2015-2016学年河北省廊坊市高二上期末文科数学试卷(带解析)
2015—2016学年第二学期高二数学(文科)试卷
2015—2016学年第二学期期中试卷高二数学（文科）注意事项：⑴答题前考生务必将自己的姓名和学号写在答题卡和答题页规定的位置上。
⑵答选择题时，必须使用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
第Ⅰ卷一、 选择题（本小题共12小题,每小题5分，在每小题给出的四个 选项中，只有一个选项是符合题目要求的）1． 计算（5-5i ）+（-2-i ）-（3+4i ）=（ ）A -2iB -2C 10D -10i2． 在复平面内，复数2(1)对应的点位于（ ）A 第一象限B 第二象限C 第三象限D 第四象限 3． 在一次实验中，测得(),x y的四组值分别是()1,2A ，()2,3B ，()3,4C ，()4,5D ，则y 与x 之间的回归直线方程为（ ）A y=2x+1B y=x+2C y=x+1D y=x-14．下面对相关系数r 描述正确的是（ ）A r ＞0表明两个变量负相关B r ＞1表明两个变量正相关C ︱r ︱越接近于0，两个变量相关关系越弱D r 只能大于零5. 有一段演绎推理：“直线平行于平面,则这条直线平行于平面内所有直线；已知直线b ⊄平面α，直线⊂a 平面α，直线b ∥平面α，则直线b ∥直线a ”的结论是错误的，这是因为( )A 推理形式错误B 大前提错误C 小前提错误D 非以上错误 6．用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60°时，反设正确的是（ ）A 假设三内角都大于60°B 假设三内角至多有两个大于60°C 假设三内角至多有一个大于 60°D 假设三内角都不大于 60° 7． 设点P 对应的复数为-3+3i ，以原点为极点,实轴正半轴为极轴建立极坐标系，则点P 的极坐标为（ ）A (3，π45)B (23-，π45)C (23，π43)D (-3，π43)8. 曲线的极坐标方程为θρsin 4=化成直角坐标方程为( )A 4)2(22=-+y xB 4)2(22=++y xC 4)2(22=+-y xD 4)2(22=++y x 9．如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是（ ）A. 16B.2524C. 34D.111210. 根据下列算法语句, 当输入x 为60时, 输出y 的值为 ( ) A 31 B 30 C 25 D 6111. 已知点P 的极坐标是（1，π），则过点P 且垂直极轴的直线方程是（ ） A 1=ρB θρcos =C θρcos 1= D θρcos 1-=12． 对于任意的两个实数对（a , b ）和(c, d),规定（a , b ）＝(c, d)当且仅当a ＝c,b ＝d; 运算“⊗”为：),(),(),(ad bc bd ac d c b a +-=⊗，运算“⊕”为：),(),(),(d b c a d c b a ++=⊕，设R q p ∈,，若)0,5(),()2,1(=⊗q p则=⊕),()2,1(q p ( )A )2,0(B )0,4(C )0,2(D )4,0(-输入xIf x ≤50 Theny = 0.5 * x Else y = 25 + 0.6*(x -50) End If 输出y第二部分（非选择题、共90分）二、填空题（共4小题、每题5分）13．复数1,1z i=+ 则z =___________. 14. 在同一平面直角坐标系中，直线21x y -=变成直线42='-'y x 的伸缩变换是____________________；15. 已知直线l 的极坐标方程为sin()4πρθ-=，点A 的极坐标为74A π⎛⎫⎪⎝⎭，则点A 到直线l 的距离为 16．观察下列等式：1－1122= 1－1111123434+-=+1－1111111123456456+-+-=++…………据此规律，第n 个等式可为_____________________ _____ _.三、解答题（共6小题，总分70分，解答写出文字说明、演算步骤或证明过程）17.（本小题10分）:0,a >>已知 18．（本小题12分）实数m 取什么值时，复数z=(m 2+m-12)+(m 2-3m)i 是（1）虚数？（2）实数？（3）纯虚数？ 19．（本小题12分）已知数列{n a }的前n 项和为S n ，31=a ,满足)N (261*+∈-=n a S n n ， （1）求432,,a a a 的值；（2）猜想n a 的表达式。
河北省廊坊市2015-2016学年高一下学期期末考试数学试题(PDF版)答案
廊坊市2015－2016学年度第二学期期末考试高一数学试题参考答案评分说明:1.本解答给出了一种或几种解法供参考，如考生的解法与本解法不同，可根据试题的主要考查内容比照本评分细则，制订相应的评分标准。
2.对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后级部分的解答有较严重的错误，就不再给分。
3. 解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。
4.只给整数分数。
选择题不给中间分。
一、选择题：（每小题4分，共48分）1.B2.A3.C4.D5.C6.C7.A8.D9.B 10.B 11.A 12.D二、填空题：（每小题4分，共16分）13. {}21<<-x x 14. 19 15. 16 16. 34,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 三、解答题：（17、18题每小题8分，19、20、21、22题每小题10分，共56分）17. 解：（1）已知圆C ：22(1)9x y +-=的圆心为(0,1)C ， 直线过点P C 、，∴直线l的斜率为3， ┄┄┄┄┄┄2分直线l的方程为1,03y x x =+-=即． ┄┄┄┄┄┄4分（2）当直线l 的倾斜角为60︒直线l的方程为210y x y -=--=. ┄┄┄┄┄┄6分圆心(0,1)C 到直线l 的距离为1,圆的半径为3，∴弦AB的长为 ┄┄┄┄┄┄8分18.（1）证明：由正弦定理得sin (1cos )sin (1cos )3sin A B B A C +++=sin sin cos sin sin cos 3sin A A B B B A C ∴+++=sin sin sin()3sin A B A B C ∴+++= ┄┄┄┄┄┄2分sin sin sin 3sin ,sin sin 2sin A B C C A B C ∴++=+=即 ┄┄┄┄┄┄3分由正弦定理知2a+b =c ,所以,,a c b 成等差数列． ┄┄┄┄┄┄4分（2）解：由3C π=，2a b c +=及余弦定理得222()1222a b a b ab ++-=， ┄┄┄┄┄┄6分整理得2()0a b -=，即1a b=． ┄┄┄┄┄┄8分(本道题的第一问也可以用余弦定理证明，请阅卷老师酌情给分。
易错汇总2015-2016年河北省保定市高二上学期期末数学试卷(文科)与解析
的横线上）
13．（ 5 分）某班有学生 60 人，现将所有学生按 1，2，3，…，60 随机编号．若
采用系统抽样的方法抽取一个容量为 5 的样本（等距抽样） ，已知编号为 4，a，
28，b，52 号学生在样本中，则 a+b=
．
14．（5 分）已知下表所示数据的回归直线方程为 =﹣1.3x+a，则实数 a=
时，实数 b 的最大值．
22．（ 12 分）已知椭圆 C 的中心在原点，焦点在 x 轴上，离心率等于 ，它的一
个顶点恰好是抛物线 x2=8 y 的焦点． （ 1）求椭圆 C 的标准方程； （ 2）直线 x=﹣2 与椭圆交于 P，Q 两点， A，B 是椭圆上位于直线 x=﹣ 2 两侧的 动点，若直线 AB 的斜率为 ，求四边形 APBQ面积的最大值．
．
三、解答题：（本大题共 6 小题，满分 70 分 .解答应写出文字说明、证明过程或 演算步骤） 17．（10 分）设 p：函数 f（x）=lg（x2﹣4x+a2）的定义域为 R；q：a2﹣5a﹣ 6≥ 0．如 果 “ｐ∨q”为真，且 “ｐ∧q”为假，求实数 a 的取值范围． 18．（ 12 分）已知⊙ O：x2+y2=4 和⊙ C：x2+y2﹣12x+27=0． （ 1）判断⊙ O 和⊙ C 的位置关系； （ 2）过⊙ C 的圆心 C 作⊙ O 的切线 l，求切线 l 的方程． 19．（ 12 分）某校高三数学竞赛初赛考试后，对 90 分以上（含 90 分）的成绩进 行统计，其频率分布直方图如图所示．若 130～140 分数段的人数为 2 人． （ 1）求这组数据的样本容量及平均数 M ； （ 2）现根据初赛成绩从第一组和第五组（从低分段到高分段依次为第一组、第 二组、 …、第五组）中任意选出两人，形成帮扶学习小组．若选出的两人成绩之 差大于 20，则称这两人为 “黄金搭档组 ”，试求选出的两人为 “黄金搭档组 ”的概率．
2015-2016年河北省石家庄市高二上学期期末数学试卷(文科)与解析
2015-2016学年河北省石家庄市高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的两个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）抛物线y2=8x的焦点坐标（）A．（0，2）B．（2，0）C．（4，0）D．（0，4）2．（5分）若p∨q为真命题，则下列结论不可能成立的是（）A．p真q真B．p假q真C．p真q假D．p假q假3．（5分）某校选修乒乓球课程的学生中，高一年级有30名，高二年级有40名，现从这70人中用分层抽样的方法抽取一个容量为14的样本，则在高二年级的学生中应抽取的人数为（）A．6B．8C．10D．124．（5分）已知命题p：∀x＞0，总有2x＞1，则￢p为（）A．∀x＞0，总有2x≤1B．∀x≤0，总有2x≤1C．D．5．（5分）设x，y∈R，则“x＞y＞0”是“＞1”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．（5分）阅读如图程序框图，为使输出的数据为15，则①处应填的数字为（）A．3B．4C．5D．67．（5分）已知双曲线的离心率为，则该双曲线的渐近线方程为（）A．y=±2x B．C．D．y=±4x8．（5分）已知某运动员每次投篮命中的概率低于40%，现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1，2，3，4表示命中，5，6，7，8，9，0表示不命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果．经随机模拟产生了如下20组随机数：907 966 191 925 271 932 812 458 569 683431 257 393 027 556 488 730 113 537 989据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为（）A．0.35B．0.25C．0.20D．0.159．（5分）函数f（x）=x+lnx的零点个数是（）A．3B．2C．1D．010．（5分）已知函数f（x）=x2+x﹣2，x∈[﹣1，6]，若在其定义域内任取一数x0使得f（x0）≤0概率是（）A．B．C．D．11．（5分）已知F1，F2是椭圆的左右两个焦点，若椭圆上存在点P使得PF1⊥PF2，则该椭圆的离心率的取值范围是（）A．B．C．D．12．（5分）半径不等的两定圆O1、O2无公共点（O1、O2是两个不同的点），动圆O与圆O1、O2都内切，则圆心O轨迹是（）A．双曲线的一支B．椭圆或圆C．双曲线的一支或椭圆或圆D．双曲线一支或椭圆二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）曲线y=lnx在点（1，0）处的切线的斜率是．14．（5分）将参加数学竞赛的1000名学生编号如下：0001，0002，0003，…，1000，若从中抽取一个容量为50的样本，按照系统抽样的方法分成50个部分，如果第一部分编号为0001，0002，0003，…，0020，第一部分随机抽取一个号码为0015，则抽取的第3个号码为．15．（5分）在两个袋内，分别装着写有0，1，2，3，4，5六个数字的6张卡片，今从每个袋中任取一张卡片，则两数之和等于5的概率为．16．（5分）抛物线上的点到直线y=4x﹣5的距离的最小值是．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（10分）求函数f（x）=x3﹣3x2+1的单调区间．18．（12分）已知A（﹣1，0），B（3，0），圆C以AB为直径．（1）求圆C的方程；（2）求直线l：3x+4y﹣8=0被圆C截得的弦长．19．（12分）从某校高二年级800名学生中随机抽取100名测量身高，得到频率分布直方图如图．（1）求这100名学生中身高在170厘米以下的人数；（2）根据频率分布直方图估计这800名学生的平均身高．20．（12分）PM2.5是指空气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物（也称可入肺颗粒物）．为了探究车流量与PM2.5的浓度是否相关，现采集到某城市周一至周五某一时间段车流量与PM2.5得数据如下表：（Ⅰ）根据上表数据求出y与x的线性回归直线方程，（Ⅱ）若周六同一时间段车流量是25万辆，试根据（Ⅰ）中求出的线性回归方程预测此时PM2.5的浓度是多少？（保留整数）参考公式其中==：方程．21．（12分）已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，抛物线上横坐标为的点到抛物线顶点的距离与该点到抛物线准线的距离相等．（1）求抛物线C的方程；（2）设直线x﹣my﹣6=0与抛物线C交于A、B两点，若∠AFB=90°，求实数m 的值．22．（12分）已知函数在x=2处取得极值．（Ⅰ）求a实数的值；（Ⅱ）当x＞1时，恒成立，求实数k的取值范围．2015-2016学年河北省石家庄市高二（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的两个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）抛物线y2=8x的焦点坐标（）A．（0，2）B．（2，0）C．（4，0）D．（0，4）【解答】解：∵抛物线y2=8x的焦点在x轴上，且p=4，∴=2，∴抛物线y2=8x的焦点坐标为（2，0）故选：B．2．（5分）若p∨q为真命题，则下列结论不可能成立的是（）A．p真q真B．p假q真C．p真q假D．p假q假【解答】解：若p∨q为真命题，则p真或q真，p，q中至少有1个为真，故选：D．3．（5分）某校选修乒乓球课程的学生中，高一年级有30名，高二年级有40名，现从这70人中用分层抽样的方法抽取一个容量为14的样本，则在高二年级的学生中应抽取的人数为（）A．6B．8C．10D．12【解答】解：∵高一年级有30名，高二年级有40名，这70人中用分层抽样的方法抽取一个容量为14的样本故每个个体被抽到的概率是=∵高二年级有40名，∴要抽取40×=8，故选：B．4．（5分）已知命题p：∀x＞0，总有2x＞1，则￢p为（）A．∀x＞0，总有2x≤1B．∀x≤0，总有2x≤1C．D．【解答】解：命题p：∀x＞0，总有2x＞1，则¬p：∃，故选：D．5．（5分）设x，y∈R，则“x＞y＞0”是“＞1”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：“x＞y＞0”⇒“＞1”，反之不成立，例如取x=﹣2，y=﹣1，因此“x＞y＞0”是“＞1”的充分不必要条件．故选：A．6．（5分）阅读如图程序框图，为使输出的数据为15，则①处应填的数字为（）A．3B．4C．5D．6【解答】解：模拟程序运行的过程，各变量的值如下表示；开始，S=1，i=1；第一次循环，S=3，i=2；第二次循环，S=7，i=3；第三次循环，S=15，i=4；此时不满足条件i＜4，退出循环，故①处应填的数字为4．故选：B．7．（5分）已知双曲线的离心率为，则该双曲线的渐近线方程为（）A．y=±2x B．C．D．y=±4x【解答】解：由题意可得e==，即c=a，则b==2a，由渐近线方程y=±x，可得y=±x．8．（5分）已知某运动员每次投篮命中的概率低于40%，现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1，2，3，4表示命中，5，6，7，8，9，0表示不命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果．经随机模拟产生了如下20组随机数：907 966 191 925 271 932 812 458 569 683431 257 393 027 556 488 730 113 537 989据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为（）A．0.35B．0.25C．0.20D．0.15【解答】解：由题意知模拟三次投篮的结果，经随机模拟产生了如下20组随机数，在20组随机数中表示三次投篮恰有两次命中的有：191、271、932、812、431、393、113．共7组随机数，∴所求概率为=0.35．故选：A．9．（5分）函数f（x）=x+lnx的零点个数是（）A．3B．2C．1D．0【解答】解：∵y=lnx与y=x均在（0，+∞）上为增函数故函数f（x）=lnx+x在（0，+∞）上为增函数故函数f（x）至多有一个零点又∵f（）=﹣1＜0，f（1）=1＞0∴f（）•f（1）＜0，即函数f（x）在区间（，1）上有一个零点10．（5分）已知函数f（x）=x2+x﹣2，x∈[﹣1，6]，若在其定义域内任取一数x0使得f（x0）≤0概率是（）A．B．C．D．【解答】解：已知区间[﹣1，6]长度为7，满足f（x0）≤0，f（x）=x02+x0﹣2≤0，解得﹣1≤x0≤1，对应区间长度为2，由几何概型公式可得，使f（x0）≤0成立的概率是P=．故选：A．11．（5分）已知F1，F2是椭圆的左右两个焦点，若椭圆上存在点P使得PF1⊥PF2，则该椭圆的离心率的取值范围是（）A．B．C．D．【解答】解：∵F1，F2是椭圆的左右两个焦点，∴离心率0＜e＜1，F1（﹣c，0），F2（c，0），c2=a2﹣b2，设点P（x，y），由PF1⊥PF2，得（x﹣c，y）•（x+c，y）=0，化简得x2+y2=c2，联立方程组，整理，得x2=，解得e≥，又0＜e＜1，∴≤e＜1．故选：B．12．（5分）半径不等的两定圆O1、O2无公共点（O1、O2是两个不同的点），动圆O与圆O1、O2都内切，则圆心O轨迹是（）A．双曲线的一支B．椭圆或圆C．双曲线的一支或椭圆或圆D．双曲线一支或椭圆【解答】解：两定圆O1、O2无公共点，它们的位置关系应是外离或内含．设两定圆O1、O2的半径分别为r1，r2（r1＞r2）圆心O的半径为R当两圆外离时，|OO1|=R﹣r1，|OO2|=R﹣r2，∴|OO2|﹣|OO1|=r1﹣r2，∴圆心O 是轨迹是双曲线的一支；当两圆内含时，|OO1|=r1﹣R，|OO2|=R+r2，∴|OO2|+|OO1|=r1+r2，∴圆心O是轨迹是椭圆．故选：D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）曲线y=lnx在点（1，0）处的切线的斜率是1．【解答】解：y=lnx的导数为y′=，由导数的几何意义，可得：在点（1，0）处的切线的斜率为1．故答案为：1．14．（5分）将参加数学竞赛的1000名学生编号如下：0001，0002，0003，…，1000，若从中抽取一个容量为50的样本，按照系统抽样的方法分成50个部分，如果第一部分编号为0001，0002，0003，…，0020，第一部分随机抽取一个号码为0015，则抽取的第3个号码为0055．【解答】解：∵从1000名学生从中抽取一个容量为50的样本，∴系统抽样的分段间隔为=20，∵第一部分随机抽取一个号码为0015，∴抽取的第二个编号为0035，∴抽取的第三个编号为0055．故答案为：0055．15．（5分）在两个袋内，分别装着写有0，1，2，3，4，5六个数字的6张卡片，今从每个袋中任取一张卡片，则两数之和等于5的概率为．【解答】解：由题意知本题是一个古典概型，试验发生包含的事件是两数之和共有如下图所示36种情况．其中和为5的从表中可以看出有6种情况，∴所求事件的概率为．故答案为：16．（5分）抛物线上的点到直线y=4x﹣5的距离的最小值是．【解答】解：设P（x，y）为抛物线上任一点，则P到直线4x﹣y﹣5=0的距离d==，∴x=时，d取最小值．故答案为：．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（10分）求函数f（x）=x3﹣3x2+1的单调区间．【解答】解：由f（x）=x3﹣3x2+1，得f′（x）=3x2﹣6x=3x（x﹣2）当x＜0或x＞2，f′（x）＞0；当0＜x＜2，f′（x）＜0．…（8分）所以函数f（x）的单调递减区间为（0，2），单调递增区间为（﹣∞，0），（2，+∞）18．（12分）已知A（﹣1，0），B（3，0），圆C以AB为直径．（1）求圆C的方程；（2）求直线l：3x+4y﹣8=0被圆C截得的弦长．【解答】解：（1）AB的中点坐标为（1，0），圆的半径为2，∴圆C的方程为（x﹣1）2+y2=4；（2）圆心到直线的距离d==1，∴直线l：3x+4y﹣8=0被圆C截得的弦长2=2．19．（12分）从某校高二年级800名学生中随机抽取100名测量身高，得到频率分布直方图如图．（1）求这100名学生中身高在170厘米以下的人数；（2）根据频率分布直方图估计这800名学生的平均身高．【解答】解：（1）根据频率分布直方图，得；身高在170厘米以下的频率为（0.008+0.016+0.04）×5=0.32，所以这100名学生中身高在170厘米以下的人数为100×0.32=32；（2）根据频率分布直方图，估计这800名学生的平均身高为=157.5×0.008×5+162.5×0.016×5+170×0.04×10+177.5×0.06×5+182.5×0.016×5+187.5×0.06+192.5×0.008×5=174.1厘米20．（12分）PM2.5是指空气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物（也称可入肺颗粒物）．为了探究车流量与PM2.5的浓度是否相关，现采集到某城市周一至周五某一时间段车流量与PM2.5得数据如下表：（Ⅰ）根据上表数据求出y与x的线性回归直线方程，（Ⅱ）若周六同一时间段车流量是25万辆，试根据（Ⅰ）中求出的线性回归方程预测此时PM2.5的浓度是多少？（保留整数）参考公式其中==：方程．【解答】解：（Ⅰ）根据表中数据，得；=（50+51+54+57+58）=54，=（69+70+74+78+79）=74，…（2分）（x i﹣）（y i﹣）=4×5+3×4+3×4+4×5=64，=（﹣4）2+（﹣3）2+32+42=50，∴===1.28，…（4分）=﹣=74﹣1.28×54=4.88，…（6分）故y关于x的线性回归方程是：=1.28x+4.88；…（8分）（Ⅱ）当x=25时，=1.28×25+4.88=36.88≈37，所以可以预测此时PM2.5的浓度约为37．…（12分）21．（12分）已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，抛物线上横坐标为的点到抛物线顶点的距离与该点到抛物线准线的距离相等．（1）求抛物线C的方程；（2）设直线x﹣my﹣6=0与抛物线C交于A、B两点，若∠AFB=90°，求实数m 的值．【解答】解：（1）抛物线上横坐标为的点的坐标为（，±），到抛物线顶点的距离的平方为+p，∵抛物线上横坐标为的点到抛物线顶点的距离与其到准线的距离相等，∴+p=（+）2，∴p=2抛物线的方程为：y2=4x．…（2）由题意，直线l：x=my+6，代入y2=4x得，y2﹣4my﹣24=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2=4m，y1y2=﹣24，∵∠AFB=90°，∴FA⊥FB，即•=0可得：（x1﹣1）（x2﹣1）+y1y2=0∴（1+m2）y1y2+5m（y1+y2）+25=0∴﹣24（1+m2）+20m2+25=0，解得：m=±．22．（12分）已知函数在x=2处取得极值．（Ⅰ）求a实数的值；（Ⅱ）当x＞1时，恒成立，求实数k的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）∵，∴．∵函数f（x）在x=2处取得极值，∴f′（2）=0，解得a=1，经检验满足题意；（Ⅱ）得当x＞1时，恒成立，等价于（x＞1），令，则g′（x）=x﹣1﹣lnx．令h（x）=x﹣1﹣lnx，则．当x＞1时，h′（x）＞0，函数h（x）在（1，+∞）上单调递增，故h（x）＞h（1）=0；从而，当x＞1时，g'（x）＞0，即函数g（x）在（1，+∞）上单调递增，故，因此，当x＞1时，恒成立，则，∴k的取值范围是．赠送—高中数学知识点【1.3.1】单调性与最大（小）值 （1）函数的单调性①定义及判定方法②在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数．③对于复合函数[()]y f g x =，令()u g x =，若()y f u =为增，()u g x =为增，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为减，()u g x =为减，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为增，()u g x =为减，则[()]y f g x =为减；若()y f u =为减，()u g x =为增，则[()]y f g x =为减． （2）打“√”函数()(0)af x x a x=+>的图象与性质 ()f x 分别在(,]a -∞-、[,)a +∞上为增函数，分别在[,0)a -、]a 上为减函数．（3）最大（小）值定义①一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x M ≤； （2）存在0x I ∈，使得0()f x M =．那么，我们称M 是函数()f x 的最大值，记作yxomax ()f x M =．②一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数m 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x m ≥；（2）存在0x I ∈，使得0()f x m =．那么，我们称m 是函数()f x 的最小值，记作max ()f x m =．【1.3.2】奇偶性（4）函数的奇偶性②若函数()f x 为奇函数，且在0x =处有定义，则(0)0f =．③奇函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相反．④在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数．。
2015-2016学年河北省廊坊市高二(上)期末数学试卷(文科)(解析版)
2015-2016学年河北省廊坊市高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1．若命题p：∀x∈R，x2﹣3x+5＞0，则该命题的否定是（）A．∃x∈R，x2﹣3x+5≤0 B．∃x∈R，x2﹣3x+5＞0C．∀x∈R，x2﹣3x+5＜0 D．∀x∈R，x2﹣3x+5≤02．一个年级有20个班，每个班同学从1～50排学号，为了交流学习经验，要求每班学号为18的学生留下进行交流，这里运用的是（）A．分层抽样B．抽签法C．随机数表法D．系统抽样法3．抛物线的焦点坐标是（）A．（0，1）B．C．D．）2）C．（2，4）D．（1.5，4）5．“α是第一象限角”是“关于x，y的方程x2sinα+y2cosα=1所表示的曲线是椭圆”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．已知双曲线的一条渐近线方程为y=2x，则双曲线的离心率为（）A．B．C．或D．27．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果是（）A．2 B．4 C．8 D．168．已知函数f（x）=lnx﹣f′（1）x2+2x﹣1，则f（1）的值为（）A．﹣1 B．0 C．1 D．29．已知椭圆与双曲线有相同的焦点，则动点P（n，m）的轨迹是（）A．椭圆的一部分B．双曲线的一部分C．抛物线的一部分D．圆的一部分10．一个圆内有一个内接等边三角形，一动点在圆内运动，则此点落在等边三角形内部的概率为（）A．B．C．D．11．函数f（x）=（2a﹣1）lnx﹣x在（0，1）上为增函数，则实数a的取值范围是（）A．a＜1 B．a≤1 C．a≥1 D．0＜a≤112．设F1，F2分别为椭圆的左右两个焦点，点P为椭圆上任意一点，则使得成立的P点的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．3二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．曲线f（x）=xlnx在点（1，0）处的切线方程为．14．连续抛掷2颗骰子，则出现朝上的点数之和等于8的概率为．15．已知f（x）=x5+x4+2x3+3x2+4x+1，应用秦九韶算法计算x=2时的值时，v2的值为．16．下列四个命题中：①若p∨q为真命题，则p与q至少有一个为真命题；②统计中用相关系数r来衡量两个变量之间线性关系的强弱，且r越大相关性越强；③“若lgx2=0，则x=1”的否命题为真命题；④双曲线与双曲线有相同的焦点．其中真命题的序号为．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．5000辆汽车通过某一段公路时的时速频率分布直方图如图所示．问：（1）求汽车速度在[50，70）的频率；（2）根据频率分布直方图估算出样本数据的中位数．18．已知函数f（x）=mx3﹣3x2+n﹣2（m≠0）．（1）若f（x）在x=1处取得极小值1，求实数m，n的值；（2）在（1）的条件下，求函数f（x）在x∈[﹣1，2]的最大值．19．已知椭圆，焦点在直线x﹣2y﹣2=0上，且离心率为．（1）求椭圆方程；（2）过P（3，1）作直线l与椭圆交于A，B两点，P为线段AB的中点，求直线l的方程．20．某商家开展迎新春促销抽奖活动，小张、小李两人相约同一天上午去参加抽奖活动．（1）若抽奖规则是从一个装有3个红球和4个白球的袋中又放回地抽取2个球，当两球同色时则中奖，求中奖的概率；（2）若小张计划在10：00～10：40之间赶到，小李计划在10：20～11：00之间赶到，求小张比小李提前到达的概率．21．已知函数．（1）试判断f（x）在定义域内的单调性；（2）若f（x）在区间[1，e2]上的最小值为2，求实数a的值．22．已知抛物线y2=ax（a＞0），过动点P（m，0）且斜率为1的直线与该抛物线交于不同的两点A，B，|AB|≤a．（1）求m的取值范围；（2）若线段AB的垂直平分线交x轴于点Q，求△QAB面积的最大值．2015-2016学年河北省廊坊市高二（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1．若命题p：∀x∈R，x2﹣3x+5＞0，则该命题的否定是（）A．∃x∈R，x2﹣3x+5≤0 B．∃x∈R，x2﹣3x+5＞0C．∀x∈R，x2﹣3x+5＜0 D．∀x∈R，x2﹣3x+5≤0【考点】命题的否定．【分析】根据全称命题的否定是特称命题进行判断即可．【解答】解：命题是全称命题，则命题的否定是特称命题，即∃x∈R，x2﹣3x+5≤0，故选：A．2．一个年级有20个班，每个班同学从1～50排学号，为了交流学习经验，要求每班学号为18的学生留下进行交流，这里运用的是（）A．分层抽样B．抽签法C．随机数表法D．系统抽样法【考点】系统抽样方法．【分析】根据系统抽样的定义进行判断即可．【解答】解：每个班同学以1﹣50排学号，要求每班学号为18的同学留下来交流，数据之间的间距差相同，都为50，所以根据系统抽样的定义可知，这里采用的是系统抽样的方法．故选：D．3．抛物线的焦点坐标是（）A．（0，1）B．C．D．【考点】抛物线的简单性质．【分析】先根据标准方程求出p值，判断抛物线x2=2y的开口方向及焦点所在的坐标轴，从而写出焦点坐标．【解答】解：∵抛物线，即x2=2y中，p=1，=，焦点在y轴上，开口向上，∴焦点坐标为（0，），故选：B．）A．（2，2）B．（1.5，2）C．（2，4）D．（1.5，4）【考点】线性回归方程．【分析】由已知表格中的数据，我们根据平均数公式计算出变量x，y的平均数，根据回归直线一定经过样本数据中心点，可得结论．【解答】解：由表中数据可得：=（0+1+2+3+4）=2，=（1+3+4+5+7）=4，∵回归直线一定经过样本数据中心点，故选：C．5．“α是第一象限角”是“关于x，y的方程x2sinα+y2cosα=1所表示的曲线是椭圆”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合椭圆的方程进行判断即可．【解答】解：若x2sinα+y2cosα=1表示的曲线是椭圆，则满足sinα＞0，cosα＞0，且sinα≠cosα，即2kπ＜α＜2kπ+，且α≠2kπ+，k∈Z，则“α是第一象限角”是“关于x，y的方程x2sinα+y2cosα=1所表示的曲线是椭圆”必要不充分条件，故选：B6．已知双曲线的一条渐近线方程为y=2x，则双曲线的离心率为（）A．B．C．或D．2【考点】双曲线的简单性质．【分析】求出双曲线的渐近线方程，可得b=2a，由a，b，c的关系和离心率公式，计算即可得到所求值．【解答】解：双曲线的渐近线方程为y=±x，由题意可得=2，即有b=2a，c==a，可得e==，故选：A．7．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果是（）A．2 B．4 C．8 D．16【考点】循环结构．【分析】根据程序框图可知，程序运行时，列出数值S与n对应变化情况，从而求出当S=2时，输出的n即可．S与n对应变化如下表：故选C8．已知函数f（x）=lnx﹣f′（1）x2+2x﹣1，则f（1）的值为（）A．﹣1 B．0 C．1 D．2【考点】导数的运算．【分析】根据导数关系先求出f′（1）的值，进行求解即可．【解答】解：函数的导数f′（x）=﹣2f′（1）x+2．则f′（1）=1﹣2f′（1）+2．得f′（1）=1，则f（x）=lnx﹣x2+2x﹣1，则f（1）=ln1﹣1+2﹣1=0，故选：B9．已知椭圆与双曲线有相同的焦点，则动点P（n，m）的轨迹是（）A ．椭圆的一部分B ．双曲线的一部分C ．抛物线的一部分D ．圆的一部分【考点】轨迹方程．【分析】由椭圆双曲线方程可求得焦点坐标，进而根据有相同的焦点，建立等式求得m 和n 的关系即可．【解答】解：∵椭圆与双曲线有相同的焦点，∴9﹣n 2=4+m 2，即m 2+n 2=5（0＜n ＜3）这是圆的一部分，故选：D ．10．一个圆内有一个内接等边三角形，一动点在圆内运动，则此点落在等边三角形内部的概率为（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】几何概型．【分析】根据几何概型的概率公式求出对应的面积进行计算即可．【解答】解：设圆的半径为R ，则圆内接等边三角形的边长为R ，则正三角形的面积S=×（R ）2×=R 2，圆的面积S=πR 2，则点落在等边三角形内部的概率为P==， 故选：B ．11．函数f （x ）=（2a ﹣1）lnx ﹣x 在（0，1）上为增函数，则实数a 的取值范围是（ ） A ．a ＜1 B ．a ≤1 C ．a ≥1 D ．0＜a ≤1【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】求出函数的导数，得到（2a ﹣1）﹣x ≥0在x ∈（0，1）恒成立，分离参数，求出a 的范围即可．【解答】解：∵f （x ）=（2a ﹣1）lnx ﹣x ，f ′（x ）=﹣1=，若f （x ）在（0，1）上为增函数，则（2a ﹣1）﹣x ≥0在x ∈（0，1）恒成立，即a≥=1，故选：C．12．设F1，F2分别为椭圆的左右两个焦点，点P为椭圆上任意一点，则使得成立的P点的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．3【考点】椭圆的简单性质．【分析】设P（x0，y0），由和P（x0，y0）为椭圆上任意一点，列出方程组，能求出使得成立的P点的个数．【解答】解：设P（x0，y0），∵F1，F2分别为椭圆的左右两个焦点，点P为椭圆上任意一点，∴F1（﹣4，0），F2（4，0），=（﹣4﹣x0，﹣y0），=（4﹣x0，﹣y0），∵，∴（﹣4﹣x0）（4﹣x0）+（﹣y0）2=﹣7，即=9，①又∵设P（x0，y0）为椭圆上任意一点，∴，②联立①②，得：或，∴使得成立的P点的个数为2个．故选：C．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．曲线f（x）=xlnx在点（1，0）处的切线方程为x﹣y﹣1=0．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求出原函数的导函数，得到函数在x=1时的导数值，即切线的斜率，然后由直线方程的点斜式得答案．【解答】解：由f（x）=xlnx，得，∴f′（1）=ln1+1=1，即曲线f（x）=xlnx在点（1，0）处的切线的斜率为1，则曲线f（x）=xlnx在点（1，0）处的切线方程为y﹣0=1×（x﹣1），整理得：x﹣y﹣1=0．故答案为：x﹣y﹣1=0．14．连续抛掷2颗骰子，则出现朝上的点数之和等于8的概率为．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】先求出基本事件总数，再用列举法求出出现朝上的点数之和等于8的基本事件个数，由此能求出出现朝上的点数之和等于8的概率．【解答】解：连续抛掷2颗骰子，基本事件总数n=6×6=36，出现朝上的点数之和等于8的基本事件有：（2，6），（6，2），（3，5），（5，3），（4，4），共5个，∴出现朝上的点数之和等于8的概率为p=．故答案为：．15．已知f（x）=x5+x4+2x3+3x2+4x+1，应用秦九韶算法计算x=2时的值时，v2的值为8．【考点】秦九韶算法．【分析】由f（x）=x5+x4+2x3+3x2+4x+1=（（（x+1）x+2）x+4）x+1，即可得出．【解答】解：f（x）=x5+x4+2x3+3x2+4x+1=（（（x+1）x+2）x+4）x+1，∴x=2时，v0=1，v1=（2+1）×2=6，v2=6+2=8．故答案为：8．16．下列四个命题中：①若p∨q为真命题，则p与q至少有一个为真命题；②统计中用相关系数r来衡量两个变量之间线性关系的强弱，且r越大相关性越强；③“若lgx2=0，则x=1”的否命题为真命题；④双曲线与双曲线有相同的焦点．其中真命题的序号为①③④．【考点】复合命题的真假．【分析】根据复合命题判断①，根据线性关系判断②，根据对数函数函数性质判断③，根据双曲线的性质判断④．【解答】解：①若p∨q为真命题，则p与q至少有一个为真命题，故①正确；②用相关指数|r|来刻画回归效果，|r|越大，说明模型的拟合效果越好，故②错误；③“若lgx2=0，则x=1”的否命题是：若lgx2≠0，则x≠1为真命题，故③正确；④双曲线中c2=13，双曲线中c2=13，有相同的焦点，故④正确；其中真命题的序号为：①③④，故答案为：①③④．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．5000辆汽车通过某一段公路时的时速频率分布直方图如图所示．问：（1）求汽车速度在[50，70）的频率；（2）根据频率分布直方图估算出样本数据的中位数．【考点】众数、中位数、平均数；频率分布直方图．【分析】（1）由频率分布直方图分别求出[50，60）的频率和[60，70）的频率，由此能求出汽车速度在[50，70）的频率．（2）设中位数为x，由频率分布直方图可知中位数落在[60，70）之间，由此能求出样本数据的中位数．【解答】解：（1）由频率分布直方图得[50，60）的频率为0.03×10=0.3，…[60，70）的频率为0.04×10=0.4，…∴汽车速度在[50，70）的频率为0.3+0.4=0.7．…（2）设中位数为x，由频率分布直方图可知中位数落在[60，70）之间，0.1+0.3+（x﹣60）×0.04=0.5，…解得x=62.5，∴样本数据的中位数为62.5．…18．已知函数f（x）=mx3﹣3x2+n﹣2（m≠0）．（1）若f（x）在x=1处取得极小值1，求实数m，n的值；（2）在（1）的条件下，求函数f（x）在x∈[﹣1，2]的最大值．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的极值．【分析】（1）求出函数的导数，得到关于m，n的方程组，解出检验即可；（2）求出函数的单调区间，从而求出函数的最大值即可．【解答】解：函数f（x）的定义域是R，f′（x）=3mx（x﹣），（1）∵f（x）在x=1处取得极小值，∴，即，解得：，经检验符合题意；（2）由（1）得：f′（x）=6x（x﹣1），x∈（﹣1，0）∪（1，2）时，f′（x）＞0，x∈（0，1）时，f′（x）＜0，∴f（x）在（﹣1，0），（1，2）递增，在（0，1）递减，∴f（x）max=max{f（0），f（2）}，而f（0）=2，f（2）=6，∴f（x）max=f（2）=6．19．已知椭圆，焦点在直线x﹣2y﹣2=0上，且离心率为．（1）求椭圆方程；（2）过P（3，1）作直线l与椭圆交于A，B两点，P为线段AB的中点，求直线l的方程．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）由焦点在直线x﹣2y﹣2=0上，令y=0，得焦点（2，0），再由离心率e==，能求出椭圆方程．（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），利用点差法能求出l的方程．【解答】（本题满分12分）解：（1）∵椭圆，焦点在直线x﹣2y﹣2=0上，∴令y=0，得焦点（2，0），∴c=2，∵离心率e==，∴，解得a=4，∴b2=16﹣4=12，∴椭圆方程为．（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），∵过P（3，1）作直线l与椭圆交于A，B两点，P为线段AB的中点，∴由题意，x1+x2=6，y1+y2=2，，∴+=0，∴k l==﹣，∴l的方程为：y﹣1=﹣，即9x+4y﹣31=0．20．某商家开展迎新春促销抽奖活动，小张、小李两人相约同一天上午去参加抽奖活动．（1）若抽奖规则是从一个装有3个红球和4个白球的袋中又放回地抽取2个球，当两球同色时则中奖，求中奖的概率；（2）若小张计划在10：00～10：40之间赶到，小李计划在10：20～11：00之间赶到，求小张比小李提前到达的概率．【考点】几何概型；列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】（1）根据古典概型的概率公式进行计算即可．（2）根据几何概型的概率公式求出对应事件对应区域的面积进行计算即可．【解答】解：（1）从袋中7个球中的摸出2个，试验的结果共有7×7=49（种）…中奖的情况分为两种：（i）2个球都是红色，包含的基本事件数为4×4=16；（ii）2个球都是白色，包含的基本事件数为3×3=9．…所以，中奖这个事件包含的基本事件数为16+9=25．因此，中奖概率为．…（2）设小张和小李到达的时间分别为10点到11点之间的x，y分钟．用（x，y）表示每次试验的结果，则所有可能结果为Ω={（x，y）|0≤x≤4或0≤y≤60}；…记小张比小李提前到达为事件A，则事件A的可能结果为A={（x，y）|x＜y，0≤x≤4或0≤y≤60}；．…如图所示，试验全部结果构成区域Ω为正方形ABCD．而事件A所构成区域是正方形内的阴影部分．根据几何概型公式，得到P（A）===．所以，小张比小李提前到达的概率为．…21．已知函数．（1）试判断f（x）在定义域内的单调性；（2）若f（x）在区间[1，e2]上的最小值为2，求实数a的值．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（2）通过讨论a的范围，确定函数的单调性，从而求出函数的最小值即可．【解答】解：由已知得f（x）得的定义域是（0，+∞），f′（x）=，（1）∵a＞0，∴﹣a＜0，当x∈（0，a）时，f（x）＜0，当x∈（a，+∞）时，f（x）＞0，∴f（x）在（0，a）递减，在（a，+∞）递增；（2）由（1）得：①0＜a≤1时，f（x）在在[1，e2]递增，∴f（x）min=f（1）==2，得a=2（舍），②当1＜a＜e2时，f（x）在（1，a）递减，在（a，e2）递增，∴f（x）min=f（a）=lna+=2，解得：a=，③当a≥e2时，f（x）在[1，e2]递减，∴f（x）min=f（e2）=2+=2，无解，综上：a=．22．已知抛物线y2=ax（a＞0），过动点P（m，0）且斜率为1的直线与该抛物线交于不同的两点A，B，|AB|≤a．（1）求m的取值范围；（2）若线段AB的垂直平分线交x轴于点Q，求△QAB面积的最大值．【考点】抛物线的简单性质．【分析】（1）设出直线的方程与抛物线方程联立消去y，设直线l与抛物线两个不同的交点坐标为A，B，进而根据判别是对大于0，及x1+x2的和x1x2的表达式，求得AB的长度的表达式，根据|AB|的范围确定a的范围（2）求出线段AB的垂直平分线方程，得Q的坐标，进而表示出△NAB的面积，根据|AB|范围确定三角形面积的最大值．【解答】解：（1）设直线l的方程为y=x﹣m代入y2=ax，得y2﹣ay﹣am=0．设直线l与抛物线两个不同的交点坐标为A（x1，y1）、B（x2，y2），△=a2﹣4（﹣am）＞0，∴m＞﹣，y1+y2=a，y1y2=﹣am，|AB|=≤a，∴m，∴﹣＜m；（2）由（1）线段AB的中点坐标为（+m，），线段AB的垂直平分线方程为y﹣=﹣（x﹣﹣m），令y=0，可得Q（m+a，0），Q到AB的距离d=，∴△QAB面积S=≤=，∴△QAB面积的最大值为．2016年7月7日。
2015—2016学年第二学期高二数学(文科)试卷
2015—2016学年第二学期期中试卷高二数学（文科）注意事项：⑴答题前考生务必将自己的姓名和学号写在答题卡和答题页规定的位置上。
⑵答选择题时，必须使用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
第Ⅰ卷一、 选择题（本小题共12小题,每小题5分，在每小题给出的四个 选项中，只有一个选项是符合题目要求的）1． 计算（5-5i ）+（-2-i ）-（3+4i ）=（ ）A -2iB -2C 10D -10i2． 在复平面内，复数2(1)对应的点位于（ ）A 第一象限B 第二象限C 第三象限D 第四象限 3． 在一次实验中，测得(),x y的四组值分别是()1,2A ，()2,3B ，()3,4C ，()4,5D ，则y 与x 之间的回归直线方程为（ ）A y=2x+1B y=x+2C y=x+1D y=x-14．下面对相关系数r 描述正确的是（ ）A r ＞0表明两个变量负相关B r ＞1表明两个变量正相关C ︱r ︱越接近于0，两个变量相关关系越弱D r 只能大于零5. 有一段演绎推理：“直线平行于平面,则这条直线平行于平面内所有直线；已知直线b ⊄平面α，直线⊂a 平面α，直线b ∥平面α，则直线b ∥直线a ”的结论是错误的，这是因为( )A 推理形式错误B 大前提错误C 小前提错误D 非以上错误 6．用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60°时，反设正确的是（ ）A 假设三内角都大于60°B 假设三内角至多有两个大于60°C 假设三内角至多有一个大于 60°D 假设三内角都不大于 60° 7． 设点P 对应的复数为-3+3i ，以原点为极点,实轴正半轴为极轴建立极坐标系，则点P 的极坐标为（ ）A (3，π45)B (23-，π45)C (23，π43)D (-3，π43)8. 曲线的极坐标方程为θρsin 4=化成直角坐标方程为( )A 4)2(22=-+y xB 4)2(22=++y xC 4)2(22=+-y xD 4)2(22=++y x 9．如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是（ ）A. 16B.2524C. 34D.111210. 根据下列算法语句, 当输入x 为60时, 输出y 的值为 ( ) A 31 B 30 C 25 D 6111. 已知点P 的极坐标是（1，π），则过点P 且垂直极轴的直线方程是（ ） A 1=ρB θρcos =C θρcos 1= D θρcos 1-=12． 对于任意的两个实数对（a , b ）和(c, d),规定（a , b ）＝(c, d)当且仅当a ＝c,b ＝d; 运算“⊗”为：),(),(),(ad bc bd ac d c b a +-=⊗，运算“⊕”为：),(),(),(d b c a d c b a ++=⊕，设R q p ∈,，若)0,5(),()2,1(=⊗q p则=⊕),()2,1(q p ( )A )2,0(B )0,4(C )0,2(D )4,0(-输入xIf x ≤50 Theny = 0.5 * x Else y = 25 + 0.6*(x -50) End If 输出y第二部分（非选择题、共90分）二、填空题（共4小题、每题5分）13．复数1,1z i=+ 则z =___________. 14. 在同一平面直角坐标系中，直线21x y -=变成直线42='-'y x 的伸缩变换是____________________；15. 已知直线l 的极坐标方程为sin()4πρθ-=，点A 的极坐标为74A π⎛⎫⎪⎝⎭，则点A 到直线l 的距离为 16．观察下列等式：1－1122= 1－1111123434+-=+1－1111111123456456+-+-=++…………据此规律，第n 个等式可为_____________________ _____ _.三、解答题（共6小题，总分70分，解答写出文字说明、演算步骤或证明过程）17.（本小题10分）:0,a >>已知 18．（本小题12分）实数m 取什么值时，复数z=(m 2+m-12)+(m 2-3m)i 是（1）虚数？（2）实数？（3）纯虚数？ 19．（本小题12分）已知数列{n a }的前n 项和为S n ，31=a ,满足)N (261*+∈-=n a S n n ， （1）求432,,a a a 的值；（2）猜想n a 的表达式。
2015-2016学年河北省廊坊市高一(上)期末数学试卷
2015-2016学年河北省廊坊市高一（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1. 全集U ={0, −1, −2, −3}，M ={0, −1, −3}，N ={0, −3}，则(∁U M)∪N =( ) A.⌀ B.{−2} C.{−1, −3} D.{0, −2, −3}2. 已知α是第二象限角，其终边上一点P(x,√3)，且cos α=√24x ，则sin α=( )A.−√64B.−√24C.√64D.√243. 下列函数中与函数y =x 相等的函数是( ) A.y =(√x)2 B.y =√x 2C.y =2log 2xD.y =log 22x4. 如图所示，D 是△ABC 的边AB 上的中点，记BC →=a →，BA →=c →，则向量CD →=( )A.−a →−12c →B.−a →+12c →C.a →−12c →D.a →+12c →5. 已知sin α−cos α=−√52，则tan α+1tan α的值为（ ）A.−4B.4C.−8D.86. 已知m =0.95.1，n =5.10.9，p =log 0.95.1，则这三个数的大小关系是( ) A.m <n <p B.m <p <n C.p <m <n D.p <n <m7. 下列函数中，是偶函数又在区间(0, +∞)上递增的函数为（ ） A.y =2|x| B.y =|log 2x|C.y =x 3D.y =x −28. 已知a →，b →满足：|a →|=2，|b →|=1，|a →−b →|=√6，则|a →+b →|( ) A.√3B.√10C.3D.29. 方程2x −2＝−x 的根所在区间是（ ） A.(−1, 0) B.(0, 1) C.(1, 2) D.(2, 3)10. 圆弧长度等于圆内接正三角形的边长，则其圆心角弧度数为（ ） A.π3B.2π3C.√3D.211. 若a →=(2sin 2x,−1)，b →=(sin 2x,sin 2x)，且函数f(x)=a →⋅b →，则f(x)是（ ） A.最小正周期为π2的奇函数B.最小正周期为π的奇函数C.最小正周期为π2的偶函数D.最小正周期为π的偶函数12. 给出下列四个命题：①函数f(x)=sin x +√3cos x +1的一个对称中心坐标是(−π3，0)；②函数y =a （3−x ）+1(a >0且a ≠1)的图象恒过定点(3, 2)； ③函数f(x)=ln (2x −x 2)的单调减区间是[1, +∞)；④若函数f(x)的定义域(−1, 1)，则函数f(x +1)的定义域是(−2, 0)， 其中正确的命题个数是（ ） A.1 B.2 C.3 D.4二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）幂函数y =f(x)的图象过点(2, √22)，则f(4)=________．若α，β都是锐角，且cos α=√55，sin (α一β)=3√1010，则cos β=________．奇函数f(x)在(−∞, 0)上单调递减，若f(2)=0，则不等式f(x)<0的解集是________．已知函数f(x)={x 2−2ax +5，x <11+1x ，x ≥1在R 上单调，则实数a 的取值范围是________．三、解答题（本大题共6小题，共56分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）已知cos α=√55且tan α>0．（1）求tan α的值； （2）求cos α+2sin (π−α)sin (π2−α)−sin α的值．已知集合A ={x|a −1<x <2a +1}，B ={x|12<x <1}．（1）若a =12时，求A ∩B ；（2）若A ∩B =⌀，求实数a 的取值范围．设函数y =f(x)是定义在上(0, +∞)的减函数，并且满足f(xy)=f(x)+f(y)，f(13)=12． （1）求f(1)；（2）若存在实数m ，使得f(m)=1，求m 的值；（3）若f(x −2)>1+f(x)，求x 的取值范围．已知函数f(x)＝log 21+ax x−1（a 为常数）是奇函数．(Ⅰ)求a 的值与函数 f(x)的定义域；(Ⅱ)若当x ∈(1, +∞) 时，f(x)+log 2(x −1)>m 恒成立．求实数m 的取值范围．在平面直角坐标系xOy 中，已知四边形OABC 是等腰梯形，OA // BC ，A(6,0),C(1,√3)，点M 满足OM →=12OA →，点P 在线段BC 上运动（包括端点），如图．（1）求∠OCM 的余弦值；（2）是都存在实数λ，使(OA →+λOP →)⊥CM →，若存在，求出满足条件的实数λ的取值范围，若不存在，请说明理由．已知函数f(x)=sin (ωx +φ)(ω>0, 0<φ<π)的图象两相邻对称轴之间的距离是π2，若将y =f(x)的图象向右平移π6个单位，所得函数g(x)为奇函数． （1）求函数f(x)的解析式及单调增区间；（2）设函数y =3[g(x)]2+mg(x)+2(x ∈[0,π2])，求函数y 的最小值φ(m)．参考答案与试题解析2015-2016学年河北省廊坊市高一（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1.【答案】D【考点】交、并、补集的混合运算【解析】根据补集的定义求出∁U M，再计算(∁U M)∪N．【解答】解：全集U={0, −1, −2, −3}，M={0, −1, −3}，∴∁U M={−2}，又N={0, −3}，∴(∁U M)∪N={0, −2, −3}．故选：D．2.【答案】C【考点】三角函数【解析】由题意结合任意角的三角函数的定义求得x值，进一步求出P到原点的距离，再由正弦函数的定义得答案．【解答】解：∵α是第二象限角，且其终边上一点P(x,√3)，则x<0，|OP|=√x2+3，∴cosα=√x2+3，又cosα=√24x，∴√x2+3=√24x，解得：x=−√5．∴|OP|=√(−√5)2+3=2√2，则sinα=√32√2=√64．故选：C．3.【答案】D 【考点】判断两个函数是否为同一函数【解析】判断函数相等，先求出每个函数的定义域，然后判断与y=x的定义域是否相同，然后再判断解析式是否相同或可以化成相同的情况，即对应关系是否相同y=|x|．【解答】解：函数y=x的定义域为R，对应关系为y=x．对于A，函数y=(√x)2的定义域为[0, +∞)，故与y=x不是相同函数，故A错误；对于B，函数解析式可化为y=|x|，所以对应关系不同，故B错误；对于C，定义域为(0, +∞)，故C错误；对于D，易知函数y=log22x=x，该函数的定义域为R，所以该函数与y=x相同，故D正确．故选D.4.【答案】B【考点】向量加减混合运算及其几何意义【解析】由D是△ABC的边AB上的中点，可得BD→=12BA→=12c→．在△BCD中，利用向量的三角形法则可得CD→=CB→+ BD→，代入即可．【解答】解：∵D是△ABC的边AB上的中点，∴BD→=12BA→=12c→．在△BCD中，由向量的三角形法则可得CD→=CB→+BD→=−a→+12c→．故选B．5.【答案】C【考点】同角三角函数基本关系的运用【解析】先平方，可得sin2α=−14，再切化弦tanα+1tanα=112sin2α，可得结论．【解答】解：∵sinα−cosα=−√52，∴两边平方可得1−2sinαcosα=54，∴sin2α=−14，∴tanα+1tanα=112sin2α=−8，故选：C．6.【答案】C【考点】指数函数与对数函数的关系【解析】可从三个数的范围上比较大小【解答】解：设函数f(x)=0.9x，g(x)=5.1x，ℎ(x)=log0.9x，则f(x)单调递减，g(x)单调递增，ℎ(x)单调递减，∴0<f(5.1)=0.95.1<0.90=1，即0<m<1，g(0.9)=5.10.9>5.10=1，即n>1，ℎ(5.1)=log0.95.1<log0.91=0，即p<0，∴p<m<n.故选C.7.【答案】A【考点】函数单调性的判断与证明函数奇偶性的判断【解析】根据指数函数的单调性，减函数的定义，偶函数定义域的特点，以及奇函数和偶函数的定义便可判断出每个选项的正误，从而找出正确选项．【解答】解：A．y=2|x|为偶函数，且x>0时，y=2|x|=2x为增函数；即该函数在(0, +∞)上递增，∴该选项正确；B．y=|log x|的定义域为{x|x>0}，不关于原点对称，不是偶函数，∴该选项错误；C．y=x3为奇函数，∴该选项错误；D．若x∈(0, +∞)，x增大时，x−2减小，即y减小；∴y=x−2在(0, +∞)上单调递减，∴该选项错误．故选：A．8.【答案】D【考点】平面向量数量积的运算【解析】利用(a+b)2=2(a2+b2)−(a−b)2，从而代入化简即可．【解答】解：∵|a→|=2，|b→|=1，|a→−b→|=√6，∴|a→+b→|2=2(|a→|2+|b→|2)−|a→−b→|2=2(4+1)−6=4，∴|a→+b→|=2，故选：D．9.【答案】B【考点】函数零点的判定定理【解析】利用函数零点的判定定理即可判断出．【解答】令f(x)＝2x+x−2，则f(0)＝1−2＝−1<0，f(1)＝2+1−2＝1>0，∴f(0)f(1)<0，∴函数f(x)在区间(0, 1)上必有零点，①又∵2x>0，ln2>0，∴f′(x)＝2x ln2+1>0，∴函数f(x)在R上单调递增，至多有一个零点．②综上①②可知：函数f(x)＝2x+x−2在R有且只有一个零点x0，且x0∈(0, 1)．即方程2x＝2−x的根所在区间是(0, 1)．故选：B．10.【答案】C【考点】圆内接多边形的性质与判定弧长公式弧度制的应用【解析】等边三角形ABC是半径为r的圆O的内接三角形，则线AB所对的圆心角∠AOB=2π3，求出AB的长度（用r表示），就是弧长，再由弧长公式求圆心角弧度数．【解答】解：如图，等边三角形ABC是半径为r的圆O的内接三角形，则线AB 所对的圆心角∠AOB =2π3，作OM ⊥AB，垂足为M ，在Rt △AOM 中，AO =r ，∠AOM =π3， ∴ AM =√32r ，AB =√3r ，∴ l =√3r ，由弧长公式 l =|α|r ， 得，α=lr =√3r r=√3．故选C . 11.【答案】 A【考点】平面向量数量积的运算 三角函数中的恒等变换应用 函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换 【解析】运用向量的数量积的坐标表示和二倍角公式，化简f(x)=−12sin 4x ，再由周期公式和奇偶性的定义，即可得到所求结论． 【解答】解：由a →=(2sin 2x,−1)，b →=(sin 2x,sin 2x)， 函数f(x)=a →⋅b →=2sin 2x sin 2x −sin 2x =sin 2x(2sin 2x −1)=−sin 2x cos 2x =−12sin 4x ， 可得最小正周期T =2π4=π2，由f(−x)=−12sin (−4x)=12sin 4x ， 即有f(x)为奇函数． 故选：A ． 12.【答案】 B【考点】命题的真假判断与应用 【解析】①根据辅助角公式将函数进行化简，结合三角函数对称性的性质进行判断即可． ②根据指数函数过定点的性质进行判断．③根据复合函数单调性和定义域之间的关系进行判断． ④根据复合函数定义域之间的关系进行判断． 【解答】解：①函数f(x)=sin x +√3cos x +1=2sin (x +π3)+1，当x =−π3，则f(−π3)=1，即函数的一个对称中心坐标为(−π3, 1)，故①错误；②当x =3时，y =1+1=2，即函数y =a （3−x ）+1(a >0且a ≠1)的图象恒过定点(3, 2)；故②正确， ③由2x −x 2>0得0<x <2，即函数的定义域为(0, 2)，则函数f(x)=ln (2x −x 2)的单调减区间是[1, +∞)错误；故③错误，④若函数f(x)的定义域(−1, 1)，则由−1<x +1<1得−2<x <0， 则函数f(x +1)的定义域是(−2, 0)，正确，故④正确， 故正确的是②④， 故选：B二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分） 【答案】12【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域 【解析】利用幂函数的定义即可求出． 【解答】解：设幂函数f(x)=x α，∵ 幂函数y =f(x)的图象过点(2, √22)， ∴ √22=2a ， 解得a =−12，∴ f(x)=x −12， ∴ f(4)=4−12=12，故答案为：12． 【答案】7√210【考点】两角和与差的余弦公式【解析】由已知角的范围结合已知求出sinα，cos(α−β)的值，然后利用两角和与差的余弦得答案．【解答】解：∵0<α，β<π2，∴−π2<α−β<π2，又cosα=√55，sin(α一β)=3√1010，∴sinα=2√55，cos(α一β)=√1010．∴cosβ=cos[α−(α−β)]=cosαcos(α−β)+sinαsin(α−β)=√55×√1010+2√55×3√1010=7√210．故答案为：7√210．【答案】(−2, 0)∪(2, +∞)【考点】奇偶性与单调性的综合【解析】根据条件判断函数的单调性，根据函数奇偶性和单调性之间的关系，作出函数f(x)的图象，利用数形结合将不等式进行转化即可解不等式即可．【解答】解：∵奇函数f(x)在(−∞, 0)上单调递减，若f(2)=0∴函数f(x)在(0, +∞)上单调递减，若f(−2)=−f(2)=0，作出函数f(x)的图象如图：则不等式f(x)<0的解集是(−2, 0)∪(2, +∞)，故答案为：(−2, 0)∪(2, +∞)【答案】[1, 2]【考点】分段函数的应用【解析】由于函数f(x在定义域R上单调，可得函数在R上单调递减，故有{a≥11−2a+5≥1+1，即可求出实数a的取值范围．【解答】解：由于函数f(x在定义域R上单调，可得函数在R上单调递减，故有{a≥11−2a+5≥1+1，解得1≤a≤2，即[1, 2]．故答案为：[1, 2]．三、解答题（本大题共6小题，共56分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）【答案】解：（1）∵cosα=√55且tanα>0，∴sinα=√1−(√55)2=2√55，∴tanα=sinαcosα=2√55√55=2．（2）∵cosα=√55，sinα=2√55，∴cosα+2sin(π−α)sin(π2−α)−sinα=cosα+2sinαcosα−sinα=√55+2×2√55√55−2√55=−5．【考点】三角函数的化简求值【解析】（1）由已知先利用同角三角函数关系式求出sinα，再求出tanα的值．（2）利用诱导公式求解．【解答】解：（1）∵cosα=√55且tanα>0，∴sinα=(√55)=2√55，∴tanα=sinαcosα=2√55√55=2．（2）∵cosα=√55，sinα=2√55，∴cosα+2sin(π−α)sin(π2−α)−sinα=cosα+2sinαcosα−sinα=√55+2×2√55√55−2√55=−5．【答案】解：（1）当a=12时，A={x|−12<x<2}，B={x|12<x<1}则A∩B={x|12<x<1}；（2）当a≤−2时，a−1≥2a+1，即A=⌀，此时A∩B=⌀，符合题意；当a>−2时，由A∩B=⌀，得到a−1≥1或2a+1≤12，解得：a ≥2或−2<a ≤−14，综上所述，实数a 的取值范围是(−∞, −14]∪[2, +∞)． 【考点】 交集及其运算集合的包含关系判断及应用【解析】（1）把a 的值代入确定出A ，求出A 与B 的交集即可； （2）分A =⌀与A ≠⌀两种情况，求出a 的范围即可． 【解答】解：（1）当a =12时，A ={x|−12<x <2}，B ={x|12<x <1} 则A ∩B ={x|12<x <1}；（2）当a ≤−2时，a −1≥2a +1，即A =⌀，此时A ∩B =⌀，符合题意； 当a >−2时，由A ∩B =⌀，得到a −1≥1或2a +1≤12， 解得：a ≥2或−2<a ≤−14，综上所述，实数a 的取值范围是(−∞, −14]∪[2, +∞)．【答案】解：（1）令x =y =1，则f(1)=f(1)+f(1)， ∴ f(1)=0． （2）∵ f(13)=12，∴ f(19)=f(13×13)=f(13)+f(13)=12+12=1， ∴ m =19；（3））∵ f(x −2)>1+f(x)， ∴ f(x −2)>f(19)+f(x)=f(19x)，∵ 函数y =f(x)是定义在(0, +∞)上的减函数，∴ {x −2>0x >0x −2<19x 即{x >2x >0x <94，得2<x <94， ∴ x 的取值范围2<x <94．【考点】抽象函数及其应用 【解析】（1）利用赋值法令x =y =1，代入求解即可．（2）根据抽象函数的关系进行求解即可．（3）根据函数单调性以及抽象函数的关系解不等式即可．【解答】解：（1）令x =y =1，则f(1)=f(1)+f(1)， ∴ f(1)=0． （2）∵ f(13)=12，∴ f(19)=f(13×13)=f(13)+f(13)=12+12=1，∴ m =19；（3））∵ f(x −2)>1+f(x)， ∴ f(x −2)>f(19)+f(x)=f(19x)，∵ 函数y =f(x)是定义在(0, +∞)上的减函数，∴ {x −2>0x >0x −2<19x 即{x >2x >0x <94，得2<x <94， ∴ x 的取值范围2<x <94． 【答案】（1）∵ 知函数f(x)＝log 21+ax x−1是奇函数，∴ f(−x)＝−f(x)， ∴ log 21−ax−x−1=−log 21+ax x−1，即log 2ax−1x+1=log 2x−11+ax ，∴ a ＝1．令1+xx−1>0，解得：x <−1或x >1．∴ 函数的定义域为：{x|x <−1或x >1}；（2）f(x)+log 2(x −1)＝log 2(1+x)， 当x >1时，x +1>2， ∴ log 2(1+x)>log 22＝1，∵ x ∈(1, +∞)，f(x)+log 2(x −1)>m 恒成立， ∴ m ≤1，m 的取值范围是(−∞, 1]． 【考点】函数的定义域及其求法 函数恒成立问题【解析】(Ⅰ)直接由奇函数的定义列式求解a 的值，然后由对数式的真数大于0求解x 的取值集合得答案； (Ⅱ)化简f(x)+log (x −1)为log 2(1+x)，由x 的范围求其值域得答案．【解答】（1）∵ 知函数f(x)＝log 21+ax x−1是奇函数，∴ f(−x)＝−f(x)， ∴ log 21−ax−x−1=−log 21+axx−1， 即log 2ax−1x+1=log 2x−11+ax，∴ a ＝1．令1+xx−1>0，解得：x <−1或x >1．∴ 函数的定义域为：{x|x <−1或x >1}；（2）f(x)+log 2(x −1)＝log 2(1+x)， 当x >1时，x +1>2， ∴ log 2(1+x)>log 22＝1，∵ x ∈(1, +∞)，f(x)+log 2(x −1)>m 恒成立， ∴ m ≤1，m 的取值范围是(−∞, 1]． 【答案】解：（1）由题意可得OA →=(6,0)，OC →=(1,√3)，OM →=12OA →=(3,0)， CM →=(2,−√3)，CO →=(−1,−√3)，故cos ∠OCM =cos <CO →，CM →>=|CO →||CM →|˙=√714； （2）设P(t,√3)，其中1≤t ≤5，λOP →=(λt,√3λ)，OA →−λOP →=(6−λt,−√3λ)，CM →=(2,−√3)， 若(OA →+λOP →)⊥CM →，则(OA →+λOP →)⋅CM →=0，即12−2λt +3λ=0， 可得(2t −3)λ=12． 若t =32，则λ不存在；若t ≠32，则λ=122t−3，∵ t ∈[1, 32)∪(32,5]，∴ λ∈(−∞, −12]∪[127,+∞)．∴ 实数λ的取值范围是(−∞, −12]∪[127,+∞)．【考点】平面向量数量积的运算 【解析】（1）由已知点的坐标求出向量的坐标，然后利用数量积求夹角公式得答案；（2）设出P 的坐标P(t,√3)，由(OA →+λOP →)⊥CM →，可得其数量积为0，转化为λ关于t 的函数式求解．【解答】解：（1）由题意可得OA →=(6,0)，OC →=(1,√3)，OM →=12OA →=(3,0)，CM →=(2,−√3)，CO →=(−1,−√3)，故cos ∠OCM =cos <CO →，CM →>=|CO →||CM →|˙=√714； （2）设P(t,√3)，其中1≤t ≤5，λOP →=(λt,√3λ)，OA →−λOP →=(6−λt,−√3λ)，CM →=(2,−√3)， 若(OA →+λOP →)⊥CM →，则(OA →+λOP →)⋅CM →=0，即12−2λt +3λ=0， 可得(2t −3)λ=12． 若t =32，则λ不存在； 若t ≠32，则λ=122t−3，∵ t ∈[1, 32)∪(32,5]，∴ λ∈(−∞, −12]∪[127,+∞)．∴ 实数λ的取值范围是(−∞, −12]∪[127,+∞)．【答案】解：（1）由题意函数f(x)的图象两相邻对称轴之间的距离是π2，可得函数的周期为π，即2πω=π，ω=2，故函数为f(x)=sin (2x +φ)．将函数f(x)图象向右平移π6个单位，得到函数g(x)的解析式为g(x)=sin [2(x −π6)+φ]=sin (2x −π3+φ)，∵ 函数g(x)为奇函数．∴ −π3+φ=kπ，φ=kπ+π3，k ∈Z ．不妨令k =0，则φ取值为π3．故有f(x)=sin (ωx +φ)=sin (2x +π3)．∵ 函数y =sin (2x +π3)，∴ 令2kπ−π2≤2x +π3≤π2+2kπ k ∈Z ，即kπ−5π12≤x ≤π12+kπ(k ∈Z)，即函数的单调增区间为：[kπ−5π12, π12+kπ]，k ∈Z ． （2）∵ x ∈[0, π2]，∴ 2x ∈[0, π]，0≤sin 2x ≤1，由（1）得g(x)=sin2x，且y=3[g(x)]2+mg(x)+2(x∈[0,π2])，设t=g(x)，则0≤t≤1，则函数等价为y=3t2+mt+2，0≤t≤1，对称轴为t=−m6，若0<−m6<1，得−6<m<0，则当t=−m6时，y取最小值φ(m)=2−m212，若−m6≤0，得m≥0，则当t=0时，y取最小值φ(m)=2，若−m6≥1，得m≤−6，则当t=1时，y取最小值φ(m)=5+m，即φ(m)={5+m,m≤−62−m212，−6<m<02,m≥0．【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换【解析】（1）先求出ω=2，由所得函数g(x)为奇函数，可求得φ的值，从而确定f(x)的解析式；从而求得f(x)的单调增区间．（2）利用换元法，将函数最化为一元二次函数，利用一元二次函数的性质进行讨论即可．【解答】解：（1）由题意函数f(x)的图象两相邻对称轴之间的距离是π2，可得函数的周期为π，即2πω=π，ω=2，故函数为f(x)=sin(2x+φ)．将函数f(x)图象向右平移π6个单位，得到函数g(x)的解析式为g(x)=sin[2(x−π6)+φ]=sin(2x−π3+φ)，∵函数g(x)为奇函数．∴−π3+φ=kπ，φ=kπ+π3，k∈Z．不妨令k=0，则φ取值为π3．故有f(x)=sin(ωx+φ)=sin(2x+π3)．∵函数y=sin(2x+π3)，∴令2kπ−π2≤2x+π3≤π2+2kπk∈Z，即kπ−5π12≤x≤π12+kπ(k∈Z)，即函数的单调增区间为：[kπ−5π12, π12+kπ]，k∈Z．（2）∵x∈[0, π2]，∴2x∈[0, π]，0≤sin2x≤1，由（1）得g(x)=sin2x，且y=3[g(x)]2+mg(x)+2(x∈[0,π2])，设t=g(x)，则0≤t≤1，则函数等价为y=3t2+mt+2，0≤t≤1，对称轴为t=−m6，若0<−m6<1，得−6<m<0，则当t=−m6时，y取最小值φ(m)=2−m212，若−m6≤0，得m≥0，则当t=0时，y取最小值φ(m)=2，若−m6≥1，得m≤−6，则当t=1时，y取最小值φ(m)=5+m，即φ(m)={5+m,m≤−62−m212，−6<m<02,m≥0．。
河北省廊坊市数学高二上学期文数期末考试试卷
河北省廊坊市数学高二上学期文数期末考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分） (2016高一下·汕头期末) 省农科站要检测某品牌种子的发芽率，计划采用随机数表法从该品牌800粒种子中抽取60粒进行检测，现将这800粒种子编号如下001，002，…，800，若从随机数表第8行第7列的数7开始向右读，则所抽取的第4粒种子的编号是（）（如表是随机数表第7行至第9行）A . 105B . 507C . 071D . 7172. （2分）下列四个结论：①方程k＝与方程y－2＝k(x＋1)可表示同一直线；②直线l过点P(x1 ， y1)，倾斜角为，则其方程为x＝x1；③直线l过点P(x1 ， y1)，斜率为0，则其方程为y＝y1；④所有直线都有点斜式和斜截式方程．其中正确的个数为（）A . 1B . 2C . 3D . 43. （2分）阅读右面的程序框图，则输出的S=（）A . 14B . 20C . 30D . 554. （2分）(2017·三明模拟) 若变量x，y满足约束条件，则的最大值为（）A .B .C . 1D . 25. （2分） (2016高二下·民勤期中) 如图所示，在一个边长为1的正方形AOBC内，曲y=x2和曲线y= 围成一个叶形图（阴影部分），向正方形AOBC内随机投一点（该点落在正方形AOBC内任何一点是等可能的），则所投的点落在叶形图内部的概率是（）A .B .C .D .6. （2分）在四边形ABCD中，AD∥BC，，将沿BD折起，使平面ABD平面BCD，构成三棱锥A-BCD，则在三棱锥A-BCD中，下列命题正确的是（）A . 平面ABD平面ABCB . 平面ADC平面BCDC . 平面ABC平面BCDD . 平面ADC平面ABC7. （2分）已知正方体的外接球的体积是，则这个正方体的棱长是（）A .B .C .D .8. （2分） (2016高二上·河北期中) 为了研究一片大约一万株树木的生长情况，随机测量了其中100株树木的底部周长（单位：cm），根据所得数据画出的样本频率分布直方图如图，那么在这片树木中底部周长大于100cm 的株树大约中（）A . 3000B . 6000C . 7000D . 80009. （2分）已知x,y满足线性约束条件，则的取值范围是（）A .B .C . [1,2]D .10. （2分）(2018·全国Ⅱ卷文) 从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，则选中的2人都是女同学的概率为（）A . 0.6B . 0.5C . 0.4D . 0.311. （2分） (2016高二上·武城期中) 如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，线段D1B1上有两个动点E、F，且EF=1，则下列结论中错误的是（）A . AC⊥BEB . AA1∥平面BEFC . 三棱锥A﹣BEF的体积为定值D . △AEF的面积和△BEF的面积相等12. （2分） (2018高二上·遂宁期末) 在直角坐标系内，已知是以点为圆心的圆上C 的一点，折叠该圆两次使点分别与圆上不相同的两点（异于点）重合，两次的折痕方程分别为和，若圆C上存在点，使得，其中点、，则的最大值为（）A . 7B . 6C . 5D . 4二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）在研究身高和体重的关系时，求得相关指数R2≈________，可以叙述为“身高解释了71%的体重变化”，而随机误差贡献了乘余的29%，所以身高对体重的效应比随机误差的效应大得多．14. （1分） (2017高三上·红桥期末) 执行如图所示的程序框图，若输入的a的值为3，则输出的i=________．15. （1分） (2018高二上·綦江期末) 14．圆截直线所得的弦长为________.16. （1分） (2019高二上·九台月考) 若点在圆上,则实数 ________.三、解答题 (共6题；共45分)17. （5分）若直线ax+3y﹣5=0过连结A（﹣1，﹣2），B（2，4）两点线段的中点，求实数a的值．18. （10分）(2020·邵阳模拟) 某公司为提高市场销售业绩，设计了一套产品促销方案，并在某地区部分营销网点进行试点.运作一年后，对“采取促销”和“没有采取促销”的营销网点各选了50个，对比上一年度的销售情况，分别统计了它们的年销售总额，并按年销售总额增长的百分点分成5组：，，，，，分别统计后制成如图所示的频率分布直方图，并规定年销售总额增长10个百分点及以上的营销网点为“精英店”.“采用促销”的销售网点“不采用促销”的销售网点附①：0.1000.0500.0100.0012.7063.841 6.63510.828附②：对应一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计分别为， .（1）请根据题中信息填充下面的列联表，并判断是否有的把握认为“精英店与采促销活动有关”；采用促销无促销合计精英店非精英店合计5050100（2）某“精英店”为了创造更大的利润，通过分析上一年度的售价（单位：元）和日销量（单位：件）（）的一组数据后决定选择作为回归模型进行拟合.具体数据如下表，表中的45.8395.52413.5 4.621.6①根据上表数据计算，的值；②已知该公司产品的成本为10元/件，促销费用平均5元/件，根据所求出的回归模型，分析售价定为多少时日利润可以达到最大.19. （5分）(2017·温州模拟) 在四菱锥P﹣ABCD中，PA⊥AD，PA=1，PC=PD，底面ABCD是梯形，AB∥CD，AB⊥BC，AB=BC=1，CD=2．（I）求证：PA⊥AB；（II）求直线AD与平面PCD所成角的大小．20. （5分）某校在一次趣味运动会的颁奖仪式上，高一、高二、高三各代表队人数分别为120人、120人、n人．为了活跃气氛，大会组委会在颁奖过程中穿插抽奖活动，并用分层抽样的方法从三个代表队中共抽取20人在前排就坐，其中高二代表队有6人．（1）求n的值；（2）把在前排就坐的高二代表队6人分别记为a，b，c，d，e，f，现随机从中抽取2人上台抽奖．求a和b 至少有一人上台抽奖的概率．（3）抽奖活动的规则是：代表通过操作按键使电脑自动产生两个[0，1]之间的均匀随机数x，y，并按如图所示的程序框图执行．若电脑显示“中奖”，则该代表中奖；若电脑显示“谢谢”，则不中奖，求该代表中奖的概率．21. （10分） (2017高一上·济南月考) 如图11所示，三棱台中，，，分别为的中点.（1）求证：平面；（2）若， ,求证：平面平面 .22. （10分） (2018高一上·广西期末) 已知关于，的方程： .（1）若方程表示圆，求的取值范围；（2）若圆与直线：相交于 , 两点，且，求的值.参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共45分)17-1、18-1、18-2、19-1、20-1、21-1、21-2、22-1、22-2、。
2016-2017学年河北省廊坊市高二上学期期末考试文数试卷(带解析)
绝密★启用前2016-2017学年河北省廊坊市高二上学期期末考试文数试卷（带解析）注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I卷（选择题）请点击修改第I卷的文字说明一、选择题1．命题“若则”的逆否命题是（）A. 若¬p则¬qB. 若¬q则¬pC. 若p则¬qD. 若q则p2．双曲线x2−y24=1的离心率为（）A. 52B. 32C. 5D. 33．已知命题p:∀x∈R，x2+2x−a>0.若p为真命题，则实数a的取值范围是（）A. a>−1 B. a<−1 C. a≥−1 D. a≤−14．某学校有老师100人，男学生600人，女学生500人，现用分层抽样的方法从全体师生中抽取一个容量为n的样本，已知女学生一共抽取了40人，则n的值是（）A. 96 B. 192 C. 95 D. 1905．设x∈R，则“|x−1|<2”是“x2−4x−5<0”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件6．设函数g(x)=x(x2−1)，则g(x)在区间[0,1]上的最大值为（）A. -1B. 0C. −239D. 337．A. 120B. 720C. 1440D. 50408．方程x y(x+y)=1所表示的曲线（）A. 关于x轴对称B. 关于y轴对称C. 关于原点对称D. 关于直线y=x对称9．有一个容量为100的样本，其频率分布直方图如图所示，已知样本数据落在区间[10,12)内的频数比样本数据落在区间[8,10)内的频数少12，则实数m的值等于（）A. 0.10B. 0.11C. 0.12D. 0.1310．已知P为抛物线y2=4x上任意一点，抛物线的焦点为F，点A(2,1)是平面内一点，则|P A|+|P F|的最小值为（）A. 1B. 3C. 2D. 311．方程x2+2x+n2=0(n∈[−1,2])有实根的概率为（）A. 23B. 13C. 14D. 3412．已知离心率e=52的双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点为F，O为坐标原点，以O F为直径的圆与双曲线C的一条渐近线相交于O、A两点.若ΔA O F的面积为1，则实数a 的值为（）A. 1B. 2C. 2D. 413．10101(2)转化为十进制数是__________．14．已知f(x)=2sin x+1，则f′(π4)=_________．第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题15．在五个数字1,2,3,4,5中，若随机取出三个数字，则剩下两个数字至少有一个是偶数的概率为__________．（结果用数值表示） 16．设F 为抛物线C :y 2=3x 的焦点，过F 作直线交抛物线C 于A 、B 两点，O 为坐标原点，则ΔA O B 面积的最小值为__________．三、解答题17．已知函数f (x )=13x 3−x 2−3x +1.（1）求y =f (x )在x =1处的切线方程； （2）求y =f (x )的极值点.18．已知命题p :实数m 满足m 2−7a m +12a 2<0(a >0)，命题q :实数m 满足方程x 2m −1+y 22−m=1表示焦点在y 轴上的椭圆，若¬p 是¬q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围.19．小王、小李两位同学玩掷骰子（骰子质地均匀）游戏，规则：小王先掷一枚骰子，向上的点数记为x ；小李后掷一枚骰子，向上的点数记为y . （1）求x +y 能被3 整除的概率.（2）规定：若x +y ≥10，则小王赢；若x +y ≤4，则小李赢，其他情况不分输赢.试问这个游戏规则公平吗？请说明理由.20．某百货公司1～6月份的销售量x 与利润y 的统计数据如下表：（1）根据2～5月份的统计数据，求出y 关于x 的回归直线方程y=b x +a ； （2）若由回归直线方程得到的估计数据与剩下的检验数据的误差均不超过2 万元，则认为得到的回归直线方程是理想的，试问所得回归直线方程是否理想？ （参考公式：b ^=(x i −x)(y i −y ni =1) (x i ni =1−x)2=x i y i −nxy ni =1x i2ni =1−n (x)2=，a ^=y−bx ） 21．已知点A (0,−2)，椭圆E :x 2a +y 2b=1(a >b >0)的离心率为 32，F 是椭圆E 的右焦点，直线A F 的斜率为2 33，O 为坐标原点.（1）求E 的方程；（2）设过点A 的动直线l 与E 相交于P ,Q 两点，问：是否存在直线l ，使以P Q 为直径的圆经过原点O ，若存在，求出对应直线l 的方程，若不存在，请说明理由.12（1）若函数 (x)在(1,f(1))和(3,f(3))处的切线互相平行，求实数m的值；（2）求 (x)的单调区间.参考答案1．B【解析】本题主要考查命题及其关系。
河北省廊坊市高二数学上学期期末考试试题 文(扫描版)
2015－2016学年度第一学期期末考试高二数学试题参考答案（文科）一、选择题（每小题5分，共60分）1. A2.D3. B4.C5.B6. A7. C8. B9. D 10.B 11. C 12. C 二、填空题（每小题5分，共20分） 13．1y x =- 14．53615．8 16．①③④ 三、解答题：17.（本题满分10分）解：（1）[)3.01003.060,50=⨯的频率为， ………………1分 [)4.01004.070,60=⨯的频率为 ………………2分 [)7.04.03.070,50=+∴的频率为汽车速度在 ………………4分（2）设中位数为x ，由频率分布直方图可知中位数落在[)60,70之间，()0.1+0.3+600.040.5x ∴-⨯= ………………8分 得62.5x = ………………10分 18（本题满分12分）解：由已知()x f 的定义域为R ，()⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=m x mx x mx x f 2363'2 ………… 1分（1）()x f Θ在1=x 处取得极小值1()()⎩⎨⎧==∴01'11f f ………… 3分即经检验符合题意，解得,42063123⎩⎨⎧==⎩⎨⎧=-=-+-n m m n m ………… 5分（2）由（1）可得()()16'-=x x x f …………6分()()()02101>⋃-∈x f x 时，，，，()()010<∈x f x 时，，………… 8分 ()()()()上为减函数，为增函数，在，和，在区间102101-∴x f()()(){}20m ax max f f x f ，=∴ …………10分()()0226f f ==而，()()62max ==∴f x f …………12分3149)3(491=-+--=-∴y x x y l 即的方程为：19（本题满分12分）解：（1）022=--y x 令0=y 得焦点（2,0）2=c ………… 1分 又21==a c e Θ12,4222=-==∴c ab a …………3分 1121622=+∴y x 椭圆方程为 ……… 4分（2）设),(),,(2211y x B y x A ，由题意，2,62121=+=+y y x x …………6分⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+)2(11216)1(1121622222121y x y x 式式)1()2(-得012))((16))((12121212=--++-y y y y x x x x 491212-=--=x x y y k l …………10分………… 12分 (第2小题也可用韦达定理）20、（本题满分12分） 解：21321,,,1b b a a a ，白球为）记红球为（{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}种共所有可能的情况有10,,,,,,,,,,,21231322123221113121b b b a b a b a b a a a b a b a a a a a其中颜色相同的共有4种52104==∴P 中奖的概率………… 5分（2）设小张和小李到达的时间分别为10点到11点之间的x 、y 分钟． 用(,)x y 表示每次试验的结果， 则所有可能结果为(){}6020,400,≤≤≤≤=Ωy x y x ； ………… 7分 记小张比小李提前到达为事件A ，则事件A 的可能结果为(){}6020,400,,≤≤≤≤<=y x y x y x A ． …………9分如图所示，试验全部结果构成区域Ω为正方形ABCD ．而事件A 所构成区域是正方形内的阴影部分．根据几何概型公式，得到2221402072()408S P A S -⨯===阴影正方形． 所以，小张比小李提前到达的概率为78． …………12分21（本题满分12分）解：由已知由已知()x f 的定义域为()∞+，0， ()()()3322321'xa x a x x a x x a x x f +-=-=-= …………2分 （1）00<-∴>a a ，Θ()()()()00,0>∞+∈<∈x f a x x f a x 时，，，当时，当()()()a a x f ，，减区间为，的增区间为0∞+∴ …………4分（2）由（1）可知①当01a <≤时，()[]上单调递增，在21e xf ()()()舍，得22212min====∴a a f x f …………6分②时，当21e a <<()x f 在()a ，1上单调递减，在()2e a ，上单调递增 ()()221ln min =+==∴a a f x f ，得23e a = …………9分 ③()[]上单调递减，在时，当221e x f e a ≥ ()()，无解222222min =+==∴e a ef x f …………11分综上所述：23e a = …………12分22、（本题满分12分）解：（1）设直线l ：m x y -=代入ax y =2得 …………1分 02=--am ay y0)(4B 2>--=∆∴am a A 、有两个不同交点Θ得4am -> … ………3分 设),(),,(2211y x B y x A ，am y y a y y -==+2121,()[]()a am a y y y y y y AB ≤+=-+=-=4242)(2221221212得8am -≤ …5分 84am a -≤<-∴ …………6分 （2）线段AB 的中点)2,2(2121y y x x ++=)2,2(2121y y m y m y ++++=)2,2(am a +线段AB 的垂直平分线方程为：)2(2m ax a y ---=-令0=y …………8分得)0,(a m Q +Q 到AB 的距离为d =…………10分 242221221a a a AB a S QAB =⋅⋅≤⋅=∴∆即QAB ∆面积的最大值为242a ……12分。
2015-2016年河北省邯郸市高二(上)期末数学试卷(文科)及答案答案
2015-2016学年河北省邯郸市高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中只有一个符合题目要求）1．（5分）如果a＞b＞0，那么下列不等式成立的是（）A．a2＞ab B．ab＜b2C．＞D．＞2．（5分）“∀x∈R，x2﹣2＞0”的否定是（）A．∀x∈R，x2﹣2＜0B．∀x∈R，x2﹣2≤0C．∃x0∈R，x﹣2＜0D．∃x0∈R，x﹣2≤03．（5分）在等差数列{a n}中，a5=5，a10=15，则a15=（）A．20B．25C．45D．754．（5分）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，a=3，A=45°，B=60°，则b=（）A．B．C．D．5．（5分）曲线y=x+e x在点（0，1）处的切线方程为（）A．2x+y﹣1=0B．x+2y﹣1=0C．2x﹣y+1=0D．x﹣2y+1=0 6．（5分）“m＞0”是“x2+x+m=0无实根”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件7．（5分）函数f（x）的定义域为R，其导函数f′（x）的图象如图，则f（x）的极值点有（）A．3个B．4个C．5个D．6个8．（5分）已知数列{a n}是递增的等比数列，a1+a5=17，a2a4=16，则公比q=（）A．﹣4B．4C．﹣2D．29．（5分）经过点（3，﹣）的双曲线﹣=1，其一条渐近线方程为y=x，该双曲线的焦距为（）A．B．2C．2D．410．（5分）某研究机构对高二学生的记忆力x和判断力y进行统计分析，给出变量x、y的6组数据如表：由表中数据得出线性回归方程y=x+的斜率为=3.3．当x=12时，预测y的值为（）A．79.8B．96.6C．83.1D．69.711．（5分）设椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，P是椭圆上一点，|PF1|=2|PF2|，∠F1PF2=，则椭圆离心率的值为（）A．B．C．D．12．（5分）若函数f（x）=x4﹣ax2﹣bx﹣1在x=1处有极值，则9a+3b的最小值为（）A．4B．9C．18D．81二、填空题．（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）已知命题p：“3是偶数”，命题q：“π是无理数”，那么命题p∨q为命题．（填“真”或“假”）14．（5分）若变量x，y满足约束条件，则z=x﹣2y的最小值为．15．（5分）已知在观测点P处测得在正东方向A处一轮船正在沿正北方向匀速航行，经过1小时后在观测点P测得轮船位于北偏东60°方向B处，又经过t小时发现该轮船在北偏东45°方向C处，则t=．16．（5分）对于正整数n，设曲线y=x n（2﹣x）在x=2处的切线与y轴交点的纵坐标为a n，则数列{a n}的前n项和为S n=．三、解答题（本大题共6小题，满分70分，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算过程）17．（10分）已知S n为等差数列{a n}的前n项和，且a2=3，S4=16，（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=（n∈N*），求数列{b n}的前n项和T n．18．（12分）△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c．已知a2+c2﹣ac=b2．（1）求角B；（2）当b=6，sinC=2sinA时，求△ABC的面积．19．（12分）为研究学生语文学习水平是否对数学学习有影响，某校在期中考试后对100名学生的语文．数学成绩进行了统计，得知在语文及格的65名学生中有45人数学及格，而另外35名语文不及格的学生中数学也不及格的有20人．（1）根据已知数据填写2×2列联表：（2）能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为语文学习水平与数学成绩有关，附：①临界值表：②，其中n=a+b+c+d．20．（12分）已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，C上一点（3，m）到焦点的距离为5．（1）求C的方程；（2）过F作直线l，交C于A、B两点，若线段AB中点的纵坐标为﹣1，求直线l的方程．21．（12分）已知函数f（x）=lnx+ax（a∈R）．（1）当a=﹣1时，求函数f（x）的单调区间；（2）如果函数g（x）=f（x）+在（0，+∞）上单调递增，求a的取值范围．22．（12分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，且椭圆C的离心率e=，长轴长为2．（1）求椭圆C的标准方程；（2）直线l：x=my﹣3交椭圆C于P、Q两点，求△PQF2面积的最大值．2015-2016学年河北省邯郸市高二（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中只有一个符合题目要求）1．（5分）如果a＞b＞0，那么下列不等式成立的是（）A．a2＞ab B．ab＜b2C．＞D．＞【解答】解：∵a＞b＞0，∴a2＞ab，ab＞b2，，b2＜a2即．故选：A．2．（5分）“∀x∈R，x2﹣2＞0”的否定是（）A．∀x∈R，x2﹣2＜0B．∀x∈R，x2﹣2≤0C．∃x0∈R，x﹣2＜0D．∃x0∈R，x﹣2≤0【解答】解：命题是全称命题，则命题的否定是特称命题，即∃x0∈R，x﹣2≤0，故选：D．3．（5分）在等差数列{a n}中，a5=5，a10=15，则a15=（）A．20B．25C．45D．75【解答】解：∵在等差数列{a n}中，a5=5，a10=15，∴，解得a1=﹣3，d=2，∴a15=﹣3+14×2=25．故选：B．4．（5分）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，a=3，A=45°，B=60°，则b=（）A．B．C．D．【解答】解：∵a=3，A=45°，B=60°，∴由正弦定理可得：b===．故选：B．5．（5分）曲线y=x+e x在点（0，1）处的切线方程为（）A．2x+y﹣1=0B．x+2y﹣1=0C．2x﹣y+1=0D．x﹣2y+1=0【解答】解：∵y=f（x）=x+e x，∴f'（x）=1+e x，∴在点（0，1）处切线斜率k=f'（0）=1+1=2，∴在点（0，1）处切线方程为y﹣1=2（x﹣0）=2x，即2x﹣y+1=0，故选：C．6．（5分）“m＞0”是“x2+x+m=0无实根”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：x2+x+m=0无实根⇔△=1﹣4m＜0，⇔m．∴“m＞0”是“x2+x+m=0无实根”的必要不充分条件，故选：B．7．（5分）函数f（x）的定义域为R，其导函数f′（x）的图象如图，则f（x）的极值点有（）A．3个B．4个C．5个D．6个【解答】解：结合函数图象，根据极值的定义可知在该点处从左向右导数符号相反，从图象上可看出符合条件的有3点，故选：A．8．（5分）已知数列{a n}是递增的等比数列，a1+a5=17，a2a4=16，则公比q=（）A．﹣4B．4C．﹣2D．2【解答】解：设等比数列{a n}是公比为q的递增的等比数列，由a2a4=16，可得a1a5=16，又a1+a5=17，解得或（不合题意，舍去），即有q4=16，解得q=2（负的舍去）．故选：D．9．（5分）经过点（3，﹣）的双曲线﹣=1，其一条渐近线方程为y=x，该双曲线的焦距为（）A．B．2C．2D．4【解答】解：点（3，﹣）在双曲线﹣=1上，可得﹣=1，又渐近线方程为y=±x，一条渐近线方程为y=x，可得=，解得a=，b=1，可得c==2，即有焦距为2c=4．故选：D．10．（5分）某研究机构对高二学生的记忆力x和判断力y进行统计分析，给出变量x、y的6组数据如表：由表中数据得出线性回归方程y=x+的斜率为=3.3．当x=12时，预测y的值为（）A．79.8B．96.6C．83.1D．69.7【解答】解：=（3+4+5+6+8+10）=6，=（40+45+60+55+70+90）=60．∴60=3.3×6+，解得=40.2．∴回归方程为y=3.3x+40.2，当x=12时，y=3.3×12+40.2=79.8．故选：A．11．（5分）设椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，P是椭圆上一点，|PF1|=2|PF2|，∠F1PF2=，则椭圆离心率的值为（）A．B．C．D．【解答】解：如图，由题意可设|PF1|=2m，|PF2|=m，∵∠F1PF2=，∴=5m2﹣2m2=3m2，则|F1F2|=．则由椭圆的定义可得3m=2a，即a=，又2c=，c=，∴．故选：B．12．（5分）若函数f（x）=x4﹣ax2﹣bx﹣1在x=1处有极值，则9a+3b的最小值为（）A．4B．9C．18D．81【解答】解：f′（x）=4x3﹣2ax﹣b，若f（x）在x=1处有极值，则f′（x）=4﹣2a﹣b=0，∴2a+b=4，∴9a+3b=32a+3b≥2=18，当且仅当9a=3b时“=”成立，故选：C．二、填空题．（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）已知命题p：“3是偶数”，命题q：“π是无理数”，那么命题p∨q为真命题．（填“真”或“假”）【解答】解：命题p：“3是偶数”，是假命题，命题q：“π是无理数”，是真命题，则命题p∨q是真命题，故答案为：真．14．（5分）若变量x，y满足约束条件，则z=x﹣2y的最小值为﹣2．【解答】解：作出约束条件所对应的可行域（如图△ABC），变形目标函数可得y=x﹣z，平移直线y=x可知，当直线经过点A（，）时，直线的截距最大，z取最小值﹣2，故答案为：﹣2．15．（5分）已知在观测点P处测得在正东方向A处一轮船正在沿正北方向匀速航行，经过1小时后在观测点P测得轮船位于北偏东60°方向B处，又经过t小时发现该轮船在北偏东45°方向C处，则t=．【解答】解：设轮船的速度为v，则AB=v，PA=AC=v，∴BC=（﹣1）v，∴t==．故答案为：．16．（5分）对于正整数n，设曲线y=x n（2﹣x）在x=2处的切线与y轴交点的纵坐标为a n，则数列{a n}的前n项和为S n=2n+2﹣4．【解答】解：∵y=x n（2﹣x），∴y'=2nx n﹣1﹣（n+1）x n，∴曲线y=x n（2﹣x）在x=2处的切线的斜率为k=n2n﹣（n+1）2n=﹣2n，切点为（2，0），∴切线方程为y=﹣2n（x﹣2），令x=0得a n=2n+1，∴S n==2n+2﹣4，故答案为：2n+2﹣4．三、解答题（本大题共6小题，满分70分，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算过程）17．（10分）已知S n为等差数列{a n}的前n项和，且a2=3，S4=16，（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=（n∈N*），求数列{b n}的前n项和T n．【解答】解：（1）设数列{a n}的首项为a1，公差为d，由题意得，解得，故数列{a n}的通项公式；（2）由（1）得，即有=．18．（12分）△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c．已知a2+c2﹣ac=b2．（1）求角B；（2）当b=6，sinC=2sinA时，求△ABC的面积．【解答】解：（1）∵△ABC中a2+c2﹣ac=b2，∴ac=a2+c2﹣b2，∴由余弦定理可得，∵B为三角形的内角，∴；（2）∵sinC=2sinA，∴由正弦定理可得c=2a，代入a2+c2﹣ac=b2得36=a2+4a2﹣2a2，解得，，满足a2+b2=c2，∴△ABC为直角三角形，∴19．（12分）为研究学生语文学习水平是否对数学学习有影响，某校在期中考试后对100名学生的语文．数学成绩进行了统计，得知在语文及格的65名学生中有45人数学及格，而另外35名语文不及格的学生中数学也不及格的有20人．（1）根据已知数据填写2×2列联表：（2）能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为语文学习水平与数学成绩有关，附：①临界值表：②，其中n=a+b+c+d．【解答】解：（1）根据题目所给数据得到如下列联表：（4分）（2）根据列联表中的数据，得到（10分）（12因此，在犯错误的概率不超过0.025的前提下，认为语文成绩与数学成绩有关．分）20．（12分）已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，C上一点（3，m）到焦点的距离为5．（1）求C的方程；（2）过F作直线l，交C于A、B两点，若线段AB中点的纵坐标为﹣1，求直线l的方程．【解答】解：（1）抛物线C：y2=2px（p＞0）的准线方程为，由抛物线的定义可知（2分）解得p=4（3分）∴C的方程为y2=8x．（4分）（2）由（1）得抛物线C的方程为y2=8x，焦点F（2，0）设A，B两点的坐标分别为A（x1，y1），B（x2，y2），则（6分）两式相减．整理得∵线段AB中点的纵坐标为﹣1∴直线l的斜率（10分）直线l的方程为y﹣0=﹣4（x﹣2）即4x+y﹣8=0（12分）21．（12分）已知函数f（x）=lnx+ax（a∈R）．（1）当a=﹣1时，求函数f（x）的单调区间；（2）如果函数g（x）=f（x）+在（0，+∞）上单调递增，求a的取值范围．【解答】解：（1）根据题意，f（x）=lnx﹣x，定义域为x∈（0，+∞）（1分）（2分），f'（x）＞0⇒x＜1，f'（x）＜0⇒x＞1（13分）故在区间（0，1）函数单调递增，在区间（1，+∞）函数单调递减（4分）；（2），（5分）函数（0，+∞）上单调递减，导数在（0，+∞）上g'（x）≤0恒成立（6分）参变分离（7分），令，只需a≤h（x）min即可，（9分）函数在区间（0，4）函数单调递减，在区间（4，+∞）函数单调递增（10分），∴（12分）．22．（12分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，且椭圆C的离心率e=，长轴长为2．（1）求椭圆C的标准方程；（2）直线l：x=my﹣3交椭圆C于P、Q两点，求△PQF2面积的最大值．【解答】解：（1）根据题意，，解得：a2=2，b2=1，∴椭圆方程为；（2）联立，得（m2+2）y2﹣6my+7=0．记P（x1，y1），Q（x2，y2），则，由△=36m2﹣28（m2+2）＞0，解得或m．则，又焦点F2到直线PQ的距离，∴．令m2﹣7=t2，m2＞7，t＞0，则，当且仅当t=3，即m2=16，m=±4取得最大值．。
2015-2016年河北省邢台市高二(上)期末数学试卷(文科)及答案
2015-2016学年河北省邢台市高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）命题“若x≥1，则3x﹣2x≥1”的逆否命题是（）A．若3x﹣2x≥1，则x≥1B．若3x﹣2x＜1，则x＜1C．若x＜1，则3x﹣2x＜1D．若3x﹣2x＜1，则x≥12．（5分）设f（x）=（2x﹣1）e x，则f′（0）等于（）A．1B．﹣1C．4D．﹣43．（5分）直线x﹣2y+1=0与直线2x+ay﹣3=0相互垂直，则实数a的值为（）A．1B．﹣1C．4D．﹣44．（5分）椭圆2x2+4y2=1的长轴长等于（）A．4B．2C．D．15．（5分）设a，b，c为三条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列判断正确的是（）A．若a⊥b，b⊥c，则a⊥c B．若a∥α，b∥α，则a∥bC．若a∥α，b⊥α，则b∥αD．若a⊥α，α∥β，则a⊥β6．（5分）函数f（x）=ax3+bx2+1，在x=1处取得极大值3，则f（x）的极小值为（）A．﹣1B．0C．1D．27．（5分）已知m，n∈R则“m＞0且n＞0”是“曲线+=1为椭圆”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件8．（5分）若曲线x2+y2﹣2x﹣8y+16=0与曲线x2+y2﹣6x﹣4y+12=0关于直线x+by+c=0对称，则bc=（）A．﹣1B．1C．﹣2D．29．（5分）某棱锥的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．1B．2C．D．310．（5分）已知命题p：若方程x2+y2+2mx﹣2y+2m=0表示圆，则实数m≠1；命题q：若以原点为对称中心，坐标轴为对称轴的双曲线的一条渐近线与直线2x ﹣y+1=0平行，则双曲线的离心率等于，下列命题真确的是（）A．p∧q B．￢p∨q C．p∧￢q D．￢p∧￢q 11．（5分）已知x=3是函数f（x）=的一个极值点，则函数f（x）的单调增区间为（）A．（﹣∞，1），（3，+∞）B．（，3）C．（﹣∞，），（3，+∞）D．（1，3）12．（5分）经过抛物线y=ax2（a＞0）的焦点F，且倾斜角为的直线与抛物线在第一象限的交点为A，过A作x轴的垂线，垂足为B，若△ABF的面积为，则实数a的值为（）A．4B．2C．1D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上．.13．（5分）命题“∃x＞0，lnx﹣x≥0”的否定是．14．（5分）已知抛物线y2=8x的焦点与双曲线mx2﹣=1的右焦点重合，则双曲线的渐近线的方程为．15．（5分）若函数f（x）=|lnx|+ax有且仅有两个零点，则实数a=．16．（5分）已知三棱锥P﹣ABC中，PA⊥底面ABC，AC=BC=4，AB=8，PA=4，则三棱锥P﹣ABC外接球的表面积为．三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．（10分）已知直线l经过直线2x+y﹣5=0与x﹣2y=0的交点，（1）点A（5，0）到l的距离为3，求l的方程；（2）求点A（5，0）到l的距离的最大值．18．（12分）已知椭圆M：=1，经过点（2，2）的双曲线N：=1（a＞0，b＞0）的离心率与椭圆M的离心率互为倒数．（1）求双曲线N的方程；（2）抛物线的准线经过双曲线N的左焦点，求抛物线的方程．19．（12分）已知函数f（x）=alnx++bx在x=1处取得极值﹣．（1）求a，b的值；（2）求函数f（x）的单调区间．20．（12分）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=4，AD=AA1=3，M是线段B1D1的中点．（1）求证：BM∥平面D1AC（2）求B1到平面D1AC的距离．21．（12分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，直线l：y=x+2与以原点O为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆O相切．（1）求椭圆C的方程；（2）设椭圆C与直线y=kx（k＞1）在第一象限的交点为A，B（，1），若•=，求k的值．22．（12分）已知函数f（x）=的图象在点（0，0）处的切线方程为y=9x，其中a＞0，b，c∈R，且b+c=10（1）求b，c的值及函数f（x）的单调区间；（2）若在区间[1，2]上仅存在一个x0，使得f（x0）≥a，求实数a的值．2015-2016学年河北省邢台市高二（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）命题“若x≥1，则3x﹣2x≥1”的逆否命题是（）A．若3x﹣2x≥1，则x≥1B．若3x﹣2x＜1，则x＜1C．若x＜1，则3x﹣2x＜1D．若3x﹣2x＜1，则x≥1【解答】解：命题的条件为“x≥1”，结论为“3x﹣2x≥1”，否定结果作条件，否定条件作结论，即为其逆否命题．故逆否命题：若3x﹣2x＜1，则x＜1．故选：B．2．（5分）设f（x）=（2x﹣1）e x，则f′（0）等于（）A．1B．﹣1C．4D．﹣4【解答】解：∵f（x）=（2x﹣1）e x，∴f′（x）=2e x+（2x﹣1）e x，∴f′（0）=2e0+（2×0﹣1）e0=1，故选：A．3．（5分）直线x﹣2y+1=0与直线2x+ay﹣3=0相互垂直，则实数a的值为（）A．1B．﹣1C．4D．﹣4【解答】解：直线x﹣2y+1=0的斜率存在且不为0，∵直线x﹣2y+1=0与直线2x+ay﹣3=0相互垂直，∴=﹣1，解得a=1．故选：A．4．（5分）椭圆2x2+4y2=1的长轴长等于（）A．4B．2C．D．1【解答】解：椭圆2x2+4y2=1的标准方程为=1，∴a==，∴椭圆2x2+4y2=1的长轴长2a=．故选：C．5．（5分）设a，b，c为三条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列判断正确的是（）A．若a⊥b，b⊥c，则a⊥c B．若a∥α，b∥α，则a∥bC．若a∥α，b⊥α，则b∥αD．若a⊥α，α∥β，则a⊥β【解答】解：由a，b，c为三条不同的直线，α，β是两个不同的平面，知：在A中，若a⊥b，b⊥c，则a与c相交、平行或异面，故A不正确；在B中，若a∥α，b∥α，则a与b相交、平行或异面，故B不正确；在C中，若a∥α，b⊥α，则b与α相交，故C不正确；在D中，若a⊥α，α∥β，则由平面与平面垂直的判定定理得a⊥β，故D正确．故选：D．6．（5分）函数f（x）=ax3+bx2+1，在x=1处取得极大值3，则f（x）的极小值为（）A．﹣1B．0C．1D．2【解答】解：∵f（x）=ax3+bx2+1，∴f′（x）=3ax2+2bx，∵当x=1时，有极大值3，∴f′（1）=0，f（1）=3，∴3a+2b=0，a+b+1=3，∴a=﹣4，b=6，即f（x）=﹣4x3+6x2+1，f′（x）=﹣12x2+12x=﹣12x（x﹣1），由f′（x）＞0得0＜x＜1此时函数递增，由f′（x）＜0得x＞1或x＜0，此时函数递减，则当x=0时，函数取得极小值f（0）=1，在x=1处取得极大值f（1）=﹣4+6+1=3，满足条件．故选：C．7．（5分）已知m，n∈R则“m＞0且n＞0”是“曲线+=1为椭圆”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：当n=n=1时，+=1表示半径为1的圆，即充分性不成立，若+=1为椭圆，则m＞0，且n＞0且m≠n，即必要性成立，故“m＞0且n＞0”是“曲线+=1为椭圆”必要不充分条件，故选：B．8．（5分）若曲线x2+y2﹣2x﹣8y+16=0与曲线x2+y2﹣6x﹣4y+12=0关于直线x+by+c=0对称，则bc=（）A．﹣1B．1C．﹣2D．2【解答】解：方程x2+y2﹣2x﹣8y+16=0可化为（x﹣1）2+（y﹣4）2=1，表示圆心为（1，4）半径为1的圆，同理方程x2+y2﹣6x﹣4y+12=0可化为（x﹣3）2+（y﹣2）2=1，表示圆心为（3，2）半径为1的圆，∵两圆关于直线x+by+c=0对称，∴两圆心（1，4）和（3，2）关于直线x+by+c=0对称，∴，解得b=﹣1，c=1，∴b=﹣1，故选：A．9．（5分）某棱锥的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．1B．2C．D．3【解答】解：已知中的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的四棱锥，其底面面积S==3，高h=，故体积V==，故选：C．10．（5分）已知命题p：若方程x2+y2+2mx﹣2y+2m=0表示圆，则实数m≠1；命题q：若以原点为对称中心，坐标轴为对称轴的双曲线的一条渐近线与直线2x ﹣y+1=0平行，则双曲线的离心率等于，下列命题真确的是（）A．p∧q B．￢p∨q C．p∧￢q D．￢p∧￢q【解答】解：命题p：方程x2+y2+2mx﹣2y+2m=0配方为：（x+m）2+（y﹣1）2=m2﹣2m+1，若此方程表示圆，则实数m≠1，正确；命题q：若以原点为对称中心，坐标轴为对称轴的双曲线的一条渐近线与直线2x ﹣y+1=0平行，则=2或，可得：e==或，因此不正确．因此下列命题真确的是p∧￢q．故选：C．11．（5分）已知x=3是函数f（x）=的一个极值点，则函数f（x）的单调增区间为（）A．（﹣∞，1），（3，+∞）B．（，3）C．（﹣∞，），（3，+∞）D．（1，3）【解答】解：∵f′（x）=﹣，x=3是极值点，∴由f′（3）=0，解得：m=，∴f′（x）=﹣，令f′（x）＞0，解得：＜x＜3，∴f（x）在（，3）递增，故选：B．12．（5分）经过抛物线y=ax2（a＞0）的焦点F，且倾斜角为的直线与抛物线在第一象限的交点为A，过A作x轴的垂线，垂足为B，若△ABF的面积为，则实数a的值为（）A．4B．2C．1D．【解答】解：设A（x，y），则∵直线AF的倾斜角为，∴y=x+①，∴△ABF的面积为，∴=②，∵A是抛物线在第一象限内的点，∴y=ax2③，∴由①②③可得a=，x=，y=．故选：D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上．.13．（5分）命题“∃x＞0，lnx﹣x≥0”的否定是∀x＞0，lnx﹣x＜0．【解答】解：命题是特称命题，则命题的否定是：∀x＞0，lnx﹣x＜0，故答案为：∀x＞0，lnx﹣x＜0．14．（5分）已知抛物线y2=8x的焦点与双曲线mx2﹣=1的右焦点重合，则双曲线的渐近线的方程为y=±x．【解答】解：抛物线y2=8x的焦点为（2，0），即有双曲线mx2﹣=1即﹣=1的右焦点为（2，0），则=2，解得m=，即有双曲线的方程为﹣=1，可得渐近线方程为y=±x．故答案为：y=±x．15．（5分）若函数f（x）=|lnx|+ax有且仅有两个零点，则实数a=．【解答】解：由f（x）=|lnx|+ax=0得，|lnx|=﹣ax，作出函数f（x）和y=﹣ax的图象如图：由图得，当直线y=﹣ax与y=lnx在x＞1时相切时，函数f（x）有两个不相等的零点，设切点P的坐标为（x0，y0），∵f′（x）=，∴f′（x0）=，则切线方程为y﹣y0=（x﹣x0），即y=•x+y0﹣1=•x+lnx0﹣1，∵切线方程为y=﹣ax，∴﹣a=且lnx0﹣1=0，解得x0=e，则a=，∴要使函数f（x）有且仅有两个零点，则a=，故答案为：．16．（5分）已知三棱锥P﹣ABC中，PA⊥底面ABC，AC=BC=4，AB=8，PA=4，则三棱锥P﹣ABC外接球的表面积为88π．【解答】解：在△ABC中，AC=BC=4，AB=8，故cosC==，故sinC=，故△ABC的外接圆半径r==3，故棱锥的外接球的半径R2==22，故三棱锥P﹣ABC外接球的表面积S=4πR2=88π，故答案为：88π．三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．（10分）已知直线l经过直线2x+y﹣5=0与x﹣2y=0的交点，（1）点A（5，0）到l的距离为3，求l的方程；（2）求点A（5，0）到l的距离的最大值．【解答】解：（1）经过两已知直线交点的直线系方程为（2x+y﹣5）+λ（x﹣2y）=0，即（2+λ）x+（1﹣2λ）y﹣5=0，∵点A（5，0）到l的距离为3，∴=3．即2λ2﹣5λ+2=0，∴λ=2，或λ=，∴l方程为x=2或4x﹣3y﹣5=0．（2）由解得，交点P（2，1），如图，过P作任一直线l，设d为点A到l的距离，则d≤|PA|（当l⊥PA时等号成立）．∴d max=|PA|=．18．（12分）已知椭圆M：=1，经过点（2，2）的双曲线N：=1（a＞0，b＞0）的离心率与椭圆M的离心率互为倒数．（1）求双曲线N的方程；（2）抛物线的准线经过双曲线N的左焦点，求抛物线的方程．【解答】解：（1）∵椭圆M：=1，经过点（2，2）的双曲线N：=1（a＞0，b＞0）的离心率与椭圆M 的离心率互为倒数，∴，解得a=2，b=2，∴双曲线N的方程为=1．（2）双曲线N：=1的左焦点为F（，0），∴抛物线的准线经过双曲线N的左焦点，∴抛物线的准线方程为x=﹣2，∴抛物线的方程为y2=8．19．（12分）已知函数f（x）=alnx++bx在x=1处取得极值﹣．（1）求a，b的值；（2）求函数f（x）的单调区间．【解答】解：（1）函数f（x）=alnx++bx，定义域是（0，+∞），∴f′（x）=+x+b，由题意得：，即，解得a=2，b=﹣3；（2）由（1）得：f′（x）=，（x＞0），令f′（x）＞0，解得：0＜x＜1或x＞2，令f′（x）＜0，解得：1＜x＜2，∴f（x）在（0，1）递增，在（1，2）递减，在（2，+∞）递增．20．（12分）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=4，AD=AA1=3，M是线段B1D1的中点．（1）求证：BM∥平面D1AC（2）求B1到平面D1AC的距离．【解答】（1）证明：连接BD，与AC相交于O，连接OD1，则O是BD的中点，∵M是线段B1D1的中点，∴D1M∥BO，D1M=BO，∴D1MBO是平行四边形，∴D1O∥MB，∵BM⊄平面D1AC，D1O⊂平面D1AC∴BM∥平面D1AC；（2）解：∵AB=4，AD=AA1=3，∴=4×3×3﹣××3=18，∵△D1AC中，D1A=3，D1C=5=AC，∴==，设B1到平面D1AC的距离为h，则=18，∴h=．21．（12分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，直线l：y=x+2与以原点O为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆O相切．（1）求椭圆C的方程；（2）设椭圆C与直线y=kx（k＞1）在第一象限的交点为A，B（，1），若•=，求k的值．【解答】解：（1）由题意可得e==，又圆O的方程为x2+y2=b2，因为直线l：x﹣y+2=0与圆O相切，故有b==，由a2=3c2=3（a2﹣b2），即a2=3．所以椭圆C的方程为+=1；（2）设点A（x0，y0）（x0＞0，y0＞0），则y0=kx0．由，解得，∵•=•+=，∴k=（k=0舍去）．22．（12分）已知函数f（x）=的图象在点（0，0）处的切线方程为y=9x，其中a＞0，b，c∈R，且b+c=10（1）求b，c的值及函数f（x）的单调区间；（2）若在区间[1，2]上仅存在一个x0，使得f（x0）≥a，求实数a的值．【解答】解：（1）f′（x）=，∴f′（0）==9，而b+c=10，解得：b=9，c=1，∴f（x）=，f′（x）=，令f′（x）＞0，解得：﹣＜x＜，令f′（x）＜0，解得：x＞或x＜﹣，∴f（x）在（﹣∞，﹣）递减，在（﹣，）递增，在（，+∞）递减；（2）由（1）得：f（x）在（﹣，）递增，在（，+∞）递减，①a≥1时，≤1，f（x）在[1，2]递减，∴f（x）max=f（1）==a，解得：a=，②0＜a≤时，≥2，f（x）在[1，2]递增，∴f（x）max=f（2）==a，无解，③＜a＜1即1＜＜2时，f（x）在[1，）递增，在（，2]递减，f（x）max=f（）==a，无解，综上，a=．。
河北省廊坊市高二数学上学期期末试卷 理(含解析)
2015-2016学年河北省廊坊市高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1．若命题p：∀x∈R，x2﹣3x+5＞0，则该命题的否定是（）A．∃x∈R，x2﹣3x+5≤0 B．∃x∈R，x2﹣3x+5＞0C．∀x∈R，x2﹣3x+5＜0 D．∀x∈R，x2﹣3x+5≤02．抛物线的焦点坐标是（）A．（0，1）B． C． D．3．某商场有A、B、C、D四类产品，A、B、C、D分别有40，10，30，20种，现从这抽取一个容量为20的样本，则抽取的B、D两类产品种数之和是（）A．4 B．5 C．6 D．74．根据如下样本数据得到的回归直线方程必过点（）x 0 1 2 3 4y 1 3 4 5 7A．（2，2）B．（1.5，2）C．（2，4）D．（1.5，4）5．“α是第一象限角”是“关于x，y的方程x2sinα+y2cosα=1所表示的曲线是椭圆”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件6．已知双曲线的一条渐近线方程为y=2x，则双曲线的离心率为（）A．B．C．或 D．27．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果是（）A．2 B．4 C．8 D．168．已知椭圆与双曲线有相同的焦点，则动点P（n，m）的轨迹是（）A．椭圆的一部分 B．双曲线的一部分C．抛物线的一部分D．圆的一部分9．一个圆内有一个内接等边三角形，一动点在圆内运动，则此点落在等边三角形内部的概率为（）A．B．C． D．10．在空间四边形ABCD中，，P在线段AD上，且DP=2PA，Q为BC的中点，则=（）A．B．C．D．11．在直三棱柱ABC﹣A′B′C′中，所有的棱长都相等，M为B′C′的中点，N为A′B′的中点，则AM与BN所成角的余弦值为（）A．B．C．D．12．设F1，F2分别为椭圆的左右两个焦点，点P为椭圆上任意一点，则使得成立的P点的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．3二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知空间向量，若，则x= ．14．连续抛掷2颗骰子，则出现朝上的点数之和等于8的概率为．15．已知f（x）=x5+x4+2x3+3x2+4x+1，应用秦九韶算法计算x=2时的值时，v2的值为．16．下列四个命题中：①若p∨q为真命题，则p与q至少有一个为真命题；②统计中用相关系数r来衡量两个变量之间线性关系的强弱，且r越大相关性越强；③“若lgx2=0，则x=1”的否命题为真命题；④双曲线与双曲线有相同的焦点．其中真命题的序号为．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．5000辆汽车通过某一段公路时的时速频率分布直方图如图所示．问：（1）求汽车速度在[50，70）的频率；（2）根据频率分布直方图估算出样本数据的中位数．18．如图，ABCD为边长为2的正方形，DE⊥平面ABCD，AF∥DE，DE=2AF，BE与平面ABCD 所成角为45°，G，H分别为AB，EC的中点．（1）求证：GH∥平面ADEF；（2）求二面角F﹣BD﹣E的大小．19．已知椭圆，焦点在直线x﹣2y﹣2=0上，且离心率为．（1）求椭圆方程；（2）过P（3，1）作直线l与椭圆交于A，B两点，P为线段AB的中点，求直线l的方程．20．某商家开展迎新春促销抽奖活动，小张、小李两人相约同一天上午去参加抽奖活动．（1）若抽奖规则是从一个装有3个红球和4个白球的袋中又放回地抽取2个球，当两球同色时则中奖，求中奖的概率；（2）若小张计划在10：00～10：40之间赶到，小李计划在10：20～11：00之间赶到，求小张比小李提前到达的概率．21．已知抛物线y2=ax（a＞0），过动点P（m，0）且斜率为1的直线与该抛物线交于不同的两点A，B，|AB|≤a．（1）求m的取值范围；（2）若线段AB的垂直平分线交x轴于点Q，求△QAB面积的最大值．22．如图所示，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD为等腰梯形，∠DAB=60°，AB=2CD=2，若CD1垂直于平面ABCD，且，M是线段AB的中点．（1）求证：BC⊥AD1；（2）设N是线段AC上的一个动点，问当的值为多少时，可使得D1N与平面C1D1M所成角的正弦值为，并证明你的结论．2015-2016学年河北省廊坊市高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1．若命题p：∀x∈R，x2﹣3x+5＞0，则该命题的否定是（）A．∃x∈R，x2﹣3x+5≤0 B．∃x∈R，x2﹣3x+5＞0C．∀x∈R，x2﹣3x+5＜0 D．∀x∈R，x2﹣3x+5≤0【考点】命题的否定．【分析】根据全称命题的否定是特称命题进行判断即可．【解答】解：命题是全称命题，则命题的否定是特称命题，即∃x∈R，x2﹣3x+5≤0，故选：A．2．抛物线的焦点坐标是（）A．（0，1）B． C． D．【考点】抛物线的简单性质．【分析】先根据标准方程求出p值，判断抛物线x2=2y的开口方向及焦点所在的坐标轴，从而写出焦点坐标．【解答】解：∵抛物线，即x2=2y中，p=1， =，焦点在y轴上，开口向上，∴焦点坐标为（0，），故选：B．3．某商场有A、B、C、D四类产品，A、B、C、D分别有40，10，30，20种，现从这抽取一个容量为20的样本，则抽取的B、D两类产品种数之和是（）A．4 B．5 C．6 D．7【考点】分层抽样方法．【分析】先计算分层抽样的抽样比，再求抽取的B、D两类产品种数之和即可．【解答】解：共有产品100种，抽取容量为20的样本，各抽取=，故抽取的B、D两类产品种数之和为（10+10）×=6．故选：C．4．根据如下样本数据得到的回归直线方程必过点（）x 0 1 2 3 4y 1 3 4 5 7A．（2，2）B．（1.5，2）C．（2，4）D．（1.5，4）【考点】线性回归方程．【分析】由已知表格中的数据，我们根据平均数公式计算出变量x，y的平均数，根据回归直线一定经过样本数据中心点，可得结论．【解答】解：由表中数据可得： =（0+1+2+3+4）=2， =（1+3+4+5+7）=4，∵回归直线一定经过样本数据中心点，故选：C．5．“α是第一象限角”是“关于x，y的方程x2sinα+y2cosα=1所表示的曲线是椭圆”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合椭圆的方程进行判断即可．【解答】解：若x2sinα+y2cosα=1表示的曲线是椭圆，则满足sinα＞0，cosα＞0，且sinα≠cosα，即2kπ＜α＜2kπ+，且α≠2kπ+，k∈Z，则“α是第一象限角”是“关于x，y的方程x2sinα+y2cosα=1所表示的曲线是椭圆”必要不充分条件，故选：B6．已知双曲线的一条渐近线方程为y=2x，则双曲线的离心率为（）A．B．C．或 D．2【考点】双曲线的简单性质．【分析】求出双曲线的渐近线方程，可得b=2a，由a，b，c的关系和离心率公式，计算即可得到所求值．【解答】解：双曲线的渐近线方程为y=±x，由题意可得=2，即有b=2a，c==a，可得e==，故选：A．7．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果是（）A．2 B．4 C．8 D．16【考点】循环结构．【分析】根据程序框图可知，程序运行时，列出数值S与n对应变化情况，从而求出当S=2时，输出的n即可．【解答】解：．由框图可知，程序运行时，数值S与n对应变化如下表：S ﹣1 2n 2 4 8故S=2时，输出n=8．故选C8．已知椭圆与双曲线有相同的焦点，则动点P（n，m）的轨迹是（）A．椭圆的一部分 B．双曲线的一部分C．抛物线的一部分D．圆的一部分【考点】轨迹方程．【分析】由椭圆双曲线方程可求得焦点坐标，进而根据有相同的焦点，建立等式求得m和n 的关系即可．【解答】解：∵椭圆与双曲线有相同的焦点，∴9﹣n2=4+m2，即m2+n2=5（0＜n＜3）这是圆的一部分，故选：D．9．一个圆内有一个内接等边三角形，一动点在圆内运动，则此点落在等边三角形内部的概率为（）A．B．C． D．【考点】几何概型．【分析】根据几何概型的概率公式求出对应的面积进行计算即可．【解答】解：设圆的半径为R，则圆内接等边三角形的边长为R，则正三角形的面积S=×（R）2×=R2，圆的面积S=πR2，则点落在等边三角形内部的概率为P==，故选：B．10．在空间四边形ABCD中，，P在线段AD上，且DP=2PA，Q为BC的中点，则=（）A．B．C．D．【考点】空间向量的加减法．【分析】由于=， =﹣， =，即可得出．【解答】解： =， =﹣=﹣， ==，∴=﹣++．11．在直三棱柱ABC﹣A′B′C′中，所有的棱长都相等，M为B′C′的中点，N为A′B′的中点，则AM与BN所成角的余弦值为（）A．B．C．D．【考点】异面直线及其所成的角．【分析】以A为原点，在平面ABC中，过A作AC的垂线为x轴，AC为y轴，AA′为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出AM与BN所成角的余弦值．【解答】解：以A为原点，在平面ABC中，过A作AC的垂线为x轴，AC为y轴，AA′为z 轴，建立空间直角坐标系，设直三棱柱ABC﹣A′B′C′中，所有的棱长都为2，则A（0，0，0），M（，，2），B（，1，0），N（，，2），=（），=（﹣，﹣，2），设AM与BN所成角为θ，则cosθ===．故选：B．12．设F1，F2分别为椭圆的左右两个焦点，点P为椭圆上任意一点，则使得成立的P点的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．3【考点】椭圆的简单性质．【分析】设P（x0，y0），由和P（x0，y0）为椭圆上任意一点，列出方程组，能求出使得成立的P点的个数．【解答】解：设P（x0，y0），∵F1，F2分别为椭圆的左右两个焦点，点P为椭圆上任意一点，∴F1（﹣4，0），F2（4，0），=（﹣4﹣x0，﹣y0），=（4﹣x0，﹣y0），∵，∴（﹣4﹣x0）（4﹣x0）+（﹣y0）2=﹣7，即=9，①又∵设P（x0，y0）为椭圆上任意一点，∴，②联立①②，得：或，∴使得成立的P点的个数为2个．故选：C．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知空间向量，若，则x= 4 ．【考点】空间向量的数量积运算．【分析】利用向量垂直的性质求解．【解答】解：∵空间向量，，∴=﹣2（1﹣x）﹣x﹣2=0，解得x=4．故答案为：4．14．连续抛掷2颗骰子，则出现朝上的点数之和等于8的概率为．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】先求出基本事件总数，再用列举法求出出现朝上的点数之和等于8的基本事件个数，由此能求出出现朝上的点数之和等于8的概率．【解答】解：连续抛掷2颗骰子，基本事件总数n=6×6=36，出现朝上的点数之和等于8的基本事件有：（2，6），（6，2），（3，5），（5，3），（4，4），共5个，∴出现朝上的点数之和等于8的概率为p=．故答案为：．15．已知f（x）=x5+x4+2x3+3x2+4x+1，应用秦九韶算法计算x=2时的值时，v2的值为8 ．【考点】秦九韶算法．【分析】由f（x）=x5+x4+2x3+3x2+4x+1=（（（x+1）x+2）x+4）x+1，即可得出．【解答】解：f（x）=x5+x4+2x3+3x2+4x+1=（（（x+1）x+2）x+4）x+1，∴x=2时，v0=1，v1=（2+1）×2=6，v2=6+2=8．故答案为：8．16．下列四个命题中：①若p∨q为真命题，则p与q至少有一个为真命题；②统计中用相关系数r来衡量两个变量之间线性关系的强弱，且r越大相关性越强；③“若lgx2=0，则x=1”的否命题为真命题；④双曲线与双曲线有相同的焦点．其中真命题的序号为①③④．【考点】复合命题的真假．【分析】根据复合命题判断①，根据线性关系判断②，根据对数函数函数性质判断③，根据双曲线的性质判断④．【解答】解：①若p∨q为真命题，则p与q至少有一个为真命题，故①正确；②用相关指数|r|来刻画回归效果，|r|越大，说明模型的拟合效果越好，故②错误；③“若lgx2=0，则x=1”的否命题是：若lgx2≠0，则x≠1为真命题，故③正确；④双曲线中c2=13，双曲线中c2=13，有相同的焦点，故④正确；其中真命题的序号为：①③④，故答案为：①③④．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．5000辆汽车通过某一段公路时的时速频率分布直方图如图所示．问：（1）求汽车速度在[50，70）的频率；（2）根据频率分布直方图估算出样本数据的中位数．【考点】众数、中位数、平均数；频率分布直方图．【分析】（1）由频率分布直方图分别求出[50，60）的频率和[60，70）的频率，由此能求出汽车速度在[50，70）的频率．（2）设中位数为x，由频率分布直方图可知中位数落在[60，70）之间，由此能求出样本数据的中位数．【解答】解：（1）由频率分布直方图得[50，60）的频率为0.03×10=0.3，…[60，70）的频率为0.04×10=0.4，…∴汽车速度在[50，70）的频率为0.3+0.4=0.7．…（2）设中位数为x，由频率分布直方图可知中位数落在[60，70）之间，0.1+0.3+（x﹣60）×0.04=0.5，…解得x=62.5，∴样本数据的中位数为62.5．…18．如图，ABCD为边长为2的正方形，DE⊥平面ABCD，AF∥DE，DE=2AF，BE与平面ABCD 所成角为45°，G，H分别为AB，EC的中点．（1）求证：GH∥平面ADEF；（2）求二面角F﹣BD﹣E的大小．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．【分析】（1）取DE的中点P，连接AP，PH，证明四边形AGHP为平行四边形，可得AP∥GH，利用线面平行的判定定理证明：GH∥平面ADEF；（2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用向量的夹角公式，即可求二面角F﹣BD﹣E的大小．【解答】（1）证明：取DE的中点P，连接AP，PH．∵PH为△EDC的中位线，∴PH∥DC且PH=DC．∵AG∥DC且AG=，∴四边形AGHP为平行四边形．∴AP∥GH，又∵AP⊄平面ADEF，GH⊂平面ADEF，∴GH∥平面ADEF…（2）解：如图建立空间直角坐标系，…由条件可知B（2，2，0），F（，0，1）．∵BE与平面ABCD所成角为45°，且DE⊥平面ABCD，∴DE=BD=2，∴E（0，0，2）∴=（，0，1），=（2，2，0）设平面FBD的法向量为=（x，y，z），则，∴取=（1，﹣1，﹣）…∵ABCD为正方形，∴AC⊥BD．又∵DE⊥平面ABCD，∴DE⊥AC，∵DB∩DE=D，∴AC⊥平面BDE．∴=（﹣2，2，0）可作为面BDE的一个法向量∴cos＜，＞=…又∵二面角F﹣BD﹣E为锐二面角，∴其大小为45°．…19．已知椭圆，焦点在直线x﹣2y﹣2=0上，且离心率为．（1）求椭圆方程；（2）过P（3，1）作直线l与椭圆交于A，B两点，P为线段AB的中点，求直线l的方程．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）由焦点在直线x﹣2y﹣2=0上，令y=0，得焦点（2，0），再由离心率e==，能求出椭圆方程．（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），利用点差法能求出l的方程．【解答】（本题满分12分）解：（1）∵椭圆，焦点在直线x﹣2y﹣2=0上，∴令y=0，得焦点（2，0），∴c=2，∵离心率e==，∴，解得a=4，∴b2=16﹣4=12，∴椭圆方程为．（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），∵过P（3，1）作直线l与椭圆交于A，B两点，P为线段AB的中点，∴由题意，x1+x2=6，y1+y2=2，，∴+=0，∴k l==﹣，∴l的方程为：y﹣1=﹣，即9x+4y﹣31=0．20．某商家开展迎新春促销抽奖活动，小张、小李两人相约同一天上午去参加抽奖活动．（1）若抽奖规则是从一个装有3个红球和4个白球的袋中又放回地抽取2个球，当两球同色时则中奖，求中奖的概率；（2）若小张计划在10：00～10：40之间赶到，小李计划在10：20～11：00之间赶到，求小张比小李提前到达的概率．【考点】几何概型；列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】（1）根据古典概型的概率公式进行计算即可．（2）根据几何概型的概率公式求出对应事件对应区域的面积进行计算即可．【解答】解：（1）从袋中7个球中的摸出2个，试验的结果共有7×7=49（种）…中奖的情况分为两种：（i）2个球都是红色，包含的基本事件数为4×4=16；（ii）2个球都是白色，包含的基本事件数为3×3=9．…所以，中奖这个事件包含的基本事件数为16+9=25．因此，中奖概率为．…（2）设小张和小李到达的时间分别为10点到11点之间的x，y分钟．用（x，y）表示每次试验的结果，则所有可能结果为Ω={（x，y）|0≤x≤4或0≤y≤60}；…记小张比小李提前到达为事件A，则事件A的可能结果为A={（x，y）|x＜y，0≤x≤4或0≤y≤60}；．…如图所示，试验全部结果构成区域Ω为正方形ABCD．而事件A所构成区域是正方形内的阴影部分．根据几何概型公式，得到P（A）===．所以，小张比小李提前到达的概率为．…21．已知抛物线y2=ax（a＞0），过动点P（m，0）且斜率为1的直线与该抛物线交于不同的两点A，B，|AB|≤a．（1）求m的取值范围；（2）若线段AB的垂直平分线交x轴于点Q，求△QAB面积的最大值．【考点】抛物线的简单性质．【分析】（1）设出直线的方程与抛物线方程联立消去y，设直线l与抛物线两个不同的交点坐标为A，B，进而根据判别是对大于0，及x1+x2的和x1x2的表达式，求得AB的长度的表达式，根据|AB|的范围确定a的范围（2）求出线段AB的垂直平分线方程，得Q的坐标，进而表示出△NAB的面积，根据|AB|范围确定三角形面积的最大值．【解答】解：（1）设直线l的方程为y=x﹣m代入y2=ax，得y2﹣ay﹣am=0．设直线l与抛物线两个不同的交点坐标为A（x1，y1）、B（x2，y2），△=a2﹣4（﹣am）＞0，∴m＞﹣，y1+y2=a，y1y2=﹣am，|AB|=≤a，∴m，∴﹣＜m；（2）由（1）线段AB的中点坐标为（+m，），线段AB的垂直平分线方程为y﹣=﹣（x﹣﹣m），令y=0，可得Q（m+a，0），Q到AB的距离d=，∴△QAB面积S=≤=，∴△QAB面积的最大值为．22．如图所示，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD为等腰梯形，∠DAB=60°，AB=2CD=2，若CD1垂直于平面ABCD，且，M是线段AB的中点．（1）求证：BC⊥AD1；（2）设N是线段AC上的一个动点，问当的值为多少时，可使得D1N与平面C1D1M所成角的正弦值为，并证明你的结论．【考点】用空间向量求平面间的夹角；空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】（1）连接AC，推导出AC⊥BC，BC⊥CD1，从而BC⊥面ACD1，由此能证明BC⊥AD1．（2）以C为原点，CA为x轴，CB为y轴，CD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出当=时，使得D1N与平面C1D1M所成角的正弦值为．【解答】证明：（1）连接AC，在△ABC中，AB=2，AC=，BC=1，∵BC2+AC2=AB2，∴AC⊥BC，又∵CD1⊥面ABCD，BC⊂面ABCD，∴BC⊥CD1，又AC∩CD1=C，AC⊂面ACD1，CD1⊂面ACD1，∴BC⊥面ACD1，∵AD1⊂面ACD1，∴BC⊥AD1．解：（2）当=时，使得D1N与平面C1D1M所成角的正弦值为．证明如下：以C为原点，CA为x轴，CB为y轴，CD1为z轴，建立空间直角坐标系．C（0，0，0），A（），B（0，1，0），M（），D1（0，0，），由=，得C1（﹣，，），设N（a，0，0），（0＜a＜），设面的法向量=（x，y，z），则，即，取x=1，得=（1，，1），=（a，0，﹣），由题意|cos＜，＞|==，]解得a=或a=2（舍），∴当=时，使得D1N与平面C1D1M所成角的正弦值为．。
河北省廊坊市2015-2016学年高一上学期期末数学试卷 含解析
2015-2016学年河北省廊坊市高一（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分，在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求）1．全集U={0，﹣1，﹣2，﹣3｝，M={0,﹣1,﹣3｝，N=｛0,﹣3｝，则（∁U M)∪N=（）A．∅B．｛﹣2｝C．｛﹣1，﹣3} D．{0，﹣2，﹣3}2．已知α是第二象限角，其终边上一点，且，则sinα=（）A．B．C．D．3．下列函数中与函数y=x相等的函数是（）A．B．y=C．D．y=log22x4．如图所示，D是△ABC的边AB上的中点，记，，则向量=（）A．B． C．D．5．已知sinα﹣cosα=﹣,则tanα+的值为（）A．﹣4 B．4 C．﹣8 D．86．已知m=0.95。
1，n=5.10.9，p=log05。
1，则这三个数的大小关系是（）。
9A．m＜n＜p B．m＜p＜n C．p＜m＜n D．p＜n＜m7．下列函数中,是偶函数又在区间（0，+∞）上递增的函数为（）A．y=2|x|B．y=｜log2x｜C．y=x3D．y=x﹣28．已知满足:，则（）A．B． C．3 D．29．方程2x=2﹣x的根所在区间是（)A．（﹣1，0）B．（0，1）C．(1，2) D．（2，3）10．圆弧长度等于圆内接正三角形的边长，则其圆心角弧度数为（）A．B．C．D．211．若，且函数，则f（x）是（)A．最小正周期为的奇函数B．最小正周期为π的奇函数C．最小正周期为的偶函数D．最小正周期为π的偶函数12．给出下列四个命题：①函数的一个对称中心坐标是;②函数y=a（3﹣x)+1（a＞0且a≠1）的图象恒过定点(3，2);③函数f（x）=ln(2x﹣x2)的单调减区间是［1,+∞）；④若函数f（x）的定义域（﹣1,1），则函数f(x+1）的定义域是（﹣2，0），其中正确的命题个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题（本大题共4小题，每小题4分,共16分）13．幂函数y=f（x）的图象过点（2，),则f（4)=．14．若α，β都是锐角,且cosα=,sin（α一β）=，则cosβ=．15．奇函数f（x）在（﹣∞，0）上单调递减,若f（2)=0，则不等式f（x)＜0的解集是．16．已知函数在R上单调，则实数a的取值范围是．三、解答题（本大题共6小题，共56分，解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤）17．已知cosα=且tanα＞0．(1）求tanα的值;（2）求的值．18．已知集合．（Ⅰ）若时，求A∩B；（Ⅱ）若A∩B=∅，求实数a的取值范围．19．设函数y=f（x）是定义在上（0，+∞）的减函数,并且满足f（xy）=f（x)+f(y），．（1）求f（1）；（2）若存在实数m，使得f（m）=1，求m的值；（3）若f（x﹣2）＞1+f（x），求x的取值范围．20．已知函数f（x）=log2(a为常数）是奇函数．（Ⅰ）求a的值与函数f(x）的定义域;(Ⅱ）若当x∈（1，+∞）时，f（x）+log2（x﹣1)＞m恒成立．求实数m的取值范围．21．在平面直角坐标系xOy中，已知四边形OABC是等腰梯形，OA∥BC，，点M满足，点P在线段BC上运动（包括端点），如图．(Ⅰ)求∠OCM的余弦值；（Ⅱ)是都存在实数λ，使，若存在,求出满足条件的实数λ的取值范围，若不存在，请说明理由．22．已知函数f(x）=sin（ωx+φ）（ω＞0,0＜φ＜π）的图象两相邻对称轴之间的距离是，若将y=f(x）的图象向右平移个单位，所得函数g(x）为奇函数．（1）求函数f(x）的解析式及单调增区间;（2）设函数，求函数y的最小值φ（m）．。
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绝密★启用前2015-2016学年河北省廊坊市高二上期末文科数学试卷（带解析）试卷副标题考试范围：xxx ；考试时间：177分钟；命题人：xxx学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项．1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题（题型注释）1、设F 1，F 2分别为椭圆的左右两个焦点，点P 为椭圆上任意一点，则使得成立的P 点的个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．32、函数f （x ）=（2a ﹣1）lnx ﹣x 在（0，1）上为增函数，则实数a 的取值范围是（ ） A ．a ＜1 B ．a≤1 C ．a≥1 D ．0＜a≤13、一个圆内有一个内接等边三角形，一动点在圆内运动，则此点落在等边三角形内部的概率为（ ） A ．B ．C ．D ．4、已知椭圆与双曲线有相同的焦点，则动点P （n ，m ）的轨迹是（ ）A ．椭圆的一部分B ．双曲线的一部分C ．抛物线的一部分D ．圆的一部分5、已知函数f （x ）=lnx ﹣f′（1）x 2+2x ﹣1，则f （1）的值为（ ） A ．﹣1 B ．0 C ．1 D ．26、阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果是（ ）A ．2B ．4C ．8D ．167、已知双曲线的一条渐近线方程为y=2x ，则双曲线的离心率为（ ） A ．B ．C ．或D ．28、“α是第一象限角”是“关于x ，y 的方程x 2sinα+y 2cosα=1所表示的曲线是椭圆”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件9、根据如下样本数据得到的回归直线方程必过点（）x1234y13457A．（2，2）B．（1.5，2）C．（2，4）D．（1.5，4）10、抛物线的焦点坐标是（）A．（0，1） B． C． D．11、一个年级有20个班，每个班同学从1～50排学号，为了交流学习经验，要求每班学号为18的学生留下进行交流，这里运用的是（）A．分层抽样 B．抽签法 C．随机数表法 D．系统抽样法12、若命题p：∀x∈R，x2﹣3x+5＞0，则该命题的否定是（）A．∃x∈R，x2﹣3x+5≤0 B．∃x∈R，x2﹣3x+5＞0C．∀x∈R，x2﹣3x+5＜0 D．∀x∈R，x2﹣3x+5≤0第II卷（非选择题）二、填空题（题型注释）13、下列四个命题中：①若p∨q为真命题，则p与q至少有一个为真命题；②统计中用相关系数r来衡量两个变量之间线性关系的强弱，且r越大相关性越强；③“若lgx2=0，则x=1”的否命题为真命题；④双曲线与双曲线有相同的焦点．其中真命题的序号为．14、已知f（x）=x5+x4+2x3+3x2+4x+1，应用秦九韶算法计算x=2时的值时，v2的值为．15、连续抛掷2颗骰子，则出现朝上的点数之和等于8的概率为．16、曲线f（x）=xlnx在点（1，0）处的切线方程为．三、解答题（题型注释）17、已知抛物线y2=ax（a＞0），过动点P（m，0）且斜率为1的直线与该抛物线交于不同的两点A，B，|AB|≤a．（1）求m的取值范围；（2）若线段AB的垂直平分线交x轴于点Q，求△QAB面积的最大值．18、已知函数．（1）试判断f（x）在定义域内的单调性；（2）若f（x）在区间[1，e2]上的最小值为2，求实数a的值．19、某商家开展迎新春促销抽奖活动，小张、小李两人相约同一天上午去参加抽奖活动．（1）若抽奖规则是从一个装有3个红球和4个白球的袋中又放回地抽取2个球，当两球同色时则中奖，求中奖的概率；（2）若小张计划在10：00～10：40之间赶到，小李计划在10：20～11：00之间赶到，求小张比小李提前到达的概率．20、已知椭圆，焦点在直线x ﹣2y ﹣2=0上，且离心率为．（1）求椭圆方程；（2）过P （3，1）作直线l 与椭圆交于A ，B 两点，P 为线段AB 的中点，求直线l 的方程．21、已知函数f （x ）=mx 3﹣3x 2+n ﹣2（m≠0）．（1）若f （x ）在x=1处取得极小值1，求实数m ，n 的值； （2）在（1）的条件下，求函数f （x ）在x ∈[﹣1，2]的最大值．22、5000辆汽车通过某一段公路时的时速频率分布直方图如图所示．问：（1）求汽车速度在[50，70）的频率；（2）根据频率分布直方图估算出样本数据的中位数．参考答案1、C2、C3、B4、D5、B6、C7、A8、B9、C10、B11、D12、A13、①③④14、815、16、x﹣y﹣1=017、（1）﹣＜m；（2）．18、（1）f（x）在（0，a）递减，在（a，+∞）递增；（2）a=．19、（1）中奖概率为．（2）小张比小李提前到达的概率为．20、（1）．（2）9x+4y﹣31=0．21、（1）（2）622、（1）0.4，（2）62.5．【解析】1、试题分析：设P（x0，y0），由和P（x0，y0）为椭圆上任意一点，列出方程组，能求出使得成立的P点的个数．解：设P（x0，y0），∵F1，F2分别为椭圆的左右两个焦点，点P为椭圆上任意一点，∴F1（﹣4，0），F2（4，0），=（﹣4﹣x0，﹣y0），=（4﹣x0，﹣y0），∵，∴（﹣4﹣x0）（4﹣x0）+（﹣y0）2=﹣7，即=9，①又∵设P（x0，y0）为椭圆上任意一点，∴，②联立①②，得：或，∴使得成立的P点的个数为2个．故选：C．2、试题分析：求出函数的导数，得到（2a﹣1）﹣x≥0在x∈（0，1）恒成立，分离参数，求出a的范围即可．解：∵f（x）=（2a﹣1）lnx﹣x，f′（x）=﹣1=，若f（x）在（0，1）上为增函数，则（2a﹣1）﹣x≥0在x∈（0，1）恒成立，即a≥=1，故选：C．3、试题分析：根据几何概型的概率公式求出对应的面积进行计算即可．解：设圆的半径为R，则圆内接等边三角形的边长为R，则正三角形的面积S=×（R）2×=R2，圆的面积S=πR2，则点落在等边三角形内部的概率为P==，故选：B．4、试题分析：由椭圆双曲线方程可求得焦点坐标，进而根据有相同的焦点，建立等式求得m和n的关系即可．解：∵椭圆与双曲线有相同的焦点，∴9﹣n2=4+m2，即m2+n2=5（0＜n＜3）这是圆的一部分，故选：D．5、试题分析：根据导数关系先求出f′（1）的值，进行求解即可．解：函数的导数f′（x）=﹣2f′（1）x+2．则f′（1）=1﹣2f′（1）+2．得f′（1）=1，则f（x）=lnx﹣x2+2x﹣1，则f（1）=ln1﹣1+2﹣1=0，故选：B6、试题分析：根据程序框图可知，程序运行时，列出数值S与n对应变化情况，从而求出当S=2时，输出的n即可．与n对应变化如下表：故S=2时，输出n=8．故选C7、试题分析：求出双曲线的渐近线方程，可得b=2a，由a，b，c的关系和离心率公式，计算即可得到所求值．解：双曲线的渐近线方程为y=±x，由题意可得=2，即有b=2a，c==a，可得e==，故选：A．8、试题分析：根据充分条件和必要条件的定义结合椭圆的方程进行判断即可．解：若x2sinα+y2cosα=1表示的曲线是椭圆，则满足sinα＞0，cosα＞0，且sinα≠cosα，即2kπ＜α＜2kπ+，且α≠2kπ+，k∈Z，则“α是第一象限角”是“关于x，y的方程x2sinα+y2cosα=1所表示的曲线是椭圆”必要不充分条件，故选：B9、试题分析：由已知表格中的数据，我们根据平均数公式计算出变量x，y的平均数，根据回归直线一定经过样本数据中心点，可得结论．解：由表中数据可得：=（0+1+2+3+4）=2，=（1+3+4+5+7）=4，∵回归直线一定经过样本数据中心点，故选：C．10、试题分析：先根据标准方程求出p值，判断抛物线x2=2y的开口方向及焦点所在的坐标轴，从而写出焦点坐标．解：∵抛物线，即x2=2y中，p=1，=，焦点在y轴上，开口向上，∴焦点坐标为（0，），故选：B．11、试题分析：根据系统抽样的定义进行判断即可．解：每个班同学以1﹣50排学号，要求每班学号为18的同学留下来交流，数据之间的间距差相同，都为50，所以根据系统抽样的定义可知，这里采用的是系统抽样的方法．故选：D．12、试题分析：根据全称命题的否定是特称命题进行判断即可．解：命题是全称命题，则命题的否定是特称命题，即∃x∈R，x2﹣3x+5≤0，故选：A．13、试题分析：根据复合命题判断①，根据线性关系判断②，根据对数函数函数性质判断③，根据双曲线的性质判断④．解：①若p∨q为真命题，则p与q至少有一个为真命题，故①正确；②用相关指数|r|来刻画回归效果，|r|越大，说明模型的拟合效果越好，故②错误；③“若lgx2=0，则x=1”的否命题是：若lgx2≠0，则x≠1为真命题，故③正确；④双曲线中c2=13，双曲线中c2=13，有相同的焦点，故④正确；其中真命题的序号为：①③④，故答案为：①③④．14、试题分析：由f（x）=x5+x4+2x3+3x2+4x+1=（（（x+1）x+2）x+4）x+1，即可得出．解：f（x）=x5+x4+2x3+3x2+4x+1=（（（x+1）x+2）x+4）x+1，∴x=2时，v0=1，v1=（2+1）×2=6，v2=6+2=8．故答案为：8．15、试题分析：先求出基本事件总数，再用列举法求出出现朝上的点数之和等于8的基本事件个数，由此能求出出现朝上的点数之和等于8的概率．解：连续抛掷2颗骰子，基本事件总数n=6×6=36，出现朝上的点数之和等于8的基本事件有：（2，6），（6，2），（3，5），（5，3），（4，4），共5个，∴出现朝上的点数之和等于8的概率为p=．故答案为：．16、试题分析：求出原函数的导函数，得到函数在x=1时的导数值，即切线的斜率，然后由直线方程的点斜式得答案．解：由f（x）=xlnx，得，∴f′（1）=ln1+1=1，即曲线f（x）=xlnx在点（1，0）处的切线的斜率为1，则曲线f（x）=xlnx在点（1，0）处的切线方程为y﹣0=1×（x﹣1），整理得：x﹣y﹣1=0．故答案为：x﹣y﹣1=0．17、试题分析：（1）设出直线的方程与抛物线方程联立消去y，设直线l与抛物线两个不同的交点坐标为A，B，进而根据判别是对大于0，及x1+x2的和x1x2的表达式，求得AB的长度的表达式，根据|AB|的范围确定a的范围（2）求出线段AB的垂直平分线方程，得Q的坐标，进而表示出△NAB的面积，根据|AB|范围确定三角形面积的最大值．解：（1）设直线l的方程为y=x﹣m代入y2=ax，得y2﹣ay﹣am=0．设直线l与抛物线两个不同的交点坐标为A（x1，y1）、B（x2，y2），△=a2﹣4（﹣am）＞0，∴m＞﹣，y1+y2=a，y1y2=﹣am，|AB|=≤a，∴m，∴﹣＜m；（2）由（1）线段AB的中点坐标为（+m，），线段AB的垂直平分线方程为y﹣=﹣（x﹣﹣m），令y=0，可得Q（m+a，0），Q到AB的距离d=，∴△QAB面积S=≤=，∴△QAB面积的最大值为．18、试题分析：（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（2）通过讨论a的范围，确定函数的单调性，从而求出函数的最小值即可．解：由已知得f（x）得的定义域是（0，+∞），f′（x）=，（1）∵a＞0，∴﹣a＜0，当x∈（0，a）时，f（x）＜0，当x∈（a，+∞）时，f（x）＞0，∴f（x）在（0，a）递减，在（a，+∞）递增；（2）由（1）得：①0＜a≤1时，f（x）在在[1，e2]递增，∴f（x）min=f（1）==2，得a=2（舍），②当1＜a＜e2时，f（x）在（1，a）递减，在（a，e2）递增，∴f（x）min=f（a）=lna+=2，解得：a=，③当a≥e2时，f（x）在[1，e2]递减，∴f（x）min=f（e2）=2+=2，无解，综上：a=．19、试题分析：（1）根据古典概型的概率公式进行计算即可．（2）根据几何概型的概率公式求出对应事件对应区域的面积进行计算即可．解：（1）从袋中7个球中的摸出2个，试验的结果共有7×7=49（种）…（1分）中奖的情况分为两种：（i）2个球都是红色，包含的基本事件数为4×4=16；（ii）2个球都是白色，包含的基本事件数为3×3=9．…（3分）所以，中奖这个事件包含的基本事件数为16+9=25．因此，中奖概率为．…（5分）（2）设小张和小李到达的时间分别为10点到11点之间的x，y分钟．用（x，y）表示每次试验的结果，则所有可能结果为Ω={（x，y）|0≤x≤4或0≤y≤60}；…（7分）记小张比小李提前到达为事件A，则事件A的可能结果为A={（x，y）|x＜y，0≤x≤4或0≤y≤60}；．…（9分）如图所示，试验全部结果构成区域Ω为正方形ABCD．而事件A所构成区域是正方形内的阴影部分．根据几何概型公式，得到P（A）===．所以，小张比小李提前到达的概率为．…（12分）20、试题分析：（1）由焦点在直线x﹣2y﹣2=0上，令y=0，得焦点（2，0），再由离心率e==，能求出椭圆方程．（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），利用点差法能求出l的方程．解：（1）∵椭圆，焦点在直线x﹣2y﹣2=0上，∴令y=0，得焦点（2，0），∴c=2，∵离心率e==，∴，解得a=4，∴b2=16﹣4=12，∴椭圆方程为．（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），∵过P（3，1）作直线l与椭圆交于A，B两点，P为线段AB的中点，∴由题意，x1+x2=6，y1+y2=2，，∴+=0，∴k l==﹣，∴l的方程为：y﹣1=﹣，即9x+4y﹣31=0．21、试题分析：（1）求出函数的导数，得到关于m，n的方程组，解出检验即可；（2）求出函数的单调区间，从而求出函数的最大值即可．解：函数f（x）的定义域是R，f′（x）=3mx（x﹣），（1）∵f（x）在x=1处取得极小值，∴，即，解得：，经检验符合题意；（2）由（1）得：f′（x）=6x（x﹣1），x∈（﹣1，0）∪（1，2）时，f′（x）＞0，x∈（0，1）时，f′（x）＜0，∴f（x）在（﹣1，0），（1，2）递增，在（0，1）递减，∴f（x）max=max{f（0），f（2）}，而f（0）=2，f（2）=6，∴f（x）max=f（2）=6．22、试题分析：（1）由频率分布直方图分别求出[50，60）的频率和[60，70）的频率，由此能求出汽车速度在[50，70）的频率．（2）设中位数为x，由频率分布直方图可知中位数落在[60，70）之间，由此能求出样本数据的中位数．解：（1）由频率分布直方图得[50，60）的频率为0.03×10=0.3，…（1分）[60，70）的频率为0.04×10=0.4，…（2分）∴汽车速度在[50，70）的频率为0.3+0.4=0.7．…（4分）（2）设中位数为x，由频率分布直方图可知中位数落在[60，70）之间，0.1+0.3+（x﹣60）×0.04=0.5，…（8分）解得x=62.5，∴样本数据的中位数为62.5．…（10分）。