a第7讲-第8讲第3章 泊松过程

一．假定某天文台观察到的流星流是一个泊松过程, 据以往资料统计为每小时平均观察到 3 颗流星.试求:

( 1 ) 在上午 8 点到 12 点期间, 该天文台没有观察到流星的概率 .

( 2 ) 下午( 12 点以后)该天文台观察到第一颗流星的时间的分布函数 .

二．设电话总机在]

X是具有强度

,0(t内接到电话呼叫数)

(t

λ的泊松过程，求

（每分钟）2

=

（1）两分钟内接到2次呼叫的概率；

（2）“第二分钟内收到第2次呼叫”的概率。

维纳过程

如果它满足

给定实随机过程,}0),({≥t t W ;

)2(是平稳的独立增量过程;0)),(,0()()( ,0 )3(2

>−−≥>σσ且～增量

对任意的s t N s W t W s t .

0)0()1(=W 则称此过程为维纳过程.

3. 维纳过程的特征

).

,min(),(),(2t s t s R t s B W W σ==;

0),,0()( 2>σσ且～t N t W ).

,min()]()()(()([(2

a t a s a W s W a W s W E −−=−−σ,

,0+∞<<≤∀t s a （１）（２）)]

()())(()([(a W t W a W s W E −−,

t s <令))]()()()())(()([(a W s W s W t W a W s W E −+−−=))]

()())(()([(s W t W a W s W E −−=))]()())(()([(a W s W a W s W E −−+).(2a s −=σ

五.平稳过程

定义2.12,,,,,21T t t t N n n ∈∈L ))

(,),(),((21n t X t X t X n L 变量维随机))

(,),(),((21h t X h t X h t X n +++L 和具有相同的分布函数, 则称随机过程}),({T t t X ∈具有平稳性, 并同时称此过程为严平稳随机过程,(或狭义平稳过程).

与

常数若对为随机过程设τ∀∈,}),({T t t X ,,,,21时当T t t t n ∈+++τττL 严平稳过程的任意有限维概率分布不随时间的推移而改变.

,

}),({是严平稳过程若T t t X ∈,时间无关则它的一维概率分布与它的二维概率分布, 21的时间间隔有关只与 t .

与时间起点无关

{}.,),(,,,);()]()([),(,,)2( );

()]([)(,)1( ,),( 简称为平稳过程平稳过程广义或弱为宽则称的取值无关而与的大小有关即其相关函数仅与对关的常数无与对如果

是二阶矩过程设X t s s t s t R t X s X E t s R T t s t const m t X E t m T t T t t X X X X X X −−==∈∀===∈∀∈=.

}),({,为平稳序列则称平稳过程为离散集若T t t X T ∈13.2定义

试讨论它的平稳性

相位周期过程为随机称定义变量上均匀分布的随机是服从区间的连续函数是一个周期为设随机相位周期过程例.)(),,(),()(.],0[,)()( t X t t s t X T T t s +∞−∞∈Φ+=Φ解φ

φφΦΦd )()()]([)]([)(∫∞

∞−+=+==p t s t s E t X E t m X u u s T u u s T t s T T T t t T ∫∫∫==+=+0

0d )(1d )(1d )(1φφ,

)(无关的常数是一个与t t m X

[])()(),(ττ+=+t X t X E t t R X []

)()(Φ++Φ+=τt s t s E φφφτd p t s t s )()()(Φ∞

∞∫++Φ+=φφτφ∫+++=T t s t s T 0

d )()(1u u s u s T T t t

∫++=d )()(1τu u s u s T T ∫+=0

d )()(1τ,有关其值仅与τ.

是一平稳过程因而随机相位周期过程

t

c c 且对任意的给出由不同的电流符号信号是在电报信号传输中随机电报信号例,,,)( −⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎣⎡−2121~)(c c t X {}的平稳性试讨论过程为为是强度内的变号次数在设的时间是随机的电流变换符号任意的持续时间而电流的发送又有一个0),(,)(],0[)(,,≥t t X Poisson t N t t X λ:解0,0)(2

121)]([()(≥=−+==t c c t X E t m X

:解)]

()([),(ττ+=+t X t X E t t R X {}{}

2222)()()()()(c t X t X P c c t X t X P c −=+−+=+=ττ{}{}为奇数为偶数)()()(22ττN P c N P c −+=0,0)(2

121)]([()(≥=−+==t c c t X E t m X τλτλτλτλ−∞=+−∞=∑∑+−=e k c e k c k k k k 01

22022)!12()()!2()(,),(无关与t t t R X τ+{}是平稳过程随机电报信号0),(≥∴t t X ,

e !)(e 220-2τλτλτλ−∞==−=∑c k c k k ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣

⎡−2121~)(c c t X