第三章泊松过程

所以：
RN (t1 , t2 ) = E[N (t1 )N (t2 )] = l min(t1 , t2 ) + l2t1t2
5. 泊松过程的自协方差函数
CN (t1,t2 ) = l min(t1,t2 )
( CN (t1,t2) = RN (t1,t2) - mN (t1)mN (t2) )
6. 泊松过程的特征函数
或第n次事件发生的时刻。 因为到达时间是随机发生的，故Tn是连续型随 机变量.
2 随机质点的到达时间的分布函数与概率密度
令 FTn (t )为 Tn的分布函数，即 FTn (t ) = P (Tn £ t )
å = P(N (t) ³ n) = ¥ (lt)k e-lt
k=n k!
(t ³ 0)
å = 1 - n-1 (lt ) k e -lt
3泊松过程
最早是由法国人Poisson于1837年引 入的，故命名为泊松过程，是研究随机质 点流的基本数学模型之一。
一 泊松过程的定义 计数过程
v 如某时间（0,t)内电话交换台收到的呼叫数；到达某 服务站要求服务的顾客数等例中,若用N (t) ( t≥0)表 示到时刻t为止时随机质点出现（或到达）的个数， 则N (t)也是一个随机过程，常称之为计数过程.
[ ] 当n = 1时，d elt P1(t) = l dt
由于P0 (0) =
0，所以P1(t) =
lte-lt
=
(lt )1
1!
e-lt
（以下用归纳法）假设Pn-1(t
)
=
(lt )n-1 (n -1)!
e-lt
由上面推导知 Pn¢(t) = -lPn (t)+ lPn-1(t) 成立 。
利用归纳假设：
移项得
Pn(t + h)- Pn(t) = Pn(t)(-lh -o(h))+ ( Pn-1 t)(lh + o(h)+ o(h))
所以，Pn
(t
+
h)
h
-
Pn
(t
)
=
-lPn
(t
)
+
lPn-1
(t
)
+
o(h)
h
令h ® 0,两边取极限，得
Pn¢(t) = -lPn (t)+ lPn-1(t)
(*)
另一方面，根据泊松过程的定义，
P0 (t + h) = P{N (t + h) - N (t) = 0}= 1- lh + o(h)
有：
P0
(t
+
h)-
P0 (t)
=
P0 (t)P0 (h)-
P0 (t)
=
P0 (t)[P0 (h)-1]
h
h
h
= P0(t)[1- lt + o(h)-1] = P0(t)[- lh + o(h)]
= P(N(5-3) = k) = P(N(2) = k) = (4´2)k e-4´2 = 8k e-8 k = 0,1,2,L
k!
k!
（3） 固定t时, N (t)~π(4t), 即
P(N(t) = k) = (4t)k e-4t k = 0,1,2,L k!
故 P(2分钟内至少到达6个粒子）
U{N (t) = n -1, N (t + h) - N (t) = 1}
n
U{N (t) = n - l, N (t + h) - N (t) = l}
l=2
故由泊松过程的定义知 ：
Pn(t + h) = Pn(t)(1-lh -o(h))+ ( Pn-1 t)(lh + o(h)+ o(h))
å = P(N (2) ³ 6) = ¥ (4 ´ 2)k e-4´2
k =6
k!
å å = ¥ 8k e-8 = 1 - 5 8k e-8
k=6 k!
k=0 k!
=
1-
e -8
é ê1
+
8
ë
+
82 2!
+
83 3!
+
84 4!
+
85 5!
ù ú û
=
0.8088
（4）其特征函数为
j N (t, v) = e4t(eiv -1)
t 0
l(lt )n-1 (n -1)!
dt
=
(lt )n-1
n!
所以：Pn (t)
=
(lt )n
n!
e-lt
补充定理证 毕，利用此 定理得到泊 松过程的另 一种定义。
泊松过程的定义
定义： 设{N (t), t≥0}为一计数过程，若满足条 件：
（1）N(0)=0 （零初值性）；
（2）对任意的正整数n，任意的非负实数，
mN (t) = 4t = DN (t)
RN (t1,t2 ) = 4 min(t1,t2 ) + 16t1t2 , t1,t2 Î T
CN (t1,t2 ) = 4 min(t1,t2 )
（2）第3分钟到第5分钟之间到达计数器的粒子个数 为的分布律为
P(N (3,5) = k) = P(N (5) - N (3) = k)
定理 设是{N (t), t≥0}一个强度为l的泊松过程，则对任 意固定的t, N(t)服从泊松分布，即
P(N (t) = k ) = (lt)k e-l t
k!
k = 0,1, 2,L
二、泊松过程的数字特征与特征函数
1. 泊松过程的均值函数
mN (t) = E[N(t)]= lt
2. 泊松过程的方差函数
（1）N (t)的均值、方差、自相关函数与自协方差函 数；
（2）在第3分钟到第5分钟之间到达计数器的粒子个 数的概率分布。
（3）在2分钟内至少有6个粒子到达计数器的概率。
（4）求此泊松过程的特征函数。
解：（1）依题意N (t)为一泊松过程，且知平均每分钟 到达4个粒子，即强度λ =4, 由此可知N (t)~π(4t),所以 有
将上式子上的两边同乘以elt：
elt Pn¢(t ) = -lelt Pn (t )+ lelt Pn-1(t )
移项可得：elt Pn¢(t )+ lelt Pn (t ) = lelt Pn-1(t )
[ ] 即：d
elt Pn (t )
dt
= lelt Pn-1(t )
且满足初值条件：Pn (0) = P{N (0) = n}= 0
Pn (t ) = P(N (t) = n) = P(N (s + t) - N (s) = n)
（1）当n=0时，由于
{N (t + h) = 0}= {N (t) = 0, N (t + h) - N (t) = 0}
所以：P0 (t + h) = P{N (t + h) = 0}= P{N (t) = 0, N (t + h) - N (t) = 0} = P{N (t)- N (0) = 0, N (t + h) - N (t) = 0} = P{N (t)- N (0) = 0}P{N (t + h) - N (t) = 0} = P{N (t) = 0}P{N (t + h) - N (t) = 0} = P0 (t )P0 (h)
N (t, s)具有相同的分布函数，即在等长区间上发生 的次数的分布相同（增量平稳性或齐次性）。 （3）对任意的正整数n，任意的非负实数，0£t0 £t1 <L£tn
增量 N(t1) - N(t0 ), N(t2 ) - N(t1),L, N(tn ) - N(tn-1) 相
互独立（增量独立性）； （4）对于足够小的时间 ∆t ,有
（补充）定理：设是{N (t), t≥0}一个强度为l的泊松过
程，则对任意固定的s,t,有：
P(N (s + t) - N (s) = k ) = (lt)k e-lt
k!
k = 0,1, 2,L
即N (s + t) - N (s)服从参数为lt的泊松分布。
注意：课本上证明了这个条件的充要性。
证明：由泊松过程增量的平稳性，记
Pn¢(t
)
=
-lPn
(t
)
+
lPn-1
Hale Waihona Puke Baidu
(t
)
=
-lPn
(t
)
+
l(lt )n-1 (n -1)!
e-lt
两边同乘以elt并移项elt Pn¢(t )+
lelt Pn
(t )
=
l(lt )n-1 (n -1)!
[ ] 即：d
elt Pn (t )
dt
=
l(lt )n-1 (n -1)!
ò 所以：elt Pn (t) =
v 若在不相交的时间区间内到达的质点的 个数是独立的,则称此计数过程有独立增 量.
v 若在任意时间区间[t1,t2]内到达的质点个 数的分布只依赖于这个区间的长度，而 与时间的起点和终点没关系,则称此计数 过程有平稳增量.
泊松过程的定义
定义 设{N (t), t≥0}为一计数过程，若满足条件： （1）N(0)=0 （零初值性）； （2）对任意的s≥t≥0, ∆t >0, 增量N (t+ ∆t, s+ ∆t)与
DN (t) = D[N(t)]= lt
3. 泊松过程的均方值函数
y
2 N
(t)
=
E[N
2
(t)]
=
DN
(t)
+
mN2
(t)
=
lt
+
(lt)2
4. 泊松过程的自相关函数
E(N (t1)N (t2 ))
令t2 ³ t1E{[N (t1)- N (0)][N (t2 )- N (t1)+ N (t1)]} 展开 E{[N(t1)- N (0)][N (t2 )- N(t1)]+ [N(t1)- N(0)]N(t1)} 展开 E{[N(t1)- N (0)][N (t2 )- N(t1)]}+ E{[N(t1)- N (0)]N (t1)} 增量独立E{[N(t1)- N(0)][N(t2 )- N(t1)]}+ E{[N(t1)- N(0)]N(t1)} 增量独立E[N (t1)- N (0)]E[N (t2 )- N (t1)]+ E{[N (t1)- N (0)]N (t1)}
P(N (Dt) = 1) = lDt + o(Dt)
P(N (Dt) = 0) = 1 - lDt + o(Dt) P(N (Dt) ³ 2) = o(Dt)
则称{N (t), t≥0}是强度为l的泊松过程。
对一个随机过程，很难验证上定义中的条件（4） 成立，所以，用上面的定义来判断一个过程是泊松过 程是很困难的，所以我们应进一步研究泊松过程的特 征，力求找到判断一个过程是泊松过程的简单途径。
h
h
令h ® 0,两边取极限，得
P0¢(t) = -lP0 (t)
这是一阶线性常微分方程。
由初始条件 P0 (0) = P{N (0) = 0}= 1 可知，P0 (t ) = e-lt
（2）当n>0时，由于
{N (t + h) = n}= {N (t) = n, N (t + h) - N (t) = 0}
N (0) = 0, E[N (t1)- N (0)]E[N (t2 )- N (t1)]+ E{N 2 (t1)}
定理4.1，lt1 + l(t2 - lt1 )+ lt1(1+ lt1 )
lt1 + l2t1t2
同理，
E(N (t1)N (t2 ))
令t1 ³ t2经过同样的推导
lt2 + l2t1t2
第二节 与泊松过程相联系的分布
一、随机质点的到达时间分布 二、随机质点的到达时间间隔的
分布 三、事件发生时刻的条件分布
一、随机质点的到达时间分布
1 随机质点的到达时间(等待时间)
设{N(t),t≥0}是一泊松过程 N (t)表示在[0, t)时段内到达某“服务台”或“观测站”
的“随机质点”数，或某事件发生的次数。 Tn, n=1,2,…表示第n个质点到达“服务台”的时刻.
v 计数过程N (t)应满足如下条件：
v 1° N (t)取非负整数值，参数集为时间集；
v 2° 对于任意两个时刻, t1 £ t2 ,有N (t1 ) £ N (t2 )
v 3° 对于任意两个时刻 t1 £ t 2 , N (t1 , t 2 ) = N (t 2 ) - N (t1 )
为在时间间隔[t1, t2)内随机到达的质点的个数，称为增 量，为一个随机变量。
jN (t,n ) = jN(t) (n )
å = E[ein N(t) ] = ¥ eink × (lt)k e-lt
k =0
k!
å = ¥ (ltein )k × e-lt k=0 k!
= eltein × e-lt = elt (ein -1)
例1 设粒子按平均率为每分钟4个的泊松过程到达某 记数器，N (t)表示在[0, t)内到达计数器的粒子个数， 试求：
增量 N(t1) - N(t0 ), N(t2 ) - N(t1),L, N(tn ) - N(tn-1) 相互独立（增量独立性）；
（3）
P(N (s
+
t)
-
N (s)
=
n)
=
(lt)n
e-lt
n!
n = 0,1, 2,L
则称{N (t), t≥0}为强度为l的泊松过程。
在上述补充定理中，若令s=0，则得到
k=0 k!
t>0
于是第n个随机质点到达时间Tn的概率密度为
å f Tn (t ) =
-
d dt
é ê
e
-
l
t
ë
n -1 k =0
(lt)k
k!
ù ú û
=
-d dt
é êe êë