2020年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)

15．（本小题满分 14 分）
如图，在三棱柱 ABC－A1B1C1 中，AB⊥AC，B1C⊥平面 ABC,E，F 分别为 AC, B1C 的中点.
求证：（1）EF∥平面 AB1C1； （2）平面 AB1C⊥平面 ABB1．
证明：
证明：（1）因为 E,F 分别为 AC, B1C 的中点， 所以 EF∥AB1
16．（本小题满分 14 分） 在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c．已知 a=3, c = 2, B = 45 (1)求 sinC 的值
(2)在边 BC 上取一点 D,使得 cos ADC = − 4 ,求 tan DAC 的值． 5
2
2
PA = 9,64m2 + (9 − 6m)2 = 81, m = 27，P(8 27 , 9 7）
25
25 25
直线AP方程为y= 7 x，BC:x + y = 1,解得D(72，21）
24
43
25 25
BD = (72 − 4)2 + ( 21)2 = 7 ,CD = 5 − 7 = 18
4．将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷两次，观察向上的点数， 则点数之和为 5 的概率是 ▲ .
5．右图是一个算法流程图，若输出 y 的值为-2,则输入的 x 的值是 ▲.
6．在平面直角坐标系 xOy 中，若双曲线
x2 a2
−
y2 5
= 1(a
0) 的一条
渐近线方程为 y = 5 x ，则该双曲线的离心率是 ▲ . 2
25
25 5
55
14．在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 P（
3 , 0），A,B 是圆 C： x2 2
+
y
−
1
2
2
= 36 上的
两点，满足 PA=PB,则三角形 PAB 面积的最大值是 ▲ .
解 ： 令 CH=x, 则 AB = 36 − x2 ， S△PAB = (1+ x) 36 − x2 = (1+ x)2(36 − x2) f (x) = (1+ x)2(36 − x2) ，
10．将函数 y = 3sin(2x + ) 的图象向右平移 个单位长度后，则
4
6
平移后的图像中与 y 轴最近的对称轴方程是 ▲ ．
11．已知数列{an}(n N*) 是公差为 d 的等差数列，{bn}(n N*) 是公比为 q 的等比数列， 已 知 数 列 {an +bn}(n N*) 的 前 n 项 和 Sn =n2 − n + 2n −1(n N *) ， 则 d + q 的 值 是
5
13．在△ABC 中，AB=4，,AC=3，BAC=90 ,D 在 BC 的延长线上，延长 AD 到 P,PA=9,
若 PA = mPB + ( 3 − m)PC m 为常数 ，则 CD 的长度是 ▲ .
2
解：方法 1（利用等和线）
令 PD = xPB + yPC, 则 x + y = 1，又 PA = mPB + ( 3 − m)PC, 系数和为为常数 3
又因为 AB1⊂平面 DEC1，EF 平面 DEC1，
所以 EF∥平面 AB1C1. （2）因为 AB⊥AC，B1C⊥平面 ABC, AB⊂平面 ABC,所以 AB⊥B1C. 因 为 B1C⊂ 平 面 AB1C ， AC⊂ 平 面 AB1C ， B1C∩AC=C， 所以 AB⊥平面平面 AB1C. 因为 AB⊂平面 ABB1，所以平面 AB1C⊥平面 ABB1.
PC = (−x,3 − y)
PA = mPB + ( 3 − m)PC 2
(−x, − y) = m(4 − x, − y) + ( 3 − m（) − x,3 − y) 2
−x=m(4 − x）+( 3 − m（) − x）, − y = −my + ( 3 − m（) 3 − y)，x=8m，y = 9 − 6m
2020 年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）
数学Ⅰ
参考公式：
( ) 样本数据 x1, x2,…, xn 的方差 s2
=
1 n
n i =1
xi − x
2
，其中 x
=
1 n
n i =1
xi
．
柱体的体积V = Sh ，其中 S 是柱体的底面积， h 是柱体的高．
锥体的体积V = 1 Sh ，其中 S 是锥体的底面积， h 是锥体的高． 3
2
7．已知 y = f (x) 是奇函数，当 x≥0 时， f (x)=x 3 ，则 f (−8) 的值是 ▲ .
8．已知 sin2
+
π 4
=
2 3
，则 sin2源自的值是▲.
9．如图,六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的. 已知螺帽的底面正六边 形边长为 2cm,高为 2cm,内孔半径为 0.5cm,则此六角螺帽毛坯 的体积是▲ .
f '(x) = 2(1+ x)(36 − x2) − 2x(1+ x)2= 2(1+ x)(−2x2 − x + 36) = −2(1+ x)(x − 4)(x + 9) = 0,
X=4, Smax = 5 20 = 10 5
二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答．题．卡．指． 定．区．域．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分．请把答案填写在答．题．卡．相．应．位．置． 上．．
1．已知集合 A = {−1,0,1,2}， B = {0,2,3}，则 A B = ▲ .
2．已知 i 为虚数单位，则复数 (1+ i)(2-i) 的实部为 ▲ .
3．已知一组数据 4，2a，3-a，5，6 的平均数为 4，则 a 的值是 ▲ .
▲.
12．已知 5x2 y2 + y4 = 1(x, y R) ，则 x2 + y2 的最小值是 ▲ .
答案与解析
1. B = {0,2},
2.3,
1
3.2,
4.-3,
5. ,
9
3
6. ,
2
1
7.-4, 8. ,
3
9. 12 3 − , 2
10. x = − 5 , 11.3, 24
4
12.
2
2
PA = 3 PD, PA = 9, AD = 3, 在等腰三角形 ACD 中，取 CD 中点 H,AC=AD=3,则 2
CD = 2CH = 2 3 3 = 18 . 55
方法 2 建立如图所示的直角坐标系，
则 A(4,0),C(0,3),P（x,y）
PA=(−x, − y), PB = (4 − x, − y),