第三章poisson过程与更新过程
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第三章 泊松过程与更新过程
教师 徐凤 xdiao_3@swufe.edu.cn
1
第二章 Poission过程及更新过程
3.0 计数过程 定义 称一个随机过程 {N (t ), t 0} 是一个计数过程 (point process),若N(t) 满足: 1) N(t)取非负整数值； 2）若s<t,则 N(t)-N(s)等于区间(s,t] 中 “事件”发生的次数.
练 习 设有 n 位顾客在 0 时刻排队进入仅有一个服务员的系
统 . 假定每位顾客的服务时间独立 , 均服从参数为λ 的指数分布 . 以 N(t) 表示到 t 时刻为止已被服务过的 顾客人数.求 （1）E[N(t)];
（2）第n位顾客等候服务时间的数学期望;
(3)第n位顾客能在t时刻之前完成服务的概率.
提示: n,
k n 1 x 1 e x 的分布函数是 F ( x) k! k 0
, x 0
19
解:（1）由定理3.2.3, {N(t),t≥0}为强度λ的possion 过 程，故 E[N(t)]=λt ； （2）记第n位顾客完成服务的时间为 n ，根据定理 3.2.2,第n位顾客等候服务时间为 n1 n 1,
t
k!
k
20
3.2.2 到达时刻的条件分布 本节讨论在给定N(t)=n 的条件下， 的条件分布及其有关性质。 定理3.2.4 设 {N (t ), t 0} 是泊松过程，则对
0 s t 有
s P ( 1 s N (t ) 1) t
这个定理说明，由于泊松过程具有平稳独立增量性，从而在 已知[0,t] 上有1个事件发生的条件下,事件发生的时间 τ1应该服从[0，t]上的均匀分布。对此我们自然要问： (1)这个性质是否可推广到的 N (t ) n, n 1 情形？ (2)这个性质是否是泊松过程特有的？换言之，其逆命题是 否成立？
设观察到某记数过程{N(t),t0}的一段样本轨道τ1 ,…, τ50的取值如下,检验{N(t),t0}是否为Poisson过程. 0.03 , 0.76 , 1.01 , 1.37 , 1.43 , 1.56 , 1.95 , 3.95 , 4.05 , 4.45 , 4.70 , 4.81 , 4.85 , 5.00 , 5.87 , 6.32 , 6.36 , 6.40 , 6.85 , 6.90 , 8.33 , 8.85 , 8.95 , 11.26 , 12.25 , 13.04 , 13.85 , 14.11 , 14.76 , 15.56 , 17.65 , 17.80 , 18.20 , 18.24 , 18.62 , 19.06 , 19.14 , 19.46 , 20.26 , 20.46 , 20.55 , 22.51 , 22.70 , 23.19 , 23.28 , 23.63 , 23.80 , 24.22 , 24.81 , 25.65 18
Fra Baidu bibliotek证明
j n ( t ) (1 ) n , 的特征函数为 注：1） t k n 1 x x 分布函数为： F ( x) 1 e , x 0. k ! k 0
15
例3.2.2 设一系统在[0,t]内承受的冲击数{N(t),t0}是 参数为λ的泊松过程，第i 次受冲击的损失为Di. 设 {Di, i1}独立同分布, 且与{N(t),t0}独立, 且损失随 时间按负指数衰减, 即t=0时损失为D, 在t时损失 为 Det , 0,设损失是可加的,那么到系统在[0,t] 内受到冲击的损失之和为
若{N(t),t0}为Poission过程，则
注：泊松过程的数字特征与特征函数
泊松过程的均值函数
泊松过程的方差函数 泊松过程的均方值函数
mN t E N t t
DN t D N t t
N t E N t DN t m t t t
11
3.2 泊松过程的性质
3.2.1 到达时间间隔与到达时刻的分布 设 {N(t),t0} 为泊松过程， N(t) 表示在 [0,t] 内事 件发生的次数，令 0 0 ， k 表示第 k 个事件发生的 时刻; Tk k k 1表示第k-1个事件与第k个事件发生 的时间间隔，即
8
例 3.1.3 设N(t)表示[0,t]时段内事件A的发生次数,且 {N(t),t0} 形成强度为λ的Poisson过程. 如果每次事件 A发生时以概率p能够被记录下来, 并以M(t)表示到t时 刻记录下来的事件总数, 试证明{M(t),t0} 形成强度为 λp 的Poisson过程. 解：对照Poisson过程的定义3.1.2
2
3.1 Poission过程的定义
背景:考虑在时间间隔(0,t]中某保险公司收到的某 类保险的理赔次数N(t),它是一个计数过程.此类 过程有如下特点: (1)零初值性：N（0）=0； (2)独立增量性：在不同的时间区段内的理赔次数 彼此独立； (3)平稳增量性:在同样长的时间区段内理赔次数的 概率规律是一样的;
P[ N (t t ) N (t ) 1] t o(t ), P[ N (t t ) N (t ) 2] o(t )
其中 o(t ) 为 t 的高阶无穷小。λ又称 为Poission过程 的强度系数
4
定理3.1.1
( t ) k t P( N ( s t ) N ( s ) k ) e , k N k! 此即 N (s t ) N (s) ~ P(t )
(4) 普通性 : 在非常短的时间区段Δt 内的理赔次数 几乎不可能超过 1 次 , 且发生 1 次理赔的概率近似与 Δt成正比.(稀有事件)
3
定义3.1.1计数过程{N(t),t0}称为具有参数(或强度) ( 0) 的Poission过程(或Poission 流)，如果 1）N(0)=0 ; 2）具有独立增量性; 3）满足增量平稳性; 4）对于任意t>0和充分小的 t 0，有
利用定理3.1.1 ,可得到Poission过程的等价定义:即
定义3.1.2 计数过程{N(t),t0}称为具有参数(或强度) λ 的Poission过程，如果 1）N(0)=0 ， 2）具有独立增量性， 3）s, t 0, N (s t ) N (s) ~ P(t )
5
s, t 0,
令
ti 1 ti
i 0
n
netn
d ln L 0 d
得λ的极大似然估计为:
n tn
14
定理3.2.2 到达时间 n 的概率密度函数为 (t )n1 t f n (t ) e , t 0. n, (n 1)!
2 2 N
2
泊松过程的自相关函数 2 RN t1 , t2 E N t N t min t , t t1t2 2 1 2 1 泊松过程的自协方差函数
CN t1 , t2 min t1, t2
例 3.1.1 （Poisson过程在排队论中的应用）设某火车 站售票从早上8:00开始，此售票处连续售票，乘客以 10人/小时的速率到达，求以下（1）9:00-10:00间最多 有5名乘客来此购票的概率（2）10:00-11:00没有人来 买票的概率（3）若已知8:00-11:00有10个人来买票， 则9:00-10:00间有5名乘客买票的概率。 例 3.1.2（事故发生次数及保险公司接到的索赔数）设 保险公司接到的索赔请求为以Poisson过程{N(t)},又假 设每次的赔付都是1，每月平均接到索赔要求为4次， 则一年中保险公司要支付的金额平均是多少？
13
参数λ的极大似然估计: 一般地, 若从0时刻开始, 观察到Poisson过程{N(t),t0} 的一段样本轨道:τ1,…, τn的取值: t1<t2<,…,<tn , 由于, τ1 , τ2- τ1,…, τ n- τn-1独立同指数分布, 于是似 然函数为
Lt1 ,...tn ne
1) {M(t),t0}是一计数过程,且M(0)=0 ;
2) 每次事件发生时，对它的记录与对其它事件的 记录独立，故{M(t),t0}具有独立增量性； 只需验证 3) s, t 0, M (s t ) M ( s) ~ P( p t )
9
由全概率公式，P M s t M s m
{P M s t M s m | N s t N (s) n m P N s t N s n m }
n 0
n m t ( t ) e m m n Cn m p (1 p) (n m)! n 0
(t ) Di e
i 1
N (t )
t i
其中τi为第i次冲击到达的时刻, 求 E t
16
定理3.2.3 若计数过程{N(t),t0}的到达时间间隔序列
{Tn , n 1} 是 相 互 独 立 同 参 数 为 λ 的 指 数 分 布 ， 则 {N(t),t0}是参数为λ的泊松过程.
0 0
1
k inf t : t k 1 , N (t ) k , k 1
T1
1
T2
2
T3
3
4
12
先讨论到达时间间隔 的Tk分布.
Tk k k 1 , k 相互独 1, 2, 定理3.2.1 到达时间间隔序列 立同分布，且服从参数为 λ的指数分布.
定理3.2.1 提供了Poisson过程的参数估计方法.
练 习 设事件的发生过程{N(t),t0}为Poisson过程. 某日从0 点开始, 记录到事件发生时刻为0:33, 1:00, 2:27, 3:05, 3:36的取值: t1<t2<,…,<tn T. 试用极大似然法估计该 过程的强度λ.
E n 1 n 1
或
n1 Ti , E n 1 ETi
i 1 i 1
n 1
n 1
n 1
(3)根据定理3.2.2,
n ~ n,
P n t F n t 1 e
t
k 0
n 1
定理3.2.3 提供了对泊松过程进行计算机模拟及其统 计检验的理论基础与方法，只需产生n个同指数分布的 随机数, 将其作为Ti, i=1,… 即可得到Poisson过程的一 条样本轨道.
17
要检验{N(t),t0}是否为Poisson过程,可转化为检验 相邻两次跳跃间隔时间{Tn= tn –tn-1, n1}是否为指数分 布总体的i.i.d 样本.
m!
m
#
10
例 3.1.4 若每条蚕的产卵数服从Poisson分布，强度为λ， 而每个卵变成为成虫的概率为p，且每条卵是否变为 成虫彼此之间没有关系，求在时间[0,t]内每条蚕养活 k只小蚕的概率。 例 3.1.5 观察资料表明，天空中星体数服从Poisson分 布，其参数为λV,这里V是被观察区域的体积。若每个 星球上有生命体存在的概率为p,则在体积为V的宇宙 空间中有生命体存在的星球数的分布是怎样的？
n m t (n m)! m ( t ) e n p (1 p) (n m)! n 0 n !m!
e
t
t
m!
m
m
p
m
n 0
(1 p)t
n!
n
e
t
t
m!
p
m
e
(1 p ) t
e
pt
pt
教师 徐凤 xdiao_3@swufe.edu.cn
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第二章 Poission过程及更新过程
3.0 计数过程 定义 称一个随机过程 {N (t ), t 0} 是一个计数过程 (point process),若N(t) 满足: 1) N(t)取非负整数值； 2）若s<t,则 N(t)-N(s)等于区间(s,t] 中 “事件”发生的次数.
练 习 设有 n 位顾客在 0 时刻排队进入仅有一个服务员的系
统 . 假定每位顾客的服务时间独立 , 均服从参数为λ 的指数分布 . 以 N(t) 表示到 t 时刻为止已被服务过的 顾客人数.求 （1）E[N(t)];
（2）第n位顾客等候服务时间的数学期望;
(3)第n位顾客能在t时刻之前完成服务的概率.
提示: n,
k n 1 x 1 e x 的分布函数是 F ( x) k! k 0
, x 0
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解:（1）由定理3.2.3, {N(t),t≥0}为强度λ的possion 过 程，故 E[N(t)]=λt ； （2）记第n位顾客完成服务的时间为 n ，根据定理 3.2.2,第n位顾客等候服务时间为 n1 n 1,
t
k!
k
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3.2.2 到达时刻的条件分布 本节讨论在给定N(t)=n 的条件下， 的条件分布及其有关性质。 定理3.2.4 设 {N (t ), t 0} 是泊松过程，则对
0 s t 有
s P ( 1 s N (t ) 1) t
这个定理说明，由于泊松过程具有平稳独立增量性，从而在 已知[0,t] 上有1个事件发生的条件下,事件发生的时间 τ1应该服从[0，t]上的均匀分布。对此我们自然要问： (1)这个性质是否可推广到的 N (t ) n, n 1 情形？ (2)这个性质是否是泊松过程特有的？换言之，其逆命题是 否成立？
设观察到某记数过程{N(t),t0}的一段样本轨道τ1 ,…, τ50的取值如下,检验{N(t),t0}是否为Poisson过程. 0.03 , 0.76 , 1.01 , 1.37 , 1.43 , 1.56 , 1.95 , 3.95 , 4.05 , 4.45 , 4.70 , 4.81 , 4.85 , 5.00 , 5.87 , 6.32 , 6.36 , 6.40 , 6.85 , 6.90 , 8.33 , 8.85 , 8.95 , 11.26 , 12.25 , 13.04 , 13.85 , 14.11 , 14.76 , 15.56 , 17.65 , 17.80 , 18.20 , 18.24 , 18.62 , 19.06 , 19.14 , 19.46 , 20.26 , 20.46 , 20.55 , 22.51 , 22.70 , 23.19 , 23.28 , 23.63 , 23.80 , 24.22 , 24.81 , 25.65 18
Fra Baidu bibliotek证明
j n ( t ) (1 ) n , 的特征函数为 注：1） t k n 1 x x 分布函数为： F ( x) 1 e , x 0. k ! k 0
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例3.2.2 设一系统在[0,t]内承受的冲击数{N(t),t0}是 参数为λ的泊松过程，第i 次受冲击的损失为Di. 设 {Di, i1}独立同分布, 且与{N(t),t0}独立, 且损失随 时间按负指数衰减, 即t=0时损失为D, 在t时损失 为 Det , 0,设损失是可加的,那么到系统在[0,t] 内受到冲击的损失之和为
若{N(t),t0}为Poission过程，则
注：泊松过程的数字特征与特征函数
泊松过程的均值函数
泊松过程的方差函数 泊松过程的均方值函数
mN t E N t t
DN t D N t t
N t E N t DN t m t t t
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3.2 泊松过程的性质
3.2.1 到达时间间隔与到达时刻的分布 设 {N(t),t0} 为泊松过程， N(t) 表示在 [0,t] 内事 件发生的次数，令 0 0 ， k 表示第 k 个事件发生的 时刻; Tk k k 1表示第k-1个事件与第k个事件发生 的时间间隔，即
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例 3.1.3 设N(t)表示[0,t]时段内事件A的发生次数,且 {N(t),t0} 形成强度为λ的Poisson过程. 如果每次事件 A发生时以概率p能够被记录下来, 并以M(t)表示到t时 刻记录下来的事件总数, 试证明{M(t),t0} 形成强度为 λp 的Poisson过程. 解：对照Poisson过程的定义3.1.2
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3.1 Poission过程的定义
背景:考虑在时间间隔(0,t]中某保险公司收到的某 类保险的理赔次数N(t),它是一个计数过程.此类 过程有如下特点: (1)零初值性：N（0）=0； (2)独立增量性：在不同的时间区段内的理赔次数 彼此独立； (3)平稳增量性:在同样长的时间区段内理赔次数的 概率规律是一样的;
P[ N (t t ) N (t ) 1] t o(t ), P[ N (t t ) N (t ) 2] o(t )
其中 o(t ) 为 t 的高阶无穷小。λ又称 为Poission过程 的强度系数
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定理3.1.1
( t ) k t P( N ( s t ) N ( s ) k ) e , k N k! 此即 N (s t ) N (s) ~ P(t )
(4) 普通性 : 在非常短的时间区段Δt 内的理赔次数 几乎不可能超过 1 次 , 且发生 1 次理赔的概率近似与 Δt成正比.(稀有事件)
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定义3.1.1计数过程{N(t),t0}称为具有参数(或强度) ( 0) 的Poission过程(或Poission 流)，如果 1）N(0)=0 ; 2）具有独立增量性; 3）满足增量平稳性; 4）对于任意t>0和充分小的 t 0，有
利用定理3.1.1 ,可得到Poission过程的等价定义:即
定义3.1.2 计数过程{N(t),t0}称为具有参数(或强度) λ 的Poission过程，如果 1）N(0)=0 ， 2）具有独立增量性， 3）s, t 0, N (s t ) N (s) ~ P(t )
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s, t 0,
令
ti 1 ti
i 0
n
netn
d ln L 0 d
得λ的极大似然估计为:
n tn
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定理3.2.2 到达时间 n 的概率密度函数为 (t )n1 t f n (t ) e , t 0. n, (n 1)!
2 2 N
2
泊松过程的自相关函数 2 RN t1 , t2 E N t N t min t , t t1t2 2 1 2 1 泊松过程的自协方差函数
CN t1 , t2 min t1, t2
例 3.1.1 （Poisson过程在排队论中的应用）设某火车 站售票从早上8:00开始，此售票处连续售票，乘客以 10人/小时的速率到达，求以下（1）9:00-10:00间最多 有5名乘客来此购票的概率（2）10:00-11:00没有人来 买票的概率（3）若已知8:00-11:00有10个人来买票， 则9:00-10:00间有5名乘客买票的概率。 例 3.1.2（事故发生次数及保险公司接到的索赔数）设 保险公司接到的索赔请求为以Poisson过程{N(t)},又假 设每次的赔付都是1，每月平均接到索赔要求为4次， 则一年中保险公司要支付的金额平均是多少？
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参数λ的极大似然估计: 一般地, 若从0时刻开始, 观察到Poisson过程{N(t),t0} 的一段样本轨道:τ1,…, τn的取值: t1<t2<,…,<tn , 由于, τ1 , τ2- τ1,…, τ n- τn-1独立同指数分布, 于是似 然函数为
Lt1 ,...tn ne
1) {M(t),t0}是一计数过程,且M(0)=0 ;
2) 每次事件发生时，对它的记录与对其它事件的 记录独立，故{M(t),t0}具有独立增量性； 只需验证 3) s, t 0, M (s t ) M ( s) ~ P( p t )
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由全概率公式，P M s t M s m
{P M s t M s m | N s t N (s) n m P N s t N s n m }
n 0
n m t ( t ) e m m n Cn m p (1 p) (n m)! n 0
(t ) Di e
i 1
N (t )
t i
其中τi为第i次冲击到达的时刻, 求 E t
16
定理3.2.3 若计数过程{N(t),t0}的到达时间间隔序列
{Tn , n 1} 是 相 互 独 立 同 参 数 为 λ 的 指 数 分 布 ， 则 {N(t),t0}是参数为λ的泊松过程.
0 0
1
k inf t : t k 1 , N (t ) k , k 1
T1
1
T2
2
T3
3
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先讨论到达时间间隔 的Tk分布.
Tk k k 1 , k 相互独 1, 2, 定理3.2.1 到达时间间隔序列 立同分布，且服从参数为 λ的指数分布.
定理3.2.1 提供了Poisson过程的参数估计方法.
练 习 设事件的发生过程{N(t),t0}为Poisson过程. 某日从0 点开始, 记录到事件发生时刻为0:33, 1:00, 2:27, 3:05, 3:36的取值: t1<t2<,…,<tn T. 试用极大似然法估计该 过程的强度λ.
E n 1 n 1
或
n1 Ti , E n 1 ETi
i 1 i 1
n 1
n 1
n 1
(3)根据定理3.2.2,
n ~ n,
P n t F n t 1 e
t
k 0
n 1
定理3.2.3 提供了对泊松过程进行计算机模拟及其统 计检验的理论基础与方法，只需产生n个同指数分布的 随机数, 将其作为Ti, i=1,… 即可得到Poisson过程的一 条样本轨道.
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要检验{N(t),t0}是否为Poisson过程,可转化为检验 相邻两次跳跃间隔时间{Tn= tn –tn-1, n1}是否为指数分 布总体的i.i.d 样本.
m!
m
#
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例 3.1.4 若每条蚕的产卵数服从Poisson分布，强度为λ， 而每个卵变成为成虫的概率为p，且每条卵是否变为 成虫彼此之间没有关系，求在时间[0,t]内每条蚕养活 k只小蚕的概率。 例 3.1.5 观察资料表明，天空中星体数服从Poisson分 布，其参数为λV,这里V是被观察区域的体积。若每个 星球上有生命体存在的概率为p,则在体积为V的宇宙 空间中有生命体存在的星球数的分布是怎样的？
n m t (n m)! m ( t ) e n p (1 p) (n m)! n 0 n !m!
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