随机过程第三章

第三章 泊松过程
泊松过程定义 泊松过程的数字特征 时间间隔分布、 时间间隔分布、等待时间分布及到达时间的 条件分布 复合泊松过程 非齐次泊松过程
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定义3.1： 定义 ： 称随机过程{N(t), t≥0}为计数过程，若N(t)表示到时刻 为止已发生 表示到时刻t为止已发生 称随机过程 为计数过程， 表示到时刻 事件A”的总数 的总数， 满足下列条件： 的“事件 的总数，且N(t)满足下列条件： 满足下列条件 1. N(t) ≥0; 2. N(t)取正整数值； 取正整数值； 取正整数值 3. 若s<t，则N(s) ≤N(t)； ， ； 4. 当s<t时，N(t)-N(s)等于区间 等于区间(s,t]中发生的“事件 的次数。 中发生的“ 的次数。 时 等于区间 中发生的 事件A”的次数
泊松过程 平稳独立增量过程
可以认为[0,t]内长度相等的区间包含这个事件的概 内长度相等的区间包含这个事件的概 可以认为 率应该相等，或者说，这个事件的到达事件应在[0,t] 率应该相等，或者说，这个事件的到达事件应在 上服从均匀分布。对于s<t有 上服从均匀分布。对于 有
P {W 1 ≤ s | X ( t ) = 1} = ?
0, 分布函数 s FW1| X (t ) =1 (s) = , t 1, s<0 s≥t
0≤ s<t 其它
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0≤s<t
分布密度
1 , f W1 | X ( t ) =1 ( s ) = t 0,
定理3.4： 定理 ： 是泊松过程， 内事件A发生 设{X(t),t≥0}是泊松过程，已知在 是泊松过程 已知在[0,t]内事件 发生 次， 内事件 发生n次 则这n次到达事件 次到达事件W 与相应于n个 则这 次到达事件 1<W2, …<Wn与相应于 个[0,t]上均匀 上均匀 分布的独立随机变量的顺序统计量有相同的分布。 分布的独立随机变量的顺序统计量有相同的分布。
− λ t ( λ t ) n −1 , λ e fW n (t ) = ( n − 1) 0,
证明思路： 证明思路：
t≥0 t<0
FW (t ) = P{Wn ≤ t} = P{ X (t ) ≥ n}
例题：书上习题 例题：书上习题3.7
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到达时间的条件分布
假设在[0,t]内时间 已经发生一次，我们要确定这一 内时间A已经发生一次 假设在 内时间 已经发生一次， 到达时间W 的分布。 到达时间 1的分布。
计数过程N(t)是独立增量过ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 是独立增量过程 计数过程
如果计数过程在不相重叠的时间间隔内，则事件 发生的次数是相互独立的 发生的次数是相互独立的。 如果计数过程在不相重叠的时间间隔内，则事件A发生的次数是相互独立的。
计数过程N(t)是平稳增量过程 是平稳增量过程 计数过程
若计数过程N(t)在(t,t+s]内（S>0），事件 发生的次数 在 ），事件 发生的次数N(t+s)-N(t)仅与时 若计数过程 内 ），事件A发生的次数 仅与时 间差s有关 而与t无关 有关， 无关。 间差 有关，而与 无关。 2
y y=x D
x O
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非齐次泊松过程
允许时刻t的来到强度是 的函数 允许时刻 的来到强度是t的函数 的来到强度是 定义3.4： 定义 ： 称计数过程{X(t),t≥0}为具有跳跃强度函数λ(t)的非 称计数过程 为具有跳跃强度函数λ(t)的非 为具有跳跃强度函数 齐次泊松过程，若它满足下列条件： 齐次泊松过程，若它满足下列条件： X(0)=0； 1. X(0)=0； X(t)是独立增量过程 是独立增量过程； 2. X(t)是独立增量过程； 3. P{ X (t + h) − X (t ) = 1} = λ (t )h + o(h)
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定义3.3： 定义 ： 设计数过程{X(t),t≥0}满足下列条件： 满足下列条件： 设计数过程 满足下列条件 1. X(0)=0； ； 2. X(t)是独立、平稳增量过程； 是独立、 是独立 平稳增量过程； 3. X(t)满足下列两式： 满足下列两式： 满足下列两式
P{ X ( t + h ) − X ( t ) = 1} = λ h + o ( h ) P{ X ( t + h ) − X ( t ) ≥ 2} = o ( h )
则称计数过程{X(t),t≥0}为具有参数λ>0的泊松过程。 则称计数过程{X(t),t≥0}为具有参数λ>0的泊松过程。 {X(t),t≥0}为具有参数 例如： 例如： •电话交换机在一段时间内接到的呼叫次数； 电话交换机在一段时间内接到的呼叫次数； 电话交换机在一段时间内接到的呼叫次数 •火车站某段时间内购买车票的旅客数； 火车站某段时间内购买车票的旅客数； 火车站某段时间内购买车票的旅客数 •机器在一段时间内发生故障的次数； 机器在一段时间内发生故障的次数； 机器在一段时间内发生故障的次数
对于任意n=1,2, …事件 相继到达的时间间隔 n的分布 事件A相继到达的时间间隔 对于任意 事件 相继到达的时间间隔T 为 1 − e − λt , t ≥ 0 FTn (t ) = P{Tn ≤ t} = t<0 0, 其概率密度为 λ e −λt , t ≥ 0
f Tn (t ) = 0, t < 0
证明
例题3.4 例题 设在[0,t]内事件 已经发生 次，且0<s<t，对于 内事件A已经发生 设在 内事件 已经发生n次 ，对于0<k<n， ， 求P{X(s)=k|X(t)=n} 例题3.5 例题 设在[0,t]内事件 已经发生 次，求第 内事件A已经发生 次事件A 设在 内事件 已经发生n次 求第k(k<n)次事件 次事件 发生的时间W 的条件概率密度函数。 发生的时间 k的条件概率密度函数。
若 X k 服 从 参 数 为 λ k的 泊 松 分 布 ， 则 特 征 函 数 为 ： g X k ( t ) = exp( λ k ( e it − 1)) 由 于 X k之 间 相 互 独 立 ， 因 此 Y的 特 征 函 数 为 ： g Y ( t ) = ∏ g X k ( t ) = exp( ∑ λ k ( e it − 1))
FT1 (t ) = P{T1 ≤ t} = 1 − P{T1 > t} = 1 − P{ X (t ) = 0} FT2 (t ) = P{T2 ≤ t} = 1 − P{T2 > t} = 1 − P{T2 > t | T1 = s} = 1 − P{ X (t + s) − X ( s) = 0 | T1 = s}
一般情况下， 一般情况下，泊松过程的协方差函数可表示为
B X ( s , t ) = λ min( s , t )
泊松过程是一个平稳增量过程， 泊松过程是一个平稳增量过程，但不是一个平稳过程
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时间间隔的分布
是泊松过程， 表示t时刻时间 设{N(t),t≥0}是泊松过程，令N(t)表示 时刻时间 发生的 是泊松过程 表示 时刻时间A发生的 次数， 表示从第（ ）次时间A发生到第 次事件A发 发生到第n次事件 次数，Tn表示从第（n-1）次时间 发生到第 次事件 发 9 生的时间间隔。 生的时间间隔。
E[ X (t ) − X ( s )] = D[ X (t ) − X ( s )] = λt
由于X(0)=0，所以 ， 由于
m
X
( t ) = E [ X ( t )] = λ t
2 σ X ( t ) = D [ X ( t )] = λ t R X ( s , t ) = E [ X ( s ) X ( t )] = λ s ( λ t + 1)
定理3.2： 定理 ： 设{X(t),t≥0}为具有参数 的泊松过程，{Tn,n≥1}是对应 为具有参数λ的泊松过程， 是对应 为具有参数 的泊松过程 的时间间隔序列，则随机变量T 的时间间隔序列，则随机变量 n是独立同分布的均值为 1/λ的指数分布。 的指数分布。 的指数分布
证明思路： 证明思路：
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例：设交换机每分钟接到电话的次数X(t)是强度为 设交换机每分钟接到电话的次数 是强度为 λ的泊松过程。求： 的泊松过程。 (1)两分钟内接到 次呼叫的概率。 两分钟内接到3次呼叫的概率 两分钟内接到 次呼叫的概率。 (2)第二分钟内接到第 次呼叫的概率。 第二分钟内接到第3次呼叫的概率 第二分钟内接到第 次呼叫的概率。 P{第一分钟＝2次，第二分钟≥1次} 第一分钟＝ 次 第一分钟 次
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等待时间的分布
等待时间W 是指第n次事件 次事件A到达的时间分布 等待时间 n是指第 次事件 到达的时间分布
W
n
=
∑
n
Ti
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i=1
因此W 个相互独立的指数分布随机变量之和。 因此 n是n个相互独立的指数分布随机变量之和。 个相互独立的指数分布随机变量之和
定理3.3： 定理 ： 是与泊松过程{X(t),t≥0}对应的一个等 设{Wn,n≥1}是与泊松过程 是与泊松过程 对应的一个等 待时间序列， 服从参数为n与 分布， 待时间序列，则Wn服从参数为 与λ的Г分布，其 概率密度为
k =1 n k =1 n n
k =1
= exp(( ∑ λ k )( e it − 1)) = exp( λY ( e it − 1))
k =1
λY =
∑ λk
k =1
n
因此， 也必服从参数为 也必服从参数为λ 因此，Y也必服从参数为 Y的泊松分布
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泊松过程的数字特征
是泊松过程， 设{X(t),t≥0}是泊松过程，对任意的 ∈[0, ∞)，且s<t，有 是泊松过程 对任意的t,s∈ ， ，
定义3.2： 定义 ： 设计数过程{X(t),t≥0}满足下列条件： 设计数过程{X(t),t≥0}满足下列条件： {X(t),t≥0}满足下列条件 X(0)=0； 1. X(0)=0； X(t)是独立增量过程 是独立增量过程； 2. X(t)是独立增量过程； 在任一长度为t的区间中，事件A 3. 在任一长度为t的区间中，事件A发生的次数服从参 的泊松分布， 数λ >0的泊松分布，即对任意 的泊松分布 即对任意s,t≥0，有 ， (λ t ) n P { X ( t + s ) − X ( s ) = n} = e − λ t , n = 0 ,1, K n! 则称计数过程{X(t),t≥0}为具有参数λ>0的泊松过程。 {X(t),t≥0}为具有参数 则称计数过程{X(t),t≥0}为具有参数λ>0的泊松过程。 泊松过程同时也是平稳增量过程 表示单位时间内事件A发生的平均个数 发生的平均个数， E [ X (t )] 表示单位时间内事件 发生的平均个数，故 λ= 称为过程的速率 速率或 称为过程的速率或强度 t