倒计时抢分攻略之数学篇丨杭二中高三备课组组长孙惠华
导数
历史回顾与科学分析
1.2000-2003四年新教材高考中关 1.2000-2003四年新教材高考中关 于导数、向量的分值统计. 于导数、向量的分值统计. 分值 2000 2001 分值 导数 导数 14 17 12 16 2002 10 16 2003 12 17
向量 5+12 5+12 11+12 11+12 向量 5+12 5+12 11+12 11+12 注( 文) 注(理) 含积分 含积分 空间向量 空间向量
( x) = 4x
(
)
(
)
f
'
3
f ' ( x) = 4x3( −8x < 0 ⇒x∈ −∞, − 2 , x∈ 0, 2 ( ) )
− 8 x > 0 ⇒ x ∈ − 2, 0 , x ∈ 2, +∞
(
)
(
)
fmin = f
( 2) = f ( − 2) = a−6 >0⇒a <6
例3（新问题新方法） 新问题新方法） ①函数 f ( x) =sin x+3cos x 的值域是 [ −3,3]
历史回顾与科学分析
2.2003年新教材高考关于向量与导 2.2003年新教材高考关于向量与导 数试题得分分析. 数试题得分分析.
19 20 填空 2000 2003 时间 17 18 2001 2002 21 22
3.63 81.8 63.7 平均分( 平均分(理) 80.3 理科 6.87 7.23 1.64105. 7.94 2.07 2.33 5.46 76.3 59.8 平均分( 平均分( ) 78.7 文科 5.9文5.08 1.6699.6 7.17 1.69 0.86
2025届浙江省杭州第二中学高三下学期联考数学试题含解析
2025届浙江省杭州第二中学高三下学期联考数学试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。
第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知函数()()()1sin,13222,3100x x f x f x x π⎧-≤≤⎪=⎨⎪-<≤⎩，若函数()f x 的极大值点从小到大依次记为12,?··n a a a ，并记相应的极大值为12,,?··n b b b ，则()1niii a b =+∑的值为（ ）A ．5022449+B ．5022549+C ．4922449+D ．4922549+2．已知0a b >>，则下列不等式正确的是（ ） A ．a b b a -<-B ．a b b a ->-C ．abe b e a -<- D ．abe b e a ->-3．《聊斋志异》中有这样一首诗：“挑水砍柴不堪苦，请归但求穿墙术.得诀自诩无所阻，额上坟起终不悟.”在这里，我们称形如以下形式的等式具有“穿墙术”：222233=，333388=，44441515=，55552424=，则按照以上规律，若10101010n n=具有“穿墙术”，则n =（ ） A ．48B ．63C ．99D ．1204．函数()1ln1xf x x-=+的大致图像为（ ） A ． B ．C ．D ．5．抛物线的焦点是双曲线的右焦点，点是曲线的交点，点在抛物线的准线上，是以点为直角顶点的等腰直角三角形，则双曲线的离心率为（ ） A ．B ．C ．D ．6．在ABC ∆中，D 为BC 中点，且12AE ED =，若BE AB AC λμ=+，则λμ+=（ ） A ．1B ．23-C ．13-D ．34-7．函数f x x 2()cos(2)3π=+的对称轴不可能为（ ） A ．65x π=-B ．3x π=-C ．6x π=D ．3x π=8．已知命题p ：1m =“”是“直线0x my -=和直线0x my +=互相垂直”的充要条件；命题q ：对任意()2,∈=+a R f x x a 都有零点；则下列命题为真命题的是（ ）A ．()()p q ⌝∧⌝B ．()p q ∧⌝C ．p q ∨D ．p q ∧9．已知()21AB =-，，()1,AC λ=，若10cos BAC ∠=，则实数λ的值是（ ） A ．-1B ．7C ．1D ．1或710．若复数z 满足2(13)(1)i z i +=+，则||z =（ ）A 5B 5C 10D 10 11．某几何体的三视图如右图所示,则该几何体的外接球表面积为( )A ．12πB ．16πC ．24πD ．48π12．某校为提高新入聘教师的教学水平，实行“老带新”的师徒结对指导形式，要求每位老教师都有徒弟，每位新教师都有一位老教师指导，现选出3位老教师负责指导5位新入聘教师，则不同的师徒结对方式共有（ ）种. A ．360B ．240C ．150D ．120二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020浙江新高考数学二轮复习课件：第3部分 2 抢分攻略二 考前必会的15个规律、结论及方法
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第3部分 追梦高考 高效抢分
21
13 数列求和的常用方法
(1)公式法：①等差数列的求和公式；②等比数列的求和公式；③常用公式，即 1＋2＋ 3＋…＋n＝12n(n＋1)，12＋22＋32＋…＋n2＝16n(n＋1)(2n＋1)，1＋3＋5＋…＋(2n－1) ＝n2，n∈N*.
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13
用向量法求最值常用到的结论
(1)由 a·b＝|a||b|cos θ 可知 a·b≤|a||b|，当 a 与 b 同向时取等号． |a·b|≤|a||b|，当 a 与 b 平行时等号成立． (a·b)2≤|a|2|b|2，当 a 与 b 平行时等号成立．
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8
函数图象伸缩变换的相关结论
(1)把 y＝f(x)的图象上各点的纵坐标伸长(a>1)或缩短(0<a<1)到原来的 a 倍，而横坐标不 变，得到函数 y＝af(x)(a>0)的图象． (2)把 y＝f(x)的图象上各点的横坐标伸长(0<b<1)或缩短(b>1)到原来的1b倍，而纵坐标不 变，得到函数 y＝f(bx)(b>0)的图象．
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6
(5)复合函数 f(g(x))的奇偶性 若 f(x)为偶函数，则 f(g(x))为偶函数． 若 f(x)为奇函数，则当 g(x)为奇函数时，f(g(x))为奇函数；当 g(x)为偶函数时，f(g(x)) 为偶函数． (6)定义在(－∞，＋∞)上的奇函数的图象必过原点，即有 f(0)＝0. (7)存在既是奇函数，又是偶函数的函数：f(x)＝0.
高考复习浙江省杭州第二中学高三数学周练(五)(含详细答案).doc
杭州二中高三代数质量检测题（五）（2005年12月26日下午3：05－4:35） 命题：黄宗巧一、选择题：满分60分，共10小题，每小题6分.1.函数2sin 3cos 3y x x =--+的最小值为 ( )（A ）0 （B ） 2 （C ）1- （D ）14-2.某单位有老年人28人，中年人54人，青年人81人，为了调查他们的身体状况，需从他们中抽取一个容量为36的样本，最适合的抽取样本的方法是 ( )(A)简单随机抽样 (B)系统抽样 (C)分层抽样 (D)先从老年人中随机剔除1人，然后分层抽样 3.如果函数2log (2)3y x =+-的图象按a 平移得到2log y x =的图象,则a = ( ) （A ）(2,3) （B ）(2,3)- （C ）(2,3)-（D ）(2,3)--4.已知随机变量()~10,0.6B ξ，若8ξη+=，则,E D ηη分别是 ( )(A)6和2.4(B)2和2.4(C)2和5.6(D)6和5.6（文科．．）若函数(1)y f x =+的定义域是[2,3]-,则(1)y f x =-定义域是 ( ) （A ）[2,3]- （B ）[0,5] （C ）[1,4]- （D ）[3,2]-5．若b a ≠，ba b a m --=，ba b a n ++=，则m 、n 的大小关系是 （ ）（A ）n m = （B ）n m ≥ （C ）n m ≤ （D ）无法判断 6. 函数()212log 35y x ax =-+在[)+∞-,1上单调递减，则a 的取值范围是 （ ）（A ）(]6-∞-, （B ）[)06,- （C ）(]68--, （D ）[]68--, 7．已知()f x 为R 上的奇函数，且()()22+-=-x f x f ，()03=f .则()0=x f 在区间()100,内实根的个数最少是 （ ）（A ）10 （B ）9 （C ）8 （D ）5 8.n S 是首项为1的等比数列{}n a 的前n 项和，若lim11nn nS S →∞=+, 则公比q 的范围是( )（A ）1≥q （B ）11≥-<q q 或 （C ）10<<q （D ）011≠≤<-q q 且（文科．．）已知两个等差数列{}{}、n n a b 满足121253()27n n a a a n n N b b b n *++++=∈++++， 则=66b a ( ) （A ）25 （B ） 2 （C ）1933 （D ）3163 9.函数()x x x f -++=863的值域是 （ ）（A ）[]3010, （B）（C ）[]810, （D ）[]304,10.已知全集{}4321,,,U =，则满足 {}1AB ⊂≠U C 的集合对A 、B 共有 （ ）（A ）24对 （B ）27对 （C ）37对 （D ）42对 二、填空题：满分30分，共6小题，每小题5分.11．已知点()()1,1,2,3A B ，O 为坐标原点，,OP OA AB R λλ=+∈， 若点P 在第四象 限内，则实数λ的取值范围是 .12．函数2log (y x =的反函数是 .13.若集合2{ln(1),}y y x ax x R R =-+∈=，则实数a 的取值范围是 . 14. 设甲射击一次，击中目标的概率是32.假设每次射击是否击中目标，相互之间没有影响，且连续2次未击中．．．目标，则停止射击.则甲恰好射击5次后，被中止射击的概率是 . 15.若关于x 的方程2ln 0x x a --=在区间[1,3]内恰有一个实根，则实数a 的取值范围是 .（文科．．）若关于x 的方程30x x a --=有三个不同的实根，则a 的取值范围是 . 16．给出下列四个命题：①设2()(0)f x ax bx c a =++≠，若12()()f x f x =12()x x ≠，则12()f x x c +=；②若偶函数()f x 在0x =处可导，则(0)0f '=； ③函数(1)y f x =+与(1)y f x =-的图象关于直线1x =对称；④函数y =的最小值是 5.则其中错误的命题的序号是 .杭州二中高三代数质量检测题（五）答题卷班级 姓名 学号一．选择题：满分60分，共10小题，每小题6分.（11）11,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭，（12） 222x x y -+=，[)0,x ∈+∞，（13）(][),22,-∞-+∞，（14）16243，（15）{22ln 2}(32ln3,1]--,文,99⎛- ⎝⎭（16）③ 三．解答题：满分60分，共4小题，每小题15分. 17.已知向量()()2sin ,cos ,3cos ,2cos m x x n x x ==，定义函数()()()log 10,1a f x m n a a =->≠，求函数()f x 的最小正周期、单调递增区间.解：.因为223sin cos 2cos 2cos 21m n x x x x x =+=++所以 ())log 2cos 2log 2sin 26aa f x x x x π⎡⎤⎛⎫=+=+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ ,故 22T ππ== , 令()2sin 206g x x π⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，则()g x 的单调递增的正值区间是(),126k k k Z ππππ⎛⎤-+∈ ⎥⎝⎦，单调递减的正值区间是()5,612k k k Z ππππ⎡⎫++∈⎪⎢⎣⎭ 则当01a <<时，函数()f x 的单调递增区间为()5,612k k k Z ππππ⎡⎫++∈⎪⎢⎣⎭当1a >时，函数()f x 的单调递增区间为(),126k k k Z ππππ⎛⎤-+∈ ⎥⎝⎦18．已知不等式22222322(32)log log 02020a a a a x a a -+-+-+<++对任意R ∈x 恒成立，试求实数a 的取值范围.解：令2232log 20a a t a -+=+，则210tx t -++<对任意R ∈x 恒成立则0t <，且()8410t t ∆=-+<，解得：2-<t所以41202302<++-<a a a ，解得()4 , 21 , 43⋃⎪⎭⎫⎝⎛-∈a ，19.已知f(x)=)(32432R x x ax x ∈-+在区间[－1，1]上是增函数.（1）求实数a 的值组成的集合A ；（2）设关于x 的方程f(x)=3312x x +的两个非零实根为x 1、x 2.是否存在实数m ，使得对任意a ∈A 及t ∈[－1，1],不等式m 2+tm+1≥|x 1－x 2|恒成立？ 解：（2004福建文T22）（1）f ＇(x)=4+2,22x ax - ∵f(x)在[－1，1]上是增函数，∴f ＇(x)≥0对x ∈[－1，1]恒成立，即x 2－ax －2≤0对x ∈[－1，1]恒成立. ① 设ϕ(x )=x 2－ax －2，方法一：ϕ(1)=1－a －2≤0，① ⇔ ⇔－1≤a ≤1，ϕ(－1)=1+a －2≤0.∵对x ∈[－1，1]，只有当a =1时，f ＇(-1)=0以及当a =－1时，f ＇(1)=0∴A={a |－1≤a ≤1}.方法二：2a ≥0， 2a<0， ①⇔ 或ϕ(－1)=1+a －2≤0ϕ(1)=1－a －2≤0⇔ 0≤a ≤1 或 －1≤a ≤0 ⇔ －1≤a ≤1.∵对x ∈[－1，1]，只有当a =1时，f ＇(－1)=0以及当a =－1时，f ＇(1)=0 ∴A={a |－1≤a ≤1}. （2）由,02,0,3123242332=--=+=-+ax x x x x x ax x 或得 ∵△=a 2+8>0∴x 1，x 2是方程x 2－ax －2=0的两非零实根，x 1+x 2=a ，x 1x 2=－2 从而|x 1－x 2|=212214)(x x x x -+=82+a ， ∵－1≤a ≤1，∴|x 1-x 2|=82+a ≤3.要使不等式m 2+tm+1≥|x 1－x 2|对任意a ∈A 及t ∈[－1，1]恒成立，当且仅当m 2+tm+1≥3即m 2+tm －2≥0对任意t ∈[－1，1]恒成立. ② 设g(t)=m 2+tm －2=mt+(m 2－2)，方法一：g(－1)=m 2－m －2≥0， ② ⇔g(1)=m 2+m －2≥0，⇔m ≥2或m ≤－2.方法二：当m=0时，②显然不成立；当m ≠0时， m>0， m<0， ②⇔ 或g(－1)=m 2－m －2≥0 g(1)=m 2+m －2≥0⇔ m ≥2或m ≤－2.所以，存在实数m ，使不等式m 2+tm+1≥|x 1－x 2|对任意a ∈A 及t ∈[-1，1]恒成立，其取值范围是{m|m ≥2，或m ≤－2}. 20.已知数列{}n a 满足：212,n n n a a a n N *+=-+∈，且1(0,1)a a =∈.(1)用数学归纳法证明：01n a <<；（2）试求{}n a 的通项公式；（3）对于2,n n N *≥∈，求证：3332222121223112()()n n n n a a a a a a a a a a a n -+++-++++<.提示：（2）12211(1)(1),lg(1)2lg(1),1(1)n n n n n n a a a a a a -++-=--=-∴=-- （3）分析：由已知可得：1n n a a ->方法1：21112(0,1),20n n n n n a a a a a a a +-=∈->->，所以左边＝222211222311112231112(2)(2)(2)(2)(2)(2)(2)(2),n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a n ----+-++-+-<-+-++-+-=+++<方法2：32241122(2)k k k k k k k a a a a a a a ++-=-=Q故：左边=13112n k n n k a a a a -=+-å2222411111110,;01,,n n n a a a a a a a a a a >>\><<\>\>Q Q故：左边1134311222n n k n k n k k aa a a a n --==<+-=+<邋方法3：由332231111(1)()(1)0n n n n n n n n a a a a a a a a ----+-+=-+-<又332311111(1)()()(1)0n n n n n a a a a a a a a a a +-+=-++-<累加可证方法4：对上面方法3的一种推广：对任意的*,p q N Î，3321p q p q a a a a +<+证明如下：若p q >，3322231()(1)p q p q q q p p a a a a a a a a +-+=-+- ,10p q p q a a >\>>>Q ，220q p a a \-<，故得证 若p q <，则332231()(1)p q p q p p q q a a a a a a a a +-+=-+-同理可证这样，利用上述命题，对左边各式进行任意组合，便可证明（文科．．）设等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和),2,1( 0 =>n S n .（1）求q 的取值范围；（2）设1223++-=n n n a a b ，记{}n b 的前n 项和为n T ，试比较n S 与n T 的大小. 解：(2005全国卷Ⅰ)（1）因为}{n a 是等比数列，.0,0,011≠>=>q S a S n 可得当;0,11>==na S q n 时1(1)11,0,0,(1,2,)11n nn a q q q S n q q--≠=>>=--当时即上式等价于不等式组：),2,1(,01,01 =⎩⎨⎧<-<-n q q n① 或),2,1(,01,01 =⎩⎨⎧>->-n q q n② 解①式得q>1；解②，由于n 可为奇数、可为偶数，得－1<q<1. 综上，q 的取值范围是).,0()0,1(+∞⋃-（2）由2132n a n b a a ++=-得.)23(),23(22n n n n S q q T q q a b -=-= 于是)123(2--=-q q S S T n n n ).2)(21(-+=q q S n又∵n S >0且－1<q <0或q >0当112q -<<-或2q >时0n n T S ->即n n T S >当122q -<<且q ≠0时，0n n T S -<即n n T S <当12q =-或q =2时，0n n T S -=即n n T S =。
浙江省杭州二中10-11学年高二上学期期末试卷(数学理)
杭州二中2010学年第一学期高二年级期末考试数学试卷（理）时间 90分钟 命题 陈洁 校对 张先军 审核 孙惠华注意：本试卷不得使用计算器，作图时必须使用尺规．一．选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.原点在直线l 上的射影是(2,1)P -，则直线l 的方程是A ．02=+y xB ．042=-+y xC ．052=+-y xD ．032=++y x 2．已知A B C 、、三点不共线，对平面ABC 外的任一点O ，下列条件中能确定点M 与点A B C 、、一定共面的是A ．OM OA OB OC =++ B ．2OM OA OB OC =--C ．1123OM OA OB OC =++D ．111333OM OA OB OC =++3．已知平面内两定点,A B 及动点P ，设命题甲是：“PA PB +是定值”，命题乙是：“点P 的轨迹是以,A B 为焦点的椭圆”，那么 A ．甲是乙成立的充分不必要条件 B ．甲是乙成立的必要不充分条件 C ．甲是乙成立的充要条件 D ．甲是乙成立的非充分非必要条件 4．命题：“若220(,)a b a b R +=∈，则0a b ==”的逆否命题是 A ．若0(,)a b a b R ≠≠∈，则220a b +≠B ．若0(,)a b a b R =≠∈，则220a b +≠C ．若0a ≠且0(,)b a b R ≠∈，则220a b +≠D ．若0a ≠或0(,)b a b R ≠∈，则220a b +≠5．已知βα,是两个不同平面，n m ,是直线，下列命题中不正确．．．的是 A ．若//m n ，m α⊥，则n α⊥ B ．若//m α，n αβ=，则//m nC ．若m α⊥，m β⊥，则//αβD ．若m α⊥，m β⊂，则αβ⊥6. 与双曲线116922=-y x 有共同的渐近线,且经过点()32,3-的双曲线的方程为A.194422=-y x B ．194422=-x yC ．149422=-x yD ．149422=-y x 7．椭圆1422=+y x 的两个焦点为12F F 、，过1F 作垂直于x 轴的直线与椭圆相交，一个交点为P ，则2||PF = A ．23 B ．3 C ．27 D ．48．点P 是抛物线x y 42=上一动点，则点P 到点)1,0(-A 的距离与到直线1-=x 的距离和的最小值是B. C ．2 D ． 29. 已知四面体A BCD -的棱长均为2，其正视图是边长为2的等边三角形（如图，其中BC 为水平线），则其侧视图的面积是 A. 2 B. 22C. D.362 10.从双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点F 引圆222x y a +=的切线，切点为T ，延长FT 交双曲线右支于点P ，若M 为线段FP 的中点，O 为坐标原点，则MO MT -与b a -的大小关系为 A ．MO MT b a ->- B.MO MT b a -=- C.MO MT b a -<- D.不确定二．填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.11. 若焦点在x 轴上的椭圆2212x y m +=的离心率为12，则m = . 12．椭圆193622=+y x 的一条弦被点)2,4(A 平分,那么这条弦所在的直线方程是________. 13. 在正ABC ∆中, D E 、分别为AB AC 、的中点,则以B C 、为焦点且过点D E 、的双曲线的离心率为 . 14．若,x y 满足220,x y +-≤且220y x -≤，则z x y =+的最小值为 ．15．将边长为2，有一内角为60的菱形ABCD 沿较短．．对角线BD 折成四面体A BCD -，点E F 、 分别为AC BD 、的中点，则下列命题中正确的是 （将正确的命题序号全填上）： ①//EF AB ； ②EF 与异面直线AC 、BD 都垂直； ③当四面体ABCD的体积最大时，AC =； ④AC 垂直于截面BDE .杭州二中2010学年第一学期高二年级期末考试数学答题卷（理）一．选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是11． 12．13．14．15．三．解答题:本大题共4小题，共50分.16．（本小题满分12分）已知圆C ：22420(,0)x y tx y t R t t+--=∈≠与x 轴交于点O 、A ，与y 轴交于点O 、B ，其中O 为原点. （1）求证：OAB ∆的面积为定值；（2）设直线42+-=x y 与圆C 交于点M 、N ，若OM ON =，求圆C 的方程.17．（本小题满分12分）已知曲线C 的极坐标方程是22(13sin )4ρθ+=，直线l的参数方程是6x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩()t 为参数.（1）求曲线C 和直线l 的直角坐标方程；（2）设点M 为曲线C 上任一点，求M 到直线l 的距离的最大值.18．（本小题满分12分）如图，已知BCD ∆中，90BCD ∠=︒，AB ⊥平面BCD，2,BC CD ==AB E F =、分别为AC AD 、上的动点.（1）若AE AFEC FD =,求证：平面BEF ⊥平面ABC ； （2）若1AE EC =，2AFFD=，求平面BEF 与平面BCD 所成的锐二面角的大小.19．（本小题满分14分）过x 轴上动点(,0)A a 引抛物线21y x =+的两条切线AP 、AQ ，P 、Q 为切点,设切线AP 、AQ 的斜率分别为1k 和2k ． (1)求证：124k k =-；(2)求证：直线PQ 恒过定点，并求出此定点坐标； (3)设APQ ∆的面积为S ，当SPQ最小时，求AQ AP ⋅的值． 杭州二中2010学年第一学期高二年级期末考试数学答案（理）一．选择题：本大题共.11．32 12．280x y +-= 131 14．12- 15．②③④ 三．解答题:本大题共4小题，共50分.16．解：（1）由题意知，(2,0)A t ,4(0,)B t4|2||4|2121=⨯⨯=⨯=∴∆t tOB OA S OAB ，即OAB ∆的面积为定值． （2）,,CN CM ON OM == OC ∴垂直平分线段MN ． 21,2=∴-=oc MN k k ，∴直线OC 的方程是x y 21= t t 212=∴，解得：22-==t t 或 ①当2=t 时，圆心C 的坐标为)1,2(，5=OC ， 此时C 到直线42+-=x y 的距离559<=d ，圆C 与直线42+-=x y 相交于两点．②当2-=t 时，圆心C 的坐标为)1,2(--，5=OC ， 此时C 到直线42+-=x y 的距离559>=d , 圆C 与直线42+-=x y 不相交，2-=∴t 不符合题意舍去．∴圆C 的方程为5)1()2(22=-+-y x17．解：（1）22:1,4x C y += :260l x y +-=（2）设(2cos ,sin)M θθ，则M 到直线l 的距离d==∴当sin()14πθ+=-，即5,(4M πθ=时，max d ==18．（1）证明：AB ⊥平面BCD ，AB CD ∴⊥。
杭二中数学动态分析高考复习策略数学模块分值分析下
，取
a1
=
1−
17 2
，则
a10
=
a1
=
1−
17 2
10
；
由此排除 BCD,选 A.
一、考生样本与目标分析
【例 5】(2019 浙江 T10) 设 a ， b R ，数列{an} 满足 a1 = a ，
an+1 = an2 + b ， n N* ，则 (
)
A．当
b
=
1 2
时，
a10
10
B．当 b
故
，
而
，则
.
设
的公比为 ， a1 1， a4 =a1q3 −1,q 0 .
一、考生样本与目标分析
【比较】(2018 浙江 T10) 已知 a1,a2,a3,a4 成等比数列，且
．若 ，则( a1 + a2 + a3 + a4 = ln(a1 + a2 + a3 )
a1 1
)
A． a1 a3, a2 a4
24
2
2
令 x − 1 y = cos, 3 y = sin
2
2
所以， x + y = cos + 3 sin = 2sin( + ) 2. 6
12 + ( 3)2
(x − 1 y)2 + 3 y2 = 2 24
一、考生样本与目标分析
【例 4】(2009,安徽 T14) 给定两个长度为 1 的平面向量 OA 和 OB ，它们的夹角
90%
+97% +87% +98% +76%
B-入室 120.5 －3.4 －7.1 －6.8 －12.2
2025届杭州第二中学数学高三上期末考试试题含解析
2025届杭州第二中学数学高三上期末考试试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。
选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设01p <<，随机变量ξ的分布列是则当p 在(,)34内增大时，（ ） A ．()E ξ减小，()D ξ减小 B ．()E ξ减小，()D ξ增大 C ．()E ξ增大，()D ξ减小D ．()E ξ增大，()D ξ增大2．已知函数3(1),1()ln ,1x x f x x x ⎧-≤=⎨>⎩，若()()f a f b >，则下列不等关系正确的是（ ）A ．221111a b <++ B C ．2a ab <D ．()()22ln 1ln 1a b +>+3．已知符号函数sgnx 100010x x x ⎧⎪==⎨⎪-⎩，＞，，＜f （x ）是定义在R 上的减函数，g （x ）＝f （x ）﹣f （ax ）（a ＞1），则（ ）A ．sgn [g （x ）]＝sgn xB ．sgn [g （x ）]＝﹣sgnxC ．sgn [g （x ）]＝sgn [f （x ）]D ．sgn [g （x ）]＝﹣sgn [f （x ）]4．已知f (x )=-1x x e e a+是定义在R 上的奇函数，则不等式f (x -3)<f (9-x 2)的解集为（ ）A ．(-2,6)B ．(-6,2)C ．(-4,3)D ．(-3,4)5．盒中装有形状、大小完全相同的5张“刮刮卡”，其中只有2张“刮刮卡”有奖，现甲从盒中随机取出2张，则至少有一张有奖的概率为( ) A ．12B ．35C ．710D ．456．抛物线的准线与双曲线的两条渐近线所围成的三角形面积为，则的值为 ( )A ．B ．C ．D ．7．将4名大学生分配到3个乡镇去当村官，每个乡镇至少一名，则不同的分配方案种数是( ) A ．18种B ．36种C ．54种D ．72种8．某工厂只生产口罩、抽纸和棉签，如图是该工厂2017年至2019年各产量的百分比堆积图（例如：2017年该工厂口罩、抽纸、棉签产量分别占40%、27%、33%），根据该图，以下结论一定正确的是（ ）A ．2019年该工厂的棉签产量最少B ．这三年中每年抽纸的产量相差不明显C ．三年累计下来产量最多的是口罩D ．口罩的产量逐年增加9．设正项等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足6322S S -=，则2823a a 的最小值为A ．8B ．16C ．24D ．3610．存在点()00,M x y 在椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上，且点M 在第一象限，使得过点M 且与椭圆在此点的切线00221x x y y a b +=垂直的直线经过点0,2b ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则椭圆离心率的取值范围是（ ）A ．2⎛ ⎝⎦B ．2⎫⎪⎪⎝⎭C ．3⎛ ⎝⎦D ．3⎫⎪⎪⎝⎭11．对两个变量进行回归分析，给出如下一组样本数据：()0.675,0.989-，()1.102,0.010-，()2.899,1.024，()9.101,2.978，下列函数模型中拟合较好的是（ ）A ．3y x =B ．3x y =C ．()21y x =--D ．3log y x =12．3481(3)(2)x x x+-展开式中x 2的系数为( )A ．－1280B ．4864C ．－4864D ．1280二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
杭州余杭第二高级中学集体备课提纲
引申思考2：探索： 是否有特定表达形式？
引申思考3：探索：若将椭圆改成双曲线 ，那么 是否也有特定表达形式？
变式：2．已知F1，F2为椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且 ，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为．
（五）反思提炼，完善图式
归纳：求椭圆的离心率的次目标：寻找基本量a,b,c之间的方程（范围问题则对应基本量之间的不等关系），探索条件中的关键语句：F1C⊥AB，将之转化成代数方程。
（四）优化方法，巩固提升
变式1（步步高136页跟踪训练3）
分析：结论：“求a，b的值”，作为求值问题，需要我们达成怎样的目标？
条件“|MN|=5|F1N|”反映在点M与N之间的坐标有怎样的关联？从而可得到怎样的代数结论？如果从几何的角度加以分析，又可得到怎样的结果？
（1）标准方程：焦点在x轴上： ；
焦点在y轴上： （对应问题：考点自测1；例1（2））
（2）一般方程：mx2+ny2=1（m>0,n>0且m≠n）（对应问题：思考辨析4；例1（2））
椭圆的一般方程在待定系数法求方程时具有简化运算的功能。
（3）定义方程： （对应问题；跟踪训练1（1））
在已知椭圆的焦点坐标及椭圆上一点时，定义方程具有优化运算的功能。
归纳：（1） ；（2）椭圆在点P(x0,y0)处的切线方程为
（三）典型精析，整合拓展
例2.（步步高136页跟踪训练2）椭圆中的焦点三角形问题
归纳：焦点三角形问题处理的观测线索：（1）定义的应用；（2）解三角形相关工具的选择。
（四）优化方法，巩固提升
练习：已知椭圆 ，设点P为椭圆上任意一点，记∠F1PF2=θ，设三角形F1PF2的面积为S，若S<ab恒成立，求椭圆的离心率e的取值范围。
“3个二次”转化与变形的基本方法
“3个二次”转化与变形的基本方法孙惠华【期刊名称】《中学教研：数学版》【年(卷),期】2009(000)003【总页数】4页(P16-19)【关键词】变形技巧;函数思想方法;二次不等式;代数运算;不等式恒成立;二次方程;函数不等式;知识结构【作者】孙惠华【作者单位】杭州市第二中学,浙江杭州310053【正文语种】中文【中图分类】G633.62新课程的代数知识结构的新特点是体现在以函数思想为主线的代数体系，淡化了代数运算与变形技巧，注重函数思想方法的渗透及函数方法的应用意识的培养．二次函数、二次方程与二次不等式这3者之间有着不可分割的天然关系，它们不但是沟通低次与高次函数、方程、不等式的纽带与桥梁，更重要的是解决函数零点分布、不等式恒成立、函数不等式等问题必不可少的工具．可想而知，虽然高考中直接考查“3个二次”内容的题目不多，但是与它相关的内容却有较大的比重．因此在高考复习中，做好“3个二次”内容的复习是落实数学双基、确保数学高考成功的关键环节．1．1 考点回顾分析历年的高考试卷，笔者认为关于“3个二次”内容的考点归纳起来主要有以下几个方面：(1)直接考查二次函数的最值、图像问题；(2)直接考查二次方程的根的分布问题，构成变量的线性不等关系，与目标函数的最优解交汇；(3)直接考查含参数的二次不等式解的问题；(4)与不等式恒成立相关的二次函数的最值问题；(5)把“3个二次”作为解题工具的综合性问题,譬如导函数为二次函数的高次函数的问题.1.2 命题趋势新课程的高考命题注重函数思想的能力立意，以二次函数为基点的命题思维形式应值得关注.根据新课程的特点，命题的趋势主要表现在：(1)以二次函数的性质、图像、最值、二次不等式的解的形式为知识点的选择题、填空题；(2)以二次方程的根的分布为背景的变量范围问题、体现规划思想的小题；(3)含参变量的不等式恒成立的问题；(4)以二次函数在指定范围的最值、二次不等式、二次方程的根为基点设计综合性的大题，可以与任何组块的知识交汇，尤其是解析几何的最值问题．例1 已知关于x的不等式(a2-4)x2+(a+2)x-1≥0的解集是空集，求实数a的取值范围．分析首先要判断不等式的次数，然后才能确定解决问题的思路方法，即(a2-4)是否为零．解当a2-4gt;0时，不等式(a2-4)x2+(a+2)x-1≥0的解集不可能为空集．当a2-4=0时，若a=2，则(a2-4)x2+(a+2)x-1≥0的解为x≥，不合题意；若a=-2，则(a2-4)x2+(a+2)x-1≥0的解为φ.当a2-4lt;0时，如果不等式(a2-4)x2+(a+2)x-1≥0的解集是空集，则解得综上所述,a的取值范围-2≤alt;.点评本题易错解：由Δ=(a+2)2+4(a2-4)lt;0，解得-2lt;alt;．例2 若x1,x2是关于方程x2+ax+a-=0的2个实数根．(1)求实数a的取值集合A.(2)试问：是否存在实数m，使得不等式m2+tm+4+6≥(x1-3x2)(x2-3x1)对任意a∈A及t∈[-1,1]恒成立？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．分析先根据二次方程的解的存在性确定变量a的取值范围，再把不等式恒成立问题转化为二次函数的最值问题，最后根据一次函数的性质回归到解二次不等式．解 (1)由x2+ax+a-=0有2个实数根,可得即因此 A=(-∞,2-]∪[2+,+∞).(2)因为x1+x2=-a，x1x2=a-，所以f(a) =(x1-3x2)(x2-3x1)=16x1x2-3(x1+x2)2=-3a2+16a-8.又因为对称轴a=，所以因此,可把问题转化成对任意的t∈[-1,1]，不等式m2+tm+4+6≥6+4恒成立,即设g(t)=m2+tm，要使不等式m2+tm≥0对任意的t∈[-1,1]恒成立,只需点评本题融“3个二次”为一体，巧妙地考查以“3个二次”为基本功的代数综合性问题，涉及面广，方法基础，关键是各结合点的联系较为自然．例3 设f(x)=3ax2+2bx+c，若a+b+c=0，f(0)gt;0,f(1)gt;0,求证：(1)agt;0且-2lt;lt;-1；(2)方程f(x)=0在(0，1)内有2个实根．分析根据二次函数确定不等关系，从不等式性质中推出所需的范围；对于第(2)小题，证明二次方程的根的分布范围，利用数形结合，对称轴在(0，1)之间，端点与顶点异号即可．解 (1)因为f(0)gt;0，f(1)gt;0,所以由条件a+b+c=0，消去b，得agt;cgt;0；由条件a+b+c=0，消去c，得故(2)抛物线f(x)=3ax2+2bx+c的顶点坐标为在-2lt;lt;-1的两边乘以-，得又因为f(0)gt;0,f(1)gt;0,而点评本题主要考查二次函数的基本性质与不等式的应用等基础知识.例4 已知二次函数f(x)=ax2+bx+1(a,b∈R,agt;0)，设方程f(x)=x的2个实数根为x1和x2.(1)若x1lt;2lt;x2lt;4，设函数f(x)的对称轴为x=x0，求证：x0gt;-1；(2)若|x1|lt;2,|x2-x1|=2，求b的取值范围.分析由于条件x1lt;2lt;x2lt;4实际上给出了f(x)=x的2个实数根所在的区间，因此可以考虑利用上述图像特征去等价转化.解设g(x)=f(x)-x=ax2+(b-1)x+1，g(x)=0的2个根为x1和x2.(1)由agt;0及x1lt;2lt;x2lt;4，可得即因此两式相加得lt;1,所以x0gt;-1.(2)由可得因为x1x2=gt;0，所以x1,x2同号.因此|x1|lt;2，|x2-x1|=2等价于即点评在处理一元二次方程根的问题时，考察该方程所对应的二次函数图像特征的充要条件是解决问题的关键．例5 已知f(x)=ax3+bx2+cx+d是定义在R上的函数，其图像交x轴于A,B,C这3个点.若点B坐标为(2,0)，且f(x)在[-1,0]和[4,5]上有相同的单调性，在[0,2]和[4,5]上有相反的单调性.(1)求c的值.(2)在函数f(x)的图像上是否存在一点M(x0,y0)，使得f(x)在点M的切线斜率为3b？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由；(3)求|AC|的取值范围.分析由f(x)在[-1,0]和[0,2]上有相反的单调性，可知极值点必为0.利用导数的零点分布确定导函数的值域，从而判断与3b的关系．对于|AC|的长度可以利用函数零点的表示，转化为变量的函数，再求其值域．解(1)因为f(x)在[-1,0]和[0,2]上有相反的单调性，所以x=0是f(x)的一个极值点，故f ′(x)=0，即3ax2+2bx+c=0有一个解为x=0，得c=0.(2)因为f(x)交x轴于点B(2,0)，所以即令f ′(x)=0,则3ax2+2bx=0，解得由f(x)在[0，2]和[4，5]上有相反的单调性，得解得假设存在点M(x0,y0)，使得f(x)在点M的切线斜率为3b，则f ′(x0)=3b，即因为且-6≤≤-3，所以Δlt;0,故不存在点M(x0,y0)，使得f(x)在点M的切线斜率为3b.(3)依题意可令f(x) =a(x-α)(x-2)(x-β)=a[x3-(2+α+β)x2+(2α+2β+αβ)x-2αβ]，则因为所以当=-6时，|AC|max=4;当=-3时，|AC|min=3.故点评研究三次函数的基本出发点就是研究导函数的值域分布，利用二次函数或二次方程解决其单调性、极值点或斜率的范围等问题．精题集粹1．设bgt;0，二次函数y=ax2+bx+a2-1的图像为下列之一，则a的值为A.1B.-1C.D.2．不等式ax2-x+2-agt;0对任意的a∈[0,1]恒成立，则x的取值范围是A.(-∞,2)B.(-∞,0)∪(1,2)C.(1，2)D.(-∞,0)3．若f(x)和g(x)都是定义在实数集R上的函数，且方程x-f[g(x)]=0有实数解，则g[f(x)]不可能是A.x2+x-B.x2+x+C.x2-D.x2+4．已知向量a≠e，|e|=1，对任意t∈R，恒有|a-te|≥|a-e|，则A.a⊥e B．a⊥(a-e)C.e⊥(a-e) D．(a+e)⊥(a-e)5．对于一切实数x，如果二次函数f(x)=ax2+bx+c的值恒为非负数，那么当bgt;a时，代数式 f(1)的最小值为________．6．若函数f(x)=4x2-4ax+a2-2a+2在[0,2]上的最小值是3，则a的值为________．7．设f(x)=x2+bx+c(b,c为常数)，方程f(x)=x的2个实数根为x1,x2且满足x2-x1gt;1.若tlt;x1，试比较f(t)与x1的大小.8．已知函数f(x)对一切实数x,y均有f(x+y)-f(y)=x(x+2y+1)成立，且f(1)=0．(1)求f(x)的表达式；(2)如果m,n是方程af(x)=(a-1)x-2a-1(agt;0)的2个实根，且满足不等式试求实数a的取值范围．参考答案1．C 2．A 3．B 4．C5．3 6.a=1-或a=5+7．解设方程x2+(b-1)x+c=0的2个根为x1,x2，且x1lt;x2．令F(x)=x2+(b-1)x+c，对称轴方程为x=.由x2-x1gt;1，得所以因此函数f(x)在(-∞,x1)上是减函数，故8．解 (1)令x=1，y=0,则解得令y=0,则得(2)由m,n是方程af(x)=(a-1)x-2a-1,即ax2+x+1=0的2个实根，可得即又由可得即又因为所以。
杭州余杭第二高级中学集体备课提纲
（先由学生总结，最后老师再总结，最后播放幻灯片）
1、两个方法：归纳法和数学归纳法；
2、归纳法是一种由特殊到一般的推理方法，它可以分为完全归纳法和不完全归纳法两种。
归纳法的本质：特殊到一般，归纳法的作用：发现规律
归纳法的缺陷：具有不可靠性
3、数学归纳法
基本思想：递推的思想
适用范围：与正整数有关的数学命题
所以用数学归纳法来证明数学问题是有效的和可靠的，大家可以放心大胆使用。
三、通过实例，运用知识
例1：用数学归纳法证明等差数列通项公式
(师生共同完成,老师在黑板上书写并强调步骤及注意点)
证明：(1)当n＝1时,左= ，右= ，所以左=右，即n=1时结论成立；
(2)假设当 时结论成立,即 ,
则 时， = ,
杭州市余杭第二高级中学集体备课提纲
学科数学年级高二日期2016年3月31日第6周星期四主备人徐秀兰
课题
数学归纳法
课型
新课
教学
目标
教学目标：
知识与技能：
1．了解由归纳法得出的结论具有不可靠性,理解数学归纳法的原理与本质；
2．掌握数学归纳法证题的两个步骤及其简单应用；
3．培养学生观察、探究、分析、论证的能力,体会类比的数学思想．
A.2k+1 B. C. D.
此题可做为例题来证明等式成立
附件
提问：满足什么条件能使所有的骨牌全部倒下？
（把学生按前后四个同学分组，每组选一个代表发言，讨论时间大约3分钟左右）
学生代表发言（老师在黑板上书写）：
条件1：第一块要倒下;
条件2：当前面一块倒下时，后面一块必须倒下
问：其它组还有其它意见吗？（给学生提出的条件老师进行归纳整理）
10学年第二学期高二数学期中卷(理)
杭州二中2022学年第二学期高二年级期中考试数学试卷〔理〕 时间：90分钟 命题：江厚利 校对：叶加群 孙惠华注意：本试卷不得使用计算器，作图时必须使用尺规．一．选择题〔本大题共10小题，每个小题3分，共30分〕此题从4个选项中选出1个正确的答案．1．曲线2x y =在点P 处的切线斜率为3-，那么点P 的坐标为( )A ．〔3，9〕B ．〔－3，9〕C ．)49,23(D ．〔49,23-〕 2．假设2()2'(1)f x xf x =+，那么'(0)f 等于( )A.2B.0C.－2D.－4 3．假设复数)(212R b ibi ∈+-的实部与虚部互为相反数，那么=b ( )A.2B.32C.32- D. 2 4．物体的运动方程为tt s 32+=〔t 是时间，s 是位移〕，那么物体在时刻2t =时的速度为( )A ．419 B ．417 C ．415 D ．413 5．假设x x x sin 32,20与则π<<的大小关系( )A ．x x sin 32>B ．x x sin 32<C ．x x sin 32=D ．与x 的取值有关6.如图是二次函数a bx x x f +-=2)(的局部图象，那么函数)(ln )(x f x x g '+=的零点所在的区间是( )A.)21,41( B. )2,1( C.)1,21( D. )3,2(7．黑白两种颜色的正六边形地面砖如图的规律拼成假设干个图案，那么第2022个图案中，白色地面砖的块数是( ) A ．8046B ．8042 C ．4024 D ．60338．假设函数x x x f ln 2)(2-=在其定义域的一个子区间(),2t t +上不是单调函数，那么实数t 的取值范围是( )A ．12t >B ．102t ≤<C ．3122t -<<D ．32t <- 9．假设函数3()3f x x x =-在区间2(12,)a a -上有最小值，那么实数a 的取值范围是( )A ．(1,11)-B ．(1,4)-C ．(1,2]-D ．(1,2)-10．设函数3211()32f x ax bx cx =++，且32b c a <<,(1)2af '=-，那么以下结论不正．．确的选项是．．．．．( ) A ．00a ><且b B ．334b a -<<-C ．112c b -<<D ．1342c a -<< 二．填空题〔本大题共5小题，每题4分，共20分〕11．函数x x y -+=)1ln(的单调递增区间为____▲______． 12．假设不等式121+-≥+a xx 对一切非零实数x 均成立，那么实数a 的取值范围是 __▲__．13．从1，2，3，4中选择数字，组成首位数字为1，有且只有两个数位上的数字相同的四位数，这样的四位数有_____▲____个．14．假设()22230,0a b a b +=>>，那么2a b +的最大值为____▲____． 15．函数3211()2(,R)32f x x ax bx a b =++∈，且函数()f x 在区间()0,1内取得极大值，在区间()1,22269a b a +++杭州二中2022学年第二学期高二年级期中考试数学答题卷〔理〕一．选择题〔本大题共10小题，每个小题3分，共30分〕此题从4个选项中选出1个题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10选项11．12． 13．14． 15．三．解答题〔本大题共4小题，共50分〕16．〔本小题总分值12分〕函数()()32,2f x x ax g x x b =+=+，它们的图象在1x =处有相同的切线． 〔Ⅰ〕求,a b 的值；〔Ⅱ〕假设()()()h x f x mg x =-在区间1,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是单调增函数，求实数m 的取值范围． 17．〔本小题总分值12分〕设,0,0,0>>>z y x〔Ⅰ〕比较2x x y +与34x y-的大小；〔Ⅱ〕利用〔Ⅰ〕的结论，证明：3332x y z xy yz zxx y y z z x ++++≥+++． 18．〔本小题总分值13分〕在数列{}n a 中，123a =-，()*121,n n n S a n n N S +=->∈． 〔Ⅰ〕求123,,S S S 的值；〔Ⅱ〕猜想n S 的表达式，并证明你的猜想．19．〔本小题总分值13分〕函数()()ln 0f x ax x a =≠． 〔Ⅰ〕求函数)(x f 的单调区间和最值；〔Ⅱ〕假设0,0,0m n a >>>，证明：()()()()ln 2f m f n f m n a m n +≥+-+．杭州二中2022学年第二学期高二年级期中考试数学试卷〔理〕参考答案及评分标准D D C D D C A B C D 〔3分 / 题〕11.〔-1,0〕 12. [1，3] 13. 36 14. 3 15. 2⎫⎪⎪⎝⎭〔4分 / 题〕16．〔Ⅰ〕f ′(x )＝3x 2＋a ，g ′(x )＝4x ，〔2分〕由条件知⎩⎪⎨⎪⎧f (1)＝g (1)f ′(1)＝g ′(1)，〔4分〕∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋a ＝2＋b 3＋a ＝4，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝0，〔6分〕 〔Ⅱ〕h (x )＝f (x )－mg (x )＝x 3＋x －2mx 2，∴h ′(x )＝3x 2－4mx ＋1，假设h (x )在区间[12，3]上为增函数，那么需h ′(x )≥0，即3x 2－4mx ＋1≥0，∴m ≤3x 2＋14x.〔9分〕 令F(x )＝3x 2＋14x ，x ∈[12，3]，那么求导易得F(x )在区间[12，3]上的最小值是F(33)＝32，因此，实数m 的取值范围是m ≤32.〔12分〕17.〔Ⅰ〕0)(4)(4322≥+-=--+y x y x y x y x x ，∴234x x yx y -≥+.(5分) 〔Ⅱ〕由〔1〕得.4323xyx y x x -≥+ 类似的3234y y yz y z -≥+，3234z z zx z x -≥+，〔7分〕 又2222221[()()]02x y z xy yz zx y z z x ++-++=+-+-≥（）（x-y ）；222x y z xy yz zx ∴++≥++〔9分〕222222222x y xy y z yz x zx +≥+≥+≥（另证：，，z ，三式相加）.∴3332223334x y z x xy y yz z zxx y y z z x -+-+-++≥+++ 〔12分〕18.〔Ⅰ〕11112,2,(2)2n n n i n n n n n n n a S S S S S S n S S ---≥=-∴+=--∴=-≥+当时，(3分) 11231221314,,32425S a S S S S ∴==-=-=-=-=-++〔6分〕〔Ⅱ〕猜想12n n S n +=-+，〔7分〕下面用数学归纳法证明：1)当n=1时，1211312，S +=-=-+猜想正确；〔8分〕 2〕假设当n=k 时猜想正确，即1,2k k S k +=-+那么111(1)1,12(1)222k k k S k S k k +++=-=-=-++++-++即n=k+1时猜想也正确.〔12分〕根据1〕，2〕可知，对任意n N ，都有1.2n n S n +=-+〔13分〕19 〔Ⅰ〕()ln (0)f x a x a x '=+>，〔1分〕当0a >时，令()0f x '≥，即1ln 1ln .x e -≥-=).,1[.11+∞∈∴=≥∴-ex e e x 同理，令()0f x '≤，可得1(0,].x e∈∴()f x 单调递增区间为),1[+∞e ，单调递减区间为]1,0(e.由此可知min 1()().a y f x f e e===- 无最大值． 〔4分〕当0a <时，令()0f x '≥，即1ln 1ln .x e -≤-=111.0,.x e x ee -⎛⎤∴≤=∴∈ ⎥⎝⎦同理，令()0f x '≤可得1[,).x e ∈+∞∴()f x 单调递增区间为]1,0(e ，单调递减区间为),1[+∞e .由此可知max 1()().ay f x f e e===- 此时无最小值． 〔7分〕〔Ⅱ〕方法1：不妨设0m n ≥>，令n x =，记()ln ln ()ln (0)2m xg x am m ax x a m x x +=+-+>〔9分〕2'()ln ln ln 2m x x g x a x a a a a m x +=+--=+221xm x x m x+≥∴≤+，ln 0x m a m x-∴≤+，'()0g x ∴≤，()g x ∴是减函数，0m x ≥>，()()0g x g m ∴≥=()ln ln ()ln 02m xg x am m ax x a m x +∴=+-+≥，即得证．〔13分〕 方法2：不妨设0m n ≥>，那么(1)m kn k =≥左边-右边[ln ln ()ln 2()ln()]a m m n n m n m n m n =+++-++2[ln (1)ln](1)an k k k k =+++〔10分〕 令2()ln (1)ln(1)g k k k k k =+++，那么()(1)0g k g ∴≥=，又0,0a n >>，∴左边-右边0≥，得证．〔13分〕。
杭州市第二中学数学高三上期末经典复习题(含答案解析)
一、选择题1．等差数列{}n a 中，已知70a >，390a a +<，则{}n a 的前n 项和n S 的最小值为（ ） A ．4SB ．5SC ．6SD ．7S2．若函数y ＝f (x )满足：集合A ＝{f (n )|n ∈N *}中至少有三个不同的数成等差数列，则称函数f (x )是“等差源函数”，则下列四个函数中，“等差源函数”的个数是( ) ①y ＝2x ＋1；②y ＝log 2x ；③y ＝2x＋1；④y ＝sin44x ππ+（）A ．1B ．2C ．3D ．43．若,x y 满足1010330x y x y x y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩，则2z x y =+的最大值为( )A ．8B ．7C ．2D ．14．在ABC ∆中，,,a b c 分别为角,,A B C 的对边，若,1,3A b π==ABC ∆则a 的值为（ ） A ．2BC．2D ．15．正项等比数列{a n }中，a 3,a 4的等比中项为∫1xe 1edx ，令T n =a 1⋅a 2⋅a 3⋅⋯⋅a n ，则T 6=（ ） A ．6B ．16C ．32D ．646．若n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，其首项10a >，991000a a +>，991000a a ⋅< ，则使0n S >成立的最大自然数n 是（ ） A ．198B ．199C ．200D ．2017．“干支纪年法”是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法，干支是天干和地支的总称，把干支顺序相配正好六十为一周，周而复始，循环记录，这就是俗称的“干支表”甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、癸等十个符号叫天干，子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥等十二个符号叫地支，如公元1984年农历为甲子年，公元1985年农历为乙丑年，公元1986年农历为丙寅年，则公元2047年农历为 A ．乙丑年B ．丙寅年C ．丁卯年D ．戊辰年8．设x y ，满足约束条件10102x y x y y -+≤⎧⎪+-⎨⎪≤⎩＞，则yx 的取值范围是（ ）A ．()[),22,-∞-+∞B ．(]2,2-C ．(][),22,-∞-+∞D ．[]22-,9．若ABC ∆的三个内角满足sin :sin :sin 5:11:13A B C =，则ABC ∆（ ） A ．一定是锐角三角形 B ．一定是直角三角形C ．一定是钝角三角形D ．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形10．已知数列{}n a的首项110,1n n a a a +==+，则20a =（ ） A ．99B ．101C ．399D ．40111．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为a ，b ，c ．若ABC ∆为锐角三角形，且满足sin (12cos )2sin cos cos sin B C A C A C +=+，则下列等式成立的是（ ）A ．2a b =B ．2b a =C ．2A B =D ．2B A =12．在等差数列{a n }中，a 1＞0，a 10·a 11＜0，若此数列的前10项和S 10＝36，前18项的和S 18＝12，则数列{|a n |}的前18项和T 18的值是 （ ） A ．24B ．48C ．60D ．8413．已知变量x , y 满足约束条件13230x x y x y ≥⎧⎪+≤⎨⎪--≤⎩，则2z x y =+的最小值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．614．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，1(1)()n n n S nS n N *++∈＜.若871a a <-，则（ ） A ．n S 的最大值为8S B ．n S 的最小值为8S C ．n S 的最大值为7S D ．n S 的最小值为7S15．已知函数1()2xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则不等式()24(3)f a f a ->的解集为( )A ．(4,1)-B ．(1,4)-C ．(1,4)D ．(0,4)二、填空题16．若变量,x y 满足约束条件12,{20,20,x y x y x y +≤-≥-≤ 则z y x =-的最小值为_________.17．已知数列{}n a ，11a =，1(1)1n n na n a +=++，若对于任意的[2,2]a ∈-，*n ∈N ，不等式1321t n a a n +<-⋅+恒成立，则实数t 的取值范围为________ 18．已知向量()()1,,,2a x b x y ==-，其中0x >，若a 与b 共线，则yx的最小值为__________．19．在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c，若三角形的面积222)S a b c =+-，则角C =__________．20．已知数列{}{}n n a b 、满足ln n n b a =，*n ∈N ，其中{}n b 是等差数列，且431007e a a ⋅=，则121009b b b +++=________．21．若变量,x y 满足约束条件{241y x y x y ≤+≥-≤，则3z x y =+的最小值为_____．22．已知等比数列{}n a 满足232,1a a ==，则12231lim ()n n n a a a a a a +→+∞+++=________________.23．已知数列{}n a 满足51()1,62,6n n a n n a a n -⎧-+<⎪=⎨⎪≥⎩，若对任意*n N ∈都有1n n a a +>，则实数a 的取值范围是_________.24．数列{}n a 满足10a =，且()1*11211n nn N a a +-=∈--，则通项公式n a =_______．25．ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c，已知)cos cos ,60a C c A b B -==︒，则A 的大小为__________． 三、解答题26．在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且满足sin cos 6b A a B π⎛⎫=- ⎪⎝⎭.（1）求角B 的大小；（2）若D 为AC 的中点，且1BD =，求ABC S ∆的最大值.27．已知实数x 、y 满足6003x y x y x -+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，若z ax y =+的最大值为39a +，最小值为33a -，求实数a 的取值范围.28．已知各项均为正数的等比数列{}n a 的首项为12，且()3122123a a a -=+。
杭州二中高三年级第七次月考数学试卷
2005学年第二学期杭州二中高三年级第七次月考数学试卷 05.5命题：陈永毅 校对：吴祝飞本试卷分第Ⅰ卷（选择题）第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分。
考试时间120分钟。
第Ⅰ卷（选择题共50分）一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分 ，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1．若命题p:x ∈A ∪B 则⌝p 是 A ．B A x ∉ B ．x ∉A 或x ∉B C ．x ∉A 且x ∉B D ．B A x ∈ 2．已知角α的终边上一点的坐标为)32cos ,32(sin ππ,则角α的最小正值为A ．65πB ．32π C ．35π D ．611π3．一条直线穿过一个四面体，则该直线最多能与四面体的（ ）个面相交A ．1B ．2C ．3D ．4 4． （理）已知随机变量45~(,),15,4B n p E D ξξξ==,则n 及p 的值分别为 A ．150;4B ．350;4C ．160;4D ．360;4(文)某校高三年级的12个班里,每个班级有55名学生,随机编号为1~55.为调研学生的业余爱好,要求每班留下第25号进行问卷抽查,则所用的抽查方法是 A ．抽签法 B ．分层抽样法 C ．系统抽样法 D ．随机数表法 5．若对任意,1)1(,4)(,3-=='∈f x x f R x 则)(x f 是A ．)(x f =x 4B ．)(x f =x 4－2C ．)(x f =4x 3－5D ．)(x f =x 4+26．A, B, C 是△ABC 的三个内角，且tanA , tanB 是方程3x 2－5x +1=0的两个实数根，则 △ABC 是A ．钝角三角形B ．锐角三角形C ．等腰直角三角形D ．等边三角形7．抛物线y 2=2px 与直线ax +y －4=0，交于两点A ，B ，其中点A 的坐标为（1，2），设抛物 线的焦点为F ，则|FA|+|FB|等于A ．7B ．53C ．6D ．5(文) 抛物线y 2=4x 与直线2x +y －4=0交于两点A ，B ，设抛物线的焦点为F ，则|FA|+|FB|等于 A ．7B ．53C ．6D ．58．若1,2a b ==,且()a b a -⊥,则a 和b 的夹角是A ．30B ．45C ．60D ．135 9．（理）若（m +i ）3为实数，则正实数m 的值为A ．1+23B ．33C ．3D ．23 （文）已知数列{a n }的前n 项和S n ==+++6521a a n n 则A ．201 B ．241 C ．281D ．321 10．如三棱锥P —ABC 的高PO=8，AC=BC=3，∠ACB=30°，M ，N 分别在BC 和PO 上，且CM=x ，PN=2CM ，试问下面的四个图象中哪个图象大致描绘了三棱锥N —AMC 的体积V 与x 的变化关系）]3,0((∈x第Ⅱ卷（非选择题共90分）A B C D2004学年第二学期杭州二中高三年级第六次月考数学试卷答题卷第Ⅰ卷（选择题 共50分）一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有第Ⅱ卷（非选择题 共100分） 注意事项：1．第Ⅱ卷共4页，用钢笔或圆珠笔直接答在答题卷中. 2．答卷前将密封线内的项目填写清楚.二．填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在答卷中的横线上. 11．按ABO 血型系统学说，每个人的血型为A ，B ，O ，AB 四种之一，依血型遗传学，当且仅当父母中至少有一人的血型是AB 型时，子女一定不是O 型，若某人的血型为O 型，则父母血型所有可能情况有 种.12．（理）若(2x 2-1)n 的展开式中各项系数和为nn x a )41(,+的展开式中各项系数和为n b ，则 =+-∞→nn nn n b a b a 4323lim.（文）已知()12nx -的展开式中，二项式系数的和为64，则它的二项展开式的中间项是_________________13．椭圆22221110x y y x a b+=-=与有相同的焦点，它们的一个公共点为),310(0y p ，则 b －a =14．已知函数2()2f x x ax b =--(x R ∈),下列命题中正确命题的序号为 (1)()f x 必为偶函数;(2)当(0)(2)f f =时,()f x 的图象关于直线1x =对称; (3)若20a b +≤,则()f x 在区间[,)a +∞上是增函数;(4)()f x 的最大值为2a b -.三、解答题：（本大题共6小题，共84分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 15．（本小题满分14分）在△ABC 中，510cos ,tan cot ,13223B B A =+=求： （1）)cos(B A -的值； （2）2cos BA -的值.16．（本题满分14分）已知函数,6)(23b ax ax x f +-=问是否存在实数a 、b 使f (x )在 [－1，2]上取得最大值3，最小值－29，若存在，求出a 、b 的值.并指出函数的单调区间 . 若不存在，请说明理由 . 17．（本小题满分14分）已知：如图，矩形ABCD ，PA ⊥平面ABCD, M 、N 、R 分别是AB 、PC 、CD 的中点，①求证：直线AR ∥平面PMC ； ②求证：直线MN ⊥直线AB ； ③若平面PDC 与平面ABCD 所成的二面角为θ，能否确定θ使直线MN 是异面直线AB 与PC 的公垂线，若能确定，求出θ的值，若不能确定，说明理由.18．（本小题满分14分）银行按规定在一定时间结算利息一次，结息后即将利息并入本金，这种计算方法叫做复利，现在某企业进行技术改造，有两种方案；甲方案：一次性贷款10万元，第一年可获利1万元，以后每年比前一年增加30%的利润；乙方案：每年贷款1万元，第一年可获利1万元，以后每年比前一年增加5千元。
感悟数学 促进教改——2004～2005年浙江数学高考试卷分析
感悟数学促进教改——2004～2005年浙江数学高考试卷分
析
孙惠华
【期刊名称】《教学月刊：中学版（教学参考）》
【年(卷),期】2006(000)004
【摘要】高中数学教学与数学高考的关系历来受数学教育界的重视，在教学与高考命题的操作过程中存在许多难以突破的矛盾，如何处理好这些矛盾是目前亟待探索和研究的课题．本文通过对浙江的两年自主命题的分析，结合数学课程改革的一些趋势，谈点看法，仅供参考．
【总页数】3页(P55-57)
【作者】孙惠华
【作者单位】浙江省杭州市第二中学,310009
【正文语种】中文
【中图分类】G634.6
【相关文献】
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3.感悟数学促进教改--2004～2005年浙江数学高考试卷分析 [J], 孙惠华
4.基于数学运算素养视角的高考试卷分析及教学建议——以2019年全国Ⅱ卷、浙
江卷与上海卷为例 [J], 张定强; 孙黎
5.浙江省2004年现金投放回笼情况分析及2005年情况预测 [J], 方玲
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倒计时抢分攻略之数学篇丨杭二中高三备课组组长孙惠华：回归原点，确保基本得分！
2016-05-27浙江教育报刊总社
临近高考，如何科学调整复习行为？如何预防考前焦虑保持良好的心态？如何合理把握数学本质提高备战效率？今天，我们有请杭二中高三数学备课组长孙惠华老师，给广大考生提几点建议，供大家参考。
回归原点，提高应变能力
高考试题百分之百是原创，同时也百分之百的根据教学大纲与考试大纲命题，高考试题的构造必须体现数学学科的本质、体现思维的灵活性、体现教学的指导性、体现人才的选拔性，以数学的核心概念、基本原理、重要的性质结论及通用的思维方法为基本原点，科学合理地命制试题。
能够在高考中运筹帷幄、决胜千里的同学必须是具有较高的数学素养的人、能够回归到原点的人。
因此，最后阶段最重要的不是多做多少训练题，而是高水平地回归数学知识、方法的原点，也就是有序地整理与记忆高中三年来的学习体会及问题解决的方法与经验。
根据解决考点的知识与方法来组织针对性的复习，例如：针对二元函数的最值问题的考点，首先收集平时的训练题与考试题，再总结思路与方法（思路1是消元转化为单元函数；思路2是利用基本不等式凑常数；思路3是转化为约束条件下的目标函数的规划思想方法），最后寻找求解新的试题。
再例如：如何分析数列累加与叠乘方法出现的代数结构特征、如何感悟函数值与自变量对应关系、如何理解天然不等关系在不等式问题构成的作用等。
从原点出发，以不变应万变，实现高三复习的量变到质变的飞跃。
关注重点，确保基本得分
高考的正常发挥往往取决于基本问题的得分能力，并非是难点的完全突破。
要正确理解高考的重点与难点，在高考中必定会出现的试题内容就是高考重点，不论简单的还是困难的考点，只要是考点，哪怕是容易题的考点也必须重点关注（如集合的基本运算、简单的逻辑基础、三角函数图像性质、几何体的三视图等）。
高考最后阶段最该关注的是容易题与中等题的得分，高考不怕压轴题丢分，就怕第一题做错，不怕难题障碍，就怕容易题失误。
数学高考成功的标志是确保了基本得分（选择题的40分、填空题争取超出30分、解答题的前三题确保零失分、最后两题努力超15分）。
对于大部分考生来说，不要只盯牢最后两题，只有确保了基本得分，才能有机会超水平发挥。
把握节奏，保持良好心态
最后阶段的复习大部分考生都是以自主复习为主了，因此，科学合理安排好各学科各种复习行为的时间比例、把握好复习节奏也是非常重要。
建议适当安排完整的模拟训练（下午3-5点），调整数学生物钟的兴奋点。
每天写好一个问题（关注表达规范），积极有效地进行查漏补缺，寻找增分空间。
多交流、多思考，适度活动，保持阳光心态。
高考备战，越到最后越需要具有坚定的意志力。
全力以赴，把握自我，十分重要，面对迎考复习的艰辛，面对解题的繁难，面对竞争的压力，面对多变的情绪，只有给自己准确地定位，科学生态地把握好复习节奏，合理激发自身内在的潜能，才能在最后的高考决战中超越自我、挑战极限，让好运在我们身上降临，让遗憾离我们远去！。