【创新设计】北京体育大学附中2014版高考数学一轮复习 平面向量单元突破训练 新人教A版

北京体育大学附中2014版《创新设计》高考数学一轮复习单元突破：平面向量本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题 (本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．在平行四边形ABCD 中， AC 为一条对角线，(2,4),(1,3),AB AC ==则AD = ( )A ．（2，4）B ．（3，5）()1 , 1C ．()1,1--D ．（—2，—4）【答案】C2．下列5个命题：①若、都是单位向量，则=；②直角坐标平面上的x 轴、y 轴都是向量；③0=+BA AB ④00=AB ⑤00=∙AB其中正确命题的个数为( ) A ．4个 B ．3个 C ．2个 D ．1个 【答案】D3．若|a|=1，|b|=2,c=a+b ，<a ，b>=120°，则<a ，c>等于( )A ．60°B ．90°C ．120°D ．150° 【答案】B4．若││=2sin150,││=4cos150, 与的夹角为030，则•的值是( )A ．23 B ．3 C ．23D ．21 【答案】D5．已知a ⊥b ，〈a ，c 〉＝π3，〈b ，c 〉＝π6，且|a|＝1，|b|＝2，|c|＝3，则|a ＋b ＋c|＝( )A ．17＋6 3B ．17－6 3C ．17＋6 3D ．17－6 3【答案】C6．已知向量a b ⊥ ，向量c 与,a b 的夹角都是60，且||1,||2,||3a b c === ，则2)(c b a ++=( )A ． 6B ． 5C ． 23D ． 8【答案】C7．设P 是△ABC 所在平面内的一点，2BC BA BP +=，则( )A ．0PA PB += B ．0PC PA += C ．0PB PC +=D ．0PA PB PC ++=【答案】B8．点O 是三角形ABC 所在平面内的一点，满足，则点O 是的( )A ．三个内角的角平分线的交点B ．三条边的垂直平分线的交点C ．三条中线的交点D ．三条高的交点 【答案】D9．已知向量a ),2(x =，b )8,(x =，若a ∥b ，则x =( ) A ．4- B ．4 C ．4± D ．16【答案】C10．设,)cos 21,31(),43,(sin x b x a ==→-→-且→-→-b a //，则锐角x 为( )A ．6πB ．4πC ．3πD ．π125【答案】B11．已知向量(1,),(1,),a n b n a b a ==-⊥若,则|| = ( ) A ．1 BC ．2D ．4【答案】B12．已知点A （－1，0）、B （1，3），向量()21,2k =-a ，若AB ⊥a ，则实数k 的值为( )A ．－2B ．－1C ．1D ．2【答案】B第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题 (本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)13．已知两单位向量21,e e 的夹角为60°，则向量2121232e e b e e a -=+=与的夹角为 。

【答案】3π 14．定理：三角形的外心O 、重心G 、垂心H 依次在同一条直线（欧拉线）上，且13OG OH =，其中外心O 是三条边的中垂线的交点，重心G 是三条边的中线的交点，垂心H 是三条高的交点．如图，在△ABC 中，AB AC >，AB BC >，M 是边BC 的中点，AH ⊥BC （N 是垂足），O 是外心，G 是重心，H 是垂心，1OM =，则根据定理可求得OG HN ⋅的最大值是 ．ABCM NH OG【答案】11215．已知向量(a = ，()b = ．若正数k 和t 使得()21x a t b =++ 与1y ka b t=-+ 垂直．则k 的最小值是 ． 【答案】216．如图，在平行四边形ABCD 中，E 和F 分别在边CD 和BC 上，且3,3DC DE BC BF ==，若AC mAE nAF =+，其中,m n R ∈，则m n +=___________.【答案】32三、解答题 (本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．四边形ABCD,)1,6(=AB ,),(y x BC =，)3,2(--=CD ， (1）若//,试求x 与y 满足的关系式(2）在满足（1）的同时，若⊥,求x 与y 的值以及四边形ABCD 的面积 【答案】（1）由已知可得，),(y x =，)2,4(y x +-+= 若//，可知)2()4(y x y x +-=+ 即02=+y x )0(≠⋅y x(2）由已知可得)1,6(y x ++=，)3,2(y x +-+-= 由BD AC ⊥可得()()201222=-++y x(3）由（1）（2）可得02=+y x ①()()201222=-++y x ②由①②联立可得0322=--y y 易求得16=∆>0所以两条曲线相交。

另解：()()201222=-++y x 的圆心（-2,1）到直线02=+y x 的距离050==d ，所以两条曲线相交(2）在满足（1）的同时，若⊥,求x 与y 的值以及四边形ABCD 的面积 由（1）可知02=+y x )0(≠⋅y x 所以⎩⎨⎧-==12y x 或⎩⎨⎧=-=36y x当⎩⎨⎧-==12y x 时)0,8(=，)4,0(-=，由BD AC ⊥可得S ABCD =四边形=16当⎩⎨⎧=-=36y x 时)4,0(=，)0,8(-=，由⊥可得S ABCD =四边形=16综上可知S ABCD =四边形=1618．在ABC ∆中，设,,A B C 的对边分别为,,a b c ，向量(cos ,sin )m A A = ，sin ,cos )n A A =-，且||2m n +=.(Ⅰ）求角A 的大小；(Ⅱ）若b =c =，求ABC ∆的面积.【答案】（Ⅰ）)sin cos ,sin cos 2(A A A A n m +-+=+)4sin(44)sin (cos )sin cos 2(||22π--=++-+=+A A A A A n m2||=+n m ,0)4sin(=-∴πA又π<<A 0 3,444A πππ∴-<-<4,04ππ==-∴A A(Ⅱ）4,2π==A a c,2sin sin ==∴A C a c π<<=∴C C 0,1sin 又2π=∴CABC ∴∆为等腰直角三角形，16)24(212=⨯=ABC S19．已知ABC △的面积为3，且满足06AB AC ≤≤，设AB 和AC的夹角为θ．（I ）求θ的取值范围； (II）求函数2()2sin 24f θθθ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭π的最大值与最小值．【答案】（Ⅰ）设ABC △中角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，则由1sin 32bc θ=，0cos 6bc θ≤≤，可得cos 01sin θθ≤≤，ππ42θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴． (Ⅱ）2π()2sin 24f θθθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭π1cos 222θθ⎡⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦(1sin 2)2θθ=+πsin 2212sin 213θθθ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭．ππ42θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∵，ππ2π2363θ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，，π22sin 2133θ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭∴≤≤．即当5π12θ=时，max ()3f θ=；当π4θ=时，min ()2f θ=．20．已知向量a ＝)sin ,(cos θθ，],0[πθ∈，向量b＝(3，－1) (1)若a b ⊥，求θ的值；(2)若2a b m -<恒成立，求实数m 的取值范围。

【答案】(1)∵a b ⊥ ，∴0sin cos 3=-θθ，得3tan =θ，又],0[πθ∈，所以3π=θ；(2)∵2a b -＝)1sin 2,3cos 2(+-θθ，所以22a b - ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=++-=θcos 23θsin 2188)1θsin 2()3θcos 2(22⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=3πθsin 88， 又 ∈[0，π]，∴ππ2π[,]333θ-∈-，∴πsin [3θ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭， ∴22a b - 的最大值为16，∴2a b - 的最大值为4，又2a b m -<恒成立，所以4m >。

21．已知a ＝(cosx ＋sinx ，sinx)，b ＝(cosx －sinx ，2cosx)． (I ）求证：向量a 与向量b 不可能平行；(II ）若a ·b ＝1，且x ∈[－π，0]，求x 的值．【答案】(1)假设a ∥b ，则2cosx(cosx ＋sinx)＝sinx(cosx －sinx)，即2cos 2x ＋2sinxcosx ＝sinxcosx－sin 2x,1＋sinxcosx ＋cos 2x ＝0，1＋12sin2x ＋1＋cos2x 2＝0，亦即2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＝－3⇒sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＝－322．而sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4∈[－1,1]，－322<－1，矛盾．故假设不成立，向量a 与向量b不平行．(2)a ·b ＝(cosx ＋sinx)(cosx －sinx)＋2sinxcosx ＝cos 2x －sin 2x ＋sin2x ＝cos2x ＋sin2x＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，a ·b ＝1⇒sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＝22．又x ∈[－π，0]⇒2x ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－7π4，π4， ∴2x ＋π4＝－7π4或2x ＋π4＝－5π4或2x ＋π4＝π4，∴x ＝－π或－3π4或0.22．已知向量满足，且，其中。

(1）试用表示，并求出的最大值及此时与的夹角的值； (2）当取得最大值时，求实数，使的值最小，并对这一结论作出几何解释。

【答案】（1）∵ ∴即∴，∵ ∴的最大值时即的最大值为，此时与的夹角的值为(2）由题意知：，故∴当时，的值最小。

如图所示：在边长为1的正三角形中，，动点满足，那么，，当，即为线段的中点时，最小为(或：此时，即当时，的值最小。

）。