第五节 泊松过程
泊松过程的性质
到达时刻的分布
01
到达时刻的分布是均匀分布。在泊 松过程中，到达时刻的概率密度函 数为$f(t) = lambda e^{-lambda t}$，其中$t$是到达时刻。
02
到达时刻的期望和方差分别为 $E(T) = frac{1}{lambda}$和 $Var(T) = frac{1}{lambda^2}$ 。
泊松过程的性质
目录
CONTENTS
• 泊松过程的定义 • 泊松过程的性质 • 泊松过程的统计特性 • 泊松过程的扩展和推广 • 泊松过程的应用
01
CHAPTER
泊松过程的定义
泊松过程的基本概念
01
02
03
随机性
泊松过程是一种随机过程， 其事件的发生具有随机性。
独立性
泊松过程中，任意两个不 相交的时间区间内发生的 事件相互独立。
马尔科夫到达过程是一 种特殊的泊松过程，其 中事件的发生概率只与 当前状态有关，而与过 去的状态无关。
在马尔科夫到达过程中 ，事件的发生是一个马 尔科夫链的过程，即下 一个事件的发生概率只 取决于当前事件是否发 生，而与之前的事件无 关。这种过程具有无记 忆性。
马尔科夫到达过程的数 学表达通常使用马尔科 夫链和概率论，通过状 态转移概率和转移矩阵 来描述。
平稳性
总结词
平稳性是指泊松过程的事件发生频率与时间无关，即单位时间内发生的事件数 是一个常数。
详细描述
在泊松过程中，事件的发生频率是恒定的，不随时间的推移而改变。这意味着 在任意一个固定的时间间隔内，事件发生的次数是一个随机变量，但其均值等 于单位时间间隔内的事件发生率。
无后效性
总结词
无后效性是指泊松过程中，过去的事件不会影响未来的事件。
泊松过程 poisson
泊松过程的几个例子
考虑某一电话交换台在某段时间接到的呼叫。令X(t) 表示电话交换台在 [0, t] 时间内收到的呼叫次数， 则{ X(t), t 0 } 是一个泊松过程。 考虑来到某火车站售票窗口购买车票的旅客。若记 X(t) 为时间 [0, t] 内到达售票窗口的旅客数，则 { X(t), t 0 } 是一个泊松过程。 X(t) 为某网站在时间 [0, t] 内的被访问次数。
分布函数：
s0 0, FW1 X ( t ) 1 ( s ) s / t , 0 s t 1, st
分布密度：
se s e (t s ) s t te t
1 / t , 0 s t fW1 X (t )1 (s) 其它 0,
例6
设{ X (t) , t 0 }是具有跳跃强度
(t ) 0.5(1 cost )
的非齐次泊松过程。求 E[X(t)] 和 D[X(t)]。
E[ X (t )] D[ X (t )] 0.5(1 coss)ds
0 t
1 0.5 t sin t
t 0 t0
E[ wn ] n 2 D [ w ] n n
[例1] 已知仪器在 [ 0 , t ] 内发生振动的次数 X(t) 是具有参
数的泊松过程。若仪器振动k (k 1)次就会出现故障， 求仪器在时刻 t0 正常工作的概率。
[解]
仪器发生第k振动的时刻Wk 就是故障时刻T ， 则T 的概率分布为 分布:
(3) 到达时间的条件分布
假设在[0 , t ]内事件A已经发生一次，确定这一事件到
达时间W1的分布 ——均匀分布
P{W1 s, X (t ) 1} P{W1 s X (t ) 1} P{ X (t ) 1} P{ X ( s ) 1, X (t ) X ( s ) 0} P{ X (t ) 1} P{ X ( s ) 1} P{ X (t ) X ( s) 0} P{ X (t ) 1}
泊松过程poisson
研究如何将泊松过程与其他 随机过程进行更有效的结合，
以更好地描述复杂现象。
探索如何利用机器学习方法改 进泊松过程的参数估计和模型 选择，以提高模型的预测能力
和解释性。
THANKS
泊松分布的性质
泊松分布具有指数衰减的性质， 即随着时间的推移，事件发生的
概率逐渐减小。
泊松分布的期望值和方差都是参 数λ（λ > 0），即E(X)=λ， D(X)=λ。
当λ增加时，泊松分布的概率密 度函数值也增加，表示事件发生
的频率更高。
泊松分布的应用场景
通信网络
泊松分布用于描述在一定 时间内到达的电话呼叫或 数据包的数量。
生物信息学中的泊松过程
在生物信息学中，泊松过程用于描述基因表达、蛋白质相互 作用等生物过程中的随机事件。例如，基因表达数据可以用 泊松过程来分析，以了解基因表达的模式和规律。
通过泊松过程，生物信息学家可以识别出与特定生物学功能 或疾病相关的基因，为药物研发和个性化医疗提供有价值的 线索。
06 泊松过程的扩展与展望
交通流量分析
泊松分布用于描述在一定 时间内经过某个地点的车 辆数量。
生物学和医学研究
泊松分布可以用于描述在 一定时间内发生的事件数 量，例如基因突变或细菌 繁殖。
04 泊松过程的模拟与实现
离散时间的模拟
01
定义时间间隔
首先确定模拟的时间区间，并将其 划分为一系列离散的时间点。
随机抽样
使用随机数生成器，在每个时间间 隔内随机决定是否发生事件。
有限可加性
在有限的时间间隔内，泊松过 程中发生的事件数量服从二项
分布。
与其他随机过程的比较
与马尔可夫链的比较
泊松过程
i 1
i
设 E[ X n ] ，由于Xn为非负随机变量且不恒为0，所以 有 0 。 因为Sn代表n次更新所花费的时间，则 N (t ) sup{n; Sn t}
由于>0，故当n∞时，要求Sn 趋于∞；反之，若Sn∞， 必然要求n ∞ ，这就说明在有限长的时间内只能出现 有限次更新。 t 有限时：
§4.4 泊松过程
一、计数过程 1、定义：在[0,t]内出现事件A的总数所组成的过程{N(t), t≥0}称为计数过程。计数过程{N(t), t≥0}应满足下列条件： （1） N(t) ≥0； （2） N(t) 一个是正整数； （3）如果两个时刻s,t, 且s<t, 则N(s)≤N(t)。 （4）对于s < t，N(t)-N(s)代表在时间间隔[s,t]内出 现事件A的次数。
[t 2、设有 t1 t 2 t3 t 4 ， 1 , t 2 )和[t 3 , t 4 ) ，是两个不相交 的时间间隔，若 [ N (t 2 ) N (t1 )]与[ N (t 4 ) N (t3 )] 相互统计 独立，则N(t)为独立增量计数过程。
3、若 [ N (t s) N (t )] 仅与s有关而与t无关，则称N(t)为 平稳增量计数过程。
由福克-普朗克方程可得： dp j (t ) j 1 p j 1 (t ) ( j j ) p j (t ) j 1 p j 1 (t ) dt 直接求解以上方程组比较困难，一般仅讨论平稳分布， t∞时的极限情况。 二、排队和服务问题 1、基本概念：任何排队过程包括三个不同的历程： 1）到达过程 2）排队过程 3）服务过程 排队服务系统一般用G1/G2/n/m 表示，其中： G1— 顾客到达服从G1分布； G2—服务时间服从G2分布；n — 服务员数目；m —顾客排队容许长度（或系统容量），m = ∞时不写出，为等待制系统。
泊松过程poisson课件
fT
(t )
e t
(t )k 1
, (k 1)!
t
0
0 ,
t0
故仪器在时刻 t0 正常工作旳概率为:
P P(T t0 )
e
t
(t)k 1
dt
t0
(k 1)!
P[ X (t0 )
k]
k 1
e t0
n0
(t0 )n
n!
(3) 到达时间旳条件分布
假设在[0 , t ]内事件A已经发生一次，拟定这一事件到 达时间W1旳分布 ——均匀分布
6.2 泊松过程旳基本性质
泊松分布:
P{X (t s) X (s) n} (t)n et , n 0,1,
n!
P{X (t) n} (t)n et , n 0,1, 2,
n!
ΦX ( ) E[e jX (t) ] et(ej 1)
(1) 泊松过程旳数字特征
均值函数
mX (t) E[ X (t)] t
D[S (t)]
tE[
X
2 1
]
t(
2
2
)
泊松脉冲列
[定义] 称泊松过程 { X(t) , t 0 } 旳导数过程为泊松脉冲列，
记为 { Z(t) , t 0 } ，即
Z (t) d X (t) dt
X(t) u(t ti )
i
Z(t) (t ti )
i
t0 t1 t2
ti
t
t0 t1 t2
事件A发生旳次数， T1 T2 T3
n
Wn Ti (n 1)
Tn
i 1
t
0 W1 W2 W3
Wn-1 Wn
第三章 泊松过程要点
k 0 m m
P[ N1 (t , t s ) k ]P[ N1 (t , t s ) m k )]
k 0 m m (1s ) k e 1s (2 s ) m k e 1s m! ( 1 2 ) s k mk 1 e (1s ) (2 s ) k! (m k )! m! k 0 k 0 k !( m k )!
P[ N1 (t , t s ) k1 | N (t , t s ) m]P[ N (t , t s ) m]
m0
m k1
P[ N (t , t s) k
1 k1 k1 m k1 C p (1 p ) m
1
| N (t , t s ) m]P[ N (t , t s ) m]
其中 N1 (t ) k1 | N (t ) k1 k2 表示独立到达泊松系统的 k1 k2 个质点中恰好到达系统A有 k1 个，则有
P[ N1 (t ) k1 | N (t ) k1 k2 ] C kk1k p k1 (1 p ) k2
1 2
第一节、泊松过程的基本概念
第一节、泊松过程的基本概念
（4）证明 N1 (t ), N2 (t ) 的独立性
P[ N1 (t ) k1 , N 2 (t ) k2 ] P[ N1 (t ) k1 , N (t ) k1 k2 ] P[ N1 (t ) k1 | N (t ) k1 k2 ]P( N (t ) k1 k2 )
泊松过程（Poisson process）最早由法国人Poisson于 1837年引入。
泊松过程
泊松过程一种累计随机事件发生次数的最基本的独立增量过程。
例如随着时间增长累计某电话交换台收到的呼唤次数，就构成一个泊松过程。
泊松过程是由法国著名数学家泊松（Poisson, Simeon-Denis）（1781—1840）证明的。
1943年C.帕尔姆在电话业务问题的研究中运用了这一过程，后来Α.Я.辛钦于50年代在服务系统的研究中又进一步发展了它。
Poisson过程（Poisson process，大陆译泊松过程、普阿松过程等，台译卜瓦松过程、布瓦松过程、布阿松过程、波以松过程、卜氏过程等），是以法国数学家泊松（1781 - 1840）的名字命名的。
泊松过程是随机过程的一种，是以事件的发生时间来定义的。
我们说一个随机过程N(t) 是一个时间齐次的一维泊松过程，如果它满足以下条件：在两个互斥（不重叠）的区间内所发生的事件的数目是互相独立的随机变量。
在区间内发生的事件的数目的概率分布为：其中λ是一个正数，是固定的参数，通常称为抵达率（arrival rate）或强度（intensity）。
所以，如果给定在时间区间之中事件发生的数目，则随机变数呈现泊松分布，其参数为。
更一般地来说，一个泊松过程是在每个有界的时间区间或在某个空间（例如：一个欧几里得平面或三维的欧几里得空间）中的每一个有界的区域，赋予一个随机的事件数，使得•在一个时间区间或空间区域内的事件数，和另一个互斥（不重叠）的时间区间或空间区域内的事件数，这两个随机变数是独立的。
•在每一个时间区间或空间区域内的事件数是一个随机变数，遵循泊松分布。
（技术上而言，更精确地来说，每一个具有有限测度的集合，都被赋予一个泊松分布的随机变数。
）泊松过程是莱维过程（Lévy process）中最有名的过程之一。
时间齐次的泊松过程也是时间齐次的连续时间Markov过程的例子。
一个时间齐次、一维的泊松过程是一个纯出生过程，是一个出生-死亡过程的最简单例子。
泊松过程公式范文
泊松过程公式范文泊松过程（Poisson process）是概率论中的一种重要的随机过程。
它以数学家西莫恩·庞加莱（Siméon Denis Poisson）的名字命名，他在19世纪早期首次引入了这个概念。
泊松过程是一种离散时间（时间按照一定的间隔划分）连续状态（可以不断地发生事件）的随机过程。
泊松过程的定义是：在一段时间内，事件发生的次数服从泊松分布（Poisson distribution）。
这段时间可以是无穷小的时间间隔，也可以是有限的时间窗口。
泊松过程的关键特征是事件之间的时间间隔都是独立的且呈指数分布。
所谓指数分布是指事件之间的时间间隔满足指数分布的概率密度函数，即事件发生的概率与时间间隔的长度成正比。
泊松过程的数学定义可以表示为：P(N(t)=k)=(e^(-λt)*(λt)^k)/k!其中，N(t)表示在时间t内发生的事件次数，k表示事件的个数，λ表示单位时间内平均发生的事件个数。
根据泊松过程的定义，可以得到一些重要的性质和公式。
首先是事件发生的概率。
在时间t内发生k次事件的概率可以用公式P(N(t)=k)表示，其中λt表示单位时间内平均发生的事件个数。
这个公式是泊松分布的概率质量函数。
其次是事件之间的时间间隔。
由于泊松过程中时间间隔是独立的且呈指数分布，所以事件发生的时间间隔满足无记忆性（memoryless）的特性。
无记忆性意味着事件的发生与之前的事件的发生时间无关，只与发生事件的频率有关。
再次是事件的到达间隔。
事件的到达间隔是指两个连续事件之间的时间间隔。
根据泊松过程的定义，事件的到达间隔呈指数分布。
事件的到达间隔的期望值（也称为平均间隔）为1/λ，即单位事件到达的平均时间间隔。
最后是超过特定事件个数的概率。
假设我们需要计算在一定时间内超过n次事件发生的概率。
可以用公式P(N(t) > n) = 1 - P(N(t) <= n)= 1 - ∑(i=0 to n) (e^(-λt) * (λt)^i) / i!来计算。
泊松过程资料
05
泊松过程的未来研究方向
泊松过程在新兴领域的应用前 景
• 新兴领域的泊松过程应用 • 如人工智能、大数据等领域，泊松过程可以用于分析和优化事 件驱动的随机过程 • 如物联网、车联网等领域，泊松过程可以用于分析和优化信息 传输和信号干扰等随机过程
泊松过程的理论研究进展
• 泊松过程的理论研究进展 • 如高维泊松过程、非齐次泊松过程等，拓展泊松过程的理论研 究范围 • 如泊松过程的极限理论、泊松过程的稳定性理论等，深入研究 泊松过程的性质和规律
泊松过程的性能评估
泊松过程的性能评估
• 对泊松过程的控制和优化效果进行评估，如服务效率、等待时间等 • 可以用来指导泊松过程的控制和优化，如改进控制策略、优化资源分配等
泊松过程性能评估的实例
• 服务效率评估：通过比较控制前后的服务效率，评估控制策略的效果 • 等待时间评估：通过比较控制前后的等待时间，评估控制策略的效果
泊松过程：概念与应用
DOCS SMART CREATE
CREATE TOGETHER
DOCS
01
泊松过程的定义
• 是一个随机过程，表示在固定时间间隔内发生随机事件的次数 • 事件是相互独立的，且在每个时间间隔内发生的概率相同
泊松过程的性质
• 事件发生的概率分布服从泊松分布 • 在小时间间隔内，事件发生的概率与时间间隔成正比 • 泊松过程的均值和方差与时间间隔的长度成正比
泊松分布的概率质量函数
泊松分布的概率质量函数
• 表示在固定时间间隔内发生k次事件的概率 • 形式为：P(X=k) = (e^(-λt) * λ^k) / k!，其中X表示事件发生的次数，λ表示事件 发生的平均速率，t表示时间间隔的长度
泊松分布的性质
泊松过程
一个基本的独立增量过程，用于累积随机事件的发生时间。
例如，随着时间的推移累积电话交换机接收的呼叫数量就构成了泊松过程。
法国著名数学家泊松（1781-1840）证明了泊松过程。
1943年，C。
Pahlm将这一过程应用到电话服务的研究中，后来又应用于α。
я。
1950年代，辛勤在服务系统研究中进一步发展了它。
法国数学家Poisson于1781年6月21日出生于法国卢瓦尔河，于1840年4月25日去世，死于法国苏富比镇。
1798年，他进入巴黎综合科学与工程学院深造。
毕业后，他以出色的研究论文被任命为讲师。
由p.-s赞赏。
拉普拉斯和j.l.拉格朗日。
1800年毕业后，他留校任教，1802年成为副教授，并接替了J.-B.-J.傅里叶于1806年担任教授。
1808年，他是法国经度局的天文学家，1809年，他是巴黎科学研究所的力学教授。
1812年，他当选为巴黎科学院院士。
泊松的科学生涯始于对微分方程的研究及其在摆运动和声学理论中的应用。
他的工作特征是运用数学方法研究各种机械和物理问题，并获得数学发现。
他为积分理论，行星运动理论，热物理学，弹性理论，电磁理论，势能理论和概率论做出了重要贡献。
对于泊松过程，通常认为每个样本函数都是一个左跳（或右跳）连续阶跃函数，其跳跃为1。
可以证明具有此属性的样本函数的随机连续独立增量过程必须是泊松过程，因此，泊松过程是描述随机事件累积发生时间的基本数学模型之一。
凭直觉，只要随机事件在不相交的时间间隔内独立发生并且在足够小的间隔内仅发生一次，则它们的累积时间就是一个泊松过程。
这些条件在许多应用中都可以满足。
例如，某个系统在时间段[0，t]中的故障数和在真空管加热t秒钟后阴极发射的电子总数可以被认为是泊松过程。
描述随机事件的累积发生时间的过程通常称为计数过程（请参阅点过程）。
还可以通过依次跳转的时间{Tn，n≥1}定义简单的局部计数过程{X（t），t≥0}，即T0 = 0，Tn = inf {t：X（t）≥n}，n≥1，并且当TN <t时，如果X（t）表示为两个相邻跳转之间的时间间隔，则当且仅当{τn，n≥1}是独立且均匀分布的，并且λ是非负常数。
泊松过程
泊松过程
泊松过程是由法国著名数学家泊松（Poisson, Simeon-Denis）（1781—1840）证明的。
1943年C.帕尔姆在电话业务问题的研究中运用了这一过程，后来辛钦于50年代在服务系统的研究中又进一步发展了它。
它是一种累计随机事件发生次数的最基本的独立增量过程。
例如随着时间增长累计某电话交换台收到的呼唤次数的过程。
一般地来说，一个泊松过程是在每个有界的时间区间或在某个空间（例如：一个欧几里得平面或三维的欧几里得空间）中的每一个有界的区域，赋予一个随机的事件数，使得在一个时间区间或空间区域内的事件数，和另一个互斥（不重叠）的时间区间或空间区域内的事件数，这两个随机变数是独立的。
在每一个时间区间或空间区域内的事件数是一个随机变数，遵循泊松分布。
（技术上而言，更精确地来说，每一个具有有限测度的集合，都被赋予一个泊松分布的随机变数。
）泊松过程是莱维过程（Lévy pro cess）中最有名的过程之一。
时间齐次的泊松过程也是时间齐次的连续时间Markov过程的例子。
一个时间齐次、一维的泊松过程是一个纯出生过程，是一个出生——死亡过程的最简单例子。
对泊松过程，通常可取它的每个样本函数都是跃度为1的左（或右）连续阶梯函数。
可以证明，样本函数具有这一性质的、随机连续的独立增量过程必是泊松过程，因而泊松过程是描写随机事件累计发生次数的基本数学模型之一。
直观上，只要随机事件在不相交时间区间是独立发生的，而且在充分小的区间上最多只发生一次，它们的累
计次数就是一个泊松过程。
第五节 泊松过程
－泊松过程 －最简单的事件流——泊松流 －泊松流的性质
1
1 泊松过程
泊松过程是一种恒定增长率的纯增过程。
Q 0
0 ...
k= k=0
泊松过程是一种计数过程，例如对到达的顾客进行计数。 各个状态的增长率是稳定的，说明顾客到达的事件流是 平稳的
7
2 泊松流
随机事件流 通常把在随机时刻出现的事件序列称为 随机事件流。 泊松流 如果事件发生的个数为泊松过程的增长 规律，则此事件流为泊松流，为泊松流 的强度
时间
t
k!
k
e t
8
2 泊松流
泊松流＝最简单事件流，特点为
平稳性。在任何一段长度为t的时间区间内，出现任 意数量事件的概率只与t有关，而与t所处的位置 （或与起始时刻）无关。记λ为平稳流的强度。 无后效性（又称无记忆性或者马氏性）。在互不相 交的两时间区间T1、T2内所出现的事件数是相互独 立的。 普通性。在同一瞬间，多于一个顾客出现的概率 （或同时到达系统有两个或两个以上顾客的概率） 可忽略不计。
t
10
3 泊松流的性质
负指数分布与泊松流的密切关系 随机时间到达的间隔时间相互独立且服从同一 参数为的负指数分布，则这样的随机事件流 就是泊松流，强度为 定理5.1 设1,2, …k,…表示相继到达的随机事 件的间隔时间，假定它们服从同一负指数分布， 参数为，则在(0,t]时间内到达的随机事件数 N(t)服从泊松分布，即：
4
1 泊松过程
pi,i(0)=1，0时间内系统中顾客数增长0个 pi,i+k(t)表示t时间后系统中顾客数增加了k个的概 率，也就是在t时间内到达了k个顾客的概率
泊松过程
Wn = ∑ Ti
i =1
n
(n ≥ 1)
t
Wn —— 第n次事件 发生的时刻，或称等待时间， 次事件A发生的时刻 次事件 发生的时刻，或称等待时间， 或者到达时间 Tn —— 从第 次事件 发生到第 次事件 发生的 从第n-1次事件 发生到第n次事件 次事件A发生到第 次事件A发生的 时间间隔，或称第n个时间间隔 时间间隔，或称第 个时间间隔
=C
k n
s s 1 − t t
k
n−k
参数为 n 和 s/t 的 二项分布
[例3] 设在 [ 0 , t ] 内事件 已经发生 n 次，求第 次(k < n) 内事件A已经发生 求第k次
事件A发生的时间 的条件概率密度函数。 事件 发生的时间Wk 的条件概率密度函数。 发生的时间
n重贝努利试验中事件 重贝努利试验中事件A发生的 [二项分布] 随机变量 X 为n重贝努利试验中事件A发生的 ] 次数， 次数，则 X ~ B (n, p)
P ( X = k ) = n p k q n−k k
E ( X ) = np , D ( X ) = npq
是常数， [泊松定理] 在二项分布中，设 np=λ 是常数，则有 ] 在二项分布中，
jω X ( t )
]=e
(1) 泊松过程的数字特征
均值函数 方差函数 相关函数 协方差函数
m X (t ) = E[ X (t )] = λt
2 σ X (t ) = D X (t ) = λ t
R X ( s, t ) = E[ X ( s ) X (t )] = λ s (λ t + 1) , ( s < t )
P{ X ( s ) = k X (t ) = n} =
泊松过程
泊松过程泊松过程是指一种累计随机事件发生次数的最基本的独立增量过程。
例如随着时间增长累计某电话交换台收到的呼唤次数，就构成一个泊松过程。
泊松过程是由法国著名数学家泊松（1781—1840）证明的。
1943年C.帕尔姆在电话业务问题的研究中运用了这一过程，后来Α.Я.辛钦于50年代在服务系统的研究中又进一步发展了它。
泊松过程是随机过程的一种，是以事件的发生时间来定义的。
我们说一个 随机过程 N(t)是一个时间齐次的一维泊松过程，如果它满足以下条件：在两个互斥（不重迭）的区间内所发生的事件的数目是互相独立的随机变量。
在区间[t,t + τ]内发生的事件的数目标机率分布为：其中λ是一个正数，是固定的参数，通常称为抵达率（arrival rate）或强度（intensity）。
所以，如果给定在时间区间[t,t + τ]之中事件发生的数目，则随机变量N(t + τ) - N(t)呈现泊松分布，其参数为λτ。
更一般地来说，一个泊松过程是在每个有界的时间区间或在某个空间（例如：一个欧几里得平面或三维的欧几里得空间）中的每一个有界的区域，赋予一个随机的事件数，使得在一个时间区间或空间区域内的事件数，和另一个互斥（不重迭）的时间区间或空间区域内的事件数，这两个随机变量是独立的。
在每一个时间区间或空间区域内的事件数是一个随机变量，遵循泊松分布。
（技术上而言，更精确地来说，每一个具有有限测度的集合，都被赋予一个泊松分布的随机变量。
） 考虑一个泊松过程，我们将第一个事件到达的时间记为T1。
此外，对于n>1，以Tn记在第n-1个事件与第n个事件之间用去的时间。
序列{Tn,n=1,2,...}称为到达间隔时间列。
Tn(n=1,2,...)是独立同分布的指数随机变量，具有均值1/λ。
Definition of the Poisson processWe describe the situation by the counting process N(t), t > 0, which counts the number of events that have occurred between time 0 and time t. Our model has a single parameter, λ > 0, which isthe average arrival rate per unit time. Before defining the model formally, we make some preliminary calculations based on the following three natural assumptions:• The probability of an event occurring in a short interval of time [t,t+h] is λh+o(h) as h → 0.• The probability of two or more events occurring in interval [t, t + h] is o(h) as h → 0.• The numbers of events occurring in disjoint time intervals are independent.Examples:1.Insurance claims. Insurance companies often model customers’ claims using renewalideas. In this case the interarrival distribution is a crucial element of the calculation ofwhat insurance premium to charge.2.Counter processes. Many devices can be described as counters in that they attempt torecord the occurrence of successive signal pulses impinging on some instrument. Forexample Geiger counters for recording ionization events, or scintillation counters forrecording passage of a subatomic particle.3.Traffic flow. The times at which successive cars pass a monitoring station on a longsingle- lane road can be modelled as a renewal process. Much more generally, any sort of “traffic” can fit a similar model, such as data packets arriving at a server across a network connection. Questions of congestion can be answered using renewal theory and therelated theory of queues.4.Inventory systems. A large department store needs to know how much stock of aparticular item to hold, and a schedule for replenishment. The pattern of demands canoften be modelled as a renewal process.In any of these or other similar situations in which events occur randomly in time at some uniform average rate, an assumption of ‘total randomness’ leads to the Poisson process as a model.。
泊松过程
nk
参数为 n 和 s/t 的 二项分布
[例3] 设在 [ 0 , t ] 内事件A已经发生 n 次，求第k次(k < n) 事件A发
生的时间Wk 的条件概率密度函数。
P{s Wk s h, X (t ) n} P{s Wk s h X (t ) n} P{ X (t ) n} P{s Wk s h, X (t ) X ( s h) n k} P{ X (t ) n} P{s Wk s h} P{ X (t ) X ( s h) n k} P{ X (t ) n}
P{ X (t h) X (t ) 1} h o(h) P{ X (t h) X (t ) 2} o(h)
称它为具有参数 >0 的泊松过程
泊松过程例子
考虑某一电话交换台在某段时间接到的呼叫。令X(t)表示 电话交换台在 [0, t] 时间内收到的呼叫次数，则{ X(t), t 0 } 是一个泊松过程。 考虑来到某火车站售票窗口购买车票的旅客。若记X(t) 为 时间 [0, t] 内到达售票窗口的旅客数，则{ X(t), t 0 } 是一 个泊松过程。 考虑机器在 (t, t+h] 内发生故障这一事件。若机器发生故 障，立即修理后继续工作，则在 (t, t+h] 内机器发生故障 而停止工作的事件数构成一个随机点过程，它可以用泊松 过程来描述。
时间间隔Tn
[定理] 设 {X (t), t 0 }是具有参数的泊松过程，{Tn , n 1 } 是对应的 时间间隔序列，则随机变量Tn (n=1,2,…)是独立同分布的均值为1/ 的指数分布。
Tn 的分布函数： Tn 的概率密度函数：
泊松过程
3.1泊松过程的实际模型和数学模型
若将“接待一位顾客”，“到达一次呼唤”，“维 修一台”
机器”，“接收一个粒子”，“发现一个误码”“通 过一辆汽车”等都作为一个“随机点”,则这种源源 不断出现的随机点的过程就称为随机点过程。如果计 算在某一段时间内出现的随机点数目，这个数目也是 随机的，它随着这段时间的延伸而不断变化，则称这 个变化的过程为伴随着随机点过程的计数过程。泊松 过程是一类特殊的计数过程。 下面给出泊松过程的定义及其数学模型。
P , Xt h Xt0 XtX0n P , Xt h Xt1 XtX0n1 P XtX0nj,Xt hXt j
j 2
n 1 P t 1 h h P t h 1 h h h n n 1
P t hP t h 0 0 所 以 P t P t 0 0 h h
取 h 0 的 极 限 ， 得
所 以 l n P t tC ,P t C e
t 0 1 0
P t P t, 且 P 0 P X 0 0 1 0 0 0
t
n
P n t
t
n!
n
et
3.1泊松过程的实际模型和数学模型
由 数 学 归 纳 法 知 ： P t n
由 条 件 （ 2 ） 有 ：
t e
n !
n t
P X t s s n P X t X 0 n X P X t n P t n
3.1泊松过程的实际模型和数学模型 定 义 3 . 3 （ 泊 松 过 程 ） 称 计 数 过 程 X t , t 0
复合泊松过程.ppt
由题设条件易证{X(t),t≥0}具有独立增量性。
定理2：
设 N (t)
X (t) Yk , t 0
是复合泊松过程，则
k 1
(1)X(t)的矩母函数
X (t) (u)
et[Y
( u )1]
其中，是事件的到达率，Y (u) 是随机
变量 Yi 的矩母函数； (2)若 E(Y12 ) ，则
E[ X (t)] tE[Y1], D[ X (t)] tE[Y12 ]
第五节 复合泊松(Poisson)过程
本节学习的主要内容
一、复合泊松过程的定义 二、复合泊松过程的性质 三、复合泊松过程的应用
一、复合泊松过程的定义
定义：设{N(t),t0}是强度的泊松过程， {Yk ,k=1,2,}是一族独立同分布随机变量， 且与{N(t),t0}独立，令
N (t)
X (t) Yk , t 0 k 1
则称{X(t),t0}为复合泊松过程。
条件：
（1）存在一个泊松过程和一个随机变量序列； （2）随机变量序列是相互独立，且服从同一分布； （3）随机变量序列与泊松过程是相互独立。
例1：假设N(t)是在时间(0,t]内来到某商
店的顾客数，每个顾客购买商品的概率
为p,且与其它顾客是否购买商品无关。
问：在时间(0,t]内购买商品的顾客数是
否复合泊松过程？
二、复合泊松过程的性质
定理1： N (t)
设 X (t) Yk , t 0 是复合泊松过程，则 k 1
{X(t),t0}是独立增量过程。
证明： 令 0 t0 t1 t2 tm，则
N (tk )
X (tk ) X (tk1)
Yi , k 1,2,, m
泊松过程
泊松过程
泊松过程可以用数学语言来表达。
满足以下三个条件的随机过程X = {X（t），t ≥0}被称为泊松过程。
在基础书中，泊松过程是及时定义的过程。
①P（X（0）= 0）= 1。
②不相交区间的增量是相互独立的，即对于0≤t1<t2 <... <tn，X（t1），X（t2）-X（t1），...，X（tn）-X（tn-1）独立。
③增量X （t）-X（s）（t> s）的概率分布为泊松分布，即Λ（t）为非递减非负函数。
如果X仍然满足④X（t）-X（s）的分布仅取决于ts，则X被称为齐次泊松过程；那么Λ（t）=λt，其中常数λ> 0称为过程强度，因为EX（t）=Λ（t）=λt，所以λ等于每单位时间的平均事件数。
通过时间尺度的转换，非均匀泊松过程可以转化为均匀泊松过程。
对于泊松过程，通常它的每个样本函数都是一个左跳（或右跳）连续阶跃函数，跳跃为1。
可以证明具有样本函数此属性的随机连续独立增量过程必须是泊松过程。
因此，泊松过程是描述随机事件累积发生的基本数学模型之一。
凭直觉，只要随机事件在不相交的时间间隔内独立发生，并且仅在足够小的间隔内发生一次，它们的累积数就是一个泊松过程。
在许多应用中，这些条件都可以满足。
例如，可以将某个系统在周期[0，t）内的故障数量以及加热t 秒钟后真空管的阴极发射的电子总数视为泊松过程。
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0
1
2
3
4
5
n
2
1 泊松过程
考察t时间内状态数增长k的概率，也就是状态从 i转移到i+k的概率：
用pi,i+k(t)表示t时间后状态增长了k的概率 设 1 k 0
pi ,i k (0) 0
k 0
k 0
建立方程组（利用K氏前向方程 P(t ) P(t ) Q ）
15
4 电话交换台例题
分析：
用X(t)表示t时刻系统中存在的呼叫数量 由于输入的间隔时间为负指数分布，输入是 泊松流，所以系统在足够短的时间之内最多 有一个新的呼唤呼入。 由于系统的服务时间为负指数分布，所以非 常短时间内最多有一个呼唤释放，两个呼唤 同时释放的概率是o(t)。 因此这是一个生灭过程。
4
1 泊松过程
pi,i(0)=1，0时间内系统中顾客数增长0个 pi,i+k(t)表示t时间后系统中顾客数增加了k个的概 率，也就是在t时间内到达了k个顾客的概率
X (t )
i ＋k
( t ) k t pi ,i k (t ) e k!
i
0
time
5
1 泊松过程 ——独立增量
用Pk(t)表示在长度为t的时间段内发生k个 事件的概率，则
(1-p) p
14
4 电话交换台例题
考察某电话交换台，用户在随机时刻0<t1<t2<t3…打电话， 假定相继呼唤到达的间隔时间T1＝t1, Tn=tn-tn-1,n>=2是相 互独立且负指数分布，参数为。用n表示第n个呼唤的 持续时间（或服务时间），它们是相互独立且具有参数 为的负指数分布。 又设有M条或无穷多条线可供利用。这样，在后一 种情形，所有呼唤到来即被接通，对前一种情形，若呼 唤到达时，系统中已有n个呼叫正在进行，则假定n<M， 新到呼叫可被立即接通，若n>=M，因M条外线已被占 用，则新到达的呼唤必须排队等到其中一条线路空出为 止，并且所有线路只有一个队列。讨论线路的利用情况
t
10
3 泊松流的性质
负指数分布与泊松流的密切关系 随机时间到达的间隔时间相互独立且服从同一 参数为的负指数分布，则这样的随机事件流 就是泊松流，强度为 定理5.1 设1,2, …k,…表示相继到达的随机事 件的间隔时间，假定它们服从同一负指数分布， 参数为，则在(0,t]时间内到达的随机事件数 N(t)服从泊松分布，即：
第五节 泊松过程
－泊松过程 －最简单的事件流——泊松流 －泊松流的性质
1
1 泊松过程
泊松过程是一种恒定增长率的纯增过程。
Q 0
0 ...
k= k=0
泊松过程是一种计数过程，例如对到达的顾客进行计数。 各个状态的增长率是稳定的，说明顾客到达的事件流是 平稳的
16
4 电话交换台例题
第一步，先求出系统状态转移强度。 第二步，将增长率和消亡率带入到生灭 过程求平稳分布的公式。 第三步，求解平稳分布。
17
泊松流的合成与分解 定理5.3
设N1(t)与N2(t)分别是参数为1与2的泊松流， 且N1(t)与N2(t)相互独立，则合成流N1(t)+N2(t) 是参数为1+2的泊松流
1
2
13
1 +2
3 泊松流的性质
定理5.4
设某事件流N(t) 是参数为的泊松流，每一 到达的事件以概率p进入系统，设X(t)表示进 入系统的事件流，则X(t)是参数为p的泊松 流
7
2 泊松流
随机事件流 通常把在随机时刻出现的事件序列称为 随机事件流。 泊松流 如果事件发生的个数为泊松过程的增长 规律，则此事件流为泊松流，为泊松流 的强度
时间
t
k!
k
e t
8Hale Waihona Puke 2 泊松流泊松流＝最简单事件流，特点为
平稳性。在任何一段长度为t的时间区间内，出现任 意数量事件的概率只与t有关，而与t所处的位置 （或与起始时刻）无关。记λ为平稳流的强度。 无后效性（又称无记忆性或者马氏性）。在互不相 交的两时间区间T1、T2内所出现的事件数是相互独 立的。 普通性。在同一瞬间，多于一个顾客出现的概率 （或同时到达系统有两个或两个以上顾客的概率） 可忽略不计。
( t ) k t P( N (t ) k ) e k!
11
3 泊松流的性质
推论
若服务台一直忙，服务时间服从参数为的 负指数分布，则服务台输出的顾客流是参数 的泊松流
定理5.2
如果某随机事件流是泊松流，则随机事件相 继出现的间隔时间彼此独立，且服从同一负 指数分布。
12
3 泊松流的性质
9
2 泊松流
普通性：
考察泊松流中，极短时间t内到达k个顾客的概率：
( t ) k t Pk (t ) e k! ( t ) 2 ( t ) 3 P0 (t ) e 1 t ... 1 t o(t ) 2! 3! ( t ) 3 ( t ) 4 t 2 P t ( t ) ... t o(t ) 1 (t ) te 2! 3! ( t ) 2 t P2 (t ) e 2! ... （都只包含t的多次方） o(t ) ( t ) k t Pk (t ) e k!
pi ,i k '(t ) pi ,i k (t ) pi ,i k 1 (t ) pi ,i '(t ) pi ,i (t )
3
1 泊松过程
求解得：
pi ,i '(t ) pi ,i (t ) pi ,i (t ) e t pi ,i 1 '(t ) pi ,i 1 (t ) pi ,i (t ) pi ,i 1 '(t ) pi ,i 1 (t ) e t pi ,i 1 (t ) te t ...... ( t ) k t pi ,i k (t ) e k! k 0, t 0
( t ) k t Pk (t ) e k!
这就是泊松分布。
两个变量：k ——事件个数 t ——时间长度
6
1 泊松过程
t时间内，平均发生的事件数是多少？
E (k ) k Pk (t )
k 0
( t ) k t k e k! k 0 t