正多边形的有关计算1汇总

第四单元正多边形和圆一、教法建议抛砖引玉本单元主要讲授正多边形和圆，正多边形的有关计算，画正多边形，圆周长、弧长，圆、扇形、弓形的面积，圆柱和圆锥的侧面展开图等内容，在教学时，在已学过的等边三角形、正方形的基础上，首先给出正多边形的定义，然后根据正多边形定义和圆的有关知识，推导出正多边形与圆的关系的两个定理。

在教学中，抓住“任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆”这个定理和圆的有关概念，得到了“正n边形的半径和边心距，把正n边形分成2n个全等的直角三角形”这个定理，从而使正多边形的边长、半径、边心距、中心角的有关计算转化为解直角三角形的问题，进而解决了正多边形周长和面积的计算。

应用“把圆分成n（n≥3）等份，依次连结各分点所得到的多边形是这个圆的内接正多边形”这个定理，把正多边形的画图转变为等分圆的问题，应用圆的有关知识容易等分一个圆，从而解决了正多边形的画图问题，圆的有关计算，在教学时，要在小学学过的圆周长、圆面积和扇形面积计算公式的基础上，推导出弧长的计算公式，进而应用这些公式计算弓形等一些简单组合图形的周长和面积。

由于圆锥侧面展开图是扇形，也可类比解决有关圆锥、圆柱表面积的有关计算，有机地使理论与实践相结合，解决一些简单的实际问题。

本单元是初中几何最后一部分内容，本单元的学习要用到前面学过的许多知识，同时随着知识的丰富，能力的提高，对学生综合运用知识解决问题的要求也不断提高了，不仅需要灵活地运用平面几何的知识，有时还需要综合运用代数或其他学科的知识。

总之，在教学中，要注意数学思维能力的培养，注重教学方法的锤炼，以逐步适应在三维空间里思考问题，推进素质教育，不断提高教学素养。

指点迷津正多边形的有关计算方法、图及简单组合图形的周长与面积的计算方法，是本单元的重点。

如何将正多边形的有关计算问题转化为解直角三角形问题，其关键是理解正多边形的概念，作正多边形的边心距和半径或圆外切多边形与圆相切的切点与圆心相连，构造出直角三角形，借助解直角三角形的方法便可水到渠成，弓形、扇形、圆有关面积计算，它们之间联系密切，只要抓住圆面积计算，主要矛盾就解决了。

当然，弧长、圆周长与此类似。

有关圆柱、圆锥的计算问题，只要展开空间想象翅膀，结合公式，解题思路即可畅通。

对正n边形有关定理证明，一般来说对“n”的接受理解不习惯，总有一种不踏实的感觉，思维受具体图形的局限，为此，通过具体实例，使认识从具体抽象到一般，从部分到整体，从量到质变，实现认识上的飞跃，充分认识证明方法的通用性，以提高思维能力。

二、学海导航思维基础知识是思维的基础，特别是基础知识，它有着广泛的应用，因而掌握它，就能使思路广。

请回答下列问题。

1．主要概念及性法：（1）的多边形叫做正多边形。

（2）把圆周n（n≥3）等份，依次连结各点得到圆的；分别过各分点作圆的切线得到圆的。

（3）任何一个正多边形都有一个圆和圆，这两个圆是圆。

（4）的正多边形都相似；正多边形都是对称图形；偶数边的正多边形还是对称图形。

2．主要计算公式：（1）正n边形的内角为，每个内角为，每个外角为，每个中心角为 。

（2）正n 边形各边相等，r R nR a n -==22180sin 2；边心距r n = ，周长 p n = ，面积S n = 。

（3）圆周长C= ，圆面积S ⊙= = ；（4）弧长==360nc l ； （5）扇形面积⋅=360n S ⊙= = ； （6）S 弓形=S 扇形±S △，S 环形=S 外⊙-S 内⊙。

注意：一是R a 33=，R a 24=，R a =6要熟记；二是掌握求阴影部分的面积的几种主要方法，即面积割补法、移动拼凑法、面积变形法、构造方程共4种方法。

3．立体图形：（1）圆柱的定义 ；圆锥的定义是 。

（2）圆柱的侧面展开图是 。

如图几7-4-1，S 圆柱侧= = 。

（3）圆锥的侧成展开图是 形，如图几7-4-2，S 圆锥侧= ，圆锥高 h= ，圆锥侧在展开图的圆心角θ= 。

以上3个侧面是“正多边形和圆”基础知识的再现，也是对基础知识的检验，应结合实例，动手动脑，加深理解，进一步深化，熟练掌握，它是思路的源泉，思维的火花。

学法指要图几7-4-1例1 如图几7-4-3，A 是半径为1的圆O 外一点，且OA=2，AB 是⊙O 的切线，BC//OA ，连结AC ，则阴影部分面积等于 。

【思考】图几7-4-2 图几7-4-3（1）怎样把不规则的图形转化为规则图形呢？（2）你知道扇形面积公式吗？【思路分析】 本例告知切点，通常“圆心切点要相连”，即连结OB ，又连OC ，便出现圆心角BOC ，根据BC//OA ，容易发现△ABC 与△OBC 同底共高，进而可知，S △ABC =S △OBC ，这样可利用等积变换，把不规则的几何图形转化为有规则的几何图形——扇形OBC ，进而求出圆心角BOC 的度数，便可顺利找到思路。

解法1：易求∠BOC60º。

∴ 63601602ππ=⨯⨯==OC S S 扇形阴影. 解法2：∵∠BOC=60º.∴ 61=OBC S 扇形S ⊙O =61612ππ=⨯⨯. 即6π==OC S S 扇形阴影. 例2 如图7-4-4，与A'B'的圆心都是O ，AA=d ，AB 的长是l ，A'B'的长是l ，求 证：（1）∠O=;180π⨯'-d l l （2）d l l B A SA )(21'+=''.（人教课本几何第三册P212第11题） 【思考】（1）你知道弧长的计算方法吗？扇形面积公式是什么？有几种表达形式？请思考。

（2）本例你考虑用数形结合的方法能行得通吗？（3）如何架起“已知”与“结论”之间的桥梁？是用分析法还是综合法？还是二者结 合？图几7-4-4【思路分析】 （1）本例告知弧长l 、l '及AA'=d ，引起联想弧长公式，于是可得180OA n l ⋅=π， (180A O n l '⋅=π设∠O=nº）。

此时再观察结论，可发现有“l-l'”形式出现，这时可萌生两式相减的想法，不妨一试. 解：d A O OA A O OA l l ='-'-='-又)(180π即 .180π⨯'-=∠d l l O （2）由题意可知，.2121A O l OA l S B B A A '⋅'-⋅=''∆ ③ 由结论可知， .21212121))((21)(21A O l OA l A O l OA l A O OA l l d l l S B B A A '⋅'-⋅'+'⋅-⋅='-'+='+=''∆ ④ 对照③、④两式可立即发现，必须且仅须 .02121=⋅'+'⋅-OA l A O l 即 ,OA l A O l ⋅'='⋅亦即 A O OA l l '=' 此时，可发现由①②两式相除，即可证明此等式成立。

例1告知我们转化法可把不规则图形转化为规则图形，把陌生的图形转化为熟悉的图形，把隐蔽转化为明显的，显露出转化法之巧、之妙，要求一定要掌握这种方法，并且要娴熟，才能应用时得心应手，例2从已知入手，又从未知迎头进取，从中发现矛盾所在，解决矛盾的方法也明显暴露，如（1）问，告诉我们两式相减，（2）问告诉我们两式相除，拦路虎被扫除，思路很顺畅，使我们品尝到分析法与综合法配合使用，相辅相成，相得益彰。

思维体操例1 如图几7-4-5用周长为24米的材料围成一个底角是60º的等腰梯形，设梯形上底为x 米，面积为y 米2。

（1）写出y 与x 的函数关系式。

（2）求当x 为多少时，梯形面积最大？最大面积是多少？（3）当梯形面积最大时，将梯形以下底所在的直线为轴旋转一周，求旋转体的表面 积。

图几7-4-5【思考】（1）解决梯形问题通常如何添设辅助线？有几种添设方法？（2）你知道圆柱、圆锥侧面积的计算方法吗？（3）以梯形下底所在直线为轴旋转一周，所得旋转体形状如何？【思路分析1】遇到等腰梯形通常是作等高（即作出梯形的两条高）将问题转化为直角三角形求解。

如本例，作出梯形的两条高CE 、DF ，便构造出两个全等的三角形。

解法1：依题意可设BE=AF=m ，则AD=BC=2m ，于是有,2422=+++++m m x m m x∴ 6224x m -=，.32242x m -= ∴ )224(6360sin 2x m DF -== ， ∴ ),224(6323224x x x x y -⨯+-+= 即 ).726(9322---=x x y （2）由（1）可知.318)3(392)8196(932)726(932222+--=-+--=---=x x x x x y 当x=3时，梯形面积最大，梯形的最大面积是2m 318.（4）当梯形面积最大时，可求得CD=x=3，AD=BC=6，AF=BE=3，DF=CE=33.图几7-4-6如图几7-4-6，以梯形下底所在直线为轴旋转一周，可通过空间思维进行想象，旋转后所得到的立体图形为两个表面积相等的圆锥和一个圆柱，应用圆锥、圆柱侧面积公式可得).(354318336333263322222m CDCE BC CE S S S =+=⨯⨯+⨯⨯=⋅⋅+⋅⋅=+=ππππππ圆柱体圆锥表表 【思路分析2】 遇到特殊梯形（如本例），延长两腰必相交，构造等边三角形，以找到畅通的大道。

解法2： （1）如图几7-47，延长BC 、AD 相交于点E ，依题意易证：△ABE 、△DCE 均是等边三角形，则CD=DE=CE=x ，仿原思路分析可求得324x AB AE +==. 又知243a S =∆正（a 为正三角形之边长）。

图几7-4-7故 S 梯形ABCD =S 正△ABE -S 正△CDE ，即 2243)324(43x x y -+= ).726(932)9948576(43)9)48576(4322222---=-++=-++=x x x x x x x x ∴ ).726(9322---=x x y （2）同原思路分析.（3）当CD=x-3时，则可求AE=AB=9.S 旋转体表面积=S 圆锥ABE 侧-S 圆锥CDE 侧+S 柱侧).m (354)333233239329(2ππ=⨯⨯+⨯-⨯=【思路分析3】 遇到梯形问题，平移对角线，构造平行四边形与三角形，也是解决梯形问题常用方法：解法3：（1）由原题图过C 作CE//AB 且交AB 于点E ，则易证：△BCE 为等边三角形，四边形AECD 为 ，仿原思路分析可求得图几7-4-83224x BC AD -==， AECD 的高为 )224(63x - ∴ A E C DB C E S S y ◊∆+=正 =)224(63)3224(432x x x -⋅+- =).726(3922---x x （2）、（3）解同前。