预备知识方向导数与梯度海赛矩阵及泰勒公式

S 于曲线 C ，如图 10.4.2 所示，曲线 C 可以用关于 h 的一元函数 ϕ(h) = f (x0 + h cosα , y0 + h cos β )
151
来描述，它在 P′ 处的切线的斜率为
ϕ′(0) = lim f ( x0 + h cosα , y0 + h cos β ) − f ( x0, y0 ) ，
y0
+ h cos β ) −
h
f
( x0 , y0 ) ．
（10.4.1）
下面我们来看方向导数的几何意义．
方程 z = f (x, y) 表示空间曲面 S ，设 P′( x0 , y0 , z0 ) 与 Q′(x, y, z) 为曲面 S 上的点，它们
在 xoy 平面上的投影分别对应点 P 和 Q ．过点 P 和 P′ 作平行于方向向量 u 的竖直平面交曲面
y0 )
= lim h→0
f
( x0,
y0
+ h)−
h
f
( x0,
y0 )
．
在几何上，它们分别表示平面曲线
⎧z
⎨ ⎩
y
= =
f (x, y0
y),
及
⎧z
⎨ ⎩
x
= =
f (x, x0
y),
在点
(
x0 ,
y0
)
处的切线的斜
率．
现在我们来考虑二元函数 z = f (x, y) 在 ( x0 , y0 ) 处沿某指定方向的变化率．设方向向量 u
u = i + 3j 的方向导数．
y
( ) 解 因 ∇f (x, y) = ∂f i + ∂f j = 2xyi + x2 + 2 j, 故
∇f
∂x ∂y
3
∇f (2, −1) = −4i + 6j .
2
u
又 u0 = 1 i + 3 j ，由公式（10.4.5）得 10 10
Du f (2, −1) = ∇f (2, −1) ⋅ u0 = −4 ⋅
此时高度上升未必最快．因此，梯度方向只是函数局部增加最快的方向．如果登山者从 P 点
出发，要想尽快到达山峰，则在攀登过程中需不断调整方向，形成一个“之”字形路线．
如果采用向量的记号，我们容易给出一般 n 元函数方向导数与梯度的定义．
设 f (x) 是 n 元函数（通常我们只考虑二元函数和三元函数的情况）， u 是 n 元向量． u0
Δx = h cosα , Δy = h cos β ，
且 (Δx)2 + (Δy)2 =| h | ，所以
152
lim
h→0
f
( x0
+ h cosαs β ) −
h
f
( x0, y0 )
=
fx′( x0 , y0 ) cosα
+
f y′ ( x0 , y0 ) cos β
．
1 +6⋅ 10
3 = 14 ． 10 10
图 10.4.3 表明 Du f (2, −1) 是梯度向量 ∇f (2, −1) 在 u 方向
上的投影．
1
0
x
-1
-2
-3
-3
-2
-1
0
1
2
3
图 10.4.3 方向导数是梯度在方向 向量上的投影
154
例 4 设一座山的高度由函数 z = 15 − 3x2 − 2 y2 给出，如果登山者在山坡的点 P (1, −2, 4)
其中θ
为梯度 ∇f
(x,
y)
=
⎧ ∂z
⎨ ⎩
∂x
,
∂z ∂y
⎫ ⎬ ⎭
与
u
的夹角，所以当
θ
=
0 时方向导数最大，即沿梯度方
向函数上升最快．因为
∂z = −6x, ∂x
∂z = −4 y, ∂y
则 ∇f (1, −2) = {−6,8} ，取 u = {−6,8} ，u0 = {− 3 , 4} ．因此，在点 P 处沿向量 u = {−6,8} 方 55
又 u0 = 3 i − 4 j ，故 55
Du
f (1, 0) =
fx′(1, 0) cosα
+
f y′(1, 0) cos β
=
1×
3 5
+
2
×
⎛ ⎜⎝
−
4 5
⎞ ⎟⎠
=
−1
．
例 2 求函数 f (x, y, z) = x2 cos y + e− y ln ( x + z ) 在点 (−1, 0, 2) 处沿从该点到 (1, 2,1) 的
处，此时登山者往何方向攀登时坡度最陡？ 解 由方向导数的几何意义知，坡度最陡的方向为高度函数变化最快的方向，即求使函
数 z = 15 − 3x2 − 2 y2 在点 (1, −2) 处的方向导数最大的方向 u ．因为
Du f (x, y) = ∇f (x, y) ⋅u0 = ∇f (x, y) ⋅ cosθ
§10.4 方向导数与梯度、海赛矩阵及泰勒公式
10.4.1 方向导数与梯度
1．方向导数的概念
偏导数反映的是多元函数沿坐标轴方向的变化率．对于二元函数 z = f (x, y) ，有
fx′( x0 ,
y0 )
= lim h→0
f
( x0
+ h, y0 ) −
h
f
( x0,
y0 )
，
f y′ ( x0 ,
⋅
u0
.
上述两个点积形式中，各出现了一个重要的向量：
⎧ ⎨ ⎩
∂f ∂x
,
∂f ∂y
⎫ ⎬ ⎭
与
⎧ ⎨ ⎩
∂f ∂x
,
∂f ∂y
,
∂f ∂z
⎫ ⎬ ⎭
，我们分别称
它们为二元函数 f (x, y) 与三元函数 f (x, y, z) 的梯度（梯度向量），记作 grad f 或 ∇ f ，即
∇
f
(x,
y)
向攀登时坡度最陡．
-2
-1
2 0
0 1 2
y
-2
4
15
2
10
0
o
x
5
-2
(1, −2)
0
-4
-4
-2
0
2
4
图 10.4.4 例 4 示意图
从图 10.4.4 中看出，登山者沿梯度方向攀登时坡度最陡，高度上升最快，梯度方向与等值
线垂直．但如果从点 P(1, −2) 处沿梯度方向 u = {−6,8} 到达另一点 Q ，仍然沿方向 u 攀登，
=
⎧ ∂f
⎨ ⎩
∂x
,
∂f ∂y
⎫ ⎬ ⎭
=
∂f ∂x
i
+
∂f ∂y
j,
∇f
(x,
y,
z)
=
⎧ ⎨ ⎩
∂f ∂x
,
∂f ∂y
,
∂f ∂z
⎫ ⎬ ⎭
=
∂f ∂x
i
+
∂f ∂y
j
+
∂f ∂z
k.
这样，公式（10.4.3）与（10.4.4）可分别写成
Du f (x, y) = ∇f (x, y) ⋅u0,
为 u 对应的单位向量，则 f (x) 在点 x 处沿 u 的方向导数定义为
f (x + hu) − f (x)
Du
f
(x)
=
lim
h→0
h
．
函数 f (x) 在点 x 处的梯度定义为
（10.4.7）
155
∇f
(x)
=
⎧ ⎨ ⎩
∂f ∂x1
,
∂f ∂x2
,L ,
∂f ∂xn
⎫ ⎬ ⎭
．
（10.4.8）
（10.4.5）
Du f (x, y, z) = ∇f (x, y, z) ⋅u0. 这表明，方向导数是函数梯度在方向向量 u 上的投影．
（10.4.6）
例 3 求 函 数 f (x, y) = x2 y + 2 y 在 点 (2, −1) 处 的 梯 度 以 及 函 数 在 该 点 处 沿 方 向
=
⎧2 ⎨
,
2
,
−
1⎫ ⎬
．于是
⎩3 3 3⎭
Du f (−1, 0, 2) = fx′(−1, 0, 2) cosα + f y′(−1, 0, 2) cos β + fz′(−1, 0, 2) cosγ
153
=
−1×
2 3
+
0×
2 3
+
1×
⎛ ⎜⎝
−
1 3
⎞ ⎟⎠
=
−1．
3. 梯度向量的定义
公式（10.4.3）与（10.4.4）中的方向导数可以写成如下两个点积形式：
h→0
h
即 Du f ( x0 , y0 ) ．
特别地， fx′( x0 , y0 ) 与 f y′ ( x0 , y0 ) 分别为函数 f (x, y) 在点 P ( x0 , y0 ) 处沿两坐标轴方向
i = {1, 0} 及 j = {0,1}的方向导数．所以，方向导数是偏导数的推广．
y u Q(x, y) h>0
方向的方向导数．
解
由
f
′
x
=
2x cos
y+
e− y x+z