4-泊松过程
泊松过程的性质
到达时刻的分布
01
到达时刻的分布是均匀分布。在泊 松过程中，到达时刻的概率密度函 数为$f(t) = lambda e^{-lambda t}$，其中$t$是到达时刻。
02
到达时刻的期望和方差分别为 $E(T) = frac{1}{lambda}$和 $Var(T) = frac{1}{lambda^2}$ 。
泊松过程的性质
目录
CONTENTS
• 泊松过程的定义 • 泊松过程的性质 • 泊松过程的统计特性 • 泊松过程的扩展和推广 • 泊松过程的应用
01
CHAPTER
泊松过程的定义
泊松过程的基本概念
01
02
03
随机性
泊松过程是一种随机过程， 其事件的发生具有随机性。
独立性
泊松过程中，任意两个不 相交的时间区间内发生的 事件相互独立。
马尔科夫到达过程是一 种特殊的泊松过程，其 中事件的发生概率只与 当前状态有关，而与过 去的状态无关。
在马尔科夫到达过程中 ，事件的发生是一个马 尔科夫链的过程，即下 一个事件的发生概率只 取决于当前事件是否发 生，而与之前的事件无 关。这种过程具有无记 忆性。
马尔科夫到达过程的数 学表达通常使用马尔科 夫链和概率论，通过状 态转移概率和转移矩阵 来描述。
平稳性
总结词
平稳性是指泊松过程的事件发生频率与时间无关，即单位时间内发生的事件数 是一个常数。
详细描述
在泊松过程中，事件的发生频率是恒定的，不随时间的推移而改变。这意味着 在任意一个固定的时间间隔内，事件发生的次数是一个随机变量，但其均值等 于单位时间间隔内的事件发生率。
无后效性
总结词
无后效性是指泊松过程中，过去的事件不会影响未来的事件。
泊松过程poisson
研究如何将泊松过程与其他 随机过程进行更有效的结合，
以更好地描述复杂现象。
探索如何利用机器学习方法改 进泊松过程的参数估计和模型 选择，以提高模型的预测能力
和解释性。
THANKS
泊松分布的性质
泊松分布具有指数衰减的性质， 即随着时间的推移，事件发生的
概率逐渐减小。
泊松分布的期望值和方差都是参 数λ（λ > 0），即E(X)=λ， D(X)=λ。
当λ增加时，泊松分布的概率密 度函数值也增加，表示事件发生
的频率更高。
泊松分布的应用场景
通信网络
泊松分布用于描述在一定 时间内到达的电话呼叫或 数据包的数量。
生物信息学中的泊松过程
在生物信息学中，泊松过程用于描述基因表达、蛋白质相互 作用等生物过程中的随机事件。例如，基因表达数据可以用 泊松过程来分析，以了解基因表达的模式和规律。
通过泊松过程，生物信息学家可以识别出与特定生物学功能 或疾病相关的基因，为药物研发和个性化医疗提供有价值的 线索。
06 泊松过程的扩展与展望
交通流量分析
泊松分布用于描述在一定 时间内经过某个地点的车 辆数量。
生物学和医学研究
泊松分布可以用于描述在 一定时间内发生的事件数 量，例如基因突变或细菌 繁殖。
04 泊松过程的模拟与实现
离散时间的模拟
01
定义时间间隔
首先确定模拟的时间区间，并将其 划分为一系列离散的时间点。
随机抽样
使用随机数生成器，在每个时间间 隔内随机决定是否发生事件。
有限可加性
在有限的时间间隔内，泊松过 程中发生的事件数量服从二项
分布。
与其他随机过程的比较
与马尔可夫链的比较
泊松过程
i 1
i
设 E[ X n ] ，由于Xn为非负随机变量且不恒为0，所以 有 0 。 因为Sn代表n次更新所花费的时间，则 N (t ) sup{n; Sn t}
由于>0，故当n∞时，要求Sn 趋于∞；反之，若Sn∞， 必然要求n ∞ ，这就说明在有限长的时间内只能出现 有限次更新。 t 有限时：
§4.4 泊松过程
一、计数过程 1、定义：在[0,t]内出现事件A的总数所组成的过程{N(t), t≥0}称为计数过程。计数过程{N(t), t≥0}应满足下列条件： （1） N(t) ≥0； （2） N(t) 一个是正整数； （3）如果两个时刻s,t, 且s<t, 则N(s)≤N(t)。 （4）对于s < t，N(t)-N(s)代表在时间间隔[s,t]内出 现事件A的次数。
[t 2、设有 t1 t 2 t3 t 4 ， 1 , t 2 )和[t 3 , t 4 ) ，是两个不相交 的时间间隔，若 [ N (t 2 ) N (t1 )]与[ N (t 4 ) N (t3 )] 相互统计 独立，则N(t)为独立增量计数过程。
3、若 [ N (t s) N (t )] 仅与s有关而与t无关，则称N(t)为 平稳增量计数过程。
由福克-普朗克方程可得： dp j (t ) j 1 p j 1 (t ) ( j j ) p j (t ) j 1 p j 1 (t ) dt 直接求解以上方程组比较困难，一般仅讨论平稳分布， t∞时的极限情况。 二、排队和服务问题 1、基本概念：任何排队过程包括三个不同的历程： 1）到达过程 2）排队过程 3）服务过程 排队服务系统一般用G1/G2/n/m 表示，其中： G1— 顾客到达服从G1分布； G2—服务时间服从G2分布；n — 服务员数目；m —顾客排队容许长度（或系统容量），m = ∞时不写出，为等待制系统。
随机过程-4泊松过程性质1
• 定义2.12 如果随机变量X 的密度函数为
f
(
x)
e
x
,
x0
0, x 0
• 其中 > 0 为常数，则称 X 服从 参数为的 指数分布，记作X~Exp()
指数分布的密度函数图像：
y
1.4
1.2
f
(
x)
e x
,
x0
1
0, x 0
0.8
2.3.4 几何和指数随机变量的分布函数
指数分布的分布函数：
指数分布的密度函数为：f
(
x)
e
x
,
x0
0, x 0
当 x 0 时， F(x) P(X x) 0
当
x0
时， F ( x) P( X x)
x e t dt
0
e t
|0x
• 例 进入银行，你发现有3个营业员在服务客 户，而且没有其他人在排队等待。假设你 的服务时间和正在接受服务的客户的服务 时间都是具有相同参数的指数分布，且相 互独立。那么你是最后一个离开银行的概 率是多少？
• 答案是1/3.从你开始接受一名营业员服务的 那一刻算起，另两名正在接受服务的顾客 还需要的服务时间，与你所需的服务时间 具有相同的分布。另外两位顾客虽然比你 早接受服务，但由于泊松过程的无记忆性， 他们与你处于同一起跑线上，不算以前的 服务时间，三人所需的服务时间的分布是 相同的。所以你和其他2人具有相同的概率 最后离开银行。
fWn
(t)
e
t
(t)n1 , t
(n 1)!
泊松过程
泊松过程一种累计随机事件发生次数的最基本的独立增量过程。
例如随着时间增长累计某电话交换台收到的呼唤次数，就构成一个泊松过程。
泊松过程是由法国著名数学家泊松（Poisson, Simeon-Denis）（1781—1840）证明的。
1943年C.帕尔姆在电话业务问题的研究中运用了这一过程，后来Α.Я.辛钦于50年代在服务系统的研究中又进一步发展了它。
Poisson过程（Poisson process，大陆译泊松过程、普阿松过程等，台译卜瓦松过程、布瓦松过程、布阿松过程、波以松过程、卜氏过程等），是以法国数学家泊松（1781 - 1840）的名字命名的。
泊松过程是随机过程的一种，是以事件的发生时间来定义的。
我们说一个随机过程N(t) 是一个时间齐次的一维泊松过程，如果它满足以下条件：在两个互斥（不重叠）的区间内所发生的事件的数目是互相独立的随机变量。
在区间内发生的事件的数目的概率分布为：其中λ是一个正数，是固定的参数，通常称为抵达率（arrival rate）或强度（intensity）。
所以，如果给定在时间区间之中事件发生的数目，则随机变数呈现泊松分布，其参数为。
更一般地来说，一个泊松过程是在每个有界的时间区间或在某个空间（例如：一个欧几里得平面或三维的欧几里得空间）中的每一个有界的区域，赋予一个随机的事件数，使得•在一个时间区间或空间区域内的事件数，和另一个互斥（不重叠）的时间区间或空间区域内的事件数，这两个随机变数是独立的。
•在每一个时间区间或空间区域内的事件数是一个随机变数，遵循泊松分布。
（技术上而言，更精确地来说，每一个具有有限测度的集合，都被赋予一个泊松分布的随机变数。
）泊松过程是莱维过程（Lévy process）中最有名的过程之一。
时间齐次的泊松过程也是时间齐次的连续时间Markov过程的例子。
一个时间齐次、一维的泊松过程是一个纯出生过程，是一个出生-死亡过程的最简单例子。
概率与数理统计4.泊松过程
如此重复 ,一般地可得到
Pk ( t0 , t ) P{ N ( t0 , t ) k }
[ ( t t 0 )]k ( t t0 ) e , t t 0 , k 0,1,. k!
小结
增量 N ( t0 , t ) N ( t ) N ( t0 ) 的概率分布是参数 为 ( t t0 ) 的泊松分布, 且只与时间差t t0有关 ;
j2 k k
j2
所以 Pk ( t 0 , t t ) P j ( t , t t ) Pk j ( t 0 , t )
j 0
[1 t o( t )]Pk ( t0 , t ) [t o( t )]Pk 1 ( t0 , t ) o( t ) , k 1.
当 i 2 时, 第 i 1 个质点出现在时刻 t i 1 的条件下, Ti 的条件分布函数
FTi ti 1 ( t t i 1 ) P {Ti t t i 1 t i 1 }
P{ N ( t i 1 t ) N ( t i 1 ) 1 N ( t i 1 ) i 1}
k 0
P0 ( t , t t ) 1 P1 ( t , t t ) Pk ( t , t t )
k 2
1 t o(t ).
当 t 0 时 , 先计算 P0 ( t 0 , t ) .
P0 ( t0 , t t ) P{ N ( t0 , t t ) 0} P{ N ( t0 , t ) N ( t , t t ) 0} P{ N ( t0 , t ) 0, N ( t , t t ) 0},
P{ N ( t i 1 t ) N ( t i 1 ) 1} 1 P{ N ( t i 1 t ) N ( t i 1 ) 0}
泊松过程
泊松过程泊松过程是随机过程的一个经典模型，是一种累积随机事件的发生次数的独立增量过程。
也就是说，每次事件的发生是相互独立的。
那么泊松分布和泊松过程又什么关系呢？可以说泊松分布是描述稀有事件的统计规律，即可以描述一段时间内发生某个次数的概率。
而泊松过程呢，就适合刻画“稀有事件流”的概率特性。
比较：泊松分布泊松过程的主要公式：其实没多少不一样对不对？不一样的是泊松过程是一个可以查看在时间t内发生次数的概率，这个t是可变的。
泊松分布则是给定了时间。
泊松过程的关键在于，它的到达间隔序列Tn，即每两次发生的时间是服从的独立同指数分布的。
如果每次发生的间隔时间不服从指数分布，那么这个随机过程就会更一般化，我们成为是更新过程，这也是随机过程的推广。
泊松过程分为齐次泊松过程和非齐次泊松过程，齐次的意思很简单，就是说过程并不依赖于初始时刻，强度函数是一个常数，从上面的公式也看得出来。
而非齐次则是变成了,这意味着什么呢？这以为着随着与时间的改变，强度是会改变的，改变服从强度函数，说了这么久，强度究竟是个什么概念？强度的意思就是泊松过程的该事件发生的频率，或者说快慢，泊松分布中我们知道期望就是,实际含义就是，在一段时间内，发生的次数平均水平是次。
复合泊松过程：泊松过程我们已经知道，用描述一段时间累积发生的次数，但是如果每次发生带来的后果都是不一样的，我们怎么描述这个过程呢？比如，火车站到达的乘客是服从泊松过程的，但是每个乘客携带有不同重量的行李，我们如何刻画在[0,t]时间内行李总重量呢，这个过程就是复合泊松过程。
复合泊松过程的均值函数和方差函数一般可以用全期望和全方差公式进行计算，因为简单泊松过程的期望很容易求。
更新过程：上文已经说到，更新过程作为泊松过程的推广，更具有一般性，那么在讨论更新过程时，我们更多地讨来更新函数，更新函数是更新过程的均值函数m(t)=E[N(t)]，怎么理解呢，就是说需要用t时刻的累积计数的期望特性来表达更新过程。
泊松过程资料
05
泊松过程的未来研究方向
泊松过程在新兴领域的应用前 景
• 新兴领域的泊松过程应用 • 如人工智能、大数据等领域，泊松过程可以用于分析和优化事 件驱动的随机过程 • 如物联网、车联网等领域，泊松过程可以用于分析和优化信息 传输和信号干扰等随机过程
泊松过程的理论研究进展
• 泊松过程的理论研究进展 • 如高维泊松过程、非齐次泊松过程等，拓展泊松过程的理论研 究范围 • 如泊松过程的极限理论、泊松过程的稳定性理论等，深入研究 泊松过程的性质和规律
泊松过程的性能评估
泊松过程的性能评估
• 对泊松过程的控制和优化效果进行评估，如服务效率、等待时间等 • 可以用来指导泊松过程的控制和优化，如改进控制策略、优化资源分配等
泊松过程性能评估的实例
• 服务效率评估：通过比较控制前后的服务效率，评估控制策略的效果 • 等待时间评估：通过比较控制前后的等待时间，评估控制策略的效果
泊松过程：概念与应用
DOCS SMART CREATE
CREATE TOGETHER
DOCS
01
泊松过程的定义
• 是一个随机过程，表示在固定时间间隔内发生随机事件的次数 • 事件是相互独立的，且在每个时间间隔内发生的概率相同
泊松过程的性质
• 事件发生的概率分布服从泊松分布 • 在小时间间隔内，事件发生的概率与时间间隔成正比 • 泊松过程的均值和方差与时间间隔的长度成正比
泊松分布的概率质量函数
泊松分布的概率质量函数
• 表示在固定时间间隔内发生k次事件的概率 • 形式为：P(X=k) = (e^(-λt) * λ^k) / k!，其中X表示事件发生的次数，λ表示事件 发生的平均速率，t表示时间间隔的长度
泊松分布的性质
泊松过程
pk (t +h) −pk (t) o(h) , = −λpk (t) +λpk−1(t) + h h pk'(t) = −λpk (t) + λpk−1(t) h ,(k = 0,1,2,L ) 令 →0得 ， pk (0) = P{N(0) = k} = 0
k=1时 k=1时, p1'(t) = −λp1(t) + λe−λt p1(0) = 0 解得： (t)＝ 所以k=1时结论成立。 k=1时结论成立 解得：p1(t)＝λte-λt，所以k=1时结论成立。
(λt)k−1 −λt e 。 假设k-1时结论成立， pk−1(t) = 假设k 时结论成立， (k −1)! pk'(t) = −λpk (t) + λpk−1(t) (λt)k −λt 解 , 得 pk (t) = e 。 pk (0) = 0 k!
结论成立。 结论成立。 由归纳法知，对一切k=0,1,2, k=0,1,2,…，结论成立。 由归纳法知，对一切k=0,1,2, ，结论成立。 (λt)k −λt 得证
j=0
k
k
{N(t) = j}P N(h = k − j} { ) = ∑P
) ) ) p ) = ∑pj(t)pk−j(h = pk(t)p0(h +pk−1(t)p1(h + ∑ j(t)pk−j(h
j=0 j=0
j=0 k
k−2
(t)[1(t)[λh+o(h)]+o(h)， ＝pk(t)[1-λh+o(h)]+pk-1(t)[λh+o(h)]+o(h)，
定义3 如果取非负整数值得计数过程{N(t),t 0}满足下列 {N(t),t≥ 定义3 如果取非负整数值得计数过程{N(t),t≥0}满足下列 条件： 条件： N(0)＝ a) N(0)＝0； 具有独立增量； b) 具有独立增量； P{N(h)=1}＝ h+0(h)； c) P{N(h)=1}＝λh+0(h)； P{N(h)≥2}＝ d) P{N(h)≥2}＝0(h) 则称{N(t),t 0}为参数(或平均率、强度) {N(t),t≥ 齐次) 则称{N(t),t≥0}为参数(或平均率、强度)为λ的(齐次)泊 松过程。 松过程。 考虑某一电话交换台在某段时间接到的呼唤.令 例1 考虑某一电话交换台在某段时间接到的呼唤 令X(t)表 表 示电话交换台在(0,t]内收到的呼唤次数 则{X(t),t≥0}满足定义 内收到的呼唤次数,则 满足定义3 示电话交换台在 内收到的呼唤次数 ≥ 满足定义 的条件, 是一个泊松过程. 的条件 故{X(t), t≥0}是一个泊松过程 ≥ 是一个泊松过程 考虑到某车站售票窗口购买车票的旅客,若记 若记X(t)为在时间 例2 考虑到某车站售票窗口购买车票的旅客 若记 为在时间 [0,t]内到达售票窗口的旅客数 则{X(t),t≥0}为一泊松过程 内到达售票窗口的旅客数,则 内到达售票窗口的旅客数 ≥ 为一泊松过程
第五节 泊松过程
－泊松过程 －最简单的事件流——泊松流 －泊松流的性质
1
1 泊松过程
泊松过程是一种恒定增长率的纯增过程。
Q 0
0 ...
k= k=0
泊松过程是一种计数过程，例如对到达的顾客进行计数。 各个状态的增长率是稳定的，说明顾客到达的事件流是 平稳的
7
2 泊松流
随机事件流 通常把在随机时刻出现的事件序列称为 随机事件流。 泊松流 如果事件发生的个数为泊松过程的增长 规律，则此事件流为泊松流，为泊松流 的强度
时间
t
k!
k
e t
8
2 泊松流
泊松流＝最简单事件流，特点为
平稳性。在任何一段长度为t的时间区间内，出现任 意数量事件的概率只与t有关，而与t所处的位置 （或与起始时刻）无关。记λ为平稳流的强度。 无后效性（又称无记忆性或者马氏性）。在互不相 交的两时间区间T1、T2内所出现的事件数是相互独 立的。 普通性。在同一瞬间，多于一个顾客出现的概率 （或同时到达系统有两个或两个以上顾客的概率） 可忽略不计。
t
10
3 泊松流的性质
负指数分布与泊松流的密切关系 随机时间到达的间隔时间相互独立且服从同一 参数为的负指数分布，则这样的随机事件流 就是泊松流，强度为 定理5.1 设1,2, …k,…表示相继到达的随机事 件的间隔时间，假定它们服从同一负指数分布， 参数为，则在(0,t]时间内到达的随机事件数 N(t)服从泊松分布，即：
4
1 泊松过程
pi,i(0)=1，0时间内系统中顾客数增长0个 pi,i+k(t)表示t时间后系统中顾客数增加了k个的概 率，也就是在t时间内到达了k个顾客的概率
4-1 泊松过程
t
独立增量过程具有马尔可夫特性
定 平稳增量过程（或齐次增量过程）：在时间间隔 (t, t+s) 义 内的增量[N(t+s)-N(t)] 仅不 s 有关而不 t 无关；
泊松过程
定 若计数过程N(t)满足下列假设： 义 1. 从t=0起开始观察事件，即N(0)=0
2. N(t)为独立增量过程 3. N(t)为平稳增量过程
P0(t) e λ t
即：
Pn (t Δt) Pn (t) o(Δt) Pn (t)λ Pn1 (t)λ Δt Δt
取极限：
d P (t) λ Pn (t) λ Pn1 (t) dt n
P0(t) e λ t
则：
P1(t) λ t e λ t
P{N(t) 0,N(t dt) N(t) 1} P{N(t) 0} P{N(t dt) N(t) 1}
概率密度函数 PDF： fS1(t) = F'S1(t) = λe
e λt (λdt o(dt))
相关问题(2) ：第 n 次发生时间 Sn 的PDF
P1 (Δt) λΔt o(Δt)
P (Δt) o(Δt)
k 1 k
泊松过程的分布特征 P (Δt) o(Δt) P (Δt) 1 λΔt o(Δt) P (Δt) λΔt o(Δt)
0
1
k 1
k
Pn(t) P{N(t t0 ) N(t0 ) n}=？ 0
n 0
s1
二阶矩： E N(t)
2
n2Pn(t) ds s ds Φ(s)s1 n 0
泊松过程
泊松过程泊松过程是指一种累计随机事件发生次数的最基本的独立增量过程。
例如随着时间增长累计某电话交换台收到的呼唤次数，就构成一个泊松过程。
泊松过程是由法国著名数学家泊松（1781—1840）证明的。
1943年C.帕尔姆在电话业务问题的研究中运用了这一过程，后来Α.Я.辛钦于50年代在服务系统的研究中又进一步发展了它。
泊松过程是随机过程的一种，是以事件的发生时间来定义的。
我们说一个 随机过程 N(t)是一个时间齐次的一维泊松过程，如果它满足以下条件：在两个互斥（不重迭）的区间内所发生的事件的数目是互相独立的随机变量。
在区间[t,t + τ]内发生的事件的数目标机率分布为：其中λ是一个正数，是固定的参数，通常称为抵达率（arrival rate）或强度（intensity）。
所以，如果给定在时间区间[t,t + τ]之中事件发生的数目，则随机变量N(t + τ) - N(t)呈现泊松分布，其参数为λτ。
更一般地来说，一个泊松过程是在每个有界的时间区间或在某个空间（例如：一个欧几里得平面或三维的欧几里得空间）中的每一个有界的区域，赋予一个随机的事件数，使得在一个时间区间或空间区域内的事件数，和另一个互斥（不重迭）的时间区间或空间区域内的事件数，这两个随机变量是独立的。
在每一个时间区间或空间区域内的事件数是一个随机变量，遵循泊松分布。
（技术上而言，更精确地来说，每一个具有有限测度的集合，都被赋予一个泊松分布的随机变量。
） 考虑一个泊松过程，我们将第一个事件到达的时间记为T1。
此外，对于n>1，以Tn记在第n-1个事件与第n个事件之间用去的时间。
序列{Tn,n=1,2,...}称为到达间隔时间列。
Tn(n=1,2,...)是独立同分布的指数随机变量，具有均值1/λ。
Definition of the Poisson processWe describe the situation by the counting process N(t), t > 0, which counts the number of events that have occurred between time 0 and time t. Our model has a single parameter, λ > 0, which isthe average arrival rate per unit time. Before defining the model formally, we make some preliminary calculations based on the following three natural assumptions:• The probability of an event occurring in a short interval of time [t,t+h] is λh+o(h) as h → 0.• The probability of two or more events occurring in interval [t, t + h] is o(h) as h → 0.• The numbers of events occurring in disjoint time intervals are independent.Examples:1.Insurance claims. Insurance companies often model customers’ claims using renewalideas. In this case the interarrival distribution is a crucial element of the calculation ofwhat insurance premium to charge.2.Counter processes. Many devices can be described as counters in that they attempt torecord the occurrence of successive signal pulses impinging on some instrument. Forexample Geiger counters for recording ionization events, or scintillation counters forrecording passage of a subatomic particle.3.Traffic flow. The times at which successive cars pass a monitoring station on a longsingle- lane road can be modelled as a renewal process. Much more generally, any sort of “traffic” can fit a similar model, such as data packets arriving at a server across a network connection. Questions of congestion can be answered using renewal theory and therelated theory of queues.4.Inventory systems. A large department store needs to know how much stock of aparticular item to hold, and a schedule for replenishment. The pattern of demands canoften be modelled as a renewal process.In any of these or other similar situations in which events occur randomly in time at some uniform average rate, an assumption of ‘total randomness’ leads to the Poisson process as a model.。
4-泊松过程
n kn1
k1 !(k2 k1 )!(kn kn 1 )!
12
二、泊松过程的数字特征与一维特征函数
设 {N (t ), t 0} 是强度为 的泊松过程，则
1. 均值函数 mN (t ) E( N (t )) t 2. 方差函数 DN (t ) D( N (t )) t
[例1] 设 N (t )为[0,t)时段内某电话交换台收到的
呼叫次数， t [0, )，N (t ) 的状态空间为 {0,1, 2,}，
且具有如下性质： （1） N (0) 0，即初始时刻未收到任何呼叫； （2）在[t,s)这段时间内收到的呼叫次数只与 时间间隔s-t有关，而与时间起点t无关； （3）在任意多个不相重叠的时间间隔内收到
注:(4)中实际上假设了在足够小的时间间隔 内出现一个质点的概率与时间间隔成正比，而 出现质点数不少于2的概率是关于时间间隔的 高阶无穷小——这一般是与实际情况相吻合的。
思考：试举个例子是计数过程而不是泊松过程。
9
[定理1]设 {N (t ), t T [0, )}是一强度为 的泊 松过程，则对任意固定的 t 0，N (t ) 服从泊松 一维分布 分布 (t ) ，即 k
P{N (t1 ) N (0) k1, N (t2 ) N (t1 ) k2 k1,, N (tn ) N (tn1 ) kn kn1}
P{N (t1 ) N (0) k1} P{N (t2 ) N (t1 ) k2 k1} P{N (tn ) N (tn 1 ) kn kn 1}
2 1
则称{N (t ), t T [0, )}是强度为 的泊松过程。
k!
泊松过程日常应用
泊松过程模型及实际应用分析泊松过程模型及实际应用分析摘要：一种累计随机事件发生次数的最基本的独立增量过程。
例如随着时间增长累计某电话交换台收到的呼唤次数，就构成一个泊松过程。
作为计数过程的一种重要数学模型，还是众多重要随机过程的特例。
适用于描述单位时间（或空间）内随机事件发生的次数。
在日常生活中有着众多应用。
关键词：泊松过程；模型；实际应用；0引言：在日常生活及工程技术领域中，常常需要考虑这样一些问题，即研究在一定时间间隔[0,t)内某随机事件出现次数的统计规律。
如：在固定时间间隔[0,t)内，经过某路口的车辆数；到某商店的顾客数；某电话总机接到的呼唤次数；在电子技术领域中的散粒噪声和脉冲噪声；数字通信中已编码信号的误码数等。
这类过程可以通过泊松过程来进行分析。
1泊松过程的一般概念现假设X(t)满足如下条件：（1） 在不相重叠的区间上的增量具有独立性； （2） 对于充分小的∆t ，P 1 t ,∆t =P N t,t +∆t =1 =λ∆t +o(∆t)其中常数称为λ过程X(t)的强度，而o(∆t)当∆t →0时是关于∆t 的高阶无穷小； （3） 对于充分小的∆t ，P J t ,t +∆t = P N t ,t +∆t =j =λ∆t +o(∆t),∞j =2∞j=2亦即对于充分小的∆t ，在 t,t +∆t 内出现2个 或2个以上质点的概率与出现一个质点的概率相比可以忽略不计； （4） X (0)=0。
我们把满足以上4个条件的技术过程{X(t),t≥0}称作强度为的λ泊松过程。
2泊松过程模型设随机过程X (t )，，其状态只取非负整数值，若满足下列三个条件： （1）（2）X （t ）为均匀独立增量过程；[)00,(0)t t t ∈∞≥0{()0}1P t X ==（3）对任意时刻t 1，t 2∈[t 0,∞)，t 2<t 1，相应的随机变量的增量服从数学期望为的泊松分布，即对于k=0,1,2,….,有其中，则称为泊松过程。
泊松过程
3.1泊松过程的实际模型和数学模型
若将“接待一位顾客”，“到达一次呼唤”，“维 修一台”
机器”，“接收一个粒子”，“发现一个误码”“通 过一辆汽车”等都作为一个“随机点”,则这种源源 不断出现的随机点的过程就称为随机点过程。如果计 算在某一段时间内出现的随机点数目，这个数目也是 随机的，它随着这段时间的延伸而不断变化，则称这 个变化的过程为伴随着随机点过程的计数过程。泊松 过程是一类特殊的计数过程。 下面给出泊松过程的定义及其数学模型。
P , Xt h Xt0 XtX0n P , Xt h Xt1 XtX0n1 P XtX0nj,Xt hXt j
j 2
n 1 P t 1 h h P t h 1 h h h n n 1
P t hP t h 0 0 所 以 P t P t 0 0 h h
取 h 0 的 极 限 ， 得
所 以 l n P t tC ,P t C e
t 0 1 0
P t P t, 且 P 0 P X 0 0 1 0 0 0
t
n
P n t
t
n!
n
et
3.1泊松过程的实际模型和数学模型
由 数 学 归 纳 法 知 ： P t n
由 条 件 （ 2 ） 有 ：
t e
n !
n t
P X t s s n P X t X 0 n X P X t n P t n
3.1泊松过程的实际模型和数学模型 定 义 3 . 3 （ 泊 松 过 程 ） 称 计 数 过 程 X t , t 0
泊松过程ppt课件
一般情况下，泊松过程的协方差函数可表示为
BX(s,t)mis,n t)(
时间间隔Tn的分布
设{X(t),t≥0}是泊松过程，，令X(t)表示t时刻事件 A发生的次数，Tn表示从第（n-1）次事件A发生 到第n次事件A发生的时间间隔。
解：
复合泊松过程
定义3.5：
设{N(t),t≥0}是强度为λ的泊松过程， {Yk,k=1,2,…}是一列独立同分布随机变量， 且与{N(t),t≥0}独立，令
N(t)
X(t) Yk, t 0 k1
则称{X(t),t≥0}为复合泊松过程。
N(t)
在时间段(0,t]内来到商店的顾客数
Yk
第k个顾客在商店所花的钱数
1、两分钟内接到3次呼叫的概率。 2、第二分钟内接到第3次呼叫的概率。
作业 3.1, 3.3, 3.5
例题3.6
设{X1 (t),t ≥0}和{X2 (t),t ≥0}是两个相互独立的
泊松过程，它们在单位时间内平均出现的事件
数分别为λ1和λ2，记 为W k(过1) 程X1(t)的第k次事
件到达时间， 为W1过(2) 程X2(t)的第1次事件到达
时间，求
P{Wk(1) W1(2)}
解：
非齐次泊松过程
0s t 其它
设{X(t),t≥0}是泊松过程，已知在[0,t]内事件A 发生n次，求这n次到达事件W1<W2, …<Wn的 联合概率密度函数。
解：
例题3.4
设在[0,t]内事件A已经发生n次，且0<s<t，对 于0<k<n，求P{X(s)=k|X(t)=n}
4第三章泊松过程
定义3.3： 定义 ： 称计数过程{X(t),t≥0}为具有参数λ>0的泊松过 为具有参数 称计数过程 为具有参数 的泊松过 若它满足下列条件： 程，若它满足下列条件： 1. X(0)=0； ； 2. X(t)是独立、平稳增量过程； 是独立、平稳增量过程； 是独立 3. X(t)满足下列两式： 满足下列两式： 满足下列两式
解：
W1(2)
y y
W1(2)
合
y
非齐次泊松过程
定义3.4： 允许速率或强度是t的函数 定义 ： 允许速率或强度是 的函数 称计数过程{X(t),t≥0}为具有跳跃强度函数 为具有跳跃强度函数 称计数过程 为具有 λ(t)的非齐次泊松过程，若它满足下列条件： (t)的非齐次泊松过程，若它满足下列条件： 的非齐次泊松过程 1. X(0)=0； X(0)=0； X(t)是独立增量过程 是独立增量过程； 2. X(t)是独立增量过程； 3. P{ X (t + h) − X (t ) = 1} = λ (t )h + o(h) 非齐次泊松过程的均值函数为 非齐次泊松过程的均值函数为 均值函数
等待时间Wn的分布
等待时间W 是指第n次事件 出现的时刻(或第 次事件A出现的时刻 等待时间 n是指第 次事件 出现的时刻 或第 n次事件 的等待时间 次事件A的等待时间 次事件 的等待时间)
n
=
∑
n
Ti
i=1
因此W 个相互独立的指数分布随机变量之和。 因此 n是n个相互独立的指数分布随机变量之和。 个相互独立的指数分布随机变量之和
定理3.2： 定理 ： 为具有参数λ的泊松过程 设{X(t),t≥0}为具有参数 的泊松过程，{Tn,n≥1} 为具有参数 的泊松过程， 是对应的时间间隔序列，则随机变量T 是对应的时间间隔序列，则随机变量 n是独立 同分布的均值为1/λ的指数分布。 同分布的均值为 的指数分布。 对于任意n=1,2, …事件 相继到达的时间 事件A相继到达的时间 即:对于任意 对于任意 事件 间隔T 间隔 n的分布为
随机过程4-4泊松过程及其性质
P{ X 2 t | X1 s} P{ X (s t ) X (s) 0} et
因而 X2 亦是参数 的负指数分布，且与 X1 独立。
所以它不是平稳过程。
第4章 马尔科夫过程
第14页
例 顾客到达某商店服从参数 λ=4 人/小时的泊松过程， 已知商店上午9：00开门，试求到9：30时仅到一位顾 客，而到11：30时总计已达5位顾客的概率。
解 设 X (t) 表示在时间 t 时到达的顾客数,
P( X (0.5) 1, X(2.5) 5)
P( X (0.5) 1, X (2.5) X(0.5) 4)
P(X(0.5) 1)P( X(2) 4)
(4 0.5)1 e40.5 (4 2)4 e42
1!
4!
0.0155
运用同样的方法可证 Xn 服从参数 的负指数分布，
且与 X1 , X 2 , ..., X n1 独立，于是定理得到证明。
第4章 马尔科夫过程
第13页
我们不加证明地指出，上述定理的逆亦是成立的，即有 下面的定理。
定理3 设 X(t) 是具有负指数间隔的计数过程，则它是泊 松过程。
最后指出，泊松过程的数学期望 E[X (t)] t 。
随机变量 X i 服从参数 的负指数分布，
即 X i 的分布密度为
ex , x 0
f (x)
0, x 0
其中 0 .如果从零时刻起算， X1 理解为第一个“事件”
的发生时刻，X2 理解为第一个“事件”发生与第二个“事件”
发生的相隔时间，
X
41泊松过程的定义
pk
(t)
=
(λt)k k!
e−λt ,k
=
0,1,2,"
(1)k=0，p0 (t+h)＝P{N(t+h)=0} ＝P{N(t)=0,N(t+h)-N(t)=0}
＝P{N(t)=0}P{N(t+h)-N(t)=0}
因为
＝p0 (t)[1-λh+o(h)]
令h
→
0得，⎩⎨⎧pp
0 0
'(t) = (0) =
j=0
j=0
＝pk (t)[1-λh+o(h)]+pk-1 (t)[λh+o(h)]+o(h)，
pk
(t
+
h) h
−
pk
(t)
=
−λpk
(t)
+
λpk −1 (t )
+
o(h) h
,
令h
→
0得，⎩⎨⎧pp
k k
'(t) = −λpk (t) + λpk−1(t) ,(k (0) = P{N(0) = k} = 0
令xt表示电话交换台在0t内收到的呼唤次数则xtt0满足定义3的条件考虑到某车站售票窗口购买车票的旅客若记xt为在时间0t内到达售票窗口的旅客数则xtt0为一泊松过程表明在足够小的时间内出现一个质点的概率与时间成正比而在很短的时间内出现的质点数不少于2个的概率是关于时间的高阶无穷小这与实际情况是相吻合的即在足够短的时间内同时出现2个以上质点的事件应视为小概率事件
14
(3)P{N (12) = 9 N (5) = 4} = P{N (12) − N (5) = 5 N (5) = 4}
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10
[定理1]设 {N (t ), t T [0, )}是一强度为 的泊 松过程，则对任意固定的 t 0，N (t ) 服从泊松 一维分布 分布 (t ) ，即 k
证明：略。 注：该定理指明了泊松过程的一维分布，即， 在每个固定时刻t，N(t)服从泊松分布。 下面考察增量N (t1 , t2 ) N (t2 ) N (t1 ), 0 t1 t2 的分布： N (t2 ) N (t1 )与N (t2 t1 ) N (0)同分布， 由增量平稳性，
8
（4）在足够小的时间间隔 t 内，
P(t时间间隔内无呼叫) P( N (t ) 0) 1 t o(t ) P(t时间间隔内有一呼叫) P( N (t ) 1) t o(t ) P(t时间间隔内收到2次以上呼叫) P( N (t ) 2) o(t )
2 的泊松过程数值模拟
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则计数过程{N (t ), t 0} 是强度为 的泊松过程。
15
注:(4)中实际上假设了在足够小的时间间隔 内出现一个质点的概率与时间间隔成正比，而 出现质点数不少于2的概率是关于时间间隔的 高阶无穷小——这一般是与实际情况相吻合的。
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0
0
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k e t t1k (t2 t1 ) k k gL g(tn tn 1 ) k
n n 1 2 1
n k n1
k1 !g(k2 k1 )!g L g(kn kn 1 )!
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2! 1 t o(t )
二、泊松过程的数字特征与一维特征函数
设 {N (t ), t 0} 是强度为 的泊松过程，则 1. 均值函数 mN (t ) E ( N (t )) t
[例1] 设 N (t ) 为[0,t)时段内某电话交换台收到的
呼叫次数， t [0, )，N (t ) 的状态空间为 {0,1, 2,L }， 且具有如下性质： （1）N (0) 0，即初始时刻未收到任何呼叫；
（2）在[t,s)这段时间内收到的呼叫次数只与 时间间隔s-t有关，而与时间起点t无关； （3）在任意多个不相重叠的时间间隔内收到 的呼叫次数相互独立；
2 2 3. 均方值函数 2 N (t ) E[ N (t )] t (t )
6. 一维特征函数
N (t , ) N (t ) ( ) E (ei N (t ) )
ei k
k 0
i (t ) k t (tei ) k t tei t e e e e et ( e 1) k! k! k 0
2 若t1 t 2， RN ( t1 , t 2 ) N ( t ) t ( t )2
若t1 t 2， RN ( t1 , t 2 ) E ( N ( t1 ) N ( t 2 ))
E[( N ( t1 ) 0)( N ( t 2 ) N ( t1 )) E ( N ( t1 )2 )
4
随机质点流：质点（或事件）陆续地随机到达 （或随机发生），则形成一个随机质点流．
例如：商店接待的顾客流、 等车的乘客流、 数字通信中已编码信号的误码流、 经过中国上空的流星流、 放射性物质所放射出的粒子流、 要求在机场降落的飞机流，等等。
随机质点流的强度：通常称单位时间内平均 出现的质点的个数为随机质点流的强度，记 为 ．
定义4.1.2
P{N (t1 ) N (0) k1}gP{N (t2 ) N (t1 ) k2 k1}gL gP{N (tn ) N (tn 1 ) kn kn 1}
[ (t t )]kn kn1 e (tn tn1 ) (t ) k1 e t1 [ (t2 t1 )]k2 k1 e (t2 t1 ) 1 g gL g n n1 k1 ! (k2 k1 )! (kn kn1 )!
（2）对于任意两个时刻 0 t1 t 2，应有N (t1 ) N (t 2 )； （3）对于任意两个时刻0 t1 t 2，增量 N (t1 , t 2 )
N (t 2 ) N (t1 )等于在时间间隔 [ t1 , t 2 )内出现或
到达的随机质点个数。
5
则称随机过程 {N (t ), t 0} 为一计数过程。
布;
2
§4.1 泊松过程概念
了解复合泊松过程及其特征函数，会求 其均值函数、方差函数; 了解非齐次泊松过程概念，会求其均值
和方差函数;
本章不要求的内容：§4.1中泊松过程 的叠加与分解、§4.3中更新过程。
3
泊松过程是研究随机质点流的 计数性质的基本数学模型之一， 是一类重要的随机过程。在通信 工程、服务行业、生物学、物理 学、公用事业等领域的许多问题 都可以用泊松过程来描述。如： 商店接待的顾客流，数字通信中 已编码信号的误码流等。
2. 方差函数 DN (t ) D( N (t )) t
2 2 3. 均方值函数 2 N (t ) E[ N (t )] t (t )
增量独立
t 1 ( t 2 t 1 ) t1 2 t 1 2
4. 自相关函数
2 t1 t 2 t 1
4. 自相关函数
RN (t1 , t2 ) E ( N (t1 ) N (t2 )) min(t1, t2 ) 2t1t2
5. 自协方差函数 CN (t1 , t2 ) min(t1 , t2 )
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2016/4/17
[例2] 设粒子按平均率为4个/分钟的泊松过程到达 某计数器，N (t ) 表示在[0,t)内到达计数器的粒子
2 1
( t ) t P ( N (t ) k ) e , k 0,1, 2,L k!
则称{N (t ), t T [0, )}是强度为 的泊松过程。
k!
试利用定理1说明上述两个泊松过程定义 的等价性。
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2016/4/17
• 泊松过程的n维分布如下: 对 0 t1 t2 L tn ， P{N (t1 ) k1 , N (t2 ) k2 ,L , N (tn ) kn }
2016/4/17
第四章 泊松过程
§4.1 泊松过程概念
§4.2 随机质点的到达时间与 时间间隔 §4.3 复合泊松过程与非平稳 泊松过程
1
本章基本要求
了解泊松过程的概念，掌握泊松过程的
一维分布、增量的分布，及数字特征， 了解其一维ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ征函数; 会用定义2证明泊松过程;
掌握随机质点的到达时间及时间间隔分
若t1 t 2， RN ( t1 , t 2 ) 2 t1 t 2 t 2 同理，
2 综上， RN ( t1 , t 2 ) t1t 2 min(t1 , t 2 )
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二、泊松过程的数字特征与一维特征函数
设 {N (t ), t 0} 是强度为 的泊松过程，则 1. 均值函数 mN (t ) E ( N (t )) t 2. 方差函数 DN (t ) D( N (t )) t
个数，试求： （1）N (t ) 的均值、方差、自相关函数和自协方差 函数； （2）在第3分钟至第5分钟之间到达计数器的粒
[例3] 设到达某汽车站的乘客数为一泊松过程，平
均每10分钟到达5位乘客，试求： （1）在20分钟之内到达汽车站至少有2位乘客的
概率；
（2）60分钟内平均到达车站的乘客数。
解 设N(t)为[0,t)内到达的乘客数，则N(t)为泊松过程。 5 以分钟为单位。 N ( t ) : (0.5t ) 10 (1) P ( N (20) 2) 1 P ( N (20) 0) P ( N (20) 1) ...
子个数的概率分布。
解 以分钟为单位。 N ( t ) : (4t ) (1)m N ( t ) DN ( t ) 4t ,
RN ( t1 , t 2 ) 16t1t 2 4min( t1 , t 2 ), C N ( t1 , t 2 ) 4min( t1 , t 2 ),
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[定义4.1.1]（泊松过程的定义1）
设 {N (t ), t T [0, )}为一计数过程，若满足条件 增量 （1） N (0) 0 ； 零初值性 平稳 （2）对任意的 s t 0, t 0，增量 N ( s t ) 性或 齐次 N (t t ) 与 N ( s) N (t ) 具有相同的分布函数； 性 （3）对任意的正整数 n ，任意的非负实数 0 t0 t1 L tn ，增量 N (t1 ) N (t0 ), N (t2 ) N (t1 ), L , N (tn ) N (tn 1 ) 相互独立； 增量独立性 （4）对于足够小的时间 t ， P( N (t ) 1) t o(t ), P( N (t ) 0) 1 t o(t ) P( N (t ) 2) o(t ), （ 0 是常数） 则称{N (t ), t T [0, )}是强度为 的泊松过程。 7
(2) P ( N (5) N (3) k ) P ( N (2) k ) ...
(2) E ( N (60)) 60 60 0.5 30
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[例4] 设顾客依泊松过程到达某商店，平均每小时
到达4人。已知商店上午9：00开门，试求： 至9：30仅到一位顾客而11：30时总计已到达5位 顾客的概率。
P{N (t1 ) N (0) k1 , N (t2 ) N (t1 ) k2 k1 ,L , N (tn ) N (tn1 ) kn kn 1}