第三节正多边形与圆有关的计算
中考总复习正多边形与圆的有关的证明和计算--知识讲解
中考总复习正多边形与圆的有关的证明和计算--知识讲解【正多边形与圆的有关的证明和计算】一、正多边形的定义与性质：正多边形是指所有边相等、所有角相等的多边形。
正多边形的性质如下：1.所有边相等，所有角相等；2.任意两条边之间的夹角相等；3.对角线相等；4.中心角等于外角。
二、正多边形的内角与外角的关系：1.由正多边形的定义可知，正多边形的内角和为180°(n-2)，其中n 为正多边形的边数；2.正多边形的外角和为360°，由此可得正多边形的内角和与外角和之间的关系：内角和=外角和/2三、正多边形的周长和面积的计算：1.正多边形的周长为边长×边数；2.正多边形的面积为面积公式：面积=1/2×边长×边数×正弦(360°/边数)。
四、正多边形内接圆的半径和面积：2.正多边形内接圆的面积等于正多边形面积的一半。
五、正多边形外接圆的半径和面积：1.正多边形外接圆的半径等于正多边形的边长的一半乘以正弦(180°/边数)；2.正多边形外接圆的面积等于正多边形边长的平方乘以正弦(360°/边数)乘以1/2六、正多边形的对称轴：正多边形有旋转对称轴和镜像对称轴两类：1.正多边形的旋转对称轴有n条，其中n为正多边形的边数；2.正多边形的镜像对称轴有2n条，其中n为正多边形的边数。
七、圆的性质及计算：1.圆是由一个动点到一个定点的距离保持不变的动点集；2.圆的半径是动点到圆心的距离；3.圆的直径是通过圆心的一条线段，且长度等于半径的两倍；4.圆的周长等于直径的乘以π，即周长=2×半径×π；5.圆的面积等于半径的平方乘以π，即面积=半径×半径×π。
八、正多边形与圆的关系：1.正多边形的内接圆同时是这个正多边形的外接圆，即正多边形的内接圆与外接圆重合；3.正多边形的外接圆的半径等于正多边形的边长的一半乘以正弦(180°/边数)；4.正多边形的外接圆的面积等于正多边形边长的平方乘以正弦(360°/边数)乘以1/2；5.正多边形的内接圆和外接圆的关系可以用于计算正多边形的周长和面积。
正多边形和圆及正多边形的有关计算
中考数学辅导之—正多边形和圆及正多边形的有关计算正多边形和圆是初中几何课本中的最后一单元,它包括正多边形的定义、正多边形的判定、性质,正多边形的有关计算,圆周长及弧长公式，圆、扇形、弓形的面积。
今天我们一起学习正多边形的定义、判定、性质及有关计算.一、基础知识及其说明：1.正多边形的定义:各边相等、各角也相等的多边形叫做正多边形.此定义中的条件各边相等,各角也相等 “缺一不可”.如:菱形各边相等,因四个角不等,所以菱形不一定是正多边形.矩形的四个角相等,但因四条边不一定相等,故矩形不一定是正四边形,只有正方形是正四边形.2.正多边形的判定,正多边形的定义当然是正多边形的判定方法之一,但如同全等三角形的判定一样,用定义来证明两个三角形全等显然不可取,因此需用判定定理来证.判定定理:把圆几等分()①依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正边形②经过各分点做圆的切线,以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正边形.也就是说,若要证明一个多边形是圆内接正多边形,只要证明这个多边形的顶点是圆的等分点即可, 如：要证明一个圆内接边形ABCDEF ……是圆内接正边形,就要证A 、B 、C 、D 、E 、F ……各点是圆的n 等分点,就是要证AB=BC=CD=DE=EF=…….同样,要证明一个圆外切边形是圆外切正边形,只要证明各切点是圆的等分点即可例1:证明：各边相等的圆内接多边形是正多边形.已知:在⊙O 中,多边形ABCDE ……是⊙O 的内接n 边形 且AB=BC=CD=DE=…….求证:n 边形ABCDE ……是正n 边形证明: AB=BC=CD=DE=…… ∴ AB=BC=CD=DE ……∴OEB=AEC= BED=COE=……∴ =∠=∠=∠=∠D C B A又∵AB=BC=CD=DE=……∴n 边形ABCDE ……是正n 边形.例2:证明:各角相等的圆外切n 边形是正n 边形.已知:多边形……是圆外切n 边形,切点分别是A,B,C,D,E ……,=…….求证:n 边形……是正n 边形.证明:连结OB,OC,OD ……,在四边形COD 和四边形BOC 中∵切⊙O 于B,C,D∴∴ 0''180=∠+∠=∠+∠COD C BOC B而……∴∴BC=CD(在同圆中,相等的圆 B O心角所对的弧相等).同理BC=CD=DE=FE=……'B D∴A,B,C,D,E,F……是圆的n等分点 C∴多边形ABCDEF……是圆外切n正多边形3.正多边都是轴对称图形,若n是奇数,正n边形是轴对称图形,n是偶数,正n边形既是轴对称图形又是中心图形.4.正多边形的性质:任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆,这两个圆是同心圆.5.正多边形的外接圆(或内切圆)的圆心叫正多边形的中心.外接圆半径叫正多边形的半径.内切圆的半径叫正多边形的边心距.正多边形的每一边所对的圆心角叫中心角,中心角的度数是.如图:OA,OB是半径,O是中心,OH⊥AB于H,OH是边心距,是中心角6.正多边形的有关计算,一般是围绕正边形的半径R,边长,边心距,周长及面积来进行,但关健是之间的计算,因为正边形的边心距把正边形的一边与该边所对应的两条半径所围成的等腰三角形分成两个全等的直角三角形,所以在Rt△AOH中,斜边是R,直角边分别是和,锐角,利用直角三角形的有关知识(勾股定理,锐角三角函数等)来解直角三角形即可.例：已知正六边形ABCDEF的半径是R,求正六边形的边长S6.解:作半径OA、OB，过O做OH⊥AB，则∠AOH==30°∵∴∴∴∵∴S6=同学们在进行正多边形的计算时,应很好的理解、掌握如何用解直角三角形的方法进行计算,但也可以推出公式,然后利用公式变形进行计算.则这是已知半径R,求的公式,若记住公式则正多边形的计算就简单了很多,如已知半径R,求解:再如：已知正三角形的边长为,可以先由,求出半径,再将求得的R代入；若已知边心距求边长,则先用,求出R,再代入求边长公式即可求出,此法好处是不用画图,只需将上面两个公式反复变形即可.7.如何求同圆的圆内接正边形与圆外切正边形的边长比,半径比,边心距比.如：求同圆的圆内接正边形和圆外切正边形的边长比.设⊙O的半径的为R则圆内接正边形的边长是而在Rt△OBC中,OB=R,则,即外切正边形的边长是,∴=实际上，=,OB是的邻边,OC是Rt△BOC的斜边,,希望同学们记住此结论.如圆内接正四边形的边心距与圆外切正四边形的边心距之比是,圆内接正六边形与圆外切正六边形的边长之比是,而圆内接正三角形与圆外切正三角形的面积之比是.(注意:①此结论必须是同圆的边数相同的圆内接正边形与圆外切正边形的相似比是.②若求圆外切正边形与圆内接正边形的相似比则是).二、练习题:1.判断题:①各边相等的圆外切多边形一定是正多边形.( )②各角相等的圆内接多边形一定是正多边形.( )③正多边形的中心角等于它的每一个外角.( )④若一个正多边形的每一个内角是150°,则这个正多边形是正十二边形.( )⑤各角相等的圆外切多边形是正多边形.( )2.填空题:①一个外角等于它的一个内角的正多边形是正____边形.②正八边形的中心角的度数为____,每一个内角度数为____,每一个外角度数为____.③边长为6cm的正三角形的半径是____cm,边心距是____cm,面积是____cm.④面积等于cm2的正六边形的周长是____.⑤同圆的内接正三角形与外切正三角形的边长之比是____.⑥正多边形的面积是240cm2,周长是60cm2,则边心距是____cm.⑦正六边形的两对边之间的距离是12cm,则边长是____cm.⑧同圆的外切正四边形与内接正四边形的边心距之比是____.⑨同圆的内接正三角形的边心距与正六边形的边心距之比是____.3.选择题:①下列命题中,假命题的是( )A.各边相等的圆内接多边形是正多边形.B.正多边形的任意两个角的平分线如果相交,则交点为正多边形的中心.C.正多边形的任意两条边的中垂线如果相交,则交点是正多边形的中心.D.一个外角小于一个内角的正多边形一定是正五边形.②若一个正多边形的一个外角大于它的一个内角,则它的边数是( )A.3B.4C.5D.不能确定③同圆的内接正四边形与外切正四边形的面积之比是( )A.1:B.1:C.1:2D.:1④正六边形的两条平行边间距离是1,则边长是( )A. B. C. D.⑤周长相等的正三角形、正四边形、正六边形的面积S3、S4、S6之间的大小关系是:( )A.S3>S4>S6B.S6>S4>S3C.S6>S3>S4D.S4>S6>S3⑥正三角形的边心距、半径和高的比是( )A.1:2:3B.1::C.1::3D.1:2:三、练习答案:1.判断题①×②×③√④√⑤√2.填空题①四②45°,135°,45°③④12⑤1:2 1:4 ⑥8 ⑦⑧:1 ⑨1:3.选择题①D ②A ③C ④C ⑤B ⑥A。
几何中的正多边形与圆的内切外切
几何中的正多边形与圆的内切外切正多边形和圆是几何中常见的概念，它们之间存在着内切和外切的关系。
正多边形是一个有着相等边长和相等内角的多边形，而圆是一个由无数点组成的闭合曲线。
本文将探讨正多边形与圆的内切和外切关系，以及相关的性质和定理。
一、正多边形与圆的内切当一个正多边形的每条边都与一个圆相切，且这个圆同时与多边形的所有顶点都相切时，称这个圆为该正多边形的内切圆，多边形为内切圆的多边形。
内切圆的半径等于多边形各边边长的一半，而内切圆的圆心和多边形的重心重合。
以正五边形为例，假设其边长为a，内切圆的半径r，则有以下几何关系：- 五边形的中心到一条边的距离为r- 五边形的中心到两条相邻边的夹角为72度- 五边形的中心到五个顶点的距离等于r- 五边形的中心到相邻两个顶点和圆心连线的夹角为36度对于任意正多边形，以上的几何关系都成立。
内切圆是正多边形与圆相互联系的几何特征，它展现了正多边形的对称性和一致性。
二、正多边形与圆的外切当一个正多边形的每条边都与一个圆相切，且这个圆的圆心位于多边形各边的延长线上时，称这个圆为该正多边形的外切圆，多边形为外切圆的多边形。
外切圆的半径与内切圆的半径之间存在着特殊的关系。
以正六边形为例，假设其边长为a，外切圆的半径R，则有以下几何关系：- 六边形的中心到一条边的距离为R- 六边形的中心到两条相邻边的夹角为120度- 六边形的中心到六个顶点的距离等于R- 六边形的中心到相邻两个顶点和圆心连线的夹角为60度同样地，对于任意正多边形，以上的几何关系都成立。
外切圆也是正多边形的一个重要特征，它定义了多边形的圆心和对称性。
三、正多边形与圆内切外切的性质和定理正多边形与内切外切的圆之间有许多有趣的性质和定理，其中一些被广泛用于解决几何问题和证明定理。
1. 内切圆半径与正多边形边长的关系：对于正n边形（n>2），内切圆的半径r与多边形的边长a存在以下关系：r = (a/2) * cot(π/n)该关系可以用来计算内切圆的半径以及与多边形的边长的关系。
平面几何中的正多边形与圆的周长
平面几何中的正多边形与圆的周长在平面几何中，正多边形与圆的周长是一个重要的概念。
正多边形是指所有边长相等且所有内角相等的多边形，而圆的周长则是指圆的边缘一周的长度。
本文将探讨正多边形和圆的周长的关系，并介绍一些计算正多边形和圆的周长的方法。
一、正多边形的周长正多边形的周长可以通过计算每条边的长度之和来得到。
设正多边形有n条边，边长为a，则正多边形的周长L可以表示为L = n * a。
例如，一个有6条边的正六边形，若每条边的长度为3cm，则正六边形的周长L = 6 * 3 = 18cm。
需要注意的是，正多边形的周长与边数以及边长有关。
当边数n增加时，正多边形的周长也会增加；当边长a增加时，正多边形的周长也会增加。
二、圆的周长在平面几何中，圆的周长又称为圆的周长或圆周长。
圆的周长C可以通过计算圆的直径或半径与圆周率π的乘积来得到。
根据定义，圆周率π的近似值约为3.14159。
1. 通过直径计算设圆的直径为d，则圆的周长C可以表示为C = π * d。
例如，一个直径为10cm的圆的周长C = 3.14159 * 10 = 31.4159cm。
2. 通过半径计算设圆的半径为r，则圆的周长C可以表示为C = 2 * π * r。
例如，一个半径为5cm的圆的周长C = 2 * 3.14159 * 5 = 31.4159cm。
需要注意的是，无论是通过直径还是半径计算，圆的周长都与圆周率π有关。
当直径或半径增加时，圆的周长也会增加。
三、正多边形与圆的周长的关系在考察正多边形和圆的周长时，我们可以发现一个有趣的现象。
当正多边形的边数n足够大时，正多边形的周长L会趋近于圆的周长C。
这可以通过以下推理来解释：首先，在一个给定的正多边形中，边数越多，每条边的长度a则越短，这意味着多边形的周长L越接近于n * a。
而当n趋近于无穷大时，正多边形的周长L趋近于无限，也就是周长无限长。
而圆的周长C是有限且确定的，不会随着边数的增加而增加。
第三节 正多边形与圆有关的计算
中考真题及模拟
中考考点清单
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2017年中考数学命题研究（怀化专版）
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正多边形与圆的相关计算公式
正多边形与圆的相关计算公式在我们的数学世界里，正多边形与圆可是一对关系紧密的“好伙伴”。
今天，咱们就来好好聊聊它们之间那些神奇的计算公式。
记得有一次，我在公园里散步，看到一个圆形的花坛。
花坛的边缘被修成了正六边形的形状，特别规整漂亮。
当时我就在想，这正多边形和圆之间的关系可真是巧妙。
咱们先来说说正多边形的内角和公式。
对于一个 n 边形，它的内角和等于 (n - 2)×180°。
比如说一个正三角形，也就是三角形啦，n = 3，那内角和就是 (3 - 2)×180° = 180°，这大家都知道。
再比如一个正五边形，n = 5，内角和就是 (5 - 2)×180° = 540°。
那正多边形的每个内角的度数怎么算呢？很简单，用内角和除以边数就行啦。
还是拿正五边形举例，每个内角的度数就是540°÷5 = 108°。
接下来聊聊正多边形和圆的关系。
以正 n 边形为例，把它的 n 个顶点都和圆心连起来，就会分成 n 个等腰三角形。
这些等腰三角形的顶角就是圆心角，每个圆心角的度数是 360°÷n 。
咱们再来说说正多边形的边长和外接圆半径的关系。
假设正 n 边形的边长是 a ，外接圆半径是 R ，那就有 a = 2Rsin(180°/n) 。
比如说一个正六边形，n = 6，要是外接圆半径 R 是 5 厘米，那边长 a 就等于2×5×sin(180°/6) = 5√3 厘米。
还有正多边形的面积公式。
如果正 n 边形的边长是 a ，边心距是 r （就是从正多边形的中心到边的距离），那它的面积就是n×(1/2)×a×r 。
就像我在公园里看到的那个正六边形花坛，我们可以通过测量它的外接圆半径或者边心距，还有边长，就能算出花坛的面积。
初中数学中考复习正多边形与圆的有关的证明和计算
初中数学中考复习正多边形与圆的有关的证明和计算正多边形与圆的关系是初中数学中重要的内容。
在中考复习中，我们需要掌握正多边形与圆的有关知识，并能够进行证明和计算。
一、正多边形的性质与计算：1.正多边形的定义：正多边形是指所有边相等，所有角也相等的多边形。
2.正多边形的计算：正n边形的内角和为180°(n-2)，每个内角为(180°(n-2))/n。
正n边形的外角和为360°，每个外角为360°/n。
正n边形的中心角为360°/n。
例题1：求正六边形的内角和。
解：内角和为180°(6-2)=720°。
例题2：求正五边形的每个内角大小。
解：每个内角为(180°(5-2))/5=108°。
二、正多边形与圆的关系：1.圆的定义：圆是平面上一组到一个固定点(圆心)距离相等的点的集合。
2.正多边形与圆的关系：正多边形的顶点均在圆上，且正多边形的外接圆和内切圆都满足以下性质：①外接圆：正多边形的外接圆的圆心与正多边形的中心重合。
②内切圆：正多边形的内切圆的圆心与正多边形的中心重合，且内接圆的半径等于正多边形的边长的一半。
3.正多边形与圆的证明：①外接圆的证明：由正多边形的定义可知，正多边形的每个顶点到圆心的距离都相等，即正多边形的顶点在圆上。
而圆心与正多边形的中心重合，所以正多边形的外接圆的圆心与正多边形的中心重合。
②内切圆的证明：首先，通过正多边形的定义，可以证明正多边形的每个顶点到圆心的距离都相等，即正多边形的顶点在圆上。
其次，由于正多边形的边长相等，所以正多边形的中心到各个顶点的距离也相等。
而内切圆的半径等于正多边形中心到任意一个顶点的距离，所以正多边形的内切圆的圆心与正多边形的中心重合，且内切圆的半径等于正多边形的边长的一半。
例题3：如图，正六边形ABCD中，O为外接圆的圆心，求AB的长。
解：由于正六边形的外接圆的圆心与正多边形的中心重合，所以O即为正六边形的中心。
正多边形与圆的有关的证明和计算知识讲解及典型例题解析
正多边形与圆的有关的证明和计算知识讲解及典型例题解析【考纲要求】1．了解正多边形的概念，掌握用等分圆周画圆的内接正多边形的方法；会计算弧长及扇形的面积、圆锥的侧面积及全面积；2．结合相关图形性质的探索和证明，进一步培养合情推理能力，发展逻辑思维能力和推理论证的表达能力；通过这一章的学习，进一步培养综合运用知识的能力，运用学过的知识解决问题的能力.【知识网络】【考点梳理】考点一、正多边形和圆1、正多边形的有关概念：(1) 正多边形：各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形.(2)正多边形的中心——正多边形的外接圆的圆心.(3)正多边形的半径——正多边形的外接圆的半径.(4)正多边形的边心距——正多边形中心到正多边形各边的距离.（正多边形内切圆的半径）(5)正多边形的中心角——正多边形每一边所对的外接圆的圆心角.2、正多边形与圆的关系：(1)将一个圆n(n≥3)等分(可以借助量角器)，依次连结各等分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形.(2)这个圆是这个正多边形的外接圆.（3）把圆分成n(n≥3)等分，经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形.这个圆叫做正n边形的内切圆.（4）任何正n边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆.3、正多边形性质：(1)任何正多边形都有一个外接圆.(2) 正多边形都是轴对称图形，一个正n边形共有n条对称轴，每条对称轴都通过正n边形的中心．当边数是偶数时，它又是中心对称图形，它的中心就是对称中心.(3)边数相同的正多边形相似.它们周长的比，边心距的比，半径的比都等于相似比，面积的比等于相似比的平方．（4）任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆.要点诠释：（1）正n边形的有n个相等的外角，而正n边形的外角和为360度，所以正n边形每个外角的度数是360n；所以正n边形的中心角等于它的外角.（2）边数相同的正多边形相似.周长的比等于它们边长（或半径、边心距）的比.面积比等于它们边长（或半径、边心距）平方的比.考点二、圆中有关计算1．圆中有关计算圆的面积公式：，周长.圆心角为、半径为R的弧长.圆心角为，半径为R，弧长为的扇形的面积.弓形的面积要转化为扇形和三角形的面积和、差来计算.圆柱的侧面图是一个矩形，底面半径为R，母线长为的圆柱的体积为，侧面积为，全面积为.圆锥的侧面展开图为扇形，底面半径为R，母线长为，高为的圆锥的侧面积为，全面积为，母线长、圆锥高、底面圆的半径之间有.要点诠释：(1)对于扇形面积公式，关键要理解圆心角是1°的扇形面积是圆面积的，即；(2)在扇形面积公式中，涉及三个量：扇形面积S、扇形半径R、扇形的圆心角，知道其中的两个量就可以求出第三个量.(3)扇形面积公式，可根据题目条件灵活选择使用，它与三角形面积公式有点类似，可类比记忆；(4)扇形两个面积公式之间的联系：.【典型例题】类型一、正多边形有关计算1．图①是我们常见的地砖上的图案，其中包含了一种特殊的平面图形﹣正八边形．（1）如图②，AE是⊙O的直径，用直尺和圆规作⊙O的内接正八边形ABCDEFGH（不写作法，保留作图痕迹）；（2）在（1）的前提下，连接OD，已知OA=5，若扇形OAD（∠AOD＜180°）是一个圆锥的侧面，则这个圆锥底面圆的半径等于．【思路点拨】（1）作AE的垂直平分线交⊙O于C，G，作∠AOG，∠EOG的角平分线，分别交⊙O于H，F，反向延长 FO，HO，分别交⊙O于D，B顺次连接A，B，C，D，E，F，G，H，八边形ABCDEFGH即为所求；（2）由八边形ABCDEFGH是正八边形，求得∠AOD=3=135°得到的长=，设这个圆锥底面圆的半径为R，根据圆的周长的公式即可求得结论．【答案与解析】（1）如图所示，八边形ABCDEFGH即为所求，（2）∵八边形ABCDEFGH是正八边形，∴∠AOD=3=135°，∵OA=5，∴的长=，设这个圆锥底面圆的半径为R，∴2πR=，∴R=，即这个圆锥底面圆的半径为．故答案为：．【总结升华】本题考查了尺规作图，圆内接八边形的性质，弧长的计算，圆的周长公式的应用，会求八边形的内角的度数是解题的关键．举一反三：【变式1】如图是三根外径均为1米的圆形钢管堆积图和主视图，则其最高点与地面的距离是______米．【答案】31+.解析：如图，以三个圆心为顶点等边三角形O1O2O3的高O1C＝3，所以AB＝AO1+O1C+BC＝1313122++=+．【变式2】同一个圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边长的比是__________.32：：【变式3】一张圆心角为45°的扇形纸板和圆形纸板按如图方式剪得一个正方形，边长都为2，则扇形纸板和圆形纸板的面积比是（）A．5：4 B．5：2 C．：2 D．：【答案】A.【解析】解：如图1，连接OD，∵四边形ABCD是正方形，∴∠DCB=∠ABO=90°，AB=BC=CD=2，∵∠AOB=45°，∴OB=AB=2，由勾股定理得：OD==2，∴扇形的面积是=π；如图2，连接MB、MC，∵四边形ABCD是⊙M的内接四边形，四边形ABCD是正方形，∴∠BMC=90°，MB=MC，∴∠MCB=∠MBC=45°，∵BC=2，∴MC=MB=，∴⊙M的面积是π×（）2=2π，∴扇形和圆形纸板的面积比是π÷（2π）=．故选：A．类型二、正多边形与圆有关面积的计算2．(1)如图(a)，扇形OAB 的圆心角为90°，分别以OA ，OB 为直径在扇形内作半圆，P 和Q分别表示阴影部分的面积，那么P 和Q 的大小关系是( )．A ．P ＝QB ．P ＞QC ．P ＜QD ．无法确定(2)如图(b)，△ABC 为等腰直角三角形，AC ＝3，以BC 为直径的半圆与斜边AB 交于点D ，则图中阴影部分的面积是________．(3)如图(c)，△AOB 中，OA ＝3cm ，OB ＝1cm ，将△AOB 绕点O 逆时针旋转90°到△A ′OB ′，求AB 扫过的区域(图中阴影部分)的面积．(结果保留π)【思路点拨】 直接使用公式计算阴影部分面积比较困难时，可采用和差法、转化法、方程法等，有时也需要运用变换的观点来解决问题．【答案与解析】解：(1)阴影部分的面积直接求出十分困难，可利用几个图形面积的和差进行计算：2OAB OCA P S S Q =-+扇形半圆2211()42R R Q Q ππ=-+=； (2)(转化法“凑整”)利用BmD CnD S S =弓形弓形，则阴影部分的面积可转化为△ACD 的面积，等于△ABC 面积的一半，答案为94； (3)(旋转法)将图形ABM 绕点O 逆时针旋转到A ′B ′M ′位置，则A OA MOM S S S ''=-阴影扇形扇形2211244OA OM πππ=-=． 【总结升华】求阴影面积的几种常用方 (1)公式法；(2)割补法；（3）旋转法；(4)拼凑法；(5)等积变形法；(6)构造方程法．举一反三：【变式】如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，AB ＝8，BC ＝12，分别以AB 、AC 为直径作半圆，则图中阴影部分的面积是( )A ．64π127-B ．16π32-C ．16π247-D ．16π127-【答案】解：如图，由AB ，AC 为直径可得AD ⊥BC ，则BD ＝DC ＝6．在Rt △ABD 中，228627AD =-=，∴ 211246271612722S ππ⎛⎫=⨯⨯⨯-⨯⨯=-⎪⎝⎭阴影． 答案选D.3．如图所示，A 是半径为2的⊙O 外一点，OA ＝4，AB 是⊙O 的切线，B 为切点，弦BC ∥OA ，连AC ，求阴影部分的面积．【思路点拨】图中的阴影是不规则图形，不易直接求出，如果连接OB 、OC ，由BC ∥OA ，根据同底等高的三角形面积相等，于是所求阴影可化为扇形OBC 去求解．【答案与解析】解：如图所示，连OB 、OC∵ BC ∥OA ．∴ △OBC 和△ABC 同底等高，∴ S △ABC ＝S △OBC ，∴∵ AB 为⊙O 的切线，∴ OB ⊥AB ．∵ OA ＝4，OB ＝2，∴ ∠AOB ＝60°．∵ BC ∥OA ，∴ ∠AOB ＝∠OBC ＝60°．∵ OB ＝OC ，∴ △OBC 为正三角形．∴ ∠COB ＝60°，∴ 260223603OBC S S ππ⨯===阴影扇形．【总结升华】通过等积替换化不规则图形为规则图形，在等积转化中①可根据平移、旋转或轴对称等图形变换；②可根据同底（等底）同高（等高）的三角形面积相等进行转化．举一反三：【变式】如图所示，半圆的直径AB ＝10，P 为AB 上一点，点C ，D 为半圆的三等分点，则阴影部分的面积等于________．【答案】 解：连接OC 、OD 、CD ．∵ C 、D 为半圆的三等分点，∴ ∠AOC ＝∠COD ＝∠DOB ＝180603=°°． 又∵ OC ＝OD ，∴ ∠OCD ＝∠ODC ＝60°，∴ DC ∥AB ，∴ PCD OCD S S =△△，∴ 2605253606S S ππ===g g 阴影扇形OCD ．4．如图，在边长为4的正方形ABCD中，以AB为直径的半圆与对角线AC交于点E．（1）求弧BE所对的圆心角的度数．（2）求图中阴影部分的面积（结果保留π）．【思路点拨】（1）连接OE，由条件可求得∠EAB=45°，利用圆周角定理可知弧BE所对的圆心角∠EOB=2∠E AB=90°；（2）利用条件可求得扇形AOE的面积，进一步求得弓形的面积，利用Rt△ADC的面积减去弓的面积可求得阴影部分的面积．【答案与解析】解：（1）连接OE，∵四边形ABCD为正方形，∴∠EAB=45°，∴∠EOB=2∠EAB=90°；（2）由（1）∠EOB=90°，且AB=4，则OA=2，∴S扇形AOE==π，S△AOE=OA2=2，∴S弓形=S扇形AOE﹣S△AOE=π﹣2，又∵S△ACD=AD•CD=×4×4=8，∴S阴影=8﹣（π﹣2）=10﹣π．【总结升华】本题主要考查扇形面积的计算和正方形的性质，掌握扇形的面积公式是解题的关键，注意弓形面积的计算方法．»AB）对应5．将一块三角板和半圆形量角器按图中方式叠放，重叠部分（阴影）的量角器圆弧（的中心角（∠AOB）为120°，AO的长为4cm，求图中阴影部分的面积.【思路点拨】看是否由“规则的”三角形、四边形、圆、扇形、弓形等可求面积的图形，经过怎样的拼凑、割补、叠合而成，这是解决这类题的关键．【答案与解析】阴影部分的面积可看成是由一个扇形AOB 和一个Rt △BOC 组成，其中扇形AOB 的中心角是120°，AO 的长为4，Rt △BOC 中，OB ＝OA ＝4，∠BOC ＝60°，∴ 可求得BC 长和OC 长，从而可求得面积，阴影部分面积＝扇形AOB 面积+△BOC 面积＝21623cm 3π⎛⎫+ ⎪⎝⎭． 【总结升华】本题是求简单组合图形的面积问题，解答时，常常是寻找这些“不规则的图形”是由哪些“可求面积的、规则的图形”组合而成.举一反三：【变式】如图，矩形ABCD 中，AB ＝1，2AD =．以AD 的长为半径的⊙A 交BC 于点E ，则图中阴影部分的面积为________．【答案】1224π--. 解析：连接AE ，易证AB ＝BE ＝1，∠BAE ＝45°，所以∠EAD ＝45°， 所以21112(2)22824ABE ABCD DAE S S S S ππ=--=--=--△阴影矩形扇形．6．如图，AB 是⊙O 的直径，点P 是AB 延长线上一点，PC 切⊙O 于点C ，连接AC ，过点O 作AC 的垂线交AC 于点D ，交⊙O 于点E ．已知AB ﹦8，∠P=30°．（1）求线段PC 的长；（2）求阴影部分的面积．【思路点拨】（1）连接OC，由PC为圆O的切线，根据切线的性质得到OC与PC垂直，可得三角形OCP为直角三角形，同时由直径AB的长求出半径OC的长，根据锐角三角函数定义得到tanP为∠P的对边OC与邻边PC的比值，根据∠P的度数，利用特殊角的三角函数值求出tanP的值，由tanP及OC的值，可得出PC 的长；（2）由直角三角形中∠P的度数，根据直角三角形的两个锐角互余求出∠AOC的度数，进而得出∠BOC的度数，由OD与BC垂直，且OC=OB，利用等腰三角形的三线合一得到OD为∠BOC的平分线，可求出∠COD度数为60°，再根据直角三角形中两锐角互余求出∠OCD度数为30°，根据30°角所对的直角边等于斜边的一半，由斜边OC的长求出OD的长，先由∠COD的度数及半径OC的长，利用扇形的面积公式求出扇形COE的面积，再由OD与CD的长，利用直角三角形两直角边乘积的一半求出直角三角形COD 的面积，用扇形COE的面积减去三角形COD的面积，即可求出阴影部分的面积．【答案与解析】解：（1）连接OC，∵PC切⊙O于点C，∴OC⊥PC，∵AB=8，∴OC=12AB=4，又在直角三角形OCP中，∠P=30°，∴tanP=tan30°=OCPC，即PC=433=43；（2）∵∠OCP=90°，∠P=30°，∴∠COP=60°，∴∠A OC=120°，又AC⊥OE，OA=OC，∴OD为∠AOC的平分线，∴∠COE=12∠AOC=60°，又半径OC=4，∴S扇形OCE=26048=3603ππ⨯，在Rt△OCD中，∠COD=60°，∴∠OCD=30°，∴OD=12OC=2，根据勾股定理得：CD=22OC-OD=23，【总结升华】此题考查了切线的性质，含30°角的直角三角形的性质，等腰三角形的性质，锐角三角函数定义，以及扇形的面积公式，遇到已知切线的类型题时，常常连接圆心与切点，利用切线的性质得出垂直，利用直角三角形的性质来解决问题．。
第1部分 第6章 第3节 与圆有关的计算
弧长的相关计算 抓住弧长公式 l＝n1π80r，若求弧长 l，则设法求出 n 或 r，若已知弧 长 l，则根据公式可求 n 或 r.
(2019·庐江模拟)如图，AB 是⊙O 的直 径，BC 是⊙O 的弦，∠ABC 的平分线交⊙O 于点 D. 若 AB＝6，∠BAC＝30°，则劣弧A︵D的长等 于π ．
1．(2017 安徽，13，5 分)如图，已知等边△ABC 的边长为 6，以 AB 为直径的⊙O 与边 AC，BC 分 别交于 D，E 两点，则劣弧D︵E的长为 π ．
【解析】连接 OD，OE，∵在等边三角形 ABC 中，∠A＝∠B＝60 °，又 OA＝OB＝OE＝OD＝3，∴△OBE，△ODA 都是等边三角形，
圆柱和圆锥的侧面积和全面积
1．圆柱 设圆柱的高为 h，底面半径为 R，则有： (1)S 圆柱侧＝⑧ 2πRh ； (2)S 圆柱全＝2πRh＋2πR2.
2．圆锥 设圆锥的母线长为 l，底面半径为 R，高为 h，则有： (1)S 圆锥侧＝⑨ πlR ； (2)S 圆锥全＝πlR＋πR2； (3)圆锥的侧面展开图是一个扇形，圆锥底面圆的周长等于其侧面 展开图扇形的弧长，圆锥的母线长等于其侧面展开图扇形的半径．
莱洛三角形 4．(2019·泰州)如图，分别以正三角形的三个顶点 为圆心，边长为半径画弧，三段弧围成的图形称为莱洛 三角形．若正三角形边长为 6cm，则该莱洛三角形的周 长为 6π ． 【解析】3×601π80×6＝6π(cm)．
圆与正多边形的相关计算(冷考) (注：安徽中考近五年未单独考查)
弧长、扇形面积的有关计算(常考)
利用等腰直角三角形的性质得到 AB＝ 2R，利用圆锥的侧面展开图为
一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长得到 2πr＝
初中数学中考复习正多边形与圆的有关的证明和计算
初中数学中考复习正多边形与圆的有关的证明和计算正多边形与圆的有关证明和计算是初中数学中的基础知识，掌握这些知识将有助于学生在中考中取得好成绩。
下面将详细介绍正多边形与圆的证明和计算相关内容。
一、多边形的内角和在初中数学中，我们首先要了解正多边形的内角和的计算方式。
一个n边形（n≥3）的内角和公式为：(n-2)×180度，也可以写成(n-2)×π弧度。
例如，一个三角形的内角和为(3-2)×180度=180度；一个四边形的内角和为(4-2)×180度=360度。
二、正多边形的性质1.正多边形的内角是相等的。
这是因为正多边形的所有边长和内角都相等。
2.正多边形的外角是相等的。
外角是指在多边形外部，相邻两边的夹角。
3.正多边形的对角线个数为n(n-3)/2，其中n为多边形的边数。
例如，一个六边形有6(6-3)/2=9条对角线。
4.正多边形的对角线长度相等。
如果我们连接正多边形的一个顶点和非相邻顶点，得到的线段即为对角线。
所有对角线的长度均相等。
5.正多边形的中心到顶点的距离称为半径，正多边形的中心到边的距离称为中线。
一个正多边形的半径和中线相等。
三、正多边形的外接圆和内切圆1. 正n边形的外接圆半径r的计算公式为：r = a/2sin(π/n)，其中a为正n边形的边长。
例如，一个正六边形的边长为a，那么它的外接圆的半径为r = a/2sin(π/6)。
2. 正n边形的内切圆半径R的计算公式为：R = a/2tan(π/n)。
例如，一个正六边形的边长为a，那么它的内切圆的半径为R =a/2tan(π/6)。
四、正多边形与圆的面积1. 正n边形的面积公式为：S = (1/4) × n × a² × cot(π/n)，其中a为正n边形的边长。
例如，一个正六边形的边长为a，那么它的面积为S = (1/4) × 6 × a² × cot(π/6)。
中考数学复习满分突破正多边形与圆与弧长公式扇形面积圆锥侧面积有关的计算
中考数学复习满分突破正多边形与圆与弧长公式扇形面
积圆锥侧面积有关的计算
一、正多边形与圆的关系
正多边形是指所有边和角都相等的多边形。
一个正多边形可以画出一个内接圆，该圆的圆心即为正多边形的中心，且圆心与多边形的各个顶点连线都与多边形的一条边垂直。
正多边形的内角和公式为：
内角和=(n-2)×180°，其中n为正多边形的边数。
正多边形的外角和公式为：
外角和=360°，且每个外角的度数为360°/n，其中n为正多边形的边数。
1.弧长公式
弧长可以理解为一段圆周的长度。
弧长公式为：
弧长=弧度×半径，其中弧度=角度×π/180。
2.弧度制度数转换式
角度=弧度×180/π。
三、扇形面积的计算
扇形是由一条弧和两条半径组成的图形。
扇形面积公式为：
扇形面积=(弧长×半径)/2，其中弧长单位为弧度。
四、圆锥侧面积的计算
圆锥的侧面是由圆锥的母线、底面圆弧以及连接底面圆弧与顶点的三角形组成的。
圆锥侧面积公式为：
圆锥侧面积=弧长×母线/2，其中弧长单位为弧度，母线为连接圆锥顶点和底面圆圆心的线段长度。
以上是正多边形与圆、与弧长公式、扇形面积、圆锥侧面积有关的计算的相关知识点。
希望对你的中考数学复习有所帮助。
计算这些相关内容时，记得要熟记公式，并且注意单位的转换。
祝你取得满意的成绩！。
正多边形和圆
正多边形和圆导言在几何学中，正多边形和圆是两个常见的几何形状。
本文将介绍正多边形和圆的定义、性质以及它们之间的关系。
正多边形定义正多边形是一个具有相等边长和相等内角的多边形。
其中，边数必须大于或等于3。
性质•正多边形的内角和等于$(n-2) \\times 180˚$，其中n为边数。
•正多边形的每个内角都等于$\\frac{(n-2) \\times 180˚}{n}$。
•正多边形可以被分解为n个等边等角的小三角形。
•正多边形的外角等于$\\frac{360˚}{n}$。
•正多边形的对边平行且长度相等。
示例一个常见的例子是正三角形，也就是我们通常所说的等边三角形。
它的每个内角都等于60˚，外角为120˚。
圆定义圆由一个平面上到一个定点的距离恒定的点集构成。
这个定点称为圆心，距离称为半径。
性质•圆的内角和为360˚。
•圆的任意两点到圆心的距离相等。
•圆的半径是圆上的任意线段，长度为半径的两倍称为直径。
•圆的直径是其内接正多边形的边长，且直径与边的关系为：直径等于$\\frac{\\text{边数}}{2 \\times \\sin \\left( \\frac{180˚}{\\text{边数}} \\right)}$。
•圆的周长等于$2 \\pi r$，其中r为半径。
•圆的面积等于$\\pi r^2$，其中r为半径。
示例一个常见的例子是半径为1的单位圆。
它的直径为2，周长为$2 \\pi$，面积为$\\pi$。
正多边形与圆的关系正多边形可以与圆相互转化。
正多边形转圆正多边形可以通过逐渐增加边数，逼近于一个圆。
当边数趋于无穷大时，正多边形的内角和无限接近于圆的内角和360˚。
圆转正多边形圆可以通过绘制其内接正多边形来近似表示。
当内接正多边形的边数增加时，其形状越来越接近于一个圆。
结论正多边形和圆是几何学中的两个重要概念。
正多边形是具有相等边长和内角的多边形，而圆是由一组到圆心距离相等的点组成。
正多边形和圆之间存在着密切的联系，可以相互转换和逼近。
圆与正多边形的面积比较与计算
圆与正多边形的面积比较与计算圆和正多边形是几何学中常见的图形，它们的面积计算和比较是我们要探究的重点。
在此文中，我们将介绍如何计算圆和正多边形的面积，并比较它们的大小。
一、圆的面积计算圆的面积计算公式是：S = π × r²。
其中，S代表圆的面积，π代表圆周率，r代表圆的半径。
假设给定一个圆的半径为r = 5cm，那么该圆的面积计算为：S = π × 5² = 25π cm²。
这里的π可以精确到小数点后任意位数，一般取3.14或3.14159作为圆周率的近似值。
二、正多边形的面积计算对于正多边形，我们可以通过将其划分为若干个等边三角形来计算面积。
正多边形的面积计算公式是：S = 0.5 × a × p。
其中，S代表正多边形的面积，a代表正多边形的边长，p代表正多边形的周长。
假设给定一个正五边形的边长为a = 6cm，那么该正五边形的周长为p = 5 × 6 = 30cm。
将正五边形划分为五个等边三角形，每个三角形的底边长为a = 6cm，高的长度可以通过勾股定理计算得到。
假设高的长度为h = 4.37cm，那么每个三角形的面积为0.5 × 6 × 4.37 = 13.11cm²。
由此可得正五边形的面积为13.11 × 5 = 65.55cm²。
三、圆与正多边形的比较为了比较圆和正多边形的面积大小，我们可以选取相同的半径和边长来进行比较。
假设给定一个半径为r = 5cm的圆和一个边长为a = 6cm的正六边形。
根据前述计算方法得到圆的面积为25π cm²，正六边形的面积为6 × 6 ×sin(π/3) = 18√3 cm² ≈ 31.18cm²。
由此可见，当半径和边长相等时，正多边形的面积要大于圆的面积。
这是因为正多边形由多个等边三角形组成，而圆则没有尖角，因此正多边形所能包围的区域相对较大。
正多边形和圆
正多边形和圆介绍在几何学中，正多边形和圆是两个重要的概念。
正多边形是指具有相等边长和相等内角的多边形，而圆是一个平面上所有点到圆心的距离都相等的图形。
本文将介绍正多边形和圆的特征、性质和相关公式。
正多边形定义正多边形是指所有边长相等且所有内角相等的多边形。
常见的正多边形有三角形、四边形（正方形）、五边形、六边形等。
正多边形的内角都可以通过以下公式计算：内角和 = (n - 2) × 180°其中，n表示多边形的边数。
性质1.边长相等：正多边形的所有边长都相等，即正多边形的每条边长度相等。
2.内角相等：正多边形的所有内角都相等，即正多边形每个内角的度数相等。
3.对称性：正多边形具有n个对称轴，其中n为边数。
每个对称轴将正多边形分为两个对称的部分。
4.外角和：正多边形的外角和等于360°，即正多边形的所有外角之和为一个圆的周角。
5.外接圆：正多边形的外接圆是指将正多边形每个顶点都切在圆上的圆。
外接圆的半径等于正多边形中心到任一顶点的距离。
公式1.正多边形的面积：正多边形的面积可以通过边长和高计算，公式如下：面积 = 边长 × 高 / 22.正多边形的周长：正多边形的周长等于所有边长之和，即边长 × 边数。
圆定义圆是平面上所有点到圆心距离都相等的图形。
圆由圆心、半径和弧组成，其中圆心为圆上所有点的中心，半径是圆心到圆上任意一点的距离，弧是圆上两点之间的弯曲部分。
性质1.圆心角：圆心角是指圆心所对的弧所对应的角。
圆心角的度数等于对应弧所占据的圆心角度的一部分，即圆心角 = 弧度 / 弧长 × 360°。
2.弧长：圆上的弧长可以通过圆心角的度数计算，公式如下：弧长 = 圆心角度数 / 360°× 圆周3.面积：圆的面积可以通过半径计算，公式如下：面积= π × 半径²其中，π（pi）是一个数学常数，约等于3.14159。
初中数学 圆 知识点 考点 思维导图 圆的概念与性质 与圆有关的位置关系 圆有关的计算 正多边形与圆
１、与圆的位置关系可从形和数两方面来判断，思维单一容易致误． ２、切线长定理不能与三角函数结合致误． ３、两圆相交时，半径与圆心距的关系考虑不全．
点在圆内台ｄ ＜ｒ 点在圆上台 ｄ＝ｒ
１．有切线，作过切点的半径．
２．有半径，过端点作圆的切线．
常作的
辅助线
点在圆外 与ｄ＞ｒ
３．有切线长，作以切线、过切点的半径、圆心
２．在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；
相等的圆周角所对的弧相等．
定义 顶点都在同一圆上的多边形．
顶点都在同一圆上的三角形称圆内接三角形，
圆内接三角形 定义 圆心称三角形外心．
２．直径所对圆周角的特征
或三角形外接圆 性质 外心到各顶点距离相等，是三角形各边的中垂线的交点．
（１）作辅助线，构造＂直径所对的圆周角是直角＂
初初中中数数学学 圆 思思维维导导图图
考点 知识点 快速理解记忆
超超实实用用一一看看就就明明白白 极易记忆
第一节 圆的概念与性质
第二节 与与圆圆有关的位置关系
第三节 与圆有关的计算 第四节节 正多边形与圆
初中数学 第七章 圆 第一节 圆的概念与性质
在平面内，线段ＯＡ绕它固定的一个端点Ｏ旋转一周，另
（１）判定方法
１定义法∶与圆只有一个交点的直线
②数量法∶与圆心的距离ｄ＝／的直线．
（２）相切判定
③判定定理．
有明确交点，连半径，证直线与半径垂直． （３）证明直
无明确的交点，过圆心作垂线段，证其等于半径．线与圆相切
已知直线满足∶①过圆心；②过切点；
③垂直于切线．可知二推出另一个．
（４）切线性 质的拓展
线交点组成的正多边形叫圆外切正多边形．
性质 正多边形都有一外接圆，反之，同一个圆有无数多个内接正多边形
正多边形内切圆半径计算公式
正多边形内切圆半径计算公式在我们的数学世界里，正多边形内切圆半径的计算可是一个有趣又实用的知识点呢！先来说说啥是正多边形。
你看那正三角形，三条边一样长，三个角也都相等；再瞅瞅正方形，四条边整齐划一，四个角都是直角。
像这样边和角都相等的多边形，就是正多边形啦。
那正多边形的内切圆又是咋回事呢？想象一下，在一个正多边形里面，有一个圆，这个圆和正多边形的每条边都相切，那这个圆就是正多边形的内切圆。
那正多边形内切圆半径咋计算呢？这就有个通用的公式啦。
假设正多边形的边数是 n，边长是 a ，那内切圆半径 r 就可以通过这个公式算出来：r = a / （2 × tan(π / n)）。
我记得有一次给学生们讲这个知识点的时候，有个小同学瞪着大眼睛问我：“老师，这公式咋来的呀？”我当时就笑了，给他画了个正六边形，一步一步地解释。
我先从正六边形的中心向一条边作垂线，这条垂线就是内切圆的半径啦。
然后发现这个垂线把正六边形的一个角平分了，那个角是 120 度，平分之后就是 60 度。
再根据三角函数的知识，就能算出这个半径和边长的关系。
小同学听完，恍然大悟的样子，那表情可有趣啦！咱们再拿正三角形来实际算算。
正三角形的每个角是 60 度，那半个角就是 30 度。
假设边长是 6 ，根据公式，tan(π / 3) = √3 ，所以内切圆半径 r = 6 / （2 × √3）= √3 。
再比如正方形，边长假如是 4 ，tan(π / 4) = 1 ，那内切圆半径 r = 4 / （2 × 1） = 2 。
掌握了这个计算公式，在解决很多几何问题的时候就会轻松不少呢。
比如说要计算正多边形的面积，知道了内切圆半径，就能很快算出来。
总之，正多边形内切圆半径的计算公式虽然看起来有点复杂，但只要咱们多琢磨琢磨，多做几道题练练手，就能把它拿下。
以后再遇到相关的问题，就能轻松应对啦！希望大家都能把这个知识点掌握得牢牢的，在数学的海洋里畅游无阻！。
正多边形和圆、弧长公式及有关计算
【本讲教育信息】一. 教学内容：正多边形和圆、弧长公式及有关计算［学习目标］1. 正多边形的有关概念；正多边形、正多边形的中心、半径、边心距、中心角。
正n边形的半径，边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形。
2. 正多边形和圆的关系定理任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆，因此可采用作辅助圆的办法，解决一些问题。
3. 边数相同的正多边形是相似多边形，具有以下性质：（1）半径（或边心距）的比等于相似比。
（2）面积的比等于边心距（或半径）的比的平方，即相似比的平方。
4. 由于正n边形的n个顶点n等分它的外接圆，因此画正n边形实际就是等分圆周。
（1）画正n边形的步骤：将一个圆n等分，顺次连接各分点。
（2）用量角器等分圆先用量角器画一个等于360︒n的圆心角，这个角所对的弧就是圆的1n，然后在圆上依次截取这条弧的等弧，就得到圆的n等分点，连结各分点即得此圆的内接正n边形。
5. 对于一些特殊的正n边形，如正四边形、正八边形、正六边形、正三角形、正十二边形还可以用尺规作图。
6. 圆周长公式：C R=2π，其中C为圆周长，R为圆的半径，把圆周长与直径的比值π叫做圆周率。
7. n°的圆心角所对的弧的弧长：ln R =π180n表示1°的圆心角的度数，不带单位。
8. 正n边形的每个内角都等于()nn-︒2180，每个外角为360︒n，等于中心角。
二. 重点、难点：1. 学习重点：正多边形和圆关系，弧长公式及应用。
正多边形的计算可转化为解直角三角形的问题。
只有正五边形、正四边形对角线相等。
2. 学习难点：解决有关正多边形和圆的计算，应用弧长公式。
【典型例题】例1. 正六边形两条对边之间的距离是2，则它的边长是（）A.33 B.233 C.23 D.223解：如图所示，BF＝2，过点A作AG⊥BF于G，则FG＝1D又∵∠FAG ＝60°∴=∠==AF FG FAG sin 132233故选B点拨：正六边形是正多边形中最重要的多边形，要注意正六边形的一些特殊性质。
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第三节正多边形与圆有关的计算,河北8年中考命题规律)扇形面积的相关计算(2次)1．(2013河北14题3分)如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，∠C ＝30°，CD ＝23，则阴影部分图形的面积为( )A ．4πB ．2πC ．πD .2π3(第1题图)(第2题图)2．(2014河北19题3分)如图，将长为8cm 的铁丝AB 首尾相接围成半径为2cm 的扇形．则S 扇形＝________cm 2.圆锥的相关计算(1次)3．(2010河北17题3分)某盏路灯照射的空间可以看成如图所示的圆锥，它的高AO ＝8m ，母线AB 与底面半径OB 的夹角为α，tan α＝43，则圆锥的底面积是________m 2(结果保留π)．(第3题图)(第4题图)4．(2015保定模拟)如图，两个同心圆的半径分别为6cm 和3cm ，大圆的弦AB 与小圆相切，则劣弧AB 的长为( )A ．2πcmB ．4πcmC ．6πcmD ．8πcm5．(2015邯郸二模)如图，圆柱底面半径为2πcm ，高为9cm ，点A 、B 分别是圆柱两底面圆周上的点，且A 、B在同一母线上，用一根棉线从A 点顺着圆柱侧面绕3圈到B 点，则这根棉线的长度最短为( )A ．12cmB .97cmC ．15cmD .21cm6．(2015石家庄模拟)如图，将半径为3cm 的圆形纸片沿AB 折叠后，圆弧恰好能经过圆心O ，用图中阴影部分的扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的高为( )A ．22cmB .2cmC .10cmD .32cm 7．(2015唐山二模)如图，在同心圆中，两圆半径分别是3和1，∠AOB ＝120°，则阴影部分的面积为________．(第7题图)(第8题图)8．(2015承德二模)如图，在边长为1的小正方形构成的网格中，半径为1的⊙O 与大正方形的四个边相切，则图中阴影部分两个小扇形的面积之和为________(结果保留π)．9．(2015邯郸模拟)如图，在⊙O 中，AB 是直径，AC 是弦，OE ⊥AC 于点E ，过点C 作直线FC ，使∠FCA ＝∠AOE ，交AB 的延长线于点D .(1)求证：FD 是⊙O 的切线；(2)设AC ＝DC ＝4，求⊙O 半径的长；(3)在(2)的条件下，求图中阴影部分的面积．,中考考点清单)圆的弧长及扇形面积公式如果圆的半径是R 弧长公式 弧长l ＝①________扇形面积公式 S 扇＝n πR 2360＝②________图形圆锥的全面积【方法点拨】1．牢记圆的有关计算公式，并灵活处理好公式之间的转换，当出现求不规则图形的面积时，注意利用割补法与等积变换转化为规则图形，再利用规则图形的公式求解．2．圆锥的侧面问题转化为平面问题，如最短路线问题．,中考重难点突破) 弧长与扇形面积【例1】(1)(2015苏州中考)如图，AB 切⊙O 于点B ，OA ＝2，∠OAB ＝30°，弦BC ∥OA ，劣弧BC 的弧长为________．(结果保留π)例1(1)题图例1(2)题图(2)(2015邯郸二模)如图，正方形ABCD 中，分别以B 、D 为圆心，以正方形的边长a 为半径画弧，形成树叶形(阴影部分)图案，则树叶形图案的周长为( )A ．πaB ．2πaC .12πa D ．3a【解析】(1)连接OC 、OB ，设法求半径OB 及∠BOC 即可；(2)阴影部分的周长为AC ︵的长的2倍． 【学生解答】1．(2015自贡中考)一个扇形的半径为8cm ，弧长为163πcm ，则扇形的圆心角为( )A ．60°B ．120°C ．150°D ．180°2．(2015西宁中考)如图，网格图中每个小正方形的边长为1，则弧AB 的弧长l ＝________．(第2题图)(第3题图)3．(2015梧州中考)如图，AC ⊥BC ，AC ＝BC ＝4，以AC 为直径作半圆，圆心为点O ；以点C 为圆心，BC 为半径作AB ︵.过点O 作BC 的平行线交两弧于点D 、E ，则阴影部分的面积是________．圆锥的侧面积与全面积【例2】(2015成都中考)一个几何体由圆锥和圆柱组成，其尺寸如图所示，则该几何体的全面积(即表面积)为________(结果保留π)．【学生解答】4．(2015鄂州中考)圆锥体的底面半径为2，侧面积为8π，则其侧面展开图的圆心角为( ) A ．90° B ．120° C ．150° D ．180°正多边形和圆【例3】(2015福州中考)如图，由7个形状、大小完全相同的正六边形组成网格，正六边形的顶点称为格点．已知每个正六边形的边长为1，△ABC 的顶点都在格点上，则△ABC 的面积是________．【解析】延长AB 和过CD 的直线交于E 点，可以直接计算△ABC 的面积，也可以通过计算三角形ACE 和三角形BCE 的面积差来解决问题．【学生解答】5．(2015天津中考)正六边形的边心距为3，则该正六边形的边长是( ) A . 3 B ．2 C ．3 D ．2 36．(2015石家庄模拟)如图，边长为a 的正六边形内有两个三角形(数据如图)，则S 阴影S 空白＝( )A ．3B ．4C ．5D ．6,中考备考方略)1．(2015岳阳中考)已知扇形的圆心角为60°，半径为1，则扇形的弧长为( ) A .π2 B ．π C .π6 D .π32．(2015衡阳中考)圆心角为120°，弧长为12π的扇形半径为( ) A ．6 B ．9 C ．18 D ．363．(2015自贡中考)一个扇形的半径为8cm ，弧长为16π3cm ，则扇形的圆心角为( )A ．60°B ．120°C ．150°D ．180°4．(2015德州中考)如图，要制作一个圆锥形的烟囱帽，使底面圆的半径与母线长的比是4∶5，那么所需扇形铁皮的圆心角应为 ( )A ．288°B ．144°C ．216°D ．120°5．(2014成都中考)在圆心角为120°的扇形AOB 中，半径OA ＝6cm ，则扇形AOB 的面积是( ) A ．6πcm 2 B ．8πcm 2 C ．12πcm 2 D ．24πcm 26．(2015秦皇岛二模)如图是一个正六边形，图中空白部分的面积为20，则阴影部分的面积为( ) A ．10 B ．10 2 C ．20 D ．20 27．(2015廊坊二模)如图，点C 是扇形OAB 内一点，∠AOB ＝90°，OC ⊥BC 于点C ，OC ＝4，则△OAC (阴影部分)的面积为( )A ．12B ．10C ．8D ．6(第7题图)(第8题图)8．(2014呼伦贝尔中考)如图，三个小正方形的边长都为1，则图中阴影部分面积的和是( ) A .34π B .38π C .32π D .316π 9．(2015衡阳中考)圆心角为120°的扇形的半径为3，则这个扇形的面积为________(结果保留π)．10．(2015广西中考)已知一条圆弧所在圆半径为9，弧长为52π，则这条弧所对的圆心角是________．11．(2015保定中考)如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝30°，AB ＝2.将△ABC 绕顶点A 顺时针方向旋转至△AB ′C ′的位置，B ，A ，C ′三点共线，则线段BC 扫过的区域面积为________．12．(2015孝感中考)已知圆锥的侧面积等于60πcm 2，母线长10cm ，则圆锥的高是________cm .13．(2015烟台中考)如图，将弧长为6π，圆心角为120°的圆形纸片AOB 围成圆锥形纸帽，使扇形的两条半径OA 与OB 重合(粘连部分忽略不计)，则圆锥形纸帽的高是________．14．(2015黔东南中考)如图，边长为1的菱形ABCD 的两个顶点B 、C 恰好落在扇形AEF 的弧EF 上．若∠BAD ＝120°，则弧BC 的长度等于________(结果保留π)．(第14题图)(第15题图)15．(2015河南中考)如图，在扇形AOB 中，∠AOB ＝90°，点C 为OA 的中点，CE ⊥OA 交AB ︵于点E ，以点O 为圆心，OC 的长为半径作CD ︵交OB 于点D .若OA ＝2，则阴影部分的面积为________．16．(2016原创预测)如图所示，正方形网格中，△ABC 为格点三角形(即三角形的顶点都在格点上)． (1)把△ABC 沿BA 方向平移后，点A 移到点A 1，在网格中画出平移后得到的△A 1B 1C 1； (2)把△A 1B 1C 1绕点A 1按逆时针方向旋转90°，在网格中画出旋转后的△A 1B 2C 2.17．(2015潍坊中考)将一盛有不足半杯水的圆柱形玻璃水杯拧紧杯盖后放倒，水平放置在桌面上，水杯的底面如图所示，已知水杯内径(图中小圆的直径)是8cm ，水的最大深度是2cm ，则杯底有水部分的面积是( )A ．(163π－43)cm 2B ．(163π－83)cm 2C ．(83π－43)cm 2 D ．(错误!π－2错误!)cm 218．(2015恩施中考)如图，半径为5的半圆的初始状态是直径平行于桌面上的直线b ，然后把半圆沿直线b 进行无滑动滚动，使半圆的直径与直线b 重合为止，则圆心O 运动路径的长度等于________．(第18题图)(第19题图)19．(2015福州中考)一个工件，外部是圆柱体，内部凹槽是正方体，如图所示，其中，正方体一个面的四个顶点都在圆柱底面的圆周上，若圆柱底面周长为2πcm ，则正方体的体积为________．20．(2015永州中考)如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标(－2，0)，△ABO 是直角三角形，∠AOB ＝60°.现将Rt △ABO 绕原点O 按顺时针方向旋转到Rt △A ′B ′O 的位置，则此时边OB 扫过的面积为________．(第20题图)(第21题图)21．(2015遵义中考)如图，在圆心角为90°的扇形OAB 中，半径OA ＝2cm ，C 为AB ︵的中点，D 、E 分别是OA 、OB 的中点，则图中阴影部分的面积为________．22．(2016原创预测)如图，依次以三角形、四边形、……n 边形的各顶点为圆心画半径为l 的圆，且圆与圆之间两两不相交．把三角形与各圆重叠部分面积之和记为S 3，四边形与各圆重叠部分面积之和记为S 4，…，n 边形与各圆重叠部分面积之和记为S n .则S n 的值是________．(结果保留π)23．(2015兰州中考)如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠BAC 的角平分线AD 交BC 边于D .以AB 上某一点O 为圆心作⊙O ，使⊙O 经过点A 和点D .(1)判断直线BC 与⊙O 的位置关系，并说明理由； (2)若AC ＝3，∠B ＝30°. ①求⊙O 的半径；②设⊙O 与AB 边的另一个交点为E ，求线段BD 、BE 与劣弧DE 所围成的阴影部分的图形面积．(结果保留根号和π)24．(2015玉林中考)如图，在⊙O 中，AB 是直径，点D 是⊙O 上一点，且∠BOD ＝60°，过点D 作⊙O 的切线CD 交AB 的延长线于点C ，E 为AD ︵的中点，连接DE ，EB .(1)求证：四边形BCDE 是平行四边形；(2)已知图中阴影部分面积为6π，求⊙O 的半径r .。