第五节 泊松过程
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( t ) k t P( N (t ) k ) e k!
11
3 泊松流的性质
推论
若服务台一直忙，服务时间服从参数为的 负指数分布，则服务台输出wenku.baidu.com顾客流是参数 的泊松流
定理5.2
如果某随机事件流是泊松流，则随机事件相 继出现的间隔时间彼此独立，且服从同一负 指数分布。
12
3 泊松流的性质
15
4 电话交换台例题
分析：
用X(t)表示t时刻系统中存在的呼叫数量 由于输入的间隔时间为负指数分布，输入是 泊松流，所以系统在足够短的时间之内最多 有一个新的呼唤呼入。 由于系统的服务时间为负指数分布，所以非 常短时间内最多有一个呼唤释放，两个呼唤 同时释放的概率是o(t)。 因此这是一个生灭过程。
7
2 泊松流
随机事件流 通常把在随机时刻出现的事件序列称为 随机事件流。 泊松流 如果事件发生的个数为泊松过程的增长 规律，则此事件流为泊松流，为泊松流 的强度
时间
t
k!
k
e t
8
2 泊松流
泊松流＝最简单事件流，特点为
平稳性。在任何一段长度为t的时间区间内，出现任 意数量事件的概率只与t有关，而与t所处的位置 （或与起始时刻）无关。记λ为平稳流的强度。 无后效性（又称无记忆性或者马氏性）。在互不相 交的两时间区间T1、T2内所出现的事件数是相互独 立的。 普通性。在同一瞬间，多于一个顾客出现的概率 （或同时到达系统有两个或两个以上顾客的概率） 可忽略不计。
第五节 泊松过程
－泊松过程 －最简单的事件流——泊松流 －泊松流的性质
1
1 泊松过程
泊松过程是一种恒定增长率的纯增过程。
Q 0
0 ...
k= k=0
泊松过程是一种计数过程，例如对到达的顾客进行计数。 各个状态的增长率是稳定的，说明顾客到达的事件流是 平稳的
4
1 泊松过程
pi,i(0)=1，0时间内系统中顾客数增长0个 pi,i+k(t)表示t时间后系统中顾客数增加了k个的概 率，也就是在t时间内到达了k个顾客的概率
X (t )
i ＋k
( t ) k t pi ,i k (t ) e k!
i
0
time
5
1 泊松过程 ——独立增量
用Pk(t)表示在长度为t的时间段内发生k个 事件的概率，则
pi ,i k '(t ) pi ,i k (t ) pi ,i k 1 (t ) pi ,i '(t ) pi ,i (t )
3
1 泊松过程
求解得：
pi ,i '(t ) pi ,i (t ) pi ,i (t ) e t pi ,i 1 '(t ) pi ,i 1 (t ) pi ,i (t ) pi ,i 1 '(t ) pi ,i 1 (t ) e t pi ,i 1 (t ) te t ...... ( t ) k t pi ,i k (t ) e k! k 0, t 0
泊松流的合成与分解 定理5.3
设N1(t)与N2(t)分别是参数为1与2的泊松流， 且N1(t)与N2(t)相互独立，则合成流N1(t)+N2(t) 是参数为1+2的泊松流
1
2
13
1 +2
3 泊松流的性质
定理5.4
设某事件流N(t) 是参数为的泊松流，每一 到达的事件以概率p进入系统，设X(t)表示进 入系统的事件流，则X(t)是参数为p的泊松 流
16
4 电话交换台例题
第一步，先求出系统状态转移强度。 第二步，将增长率和消亡率带入到生灭 过程求平稳分布的公式。 第三步，求解平稳分布。
17
9
2 泊松流
普通性：
考察泊松流中，极短时间t内到达k个顾客的概率：
( t ) k t Pk (t ) e k! ( t ) 2 ( t ) 3 P0 (t ) e 1 t ... 1 t o(t ) 2! 3! ( t ) 3 ( t ) 4 t 2 P t ( t ) ... t o(t ) 1 (t ) te 2! 3! ( t ) 2 t P2 (t ) e 2! ... （都只包含t的多次方） o(t ) ( t ) k t Pk (t ) e k!
(1-p) p
14
4 电话交换台例题
考察某电话交换台，用户在随机时刻0<t1<t2<t3…打电话， 假定相继呼唤到达的间隔时间T1＝t1, Tn=tn-tn-1,n>=2是相 互独立且负指数分布，参数为。用n表示第n个呼唤的 持续时间（或服务时间），它们是相互独立且具有参数 为的负指数分布。 又设有M条或无穷多条线可供利用。这样，在后一 种情形，所有呼唤到来即被接通，对前一种情形，若呼 唤到达时，系统中已有n个呼叫正在进行，则假定n<M， 新到呼叫可被立即接通，若n>=M，因M条外线已被占 用，则新到达的呼唤必须排队等到其中一条线路空出为 止，并且所有线路只有一个队列。讨论线路的利用情况
0
1
2
3
4
5
n
2
1 泊松过程
考察t时间内状态数增长k的概率，也就是状态从 i转移到i+k的概率：
用pi,i+k(t)表示t时间后状态增长了k的概率 设 1 k 0
pi ,i k (0) 0
k 0
k 0
建立方程组（利用K氏前向方程 P(t ) P(t ) Q ）
t
10
3 泊松流的性质
负指数分布与泊松流的密切关系 随机时间到达的间隔时间相互独立且服从同一 参数为的负指数分布，则这样的随机事件流 就是泊松流，强度为 定理5.1 设1,2, …k,…表示相继到达的随机事 件的间隔时间，假定它们服从同一负指数分布， 参数为，则在(0,t]时间内到达的随机事件数 N(t)服从泊松分布，即：
( t ) k t Pk (t ) e k!
这就是泊松分布。
两个变量：k ——事件个数 t ——时间长度
6
1 泊松过程
t时间内，平均发生的事件数是多少？
E (k ) k Pk (t )
k 0
( t ) k t k e k! k 0 t
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3 泊松流的性质
推论
若服务台一直忙，服务时间服从参数为的 负指数分布，则服务台输出wenku.baidu.com顾客流是参数 的泊松流
定理5.2
如果某随机事件流是泊松流，则随机事件相 继出现的间隔时间彼此独立，且服从同一负 指数分布。
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3 泊松流的性质
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4 电话交换台例题
分析：
用X(t)表示t时刻系统中存在的呼叫数量 由于输入的间隔时间为负指数分布，输入是 泊松流，所以系统在足够短的时间之内最多 有一个新的呼唤呼入。 由于系统的服务时间为负指数分布，所以非 常短时间内最多有一个呼唤释放，两个呼唤 同时释放的概率是o(t)。 因此这是一个生灭过程。
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2 泊松流
随机事件流 通常把在随机时刻出现的事件序列称为 随机事件流。 泊松流 如果事件发生的个数为泊松过程的增长 规律，则此事件流为泊松流，为泊松流 的强度
时间
t
k!
k
e t
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2 泊松流
泊松流＝最简单事件流，特点为
平稳性。在任何一段长度为t的时间区间内，出现任 意数量事件的概率只与t有关，而与t所处的位置 （或与起始时刻）无关。记λ为平稳流的强度。 无后效性（又称无记忆性或者马氏性）。在互不相 交的两时间区间T1、T2内所出现的事件数是相互独 立的。 普通性。在同一瞬间，多于一个顾客出现的概率 （或同时到达系统有两个或两个以上顾客的概率） 可忽略不计。
第五节 泊松过程
－泊松过程 －最简单的事件流——泊松流 －泊松流的性质
1
1 泊松过程
泊松过程是一种恒定增长率的纯增过程。
Q 0
0 ...
k= k=0
泊松过程是一种计数过程，例如对到达的顾客进行计数。 各个状态的增长率是稳定的，说明顾客到达的事件流是 平稳的
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1 泊松过程
pi,i(0)=1，0时间内系统中顾客数增长0个 pi,i+k(t)表示t时间后系统中顾客数增加了k个的概 率，也就是在t时间内到达了k个顾客的概率
X (t )
i ＋k
( t ) k t pi ,i k (t ) e k!
i
0
time
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1 泊松过程 ——独立增量
用Pk(t)表示在长度为t的时间段内发生k个 事件的概率，则
pi ,i k '(t ) pi ,i k (t ) pi ,i k 1 (t ) pi ,i '(t ) pi ,i (t )
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1 泊松过程
求解得：
pi ,i '(t ) pi ,i (t ) pi ,i (t ) e t pi ,i 1 '(t ) pi ,i 1 (t ) pi ,i (t ) pi ,i 1 '(t ) pi ,i 1 (t ) e t pi ,i 1 (t ) te t ...... ( t ) k t pi ,i k (t ) e k! k 0, t 0
泊松流的合成与分解 定理5.3
设N1(t)与N2(t)分别是参数为1与2的泊松流， 且N1(t)与N2(t)相互独立，则合成流N1(t)+N2(t) 是参数为1+2的泊松流
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2
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1 +2
3 泊松流的性质
定理5.4
设某事件流N(t) 是参数为的泊松流，每一 到达的事件以概率p进入系统，设X(t)表示进 入系统的事件流，则X(t)是参数为p的泊松 流
16
4 电话交换台例题
第一步，先求出系统状态转移强度。 第二步，将增长率和消亡率带入到生灭 过程求平稳分布的公式。 第三步，求解平稳分布。
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2 泊松流
普通性：
考察泊松流中，极短时间t内到达k个顾客的概率：
( t ) k t Pk (t ) e k! ( t ) 2 ( t ) 3 P0 (t ) e 1 t ... 1 t o(t ) 2! 3! ( t ) 3 ( t ) 4 t 2 P t ( t ) ... t o(t ) 1 (t ) te 2! 3! ( t ) 2 t P2 (t ) e 2! ... （都只包含t的多次方） o(t ) ( t ) k t Pk (t ) e k!
(1-p) p
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4 电话交换台例题
考察某电话交换台，用户在随机时刻0<t1<t2<t3…打电话， 假定相继呼唤到达的间隔时间T1＝t1, Tn=tn-tn-1,n>=2是相 互独立且负指数分布，参数为。用n表示第n个呼唤的 持续时间（或服务时间），它们是相互独立且具有参数 为的负指数分布。 又设有M条或无穷多条线可供利用。这样，在后一 种情形，所有呼唤到来即被接通，对前一种情形，若呼 唤到达时，系统中已有n个呼叫正在进行，则假定n<M， 新到呼叫可被立即接通，若n>=M，因M条外线已被占 用，则新到达的呼唤必须排队等到其中一条线路空出为 止，并且所有线路只有一个队列。讨论线路的利用情况
0
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n
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1 泊松过程
考察t时间内状态数增长k的概率，也就是状态从 i转移到i+k的概率：
用pi,i+k(t)表示t时间后状态增长了k的概率 设 1 k 0
pi ,i k (0) 0
k 0
k 0
建立方程组（利用K氏前向方程 P(t ) P(t ) Q ）
t
10
3 泊松流的性质
负指数分布与泊松流的密切关系 随机时间到达的间隔时间相互独立且服从同一 参数为的负指数分布，则这样的随机事件流 就是泊松流，强度为 定理5.1 设1,2, …k,…表示相继到达的随机事 件的间隔时间，假定它们服从同一负指数分布， 参数为，则在(0,t]时间内到达的随机事件数 N(t)服从泊松分布，即：
( t ) k t Pk (t ) e k!
这就是泊松分布。
两个变量：k ——事件个数 t ——时间长度
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1 泊松过程
t时间内，平均发生的事件数是多少？
E (k ) k Pk (t )
k 0
( t ) k t k e k! k 0 t