Rt △DEF 中，∵∠DEF ＝90°，DE ＝2，∴DF ＝2DE ＝4，∴EF ＝DF 2－DE 2＝42－22＝2 3.21．(1)∵AD⊥BC，CE ⊥AB ，∴∠BCE ＋∠CFD＝90°，∠BCE ＋∠B＝90°，∴∠CFD ＝∠B，∵∠CFD ＝∠AFE，∴∠AFE ＝∠B，在△AEF 与△CEB 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠AFE ＝∠B，∠AEF ＝∠CEB，AE ＝CE ，∴△AEF ≌△CEB(AAS)； (2)∵AB＝AC ，AD ⊥BC ，∴BC ＝2CD ，∵△AEF ≌△CEB ，∴AF ＝BC ，∴AF ＝2CD. 22.第22题图如图，在△ABC 中，AB ＝15，BC ＝14，AC ＝13，设BD ＝x ，则CD ＝14－x ，由勾股定理得：AD 2＝AB 2－BD 2＝152－x 2，AD 2＝AC 2－CD 2＝132－(14－x)2，故152－x 2＝132－(14－x)2，解之得：x ＝9.∴AD＝12.∴S △ABC ＝12BC ·AD ＝12×14×12＝84. 23.(1)∵AP＝AQ ，∴∠APQ ＝∠AQP，∴∠APB ＝∠AQC，∵△ABC 是等边三角形，∴∠B ＝∠C＝60°，∴∠BAP ＝∠CAQ＝20°，∴∠AQB ＝∠APQ＝∠BAP＋∠B＝80°； (2)①如图所示；②如想法1：∵AP＝AQ ，∴∠APQ ＝∠AQP，∴∠APB ＝∠AQC，∵△ABC 是等边三角形，∴∠B ＝∠C＝60°，∴∠BAP ＝∠CAQ，∵点Q 关于直线AC 的对称点为M ，∴AQ ＝AM ，∠QAC ＝∠MAC，∴∠MAC ＝∠BAP，∴∠BAP ＋∠PAC＝∠MAC＋∠CAP＝60°，∴∠PAM ＝60°，∵AP ＝AQ ，∴AP ＝AM ，∴△APM 是等边三角形，∴AP ＝PM.第23题图24.(1)∵AB＝AC ，∠BAC ＝60°，∴△ABC 是等边三角形，∠APB ＝∠ABC，∴∠APB ＝60°，又∵点P 恰巧在∠ABC 的平分线上，∴∠ABP ＝30°，∴∠PAB ＝90°，∴BP ＝2AP ，∵AP ＝2，∴BP ＝4； (2)结论：PA ＋PC ＝PB.证明：如图1，在BP 上截取PD ，使PD ＝PA ，连结AD ，∵∠APB ＝60°，∴△ADP 是等边三角形，∴∠DAP＝60°，∴∠1＝∠2，PA ＝AD ，又AB ＝AC ，∴△ABD ≌△ACP ，∴PC ＝BD ，∴PA ＋PC ＝PB ；(3)结论：3PA ＋PC ＝PB.证明：如图2，以A 为圆心，以AP 的长为半径画弧交BP 于D ，连结AD ，过点A 作AF⊥BP 交BP 于F ，∴AP ＝AD ，∵∠BAC ＝120°，∴∠ABC ＝30°，∴∠APB ＝30°，∴∠DAP ＝120°，∴∠1＝∠2，又AB ＝AC ，∴△ABD ≌△ACP ，∴BD ＝PC ，∵AF ⊥PD ，∴PF ＝32AP ，∴PD ＝3AP ，∴3PA ＋PC ＝PB.第24题图。

中考数学一轮复习第四章几何初步与三角形第三节全等三角形同步测试题及答案.doc

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】第三节全等三角形姓名：________ 班级：________ 用时：______分钟1．下列说法正确的是( )A．两个等边三角形一定全等B．腰对应相等的两个等腰三角形全等C．形状相同的两个三角形全等D．全等三角形的面积一定相等2．如图，在▱ABCD中，E，F是对角线BD上的两点，如果添加一个条件，使△ABE≌△CDF，那么添加的条件不能为( )A．BE＝DF B．BF＝DEC．AE＝CF D．∠1＝∠23．如图，在方格纸中，以AB为一边作△AB P，使之与△ABC全等，从P1，P2，P3，P4四个点中找出符合条件的点P，则点P有( )A．1个B．2个C．3个D．4个4．(2017·四川眉山中考)如图，EF过▱ABCD对角线的交点O，交AD于E，交BC于F.若▱ABCD的周长为18，OE＝1.5，则四边形EFCD的周长为( )A．14 B．13 C．12 D．105．如图，已知△ABC≌△ADE，若AB＝7，AC＝3，则BE的值为______．6．如图，在△ABC和△ED B中，∠C＝∠EBD＝90°，点E在AB上．若△ABC≌△EDB，AC＝4，BC＝3，则AE＝______.7．(2019·易错题)如图，在平面直角坐标系中，A，B两点分别在x轴、y轴上，OA＝3，OB＝4，连结AB.点P在平面内，若以点P，A，B为顶点的三角形与△AOB全等(点P与点O不重合)，则点P的坐标为_______________________.8．(2018·广西桂林中考)如图，点A，D，C，F在同一条直线上，AD＝CF，AB＝DE，BC＝EF.(1)求证：△ABC≌△DEF；(2)若∠A＝55°，∠B＝88°，求∠F的度数．相交于点G，H，若AB＝CD，求证：AG＝DH.10．如图，△ABC≌△ADE且BC，DE交于点O，连结BD，CE，则下列四个结论：①BC＝DE，②∠ABC＝∠ADE，③∠BAD＝∠CAE，④BD＝CE.其中一定成立的有( )A．1个B．2个C．3个D．4个11．在平面直角坐标系内，点O为坐标原点，A(－4，0)，B(0，3)．若在该坐标平面内有以点P(不与点A，B，O重合)为一个顶点的直角三角形与Rt△ABO全等，且这个以点P为顶点的直角三角形与Rt△ABO有一条公共边，则所有符合条件的三角形个数为( )A．9 B．7C．5 D．312．如图，△ABC为等边三角形，D，E分别是AC，BC上的点，且AD＝CE，AE与BD相交于点P，BF⊥AE 于点F.若BP＝4，则PF的长为( )A．2 B．3C．1 D．813．在矩形ABCD中，AD＝2AB＝4，E是AD的中点，一块足够大的三角板的直角顶点与点E重合，将三角板绕点E旋转，三角板的两直角边分别交AB，BC(或它们的延长线)于点M，N，设∠AEM＝α(0°<α<90°)，给出下列结论：①AM＝CN；②∠AME＝∠BNE；③BN－AM＝2；④S△EMN＝2cos2α.上述结论中正确的个数是( )A．1 B．2 C．3 D．414．如图，以△ABC的三边为边分别作等边△ACD，△ABE，△BCF，则下列结论：①△EBF≌△DFC；②四边形AEFD为平行四边形；③当AB＝AC，∠BAC＝120°时，四边形AEFD是正方形．其中正确的结论是________(请写出正确结论的序号).15．(2017·陕西中考)四边形ABCD中，AD＝AB，∠BAD＝∠BCD＝90°，连结AC.若AC＝6，则四边形ABCD 的面积为________.16．(2017·四川广安中考)如图，四边形ABCD是正方形，E，F分别是AB，AD上的一点，且BF⊥CE，垂足为点G.求证：AF＝BE.17．(2017·江苏常州中考)如图，已知在四边形ABCD中，点E在AD上，∠BCE＝∠ACD＝90°，∠BAC＝∠D，BC＝CE.(1)求证：AC＝CD；(2)若AC＝AE，求∠DEC的度数．18．(2017·湖北恩施州中考)如图，△ABC，△CDE均为等边三角形，连结BD，AE交于点O，BC与AE交于点P.求证：∠AOB＝60°.19．(2017·重庆中考)在△ABM中，∠ABM＝45°，A M⊥BM，垂足为M.点C是BM延长线上一点，连结AC.(1)如图1，若AB＝32，BC＝5，求AC的长．(2)如图2，点D是线段AM上一点，MD＝MC，点E是△ABC外一点，EC＝AC，连结ED并延长交BC于点F，且点F是线段BC的中点，求证：∠BDF＝∠CEF.参考答案【基础训练】 1．D 2.C 3.C 4.C5．4 6.1 7.(3，4)或(－2125，2825)或(9625，7225)8．(1)证明：∵AC＝AD ＋DC ，DF ＝DC ＋CF ，且AD ＝CF ， ∴AC＝DF.在△ABC 和△DEF 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝DE ，BC ＝EF ，AC ＝DF ，∴△ABC≌△DEF(SSS)．(2)解：由(1)可知，∠F＝∠ACB， ∵∠A＝55°，∠B＝88°，∴∠ACB＝180°－(∠A＋∠B)＝180°－(55°＋88°)＝37°， ∴∠F＝∠ACB＝37°. 9．证明：∵AB∥C D ，EC∥BF，∴四边形BFCE 是平行四边形，∠A＝∠D， ∴∠BEC＝∠BFC，BE ＝CF ， ∴∠AEG＝∠DFH. ∵AB＝CD ，∴AE＝DF. 在△AEG 和△DFH 中， ∵⎩⎪⎨⎪⎧∠A＝∠D，AE ＝DF ，∠AEG＝∠DFH， ∴△AEG≌△DFH(ASA)， ∴AG＝DH. 【拔高训练】10．C 11.A 12.A 13.C 14．①② 15.18∴AB＝BC ，∠A＝∠ABC＝90°， ∴∠AFB＋∠ABF ＝90°.∵BF⊥CE，∴∠BEC＋∠ABF＝90°， ∴∠AFB＝∠BEC(等角的余角相等)．在△AFB 和△BEC 中， ∵⎩⎪⎨⎪⎧∠A＝∠EBC，∠AFB＝∠BEC，AB ＝BC ， ∴△AFB≌△BEC(AAS)， ∴AF＝BE.17．(1)证明：∵∠BCE＝∠A CD ＝90°， ∴∠BCA＝∠ECD. 在△BCA 和△ECD 中， ∵⎩⎪⎨⎪⎧∠BCA＝∠ECD，∠BAC＝∠D，BC ＝EC ， ∴△BCA≌△ECD，∴AC＝CD. (2)解：∵AC＝AE ，∴∠AEC＝∠ACE. 又∵∠ACD＝90°，AC ＝CD ， ∴△ACD 是等腰直角三角形， ∴∠DAC＝45°，∴∠AEC＝12(180°－∠DAC)＝12(180°－45°)＝67.5°，∴∠DEC＝180°－∠AEC＝180°－67.5°＝112.5°. 18．证明：在△ACE 和△BCD 中， ∵⎩⎪⎨⎪⎧AC ＝BC ，∠ACE＝∠BCD，CE ＝CD ， ∴△ACE≌△BCD， ∴∠CAE＝∠CBD，∴∠AOB＝180°－∠BAO－∠ABO ＝180°－∠BAO－∠ABC－∠CBD＝180°－∠ABC－∠BAO－∠CAE＝180°－60°－60°＝60°.【培优训练】19．解：(1)∵AM⊥BM，∴∠AMB＝∠AMC＝90°.∵∠ABM＝45°，∴∠ABM＝∠BAM＝45°，∴AM＝BM.∵AB＝32，∴AM＝BM＝3.∵BC＝5，∴MC＝2，∴AC＝AM2＋CM2＝13.(2)证明：如图，延长EF到点G，使得FG＝EF，连结BG.∵DM＝MC，∠BMD＝∠A MC＝90°，BM＝AM，∴△BMD≌△AMC，故AC＝BD.又CE＝AC，因此BD＝CE.∵点F是线段BC的中点，∴BF＝FC，由BF＝FC，∠BFG＝∠EFC，FG＝FE，∴△BFG≌△CFE，故BG＝CE，∠G＝∠CEF，∴BD＝CE＝BG，∴∠BDG＝∠G，∴∠BDF＝∠CEF.中考数学知识点代数式一、重要概念分类：1.代数式与有理式的一个数或字母也是代数式。

浙江省2018年中考数学总复习第四章基本图形(一)第19讲特殊三角形第1课时等腰三角形讲解

第19讲特殊三角形第1课时等腰三角形1．等腰三角形2.等边三角形1．(2017·台州)如图，已知等腰三角形ABC ，AB ＝AC ，若以点B 为圆心，BC 长为半径画弧，交腰AC 于点E ，则下列结论一定正确的是( )A ．AE ＝ECB ．AE ＝BEC ．∠EBC ＝∠BACD ．∠EBC ＝∠ABE2．(2017·丽水)等腰三角形的一个内角为100°，则顶角的度数是____________________．3．(2015·义乌)由于木质衣架没有柔性，在挂置衣服的时候不太方便操作．小敏设计了一种衣架，在使用时能轻易收拢，然后套进衣服后松开即可．如图1，衣架杆OA ＝OB ＝18cm ，若衣架收拢时，∠AOB ＝60°，如图2，则此时A ，B 两点之间的距离是____________________cm .【问题】如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AE＝BE，D为EC中点．(1)你能从图中得到哪些信息？(2)求∠CAE的度数；(3)求证：△ADE是等边三角形．【归纳】通过开放式问题，归纳、疏理等腰三角形、等边三角形的有关知识．类型一等腰三角形的性质与判定例1如图，在△ABC中，∠B＝∠C，点D在BC上．(1)若顶角40°，则一个底角的度数为________；(2)若一个内角50°，则顶角的度数为________；(3)若一个外角为100°，则顶角的度数为________；(4)若AD⊥BC，AB＝6，CD＝4，则△ABC的周长是________．(5)若BD＝DC，∠B＝50°，则∠DAC＝________．(6)若△ABC的两条边长为7cm和14cm，则它的底边为________cm.【解后感悟】解答此类问题时要注意角的指代明确性：顶角还是底角、内角还是外角；对于(4)(5)没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况分类讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答．1．(1)(2016·泰安)如图，在△PAB中，PA＝PB，M，N，K分别是PA，PB，AB上的点，且AM＝BK，BN＝AK，若∠MKN＝44°，则∠P的度数为( )A．44°B．66°C．88°D．92°(2)(2017·绍兴模拟)如图，长方形ABCD中，M为CD中点，今以B、M为圆心，分别以BC长、MC长为半径画弧，两弧相交于P点．若∠PBC＝70°，则∠MPC的度数为( )A．20°B．35°C．40°D．55°(3)(2016·滨州)如图，△ABC中，D为AB上一点，E为BC上一点，且AC＝CD＝BD＝BE，∠A＝50°，则∠CDE的度数为( )A．50°B．51°C．51.5°D．52.5°(4)(2017·温州模拟)如图，等腰△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，点E是线段BC 延长线上一点，连结AE，点C在AE的垂直平分线上，若DE＝10cm，则AB＋BD＝cm.类型二等边三角形的性质与判定例2(1)等边△ABC中，AB＝4，则它的高为________，△ABC的面积为________；(2) 如图1，等边△ABC中，CD是∠ACB的平分线，过D作DE∥BC交AC于E，△ABC 的边长为a，则△ADE的周长是________；(3) 如图2，等边△ABC中，D是AC边上的中点，延长BC到点E，使CE＝CD，则∠E 的度数为________；(4) 如图3，等边△ABC中，点D为BC边上的点，DE⊥BC交AB于E，DF⊥AC于F，则∠EDF的度数为__________．【解后感悟】解题的关键是利用现有图形或画出图形，利用等边三角形的性质及勾股定理，揭示图形之间的数量关系来解决问题．2．(1)(2016·本溪模拟)如图，在正方形ABCD的外侧，作等边△ADE，则∠BED的度数是.(2)(2017·上海模拟)如图，以△ABC的三边为边分别作等边△ACD、△ABE、△BCF，则下列结论：①△EBF≌△DFC；②四边形AEFD为平行四边形；③当AB＝AC，∠BAC＝120°时，四边形AEFD是正方形．其中正确的结论是.(请写出正确结论的序号)．3．(2017·河北模拟)如图，在等边△ABC中，点D、E分别在边BC、AB上，且BD＝AE，AD与CE交于点F.(1)求证：AD＝CE；(2)求∠DFC的度数．类型三等腰三角形构造的分类讨论例3(2016·黄冈模拟)在平面直角坐标系xOy中，已知点P(2，2)，点Q在坐标轴上，△PQO是等腰三角形，则满足条件的点Q共有______个．【解后感悟】此题主要考查等腰三角形的性质和坐标与图形的性质，解答此题的关键是如何确定点Q(即分类讨论)，以及利用勾股定理求出OP的长．4．(1)(2017·西宁模拟)如图，等腰直角三角形BDC的顶点D在等边三角形ABC的内部，∠BDC＝90°，连结AD，过点D作一条直线将△ABD分割成两个等腰三角形，则分割出的这两个等腰三角形的顶角分别是____________________度．(2)(2016·丹东模拟)如图，边长为6的正方形ABCD内部有一点P，BP＝4，∠PBC＝60°，点Q为正方形边上一动点，且△PBQ是等腰三角形，则符合条件的Q点有个．类型四等腰三角形的探究问题例4(1)问题发现如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A、D、E在同一直线上，连结BE.填空：①∠AEB的度数为________；②线段AD、BE之间的数量关系是________．(2)拓展探究如图2，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，点A、D、E在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连结BE.请判断∠AEB的度数及线段CM、AE、BE之间的数量关系，并说明理由．(3)解决问题如图3，在正方形ABCD中，CD＝ 2.若点P满足PD＝1，且∠BPD＝90°，请直接写出点A到BP的距离．【解后感悟】本题主要考查了运用已有的知识和经验解决问题的能力，而通过添加适当的辅助线从而能用(2)中的结论解决问题是解决第(3)题的关键．它是中考的热点题型．5．(2016·江西模拟)有一三角形纸片ABC，∠A＝80°，点D是AC边上一点，沿BD方向剪开三角形纸片后，发现所得两纸片均为等腰三角形，则∠C的度数可以是.类型五等腰三角形的综合运用例5(2016·石家庄模拟)如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB＝110°，∠BOC＝α，将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，连结OD.(1)求证：△COD是等边三角形；(2)当α＝150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由；(3)探究：当α为多少度时，△AOD是等腰三角形？【解后感悟】本题以“空间与图形”中的核心知识(如等边三角形的性质、全等三角形的性质与证明、直角三角形的判定、多边形内角和等)为载体，内容由浅入深，层层递进，试题中几何演绎推理的难度适宜，蕴含着丰富的思想方法(如运动变化、数形结合、分类讨论、方程思想等)．6．(2016·河南)(1)发现如图1，点A为线段BC外一动点，且BC＝a，AB＝b.填空：当点A位于时，线段AC的长取得最大值，且最大值为.(用含a，b的式子表示)(2)应用点A为线段BC外一动点，且BC＝3，AB＝1.如图2所示，分别以AB，AC为边，作等边三角形ABD和等边三角形ACE，连结CD，BE.①请找出图中与BE相等的线段，并说明理由；②直接写出线段BE长的最大值．图1 图2(3)拓展如图3，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为(2，0)，点B 的坐标为(5，0)，点P 为线段AB 外一动点，且PA ＝2，PM ＝PB ，∠BPM ＝90°.请直接写出线段AM 长的最大值及此时点P 的坐标．【探索研究题】(2016·菏泽)如图，△ACB 和△DCE 均为等腰三角形，点A ，D ，E 在同一直线上，连结BE.(1)如图1，若∠CAB＝∠CBA＝∠CDE＝∠CED＝50°. ①求证：AD ＝BE ； ②求∠AEB 的度数．(2)如图2，若∠ACB＝∠DCE＝120°，CM 为△DCE 中DE 边上的高，BN 为△ABE 中AE 边上的高，试证明：AE ＝23CM ＋233BN.【方法与对策】(1)①通过角的计算找出∠ACD＝∠BCE，再结合△ACB和△DCE均为等腰三角形可得出“AC＝BC，DC＝EC”，利用全等三角形的判定(SAS)即可证出△ACD≌△BCE，由此即可得出结论AD＝BE；②结合①中的△ACD≌△BCE可得出∠ADC＝∠BEC，再通过角的计算即可算出∠AEB的度数；(2)根据等腰三角形的性质结合顶角的度数，即可得出底角的度数，利用(1)的结论，通过解直角三角形即可求出线段AD、DE的长度，二者相加即可证出结论．这类探究性问题，往往从特殊到一般，积累经验，利用前小题的结论或方法解决问题．这类问题是中考的热点题型．【忽视等腰三角形腰的高线不明确】(2015·西宁)等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角的度数为20°，则顶角的度数是.参考答案第19讲特殊三角形第1课时等腰三角形【考点概要】1．相等一相等等角中线高等边 2.三60°三相等60°【考题体验】1．C 2.100° 3.18【知识引擎】【解析】(1)从角、边、对称性、图形的形状角度去考虑，并注意之间的相关性． (2)根据等腰三角形两底角相等求出∠B＝30°，∠BAE ＝∠B＝30°，∴∠CAE ＝120°－30°＝90°； (3)根据直角三角形斜边上的中线性质得出AD ＝12EC ＝ED ＝DC ，得出∠DAC＝∠C＝30°，∴∠EAD ＝60°，∴△ADE 是等边三角形．【例题精析】例1 (1)70° (2)80°或50° (3)80°或20° (4)20 (5)40° (6)7例2 (1)23；43；(2)32a ；(3)30°；(4)60° 例3∵P(2，2)，∴OP ＝22＋22＝22，∴当点Q 在y 轴上时，Q 点的坐标分别为(0，22)，(0，－22)，(0，4)，(0，2)；当点Q 在x 轴上时，Q 点的坐标分别为(22，0)，(－22，0)，(4，0)，(2，0)．所以共有8个．故答案为：8.例4(1) ①60° ②AD＝BE ； (2)∠AEB＝90°；AE ＝2CM ＋BE.理由：∵△ACB 和△DCE 均为等腰直角三角形，∠ACB ＝∠DCE＝90°，∴AC ＝BC ，CD ＝CE ，∠ACB －∠DCB＝∠DCE－∠DCB，即∠ACD＝∠BCE，∴△ACD ≌△BCE ，∴AD ＝BE ，∠BEC ＝∠ADC＝135°.∴∠AEB ＝∠BEC－∠CED＝135°－45°＝90°.在等腰Rt △DCE 中，CM 为斜边DE 上的高，∴CM ＝DM ＝ME ，∴DE ＝2CM.∴AE＝DE ＋AD ＝2CM ＋BE. (3)3－12或3＋12.∵PD ＝1，∠BPD ＝90°，∴BP 是以点D 为圆心、以1为半径的⊙D 的切线，点P 为切点．第一种情况：如图1，过点A 作AP 的垂线，交BP 于点P′，可证△APD≌△AP′B，PD ＝P′B＝1，CD ＝2，∴BD ＝2，BP ＝3，∴AM ＝12PP ′＝12(PB －BP′)＝3－12.第二种情况如图2，可得AM ＝12PP ′＝12(PB ＋BP′)＝3＋12.例5(1)∵将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，∴CO＝CD，∠OCD＝60°，∴△COD是等边三角形．(2)当α＝150°时，△AOD是直角三角形．理由是：∵将△BOC 绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，∴△BOC≌△ADC，∴∠ADC＝∠BOC＝150°，又∵△COD是等边三角形，∴∠ODC＝60°，∴∠ADO＝∠ADC－∠ODC＝90°，∵∠α＝150°，∠AOB＝110°，∠COD＝60°，∴∠AOD＝360°－∠α－∠AOB－∠COD＝360°－150°－110°－60°＝40°，∴△AOD不是等腰直角三角形，即△AOD是直角三角形．(3)①要使AO＝AD，需∠AOD＝∠ADO，∵∠AOD＝360°－110°－60°－α＝190°－α，∠ADO＝α－60°，∴190°－α＝α－60°，∴α＝125°；②要使OA＝OD，需∠OAD＝∠ADO.∵∠OAD ＝180°－(∠AOD＋∠ADO)＝180°－(190°－α＋α－60°)＝50°，∴α－60°＝50°，∴α＝110°；③要使OD＝AD，需∠OAD＝∠AOD.∵∠AOD＝360°－110°－60°－α＝190°－α，∠OAD＝180°－（α－60°）2＝120°－α2，∴190°－α＝120°－α2，解得α＝140°.综上所述：当α的度数为125°或110°或140°时，△AOD是等腰三角形．【变式拓展】1．(1)D(2)B(3)D(4)10 2.(1)45°(2)①② 3.(1)略．(2)60°.4.(1)120和150 (2)55.25°或40°或10°6.(1)CB的延长线上a＋b (2)①DC＝BE，理由如下：∵△ABD和△ACE为等边三角形，∴AD＝AB，AC＝AE，∠BAD＝∠CAE＝60°，∴∠BAD＋∠BAC＝∠CAE＋∠BAC，即∠CAD＝∠EAB，∴△CAD≌△EAB.∴DC＝BE.②BE的最大值是4. (3)AM长的最大值是3＋22，点P的坐标为(2－2，2)．【热点题型】【分析与解】(1)①∵∠CAB＝∠CBA＝∠CDE＝∠CED＝50°，∴∠ACB＝∠DCE＝180°－2×50°＝80°.∵∠ACB＝∠ACD＋∠DCB，∠DCE＝∠DCB＋∠BCE，∴∠ACD＝∠BCE.∵△ACB 和△DCE均为等腰三角形，∴AC＝BC，DC＝EC.在△ACD和△BCE中，∵AC＝BC，∠ACD＝∠BCE，DC＝EC，∴△ACD≌△BCE(SAS)，∴AD＝BE. ②∵△ACD≌△BCE，∴∠ADC＝∠BEC.∵点A，D，E在同一直线上，且∠CDE＝50°，∴∠ADC＝180°－∠CDE＝130°，∴∠BEC＝130°.∵∠BEC ＝∠CED＋∠AEB，且∠CED＝50°，∴∠AEB ＝∠BEC－∠CED＝130°－50°＝80°.(2)∵△ACB 和△DCE 均为等腰三角形，且∠ACB＝∠DCE＝120°，∴∠CDM ＝∠CEM＝12×(180°－120°)＝30°.∵CM ⊥DE ，∴∠CMD ＝90°，DM ＝EM.在Rt △CMD 中，∠CMD ＝90°，∠CDM ＝30°，∴DE ＝2DM ＝2×CM tan ∠CDM＝23CM.∵∠BEC ＝∠ADC＝180°－30°＝150°，∠BEC ＝∠CEM＋∠AEB，∴∠AEB ＝∠BEC－∠CEM ＝150°－30°＝120°，∴∠BEN ＝180°－120°＝60°.在Rt △BNE 中，∠BNE ＝90°，∠BEN ＝60°，∴BE ＝BN sin ∠BEN ＝233BN.∵AD ＝BE ，AE ＝AD ＋DE ，∴AE ＝BE ＋DE ＝23CM ＋233BN. 【错误警示】当等腰三角形的顶角是钝角时，腰上的高在外部．即可求得顶角是90°＋20°＝110°；当等腰三角形的顶角是锐角时，腰上的高在其内部，故顶角是90°－20°＝70°.故答案为：110°或70°.本文档仅供文库使用。

浙江省2018年中考数学总复习第四章基本图形(一)课后练习18 三角形与全等三角形作业本

课后练习18 三角形与全等三角形A 组1．如图，已知△ABC 的六个元素，则下列甲、乙、丙三个三角形中和△ABC 全等的图形是( )第1题图A ．甲乙B ．甲丙C ．乙丙D ．乙2．若a 、b 、c 为△ABC 的三边长，且满足|a －4|＋b －2＝0，则c 的值可以为( )A ．5B ．6C ．7D ．83．(2017·丽水模拟)如图所示，一个60°角的三角形纸片，剪去这个60°角后，得到一个四边形，则∠1＋∠2的度数为( )A ．120°B ．180°C ．240°D ．300°第3题图第4题图 4．(2016·淮安)如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，以顶点A 为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC ，AB 于点M ，N ，再分别以点M ，N 为圆心，大于12MN 的长为半径画弧，两弧交于点P ，作射线AP 交边BC 于点D ，若CD ＝4，AB ＝15，则△ABD 的面积是( )A ．15B ．30C ．45D ．605．(2015·宜昌)如图，在方格纸中，以AB 为一边作△ABP ，使之与△ABC 全等，从P 1，P 2，P 3，P 4四个点中找出符合条件的点P ，则点P 有( )第5题图A．1个 B．2个 C．3个 D．4个6．(2015·达州)如图，△ABC中，BD平分∠ABC，BC的中垂线交BC于点E，交BD于点F，连结CF.若∠A＝60°，∠ABD＝24°，则∠ACF的度数为( )A．48° B．36° C．30° D．24°第6题图7．(2015·绍兴)如图，小敏做了一个角平分仪ABCD，其中AB＝AD，BC＝DC，将仪器上的点A与∠PRQ的顶点R重合，调整AB和AD，使它们分别落在角的两边上，过点A，C画一条射线AE，AE就是∠PRQ的平分线．此角平分仪的画图原理是：根据仪器结构，可得△ABC≌△ADC，这样就有∠QAE＝∠PAE.则说明这两个三角形全等的依据是( ) A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS第7题图8．在△ABC中，三个内角∠A、∠B、∠C满足∠B－∠A＝∠C－∠B，则∠B＝____________________度．9．(2016·温州)如图，E是▱ABCD的边CD的中点，延长AE交BC的延长线于点F.(1)求证：△ADE≌△FCE；(2)若∠BAF＝90°，BC＝5，EF＝3，求CD的长．第9题图B组10．如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，∠A＝25°，D是AB上一点．将Rt△ABC沿CD折叠，使B点落在AC边上的B′处，则∠ADB′等于( ）A．25° B．30° C．35 D．40°第10题图11．(2017·嘉兴模拟)如图，直角坐标平面上，△ABC与△DEF全等，其中A、B、C的对应顶点分别为D、E、F，且AB＝BC＝5.若A点的坐标为(－3，1)，B、C两点在方程式y ＝－3的图形上，D、E两点在y轴上，则F点到y轴的距离为( )A．2 B．3 C．4 D．5第11题图12．当三角形中一个内角α是另一个内角β的两倍时，我们称此三角形为“特征三角形”，其中α称为“特征角”．如果一个“特征三角形”的“特征角”为100°，那么这个“特征三角形”的最小内角的度数为.13．如图1，l1，l2，l3，l4是一组平行线，相邻2条平行线间的距离都是1个单位长度，正方形ABCD的4个顶点A，B，C，D都在这些平行线上．过点A作AF⊥l3于点F，交l2于点H，过点C作CE⊥l2于点E，交l3于点G.(1)求证：△ADF≌△CBE；(2)求正方形ABCD的面积；(3)如图2，如果四条平行线不等距，相邻的两条平行线间的距离依次为h1，h2，h3，试用h1，h2，h3表示正方形ABCD的面积S.第13题图C组14．(2016·苏州模拟)如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8.点P从A点出发沿A－C－B路径向终点运动，终点为B点；点Q从B点出发沿B－C－A路径向终点运动，终点为A点．点P和Q分别以每秒1个单位长度和每秒3个单位长度的运动速度同时开始运动，两点都要到相应的终点时才能停止运动，在某时刻，分别过P和Q作PE⊥l于E，QF⊥l于F.问：点P运动多少时间时，△PEC与QFC全等？请说明理由．第14题图参考答案课后练习18 三角形与全等三角形A 组1．C 2.A 3.C 4.B 5.C 6.A 7.D 8.609．(1)∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，AB ∥CD ，∴∠DAE ＝∠F ，∠D ＝∠ECF ，∵E 是▱ABCD 的边CD 的中点，∴DE ＝CE ，在△ADE 和△FCE 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠DAE ＝∠F ，∠D ＝∠ECF ，DE ＝CE ，∴△ADE ≌△FCE (AAS )； (2)∵△ADE ≌△FCE ，∴AE ＝EF ＝3，∵AB ∥CD ，∴∠AED ＝∠BAF ＝90°，在▱ABCD 中，AD ＝BC ＝5，∴DE ＝AD 2－AE 2＝52－32＝4，∴CD ＝2DE ＝8.B 组10．D 11.C 12.30°13．(1)证明：在Rt △AFD 和Rt △CEB 中，∵AD ＝BC ，AF ＝CE ，∴Rt △AFD ≌Rt △CEB ；(2)∵∠ABH ＋∠CBE ＝90°，∠ABH ＋∠BAH ＝90°，∴∠CBE ＝∠BAH ，又∵AB ＝BC ，∠AHB ＝∠CEB ＝90°，∴△ABH ≌△BCE ，同理可得，△ABH ≌△BCE ≌△CDG ≌△DAF ，∴S 正方形ABCD＝4S △ABH ＋S 正方形HEGF ＝4×12×2×1＋1×1＝5； (3)由(1)知，△AFD ≌△CEB ，故h 1＝h 3.由(2)知，△ABH ≌△BCE ≌△CDG ≌△DAF ，∴S 正方形ABCD ＝4S △ABH ＋S 正方形HEGF ＝4×12(h 1＋h 2)·h 1＋h 22＝2h21＋2h1h2＋h22.C组14．设运动时间为t秒时，△PEC与△QFC全等，∴斜边CP＝CQ，有四种情况：①P在AC上，Q在BC上，CP＝6－t，CQ＝8－3t，∴6－t＝8－3t，∴t＝1；②P、Q都在AC上，此时P、Q重合，∴CP＝6－t＝3t－8，∴t＝3.5；③P在BC上，Q在AC上(未到终点)，此时不存在；理由是：14÷3×1＜6，Q在AC上时(未到终点)，P应也在AC上；④当Q到A点(和A重合)，P在BC上时，∵CQ＝CP，CQ＝AC＝6，CP＝t－6，∴t－6＝6，∴t＝12.∵t＜14，∴t＝12符合题意．答：点P运动1或3.5或12秒时，△PEC与△QFC全等．第14题图。

中考数学第四单元三角形课时训练18等腰三角形练习新版浙教版

教学资料参考范本撰写人：__________________部门：__________________时间：__________________|夯实基础|1.[2017·台州]如图K18-1,已知等腰三角形ABC,若以点B为圆心,BC长为半径画弧,交腰AC于点E,则下列结论一定正确的是()图K18-1A.AE=ECB.AE=BEC.∠EBC=∠BACD.∠EBC=∠ABE2.[2017·包头]若等腰三角形的周长为10cm,其中一边长为2cm,则该等腰三角形的底边长为()A.2cmB.4cmC.6cmD.8cm3.如图K18-2,AD是△ABC中∠BAC的平分线,DE⊥AB于点E,S△ABC=7,DE=2,AB=4,则AC的长是()图K18-2A.3B.4C.6D.54.[2017·河池]如图K18-3,已知等边三角形ABC的边长为12,D是AB上的动点,过D作DE⊥AC于点E,过E作EF⊥BC于点F,过F作FG⊥AB 于点G.当G与D重合时,AD的长是()图K18-3A.3B.4C.8D.95.如图K18-4,P是∠AOB外的一点,点M,N分别是∠AOB两边上的点,点P关于OA的对称点Q恰好落在线段MN上,点P关于OB的对称点R落在MN的延长线上.若PM=2.5cm,PN=3cm,MN=4cm,则线段QR的长为()图K18-4A.4.5cmB.5.5cmC.6.5cmD.7cm6.[2017·丽水]等腰三角形的一个内角为100°,则顶角的度数是.7.如图K18-5,在Rt△ABC中,D,E为斜边AB上的两个点,且BD=BC,AE=AC,则∠DCE的大小为°.图K18-58.[2017·扬州]如图K18-6,把等边三角形ABC沿着DE折叠,使点A 恰好落在BC边上的点P处,且DP⊥BC,若BP=4cm,则EC=cm.图K18-69.[2018·南充]如图K18-7,在△ABC中,AF平分∠BAC,AC的垂直平分线交BC于点E,∠B=70°,∠FAE=19°,则∠C=度.图K18-710.[2017·淄博]在边长为4的等边三角形ABC中,D为BC边上的任意一点,过点D分别作DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E,F,则DE+DF=.11.如图K18-8,点B,D在射线AM上,点C,E在射线AN上,且AB=BC=CD=DE,已知∠EDM=84°,求∠A的度数.图K18-812.如图K18-9,在△ABC中,CD⊥AB于点D,BE⊥AC于点E,BE与CD 相交于点O,且OB=OC.(1)求证:△ABC为等腰三角形;(2)试猜想:直线OA与线段BC的位置关系,并加以证明.图K18-9。

(浙江专用)中考数学总复习第四章图形的认识4.3等腰三角形与直角三角形(试卷部分)课件

的等腰三角形BDE,则∠EBC的度数为
.
答案 45°或105°
解析根据题意,知点E所在位置有2种可能,如图.
∵四边形ABCD是菱形,且∠A=30°, ∴∠ABC=150°,BD平分∠ABC, ∴∠CBD=75°, 又∵以DB为底边的等腰三角形DBE的顶角∠DEB=120°, ∴∠EDB=∠EBD=30°,∴∠EBC=75°-30°=45°或∠EBC=30°+75°=105°. 解题关键解题的关键是画出草图,并对点E所处位置进行分类讨论. 评析本题考查菱形和等腰三角形的性质,以及分类讨论思想.
7.(2015嘉兴、舟山,14,4分)已知一张三角形纸片ABC,AB=AC=5.如图,折叠该纸片,使点A落在
BC的中点上,折痕交AC、AB分别于点E、F,则AE的长为
.
答案 2.5
解析连接AA',设AA'与EF交于点O.折叠问题就是轴对称问题,所以EF所在直线是AA'的中垂线,又由等腰三角形的性质可知AA'⊥BC,所以EF∥BC,又AO=A'O,所以EF是△ABC的中位线.
中考数学 (浙江专用)
第四章图形的认识
§4.3 等腰三角形与直角三角形
五年中考 A组 2014-2018年浙江中考题组
考点一等腰三角形
1.(2017湖州,6,4分)如图,已知在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=BC,AB=6,点P是Rt△ABC的重心,则点 P到AB所在直线的距离等于 ( )
a2 b2
解方程x2+2ax-b2=0,得x= 2a=± 4-a2, 4b2
a2 b2
2
∴线段AD的长是方程x2+2ax-b2=0的一个根.
②∵AD=AE,AD=EC,

初三数学部2018审浙教版等腰三角形的有关概念中考真题

初三数学部审浙教版等腰三角形的有关概念中考真题
1、下列角的平分线中，互相垂直的是（）A．平行线的同旁内角的平分线B．平行线答案A 解析
2、若点P在第二象限，则点Q在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限答案D 解析
3、我国现有人口约1 300 000 000人，用科学记数法表示为（答案C 解析
4、不等式组的解集在数轴上可表示为（;）答案D 解析
5、若互为相反数，那么（）A．B．C．D．答案D 解析
6、如图，图形旋转一定角度后能与自身重合,则旋转的角度可能是( 答案C 解析
7、下列计算正确的是( )A．B．C．D．答案C 解析
8、下列展开图中，不能围成几何体的是（; 答案B 解析
9、若a、b为实数，且满足|a－2|＋＝0，则b－a的值为( 答案C 解析
10、下列各数中，相反数等于5的数是（;）．A．－5B．5 答案A 解析
11、如图，在△ABC中，DE∥BC交AB、AC于点D、E，AD=1，BD=2，那么，△与△面积的比为（答案D 解析
七年级数学华东师大版二元一次方程组及解法
.下列运算正确的是（）A．B．C 答案B 解析12、若直角三角形的三边长分别为2、4、x，则x的可能值有（答案B 解析
已知点P位于轴右侧，距轴3个单位长度，位于轴上方，距离轴4个单位长度，则点P坐标是（答案B 解析。

(浙江专用)中考数学总复习第四章图形的认识4.6解直角三角形(试卷部分)课件

水平直线上,则这条江的宽度AB为
米(结果保留根号).
答案 1 200 3 -1 200 解析 ∵AB∥CD,∴∠DCA=∠CAH=45°,∠DCB=∠CBH=30°,
∴AH= CH = 1 200 =1 200(米),
tan CAH 1
BH= CH =1 200 tan CBH 3
=1 200 3 (米),
在Rt△ABH中,∵∠BAH=60°,∴tan 60°= BH ,
10
∴BH=10 3 m, ∴BC=BH+CH=(10 3 +1)m.
5.(2015宁波,16,4分)如图,在数学活动课中,小敏为了测量校园内旗杆AB的高度,站在教学楼的
C处测得旗杆底端B的俯角为45°,测得旗杆顶端A的仰角为30°,若旗杆与教学楼的距离为9 m,
3
∴AB=BH-AH=(1 200 3 -1 200)米.
4.(2016宁波,16,4分)如图,在一次数学课外实践活动中,小聪在距离旗杆10 m的A处测得旗杆顶
端B的仰角为60°,测角仪高AD为1 m,则旗杆高BC为
m(结果保留根号).
答案 10 3 +1
解析如图,易知四边形ADCH为矩形, ∴CH=AD=1 m,AH=CD=10 m,
BC
在Rt△ABC中,cos α= BC ,B正确;
AB
易知∠ACD=∠α,在Rt△ACD中,cos∠ACD= CD ,
AC
∴cos α= CD ,D正确.故选C.
AC
关键提示 ∠ACD=∠α.
考点二解直角三角形
1.(2017绍兴,6,4分)如图,小巷左右两侧是竖直的墙,一架梯子斜靠在左墙时,梯子底端到左墙角的距离为0.7米,顶端距离地面2.4米,如果保持梯子底端位置不动,将梯子斜靠在右墙时,顶端距离地面2米.则小巷的宽度为 ( )

浙江省中考数学第四单元三角形课时训练18等腰三角形练习新版浙教版

课时训练（十八）等腰三角形|夯实基础|如图K18-1,已知等腰三角形 ABC 若以点B 为圆心，BC 长为半径画弧，交腰AC 于点E 则下列结论定正确的是（）AAE=ECC / EBC M BACD. / EBC h ABE2. [2017 •包头]若等腰三角形的周长为 10 cm,其中一边长为2 cm,则该等腰三角形的底边长为（）A 2 cmB . 4 cmC 6 cm3.如图 K18-2, AD 是△ ABC 中 M BAC 的平分线，DEI AB 于点 E &ABC =7, DE=, AB=4,则 AC 的长是（）1. [2017 •台州]B AE=BED. 8 cm图 K18-1图K18-2B.44. [2017 •河池]如图K18-3,已知等边三角形ABO的边长为12, D是AB上的动点，过D作DEL AC于点E过E作EF丄BC于点F,过F作FGL AB于点G•当G与D重合时，AD的长是（）图K18-3A3 B. 4 C 8 D. 95. 如图K18-4, P是/ AOB外的一点，点MN分别是/ AOB两边上的点，点P关于0A的对称点Q恰好落在线段MN上,点P关于OB的对称点R落在MN的延长线上.若PM=. 5 cm, PN=3 cm, MN= cm,则线段QR勺长为（）图K18-4A 4. 5 cmB 5. 5 cmC. 6. 5 cm D 7 cm6. [2017 •丽水]等腰三角形的一个内角为100° ,则顶角的度数是__________7.如图K18-5,在Rt △ ABC中, D E为斜边AB上的两个点，且BD=BCAE=AC则/ DCE勺大小为 ______图K18-58. [2017 •扬州]如图K18-6,把等边三角形 ABC 沿着DE 折叠，使点A 恰好落在BC 边上的点P 处，且DPL BC ,若BP=4 cm,贝U EC=cm9. [2018 •南充]如图K18-7,在厶ABC 中 , AF 平分/ BACAC 的垂直平分线交 BC 于点E / B=70° , / FAE=9° ,则Z C= ______ 度.图 K18-710. [2017 •淄博]在边长为4的等边三角形 ABC 中 , D 为BC 边上的任意一点，过点D 分别作DEL AB DFL AC 垂足分别为 E F ,则 DE+DF=.11.如图K18- 8,点B, D 在射线 AM 上，点C, E 在射线 AN 上,且AB=BC=CD=,D E 知Z EDM 84° ,求Z A 的度数.图 K18-6B F E12.如图心8-9,在厶ABC中, CDL AB于点D,BE! AC于点E, BE与CD相交于点Q且OB=OC.(1)求证：△ ABC为等腰三角形；⑵试猜想：直线QA与线段BC的位置关系，并加以证明图K18-9|拓展提升I13. 在凸四边形 ABCD 中,AB=AD=BG BAD=O°, AC 把四边形 ABCD 分成两个等腰三角形为 ________ .14. [2018 •绍兴]数学课上，张老师举了下面的例题：例1等腰三角形 ABC 中, / A=110° ,求/ B 的度数.(答案：35 ° )例2等腰三角形 ABC 中, / A=40° ,求/ B 的度数.(答案：40。

2018中考数学图形的相似与解直角三角形总复习阶段试卷浙江省含答案

阶段检测 9 图形的相像与解直角三角形一、选择题 ( 本大题有 10小题，每题 4 分，共 40分．请选出各小题中独一的正确选项，不选、多项选择、错选，均不得分) 1．在Rt△ABC中，∠C＝90°， AB＝ 5 ， BC＝ 3 ，则 tanA 的值是 () A.34 B.43 C.35 D.45 2．如图，点 F 在平行四边形ABCD的边 AB上，射线 CF交 DA 的延伸线于点 E ，在不增添协助线的状况下，与△AEF相像的三角形有() A ． 0 个B．1个C．2个D．3个第2题图第3题图第 4 题图 3 ．如图，△ABC中，AD是中线， BC＝ 8 ，∠B＝∠DAC，则线段 AC的长为()A ． 4B ．42C． 6D ．434．如图，为了预计河的宽度，在河的对岸选定一个目标点 P ，在近岸取点Q和 S ，使点 P ， Q，S 在一条直线上，且直线PS与河垂直，在过点S 且与 PS垂直的直线 a 上选择适合的点 T ， PT与过点 Q且与 PS垂直的直线 b 的交点为 R. 假如QS＝ 60m， ST＝ 120m， QR＝ 80m，则河的宽度20 ×20D ． 180m 5．如图， D 、E 分别是△ABC的边AB、 BC上的点，且DE∥AC， AE、 CD订交于点O ，若 S△DOE∶S△COA＝ 1∶25 ，则 S△BDE与S△CDE的比是() A ． 1∶3 B ． 1∶4C．1∶5D．1∶25 第 5题图第 6题图第 7 题图6 ．如图，在 Rt△ABC中，∠C＝90°， CD是斜边 AB上的高，以下线段的比值不等于 cosA的值的是() A.ADAC B.ACABC.BDBCD.CDBC 7．一个公共房门前的台阶超出地面 1.2 米，台阶拆掉后，换成供轮椅行走的斜坡，数据如下图，则以下关系或说法正确的是 () A ．斜坡 AB的坡度是 10°B ．斜坡 AB的坡度是tan10 °C ． AC＝1.2tan10 °米 D ． AB＝ 1.2cos10 °米 8 ．如图，厂房子顶人字形( 等腰三角形) 钢架的跨度 BC＝ 10米，∠B＝36°，则中柱AD(D为底边中点 ) 的长是 () A ． 5sin36 °米B ． 5cos36°米C ． 5tan36 °米D ． 10tan36 °米第8题图9．下表是小明填写实习报告的部分内容：已知：sin47 °≈ 0.7313 ， cos47°≈ 0.6820，tan47 °≈ 1.0724 ， 1tan47 °≈ 0.9325 ，依据以上的条件，计算出铁塔顶端到山底的高度()题目在山脚下丈量铁塔顶端到山底的高度丈量目标图示CD ＝ 5m ∠ α＝45°，∠β＝ 47° A.64.87m B ．74.07m C ． 84.08m D． 88.78m 10 ．当“神舟”飞船完成变轨后，就在离地球表面400km的圆形轨道上运行，如图，当飞船运转到地球表面上P点的正上方的A处时，从飞船上能直接看到的地球上最远的点与P点相距(地球半径约为 6400km ，π≈3， sin20 °≈ 0.34 ， cos20 °≈ 0.94， tan20 °≈ 0.36，结果保存整数)()第 10题图 A ． 2133kmB．2217km C 题有6小题图，每个小在方格纸的． 2298km D ． 7467km 二、填空题( 本大，每题5分，共30分) 11．如正方形的边长为 1，△ABC的极点都格点上，则sinA＝.第11题图第12题图第 13题图12．如图，在一笔直的海岸线l上有A、B两个观测站，AB ＝ 2km ，从A测得船C在北偏东60°的方向，从B测得船30°的方向，则船C离海岸线l C在北偏东的距离(即CD的长)为km. 13．如图，小阳发现电线杆AB的影子落在土坡的坡面CD和地面BC上，量得CD＝8米，BC＝20米，CD与地面成30°角，且此时测得1米杆的影长为2米，则电线杆的高度为米．14．如图，AB是半圆O的直径，C是半圆O上一点，弦 AD均分∠BAC，交 BC于点E，若AB＝6， AD＝5 ，则 DE 的长为 ____________________ ．第14题图第 15题图第16题图15．如图，已知△ABC 、△DCE 、△FEG 、△HGI是 4个全等的等腰三角形，底边BC、CE、EG、GI在同向来线上，且AB＝2，BC＝1，连接AI，交FG于点Q，则QI＝.16．如图，平面直角坐标系中，已知点A(4，0) 和点 B(0的中点，点P在折线AOB上，直得的三角形与△AOB 相似，那么，3)，点C是AB线 CP截△AOB，所点P 的坐标是.三、解答题(本大题有8 小题，第17～20题每题8分，第21题10分，第 22、23题每题12分，第24题14分，共80分) 17．数学拓展课程《玩转学具》课堂中，小陆同学发现：一副三角板中，含45°的三角板的斜边与含30°的三角板的长直角边相等，于是，小陆同学提出一个问题：如图，将一副三角板直角极点重合拼放在一同，点B， C， E 在同向来线上，若BC＝2，求AF的长．请你运用所学的数学知识解决这个问题．18．某兴趣小组借助无人飞机航拍校园．如图，无人飞机从A处水平飞翔至B 处需 8秒，在地面C处同一方向上分别测得A 处的仰角为75°，B处的仰角为30°.已知无人飞机的飞翔速度为4米/ 秒，求这架无人飞机的飞翔高度．(结果保存根号)19．小宇想丈量位于池塘两头的A、 B两点的距离．他沿着与直线AB平行的道路EF行走，当行走到点C处，测得∠ACF ＝45°，再向前行走100米到点D处，测得∠BDF ＝60°.若直线 AB与 EF之间的距离为60米，求A、B两点的距离．20．如图，在△ABC中，∠C＝150°， AC ＝ 4 ，tanB＝ 18. (1)求BC的长；(2)利用此图形求 tan15 °的值(精确到0.1，参照数据：2≈1.4，3≈1.7，5≈2.2)21．如图，在平面直角坐标系 xOy 中，直线y ＝－ x＋ 3 与x 轴交于点 C，与直线AD交于点A43，53，点D的坐标为(0，1)．第21题图(1)求直线AD的分析式；(2)直线AD与x轴交于点 B，若点E是直线AD上一动点(不与点 B 重合)，当△BOD与△BCE相像时，求点E的坐标．22．已知 Rt△ABC中，∠B＝90°， AC＝20， AB＝10，P是边AC上一点(不包含端点A、C)，过点 P作PE⊥BC于点 E，过点E作 EF∥AC，交 AB于点F.设PC ＝ x， PE ＝ y. 第22题图(1)求y与x 的函数关系式；(2)能否存在点P 使△PEF 是Rt△？若存在，求此时的 x的值；若不存在，请说明原因．23．如图 1，已知 Rt△ABC中，∠C＝90°，AC ＝ 8cm ， BC ＝6cm.点 P 由 B出发沿BA方向向点A匀速运动，同时点Q 由 A出发沿AC方向向点C匀速运动，它们的速度均为 2cm/s.以 AQ、 PQ为边作平行四边形AQPD ，连结DQ ，交AB 于点 E.设运动的时间为t(单位：s)(0 ≤t ≤4)．解答下列问题：第23题图(1)用含有t的代数式表示AE ＝；(2)当t为何值时，平行四边形AQPD 为矩形；(3)如图2，当t为何值时，平行四边形AQPD 为菱形．24．如图，在 Rt△ABC中∠BAC ＝60°，动点M 每秒 2cm的速度向点A 点 C出发，在CB边上速运动，设运动时间第 24题图(1)若 BM＝△MBN 与△ABC相像，求时，四边形 ACNM的面阶段检测9图形的，∠ACB ＝90°， AC ＝ 5cm ，从点 B出发，在BA边上以匀速运动，同时动点N从以每秒 3cm 的速度向点 B 匀为 t秒 (0 ≤t ≤5)，连结MN. BN ，求t的值；(2)若t 的值；(3)当 t为何值积最小？并求出最小值．相似与解直角三角形一、 1―5.ACBCB6―10.CBCBA二、 11.5512.313.(14＋ 23)14.11515.4316.0，32，(2， 0)，78 ，0 三、17.在 Rt△ABC中， BC＝2，∠A＝30°，AC ＝BCtanA ＝23，则EF＝AC ＝23，∵∠E ＝45°，∴FC ＝ EF?sinE ＝ 6 ，∴AF＝ AC－FC ＝ 23 － 6.18．如图，作 AD⊥BC，BH⊥水平线，75°，∠BCH ＝30°， AB∥CH ，＝ 45°，∵AB＝ 32m，∴AD＝BD ＝ AB?cos30°＝163m，∴BC＝163m ，则 BH ＝ BC?sin30°＝ (8＋作 AM⊥EF于点 M ，作 BN⊥EF于点由题意可得，AM＝BN＝60米＝45°，∠BDF ＝60°，∴CM 米，DN＝BNtan60°＝ 603＝203米CM＝ 100＋203－ 60＝ (40＋203)的距离是(40＋ 203)米．第作AD⊥BC，交BC的延伸线于点在 Rt△ADC中， AC ＝4，∵∠C ＝30°，∴AD＝ 12AC＝2， CD由题意得：∠ACH ＝∴∠ ABC＝ 30°，∠ACB CD ＝ AB?sin30°＝16m ，CD＋ BD＝ 16＋83)m.第18题图19. N ，如右图所示，，CD ＝ 100 米，∠ACF＝AMtan45°＝ 601 ＝ 60，∴AB＝CD ＋DN －米，即A、 B两点19题图20． (1)过A D，如图 1 所示：150°，∴∠ ACD＝＝ AC?cos30°＝4×32＝23，在Rt△ABD中，tanB＝ADBD ＝ 2BD ＝18 ，∴BD＝16，∴BC＝BD－CD＝16－23；第20题图(2)在BC边上取一点M，使得CM＝AC，连结AM，如图2所示：∵∠ACB＝150°，∴∠AMC＝∠MAC＝15°，tan15° ＝tan ∠AMD ＝ADMD ＝24＋23 ＝12＋3＝2－3≈0.3. 21．(1)设直线AD 的解析式为y＝kx＋b，将 A43，53 ， D(0，1)代入得： 43k＋b＝53 ， b＝1，解得： k＝ 12， b＝ 1.故直线AD的分析式为：y ＝ 12x＋1；第21题图(2) ∵直线AD与x轴的交点为(－ 2， 0)，∴OB＝2，∵点D的坐标为(0， 1)，∴OD＝ 1 ，∵y＝－x＋3与x轴交于点C(3，0)，∴OC＝3，∴BC＝5，∵△ BOD与△BCE相像，∴BDBC ＝BOBE ＝ODCE 或OBBC ＝ ODCE′，∴55＝ 2BE＝ 1CE或25＝1CE′，∴BE＝25 ，CE＝5，或CE′＝52，∴E(2，2)或3， 52. 22．(1)在 Rt△ABC中，∠B＝90°， AC＝20，AB＝10，∴sinC＝12，∵PE⊥BC于点E，∴sinC＝PEPC＝12，∵PC＝x，PE ＝y，∴y＝ 12x(0＜x＜ 20)；(2)存在点P使△PEF是Rt△，①如图 1 ，当∠FPE＝90°时，四边形PEBF是矩形，BF ＝PE＝12x，四边形APEF 是平行四边形，PE＝AF ＝ 12x，∵BF＋AF＝AB ＝10，∴x ＝ 10；②如图 2 ，当∠PFE＝90°时，Rt△APF∽Rt△ABC，AFAC＝APAB，AF ＝40－2x，平行四边形AFEP中， AF＝PE，即：40－2x＝ 12x，解得x＝16；③当∠PEF＝90°时，此时不存在符合条件的Rt△PEF.综上所述，当x＝10或x＝16时，存在点P使△PEF是 Rt△.第22题图23． (1)(5－t)cm∵Rt△ABC 中，∠C＝90°， AC＝8cm， BC ＝ 6cm.∴由勾股定理得： AB＝10cm，∵ 点P由 B出发沿BA方向向点A匀速运动，速度为2cm/s，∴BP＝2tcm，∴AP＝AB－ BP＝(10－2t)cm，∵四边形AQPD 为平行四边形，∴AE＝12AP＝(5－t)cm；(2)当?AQPD是矩形时，PQ⊥AC ，∴PQ∥BC，∴△ APQ∽△ ABC ，∴QAAP＝ACAB ，即2t10－2t＝ 810，解之得：t＝209. ∴当t＝209时，?AQPD是矩形；(3)当?AQPD 是菱形时，DQ⊥AP ，则cos∠BAC＝AEAQ ＝ACAB，即5－ t2t＝45，解之得：t＝ 2513. ∴当t＝2513时，?AQPD 是菱形．24. (1)∵在 Rt△ABC中，∠ACB ＝90°， AC ＝5，∠BAC ＝60°，∴∠B ＝30°，∴AB＝2AC ＝10，BC＝ 53.由题意知： BM＝2t，CN ＝3t，∴BN ＝53－3t，∵BM＝ BN，∴2t＝53－3t，解得：t＝ 532＋3＝ 103－ 15.(2)分两种情况：①当△MBN∽△ ABC 时，则MBAB ＝BNBC ，即2t10＝53－3t53，解得：t＝52. ②当△NBM∽△ ABC 时，则NBAB 20 ×20＝BMBC ，即53－3t10＝2t53，解得：t＝157.综上所述：当t＝52或t＝157时，△MBN与△ABC相似．(3)过M作MD⊥BC于点D，则MD∥AC，∴△ BMD∽△ BAC ，∴MDAC＝BMAB ，即MD5＝2t10，解得：MD ＝t.设四边形ACNM 的面积为y，∴y ＝12×5×53－12(53－3t)?t＝32t2－532t＋2532＝32t－522＋7583. ∴根据二次函数的性质可知，当t＝52时，y 的值最小．此时，y最小＝7583.20 ×20。

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等腰三角形与直角三角形
随堂演练
1．(2017·滨州)如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，D 为BC 上一点，且DA ＝DC ，BD ＝BA ，则∠B 的大小为( )
A ．40°
B ．36°
C ．30°
D ．25°
2．如图，在△ABC 中，∠C＝90°，∠B＝30°，AD 是△ABC 的角平分线，DE⊥AB，垂足为E ，DE ＝1，则BC ＝( )
A. 3 B ．2 C ．3 D.3＋2
3．(2016·德州)如图，在△ABC 中，∠B＝55°，∠C＝30°，分别以点A 和点C 为圆心，大于12
AC 的长为半径画弧，两弧相交于点M ，N ，作直线MN ，交BC 于点D ，连接AD ，则∠BAD 的度数为( )
A ．65°
B ．60°
C ．55°
D ．45°
4．(2017·聊城)如图是由8个全等的矩形组成的大正方形，线段AB 的端点都在小矩形的顶点上．如果点P 是某个小矩形的顶点，连接PA ，P B ，那么使△ABP 为等腰直角三角形的点P 的个数是( )
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
5．(2016·东营)在△ABC 中，AB ＝10，AC ＝210，BC 边上的高AD ＝6，则另一边BC 等于( )
A ．10
B ．8
C ．6或10
D ．8或10
6．如图，△ABC 中，CD⊥AB 于点D ，E 是AC 的中点．若AD ＝6，DE ＝5，则CD 的长等于______．
7．(2017·淄博)在边长为4的等边三角形ABC 中，D 为BC 边上的任意一点，过点D 分别作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E ，F ，则D E ＋DF ＝_____．
8．将n ＋1个腰长为1的等腰直角三角形按如图所示放在同一直线上，设△B 2D 1C 1的面积为S 1，△B 3D 2C 2的面积为S 2，…，△B n ＋1D n C n 的面积为S n ，则S n ＝_____．
参考答案1．B 2.C 3.A 4.B 5.C
6．8 7.2 3 8.
n
2n＋2。