复变函数
复变函数总结完整版
复变函数总结完整版第一章 复数12i =-11-=i 欧拉公式z=x+iy实部Re z 虚部Im z2运算①2121Re Re z z z z =⇔≡21Im Im z z =②()()()()()2121212121Im Im Re Re Im Re z z z z z z z z z z++±=±+±=±③()()()()1221212121122121221121y x y x i y y x x y y y ix yix x x iy x iy x z z ++-=-++=++=⋅④()()()()222221212222212122222211222121y x y x x y iy x y y x x iy x iy x iy x iy x z z z z zz+-+++=-+-+==⑤iy x z -= 共轭复数()()22y x iy x iy x z z +=-+=⋅ 共轭技巧运算律 P1页3代数，几何表示iyx z += z 与平面点()y x ,一一对应，与向量一一对应辐角 当z ≠0时，向量z 和x 轴正向之间的夹角θ，记作θ=Arg z=πθk 20+ k=±1±2±3…把位于-π＜0θ≤π的0θ叫做Arg z 辐角主值 记作0θ=0arg z4如何寻找arg z例：z=1-i4π-z=i 2π z=1+i 4π z=-1 π5极坐标： θcos r x =， θsin r y =()θθsin cos i r iy x z +=+=利用欧拉公式 θθθsin cos i e i += 可得到θi re z =()21212121212121θθθθθθ+=⋅=⋅=⋅i i i i i e r r e e r r e r e r z z6 高次幂及n 次方()θθθn i n r e r z z z z z n in n n sin cos +==⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=凡是满足方程zn=ω的ω值称为z 的n 次方根，记作 nz=ω ()nk i re z ωπθ==+2即nr ω=nr1=ωϕπθn k =+2nk πθϕ2+=第二章解析函数1极限 2函数极限① 复变函数对于任一D Z ∈都有E ∈W 与其对应()z f =ω 注：与实际情况相比，定义域，值域变化 例 ()z z f = ②()A =→z f z z 0limz z → 称()z f 当0z z →时以A 为极限 ☆当()0z f =A 时，连续例1 证明()z z f =在每一点都连续 证：()()00→-=-=-z z z z z f z f 0z z →所以()z z f =在每一点都连续3导数()()()()000limz z z z z z df z z z f z f z f =→=--='例2()Cz f = 时有 ()0'=C证：对z ∀有()()0lim lim 0=∆-=∆-∆+→∆→∆zCC z z f z z f z z 所以()0'=C例3证明()z z f =不可导 解：令0z z -=ω()()iyx iyx z z z z z z z z z z z f z f +-==--=--=--ωω000000当0→ω时，不存在，所以不可导。
大学数学复变函数
大学数学复变函数数学是一门广泛应用于各个领域的学科，不论是物理学、工程学还是经济学，都离不开数学的支持和应用。
而复变函数作为数学中的一个重要分支，具有多样化的性质和广泛的应用。
本文将对大学数学中的复变函数进行详细的介绍和探讨。
一、复变函数的定义与性质复变函数是数学中的一种特殊函数形式，它的自变量和因变量都是复数。
复变函数可以写成以下形式：f(z) = u(x, y) + i * v(x, y)其中，z = x + i * y，u(x, y)和v(x, y)分别为实部和虚部。
复变函数的定义可以看作是将复平面上的点z映射到另一个复平面上的点w，从而建立起了一个函数关系。
复变函数有一些重要的性质：1. 解析性：如果在某个区域内，函数f(z)在该区域上处处可导，则称该函数在该区域内解析。
2. 共轭函数：对于一个复变函数，可以定义其共轭函数。
共轭函数是将函数中所有虚部的符号取反而得到的的函数。
3. 调和函数：对于一个复变函数，如果其实部和虚部都是调和函数，则称该函数为调和函数。
4. 周期性：复变函数可以具有周期性，即存在某个常数T，使得f(z + T) = f(z)对于所有的z成立。
5. 极限性质：与实变函数类似，复变函数也具有极限性质，包括一致收敛、点态收敛等。
二、复变函数的应用复变函数在物理学、工程学、经济学等领域中有着广泛的应用。
以下是一些典型的应用领域：1. 电路理论：复数电路理论是电工学中的一个重要部分，复变函数可以用来分析交流电路的性质和行为。
2. 信号处理：在信号处理领域，复变函数有着广泛的应用。
例如，复数域中的傅里叶变换在信号处理中起着重要的作用。
3. 流体力学：复变函数在流体力学中的应用也非常广泛。
例如，通过复变函数可以分析流体的速度场、流线场等。
4. 统计学：复变函数在统计学中也有重要的应用，特别是在复数域中的概率论和数理统计学中。
5. 工程优化：复变函数在工程优化中也发挥着重要的作用。
复变函数
复变函数一、复数与复变函数1、w n =ZW=r 1/n [cos(θ+2ki πn )+isin(a +2ki πn )]其中k 取1、2、3、、、、、n-12、区域是开集，闭区域是闭集，除了全平面既是区域又是闭区域这一个特例外，区域与闭区域是两种不同的点集，闭区域并非区域。
3、单连通域：区域中没有洞和缝多连通域：区域中有洞或者缝二、解析函数1、解析函数：在z 0处可导，且在z 0的领域中可导。
2、解析函数的一个充分必要条件：函数f(x,y)=u(x,y)+iv(x,y),u(x,y)和v(x,y)在点(x,y)处可微，而且满足柯西——黎曼方程。
（C-R 方程）∂u ∂x =∂v ∂y ∂u ∂y =−∂v ∂xf(z) =∂u ∂x +i ∂v ∂x =∂v ∂y +i ∂v ∂x =∂u ∂x −i ∂u ∂y =∂v ∂y −i ∂u ∂yC-R 方程为函数f （z ）可导的必要条件4、调和函数和共轭调和函数调和函数：二元实函数φ（x,y ）在区域D 内有二阶连续偏导数，且满足二维拉普拉斯方程∂φ2∂x +∂φ2∂y =0 共轭调和函数：φ（x,y ）及ρ(x,y)均在区域D 内的调和函数，且满足C-R 方程函数f(x,y)=u(x,y)+iv(x,y)在区域D 内解析的充分必要条件：在D 内u x,y 是v x,y 的共轭调和函数 5、初等函数指数函数：e iy =cosy+isinye z 是以2ki π为周期的周期函数对数函数：lnz=ln z +iargzLnz= ln z +iArgz= ln z +i(argz+2k π)Ln z 2≠2LnzLn z n ≠1n Lnz幂函数：z α=e αlnz α为正整数，函数为单值函数α=1n n 为正整数 有限值α=z 复数 无限个值三角函数：cosy=e iy +e −iy 2 siny=e iy −e −iy 2i 三、复变函数的积分1、常用的公式dz (z −z 0)n = 2πi n =1 0 n ≠1成立条件：a 、封闭区间的积分b 、z 0在封闭曲线C 的内部C 、被积函数分子为常数2、复合闭路定理3、闭路变形定理4、柯西——古萨定理设函数f （z ）在单连通域D 内解析，则f （z ）在D 内沿任意一条简单闭曲线C 的积分f z dz =05、柯西积分公式f(z)在简单闭曲线c 所围成的区域D 内解析，z 0为D 内任一点f(z 0)=12πi f(z)z −z 0dz 6、高阶导数公式f(z)在c 围成的D 内解析，f(z)的各阶导数均在D 内解析，z 0为D 内任一点f z 0（n ）=n ！2πi f(z)(z −z 0)dz7、计算积分的步骤a.分析奇点b.奇点在曲线的内部还是外部c.应用定理四、级数1、常见函数的级数e x =1+x +x 2+x 3+⋯,−∞<x <∞sinz= (−1)n ∞n=0z 2n +1 2n+1 ! e z = z n n!∞n=0cosz= (−1)n ∞n=0z 2n 2n !ln(1+z)= (−1)n ∞n=0z n +1n+111+z= (−1)n ∞n=0z n 11−z = z n ∞n=0 2、幂级数 只有 z −z 0 的正幂次项在其收敛域内可以为解析函数 收敛域：所要求的点到函数所有的孤立奇点最短的距离收敛半径：比值法、根值法函数在一点解析的充分必要条件:它在这点的领域可以展开为幂级数3、泰勒级数设函数f （z ）在区域D 内解析，z 0为D 内的一点，R 为z 0到D 的边界上各点的最短距离，则当 （z −z 0） <R 时，f(z)可展开为幂级数。
(完整版)复变函数知识点总结
(完整版)复变函数知识点总结复变函数知识点总结1. 复数与复变函数- 复数是实数和虚数的组合，可表示为a + bi的形式，其中a和b分别是实部和虚部。
- 复变函数是以复数为自变量和因变量的函数，例如f(z)。
2. 复变函数的运算规则- 复变函数的加法和减法：对应实部和虚部进行分别运算。
- 复变函数的乘法：使用分配律进行计算。
- 复变函数的除法：使用共轭形式并应用分配律和除法规则。
3. 复变函数的解析表示- 复变函数可以用级数形式表示，即幂级数或洛朗级数。
- 幂级数表示为f(z) = ∑(c_n * (z - z_0)^n)，其中c_n是幂级数的系数，z_0是展开点。
- 洛朗级数表示为f(z) = ∑(c_n * (z - z_0)^n) + ∑(d_n * (z -z_0)^(-n))。
4. 复变函数的性质- 全纯性：如果一个函数在某个区域内都是解析的，则称其为全纯函数。
- 解析性：如果一个函数在某一点附近有解析表示，则称其为解析函数。
- 保角性：保持角度的变化，即函数对角度的保持。
- 映射性：函数之间的对应关系，实现从一个集合到另一个集合的映射。
5. 复变函数的应用- 物理学：用于描述电磁场、电路等问题。
- 工程学：用于信号处理、图像处理等领域。
- 统计学：用于数据分析、模型拟合等方面。
6. 复变函数的计算方法- 积分计算：使用路径积分或者柯西公式进行计算。
- 极限计算：使用洛朗级数展开或级数加和求解极限。
- 零点计算：使用代数方法或数值解法求解函数的零点。
以上是复变函数的知识点总结，希望对您有所帮助！。
复变函数
2．实变复值函数的概念 定义：设T 是实数集， F 是复数集，T f F
1) t R z z(t) ，称 z 是 t 的实变复值函数 z z(t) ;
2) 单值： t 一个z z(t) 多值： t 多个z z(t) ,本文只研究单值函数；
1.5复变函数
一、复变函数的概念 1．映射的概念
定义：设 E 和 F 是复平面上的两个点集， E f F
z 唯一确定 w
w 称为 z 在映射 f 下的像，记作 w f (z)，z 称为 w 在 f 下
的一个原像。 例如：设 E F {z;| z |1}，则 f : z iz ，g : z z 都是 E 到 F
w x2 y2 2 2xyi z2 2
四、函数与空间 y f (x) 二维； u f (x, y) 三维； z z(t) 三维；
w f (z) 四维，用两张复平面表示： z 平面 w 平面
例 3：设映射 w z2 ，求
1）直线 x c( 0) 在 w 平面上的像；
2
即 r 2, 2 是扇形区域 0 ,0 4 。
2
例 4：在 w 1 映射下，ｚ平面上圆周 x2 y2 9 将变成 w 平 z
面上什么曲线
［解］这是ｗ平面上以原点为中心，1/3 为半径的圆周。
y
v 2c
，将其代入（1.2.1）中，得
uc2来自v2 4c 2，
即
u
c2
v2 4c 2
是
w
平面上的抛物线方程，它的图形关于
u
轴对
称。
2）设 w ei , z rei ，则 ei r 2e2i ，
第一章 复变函数
积分与路径无关时
,
常取的路径为取的路 ( x0 , y 0 )出发，沿平行x轴 到 ( x, y 0 ),再由 ( x, y 0 )沿平行y轴平行y ( x, y )
v( x, y ) − v( xo , y 0 ) = ∫ P( x, y 0 )dx + ∫ Q(x, y )dy
x0 x y y0 x y
外点: 当z0及其邻域均不属于点集E时,则称z0 为点集E的外点. • 境界点: 当z0及其邻域有部分属于点集E,又有 另外一部分不属于点集E时,则称z0为点集E的境 界点. 境界点的全体称为境界线. • 需要注意的是点集E一般并不一定构成区域,只 有当点集E内的点连续变时才构成区域. 在复变函数范围内一般来说区域满足下列两条 件: • (1)全由内点组成; (2)具有连通性.
sinsincossinsincossin1icefcyevyedydyeydxedyyvdxxvdviceicyixeivufcyyxv常数ycxczxxxxzxx?????????????????????????出发????沿平行y轴平行yx??????????dyyxqdxyxpyxvyxvyxyx再由yx到沿平行x轴yx常取的路径为取的路yo????y?0?x?0000000??????1积分与路径无关时dyyxqdxyxpdv??????????cyecydyeyxvydyeydxedvcdyyxqdxyxpyxvxyo?xxxyy?0xx?0?????????coscoscossin03
(d)乘方 zn=ρne inφ , 需注意的问题是幅角具有多值性, 即复数z绕 原点转一圈又回该点,而幅角增加2π,同样转n圈时幅角增加2nπ,一 般我们把幅角在(-π,π)内的值称为幅角的主值,记argz . (e)开方
第01章_复变函数
a ib
a cos cos(2 ) cos(3 ) cos( n )
sin(n 1/ 2) sin( / 2) 2sin( / 2)
b sin sin(2 ) sin(3 ) sin(n )
WangChengyou © Shandong University, Weihai
(cos isin ) e i
1 i i cos (e e ) 2
(二) 无限远点 N 无限远点 A z S
1 i i sin (e e ) 2i
黎曼(Riemann) 复数球 球面
有限远点
WangChengyou © Shandong University, Weihai
数学物理方法
第1章 复变函数
17
ei /2 (ei( n 1/2) ei /2 ) W i /2 i /2 i /2 e (e e )
cos(n 1/ 2) i sin(n 1/ 2) cos( / 2) i sin( / 2) 2i sin( / 2)
WangChengyou © Shandong University, Weihai
数学物理方法
第1章 复变函数
14
例：计算 W a ib 解：令 z a ib z (cos i sin )
z a 2 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ2
1/2
W a ib z (cos i sin )
Argz
x
y
Argz 2kπ
(k 0, 1, 2,)
r
Argz
x
0 arg z 2π
复变函数
25
特殊的: (1) 有理整函数(多项式)
w P ( z ) a0 a1 z a2 z 2 an z n ,
对复平面内的所有点z 都是连续的 ;
(2) 有理分式函数
P(z) w , 其中 P ( z ) 和 Q( z ) 都是多项式, Q( z )
在复平面内使分母不为零的点也是连续的.
26
例3 证明 : 如果 f ( z ) 在 z0 连续, 那末 f ( z ) 在 z0
也连续.
证
设 f ( z ) u( x , y ) iv( x , y ),
3
4. 复变函数与自变量之间的关系:
复变函数 w 与自变量 z 之间的关系 w f ( z ) 相当于两个关系式:
u u ( x , y ), v v ( x , y ),
它们确定了自变量为x 和 y 的两个二元实变函数 .
例如, 函数 w z 2 , 令 z x iy, w u iv ,
z z0 z z0
(1) lim[ f ( z ) g ( z )] A B;
z z0 z z0
(2) lim[ f ( z ) g ( z )] AB; f (z) A (3) lim ( B 0). z z0 g ( z ) B
与实变函数的极限运算法则类似.
2 2
u( x , y ) ln( x y ) 在复平面内除原点外处 , 处连续, v( x, y ) x 2 y 2 在复平面内处处连续
复变函数的概念
复变函数的概念复变函数的概念复变函数是指定义在复平面上的函数，它可以将一个复数映射到另一个复数。
与实变函数不同，复变函数具有更加丰富的性质和应用。
一、复数及其运算要理解复变函数的概念，首先需要了解复数及其运算。
一个复数可以表示为z=x+yi，其中x和y分别表示实部和虚部。
虚数单位i满足i²=-1。
在复数中，我们可以进行加、减、乘、除等基本运算。
其中加法和减法与实数类似，乘法和除法则需要注意公式的推导。
二、复平面及其坐标表示为了更方便地描述和分析复变函数，在平面直角坐标系中引入了一个新的坐标轴——虚轴，并将实轴称为实部轴，虚轴称为虚部轴。
这样就构成了一个二维平面——复平面。
在复平面中，每个点都可以表示为z=x+yi的形式。
这样我们就可以通过坐标来描述每个点，并将其映射到另一个点。
三、复变函数的定义与实变函数类似，对于给定的自变量z∈C（即z是一个复数），如果存在唯一确定的因变量w∈C（即w也是一个复数），则称w是z的函数值，记作f(z)。
四、复变函数的性质与实变函数不同，复变函数具有更加丰富的性质。
以下是一些常见的复变函数性质：1. 解析性：如果一个函数在某个区域内处处可导，则称该函数在该区域内解析。
2. 共形性：如果一个函数在某个区域内保持角度不变，则称该函数在该区域内共形。
3. 周期性：如果存在一个非零复数c，使得对于所有z∈C，有f(z+c)=f(z)，则称f(z)为周期函数。
4. 解析延拓：如果一个解析函数可以通过某种方式扩展到整个复平面上，则称该解析函数具有解析延拓性质。
五、复变函数的应用由于复变函数具有丰富的性质和应用，因此在物理、工程、计算机科学等领域都有广泛的应用。
以下是一些常见的应用：1. 电路分析：利用复变函数可以方便地描述电路中电流和电压等物理量之间的关系。
2. 流体力学：利用共形映射可以将流体力学问题转化为更简单的几何问题。
3. 计算机图形学：利用复变函数可以方便地描述图形的旋转、缩放等变换。
复变函数公式及常用方法总结
复变函数公式及常用方法总结复变函数是指在复平面上定义域为复数集的函数。
复变函数与实变函数不同，其定义域和值域都是复数集合，因此需要引入复数的运算和性质来研究这类函数。
复变函数在数学以及物理、工程学等领域有广泛的应用，如电路分析、信号处理、流体力学等。
1.复变函数的定义与性质：复变函数可以用以下形式表示：f(z) = u(x, y) + iv(x, y)，其中z = x + iy；u(x, y)和v(x, y)为实变量x和y的实函数。
复变函数的一些性质如下：(1)复变函数可以进行加减、乘法和除法运算；(2)复变函数的连续性：若f(z)在特定点z0处连续，则其实部和虚部在该点均连续；(3)复变函数的解析性：若f(z)在特定点z0处可导，则其在该点解析；若f(z)在定义域内每一点都解析，则称其为全纯函数；(4)复变函数的实部和虚部都满足拉普拉斯方程式：∂^2u/∂x^2+∂^2u/∂y^2=0和∂^2v/∂x^2+∂^2v/∂y^2=0。
2.常用的复变函数：(1)幂函数：f(z)=z^n，其中n为整数；(2) 指数函数：f(z) = e^z = e^(x+iy) = e^x * e^(iy) = e^x * (cosy + isiny)；(3) 对数函数：f(z) = ln(z)；(4) 三角函数：正弦函数f(z) = sin(z)，余弦函数f(z) = cos(z)，正切函数f(z) = tan(z)等；(5) 双曲函数：双曲正弦函数f(z) = sinh(z)，双曲余弦函数f(z)= cosh(z)，双曲正切函数f(z) = tanh(z)等。
3.复变函数的常用方法：(1)极坐标表示法：将复数z表示为模长r和辐角θ的形式：z=r*e^(iθ)。
在极坐标下，复变函数的运算更加方便，例如可以用欧拉公式将指数函数表示为e^(iθ)的形式。
(2) 复变函数的导数：复变函数的导数可以用极限的形式表示，即f'(z) = lim(h→0) [f(z+h) - f(z)] / h。
复变函数总结
复变函数总结复变函数，又称为复数函数，是数学中重要的一个分支。
它在物理、工程、经济等领域具有广泛的应用。
复变函数的研究主要涉及复数、复平面、复数域的性质，以及复数函数的导数、积分等基本理论。
在本文中，我将对复变函数的基本概念、性质和常见应用进行总结。
一、复数的基本概念复数是由实数和虚数构成的数，通常表示为a+bi，其中a为实部，b为虚部，而i为虚数单位，满足i²=-1。
复数可以表示平面上的一个点，实部对应横坐标，虚部对应纵坐标。
复数的加法、减法、乘法和除法规则与实数的运算规则相似。
二、复平面与复函数复平面是由复数构成的平面，以复数的实部和虚部作为坐标轴。
复函数是定义在复数域上的函数，可以将复数作为自变量和因变量。
复函数在复平面上的图像通常是曲线、点或者区域。
三、复变函数的性质1. 解析性：复变函数在一个区域内解析，意味着它在该区域内具有连续性和光滑性，并且在该区域内无奇点。
2. 洛朗级数展开：复变函数可以用洛朗级数展开，即可以由一个主要部分和无穷个幂级数按次幂递减的项组成。
3. 共轭函数：对于复变函数f(z)，其共轭函数为f*(z)，实部相同，虚部取相反数。
4. 解析函数的判别：柯西-黎曼方程是判断一个函数在某一点是否解析的重要工具，同时也是复变函数的基本性质之一。
5. 调和函数：调和函数是一类特殊的复变函数，满足拉普拉斯方程。
四、复变函数的应用1. 电路分析：复变函数可以用来分析交流电路中的电流和电压，特别是在包含电感和电容的电路中，通过构造复变函数的拉普拉斯变换可以简化问题。
2. 流体力学：复变函数在描述流体的速度场、压力场和流线的分析中具有重要作用，特别是在无旋场和无散场的情况下。
3. 光学：复变函数可用于描述光波的传播和干涉现象，以及计算透镜的成像和衍射效应。
4. 统计学：复数也可应用于统计学中，如复数正态分布在处理随机变量时具有一定的优势。
5. 量子力学：复变函数是量子力学中运动状态和波函数的基础，通过复变函数可以描述粒子的行为以及能量的量子化。
数学的复变函数
数学的复变函数复变函数是数学中的一个重要分支，它研究的是复数域上的函数。
与实变函数不同，复变函数具有复数域上更加丰富的性质和特点。
在本文中，我将介绍复变函数的定义、性质和应用。
一、复变函数的定义和表示复变函数是定义在复数域上的函数，即输入和输出均为复数。
一般来说，复变函数可以表示为$f(z)$，其中$z$是复数，$f$是变换规则。
复数$z$可以表示为$z=x+iy$的形式，其中$x$和$y$分别是实数部分和虚数部分。
复变函数的表示形式有多种，最常见的是使用级数展开的形式。
例如，魏尔斯特拉斯级数是一种常见的复变函数表示方法。
它可以表示为$f(z)=\sum_{n=0}^{\infty}a_n(z-z_0)^n$，其中$a_n$是复数系数，$z_0$是复数常数。
二、复变函数的性质复变函数具有许多有趣且独特的性质，以下是其中的几个重要性质：1. 解析性：复变函数的一个重要性质是解析性（或称全纯性）。
一个函数在其定义域上是解析的，意味着它在该区域内可以进行无限次的复数微分。
解析函数满足柯西-黎曼方程，即其实部和虚部满足柯西-黎曼条件。
2. 否定性：与实变函数不同，复变函数的性质有时可以由其在定义域内的性质否定。
例如，某些函数可能在无限远处有奇点，或者在某些点上是不连续的。
3. 互补性：复数域上的函数可以分解成实部和虚部的和或差。
这种分解方式可用于简化复变函数的问题，并帮助我们理解函数性质。
三、复变函数的应用复变函数在数学和工程领域中有广泛的应用。
以下是其中一些主要应用领域：1. 数学物理学：复变函数在数学物理学中扮演着重要的角色。
例如，它们用于解决波动方程、电动力学和量子力学中的问题。
复变函数的工具和技术为解这些方程提供了很大的帮助。
2. 等势流理论：在流体力学领域，复变函数的概念广泛应用于等势流理论。
这个理论用于描述在理想流体中以连续形式流动的流线。
3. 统计和概率：复变函数也在统计学和概率论中有应用。
(最新整理)(完整版)复变函数解析函数
成立, 则称当z趋于z0时, f(z)以A为极限，并记做 limf(z)A 或 f(z) A (z z0 ).
zz0
注意: 定义中zz0的方式是任意的.
几何意义
y
(z)
v
w f(z)
z0 d
o
xo
(w)
e
A
u
几何意义: 当变点z一旦进
入z0 的充分小去 心邻域时,它的象
点f(z)就落入A的
(最新整理)(完整版)复变函数解析函数
2021/7/26
1
第二章 解析函数
2.1 复变函数的概念 2.2 解析函数的概念 2.3 解析的充要条件 2.4 初等函数
2.1 复变函数的概念、极限与连续性
复变函数的概念
1. 复变函数的定义 2. 映射的概念 3. 反函数或逆映射
1. 复变函数的定义—与实变函数定义相类似
0)
A
zz0 g(z) l i mg(z) zz0
B
zz0
以上定理用极限定义证!
例1
证明 wx2yi(xy2)在平面上处处 . x2 y, x y2在平面上处处有极限
例2
求 f(z)zz
z 在 z0时的极 . 限 z
f(z)2(xx22yy22)在(0,0)处极限不 . 存在
例3
证 明 f(z)Rez z在z0时 的 极 限.不 存
y (z)
v (w)
w z2
2
o
x
o
u
y (z)
v (w)
w z2
w z2
o
6
x w z2 o
3
u
x2 y2 4
3. 反函数或逆映射
复变函数
6.sin z 仅在z = kπ 处为0, cos z 仅在z = kπ + π / 2处为0; sin iy = ishy, cos cos iy = chy chy
7. | sin z |,| cos z | 无界.
(iv)幂函数 z =e
α α Lnz
, 在每个单值分支上, ( z ) ' = α z
α
α −1
.
当α 取不同值时, 幂函数zα的多值性可能不同. 的多值性可能不同 例3.计算 (1) (-1) ;
-i
(2)i .
2
1.(1)求 cos( x + iy ),sin( x + iy )的实部和虚部; (2)证明: sin iz = ishz , cos iz = chz , (sin z ) ' = cos z. 2.求 sin i, cos(2 + i ), i , (−1) , ln(2 − 3i )的值.
(iii )三角函数 1.cos z和 sin z在C上解析, 且(sin z ) ' = cos z , (cos z ) ' = − sin z; 2.cos z,sin z以2π 为周期; 3.cos z是偶函数,sin z是奇函数; 4.和角公式成立; 5.sin z + cos z = 1,sin(π / 2 − z ) = cos z;
eiy + e − iy eiy − e − iy 又 Q cos y = ,sin y = 2 2i iz − iz iz − iz e +e e −e ∴ 定义三角函数 : cos z = ,sin z = 2 2i
从指数函数的可以定义e z的反函数Lnz , 定义为 : 满足e = z的复数w称为z的对数, 记为Lnz.同样
复变函数的基本运算与性质
复变函数的基本运算与性质一、引言复变函数是数学中重要的概念之一，在很多科学领域中都有广泛的应用。
为了更好地理解复变函数，本文将探讨其基本运算与性质。
二、复变函数的定义复变函数是将复数集合映射到复数集合的函数。
若函数可以表示为f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，其中z=x+iy，u(x,y)和v(x,y)是实函数，则称该函数为复变函数。
三、复变函数的基本四则运算1. 复变函数的加法：若f(z)=u(x,y)+iv(x,y)和g(z)=p(x,y)+iq(x,y)是两个复数函数，则它们的和为h(z)=f(z)+g(z)=(u+p)+(v+q)i。
2. 复变函数的减法：若f(z)和g(z)同上，则它们的差为h(z)=f(z)-g(z)=(u-p)+(v-q)i。
3. 复变函数的乘法：若f(z)和g(z)同上，则它们的乘积为h(z)=f(z)g(z)=(up-vq)+(uq+vp)i。
4. 复变函数的除法：若f(z)和g(z)同上，并且g(z)≠0，则它们的商为h(z)=f(z)/g(z)=[(up+vq)+(vp-uq)i]/(p^2+q^2)。
四、复变函数的导数与解析性1. 复变函数的导数：若f(z)在区域D内处处可导，则称f(z)在D内可导。
其导数可表示为f'(z)=lim((f(z+Δz)-f(z))/Δz)，其中Δz是趋于0的复数。
2. 复变函数的解析性：若f(z)在区域D内处处可导，并且导数f'(z)在D内连续，则称f(z)在D内解析。
五、复变函数的性质1. 复变函数的实部与虚部：对于f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，其实部为u(x,y)，虚部为v(x,y)。
实部和虚部都是实函数，它们唯一确定了复变函数。
2. 复变函数的共轭函数：若f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，则其共轭函数为f*(z)=u(x,y)-iv(x,y)。
共轭函数与原函数有相同的实部，但虚部取负值。
1.2复变函数
三、初等复变函数 1. 幂函数
w z
2、指数函数
n
单值函数
n是整数（n为负整数时，z 0 ）。
we e
z
x iy
e (cos y i sin y)
x
2、指数函数
we e
z
x iy
e (cos y i sin y)
x
显然
Re(exp(z )) e x cos y Im(exp(z )) e x sin y
区域
B
z 1
z 2
区域通常用复变数 z 的不等式来表示
(1) z z0 r 圆形域
z0
r
r2
(2) r 1 z z0 r 2 圆环域 (3) Im z 0; 上半平面
r1
z 0
y
(4) 1 arg z 2 ; 角形域
(5) a Im z b. 带形域
o
z
y 0
x
[u ( x x, y ) iv( x x, y )] [u ( x, y ) iv( x, y )] lim x 0 x
u ( x x, y ) u ( x, y ) v( x x, y ) v( x, y ) lim [ i ] x 0 x x
复变函数 w是由两个实变函数 u, v 组成，同时， 宗量 z 也是由两个实变数 x, y 组成，因此
复变函数 w 与自变量 z 之间的关系 w f ( z ) 相当于两个关系式:
u u( x , y ), v v ( x , y ),
它们确定了自变量为 x 和 y 的两个二元实变函数 .
2x 3yi lim z 0 x yi
函数复变函数
函数复变函数函数是数学中的重要概念，而函数复变函数则是函数理论中的一个分支。
函数复变函数是指定义在复数域上的函数，它们的自变量和因变量都是复数。
在函数复变函数的研究中，我们将关注函数的性质、收敛性、解析性和亚纯性等方面。
函数复变函数的定义：在复平面上，假设有两个实变量，分别是x和y。
如果存在两个实函数u(x,y)和v(x,y)，使得对于任意的x和y，都有一个复数z=x+iy，那么我们就可以将实函数u(x,y)和v(x,y)表示为一个复数函数f(z)，即：f(z) = u(x,y) + iv(x,y)这样定义的函数f(z)就是一个函数复变函数。
函数复变函数的性质：函数复变函数有一些特殊的性质，例如共轭性、连续性和解析性等。
首先，共轭性是函数复变函数的一个重要性质。
对于任意的复数z=x+iy，它的共轭复数定义为z* = x-iy。
如果一个函数f(z)满足对于任意的z，都有f(z*)=f*(z)，那么我们称该函数为共轭对称函数。
共轭对称函数具有一些特殊的性质，例如它们的实部和虚部分别是偶函数和奇函数。
其次，连续性是函数复变函数的另一个重要性质。
如果一个函数f(z)在某个复数域上的每一点都是连续的，那么我们称该函数在该复数域上连续。
连续性是函数复变函数的基本性质，它使得我们能够在复平面上对函数进行讨论和分析。
最后，解析性是函数复变函数的核心性质之一。
如果一个函数f(z)在某个复数域上处处可导，那么我们称该函数在该复数域上解析。
解析函数在复平面上具有很多重要的性质，例如它们的导数也是解析函数。
函数复变函数的收敛性：在函数复变函数中，我们也关注函数的收敛性。
如果一个函数序列在某个复数域上的每一点都收敛于一个函数，那么我们称这个函数序列在该复数域上一致收敛。
一致收敛使得我们能够在该复数域上对函数序列进行更深入的研究和分析。
函数复变函数的亚纯性：亚纯函数是指在复数域上的解析函数，但在某些复数域上是无穷大，即在这些复数域上函数的值趋于无穷大。
复变函数
注：定理二的证明可参照高等数学的情形。
例 2 证明函数 f(z)=Re(z)／|z|当z趋向于0时的 极限不存在。 令 z = x + i y,则 解法1：
Re z x f ( z) 2 2 z x y
u ( x, y )
x x y
2 2
, v ( x, y ) 0
lim u ( x, y ) lim
定理二
设z lim z 则
f ( z ) A lim g ( z ) B
z z0
0
① lim [ f ( z) g ( z)] A B
z z0
②
③
z z0
lim [ f ( z ) g ( z )] AB
f ( z) A lim z z0 g ( z ) B
第 五 节
复变函数
一 复变函数的定义 1 定义： 设D是复数z=x+iy的集合，如果有 一个确定的法则存在， 按照这一法则， 对于集合D中的每一个复数z, 就有一个或 几个复数w=u+iv与之对应，那么称复变数 w是定义在D上复变数z的函数(简称复变函 数) 记作
w f ( z)
(z D)
单值函数 f(z)： 对于D中的每个z ，有且仅 有一个w与之对应。
f ( z) A
那么称A为f (z) 当z趋向z0时的极限，记作
z z0
lim f ( z ) A
2 几何意义： 当变点z一旦进入z0的充分小的 去心邻域时，它的 象点 f(z)就落入A的预 先给定的小邻域内。
f ( z)
ε
δ 注意： z趋于z0的方式是任意的。就是说，无 论z从什么方向，以何种方式趋向于z0，f(z) 都要趋向于同一个常数。
复变函数的概念
性质1 在z0处连续的两个函数的和、差、积、 商 （分母不为0）仍在处z0连续。
性质2 函数 f (z) u( x, y) i v(x, y) 在 z0 x0 i y0
处连续
u(x, y) , v(x, y) 在( x0, y0 )处连续。
性质3 当函数 f (z) 在有界闭区域 D 上连续时，
v0
.
三、复变函数的连续性
1. 复变函数连续的定义
设 f (z) 在点 z0 的某邻域内有定义 ，若
lim
zz0
f (z)
f (z0)
则称 f (z) 在 z0 处连续。
若 f (z)在区域D 内每一个点都连续，则称函数 f (z) 在区域D内连续。
三、复变函数的连续性
2. 连续的复变函数的性质
一、复变函数的概念
2. 复变函数与实值函数的关系
设z=x+iy , w=u+vi与之，则 w=f(z)可写作 w=u+vi=f(x+yi)=u(x , y)+i v(x , y)
其中 u(x , y)与 v(x , y)为实值函数。比较上式的实部 和虚部可得到： u=u(x , y) , v= v(x , y)。
这样，一个复变函数 w=f(z)就相当于一对二元实值 函数u=u(x , y) , v= v(x , y) 。
从而 w=f(z)的性质就取决于u=u(x , y) , v= v(x , y) 的性质 。
一、复变函数的概念
2.复变函数的几何意义
如果复数 z和 w分别用Z 平面和 W 平面上的点表示，则函 数 w=f(z) 的几何意义是：
zz0
二、复变函数的极限
2. 复变函数的极限与实值函数的极限的关系
复函数复变函数
复函数复变函数
复变函数是指定义在复数集上的函数，即以复数为自变量和因变量的
函数。
复数是由实数和虚数组成的，形式为a+bi，其中a为实数部分，b
为虚数部分，i为虚数单位，满足i²=-1、复数具有实数部分和虚数部分，因此复变函数与实变函数有很大的区别。
复变函数具有复数域上的性质，例如连续、可微、可积等。
复变函数
有许多重要的性质和定理，包括柯西—黎曼方程、柯西—黎曼定理等。
复
变函数的研究主要涉及到解析函数、全纯函数和调和函数等。
复变函数的图像通常是在复平面上表示的。
实际上，复平面是由实轴
和虚轴组成的，并且可以将函数的定义和图像与二维平面相关联。
复平面
上的点表示复数，并且函数在该点的取值可以用箭头表示。
复变函数有许多重要的应用，包括物理学、工程学和计算机科学等领域。
在物理学中，复变函数被用于描述电磁场和量子力学等现象。
在工程
学中，复变函数被用于处理信号和图像。
在计算机科学中，复变函数被用
于解决误差校正和图像处理等问题。
复变函数可以通过多种方法进行求解，其中包括泰勒级数展开、洛朗
级数展开和积分变换等。
这些方法可以帮助我们理解函数在复平面上的特
性和行为。
总之，复变函数是一种在复数域上定义的函数，它具有复平面上的性
质和特点。
复变函数在数学和应用领域中具有广泛的应用。
通过研究复变
函数，我们可以更好地理解函数的性质，以及它们在各个领域中的应用。
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1. 一个项目的输入输出端口是定义在 A 。
A. 实体中B. 结构体中C. 任何位置D. 进程体2. 描述项目具有逻辑功能的是 B 。
A. 实体B. 结构体C. 配置D. 进程3. 关键字ARCHITECTURE定义的是 A 。
A. 结构体B. 进程C. 实体D. 配置4. MAXPLUSII中编译VHDL源程序时要求 C 。
A.文件名和实体可以不同B. 文件名和实体名无关C. 文件名和实体名要相同 D. 不确定5. 1987标准的VHDL语言对大小写是 D 。
A. 敏感的B. 只能用小写C. 只能用大写D. 不敏感6. 关于1987标准的VHDL语言中，标识符描述正确的是 A 。
A必须以英文字母开头B可以使用汉字开头C可以使用数字开D任何字符都可以7. 关于1987标准的VHDL语言中，标识符描述正确的是 B 。
A下划线可以连用B下划线不能连用 C不能使用下划线 D可以使用任何字符8. 符合1987VHDL标准的标识符是 A 。
A. A_2B. A+2C. 2AD. 229. 符合1987VHDL标准的标识符是 A 。
A. a_2_3B. a_____2C. 2_2_aD. 2a10. 不符合1987VHDL标准的标识符是 C 。
A. a_1_inB. a_in_2C. 2_aD. asd_111. 不符合1987VHDL标准的标识符是 D 。
A. a2b2B. a1b1C. ad12D. %5012. VHDL语言中变量定义的位置是 D 。
A. 实体中中任何位置B. 实体中特定位置C. 结构体中任何位置D. 结构体中特定位置13. VHDL语言中信号定义的位置是 D 。
A. 实体中任何位置B. 实体中特定位置C. 结构体中任何位置D. 结构体中特定位置14. 变量是局部量可以写在 B 。
A. 实体中B. 进程中C. 线粒体D. 种子体中15. 变量和信号的描述正确的是 A 。
A. 变量赋值号是:=B. 信号赋值号是:=C. 变量赋值号是<=D. 二者没有区别16. 变量和信号的描述正确的是 BA. 变量可以带出进程B. 信号可以带出进程C. 信号不能带出进程D. 二者没有区别17. 关于VHDL数据类型，正确的是 C 。
A. 数据类型不同不能进行运算B. 数据类型相同才能进行运算C. 数据类型相同或相符就可以运算D. 运算与数据类型无关18. 下面数据中属于实数的是 A 。
A. 4.2B. 3C. ‘1’D. “11011”19. 下面数据中属于位矢量的是 D 。
A. 4.2B. 3C. ‘1’D. “11011”20. 关于VHDL数据类型，正确的是 B 。
A. 用户不能定义子类型B. 用户可以定义子类型C. 用户可以定义任何类型的数据D. 前面三个答案都21. 可以不必声明而直接引用的数据类型是 C 。
A. STD_LOGICB. STD_LOGIC_VECTORC. BITD. 前面三个答案都是错误的22. STD_LOGIG_1164中定义的高阻是字符 D 。
A. XB. xC. zD. Z23. STD_LOGIG_1164中字符H定义的是 A 。
A. 弱信号1B. 弱信号0C. 没有这个定义D. 初始值24. 使用STD_LOGIG_1164使用的数据类型时 B 。
A.可以直接调用B.必须在库和包集合中声明C.必须在实体中声明D.必须在结构体中声明25. 关于转化函数正确的说法是 B 。
A. 任何数据类型都可以通过转化函数相互转化B. 只有特定类型的数据类型可以转化C. 任何数据类型都不能转化D. 前面说法都是错误的26. VHDL运算符优先级的说法正确的是 C 。
A. 逻辑运算的优先级最高B. 关系运算的优先级最高C. 逻辑运算的优先级最低D. 关系运算的优先级最低27. VHDL运算符优先级的说法正确的是 A 。
A. NOT的优先级最高B. AND和NOT属于同一个优先级C. NOT的优先级最低D. 前面的说法都是错误的28. VHDL运算符优先级的说法正确的是 D 。
A. 括号不能改变优先级B. 不能使用括号C. 括号的优先级最低D. 括号可以改变优先级29. 如果a=1,b=0，则逻辑表达式（a AND b）OR（NOT b AND a）的值是 B 。
A. 0B. 1C. 2D. 不确定30. 关于关系运算符的说法正确的是 C 。
A不能进行关系运算 B.关系运算和数据类型无关 C关系运算数据类型要相同D.前面的说法都错误31. 转换函数TO_BIT_VECTOR(A)的功能是 A 。
A. 将STD_LOGIC_VECTOR转换为BIT_VECTORB. 将REAL转换为BIT_VECTORC. 将TIME转换为BIT_VECTORD. 前面的说法都错误32. VHDL中顺序语句放置位置说法正确的是 D 。
A. 可以放在进程语句中B.可以放在子程序中C.不能放在任意位置D.前面的说法都正确33. 不属于顺序语句的是 C 。
A. IF语句B. LOOP语句C. PROCESS语句D. CASE语句34. 正确给变量X赋值的语句是 B 。
A. X<=A+B;B. X:=A+b;C. X=A+B;D. 前面的都不正确35. EDA的中文含义是 A 。
A. 电子设计自动化B. 计算机辅助计算C. 计算机辅助教学D. 计算机辅助制造36. 可编程逻辑器件的英文简称是 D 。
A. FPGAB. PLAC. PALD. PLD37. 现场可编程门阵列的英文简称是 A 。
A. FPGAB. PLAC. PALD. PLD38. 基于下面技术的PLD器件中允许编程次数最多的是 C 。
A. FLASHB. EEROMC. SRAMD. PROM39. 在EDA中，ISP的中文含义是 B 。
A. 网络供应商B. 在系统编程C. 没有特定意义D. 使用编程器烧写PLD芯片40. 在EDA中，IP的中文含义是 D 。
A. 网络供应商B. 在系统编程C. 没有特定意义D. 知识产权核41. EPF10K20TC144-4具有多少个管脚 A 。
A. 144个B. 84个C. 15个D. 不确定42. EPF10K20TC144-X器件，如果X的值越小表示 C 。
A. 器件的工作频率越小B.器件的管脚越少C. 器件的延时越小D. 器件的功耗越小43. 如果a=1,b=1，则逻辑表达式（a XOR b）OR（NOT b AND a）的值是 A 。
A. 0B. 1C. 2D. 不确定44. 执行下列语句后Q的值等于 C 。
SIGNAL E: STD_LOGIC_VECTOR (2 TO 5);SIGNAL Q: STD_LOGIC_VECTOR (9 DOWNTO 2);E<=(2=>’1’, 4=>’0’, OTHERS=>’1’);1001Q<=(2=>E (2), 4=>E (3), 5=>’1’, 7=>E (5), OTHERS=>E (4));00101001A．“11011011” B. “00101101” C. “11011001” D. “00101100”45. VHDL文本编辑中编译时出现如下的报错信息Error: VHDL syntax error: signal declara tion must have ‘；’，but found begin instead.其错误原因是 A 。
A. 信号声明缺少分号。
B. 错将设计文件存入了根目录，并将其设定成工程。
C. 设计文件的文件名与实体名不一致。
D. 程序中缺少关键词。
46. VHDL文本编辑中编译时出现如下的报错信息Error: VHDL syntax error: choice value length must match selector expression value length 其错误原因是 A 。
A. 表达式宽度不匹配。
B. 错将设计文件存入了根目录，并将其设定成工程。
C. 设计文件的文件名与实体名不一致。
D. 程序中缺少关键词。
51. 在一个VHDL设计中Idata是一个信号，数据类型为std_logic_vector，试指出下面那个赋值语句是错误的。
D 。
A.idata <= “00001111”;B.idata <= b”0000_1111”;C.idata <= X”AB”D. idata <= B”21”;52. 在VHDL语言中，下列对时钟边沿检测描述中，错误的是 D 。
A.if clk’event and clk = ‘1’ thenB.if falling_edge(clk) thenC.if clk’event and clk = ‘0’ thenD.if clk’stable and not clk = ‘1’ then53. 下面对利用原理图输入设计方法进行数字电路系统设计的描述中，那一种说法是不正确的。
C 。
A.原理图输入设计方法直观便捷，但不适合完成较大规模的电路系统设计；B.原理图输入设计方法一般是一种自底向上的设计方法；C.原理图输入设计方法无法对电路进行功能描述D.原理图输入设计方法也可进行层次化设计。
54. 在一个VHDL设计中idata是一个信号，数据类型为integer，数据范围0 to 127，下面哪个赋值语句是正确的。
C 。
A.idata := 32;B.idata <= 16#A0#;C.idata <= 16#7#E1;D.idata := B#1010#;55. 下列那个流程是正确的基于EDA软件的FPGA / CPLD设计流程： B 。
A.原理图/HDL文本输入→功能仿真→综合→适配→编程下载→硬件测试B.原理图/HDL文本输入→适配→综合→功能仿真→编程下载→硬件测试；C.原理图/HDL文本输入→功能仿真→综合→编程下载→→适配硬件测试；D.原理图/HDL文本输入→功能仿真→适配→编程下载→综合→硬件测试56. 在VHDL语言中，下列对进程（PROCESS）语句的语句结构及语法规则的描述中，正确的是 B 。
A.PROCESS为一无限循环语句；敏感信号发生更新时启动进程，执行完成后，等待下一次进程启动。
B.敏感信号参数表中，应列出进程中使用的所有输入信号；C.进程由说明部分、结构体部分、和敏感信号参数表三部分组成；D.当前进程中声明的信号也可用于其他进程。
57. 对于信号和变量的说法，哪一个是不正确的： A 。
A.信号用于作为进程中局部数据存储单元B.变量的赋值是立即完成的C.信号在整个结构体内的任何地方都能适用D.变量和信号的赋值符号不一样58. VHDL语言共支持四种常用库，其中哪种库是用户的VHDL设计现行工作库： D 。